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Objectifs

Chapitre deux : ecoulements visqueux ..... simples ?

I Differences entre fluides parfaits et fluides reels.

I Ecoulements conduisants aux solutions exactes des equations de

Navier–Stokes : ecoulements unidirectionnels.

I Ecoulements a faible nombre de Reynolds : la loi de Darcy.

I L’ecoulement de Stokes sur une sphere.

I Lubrification hydrodynamique.

I L’experience de Reynolds

Ridha ( GM3N, LmnO - Universite de Caen) Dynamique des fluides reels 2009 1 / 44

Fluides reels Equations de mouvement

Fluides reels

I Tout fluide reel est un fluide visqueux : µ 6= 0.

I Lors de son mouvement, toute particule est soumise aux forces de frottement

et (en regime turbulent) a la turbulence.

I Pour vaincre ces forces d’energie cinetique est dissipee et transformee en

energie thermique traduit par une perte de charge.


Fluides reels Equations de mouvement

ρ∂~v

∂t+ ρ(~v · ∇)~v︸︷︷︸

force d’inertie

= −∇p︸︷︷︸forces de pression

+ ρ~f︸︷︷︸forces volumiques

+

µ4 ~v +

(η +

1

3µ

)∇(∇ · ~v)︸︷︷︸

forces visqueuses

Le nombre de Reynolds Re

U et L : vitesse et longueur

caracteristiques

Fluide newtonien

Forces d’inertie convectives par unite de

volume, ρ~v · ∇~vForce de viscosite, µ∇2~v

force d’inertie

forces de viscosite≈ ρU2

µU/L=

UL

ν= Re


Ecoulements unidirectionnels

Ecoulement unidirectionnel =⇒ lignes de courant sont des droites paralleles a la

direction de l’ecoulement, ∀t.

Exemple : ~u = (u, v ,w) ≡ u(y , z , t)~x

∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0 Eq. Continuite

~u = u(y , z , t)~x =⇒ v = w = 0=⇒ ∂u

∂x= 0

D’ou u ne depend pas de x .

Alors les equations de Navier–Stokes se reduisent alors a

∂u

∂t= ν

„∂2u

∂y 2+∂2u

∂z2

«− 1

ρ

∂p

∂x,

∂p

∂y= 0,

∂p

∂z= −ρg .

2eme eq. =⇒ p ≡ p(x , z , t). 3eme eq =⇒ p(z , x , t) = −ρgz + P(x) D’ou

∂p/∂x = P ′(x) = dp/dx .


Ecoulement entre deux plaques planes

Hypotheses : u = u(y), v = 0, p = p(x). D’ou∂p

∂x=

dp

dx= Cte.

Equations

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

0 = −∂p

∂x+ µ

∂2u

∂y 2



Solution

u =1

µ

dp

dx

y 2

2+ C1y + C2

u(y = 0) = 0 =⇒ C2 = 0

u(y = d) = Up =⇒ C1 = Up/d − 1

µ

dp

dx

d

2D’ou :

u = −„

dp

dx

«y(d − y)

2µ+ Up

“ y

d

”



Profiles de vitesse

Quanddp

dx< 0 et Up = 0, cet ecoulement est appele ecoulement de Poiseuille plan

(Up = 0)

et est obtenu experimentalement pour un nombre de Reynolds Re = (dUp/ν) ≤ 1200.

Vitesse umax obtenue dans la plan y = d/2 :

umax =

„−dp

dx

«d2

8µ



Debit volumique Q, par unite de largeur du canal :

Q =

Z d

0

u(y)dy =

„−dp

dx

«d3

12µ

Vitesse moyenne U :

U =Q

S=

„−dp

dx

«d2

12µ=

2

3umax

Chute de pression :∆p

∆`=

„−dp

dx

«=

12µU

d2


Ecoulement dans une conduite cylindrique

x

δ

δ ro r

u(x, r)u(r)

Longueur

d’entree

non-visqueux

Couche

limite

ℓe

ecoulement

ecoulement

entierement etabli

Ecoulement unidirectionnel,

incompressible et stationnaire

dans une conduite horizontale de

rayon R. Fluide non-pesant.

I Vitesse (u, vr , vθ), systeme de coordonnees cylindriques (x , r , θ).

