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6 Lignes d’influence


La déformée est à la base du tracé des lignes d’influenceDe manière identique aux structures isostatiques, les lignes d’influence des structures hyperstatiquesse construisent en pratiquant une coupure et en imprimant un déplacement unitaire, associés àl’effort considéré. Dans le cas de la ligne d’influence d’une réaction d’appui, son tracé est basé sur ladéformée de la structure due à un tassement de cet appui. Pour les cadres non tenus latéralement, ilfaut considérer le déplacement des traverses et les lignes d’influence sont discontinues aux noeuds.

Dessin P. Lestuzzi

Introduction 159

6.1 Introduction

Une ligne d’influence est la représentation graphique de l’évolution de la valeur d’un effort (momentde flexion, effort tranchant ou réaction d’appui, par exemple), à un emplacement donné, due à une forceunitaire mobile parcourant la structure. Les lignes d’influence constituent un outil particulièrement effi-cace pour l’analyse de l’effet des actions mobiles qui peuvent avoir différents points d’application sur lastructure. Le cas des ponts est l’exemple typique de cette situation dans laquelle les charges de traficroutier (ou ferroviaire) se déplacent sur la structure. Auparavant, les lignes d’influence étaient abon-damment employées pour le dimensionnement des structures. Leur utilisation a diminué en raison durecours de plus en plus systématique au calcul numérique par ordinateur. Cependant, leur importancereste entière, au moins du point de vue qualitatif, car les lignes d’influence permettent par exempled’identifier d’un seul coup d’oeil les configurations de charge les plus défavorables.

Les lignes d’influence pour les structures isostatiques ont été examinées dans un volume précédentdu traité de Génie Civil [6.1]. Après un bref rappel du cas isostatique, ce chapitre explique commentdéterminer les lignes d’influence pour les structures hyperstatiques. Rappelons que malgré des repré-sentations graphiques semblables, il faut bien distinguer les diagrammes des efforts intérieurs des lignesd’influence correspondantes. Par exemple, pour le moment de flexion, le diagramme habituel desmoments représente les moments de flexion à chaque endroit de la structure pour un cas de charge fixedonné. En revanche, la ligne d’influence représente le moment de flexion à un emplacement donné pourplusieurs cas de charge, i.e. une charge se déplaçant sur la structure.

6.2 Structures isostatiques

Dans le cas des structures isostatiques, la détermination des lignes d’influence est basée sur le prin-cipe des travaux virtuels, plus précisément en considérant des déplacements virtuels pour un soliderigide. Pour rappel, si un solide est en équilibre, le travail virtuel est nul pour tout déplacement rigide[6.1]. Le principe des travaux virtuels constitue une alternative ingénieuse à l’expression des conditionsd’équilibre pour déterminer les réactions d’appuis (voir figure 6.1 a), mais plus encore, moyennant unelégère modification de la structure (coupure), le recours au principe des travaux virtuels mène directe-ment à la procédure de détermination des lignes d’influence (voir figure 6.1 b).

6.2.1 Détermination des réactions d’appui par les travaux virtuels

Dans le cas de la poutre simple de la figure 6.1 (a), la réaction d’appui R peut être déterminée enconsidérant que le travail virtuel d’un déplacement δv doit être nul, selon l’équation (6.1):

Figure 6.1: Détermination de la réaction d’appui R par les travaux virtuels (a). La déformée représente la ligne d’influence de la réaction d’appui. Ligne d’influence du moment de flexion au milieu de la première travée (b).

P

M

a

L

P

R

δv

+

1

η

a) b)


(6.1)

Etant donné que cette relation est valable quelle que soit la position a de la charge concentrée P, la défor-mée de la figure 6.1 (a) représente directement la ligne d’influence de la réaction d’appui.

6.2.2 Lignes d’influence

Le principe de la figure 6.1 (a) se généralise et les lignes d’influence s’obtiennent en pratiquant àl’emplacement désigné une coupure correspondant à l’effort considéré et en imprimant ensuite à lastructure, devenue un mécanisme, un déplacement unitaire associé à l’effort considéré [6.1]. Parexemple sur la figure 6.1 (b), la ligne d’influence du moment de flexion à mi-portée de la première tra-vée s’obtient en introduisant une rotule à cet emplacement et en y appliquant une rotation relative uni-taire. En considérant le principe des travaux virtuels, on obtient la relation de l’équation (6.2), valablequelle que soit la position de la charge P:

(6.2)

Pour une charge concentrée unitaire (P=1), la déformée (η) représente donc l’intensité du moment deflexion au milieu de la première travée pour une charge unitaire placée au point considéré; c’est-à-direla ligne d’influence du moment de flexion. De manière analogue, il est possible de tracer les lignesd’influence des réactions d’appui, de l’effort tranchant, etc. [6.1]. Dans le cas des structures isosta-tiques, les lignes d’influence sont constituées de segments de droite.

