5.7 descartes et des graphes - smac · 2010. 10. 12. · présentation | 5.7 descartes et des...

Présentation | 5.7 Descartes et des graphes

5.7 Descartes et des graphes

Lors de Show Math, il a été question d’Ératosthène, mais pas de Platon, d’Euler ni de Descartes. Le nom de la formule relative aux sommets, aux faces et aux arêtes des polyèdres associe ces deux derniers. Cette formule, qui semble surprenante aux yeux de plu-sieurs, est bien vraie. Au cours de cette activité, les élèves auront l’occasion de l’utiliser dans le contexte des graphes.

Intentions de l’activité

• Faire observer un lien qui existe entre la géométrie et les graphes

• Donner des occasions d’émettre des conjectures

• Permettre aux élèves de mener à terme un raisonnement sans que cela ne soit trop difficile

Forme de la production attendue

• Questions et réponses

• Deux conjectures à émettre

• Raisonnement écrit

Concepts utilisés

• Polyèdres

• Graphes planaires, graphes connexes

• Sommets, arêtes et faces d’un graphe

• Relation de Descartes-Euler (S + F = A + 2), mieux connue sous le nom de relation d’Euler

Ressources matérielles

• À consulter au besoin: http://fr.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler#Le_Mysterium_Cosmographicum

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Préparation

• On peut réactiver les connaissances liées à la relation de Descartes-Euler vue au primaire et lors des premières années du secondaire, mais on peut aussi laisser les élèves la « redécouvrir » et ainsi émettre une conjecture.

• Discuter avec les élèves sur les polyèdres réguliers. Donner des exemples et des contre-exemples.

Réalisation

• Dans la première partie, les élèves voient quelles transformations ils peuvent apporter à un graphe sans modifier la relation de Descartes-Euler. Il faudra peut-être faire quelques étapes avec eux si on se rend compte qu’ils ne savent pas trop comment procéder.

• Dans la deuxième partie, les élèves doivent utiliser ces transforma-tions pour passer du graphe planaire d’un cube à celui d’un trian-gle. Si la première partie a été revue avec eux avant de passer à la deuxième, ils devraient pouvoir y arriver.

• Même si la démarche est assez longue, elle n’est pas très difficile.

Intégration

• Revenir sur le fait qu’une même règle mathématique peut s’appli-quer à deux réalités différentes. L’un des buts de la mathématique est de découvrir les modèles les plus simples qui fonctionnent dans le plus de cas possible.

Déroulement

Pistes de différenciation

• Demander aux élèves de faire la même expérience avec des po-lyèdres qui ne sont pas réguliers. Voir le site suivant pour obte-nir quelques modèles de poly-èdres qui ne sont pas réguliers : http://www.mathcurve.com/ polyedres/polyedre/polyedre.shtml.

• Refaire les transformations pour un autre graphe. Se convaincre que tous les polyèdres régu-liers peuvent être transformés en graphe planaire triangulaire.

Nom du solideNombre de faces

Nombre de sommets

Nombre d’arêtes

Le tétraèdre

Le cube

L’octaèdre

L’isocaèdre

Le dodécaèdre

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5.7 Descartes et des graphes

Show Math vous a présenté certains penseurs de la Grèce Antique comme Ératosthène. Il vous a aussi fait connaître Euler.

Dans cette activité, on vous demande d’abord de retrouver la rela-tion qui unit les trois éléments fondamentaux d’un solide : ses faces, ses sommets et ses arêtes. Ensuite, vous verrez comment cette relation s’applique aux graphes.

Remplissez le tableau ci-dessous à partir des cinq premiers poly-èdres « parfaits » et déterminez à partir de vos résultats quelle rela-tion existe entre le nombre de faces, le nombre d’arêtes et le nombre de sommets d’un polyèdre.

Nom : _________________________________________________________

Savais-tu qu’il y a 500 ans, des sa-vants croyaient que la distance entre les planètes du système solaire était reliée aux polyèdres formés par des polygones réguliers ? Savais-tu que ces solides, appelés polyèdres parfaits ou polyèdres de Platon, ont toujours fasciné les scientifiques ? De plus, ils sont associés aux graphes que tu étu-dies cette année.

Relation trouvée :

1.