I Symetrie de revolution =⇒ (vr , vθ) = (0, 0).

I u fonction de r (r2 = y2 + z2) seulement.

I Ecoulement parallele a l’axe des x .



Equations

0 = −∂p

∂r,

0 = −1

r

∂p

∂θ,

0 =∂p

∂x+ µ

1

r

[∂

∂r

(r∂u

∂r

)].

Consequences :

I Les Premieres deux eqs. conduisent a p ≡ p(x).

I (Troisieme eq. + u(r)) =⇒ ∂p

∂x=

dp

dx= constante.



Conditions aux limites

I Condition du symetrie : u(r = 0) = umax =⇒ ∂u

∂r

∣∣∣∣r=0

= 0.

I Condition de non-glissement : u(r = R) = 0.

Solution dite de Hagen-Poiseuille

u =1

µ

(dp

dx

)r2

4+ C1 ln r + C2

I Condition du symetrie en r = 0 conduit a C1 = 0.

I Condition de non-glissement conduit a C2 = − 1

µ

(dp

dx

)R2

4

I Solution : u =1

4µ

(−dp

dx

)(R2 − r2).



I umax =1

4µ

(−dp

dx

)R2

I Q =

∫ R

0

u(2πrdr) =π

8µ

(−dp

dx

)R4 =

π

128µ

(−dp

dx

)D4

I Vitesse moyenne :

U =Q

S=

π

8µ

(−dp

dx

)R4

πR2=

1

8µ

(−dp

dx

)R2 =

1

2umax



Chute de pression et perte de charge

I Chute de pression :∆p

∆`= −dp

dx=

8 µ U

R2=

32 µ U

D2

I hr =∆p

ρg=

32 µ U

ρgD2=(

64

U D/ν

)∆`

D

(U2

2g

)=(

64

Re

)︸︷︷︸

coefficient defrottement

×∆`

D×

(U2

2g

)︸︷︷︸

energie cinetiquepar unite de volume

=

f∆`

D

(U2

2g

)



Chute de pression, contrainte de cisaillement τ

I τ = µdu

drI r = 0, τ = 0

I r = R, τ =

(dp

dx

)R

2= τo

I Force de frottement, F :

F = (2πR ×∆`)(−τo)

= (2πR ×∆`)

(−dp

dx

)R

2

= πR2∆`∆p

∆`

= πR2∆p


Ecoulement dans un tube annulaire

Ecoulement dans un tube annulaire

I Ecoulement unidirectionnel

avec symetrie de revolution

I Solution generale :

u =1

µ

(dp

dx

)r2

4+C1 ln r+C2

I Conitions aux limites :

u(r = r1) = u(r = r2) = 0

I Solution : u =1

4µ

(−dp

dx

)[(r2

2 − r2)+

(r22 − r2

1 )ln(r/r2)

ln(r2/r1)

]I Debit : Q =

∫ r2

r1

u(2πrdr) =

π

8µ

(−dp

dx

)[(r4

2 − r41 )− (r2

2 − r21 )2

ln(r2/r1)

]


Ecoulement dans un tube annulaire Ecoulement de couette cylindrique

Ecoulement de couette cylindrique

Hypotheses

I Ecoulement incompressible entre deux

cylindres coaxiaux induit par leurs

rotations.

I Systeme (r , θ, x) avec ~v = (vr , vθ, vx).

I Ecoulement avec ~v ≡ ~v(r) et p ≡ p(r)

observe experimentalement a faible vitesse.



Equations

Continuite :∂vr

∂r+

vr

r=

1

r

∂(rvr )

∂r= 0 =⇒ rvr = C = constante

vr (r = R1) = vr (r = R2) = 0 =⇒ vr = 0, ∀rEquations de mouvement :

v2θ

r= −1

ρ

∂p

∂r

0 = ν

(∂2vθ∂r2

+1

r

∂vθ∂r− vθ

r2

)



Solution

Integrant deux fois par rapport a r :

∂vθ∂r

+vθr

= C1 soit∂(rvθ)

∂r= rC1

rvθ =1

2C1r

2 + C2 soit vθ =1

2C1r +

C2

r

Conditions aux limites : vθ(r = R1) = R1Ω1, vθ(r = R2) = R2Ω2

Solution : vθ =(Ω2 R2

2 − Ω1 R21 )

R22 − R2

1

r − (Ω2 − Ω1) R21 R2

2

R22 − R2

1

1

r.