Dans le cas général de la présence simultanée de plusieurs charges agissant sur la structure, leslignes d’influence permettent de déterminer l’effort total par superposition. Par exemple selon les défi-nitions de la figure 6.2 (a), le moment de flexion dans une section donnée dû à des charges concentréesPi et des charges q réparties sur une longueur li se détermine selon l’équation (6.3) à l’aide de la ligned’influence du moment de flexion η (figure 6.2 b):

(6.3)

Figure 6.2: En présence de plusieurs charges, il faut utiliser la superposition.

R δv⋅ PaL--- δv⋅ ⋅– 0 R P

aL---⋅=⇒=

M 1⋅ P η⋅– 0 M⇒ η (si P=1)= =

a)

b)

L L L

s

s

ηm,s+ +

Pp

1

M Pi ηi⋅i∑ q η⋅ xd

l i

∫∑+=

Détermination par la procédure cinématique 161

6.3 Détermination par la procédure cinématique

Pour les structures hyperstatiques, le mode opératoire de la détermination des lignes d’influence estrigoureusement identique à celui des structures isostatiques. Cependant, après la coupure associée àl’effort considéré, la structure n’est pas un mécanisme et la déformation ne s’effectue pas en bloc. Parconséquent, d’une part les lignes d’influence ne sont pas formées de segments de droite et, d’autre part,on ne peut plus faire simplement appel au principe des travaux virtuels pour justifier la procédure. Tou-tefois en considérant le théorème de Maxwell qui est un cas particulier du théorème de réciprocité deBetti-Rayleigh [6.2], on montre facilement que la procédure correspond en fait à une application directede ce théorème.

6.3.1 Poutres continues

Considérons la poutre continue sur quatre appuis de la figure 6.3 (a) et la ligne d’influence dumoment de flexion au milieu de la travée intermédiaire. Manifestement, ce système est une fois hypers-tatique. Conformément au mode opératoire, pour tracer la ligne d’influence du moment de flexion il fautintroduire une rotule au milieu de la travée intermédiaire et effectuer une rotation relative unitaire à cetemplacement. La déformée correspondante est esquissée à la figure 6.3 (b). Elle représente la ligne

d’influence ηm,s du moment de flexion. Conformément au théorème de Maxwell [6.2], l’ordonnée (η)de cette courbe correspond à l’intensité du moment de flexion au milieu de la travée intermédiaire. Eneffet de manière similaire à l’équation (6.2), pour une charge concentrée P à un emplacement quel-conque sur la poutre on obtient:

(6.4)

La ligne d’influence du moment de flexion est donc la déformée de la figure 6.3 (b). Cette déformée estsimple à déterminer graphiquement d’un point de vue qualitatif. Conformément à l’équation (6.4), laligne d’influence a même un intérêt quantitatif si elle donnée avec exactitude. Cependant, la détermina-tion quantitative est moins directe. Cette procédure de détermination, dite cinématique, est analogue à laméthode des déplacements et elle s’applique à tous les types d’efforts. Par exemple, la ligne d’influencede la réaction d’appui RB est dessinée à la figure 6.4 (b). On obtient cette courbe en supprimant le pre-mier appui interne (appui B) et en y effectuant un déplacement vertical unitaire.

Figure 6.3: Poutre continue sur quatre appuis (a). Ligne d’influence du moment de flexion au centre (b).

a)

b)

L L L

B

s

C DA s

ηm,s

+

P

ηm,s

1

M 1⋅ P η⋅ M⇒ η (si P=1)= =


Concernant les signes des lignes d’influence, de manière similaire aux diagrammes des efforts inté-rieurs, les signes sont attribués à la fin de la procédure en respectant les conventions habituelles (parexemple positif vers le bas pour les moments de flexion reportés du côté de la fibre tendue) et en tenantcompte si nécessaire du sens positif choisi pour la charge mobile P.

