Hydrologie : cycle de l'eau et modélisation pluie-débit

Eric Gaume

2 novembre 2000

Table des matières

1 Introduction 11.1 La notion de bassin versant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Les di�érents termes du bilan hydrologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Les ressources souterraines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 En guise de conclusion partielle : la notion de régime d'écoulement . . . . . 5

2 L'Eau, le sol, la plante : éléments du bilan hydrique à l'échelle de laparcelle 82.1 Les besoins en eau des plantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 disponibilité de l'eau du sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Estimation de l'évapotranspiration potentielle et de l'évapotranspiration réelle 10

2.3.1 La formule de Penman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.2 Autres formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 calcul de l'évapotranspiration réelle à partir de l'ETP . . . . . . . . . . . . . 13

3 La circulation de l'eau dans les sols 153.1 Sols saturés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Sols insaturés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 L'in�ltration : l'entrée de l'eau dans le sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 Le cas particulier de la battance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5 La redistribution de l'eau dans le sol après une averse . . . . . . . . . . . . . 203.6 On retiendra en conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 La constitution des débits de crue à l'échelle du bassin versant : uneénigme di�cile à résoudre 234.1 Les processus possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 La modélisation hydrologique 265.1 Quelques éléments de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Pourquoi des modèles hydrologiques? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3 Di�érentes approches de modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 Travail dirigé : applications hydrologiques de modèles pluie-débit glo-baux 326.1 Avant propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.2.1 Présentation du logiciel Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.2.2 Mise en route . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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6.2.3 Les données et les fonctions utilisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.3 Première partie : calage et choix de modèles hydrologiques . . . . . . . . . . 33

6.3.1 Les modèles proposés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.3.2 Le calage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.3.3 La validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.3.4 Travail à réaliser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.4 Deuxième partie : prévision à courte échéance . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.4.1 Les di�érentes techniques de prévision . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.4.2 Travail à réaliser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.5 Troisième partie : dimensionnement de barrages-réservoirs . . . . . . . . . . 406.5.1 Travail à réaliser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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1 Introduction

1.1 La notion de bassin versant

A�n de pouvoir mettre en relation les précipitations (pluie, neige) et les débits d'uncours d'eau, il est nécessaire de délimiter les surfaces qui contribuent à alimenter l'écou-lement de ce cours d'eau. L'ensemble de ces surfaces constitue le bassin versant . Sadélimitation se base généralement sur la topographie (�gure 1). Le bassin versant regroupealors toutes les surfaces qui, par ruissellement super�ciel, contribuent à l'écoulement auniveau de la section de rivière considérée. On parle aussi d' impluvium.

Fig. 1 � Exemple de délimitation d'un bassin versant à partir des courbes de niveau

Il faut cependant conserver à l'esprit que l'alimentation d'un cours d'eau ne se faitpas uniquement par ruissellement super�ciel - nous y reviendons dans ce qui suit. Lesécoulements souterrains sont guidés par le pendage 1 des couches géologiques les moinsperméables ou par un réseau karstique s'il en existe 2. Le rapport entre les volumes d'eautombés sur l'impluvium et les volumes écoulés peuvent donc être trompeurs. Le cas extrêmeest celui de la Sorgue : rivière du Vaucluse alimentée par l'une des résurgences karstiquesles plus importantes d'Europe. Le débit moyen annuel de la Sorgue est de 18.5 m3/s. Sonbassin versant délimité par la topographie au droit de cette résurgence est d'environ 15km2. L'écoulement moyen annuel de la Sorgue rapporté à la surface de son bassin versantéquivaut à 38 000 mm !!! De fait, l'ensemble des surfaces contribuant à l'alimentation dela source de Fontaine de Vaucluse est estimé à 2500 km2. L'écoulement moyen annuelrapporté à cette nouvelle surface est beaucoup plus raisonnable : 476 mm.

On retiendra que la délimitation du bassin versant permet de comparer les lames d'eauprécipitées et l'écoulement observé dans le cours d'eau, qui peut alors être exprimé en mil-limètres. La délimitation du bassin versant se base le plus souvent sur la topographie. Ellepeut cependant être trompeuse. La géométrie d'un bassin versant évolue donc en fonction

1. inclinaison des formations géologiques sédimentaires2. La dé�nition du karst est donnée dans la partie 1.3 de ce document

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Fig. 2 � Coupe géologique transversale d'un relief illustrant la di�érence entre un bassinversant délimité à partir de la topographie et les surfaces contribuant à un écoulement.

des processus dominants d'alimentation de l'écoulement (super�ciels et souterrains), pro-cessus variables suivant la période de l'année et l'événement pluvieux.

1.2 Les di�érents termes du bilan hydrologique

Le territoire français reçoit en moyenne 700 mm de précipitations annuellement. Lescumuls annuels de pluie sont relativement homogènes à l'échelle nationale : 788 mm àNantes, 762 mm à Nîmes, 610 mm à Strasbourg et 670 mm à Paris. Ne se distinguentnettement que le Pays Basque (1500 mm à Biarritz) et les régions à relief marqué soumisesaux précipitations orographiques 3(980 mm à Grenoble, 2200 mm à la station du Mont-Aigoual dans le Gard).

Cependant, plus de la moitié des précipitations retourne vers l'atmosphère par évapora-tion et transpiration des végétaux (cf �g. 3). Il s'agit là toujours d'une moyenne. L' indinceou coe�cient d'écoulement (rapport �écoulements/précipitations�) varie très sensible-ment d'un cours d'eau à l'autre. Il dépend en particulier du climat, du cumul annuel depluie, de sa répartition au cours de l'année, des caractéristiques géomorphologiques et géo-logiques des bassins versants et de l'occupation des sols. L'indice d'écoulement est généra-lement supérieur à 50% dans le cas des bassins versants méditerranéens ou de montagne.En revanche, il est inférieur à 20% dans le cas de certains cours d'eau de l'Eure ou de laSarthe (l'écoulement moyen annuel de l'Eure est inférieur à 100 mm).

Si l'on superpose le hyetogramme des pluies (série chronologique des intensités depluie mesurées) et l'hydrogramme (série chronologique des débits) des débits mesuréspour un bassin versant, on observe un fort e�et d'atténuation lié à la transformation �pluie-débit� (�gure 4). On constate de plus que les débits ne décroissent que progressivementlorsque la pluie est nulle ou très faible. Ceci suggère que les écoulements sont réalimentéspar un �réservoir� à temps de réponse élevé : les réserves d'eau souterraines ou nappes.

On retiendra que plus de 50% des précipitations retourne à l'atmosphère par évapo-transpiration dans le cas des cours d'eau à alimentation pluviale sous nos climats tempérés.

3. Les précipitations orographiques sont provoquées par l'ascendance des masses d'air sous l'e�et durelief

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Fig. 3 � Ordres de grandeur des termes du bilan hydrologique sous un climat océaniquetempéré

Fig. 4 � Pluies et débits mesurés en 1981 pour le Sauzay, a�uent de l'Yonne à la stationde Corvol l'Orgueilleux (bassin versant de 81 km2)

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La part des contributions souterraines aux écoulements super�ciels est très variable maisconstitue aussi en moyenne plus de 50%. Attention, le cas des cours d'eau de montagnealimentés par la fonte de neige ou de glaciers est di�érents. Nous y reviendrons un peu plusloin.

1.3 Les ressources souterraines

Nous ne présenterons ici que quelques idées importantes nécessaires à la compréhensionde la constitution des écoulements : quelle est la nature des formations géologiques pouvantrenfermer des nappes et quelle est le volume de ces réserves souterraines et leur contributionaux écoulements de surface?

Certaines formations géologiques sont poreuses et perméables et constituent un lieu destockage et d'écoulement souterrain de l'eau. Il s'agit essentiellement

� des formations sédimentaires calcaires. c'est le domaine du karst : �ssures plus oumoins élargies, galeries ou diaclases constituées par dissolution du calcaire. La cir-culation de l'eau dans les aquifères karstiques est un cas tout-à-fait particulier. Elles'apparente plus à un système de drainage par chevelu de rivières souterraines qu'àun écoulement dans un milieu poreux, et l'étude des systèmes karstiques est une spé-cialité spéci�que de l'hydrogéologie. Les principaux aquifères karstiques français sontsitués sur les grands plateaux calcaires du Jura, des Causses, du Vaucluse. Citonsaussi la nappe de la craie du bassin parisien.

� des formations des bassins sédimentaires qui n'ont pas été compactées et métamor-phosées lors d'orogénèses postérieures à leur constitution. Il s'agit des formationsdes deux grands bassins sédimentaires parisiens et aquitains, et de certains dépôts del'aire tertiaire (Limagne, Vallée du Rhône).

� des plaines alluviales présentes le long de la majeure partie des cours d'eau. Les maté-riaux alluvionaires déposés au cours de l'aire quaternaire sont constitués de matériauxparfois grossiers (graviers) peu consolidés. Les nappes alluviales, souvent en relationdirecte avec le cours d'eau sont aussi appelées nappes d'accompagnement. Elle sonten équilibre dynamique avec le cours d'eau. Suivant la période de l'année et le niveaud'exploitation de la nappe, le cours d'eau réalimentera la nappe ou la drainera.

Dans les régions montagneuses sur socles ou terrains sédimentaires plissés, les nappessont rares et fragmentaires. On les rencontre essentiellement dans les zones d'altération(arènes), les dépôts alluviaux, les zones �ssurées ou encore au sein de certaines formationsvolcaniques (massif central).

Les stocks d'eau souterrains situés à moins de 800 mètres de profondeur représentent4 millions de km3 soit 0.31% de l'eau à la surface du globe. Ce chi�re est à compareravec les 120 mille km3 que représentent l'ensemble des eaux douces super�cielles terrestres(de Marsilly, 1981). Les nappes sont donc une ressource importante d'eau.

La plupart des nappes peu profondes réalimentent les écoulements de surface, qu'ellessoient directement drainées par un cours d'eau, ou qu'elles les alimentent par des sources.Le débit total provenant des nappes en France représente 280 millions de m3/j, soit 1/4 à1/5 des précipitations et 60% du débit total des cours d'eau.