Cas particuliers

I R1 →∞, R2 →∞ t.q. R2 − R1 = constante = d : Resultat : ecoulement

plan de Couette : vθ = (Ω2 − Ω1)R1(y/d)

I Ω1 = Ω2 =⇒ repartition lineaire de vitesse :

vθ = Ω1r

Resultat : un mouvement de rotation en bloc.



Forces et moments, base (−→er ,−→eθ ,−→ex ) associee a (r , θ, x)

I Contraintes tangentielles : σθr = µ

(1

r

∂vr

∂θ+∂vθ∂r− vθ

r

)= −2C2µ

r2

I Force de frottement :−→F frottement = (2πR1 × 1)︸︷︷︸

surface du cylindrepar unite de longueur

× (−σθr )−→eθ︸︷︷︸contrainte de

frottement visqueux=2C2µ

R21

I Moment :−→M = R1

−→er ∧ −→F frottement = 4πµ(Ω2 − Ω1) R2

1 R22

R22 − R2

1

−→ex

I Si R2 = ∆R + R1, M ≈ 2πR21 `µ (Ω2 − Ω1)

R1

∆R


Ecoulement dans un tube annulaire Le viscometre

Le Viscometre de Couette

I ∆R R2, R = (R1 + R2)/2,

` = hauteur du liquide,

ωo = vitesse angulaire

I Contrainte de cisaillement : σ =M

2πR2`

I Taux de de cisaillement : γ =R

∆Rωo


Ecoulement a faible vitesse ou faible nombre de Reynolds

Ecoulement a faible vitesse ou faible nombre de Reynolds

Forces d’inertie

(forces d’acceleration)

)

(Forces de pression

ou forces de viscosite

Eq. de Navier-Stokes : ∇p + ρg−→ez = ∇(p + ρgz) = ∇p∗ = µ∇2~v

Eq. continuite : ∇ · ~v =∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0.

∇ · (∇p∗) = µ∇2(∇ · ~v) =⇒ ∇2p∗ = 0

ou ∇× (∇p∗) = ∇× (µ∇2−→v ) =⇒ ∇2−→ω = 0

(faible −→v et/ou faible Re) + (∇2p∗ = 0 ou ∇2−→ω = 0)

=⇒ Ecoulement rampant


Ecoulement a faible vitesse ou faible nombre de Reynolds Ecoulement dans les milieux poreux – Loi de Darcy

Milieu poreuxCharacteristiques

I Un milieux englobant des cavites/pores

communiquants

I Ecoulement a faible vitesse ; faible Re base sur la

taille des pores : Re 1

I Loi de Darcy : Vitesse moyenne :

Vx =K

µ

„−∂p∗

∂x

«I K coefficient intrinseque de permeabilite

I Calcaire : K = 2× 10−15–5× 10−14m2

I Sable : K = 12× 10−11–2× 10−12m2

I l’Unite Darcy = 1 (µm)2 = 1× 10−12m2



Vitesse de Darcy, vitesse moyenne Vx =∆Q

∆S

I Debit ∆Q, section ∆S

I Vitesse de Darcy : V ∗x =1

φ

∆Q

∆S

I Porosite φ =volume des pores (espace vide)

volume total



L’ecoulement de Stokes (ecoulement rampant) autour d’une sphere

FD

Fg

U

rϕ

x

y

z

θ

I Systeme spherique (r , φ, θ) associe au

vecteur vitesse (vr , vϕ, vθ)

I Ecoulement axisymetrique,

I composante de vitesse azimuthale nulle,

vθ = 0,

I Eq. de continuite se reduit a :

1

r2

∂(r2vr

)∂r

+1

r sinϕ

∂ (sinϕvϕ)