6.3.2 Cadres

Il n’y a pas de modification significative de la procédure de détermination des lignes d’influenceavec un cadre plan. Précisons toutefois que les déformées des poteaux font partie intégrante des lignesd’influence. Cependant, il faut distinguer entre cadres tenus et cadres non tenus latéralement.

Cadres tenus latéralement

A titre d’exemple, la ligne d’influence du moment de flexion en travée pour un cadre simple tenulatéralement est représentée à la figure 6.5 (b). Pour obtenir cette courbe, on applique la procédure,c’est-à-dire on introduit une rotule à l’emplacement de la section considérée et on y effectue une rota-tion relative unitaire. Remarquons que la ligne d’influence dans le poteau représente l’effet de chargeshorizontales.

Les noeuds des cadres constituent toutefois des emplacements particuliers, car la coupure nécessaireau tracé de la ligne d’influence peut avoir différentes positions. En fait, il faut décider sur quel embran-chement du noeud elle doit agir. Par conséquent, pour les noeuds il faut soigneusement appliquer la pro-cédure et placer la coupure à l’endroit adéquat. Ainsi, pour la ligne d’influence du moment de flexion àl’embranchement interne du noeud gauche du cadre tenu latéralement de la figure 6.6 (a), il faut intro-

Figure 6.4: Ligne d’influence de la réaction d’appui RB.

Figure 6.5: Cadre plan tenu latéralement (a) et ligne d’influence du moment de flexion en travée (b).

a)

b)

L L L

B C DA

+ 1ηRB

P

1

s

s

P

+

ηm,s

a) b)

Détermination par la procédure cinématique 163

duire une rotule à cet embranchement. La ligne d’influence est tracée à la figure 6.6 (b). Conformémentà la procédure, elle présente une cassure d’un angle de rotation relative unitaire sur le bord interne dunoeud. L’autre partie du noeud reste liée rigidement et tourne d’un bloc. La ligne d’influence dans lespoteaux représente l’effet de charges horizontales et le signe à y attribuer dépend du sens positif choisipour les charges mobiles horizontales.

Cadres non tenus latéralement

Dans le cas des cadres non tenus latéralement, la procédure de détermination des lignes d’influenceest identique mais, comme il faut tenir compte du déplacement latéral dans l’établissement de la défor-mée, des discontinuités de la courbe apparaissent. Par exemple, considérons la ligne d’influence dumoment de flexion à l’embranchement supérieur du noeud gauche du cadre non tenu latéralement de lafigure 6.7 (a). Cette ligne d’influence est esquissée à la figure 6.7 (b). Elle semble incongrue à premièrevue, car elle présente des discontinuités aux noeuds. Elle a pourtant été établie à partir de la procédurecinématique. En fait, les discontinuités sont nécessaires afin de respecter la signification des lignesd’influence. En effet, à l’angle du cadre l’influence d’une charge P est bien différente si celle-ci agit surle poteau ou sur la traverse. Une charge mobile P (horizontale) agissant sur le sommet du poteau induitun déplacement latéral et donc un moment de flexion interne dans le noeud alors qu’une charge mobileP (verticale) agissant à l’extrémité de la traverse n’implique qu’un effort normal dans le poteau et aucunmoment. Par conséquent, il faut effectivement ramener certaines parties de la vraie déformée sur lastructure non déformée ce qui implique de devoir translater celle de la traverse en particulier. A noterqu’il n’y aurait pas besoin de cette translation si le cadre était tenu latéralement. La déformée (et donc la

Figure 6.6: Cadre plan tenu latéralement (a) et ligne d’influence du moment de flexion à l’embranchement interne du noeud (b).

Figure 6.7: Cadre plan non tenu latéralement (a) et ligne d’influence du moment de flexion à l’embranchement supérieur du noeud gauche (b).

1+

Ps

s

ηm,s

PP

+

a) b)

L

2h/3

h

Ps

s

ηm,s

+PP

a) b)


ligne d’influence) correspondante est esquissée à la figure 6.8 (a). Cette déformée est utile car elle per-met de deviner dans quelle direction la traverse du cadre est entraînée par les efforts tranchants despoteaux en l’absence de l’appui latéral. La déformée du cadre non tenu latéralement est tracée à la figure6.8 (b). On y retrouve la ligne d’influence dans les poteaux et on imagine aisément la translation hori-zontale de la partie sur la traverse, nécessaire au respect de la signification de la ligne d’influence.