Il est important de noter qu'un aquifère 4 est un système en équilibre dynamique réali-menté par les pluies ou la réin�ltration d'écoulements super�ciels. Un prélèvement e�ectué

4. désigne un terrain perméable contenant une nappe d'eau souterraine en géologie, et le réservoirsouterrain d'eau en hydrogéologie

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dans une nappe modi�era cet équilibre et se traduira par une réduction de la charge dela nappe et donc la diminution des débits des cours d'eau et des sources alimentées par lanappe ou à terme par le tarrissement des puits artésiens 5

Fig. 5 � Exemple d'une nappe captive et mise en évidence de l'artésianisme : nappe dessables éocènes de Gironde. (de Marsilly, 1981)

Fig. 6 � Exemple d'un système de nappes superposées typique des bassins sédimentaires :nappes des sables de Fontainebleau et des calcaires de Brie (de Marsilly, 1981)

On retiendra que la contribution des nappes souterraines représente environ 60% desécoulements super�ciels en moyenne à l'échelle nationale. Que le système �nappe-rivière�et plus encore �nappe alluviale - rivière� est un système en équilibre. Un prélèvement dansune nappe modi�era les débits des cours d'eau qui y sont reliés .

1.4 En guise de conclusion partielle : la notion de régime d'écoulement

Les éléments présentés plus haut permettent de comprendre que les débits des coursd'eau �uctuent au cours de l'année. La forme générale de la courbe d'évolution annuelledes débits dépend essentiellement de l'évolution des précipitations et de l'évaporation (cf.

5. Un puit artésien est au sens large un puit où l'eau monte plus haut que le niveau où on l'a rencontré(toit de la nappe). Au sens stricte, c'est un puit où l'eau remonte plus haut que le niveau de la surface(Foucault & Raoult, 1984). Dans les deux cas l'eau dans la nappe est sous pression (i.e. la cote piezométriqueest située au dessus du toit de la nappe).

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�gure 7) et du volume et du rythme de mobilisation des stocks d'eau de surface (neige etde glace) et des stocks d'eau souterrains.

Fig. 7 � Diagramme ombrothermique station de Montélimar

Inversement le régime d'écoulement d'une rivière, la plus ou moins grande sensibilitéde ses débits aux �uctuations saisonnières de pluviométrie et de température est révélateurde ses principaux mécanismes d'alimentation. On distingue en climat tempéré plusieursrégimes d'écoulement suivant l'origine principale des débits des cours d'eau (cf. �gure 8):

� Le régime tempéré océanique où l'évolution des débits est essentiellement contrôlé parles précipitations et l'évapotranspiration. L'amplitude de la �uctuation annuelle desdébits et en particulier le niveau des écoulements en période d' étiage (faibles débitsestivaux) dépendra de la puissance des nappes alimentant le cours d'eau (cf. �gure8).

� Le régime méditerranéen où les contrastes saisonniers sont plus marqués que dansle cas du régime tempéré océanique avec parfois une interruption des écoulements enété. La reprise des écoulements est aussi plus brutale à l'automne du fait des fortesprécipitations observées en cette saison.

� Le régime à fusion nivale présentant un pic d'écoulements au début du printemps(mars-avril) plus marqué lié à la fonte de neige.

� Le régime montagnard à fusion glaciaire est caractéristique des bassins versants rece-vant la majeure partie des précipitations hivernales sous forme de neige. Les écoule-

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ments correspondants à la fonte du manteau neigeux et des glaciers suivent l'évolutiondes températures

Fig. 8 � Régimes d'écoulement caractéristiques (les débits mensuels sont normés par ledébit moyen annuel. Les diagrammes de la seconde ligne montrent la variabilité au sein durégime tempéré océanique(source inconnue)

En régime tempéré océanique l'étiage se produit en saison estivale. Dépendant de lapuissance des nappes présentes sur le bassin versant, cet étiage peut être plus ou moinsprononcé comme l'illustre la seconde série d'hydrogrammes de la �gure 8.

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2 L'Eau, le sol, la plante : éléments du bilan hydrique à l'échelle

de la parcelle

Nous avons vu dans la partie précédente le rôle important que jouent l'évaporationet l'in�ltration de l'eau dans les sols et les couches géologiques perméables dans le cyclehydrologique. Nous verrons par la suite le rôle majeur que joue les sols et l'in�ltration dansles sols à l'échelle d'une crue. Cette partie est consacrée à la présentation des principauxmécanisme contôlant la dynamique de l'évapotranspiration et la circulation de l'eau dansles sols.

2.1 Les besoins en eau des plantes

Ressource indispensable à la croissance des plantes, l'eau est un élément constitutifmajeur de la matière végétale, mais aussi une source d'hydrogène et d'oxygène pour laphotosynthèse : hydrolyse. La majeure partie de l'eau consommée par les plantes n'est ce-pendant pas consacrée à la formation de matière végétale mais à la transpiration . Laquantité d'eau que la plante transpire pour synthétiser un gramme de matière sèche, lecoe�cient de transpiration , varie suivant les plantes. Il oscille entre 300 et 700 g d'eaupar gramme de matière sèche pour les plantes cutivées (environ 336 g pour le maïs, 700pour la courgette).

La transpiration des plantes permet leur régulation thermique et constitue le principalmoteur de circulation des sèves brutes et élaborées. Le taux de transpiration dépend desconditions climatiques (température, rayonnement solaire, dé�cit d'humidité de l'air, vent),du type de plante, du stade végétatif et de sa croissance (en particulier de l'indice foliairecomme l'illustrent les �gures 9 et 10), et disponibilité de l'eau du sol.

Fig. 9 � Rapport entre l'évapotranspiration réelle et potentielle en fonction de la surfacefoliaire (exprimée en indice foliaire) (Soltner, 1990)

Si la ressource en eau dont dispose la plante n'est pas limitée (ie le sol est saturé eneau) le taux de transpiration est maximal : on parle d'évapotranspiration maximaleréelle . Dans le cas contraire la plante sou�rira de stress hydrique . La plante réduirason activité biologique et photosynthétique, et donc sa consommation en eau.

On retiendra que les plantes ont besoin pour assurer leurs fonctions biologiques detranspirer une quantité importante d'eau qui peut atteindre 4 à 6 mm/jour pendant les

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Fig. 10 � Evolution annuelle de l'évapotranspiration maximale de di�érentes espèces végé-tales cultivées (Soltner, 1990)

périodes des besoins les plus forts. Si l'eau la quantité d'eau disponible dans le sol est limi-tée, la plante sou�rira de stress hydrique. Elle réduira alors son activité photosynthétiqueet biologique et sa consommation en eau.

2.2 disponibilité de l'eau du sol

Le terme de sol désigne l'ensemble hétérogène des matériaux issus de l'évolution d'unsubstrat minéral sous l'action combinée de facteurs climatiques (température, précipitation)et de l'activité biologique (racines de végétaux, animaux fouisseurs, accumulation de ma-tière organique en décomposition, micro-organismes). Le sol constitue la principale réserveen eau dans laquelle puisent les végétaux grâce à leurs systèmes racinaires. Les sols sontextrêmement variés par leur composition chimique, minéralogique, leur épaisseur, leurspropriétés mécaniques. On retiendra cependant quelques idées et ordres de grandeur clés.

Le sol est un milieu poreux. La porosité des sols (ie pourcentage du volume total d'unbloc de sol occupé par les pores) se situe généralement entre 40 et 60%. Sous l'e�et despluies et des circulations souterraines, les pores du sol peuvent se remplir d'eau. Une partiecette eau est libre de s'écouler par gravité : on parle d'eau gravitaire . Elle ne séjournedonc que transitoirement dans le sol. Une autre partie de l'eau est retenue dans les solspar la capillarité, les forces électrochimiques et les liaisons moléculaires. Elle ne peut-êtreextraite que par l'application d'une force de succion supérieure à la force d'adhésion entrel'eau et le sol. Plus le taux d'humidité du sol (ie pourcentage du volume total d'un blocde sol occupé par l'eau) diminue plus les forces d'adhésion entre le sol et l'eau, on parle deforces de succion du sol , sont importantes. La succion du sol est le plus souvent expriméeen unités de pression en g/cm2 ou en cm d'eau (cf. tableau 1).

Le taux d'humidité correspondant au volume maximal d'eau qu'un sol peut reteniraprès ressuyage (écoulement de l'eau gravitaire) est appelé par les agronomes capacitéau champ. Au delà d'une certaine succion les racines des plantes ne sont plus en me-sure d'extraire l'eau du sol. La plante se fane ; on parle alors de point de �étrissementpermanent. La quantité d'eau qui peut être libérée entre la capacité au champ et le pointde �étrissement permanent est la réserve utile du sol exprimée en mm/m de sol. Laprofondeur explorée par les racines d'un végétal détermine la réserve utile globale en mm.

La relation entre l'humidité et la succion dépend du sol et en particulier de sa texture

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Succion P (g/cm2) Pf = log(P ) Taux d'humidité

0 Saturation10 1100 2500 2.7 Capacité au Champ1 000 310 000 416 000 4.2 Point de �étrissement

permanent100 000 5 Terre séchée à l'air

(humidité relative 92%)1 000 000 6 Terre séchée à l'air

(humidité relative 48%)

Tab. 1 � Valeurs de la succion ou du potentiel capillaire (pF) correspondant aux valeurscaractéristiques de l'humidité du sol

et de sa teneur en acides humiques issus de la décomposition de la matière organique végé-tale (cf. �gure 11). La texture désigne la proportion relative d'éléments grossiers (sables :diamètre > 50µm), d'éléments intermédiaires (limons : diamètres compris entre 2 et 50 µm)et d'éléments �ns (argiles : diamètres inférieurs à 2µm) dans la composition du sol 6.

La réserve utile des sols se situe entre 70 mm/m pour des sols à texture sableuse et 150mm/m pour des sols limoneux et argileux.

Cependant, si cette eau peut être extraite par les plantes, au delà d'une certaine succionla plante est soumise à un stress hydrique (cf. �gure 12). Elle ne dépérit pas totalement,mais réduit son activité biologique et donc son évapotranspiration. Le taux d'humidité pourlequel apparaît le stress dépend des conditions climatiques auxquelles est soumise la plante.Il est d'autant plus élevé que l'évapotranspiration potentielle est forte.