2 | Cahier de l’élève | 5.7 Descartes et des graphes

Vous avez sans doute trouvé que la somme du nombre de sommets et du nombre de faces est égale au nombre d’arêtes plus 2. Cette règle est appelée la relation de Descartes-Euler, mieux connue sous le nom de re-lation de Euler.

Cette relation est aussi vraie pour les graphes connexes : la somme du nombre de leurs sommets et du nombre de leurs faces est égale au nombre de leurs arêtes plus 2.

Voici un graphe planaire représentant un cube aplati. Vérifiez que la rela-tion est vraie pour ce graphe.

Un graphe est connexe si, à par-tir d’un sommet quelconque, on peut joindre tous les autres som-mets en suivant les arêtes sans lever le crayon.

Nombre de faces1 :

Nombre de sommets :

Nombre d’arêtes :

Vérification de la relation :

Un graphe est planaire si les seg-ments qui lient les points les uns aux autres ne se croisent jamais.

Tout en gardant le graphe planaire, on ajoute une arête entre deux sommets qui ne sont pas directement liés. Vérifiez que la relation de Descartes-Euler est toujours vraie. Justifiez votre réponse.

1 Lorsque nous aplatissons un solide, il faut compter l’extérieur du graphe comme étant une des faces du solide.

2.

3.


Que se passe-t-il si on enlève une arête qui touche la face extérieure du graphe sans laisser de sommet pendant2 ?

Discutez de vos observations avec vos coéquipiers.

Maintenant, vous devez transformer le graphe initial pour obtenir un trian-gle en ajoutant et en enlevant, un à un, des segments et des sommets.

Attention, vous devez vous assu-rer que la relation de Descartes-Euler est valide à chacune des étapes.

État initial Étape intermédiaire État final

➡ ➡

2 Un sommet pendant est un sommet qui est relié au graphe par un seul segment.

4.

5.


Dessin du graphe Ce qui a été modifié Relation modifiée

Ajouter une arête

F = 7, S = 8, A = 13

F + S = A + 2 7 + 8 = 13 + 2

15 = 15

Enlever une arête

F = 6, S = 8, A = 12

F + S = A + 2 6 + 8 = 12 + 2

14 = 14


(suite)

Enlever une arête

F = 6, S = 8, A = 12

F + S = A + 2 6 + 8 = 12 + 2

14 = 14

Enlever un sommet et les deux arêtes qui le joignent

Ajouter une arête


Vous avez prouvé que le graphe initial est un graphe planaire triangulaire puisque vous avez réussi à le transformer en un triangle en respectant la relation de Descartes-Euler à chaque étape.

Transformez maintenant les polyèdres parfaits suivants en graphes planaires.

Le tétraèdre est composé de 4 triangles équilatéraux.

L’octaèdre est composé de 8 triangles équilatéraux.

L’icosaèdre est composé de 20 triangles équilatéraux.

Le dodécaèdre est composé de 12 pentagones réguliers.

6.

N’oubliez pas que, dans un graphe planaire :

• les segments qui lient les sommets les uns aux autres ne se croisent jamais.

• l’extérieur du graphe est con-sidéré comme une face.

• la mesure des angles du poly-èdre n’a pas à être conservée dans le graphe.


Croyez-vous que tous les polyèdres peuvent être représentés par un graphe planaire ?

Croyez-vous que tous les polyèdres peuvent être représentés par un graphe planaire triangulaire ?

7.

8.

6. (suite)

Corrigé | 5.7 Descartes et des graphes | 1

5.7 Descartes et des graphesCorrigéRemplissez le tableau ci-dessous à partir des quatre premiers polyèdres « parfaits » et déterminez à partir de vos résultats quelle relation existe entre le nombre de faces, le nombre d’arêtes et le nombre de sommets d’un polyèdre.

Relation trouvée :

1.

Nombre de faces + nombre de sommets = nombre d’arêtes + 2 ou

Nombre de faces + nombre de sommets - 2 = nombre d’arêtes

(Page 1)

Nom du solideNombre de faces

Nombre de sommets

Nombre d’arêtes

Le tétraèdre

4 4 6

Le cube

6 8 12

L’octaèdre

8 6 12

L’isocaèdre

20 12 30

Le dodécaèdre

12 20 30

2 | Corrigé | 5.7 Descartes et des graphes

Voici un graphe planaire représentant un cube aplati. Vérifiez que la relation est vraie pour ce graphe.