6.4 Détermination à l’aide de la méthode des forces

La méthode des forces procure une procédure alternative basée sur le principe de superposition pourla détermination des lignes d’influence. Conformément au principe de superposition, le moment deflexion Ms,tot dans une section quelconque s s’obtient par la superposition du moment de flexion dansle système fondamental Ms,0 et de la somme des moments de flexion dus aux inconnues (Ms,i·Xi), selonl’équation (6.5):

(6.5)

De manière similaire, la ligne d’influence du moment de flexion ηm,tot peut être déterminée par lasuperposition de la ligne d’influence du moment dans le système fondamental ηm,0 et de la somme deslignes d’influence du moment dues aux inconnues (Ms,i·ηXi), selon l’équation (6.6):

(6.6)

Il faut bien noter que dans l’équation (6.6), la ligne d’influence ηm,0 concerne le système fondamental,mais que les lignes d’influence des inconnues ηXi doivent être déterminées dans le système réel.

6.4.1 Poutre continue sur quatre appuis

Dans le but d’expliquer la détermination des lignes d’influence à l’aide de la méthode des forces, lapoutre continue de la figure 6.3 est reprise ici. La ligne d’influence du moment de flexion est traitéed’abord, celle de l’effort tranchant est examinée ensuite.

Ligne d’influence du moment de flexion

Les différentes étapes de la détermination de la ligne d’influence du moment de flexion à l’aide de laméthode des forces sont illustrées à la figure 6.9. En considérant comme conditions de compatibilitécinématique la continuité de la tangente à la déformée sur les appuis intermédiaires, le système fonda-mental est la suite de trois poutres simples de la figure 6.9 (b). Les inconnues X1 et X2 correspondentaux moments de flexion internes sur les appuis. La ligne d’influence du moment ηm,0 est constituée de

Figure 6.8: Déformées du cadre de la figure 6.7, tenu latéralement (a) et non tenu latéralement (b).

11

Ms tot, Ms 0, Ms i, X i⋅∑+=

ηm tot, ηm 0, Ms i, ηX i⋅∑+=

Détermination à l’aide de la méthode des forces 165

deux segments de droite (figure 6.9 c), car elle est déterminée dans le système fondamental qui est isos-tatique. Les lignes d’influence des inconnues (ηX1 et ηX2) doivent être déterminées dans le systèmeréel. Pour les obtenir, il faut considérer les déformées associées à l’application d’une valeur unitaire del’inconnue. Il s’agit en fait de la procédure cinématique décrite ci-dessus (voir 6.3.1) pour la détermina-tion de la ligne d’influence. Par exemple, la ligne d’influence (ηX1) de l’inconnue X1 correspond à ladéformée de la figure 6.9 (d) qui est obtenue par l’introduction d’une rotule sur l’appui B (inconnue X1)et y appliquant une rotation relative unitaire. Pour finir, il faut encore considérer les coefficientsd’influence (Ms,1 et Ms,2) pour tenir compte de l’influence de l’inconnue à l’emplacement s considéré.Les diagrammes des coefficients d’influence sont déterminés dans le système fondamental. Parexemple, le diagramme du coefficient d’influence (Ms,1) associé à l’inconnue X1 correspond au dia-gramme de la figure 6.9 (e) qui est en fait le diagramme des moments lié à l’application d’une valeurunitaire de l’inconnue X1 dans le système fondamental. Conformément à l’équation (6.6), la ligned’influence (ηm,tot) est obtenue par la superposition des différentes parties (figure 6.9 h).

Figure 6.9: Détermination par superposition de la ligne d’influence du moment de flexion au milieu de la poutre.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