On retiendra que l'eau du sol existe dans trois états. L'eau libre qui peut s'écoulergravitairement et donc réalimenter les nappes plus profondes ou le cours d'eau. La quantitémaximale d'eau libre se situe généralement entre 150 et 250 mm/m suivant les sols. Laréserve utile qui ne peut s'écouler gravitairement mais peut, du moins dans les horizonsexplorés par les racines, être remobilisée par les plantes. La reserve utile représente entre70 et 150 mm/m. Le reste de l'eau est lié trop fortement aux sol pour pouvoir en êtreextrait, du moins naturellement.

2.3 Estimation de l'évapotranspiration potentielle et de l'évapotranspi-ration réelle

L'évapotranspiration potentielle (ETp) est théoriquement la quantité d'eau que cèdeune culture en pleine croissance couvrant totalement un sol largement pourvu d'eau partranspiration des plantes et évaporation du sol. Elle dépend donc du stade végétatif, de laplante, et des conditions climatiques.

L'ETp est aussi une mesure climatique, dont la valeur est établie à partir de relevés

6. Attention de ne pas confondre les termes d'argiles et de limons utilisés ici comme quali�catifs tex-turaux avec ceux désignant les minéraux argileux ou les formations géologiques limoneuses (limon desplateaux).

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Fig. 11 � Evolution schématique de la réserve utile du sol en fonction de sa texture (Soltner,1990)

Fig. 12 � Rapport entre l'évapotranspiration réelle et l'évapotranspiration potentielle enfonction du pourcentage de la réserve utile disponible (Soltner, 1990)

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culture mai juin juillet août septembre

Prairie de Fauche 0.95 1.15 1.15 1.10 1.20Maïs 0.60 0.75 1.05 1.15 0.95

Betterave à sucre 0.65 1.10 1.30 1.15 0.90Pomme de terre 0.65 1.35 1.45 1.35 0.90

Tournesol 0.65 1.20 1.50 1.65 1.30

Tab. 2 � Rapport entre ETP Penman et ETM pour di�érentes cultures et di�érents stadesvégétatifs

météorologique selon des formules plus ou moins complexes impliquant des variables mé-téorologiques mesurables. Il est à noter que l'ETp correspond à une valeur moyenne touscouverts végétaux confondus. L'évapotranspiration maximale (ETM) d'une formation vé-gétale peut être supérieure à l'ETP (cf tableau 2). Notons que l'ETP moyenne annuelleest essentiellement contrôlée par la lattitude en France. Elle évolue de 500 mm pour lesrégions les plus septentrionales à 900 mm dans les régions les plus méridionales : valeurs àcomparer avec les 700 mm de précipitations en moyenne annuelle.

Nous citons ici pour mémoire trois formules utilisées en France.

2.3.1 La formule de Penman

La formule de Penman, actuellement utilisée par Météo-France, qui fournit pour la plu-part de ses stations météorologiques des estimations d'ETP décadaires et mensuelles. Cetteformule fait intervenir de nombreux paramètres dont certains sont di�cilement mesurables.La méthode est présentée en détail dans la Monographie n.65 de la Météorologie Nationale(Brochet & Gerbier, 1974). Nous donnons ici pour mémoire l'expression mathématique dela formule de Penman.

Penman a estimé le �ux de chaleur latente au niveau du sol et donc le �ux d'eau évaporéà partir d'un simple bilan énergétique :

R = Rn−A−SL

Rn radiation nette reçue au solA �ux de chaleur au béné�ce de l'athmosphèreS �ux de chaleur sensible au béné�ce du solR �ux d'eau évaporéL chaleur latente

La formule développée prend la forme suivante :

ETP = 1

1+FTγ

(IgaFT59γ (1− a)(0.18 + 0.62 h

H )− σFT59γ T

4(0.56− 0.08√e)(0.10 + 0.9 h

H ))

+ 0.26

1+FTγ

(ew − e)(1 + 0.54V )

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ETP évapotranspiration potentielle en mm/jIga radiation directe solaire en l'absence d'athmosphère en cal/cm2/ja albédo de la surface évaporante (0.2 pour la végétation)h durée réelle d'insolation en heures du jour considéréH durée maximale possible d'insolation pour ce jour en heuresσ constante de Boltzman soit 1.18 107 cal/cm2/jour/KT température moyenne sous abri en degrés Kelvine tension moyenne de vapeur d'eau de l'air en millibars

FT Pente de la courbe de tension de vapeur saturante à la température Tγ constante psychrométriqueew tension de vapeur saturante à la température TV Vitesse moyenne journalière du vent à deux mètres du sol en m/s

2.3.2 Autres formules

La formule de Turc permet d'estimer une valeur d'ETP décadaire ou mensuelle en mm. :

Etp = 0.13t

t+ 15(Ig + 50)

t température moyenne décadaire en degrés CelsiusIg radiation solaire globale en cal/cm2/j

La formule de Bouchet relie l'ETp en mm et l'évaporation E en mm mesurée avec unévaporomètre Piche 7 pour la période considérée (jour, décade, mois):

Etp = λE

Le paramètre λ dépend de la température : λ est inférieur à 1 lorsque la température estinférieure à 15{°C et supérieur à 1 au delà. Cette formule présente l'intérêt d'expliciter lelien entre l'évapotranspiration et l'évaporation.

2.4 calcul de l'évapotranspiration réelle à partir de l'ETP

Dans la plupart des modèles hydrologiques l'évapotranspiration réelle est déduite del'évapotranspiration potentielle. De nombreuses formules empiriques sont proposées dansla littérature. Dans le cas des cultures irriguées on peut se contenter d'appliquer de simplesratios pour calculer l'évapotranspiration réelle. Les cultures étant supposées disposer desu�samment d'eau l'évapotranspiration réelle est égale à l'évapotranspiration maximale (cftableau 2). Dans le cas de la modélisation hydrologique, les couverts végétaux sont souventvariés sur un bassin versant. De plus, la désaturation des sols et donc le stress hydriquesont sensibles. On utilise alors des modèles empiriques. Dans plupart des cas on calcule

7. Tube gradué rempli d'eau dont l'ori�ce supérieur est fermé et l'ori�ce inférieur obstrué par un papierbuvard constituant la surface évaporante. La hauteur d'eau évaporée correspond à la diminution du niveaudans le tube. L'évaporomètre de Piche doit être placé sous abri pour limiter l'in�uence du vent sur lamesure.

13

l'évaporation à partir du stock d'eau disponible dans les premiers mètres de sol (approchede modélisation à base physique) ou dans un réservoir �ctif (modèles conceptuels). Nousdonnons ici deux exemples de formulations employées :

Formule utilisée dans le modèle CREC

ETR = ETP

(1− exp− S

X

)Formule utilisée dans le modèle GR4j

ETR = ETP

(S

X

(2− S

X

))S hauteur d'eau stockée dans le �réservoir sol�X paramètre à caler

Compte tenu des incertitudes dans l'estimation de l'évapotranspiration réelle, une va-leur moyenne décadaire d'ETP, voire une moyenne décadaire interannuelle d'ETP est lar-gement su�sante pour la modélisation hydrologique.

14

3 La circulation de l'eau dans les sols

3.1 Sols saturés

Dans un milieu poreux homogène l'écoulement de l'eau suit généralement la loi deDarcy (�gure 13) :

Q = KA(h1 + l − h2)/l

Q débit traversant le milieu poreux en m3/sA section d'écoulement en m2

K conductivité hydraulique à saturation du milieu traversé en m/s

Fig. 13 � Dispositif expérimental de Darcy

La loi Darcy stipule que la vitesse macroscopique apparente d'écoulement au traversd'un milieu poreux est directement proportionnelle au gradiant de charge hydrauliqueauquel il est soumis. L'équation précédente peut s'écrire sous une forme plus générale,toujours dans une dimension de l'espace :

q = Kδh

δz

q vitesse macroscopique aparente d'in�ltration m/sh charge hydraulique en m h = z + P/(ρg)z altitudeρ densité de l'eaug accélération de la pesanteurP pression

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Il est à noter que q est une vitesse macroscopique apparente : c'est la vitesse moyenned'écoulement sur l'ensemble de la section. La vitesse moyenne macroscopique - vitessede propagation d'un traceur non réactif - v = q/ne où ne est la porosité du milieu, estsupérieure à q. Dans un milieu poreux hétérogène comme le sont la plupart des sols, seuleune partie des pores participent activement à l'écoulement (les macropores). La di�érenceentre vitesse macroscopique apparente et vitesse macroscopique moyenne peut être encoreplus marquée.

Le paramètre K - conductivité hydraulique à saturation - représente la vitesse d'in�l-tration verticale de l'eau libre dans un sol saturé. Le gradiant hydraulique est alors égal à1 : P est dans ce cas indépendant de la profondeur et égal à la pression athmosphérique eth = z. La valeur de K (cf tableau 3 donne une indication des capacités d'in�ltration dessols naturels. Les valeurs du tableau sont à comparer aux intensités de pluie usuellementmesurées sous nos climats.

type de sol K (cm/s) K (mm/h)Limon argileux peu perméable 1.6 10−4 6Alluvions assez perméables 5.5 10−4 20Alluvion perméable de 8.4 10−4 à 3.410−3 de 30 à 120Terre sableuse très perméable 1.4 10−2 500

Tab. 3 � Ordre de grandeur des conductivités hydraulique des sols (Soltner, 1990)

3.2 Sols insaturés

Dans la plupart des cas les horizons super�ciels des sols sont partiellement désaturésau début des événements pluvieux. Dans un sol non saturé, certaines pores sont rempliesd'air et la proportion de pores dans lesquelles l'eau est susceptible de s'écouler diminuede paire. On peut donc s'attendre à ce que la conductivité hydraulique diminue lorsquela teneur en eau d'un sol décroît. de plus, alors que la gravité est le principal moteur desécoulements dans les sols saturés, les forces de succion deviennent dominantes en sol nonsaturé.

Par analogie avec les écoulements saturés, Richards (1931) a proposé une relation entrela vitesse d'in�ltration et le gradiant de charge hydraulique incluant les termes de gravitémais aussi les termes de succion :

q = K(Ψ)δh

δz(1)

h charge hydraulique en m h = z + Ψ(θ)z altitude en mθ teneur en eau volumique

Ψ(θ) potentiel matriciel ou succion généralement exprimée en m ou cm

La relation entre la teneur en eau θ et le potentiel matriciel Ψ n'est pas bi-univoque.L'expérience montre en particulier que la courbe d'évolution du potentiel matriciel enfonction de la teneur en eau obtenue par humidi�cation (sorption) progressive d'un soln'est pas la même que celle obtenue par désaturation (désorption). La succion d'un soléquilibré pour une teneur en eau donnée est en générale plus grande en désorption qu'en

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sorption (cf �gure 14). Cet e�et, appelé hystérèse est en particulier du à la non uniformitégéométrique des pores et au piégeage de l'air lors de l'humidi�cation des sols.

