« 90% de nos trains arrivent à l’heure! »

énoncé exercice :

• « Le retard sur un trajet train de 6h15 Marseille-Paris est en moyenne: 10mn avec écart type 3mn;

• Encadrement du retard? »

Faire des mathématiques, c’est raisonner

Comment intégrer les probas dans cette perspective?

Soit Ri la variable aléatoire:

• Retard (en mn) sur train de 6h15 Mrs-Paris le jour i

• Loi du retard Ri?

Un échantillon (Xi)i=1…n est:

• un n-uple de variables aléatoires, indépendantes, de même loi.

• (xi)i=1…n en est une réalisation

Moyenne d'échantillon :

X = (∑ Xi )/n : E(Xi) = m donc

E(X) = m;

Indépendance des Xi :Var X = (Var Xi)/n

Le retard est une erreur:

• Ri = Ti-T, où Ti = temps de trajet jour i

• T: temps de trajet annoncé

Si Ri suit une loi Gauss N(10; 3):

Alors:

P[10-1.96σ < Ri < 10+1.96σ] = 0.95

Alors, sur un trajet:

Le retard est, au seuil 95%, compris entre:

• 4mn et 16mn

Si on ne connaît pas la loi de Ri?

Hypothèses raisonnables:

Les retards Ri sont des V.A

• Indépendantes

• De même loi, d’espérance 10, d’écart type 3

Les Ri ne sont pas identiques

• Mais sont de même loi…inconnue

• TCL: La loi de la moyenne d’échantillon est une loi normale, pour n assez grand.

Intervalle de fluctuation de la moyenne:

• Au seuil de confiance 95%:

• [10-1.96(σ/√n); 10+1.96(σ/√n)]

Sur 36 trajets:

• le retard MOYEN est, au seuil 95%, compris entre

• 9mn et 11mn

• …quelle que soit la loi de chaque retard Ri!

Sur 3600 trajets:

• le retard MOYEN est, au seuil 95%, compris entre

• 9mn54s et 10mn6s

D’où l’estimation

• De la moyenne: 10 mn

• Puis, de l’écart-type…

Et c’est ainsi que l’on peut justifier les hypothèses…

• Aller retour réalité-modèle-réalité:

Observation

• échantillon de variables aléatoires (Ri)

• dont (ri)i=1…n en est une réalisation

• donne moyenne (et écart type) observés.

De l'observation à la modélisation:

• Construction d’un intervalle de confiance aussi fin que l’on veut à partir d’un échantillon de taille assez grande.

De la modélisation à l'observation

• Construction d'intervalles de fluctuation

La loi normale intervient à deux niveaux:

• - Pour l’ approximation de la loi de la moyenne d’ un SEUL échantillon (Xi) de taille n assez grande;

Pour un échantillonnage:

• Si on fait 1000 échantillons de 36 relevés de « retard… », alors 95% des échantillons donneront un retard moyen compris entre 9 et 11mn…

Lois des erreurs: (n grand)

• Les moyennes des erreurs suivent des lois normales, si n assez grand

• La multiplication des mesures « normalise » les erreurs...

Autres pistes:

Une usine fabrique des pièces dont le diamètre est une variable

aléatoire suit une loi normale; l'erreur Ei sur la pièce i est une

variable aléatoire d’espérance nulle (compensation)

Pour estimer distance Terre Soleil:

400 mesures donne une précision 20 fois meilleure qu'une seule

mesure

Gauss :

• Les erreurs de mesures suivent des lois normales :

• Echantillon gaussien