Nombre de faces1 : 6

Nombre de sommets : 8

Nombre d’arêtes : 12


Nombre de sommets + nombre de faces = nombre d’arêtes + 2

8 + 6 = 12 + 2

14 = 14

2.

Tout en gardant le graphe planaire, on ajoute une arête entre deux sommets qui ne sont pas directement liés. Vérifiez que la relation de Descartes-Euler est toujours vraie. Justifiez votre réponse.

3.

La relation reste inchangée.

Nombre de faces : 7





8 + 7 = 13 + 2

15 = 15

Que se passe-t-il si on enlève une arête qui touche la face extérieure du graphe sans laisser de sommet pendant2 ?

Discutez de vos observations avec vos coéquipiers.

4.

La relation reste inchangée.

Nombre de faces : 5





8 + 5 = 11 + 2

13 = 13

(Page 2)

(Page 2)

(Page 3)


Maintenant, vous devez transformer le graphe initial pour obtenir un trian-gle en ajoutant et en enlevant, un à un, des segments et des sommets.

5.

Dessin du graphe Ce qui a été modifié Relation modifiée

Ajouter une arête

F = 7, S = 8, A = 13

F + S = A + 2 7 + 8 = 13 + 2

15 = 15

Enlever une arête

F = 6, S = 8, A = 12

F + S = A + 2 6 + 8 = 12 + 2

14 = 14

Ajouter une arête

F = 7, S = 8, A = 13

F + S = A + 2 7 + 8 = 13 + 2

15 = 15

Enlever une arête

F = 6, S = 8, A = 12

F + S = A + 2 6 + 8 = 12 + 2

14 = 14

Ajouter une arête

F = 7, S = 8, A = 13

F + S = A + 2 7 + 8 = 13 + 2

15 = 15

Enlever une arête

F = 6, S = 8, A = 12

F + S = A + 2 6 + 8 = 12 + 2

14 = 14

Ajouter une arête

F = 7, S = 8, A = 13

F + S = A + 2 7 + 8 = 13 + 2

15 = 15

(Page 3)

4 | Corrigé | 5.7 Descartes et des graphes

(Suite)

Enlever une arête

F = 6, S = 8, A = 12

F + S = A + 2 6 + 8 = 12 + 2

14 = 14


F = 5, S = 7, A = 10

F + S = A + 2 5 + 7 = 10 + 2

12 = 12


F = 4, S = 6, A = 8

F + S = A + 2 4 + 6 = 8 + 2

10 = 10


F = 3, S = 5, A = 6

F + S = A + 2 3 + 5 = 6 + 2

8 = 8


F = 2, S = 4, A = 4

F + S = A + 2 2 + 4 = 4 + 2

6 = 6

Ajouter une arête

F = 3, S = 4, A = 5

F + S = A + 2 3 + 4 = 5 + 2

7 = 7


F = 2, S = 3, A = 3

F + S = A + 2 2 + 3 = 3 + 2

5 = 5


Transformez maintenant les polyèdres parfaits suivants en graphes planaires.

6.

Graphe planaire du dodécaèdre

Graphe planaire de l’isocaèdre

Graphe planaire de l’octaèdre

Graphe planaire du tétraèdre

Croyez-vous que tous les polyèdres peuvent être représentés par un graphe planaire ?

Croyez-vous que tous les polyèdres peuvent être représentés par un graphe planaire triangulaire ?

7.

8.

Oui. Bien que les figures soient déformées, elles conservent le même nombre de côtés et d’arêtes et l’extérieur du graphe représente la der-nière face.

Tous les polyèdres peuvent être représentés par un graphe planaire. Ce-pendant, ils ne seront pas nécessairement triangulaires.

(Page 6)

(Page 7)

(Page 7)

Le tétraèdre est composé de 4 triangles équilatéraux.

L’octaèdre est composé de 8 triangles équilatéraux.

L’isocaèdre est composé de 20 triangles équilatéraux.

Le dodécaèdre est composé de 12 pentagones réguliers.

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