Fig. 14 � Courbe caractéristique d'humidité en sorption et désorption (de Marsilly, 1981)

Dans la plupart des modèles mathématiques d'écoulement en milieu poreux non saturé,l'e�et d'hystérèse est négligé.

Les relations entre la conductivité hydraulique, la succion matricielle et la teneur vo-lumique en eau du sol les plus couramment utilisées sont dues à Brooks et Corey (1966) :

Ψ(θ) = Ψ(θs)(θ

θs

)−1/m

Ψ succion généralement exprimée en cmθ teneur en eau du sol généralement exprimée en cm3/cm3

θs teneur en eau à saturation (porosité)m paramètre

K(θ) = Ks

(θ

θs

)(2+3m)/m

K conductivité hydraulique généralement exprimée en cm/hKs conductivité hydraulique à saturation

Lorsque la teneur en eau du sol diminue, la conductivité hydraulique décroît, mais lasuccion matricielle augmente. Les deux e�ets sont antagonistes, mais on observe le plussouvent que la vitesse d'in�ltration de l'eau dans le sol croît lorsque la teneur en eau dusol diminue.

3.3 L'in�ltration : l'entrée de l'eau dans le sol

Nous ne considérerons ici que l'in�itration verticale : in�ltration à partir d'un sol ho-mogène plan et conditions uniformes à la surface du sol. Dans un sol homogène lorsque

17

la surface du sol est submergée, le pro�l d'in�ltration présente une zone saturée de plu-sieurs millimètres sous la surface du sol, une zone proche de la saturation appelée zone detransmission , et une zone d'humidi�cation présentant un front au gradiant d'humiditétrès élevé.

Fig. 15 � pro�l d'humidité au cours de l'in�ltration dans le cas où la surface est saturéed'eau (Hillel, 1984)

Au cours de l'in�ltration, le front progresse en profondeur et la zone de transmis-sion s'étale. La conductivité hydraulique décroissant rapidement avec la teneur en eau, legradiant de teneur en eau et donc de succion doit être très élevé au niveau du front d'hu-midi�cation pour assurer un �ux vertical équivalent au �ux de la zone de transmission.

La circulation de l'eau lors de l'in�ltration est souvent considérée comme essentielle-ment verticale. L'équation générale unidimensionnelle de l'écoulement en sol non saturéest obtenue en combinant l'équation 1 avec l'équation de continuité :

δθ

δt= −δq

δz(2)

d'où :δθ

δt= − δ

δz

[K(θ)

δh

δz

](3)

ou encore :

δθ

δt= − δ

δz

[K(θ)

(1 +

δΨ(θ)δz

)](4)

Cette dernière équation est souvent reformulée, en introduisant la notion de di�usivité :

D(θ) = K(θ)dΨdθ

En remplaceant dans l'équation 4, on obtient :

δθ

δt= − δ

δz

[D(θ)

δθ

δz+K(θ)

](5)

Il n'existe pas de solution analytique générale de l'équation 5. Certains auteurs ontproposé des solutions approchées en particulier dans le cas où la teneur en eau est uniformedans le pro�l de sol en début de pluie, et où la surface du sol est maintenue saturée pendanttoute la période d'in�ltration.

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Ainsi Philip en 1969 a proposé la solution approchée suivante :

i(t) = 1/2st−1/2 +K (6)

où :i(t) taux d'in�ltration à la surface du sol en mm/hK conductivité hydraulique à saturations sorptivité

De même Eagleson en 1970 a montré que l'équation de Horton (1939) était une solutionapprochée de l'équation 5 :

i(t) = fc + (f0 − fc)e−αt (7)

où :f0 taux d'in�ltration initial à la surface du sol en mm/hfc taux minimal d'in�ltration à la surface du sol en mm/hα paramètre

En�n citons pour mémoire le modèle empirique développé par le Soil ConservationService (SCS, 1968), reliant le volume total ruisselé depuis le début d'un événement pluvialà la hauteur totale de pluie. Cette formule ne comporte qu'un seul paramètre S : la capacitéde totale de stockage du sol en mm. Le modèle repose sur l'hypothèse que le coe�cientd'écoulement global à un instant donné d'un événement pluvieux est égal au taux desaturation des sols :

Q

Pe=Pe −QS

Q Volume total d'eau ruisselé depuis le début de la pluie en mmPe hauteur cumulée de pluie e�cace depuis le début de la pluie mmS capacité maximale de stockage des sols

L'expérience montre que Pe est souvent proche de P − 0.2S où P est la pluie brute.L'équation du SCS s'écrit donc :

Q =(P − 0.2S)2

(P + 0.8S)(8)

La valeur de S dépend du type de sol et des conditions antécédentes d'humidité. Cesvaleurs ont été déterminées expérimentalement pour de nombreux sols aux Etats-Unis etsont tabulées (Bras, 1990).

3.4 Le cas particulier de la battance

La battance est un phénomène mécanique et chimique bien connu des agronomes. Dansson acception stricte, la battance correspond à la formation sous l'e�et de la pluie d'unecroute en surface du sol (Lozet & Mathieu, 1997; Musy & Soutter, 1991; Hillel, 1984). Dansune acception plus large, on entend par battance la réduction des capacités d'in�ltrationdes sols liée à la destructuration et à la compaction de sa couche super�cielle sous l'e�etl'impact des gouttes de pluie. Le taux d'in�ltration de sols battants est généralementinférieur à 10 mm/h et peut atteindre 1 mm/h (Bissonnais & Singer, 1993; Hardy et al.,1983). Le calcium et les hydroxydes de fer et d'alluminium assurent la liaison entre les

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acides humiques et les argiles et jouent donc un rôle majeur dans la stabilité structuraledes sols. Les eaux de pluie faiblement concentrées en calcium ont tendance à disperser lescomplexes argilo-humiques et à destabiliser les sols les rendant plus sensibles à l'impactdes gouttes de pluie : le phénomène de battance moins marqué lorsque l'on soumet deséchantillons de sol à une pluie d'eau enrichie en sel de calcium (Hardy et al., 1983).

La battance est une propriété souvent associée aux sols limoneux : �lorsqu'ils manquentd'argile, d'humus et de calcium, les limons sont battants� (Soltner, 1990). En e�et, dansle cas de sols peu cohésifs, les éléments �ns (sables �ns et limons) sont entrainés par l'eaus'in�ltrant dans le sol et peuvent en colmater les pores. Après assèchement, ces éléments�ns cimentent formant une véritable croûte compacte. Alors que dans la plupart des cas,la battance est un processus réversible (i.e. l'horizon super�ciel retrouve pour partie saperméabilité initiale en s'assèchant après la pluie), la croûte de battance est stable (Hardyet al., 1983).

Des expériences menées sur des échantillons en laboratoire (Bissonnais & Singer, 1993)con�rment que tous les types de sols peuvent être battants au sens large du terme. Unecouche de battance ne se développe sur les sols à forte teneur en matière organique et enhydroxydes de fer et d'alluminium, facteurs de stabilisation de la structure, que lorsqu'ilssont soumis à des intensités de pluie élevées, rarement mesurées (plus de 70 mm/h). Laformation de la couche de battance est progressive : les coe�cients de ruissellement ne sestabilisent qu'au bout de 30 minutes à 1 heure dans la plupart des essais des études citéesplus haut. Elle est plus rapide lorsque le sol est initialement sec.

La couverture végétale brise l'énergie cinétique de la pluie (Ellison, 1945). Par ailleursles racines des végétaux stabilisent le sol super�ciel. La battance concerne donc essentiel-lement les sols nus directements exposés à l'impact des gouttes de pluie : sols agricolestravaillés, sols des régions arides et semi arides, chemins de terre (Hillel, 1984). Mis à partle cas des sols peu cohésifs comme les limons du pays de Caux, l'énergie nécessaire à ladestructuration des sols est élevée. Les intensités moyennes des pluies appliquées dans lesexpérimentations en laboratoires citées plus haut - de 30 à 40 mm/h pendant une heure- correspondent à des pluies de période de retour annuelle en milieu méditerranéen etdécennale en milieu tempéré.

La battance peut jouer un rôle important dans la génèse des crues majeures de bassinsversants agricoles ou de climat arides et semi arides. Or, elle est très peu évoquée dans lalittérature hydrologique. La plupart des modèles hydrologiques, y compris ceux qui ont étédéveloppés spéci�quement pour les bassins semi arides comme KINEROS (Smith et al.,1995), ne la prenne pas explicitement en compte.

3.5 La redistribution de l'eau dans le sol après une averse

Lorsque l'apport d'eau en surface cesse (pluie ou irrigation) les mouvements d'eauen particulier vers le bas se poursuivent. Une partie de l'eau des couches super�ciellessaturées du sols va s'écouler vers les couches plus profondes sous l'in�uence de la gravitéet des gradients de succion. Ces mouvements d'eau sont quali�és de redistribution carils consistent à redistribuer l'eau des couches super�cielles les plus saturées en eau aprèsla période d'in�ltration (�gure 16). Le terme de ressuyage est aussi souvent employé.

Ajoutons quelques remarques.

� En présence d'une nappe d'eau proche de la surface, le pro�l d'humidité tendra versun pro�l d'équilibre au cours du ressuyage, pour lequel la succion en chaque pointsera égal à sa hauteur par rapport au niveau de la nappe d'eau libre. En revanche,en l'absence de nappe et dans le cas d'un sol profond le processus de ressuyageinitialement dominé par la pesanteur, sera progressivement contrôlé par les gradients

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Fig. 16 � pro�ls successifs d'humidité au cours du ressuyage d'un sol à texture moyenne.Les courbes représentent des pro�ls types 1 ,4 et 15 jours après une pluie (Hillel, 1984)

de succion. Le processus de ressuyage ressemblera au remplissage d'un tonneau sansfond, la vitesse d'in�ltration dimunuant progressivement à l'image des gradients desuccion. Dans ce dernier cas la teneur en eau des couches super�cielles du sol prendrades valeurs inférieures à la capacité au champ.