η0

Ms,1

Ms,2

+ L

4

1

1

X1 X2

B

s

C DA s

ηX1

ηX21

ηm,tot

+1

+

+

1

1/2

1/2

1


Ligne d’influence de l’effort tranchant

Les différentes étapes de la détermination de la ligne d’influence de l’effort tranchant à l’aide de laméthode des forces sont illustrées à la figure 6.10. La ligne d’influence de l’effort tranchant ηv,0 estconstituée de deux segments disjoints de droite (figure 6.10 a). Elle est déterminée dans le système fon-damental isostatique et on l’obtient par l’introduction d’une coupure à l’emplacement de la sectionconsidérée s et y appliquant un déplacement relatif unitaire. Les lignes d’influence des inconnues (ηX1et ηX2) ont déjà été établies auparavant pour la ligne d’influence du moment de flexion. Elles ne sontpas modifiées ici, mais rappelons qu’elles doivent être déterminées dans le système réel. Les dia-grammes des coefficients d’influence (Vs,1 et Vs,2), pour tenir compte de l’influence de l’inconnue surl’effort tranchant à l’emplacement s considéré, sont déterminés dans le système fondamental. Le dia-gramme du coefficient d’influence (Vs,1) associé à l’inconnue X1, par exemple, correspond au dia-gramme de la figure 6.10 (c) et est en fait le diagramme de l’effort tranchant lié à l’application d’unevaleur unitaire de l’inconnue X1 dans le système fondamental. De manière analogue à l’équation (6.6),la ligne d’influence (ηv,tot) est obtenue par la superposition des différentes parties (figure 6.10 f).

Figure 6.10: Détermination par superposition de la ligne d’influence de l’effort tranchant au milieu de la poutre.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

+

+

++

ηv0

Vs,1

Vs,2

ηv,tot

+

1L

1L

1L

ηX1+1

ηX21+

1

1

1

Exemples 167

6.5 Exemples

Des exemples de détermination des lignes d’influence sont regroupés dans ce sous-chapitre. En uti-lisant la procédure cinématique, un premier exemple avec une poutre continue élastiquement appuyéepermet de montrer qualitativement l’avantage de l’utilisation des lignes d’influence pour la mise en évi-dence de l’effet de la rigidité d’un appui sur la variation des efforts considérés. Un deuxième exempleavec une poutre encastrée-appuyée détaille la détermination quantitative des lignes d’influence à l’aidede la méthode des forces.

6.5.1 Poutre continue élastiquement appuyée

Dans cet exemple, les lignes d’influence de la poutre continue sur trois appuis équidistants de lafigure 6.11 (a) sont déterminées qualitativement avec la procédure cinématique. Cette poutre élastique-ment appuyée représente par exemple la modélisation d’un pont haubané dans laquelle le ressort del’appui intermédiaire remplace l’effet d’un hauban. Les deux bornes de la ligne d’influence du momentde flexion en travée sont esquissées à la figure 6.11 (b). Conformément à la procédure cinématique, ilfaut introduire une rotule dans la section considérée (section s-s) et esquisser la déformée correspon-dante issue de l’application d’une rotation relative unitaire. Pour un ressort infiniment rigide, l’appuiintermédiaire est un appui à rouleau et la déformée remonte naturellement dans la travée opposée à larotule. L’appui disparaît pour un ressort infiniment souple, le système devient isostatique et la ligned’influence est formée des deux segments de droite inférieurs. Le graphique de la figure 6.11 (b) résumela plage de variation du moment de flexion en travée, en particulier il montre que ce moment ne peutprendre des valeurs négatives qu’avec une rigidité relativement importante du ressort.

Les deux bornes de la ligne d’influence du moment de flexion sur l’appui intermédiaire sont dessi-nées à la figure 6.12 (b). Dans la procédure cinématique, la rotule est introduite sur l’appui intermé-diaire élastique. La déformée correspond aux courbes supérieures pour un ressort infiniment rigide et

Figure 6.11: Poutre continue sur trois appuis équidistants, appuyée élastiquement sur l’appui intermédiaire (a) et bornes de la ligne d’influence du moment de flexion en travée en fonction de la rigidité K du ressort (b).

K

P

C

B

A

+

ηm,s

1

s

s

L/2 L/2 L

1

K = ∞

K = 0

+

a)

b)


aux deux segments de droite inférieurs pour un ressort infiniment souple. Pour des raisons évidentes, leslignes d’influence sont symétriques par rapport à l’axe vertical passant par l’appui intermédiaire. Cegraphique synthétise d’un seul coup d’oeil la large plage de variation du moment de flexion sur appui enfonction de la rigidité K du ressort.

Les deux bornes de la ligne d’influence de l’effort tranchant en travée sont esquissées à la figure6.13 (b). Conformément à la procédure cinématique, il faut introduire une coupure dans la sectionconsidérée (section s-s) et dessiner la déformée due à un déplacement relatif unitaire. La déformée cor-respond aux deux segments de droite pour un ressort infiniment souple et aux deux autres courbes pour

Figure 6.12: Poutre continue sur trois appuis, appuyée élastiquement sur l’appui intermédiaire (a) et bornes de la ligne d’influence du moment de flexion sur l’appui intermédiaire en fonction de la rigidité K du ressort (b).