∂ϕ= 0,

I fonction de courant Ψ :

vr =1

r2 sinϕ

∂Ψ

∂ϕ, vϕ = − 1

r sinϕ

∂Ψ

∂r



Ecoulement rampant : ∇ · −→v = 0, ∇2−→ω =−→0

FD

Fg

U

rϕ

x

y

z

θ

I Ecoulement axisymetrique avec ∇ · −→v = 0 ⇒∃−→Ψ t.q−→v = ∇× (−→e θΨ),

I −→v = ∇× (−→e θΨ) =

1

r2 sinϕ

∣∣∣∣∣∣∣∣−→e r r−→e ϕ r sinϕ−→e θ

∂

∂r

∂

∂ϕ

∂

∂θ0 0 Ψ

∣∣∣∣∣∣∣∣I Alors : −→ω = ∇×−→v = ∇× (∇× (−→e θΨ)) =

∇(∇ · (−→e θΨ))−∇2(−→e θΨ)

I Compte tenu de l’axisymetrie Ψ ≡ Ψ(r , ϕ)

⇒∇ · (−→e θΨ) = 0

I −→ω = −∇2(−→e θΨ) ⇒∇4(−→e θΨ) = 0



I Sphere fixe du rayon R = D/2,

I ecoulement uniforme loin de la sphere a vitesse U constante

I en coordonnees spheriques (r , ϕ, θ), en r →∞ :

vr = U cosϕ, vϕ = −U sinϕ

I Solution de Ψ :

Ψ =1

2r2 sin2 ϕU

[1

2

(R

r

)3

− 3

2

(R

r

)+ 1

]I Solution de vitesse :

vr =1

2cosϕU

[(R

r

)3

− 3

(R

r

)+ 2

],

vϕ = −1

4sinϕU

[−(

R

r

)3

− 3

(R

r

)+ 4

]



Solution : contraintes

I pression : p = p∞ − 3

2µRU

cosϕ

r2

I contraintes :

σrϕ = −3

2

µU

Rsinϕ

(R

r

)4

,

σrr = −p + 3µU

Rcosϕ

[(R

r

)2

−(

R

r

)4],

σϕϕ = −p − 3

2

µU

Rcosϕ

[(R

r

)2

−(

R

r

)4]



Force de traınee =−→z FD

1. Force de traınee par unite de surface dans la direction de l’ecoulement :−→z δFD = σrr

−→er + σrϕ−→eϕ

2.

I δFD = σrr−→z · −→er + σrϕ

−→z · −→eϕI δFD = σrr cosϕ+ σrϕ sinϕ,

I δFD = −p cosϕ+ σrϕ sinϕ,

en r = R,

σrr−→er

σrϕ−→eϕ

ϕ

x

y

z

−→z · [σrr−→er + σrϕ

−→eϕ]

3. δFD =3

2

µU

Rcos2 ϕ+

3

2

µU

Rsin2 ϕ =

3Uµ

2R4. Force de traınee : FD = (surface de sphere)× δFD = 6πµRU

5.6. Coefficient de traınee : CD =FD/S12ρU

2=

24

Re, Re =

UD

ν

S = πR2 : section maıtre couple


Lubrification Hydrodynamique Probleme

Lubrification Hydrodynamique

I Probleme : frottement/glissement entre deux surfaces en mouvement relatifI Exemples : joints, roulement a billes, piston-cylindre ou essieu–logement, tete de

lecture/ecriture de disque dur, l’aquaplaning

plateau du disque dur : glissiere

parti flexible de bras : patin

tete de lecture

distance

de vol

A gauche : une tete de lecture, a droite : un arbre cylindrique tournant a l’interieur d’un

cylindre de diametre legerement plus grand, les deux cylindres ne sont pas coaxiaux.

Une reduction importante de frottement est realisee lorsque les deux surfaces en regard

sont presque paralleles et separees par un film mince de fluide visqueuxPourquoi ? : Augmentation importante de pression entre les deux surfaces en regard


Lubrification Hydrodynamique Exemple et justification

Exemple et justification

Grandeurs caracteristiques :

I U vitesse, U = 10 m/s

I H espacement, H = 0.2 mm

I L longueur, L = 10 cm

I ν viscosite cinematique,

ν = 4× 10−5 m2/s

Rapport de forces

forces d’origine inertielle

forces d’origine visqueuse

=u∂u/∂x

ν∂2u/∂y2

=U2/L

νU/H2

=

(UL

ν

)·(

H

L

)2

= Re ε2

= 0.25× 105 × (2× 10−3)2

= 0.1 1

ou ε = H/L = 2× 10−3


Lubrification Hydrodynamique Modelisation

Equations et Conditions aux limites

dp

dx= µ

∂2u

∂y2.