� La notion de capacité au champ est pédagogique mais n'a pas de réalité physique,dans la mesure où nous venons de voir que le pro�l d'humidité à l'équilibre d'unsol et donc la teneur en eau de ses horizons, pro�l qui est d'ailleurs rarement at-teint, dépend essentiellement de la profondeur de la nappe d'eau libre. Un équivalentde la capacité au champ ne pourra réellement être mesuré que dans les sols où laconductivité hydraulique chutte rapidement quand la succion matricielle augmente :sols à structure grossière. La distinction entre écoulements gravitaires et écoulementscontrôlés par les gradients de succion (très faibles dans ce cas) est alors possible.

� Le ressuyage a été décrit ici sans tenir compte de l'évapotranspiration qui désatureles premières dizaines de centimètres voire les premiers mètres de sol. Dans un solà structure grossière, le ressuyage étant rapide, on peut négliger l'évaporation pourdécrire l'évolution des pro�ls d'humidité. Ce n'est pas le cas pour des sols limoneuxet argileux.

� On imagine aisément, à partir des éléments présentés ici, la compléxité de la dyna-mique d'in�ltrations et de ressuyages successifs en particulier dans un sol à texture�ne. Une période de temps sec permet rarement l'établissement d'un pro�l d'humiditéd'équilibre entre deux averses. De plus, ce pro�l ne correspond pas aux hypothèsesusuellement utilisées pour dériver des formules simpli�ées d'in�ltration (partie 3.3).

� L'hystérèse complique encore le processus de redistribution, dans la mesure où simul-tanément des horizons du même pro�l de sol s'humectent et se drainent.

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3.6 On retiendra en conclusion

Cette partie du cours était consacrée à la présentation des bases physiques des écou-lements de l'eau dans le milieu poreux que constituent les sols. La représentation de lacirculation de l'eau dans un milieu homogène posent des di�cultés comme nous avonstenté de l'illustrer : coexistence d'horizons saturés et insaturés dans les mêmes po�ls de sol,incertitudes sur la relation �taux de saturation - succion�, représentation macroscopique(Darcy ou Richards) imparfaite d'un écoulement dans un résau maillé de pores irrégulièresaux diamètres variés, incertitudes concernant les reprises d'eau par évapotranspiration etl'état de la surface du sol (battance). Le problème de la représentation des écoulements dansdes sols en place se complique encore dans la mesure où ces sols sont rarement homogènes.La texture et la structure d'un sol peuvent �uctuer, en particulier avec la profondeur. Lesracines, et les conduits creusés par les animaux fouisseurs et en particulier les vers de terre,modi�ent sensiblement les capacités et la dynamique d'in�ltration des premiers horizons.Elles constituent des lieux d'écoulement préférentiel conduisant en profondeur les eauxd'in�ltration avant que la matrice des horizons super�ciels ait pu se saturer. Ces écoule-ments dans les �macropores� du sol est un des processus invoqués pour expliquer la réactionrapide du niveau des nappes phréatiques proche de la surface lors des pluies (Novakowski& Gillham, 1988). C'est aussi l'un des processus mis en avant pour expliquer la rapiditédes apport subsuper�ciels observés lors de crues sur des bassins versants expérimentaux(Freeze, 1974; Ambroise, 1998).

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4 La constitution des débits de crue à l'échelle du bassin

versant : une énigme di�cile à résoudre

La conception de la genèse des débits dans les cours d'eau proposée par Horton (1933) alongtemps séduit les hydrologues, en particulier les modélisateurs, par sa simplicité. Selonle modèle de Horton, les écoulements rapides (écoulement de crue) sont essentiellementdus au dépassement des capacités d'in�ltration des sols d'un bassin versant, ces capacitésd'in�ltration évoluant au cours d'un événement pluvieux (cf partie 3.3).

Cette conception a cependant été rapidement remise en question, en particulier dans lecas des bassins versants tempérés. En e�et, le ruissellement super�ciel direct est rarementobservé. S'il apparaît, il est, sauf cas extrême, très localisé, et les eaux de ruissellementgénérées en un point du bassin versant peuvent se réin�ltrer plus à l'aval. Par ailleurs,des crues sont observées même lorsque les intensités de pluie sont faibles et nettementinférieures à la conductivité hydraulique à saturation des sols du bassin versant. En�n, lesnombreuses expérimentations de traçage géochimique (décomposition des hydrogrammesde crue sur la base de leur composition chimique) suggèrent qu'une proportion importante(de 20% à 80%) des écoulements lors de crues modestes et moyennes sur de petits bassinsversants ont transité par le sol.

4.1 Les processus possibles

L'inventaire des processus qui peuvent être impliqués dans la genèse des débits est large(Freeze, 1974), et malgré les e�orts importants de recherche déployés depuis 30 ans surdes bassins versants expérimentaux, aucun des processus envisagés (�gure 17) n'apparaîtaujourd'hui comme nettement dominant quels que soient le bassin versant et l'événementpluvieux étudiés.

Les principaux processus générateurs d'écoulements sont :

� les précipitations directes sur les surfaces déjà en eau et sur les surfaces imperméables.La plupart du temps ce terme ne représente que quelques dixièmes de pour cent despluies, soit nettement moins que les quelques pour-cent à quelques dizaines de pour-cent de coe�cient d'apports mesurés habituellement lors des crues.

� l'ex�ltration d'écoulements souterrains ou subsuper�ciels sur les versants.

� le ruissellement par saturation des sols. L'in�ltration dans le sol n'est possible que sile sol à des capacités de stockage. Les secteurs où la nappe et proche de la surface,en particulier à proximité du cours d'eau, peuvent se saturer rapidement et ruisseler(Dunne & Black, 1970). Ce processus a été observé sur de petites parcelles expéri-mentales. Mais l'origine essentiellement super�cielle des débits de crue qu'il suggèren'est pas en accord avec les résultats de campagnes de mesures géochimiques.

� Les écoulements subsuper�ciels le long des versants venant réalimenter les thalwegset saturant progessivement les fonds de vallons. Ce processus, combiné avec le pré-cédent a rencontré un certain succès parmis les hydrologues (surfaces contributivesvariables) et est le processus majeur représenté dans le modèle hydrologique distri-bué le plus populaire : TOPMODEL (Beven et al., 1995). Cependant, les processuspouvant expliquer un écoulement subsuper�ciel su�samment rapide pour pouvoirexpliquer une contribution importante des versants lors des crues restent mystérieux(Freeze, 1974; Beven, 1982). L'écoulement piston le long d'un versant souvent invoquésemble irréaliste. Par ailleurs, les écoulements dans des macropores non capillaires,ayant le bon goût d'être continus et de suivre la pente du terrain naturel semblent

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Fig. 17 � Les di�érents processus impliqués dans la genèse des débits de crue (Ambroise,1998)

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anecdotiques, et ne sont observés que sur quelques sites particuliers. Remarquonsque ce dernier processus ne résoud pas le problème de la contribution importante deseaux souterraines en crue. L'eau circulant dans un macropore souterrain ne se mé-lange pas beaucoup plus avec l'eau de la matrice du sol qu'une eau de ruissellementsuper�ciel.

� l'intumescence de nappe est un processus possible qui a été très astucieusement misen évidence à la �n des années 1970 (Sklash & Farvolden, 1979). Il a pu être démontrénumériquement, que la nappe en équilibre avec un cours d'eau réagit rapidement lorsdes pluies dans les zones où elle est peu profonde (quelques mètres de part et d'autred'un cours d'eau). Le débit d'alimentation du cours d'eau par la nappe augmente alorsproportionnellement au gradient hydraulique. Ce processus à lui seul peut conduire àun doublement ou un triplement temporaire du débit de base d'un cours d'eau maisguère plus.

4.2 conclusion

Il apparaît que les débits de crue sont générés le plus souvent par plusieurs processussimultannément ou successivement, dans des combinaisons variables dans le temps et dansl'espace (Ambroise, 1998). Les variabilités spatiales qu'il s'agisse des �uctuations verticalesdes propriétés hydrauliques des sols ou de la variabilité des types et des profondeurs desols jouent un rôle majeur dans la réponse hydrologique d'un bassin versant. Or il apparaîtdi�cile de mesurer, et plus encore de décrire dans un modèle mathématique cette varia-bilité. Nous y reviendrons dans la dernière partie du document. De même, les variationstemporelles à court et long terme de l'état hydrique des sols, de leurs propriétés phy-siques (gon�ement, retrait, battance), de l'activité biologique (stades végétatifs, activitéde la faune du sol) et anthropiques (imperméabilisation, opérations culturales), peuventprovoquer à certains endroits et moments l'apparition ou la disparition de processus.

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5 La modélisation hydrologique

5.1 Quelques éléments de vocabulaire

La modélisation hydrologique comme la modélisation mathématique d'une manièregénérale a son vocabulaire propre que nous présentons succintement ici.

Fig. 18 � Représentation schématique d'un modèle hydrologique

� Variables indépendantes ou variables d'entrée ou fonctions de forçage :données d'entrée du modèle. Dans le cas des modèles hydrologiques, il s'agit essentiel-lement des mesures pluie. Les modèles hydrologiques sont des modèles dynamiques,les données d'entrée �uctuent en fonction du temps. Certains modèles utilisent desdonnées d'entrée spatialement distribuées.

� Variables dépendantes ou variables de sortie : il s'agit essentiellement des dé-bits simulés à l'exutoire du bassin versant.

� Variables d'état: variables permettant de caractériser l'état du système modélisé,qui peuvent évoluer en fonction du temps dans un modèle dynamique. Il s'agit, parexemple, du niveau de remplissage des di�érents �réservoirs� d'eau du bassin versant,du taux de saturation des sols, mais aussi de la profondeur des sols, des pentes ...Certaines variables d'état sont mesurables.

� paramètres : la notion de paramètre est intimement liée à celle de modèles concep-tuels ou empiriques. Dans de nombreux cas, il n'est pas possible de représenter dansun modèle le processus physique parce que l'échelle de ce processus est trop petite etque les variables d'état contrôlant le processus ne sont pas accessibles à la mesure.Un modèle plus global est alors utilisé pour décrire le processus, mais certaines de sesvariables d'état n'ont plus de sens physique, et ne peuvent plus être reliées à des va-riables mesurables. Ces variables, dont la valeur doit être déterminée par calage, sontappelées paramètres. La loi de Darcy est un exemple de modèle empirique global.