Figure 6.13: Poutre continue sur trois appuis, appuyée élastiquement sur l’appui intermédiaire (a) et bornes de la ligne d’influence de l’effort tranchant en travée en fonction de la rigidité K du ressort (b).

K

P

C

B

A

+

ηm,s

L L

K = ∞

K = 0

1

1

b)

a)

K

P

C

B

A

+

ηv,s1

s

s

L/2 L/2 L

1

K = ∞

K = 0

+

a)

b)

Exemples 169

un ressort infiniment rigide. Ce graphique montre clairement que les courbes sont relativement prochesce qui signifie que la grandeur de l’effort tranchant en travée n’est pas extrêmement sensible à la rigiditéK du ressort

Les deux bornes de la ligne d’influence de la réaction d’appui RA sont tracées à la figure 6.13 (b).Conformément à la procédure cinématique, il faut supprimer l’appui A et esquisser la déformée due àun déplacement vertical appliqué en A. La déformée correspond à la courbe supérieure pour un ressortinfiniment rigide et au segment de droite inférieur pour un ressort infiniment souple. Sur la base de cegraphique, on peut aisément conclure que la réaction d’appui est pratiquement toujours positive saufpour des valeurs relativement grandes de la rigidité K du ressort.

6.5.2 Poutre encastrée-appuyée

Cet exemple considère la détermination quantitative de la ligne d’influence du moment de flexion aumilieu de la travée de la poutre encastrée-appuyée de la figure 6.15 (a). A l’évidence, ce système est unefois hyperstatique. En considérant comme condition de compatibilité cinématique l’horizontalité de latangente à la déformée à l’encastrement, le système fondamental est la poutre simple de la figure 6.15(b) et l’inconnue X1 correspond au moment d’encastrement. La ligne d’influence du moment ηm,0 estdéterminée dans le système fondamental qui est isostatique et est constituée de deux segments de droite(voir figure 6.16 a). La ligne d’influence (ηX1) de l’inconnue X1 correspond à la déformée de la figure6.15 (c) qui est obtenue par l’introduction d’une rotule à l’encastrement (inconnue X1) et y appliquantune rotation unitaire. Comme on l’a vu pour les cas fondamentaux de la méthode des déplacements (c.f.figure 3.17), le moment correspondant à l’encastrement doit prendre la valeur de 3EI/L et un angle derotation de exactement 1/2 apparaît sur l’appui. Le diagramme du coefficient d’influence (Ms,1) associéà l’inconnue X1 correspond au diagramme de la figure 6.15 (d) qui est en fait le diagramme desmoments lié à l’application d’une valeur unitaire de l’inconnue X1 dans le système fondamental. A par-tir de ce diagramme, il est élémentaire de déterminer la valeur de 1/2 que prend le coefficient

Figure 6.14: Poutre continue sur trois appuis, appuyée élastiquement sur l’appui intermédiaire (a) et bornes de la ligne d’influence de la réaction d’appui RA en fonction de la rigidité K du ressort (b).

K

P

C

B

A

+

ηRA

L L

K = ∞

K = 0

+

a)

b)


d’influence Ms,1 au milieu de la travée. Conformément à l’équation (6.6), la ligne d’influence (ηm,tot)est obtenue par la superposition des différentes parties (voir figure 6.16 d).

Figure 6.15: Détermination par superposition de la ligne d’influence du moment de flexion au milieu de la travée.

Figure 6.16: Détermination quantitative de la ligne d’influence du moment de flexion au milieu de la travée.

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

Résumé et synthèse 171

La figure 6.16 contient les aspects quantitatifs de la détermination de la ligne d’influence du momentde flexion au milieu de la travée. L’établissement de la ligne d’influence du moment ηm,0 ne pose pasde problèmes particuliers, car il s’agit de conditions géométriques élémentaires (déplacements de seg-ments rigides). La ligne d’influence (ηX1) de l’inconnue X1 correspond à la déformée d’une poutresimple soumise à un moment unitaire à son extrémité à laquelle il faut ajouter la rotation de l’extrémitéopposée en porte-à-faux (angle de rotation de 1/2). L’équation de la déformée d’une poutre simple sou-mise à un moment unitaire à son extrémité est un polynôme du troisième degré dont les coefficients sontdonnés en annexe. La valeur du coefficient d’influence (Ms,1) associé à l’inconnue X1 est de 1/2. Fina-lement, la superposition des différentes courbes permet d’obtenir la ligne d’influence du moment deflexion (ηm,tot, figure 6.16 d). Rappelons que cette courbe quantifie l’effet sur le moment de flexion àmi-travée d’une charge mobile unitaire sur la poutre. En particulier, on peut y lire que le moment deflexion dû à une charge concentrée à mi-travée vaut 0.15·PL2.