Conditions aux limites

x = 0, p = p1,

x = `, p = p2,

y = 0, u = U,

y = h, u = 0

Debit volumique par unite de largeur Q =

Z h

0

udy



Solution

u(x , y) = U“

1− y

h

”+

„−dp

dx

«h2

2µ

y

h

“1− y

h

”.

Le debit par unite de largeur : Q =

Z h

0

udy =1

2hU +

1

12µ

„−dp

dx

«h3

En pratique, p1 = p2 =⇒ dp

dx= 0 si les 2 surface sont paralleles

En l’absence de fuit : Q = Constante

dp

dx= −12µ

„Q

h3− U

2h2

«



Solution

dp

dx= −12µ

(Q

h3− U

2h2

)Or :

dp

dx=

dp

dh

dh

dx. D’ou :

dp

dh= −12µ

„Q

h3− U

2h2

«/(

dh

dx)

Mais :dh

dx= Constante = − tan θ ≈ −θ = −(h1 − h2)/`

Integration par rapport a h :Z p(x)

p1

dp =12µ

θ

Z h(x)

h1

„Q

h3− U

2h2

«dh

p(x)− p1 =12µ

θ

(»− Q

2h2

–h(x)

h1

− 1

2U

»−1

h

–h(x)

h1

)



Solution

p(x) = p1 +6µ

θ

»Q

„1

h21

− 1

h2(x)

«− U

„1

h1− 1

h(x)

«–Avec p(`) = p1, on trouve

Q =h1h2

h1 + h2U

Finalement : p(x) = p1 +6µU

θ

(h − h2)(h1 − h)

h2(h1 + h2)


Lubrification Hydrodynamique Distribution de pression

Solution : distribution de pression

0

500

1000

1500

2000

2500

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

(p(x

)−

p 1)

N/m

2

x m

Distribution de (p(x)− p(x = 0)) pour U = 10 m/s, µ = 10−4 kg/m.s, ` = 10 cm,

h1 = 0.2 mm, h2 = 0.1 mm.


Lubrification Hydrodynamique Forces de pression

Force de pression s’exercant sur le patin

Force de pression sur le patin par unite de largeur :

F =

Z x=`

x=0

pdx =6µU

θ2

„ln

h1

h2− 2

h1 − h2

h1 + h2

«Force de portance du patin : F cos θ ≈ F car θ 1

Pour les donnees utilisees :

F ≈ 159 N


Experience de Reynolds

Experience de Reynolds 1883

Observations



Resume, Re = UD/ν



Visualisations

I Ecoulement laminaire

I Ecoulement turbulent


Classification des ecoulements Ecoulement laminaire

Ecoulement laminaire

On dit qu’un ecoulement d’un fluide reel est laminaire s’il se

deplace en formant des lames ou couches sans se melangeant

entre elles.


Classification des ecoulements Ecoulement turbulent

Ecoulement turbulent

On dit qu’un ecoulement d’un fluide reel est turbulent s’il est

desordonne et se deplace en formant des bouffees ou tour-

billons de tailles differentes accompagnes d’un melange ou

brassage intensif des particules fluides.


Decomposition de l’ecoulement turbulent


I La vitesse en tout point est caracterisee par des fluctuations aleatoires de haute

frequence, (u′, v ′,w ′) superposees a des vitesses moyennes temporelles, (u, v ,w).

I Decomposition :

~v =

0B@ u

v

w

1CA =

0B@ u + u′

v + v ′

w + w ′

1CA avec

0B@ u′

v ′

w ′

1CA =

0B@ 0

0

0

1CA




I Les ecoulements turbulents =⇒ structures coherentes.

Exemples : tourbillons et filaments.

I La diffusion de la quantite de mouvement, de l’energie cinetique, de la masse et de

la chaleur devient importante dans un ecoulement turbulent.

I Le nombre de Reynolds, Re = UL/ν est plus grand que celui associe a l’ecoulement

laminaire correspondant.

I Le temps de diffusion > le temps caracteristique par convection :

temps caracteristique de diffusion

temps caracteristique de convection=

L2/ν

L/U=

UL

ν= Re.


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