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Le processus sous-jacent - écoulements d'eau dans un réseau complexe de pores - nepeut être décrit �nement. La conductivité hydraulique d'un sol n'est pas accessibledirectement à la mesure et doit être évalué à partir de tests d'in�ltration.

� erreur de modélisation : c'est une mesure de l'écart entre les valeurs simuléesà l'aide du modèle et les valeurs mesurées. Le critère le plus souvent employé enhydrologie pour quanti�er l'erreur est l'écart quadratique.

Err =N∑i=1

(Qi −Qmi )2

N nombre d'observationsQi débit simulé pour le pas de temps iQmi débit mesuré pour le pas de temps i

� calage : au sens strict du terme, c'est l'opération qui consiste à trouver les valeursdes paramètres du modèle qui minimisent l'erreur de modélisation.

5.2 Pourquoi des modèles hydrologiques?

Les modèles hydrologiques, comme nous l'avons vu plus haut, sont nés bien avant l'avè-nement de l'informatique. A quel besoin répondaient et répondent encore ces modèles? Lalittérature scienti�que présente une très grande diversité de modèles dont très peu onttrouvé une utilisation opérationnelle. La question de l'utilisation de modèles en hydrologie- pour e�ectuer des prévision, dimensionner des ouvrages d'art, délimiter des zones inon-dables - se pose en particulier pour les bassins versants pour lesquels on dispose de sériesde débits mesurés. Nous aurons l'occasion de l'aborder dans le cadre du Travail dirigéconsacré à la modélisation hydrologique.

Ceci dit, on peut distinguer trois types d'utilisation des modèles mathématiques enhydrologie.

� La modélisation comme outil de recherche . La modélisation peut être utili-sée pour interpréter des données mesurées. Di�érents scénarios de fonctionnementhydrologique des bassins versants peuvent être confrontés aux mesures. Un exempled'une telle utilisation de modèles hydrologiques est donnée en �gure 19. Les hydro-grammes de crue simulés avec di�érentes hypothèses sur le coe�cient d'apport sontconfrontés à un hydrogramme mesuré. de Sklash et Farvolden dont il a été questionen est une autre illustration : la modélisation hydrologique a con�rmé dans ce casque l'intumescence de nappe pouvait expliquer au moins en partie la réponse rapidedes bassins versants lors des crues.

� La modélisation comme outil de prévision : anticipation des évolutions futuresdu débit d'un cours d'eau. Il s'agit de l'utilisation opérationnelle la plus courante desmodèles hydrologiques. Dans la plupart des cas cependant, les modèles développéssont basés sur des régressions linéaires entre les variables indépendantes (pluie, débitsamont) et les variables dépendantes (débits aval), et font peu appel aux connaissancessur les processus hydrologiques. La �gure 20 présente les résultats de prévision desdébits moyens journaliers de la Seine en amont de Paris à l'aide de modèles linéaires.Trois modèles di�érents sont utilisés pour les trois horizons de prévision : 1 jour(rond), 2 jours (triangles), 3 jours (losanges).

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Fig. 19 � Simulation de la crue de l�Auzonnet (Gard) des 6 et 7 Octobre 1997 (Gaume& Livet, 1999)

Fig. 20 � Prévision des débits moyens journaliers de la Seine en amont de Paris (Gaume& Tassin, 1998)

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� La modélisation comme outil d'extrapolation : reconstitution de séries de débitsplausibles. Dans certains cas, comme par exemple le dimensionnement de déversoirsde sécurité de barrages hydroélectriques ou encore la délimitation de zones inondablesdans le cadre d'un Plan de prévention des risques, il est nécessaire de proposer desscénarios de crues, ou éventuellement d'étiages, de période de retour nettement su-périeure à la durée d'observation des débits sur le site étudié. L'utilisation de longuesséries de pluies - éventuellement générées à l'aide d'un modèle stochastique de pluie- couplées à un modèle hydrologique permet de reconstituer des scénarios rares. Lesdistributions de débits de pointe de crue d'un bassin versant �ctif reconstituées àl'aide de deux modèles hydrologiques di�érents sont présentées dans la �gure 21.

Fig. 21 � Reconstitution de la distribution des débits de pointe de crue d�un bassin versant�ctif de 10 km2 (Gaume et al., 1999)

5.3 Di�érentes approches de modélisation

Le terme de modèle recouvre une large variété d'outils, à la phylosophie et aux objectifsdi�érents. Les approches habituellement utiliseés en modélisation pluie-débit apparaissenten sombre dans la �gure 22. Quelques outils de modélisation hydrologique seront présentésdans le cadre du travail dirigé, nous nous contentons de donner ici quelques dé�nitions

� modèle déterministe : modèle qui associe à chaque jeu de variables de forçage,de variables d'état et de paramètres une valeur réalisation unique des variables desortie.

� modèle stochastique : l'une au moins des variables de forçage ou des variablesd'état ou des paramètres est une variable aléatoire. Par voies de conséquence, la oules variables de sortie sont des variables aléatoires. La reconstitution de la distributiondes variables de sortie nécessite des simulations répétées en tirant aléatoirement lavaleur de la variable d'entrée. On parle de simulation de Monte Carlo.

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Fig. 22 � Les di�érentes approches de modélisation

� modèle à base physique : modèle basé uniquement sur des équations de la phy-sique, et ne comportant idéalement aucun paramètre. Il n'existe pas de modèle àbase physique au sens strict en hydrologie comme nous l'avons vu plus haut. Cer-tains modèles comme le SHE (Refsgaard & Storm, 1995) tendent à s'en rapprocher.L'importance de l'hétérogénéité spatiale dans la réponse hydrologique des bassinsversants rend cependant di�cile voire impossible l'utilisation de tels modèles. Laprécision spatiale des données disponibles en particulier concernant les types de solset leurs profondeurs n'est pas su�sante. Dans la pratique, les profondeurs et lesconductivités moyennes des sols représentatives de sous parties du bassin versantdoivent être évaluées par calage et deviennent, de fait, des paramètres.

� modèle paramétrique : modèle incluant des paramètres dont la valeur doit êtreestimée par calage.

� modèle conceptuel : modèle dans lequel le fonctionnement du bassin versant estreprésenté par des analogies : concepts. L'analogie la plus souvent utilisée pour re-présenter le fonctionnement des sols et des nappes est celle du réservoir dont le débitde vidange dépend du taux de remplissage.

� modèle analytique : modèle pour lequel les relations entre les variables de sortie etles variables de forçage ont été établies par analyse de séries de données mesurées.L'exemple type est celui des modèles linéaires : les paramètres du modèles sont liésaux coe�cients de corrélation entre les variables. Notons que l'analyse des donnéespeut conduire au choix de relations non linéaires entre les variables.

� modèles empiriques : le type de fonctions reliant les variables est �xé à priori(fonctions polynômiales, fonctions sigmoïdes). Le niveau de complexité (nombre defonctions à utiliser, ordre du polynôme) étant �xé, le calage consiste alors à déter-miner la combinaison de fonctions s'ajustant le mieux aux données mesurées. Les

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réseaux de neurones sont l'exemple le plus répendu de ce type de modèles en hydro-logie. Les outils d'interpolation s'avèrent généralement être de piètres extrapolateurs.Ils sont donc à utiliser avec prudence en dehors de la gamme de valeurs pour laquelleils ont été calés.

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6 Travail dirigé : applications hydrologiques de modèles pluie-

débit globaux

6.1 Avant propos

Ce TD n.1 a pour but de familiariser les étudiants avec la manipulation de modèlespluie-débit et l'exploitation des résultats qu'ils fournissent pour diverses applications : di-mensionnement de barrages-réservoirs, prévisions hydrologiques, analyse de bassins ver-sants. Les modèles proposés fonctionnent au pas de temps journalier. Pour de nombreusesapplications ce pas de temps peut se révéler insu�sant comme les étudiants pourront ledécouvrir au cours du TD. Mais les données hydrologiques sont plus facilement accessiblesà ce pas de temps et surtout, la manipulation et la compréhension du fonctionnement desmodèles sont plus aisées. Le TD comporte trois parties. La première est consacrée au calagedes modèles. On s'interrogera sur le choix des critères de calage, sur les di�cultés d'opti-misation que l'on peut rencontrer lorsque le nombre de paramètres à caler augmente, surla dynamique des processus hydrologiques et le choix des formulations mathématiques lesplus appropriées, et en�n sur l'importance de la validation. Cette partie du TD permettrade choisir le modèle le plus adapté au bassin versant étudié. La seconde partie du TDportera sur l'une des principales applications opérationnelles des modèles hydrologiques :la prévision à cours terme des débits d'un cours d'eau. Di�érentes techniques de prévisionbasées sur une modélisation pluie-débit, mais aussi sur des modèles linéaires de type AR-MAX très employés dans les services d'annonce des crues seront comparées. En�n, dansune troisième partie, les étudiants auront à dimensionner divers types de barrages réser-voirs (écrêtement des crues, soutien d'étiage), et jugeront de l'intérêt de l'utilisation d'unmodèle pluie-débit par rapport à une simple exploitation des données de débit mesurées.

ATTENTION : Les outils de modélisation utilisés dans le TD, à savoir lelogiciel Scilab et les routines qui l'accompagnent, sont du domaine public. Enrevanche les données ne peuvent être utilisées dans un autre cadre que celui decet enseignement sans un accord de Météo-France pour les données de pluie etd'ETP et du Ministère de l'aménagement du territoire et de l'environnementpour les données de débit.