6.6 Résumé et synthèse

Les lignes d’influence constituent un outil particulièrement efficace pour l’analyse de l’effet desactions mobiles sur la structure. Elles représentent graphiquement l’évolution de la valeur d’un effort(moment de flexion, effort tranchant ou réaction d’appui, par exemple), à un emplacement donné, due àune force unitaire mobile parcourant la structure. Il faut bien les distinguer des diagrammes des effortsintérieurs. Par exemple, le diagramme habituel des moments représente les moments de flexion àchaque endroit de la structure pour un cas de charge fixe donné. En revanche, la ligne d’influence dumoment représente le moment de flexion à un emplacement donné pour une charge se déplaçant sur lastructure.

Les lignes d’influence se construisent en pratiquant à l’emplacement désigné une coupure corres-pondant à l’effort considéré et en imprimant ensuite à la structure un déplacement unitaire associé àl’effort considéré. C’est la procédure cinématique et la ligne d’influence correspond à la déforméeobtenue. Dans le cas des structures isostatiques, on aboutit à un mécanisme et la ligne d’influence estformée de segments de droite. Avec les structures hyperstatiques, la déformée n’est pas aussi élémen-taire à déterminer, mais le tracé qualitatif de la ligne d’influence ne pose pas de problème particulier.

La méthode des forces procure une alternative pour déterminer les lignes d’influence par la super-position de la ligne d’influence dans le système fondamental et de la somme des lignes d’influence duesaux inconnues. Dans cette méthode alternative, il faut être attentif au fait que les lignes d’influence desinconnues doivent être déterminées dans le système réel et non dans le système fondamental.

Avec les cadres plans, la procédure de détermination des lignes d’influence est directement appli-cable. Les noeuds constituent toutefois des points délicats, car il faut soigneusement choisir sur quelembranchement doit agir la coupure. Par ailleurs, il faut distinguer les cadres tenus et les cadres nontenus latéralement. Pour les cadres non tenus, il faut considérer le déplacement latéral des traverses etles lignes d’influence sont discontinues aux noeuds.


6.7 Références

[6.1] Frey F.: Analyse des structures et milieux continus. Statique appliquée. Traité de Génie Civil de l’EPFL,volume 1. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes (PPUR). Lausanne, 2005.

[6.2] Frey F.: Analyse des structures et milieux continus. Mécanique des structures. Traité de Génie Civil del’EPFL, volume 2. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes (PPUR). Lausanne, 2000.

[6.3] Frey F.: Analyse des structures et milieux continus. Mécanique des solides. Traité de Génie Civil del’EPFL, volume 3. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes (PPUR). Lausanne, 1998.

[6.4] Ghali A., Neville A. M.: Structural Analysis. A unified classical and matrix approach. Chapman and HallLtd. ISBN 0-412-14990-7. London, 1978.

6.8 Exercices

1. Esquisser qualitativement la ligne d’influence de la réaction d’appui RA de la poutre continue surquatre appuis équidistants de la figure 6.3 (a).

2. Esquisser qualitativement la ligne d’influence de l’effort tranchant au milieu de la première travée dela poutre continue sur quatre appuis équidistants de la figure 6.3 (a).

3. Esquisser qualitativement la ligne d’influence du moment de flexion sur l’appui C de la poutre conti-nue sur quatre appuis équidistants de la figure 6.3 (a).

4. Esquisser qualitativement la ligne d’influence de l’effort tranchant au milieu de la travée centrale ducadre tenu latéralement de la figure 6.6 (a).

5. Esquisser qualitativement la ligne d’influence de la réaction d’appui verticale de l’encastrement àdroite du cadre non tenu latéralement de la figure 6.7 (a).

6. Déterminer quantitativement la ligne d’influence de la réaction d’appui de l’appui à rouleau de lapoutre encastrée-appuyée de la figure 6.15 (a).

6 lignes influence - imac - accueil | epfl · une ligne d’influence est la représentation...

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