6.2 Introduction

6.2.1 Présentation du logiciel Scilab

Scilab est un logiciel de calcul numérique cousin de Matlab distribué gratuitement parl'INRIA. Il peut être téléchargé depuis l'adresse internet suivante : http://www-rocq.inria.fr/scilab/.Il a été utilisé dans ce TD car le langage de programmation est relativement simple et per-mettra aux étudiants assez rapidement de lancer des commandes ou d'écrire des scriptscomplexes. De plus, de nombreuses librairies intéressantes pour l'hydrologie sont associéesau logiciel Scilab : graphiques, statistiques, optimisation non linéaire, modèles ARMA, ré-seaux de neurones�

Le logiciel, une fois lancé, se présente sous la forme d'une fenêtre de commande où peutêtre exécutée toute instruction (lecture et écriture de �chiers, calcul sur des vecteurs et desmatrices, graphiques, et lancements de scripts en langages Scilab ou de routines en langageC ou Fortran). Il propose une aide en ligne et une série de démos accessibles avec la barrede menu. Les démonstrations et la liste des fonctions de l'aide permettent une premièrefamiliarisation avec les possibilités de ce logiciel.

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Les démos " introduction to Scilab " et " Graphics : Introduction " seront parcouruesen début de TD et complétées par quelques petits exercices de manipulation de matrices,de calcul et de graphisme.

6.2.2 Mise en route

Lancez le logiciel Scilab. Sélectionnez si nécessaire votre répertoire de travail en utilisantla commande " File / Change directory " du menu de Scilab. Tapez ensuite dans la fenêtrede commande l'instruction exec tdinit.sci qui permet le chargement des fonctions etexécutables en langage C qui ont été programmés pour les besoins du TD.

Vous êtes prêts à travailler.

6.2.3 Les données et les fonctions utilisées

Les �chiers de données utilisés ont été établis spéci�quement pour ce TD et ne doiventpas être utilisés en dehors de ce cadre. Ils rassemblent les mesures de pluies journalières etd'ETP (exprimées en mm/j) collectées par Météo-France ainsi que les mesures de débits(exprimés en m3/s) d'un certain nombre de bassins versants extraites de la banque Hydro.Les séries de données couvrent pour chaque bassin la période 1981-1995. Les �chiers dedonnées sont lus automatiquement lorsqu'on lance la commande tdhydro. Les débits sontconvertis en mm/j.

� [P,E,Qm] = tdhydro() : Commande qui permet la lecture des �chiers de données.La commande renvoie trois vecteurs de données classées par ordre chronologique : P(vecteur des pluies en mm/j), E (vecteur des ETP en mm/j) et Qm (vecteur desdébits mesurés en mm/j).

� [Q,f,xopt]=calhyd(P,E,Qm) : Commande de calage des modèles. Di�érents menuspermettent de choisir le modèle et les options de calage. Cette commande a pourargument les données mesurées et renvoie la série des débits simulés, les valeur ducritère optimal et des paramètres optimaux. Le suivi de l'évolution du critère de Nashpermet de véri�er que l'algorithme d'optimisation a convergé. Si ce n'est pas le cas,il faut augmenter le nombre d'itérations.

� Q=modele(par,P,E,Qm,mod) : Commande permettant la simulation d'une sériede débits. Les arguments sont les valeurs des paramètres, des données mesurées, etle numéro du modèle (1 Pour GR4 et 2 pour IHACRES).

6.3 Première partie : calage et choix de modèles hydrologiques

6.3.1 Les modèles proposés

Deux modèles conceptuels pluie-débit à pas de temps journalier sont proposés dans ceTD. Cette première partie du TD porte sur le calage et le choix du modèle qui sera utilisédans la suite du TD.

Le modèle IHACRES modi�é (�gure 23) La pluie nette dépend d'un indice desaturation S des sols du bassin versant qui est recalculé à chaque pas de temps en fonctionde la pluie brute et de l'ETP (paramètres X2 et X6). Cette pluie nette est ensuite répartieentre un écoulement rapide et un écoulement lent (paramètre X5), la dynamique de cesdeux écoulements étant reproduite à l'aide d'un modèle de réservoir linéaire (i.e. le débitdu réservoir est directement proportionnel à la quantité d'eau stockée) : paramètres X3 et

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X1. Les hydrogrammes obtenus sont en�n décalés dans le temps (paramètre X4). Notonsque pour faciliter la convergence de l'algorithme d'optimisation, les valeurs " vraies " desparamètres sont transformées. Les relations entre les valeurs des paramètres " vraies "(X1 à X6) et les valeurs sur lesquelles porte l'optimisation (x1 à x6) sont les suivantes :X1 = exp(x1) + 1X2 = exp(x2)X3 = exp(x3) + 1X4 = 11 + x4X5 = (x5 + 9.99)/19.98X6 = exp(x6)

Fig. 23 � Organigramme du modèle IHACRES modi�é

Le modèle GR4J (�gure 24) Il s'agit d'un modèle développé conjointement au CE-MAGREF et au CEREVE. Si la pluie est supérieure à l'ETP on calcule la pluie e�cace(Pn-Ps), la pluie " non e�cace " alimentant un premier réservoir. Dans le cas contraire,on calcule le volume qui s'évapotranspire du premier réservoir. Dans les deux cas, le cal-cul de la pluie e�cace et de l'évapotranspiration dépendent du taux de remplissage dupremier réservoir (R) et d'un paramètre X1. La pluie e�cace est répartie en 90% d'écoule-ment lent et 10% d'écoulement rapide. Ces deux composantes sont transformées par deuxhydrogrammes unitaires de même paramètre X4. L'écoulement lent alimente ensuite unréservoir (paramètre X2) dont le débit de vidange dépend de son taux de remplissage (T)à la puissance 4. Des échanges sont possibles avec des nappes profondes, leur débit F dé-pend du taux de remplissage du second réservoir. Selon la valeur du paramètre X3 ce �uxalimente ou se retranche du second réservoir et de l'écoulement rapide. Tout comme dans

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le modèle précédent on travaille avec des valeurs de paramètres transformées. Les relationsentre les valeurs vraies (X1 à X4) et les valeurs optimisées (x1 à x4) sont les suivantes :

X1 = exp(x1) (mm)X2 = exp(x2) (mm)X3 = sinh(x3) (mm)X4 = 0.325.x4 + 3.75 (jours)

Fig. 24 � Organigramme du modèle GR4j

6.3.2 Le calage

La fonction calhyd a été programmée pour les besoins du TD. Elle permet une utilisa-tion guidée de la fonction leastsq (least-square : moindres carrés) proposée dans Scilab pourl'optimisation non linéaire. Les arguments de calhyd sont les séries de pluie, ETP et débitsmesurés sur lesquels on souhaite ajuster le modèle. Il est donc possible suivant les argumentschoisis de faire porter le calage sur une sous partie de la série de données disponibles. Parexemple la commande [Q,f,xopt]=calhyd(P(500 :1000),E(500 :1000),Qm(500 :1000))permet de caler le modèle sur les valeurs des vecteurs des données mesurées comprises entreles rangs 500 et 1000. Attention, le vecteur Q renvoyé par la fonction calhyd ne comporteralui aussi que 501 valeurs. Si l'on souhaite reconstituer les débits simulés pour l'ensemblede la série avec le jeu de paramètres xopt, il faut relancer une simulation en utilisant lacommande Q=modele(xopt,P,E,Qm,mod) .

Il est important de noter que le modèle pluie-débit nécessite une mise en route. Lapremière année de simulation n'est pas considérée pour calculer le critère de calage. Il n'estdonc pas possible de caler le modèle sur des séries de données de durée inférieure à une

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année.Trois critères de calage sont proposés. On note Q (débits mesurés), F (débits simulés),

t (indice de temps), P (données de pluie), E (données d'ETP), " (paramètres du modèle).La somme des carrés des écarts :

C1(α) =n∑t=1

(Qt − Ft(α, P,E))2

C'est le critère le plus employé. Le résultat du calage est fortement in�uencé par les valeursimportantes des écarts, correspondant souvent aux périodes de crues. On rapporte souventla somme des carrés à la variance des débits mesurés. On parle alors de critère de Nash :

Nash = 1−∑nt=1(Qt − Ft(α, P,E))2∑nt=1(Qt −moy(Qt))2

Si le critère de Nash est négatif, le modèle est moins bon que l'utilisation de la moyennedes valeurs mesurées. Pour un modèle s'ajustant parfaitement aux données mesurées lecritère de Nash vaut 1. En général on attend d'un modèle hydrologique que son critère deNash soit supérieur à 0.8.

La somme des écarts absolus :

C2(α) =n∑t=1

| Qt − Ft(α, P,E) |

La somme des écarts relatifs :

C3(α) =n∑t=1

| Qt − Ft(α, P,E) |Ft(α, P,E)

Ces deux critères, moins in�uencés par les fortes valeurs d'écarts ou de débits, devraientpermettre un meilleur ajustement du modèle en période d'étiage. Ils peuvent cependantconduire à des fonctions critères discontinues (utilisation de valeurs absolues) aux minimummoins bien localisé, et donc compliquer la tâche de l'algorithme d'optimisation.

Les exercices du TD ont pour objet d'étudier la capacité des modèles proposés à repro-duire les données hydrologiques mesurées, et de révéler l'in�uence du critère de calage, dujeu de paramètres initiaux et du choix du modèle sur le résultat de calage.

Cet exercice révélera qu'il est di�cile de proposer un modèle conceptuel universel,les bassins versants ayant des comportement hydrologiques très di�érenciés. Vous pourrezaussi noter que la di�culté à caler un modèle augmente avec le nombre de paramètres.Le calage consiste à rechercher le minimum d'une fonction critère dont la valeur dépenddes paramètres du modèle. Cette recherche sera d'autant plus facile que la fonction critèreaura une forme régulière et concave (�gure 25). Le risque d'apparition de minima locaux,de zones " plates ", de discontinuités augmente avec le nombre de paramètres.

6.3.3 La validation

Le calage indique que le modèle choisi est un outil d'interpolation satisfaisant, il nepermet pas de juger des capacités d'extrapolation du modèle : de ses performances lorsqu'ilest utilisé avec des données qui n'ont pas servi à son calage. C'est l'objet de la validation. Lepari du modélisateur est qu'il a réussi à synthétiser au sein de son modèle la dynamique duprocessus qu'il étudie. De ce fait, on peut accorder une certaine con�ance aux résultats dumodèle utilisé en extrapolation. Il s'agit cependant toujours d'un pari dans la mesure où unmodèle n'est jamais totalement validé. Il faudrait pour cela le confronter à toutes les jeuxde données possibles. Le contrôle des performances du modèle sur des jeux de donnéesn'ayant pas servi à son calage donne cependant quelques indications sur les capacitésd'extrapolation du modèle.

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Fig. 25 � Exemples de recherche du minimum d'une fonction C(x)

6.3.4 Travail à réaliser

� Calez le modèle GR4j sur les données en utilisant le critère des moindres carrés.Augmentez le nombre d'itérations si vous constatez que le critère de Nash ne s'estpas stabilisé. Le modèle donne-il de bons résultats dans tous les cas. Commentez.

� Choisissez un bassin versant pour lequel le critère de Nash �nal dépasse 80

� Découpez vos données en 3 sous ensembles. Calez successivement le modèle sur chacundes sous ensembles et validez-le sur les deux sous-ensembles restants. Commentez?

� Tracez les erreurs du modèle retenu en fonction du débit simulé. La variance deserreurs vous semble-t-elle indépendante du débit?

6.4 Deuxième partie : prévision à courte échéance

6.4.1 Les di�érentes techniques de prévision

Prévoir l'évolution à court terme des débits d'un cours d'eau, en particulier en périodede crue, permet de mieux se préparer aux désordres engendrés par la montée des eaux :évacuation de biens et de populations exposés, vidange préventive de barrages réservoirs,constitution de stocks d'eau potable dans les usines de traitement � L'échéance choisiedépend du temps de réponse, et donc de la taille du bassin versant considéré. Elle estsouvent inférieure à la journée : par exemple huit heures pour la prévision des crues de laGaronne à Toulouse. Par ailleurs, le débit moyen journalier n'est une variable pertinenteque dans le cas de bassins versants à réponse hydrologique lente et aux crues persistantes :Loire, Rhône ou Seine aval pour la France. Ces bassins de grande dimension ne peuvent pas

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être représentés par des modèles hydrologiques globaux tels que GR4J dans la mesure où,entre autres, la répartition spatiale des pluies ne peut pas être négligée. L'exercice présentédans le TD a donc une vocation essentiellement pédagogique.

Parmi les méthodes de prévision, les modèles linéaires sont de loin les plus employés, enparticulier dans les services d'annonce de crues. Ces modèles appelés " ARMAX " (Autoregressive mooving average with external data) consistent à mettre en relation linéairele débit que l'on souhaite prévoir avec les variables explicatives (débits au pas de tempsprécédents mesurés à la même station, débits amont, pluie, évaporation).

Qt =n∑j=k

ajQt−j +n∑j=k

m∑i=1

bi,jXi,t−j + εt

Q débit mesuré à la station où l'on souhaite faire les prévisionsXi autres variables explicatives retenuesk horizon de prévisionε bruit blanct indice de temps

La première partie de l'exercice proposé consiste à tester plusieurs modèles linéairescalés en utilisant la fonction armax de Scilab (consultez l'aide de scilab pour cette fonction).

Exemple d'utilisation de armax :armax(2,2,Qm',P')

résultat affiché :

A(z^-1)y=B(z^-1)u + D(z^-1) e(t)

A(x) = 1 - 1.2748167x + 0.3334485x2

B(x) = 0.0032846 + 0.0284380x - 0.0021230x2

D(x) = 1

e(t)=Sig*w(t); w(t) 1-dim white noise

Sig= | 0.2040354 |

Le modèle optimal résultant s'écrit :

Qt = 1.27 Qt-1 - 0.33 Qt-2 + 0.003 Pt + 0.03 Pt-1 - 0.002 Pt-2 + et

Les modèles pluie-débit conceptuels sont encore peu utilisés pour e�ectuer des prévi-sions. En e�et, les écarts entre les valeurs simulées par les modèles et les données mesuréessont bien souvent plus importants que les �uctuations inter journalières ou d'un pas detemps à l'autre des débits. Un modèle pluie-débit donne donc, s'il est utilisé en prévision àun jour ou à un pas de temps, des résultats moins bons qu'une prévision naïve consistantà reconduire le débit mesuré au pas de temps précédent. On peut cependant notablementaméliorer les prévisions e�ectuées à l'aide d'un modèle hydrologique en corrigeant la sortiedu modèle. Deux méthodes sont proposées :

(1) Etudier l'autocorrélation des erreurs de modélisation, développer un modèle AR(autorégressif) sur ces erreurs, et corriger les valeurs prévues en ajoutant l'erreur prévue.Le nouveau modèle de prévision s'écrit alors :

Qt = F (P,E) +n∑j=k

ajεt−j + ε′t

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Q débit mesuré à la station où l'on souhaite faire les prévisionsF (P,E) valeur de débit calculée par le modèle hydrologiqueε écarts entre les débits mesurés et simulés par le modèle hydrologiqueε′ bruit blanct indice de temps

(2) Dans la partie précédente du TD, vous avez éventuellement pu remarquer que lavariance des erreurs augmente avec la valeur du débit simulé : on parle d'erreurs hétéroscé-dastiques. Il est donc plus judicieux dans certains cas de travailler sur les erreurs relativeset non les erreurs absolues. Comme dans le cas précédent on peut développer un modèleAR sur les erreurs relatives. Le nouveau modèle de prévision s'écrit :

Qt = F (P,E)

1 +n∑j=k

ajεt−j

+ ε′t

Q débit mesuré à la station où l'on souhaite faire les prévisionsF (P,E) valeur de débit calculée par le modèle hydrologiqueε écarts relatifs entre les débits mesurés et simulés par le modèle hydrologiqueε′ bruit blanct indice de temps

6.4.2 Travail à réaliser

Pour l'ensemble des exercices on divisera la série de données en un ensemble de calage(2/3 de la série) et un ensemble de validation (1/3) de la série. On calculera pour les deuxensembles de données un critère d'e�cacité dont l'expression est la suivante :

Eff = 100

(1−

∑n1 (Qt − Zt)2∑n−1

1 (Qt+1 −Qt)2

)

Q débit mesuré à la station où l'on souhaite faire les prévisionsZ valeur prédite

Ce critère permet de comparer les performances des di�érentes techniques de prévisionpar rapport à une prévision naïve consistant à reconduire le débit du jour précédent. SiE� est négatif, la méthode proposée est moins bonne que la méthode naïve au sens desmoindres carrés. Si E� est proche de 0, le gain par rapport à la prévision naïve est faible.

Les résultats comprendront les valeurs des critères d'e�cacité et la comparaison gra-phique de quelques hydrogrammes mesurés et prévus.

� Calez un modèle linéaire de prévision des débits basé sur les seuls débits mesurés auxpas de temps antérieurs en utilisant la fonction " armax " de scilab. Essayez plusieursordres pour le modèle ARMAX en partant de (1,1). Observe-t-on un gain importantpar rapport la méthode de prévision naïve?

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� Calez un modèle linéaire basé sur les débits mesurés au pas de temps précédents etles pluies mesurées au pas de temps précédents. Est-il nécessaire de choisir des ordresimportants pour le modèle ARMAX?

� Calez un modèle linéaire reliant les di�érences inter journalières des débits mesuréset les pluies. Observez-vous un gain par rapport au modèle précédent? Pourquoi?

� Comparer les performances de GR4j sans traitement des erreurs avec le meilleur desmodèles linéaires précédent.

� Calez un modèle linéaire de prévision des erreurs de GR4j basé sur les erreurs anté-rieures. Comment se situe le nouvel outil de prévision (GR4j + prévision des erreurs)par rapport au modèle linéaire?

� On sait par expérience que les erreurs dépendent des débits. Calez un modèle li-néaire de prévision des erreurs relatives. Cette nouvelle approche vous permet-elled'améliorer les prévisions?

6.5 Troisième partie : dimensionnement de barrages-réservoirs

Dans cette troisième partie du TD, il est proposé aux étudiants, à partir de deux cassimples, d'analyser si le modèle pluie-débit retenu peut être utilisé pour dimensionner desréservoirs. On comparera les résultats obtenus en utilisant les données de débits mesuréeset simulées. S'il s'avère que le modèle donne des résultats assez proches des séries mesurées,on pourra envisager de l'utiliser en extrapolation : l'utilisation de séries de pluies de longuedurée (mesurées ou simulées à l'aide d'un modèle stochastique de pluie) permettrait alorsde reconstituer de longue séries de débits et de dimensionner le réservoir ou d'étudier soncomportement pour des crues de périodes de retour élevées.

Les deux applications proposées portent sur le dimensionnement d'un réservoir pourl'écrêtement des crues et le dimensionnement d'un réservoir pour l'alimentation en eau.Dans les deux cas, il sera nécessaire de programmer une fonction Scilab permettant dereproduire l'évolution du remplissage du réservoir au cours du temps en fonction de sescaractéristiques : relation hauteur-volume, loi de vidange, fonction de demande en eau.

On considérera dans le TD que la loi de vidange d'un barrage écrêteur de crue dotéd'un évacuateur de fond de section circulaire a pour expression :

Q = 0.6πD2

4

√2gh

Q débit de vidangeD diamètre de la conduite de vidangeg accélération de la pesanteurh charge hydraulique (hauteur d'eau dans le barrage dans ce cas)

6.5.1 Travail à réaliser

� 0n veut satisfaire un besoin en eau de 0.3 mm/j tout en respectant un débit réservéégal au dixième du module inter annuel. Calculez le débit minimum qui doit doncs'écouler à l'aval de l'ouvrage. Calculez le volume nécessaire pour satisfaire la de-mande toutes les années de la période 1981-1995 en utilisant les données de débitsmesurées et les données de débit simulées.

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� Comparez les résultats obtenus dans les deux cas.

� On souhaite réaliser un barrage-réservoir qui permette de réduire de 10% le débitjournalier de crue de période de retour 1 an. Sur le site retenu la loi hauteur-volumea pour expression V = 6000 ∗ 2.5H. Trouvez le diamètre de la conduite de vidangequi permet d'atteindre cet objectif en utilisant les données de débit mesurées et lesdonnées générées par le modèle hydrologique. A�n de faciliter les calculs on considé-rera chaque jour que le débit de vidange est le débit correspondant au volume stockédans le barrage le jour précédent auquel est ajouté le volume entrant dans la jour-née. Cette simpli�cation conduira à surévaluer les débits de vidange et sous évaluerles volumes stockés. Quel est dans les deux cas le volume maximum stocké dans lebarrage durant la période 1981-1995?

� Comparer à nouveau les résultats obtenus dans les deux cas.

� Que pensez-vous de l'utilisation de modèles hydrologiques pour le dimensionnementd'ouvrages?

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