5. méthodologie de l'homogénéisation

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 1

Méthodes de Changement d’Échelle : principe de l’homogénéisation et méthodologie_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

LocalisationLocalisation ijij= f(Eij,ij, Lhijkl)

HomogénéisationHomogénéisation (Lh

ijkl) (Eij,ij)

Milieu Homogène Milieu Homogène ÉquivalentÉquivalent

5. Méthodologie de l'homogénéisation

Chargement homogène (Eij,ij)

mili

eu h

été

rogène

mult

iphase

s5.1 Représentation (définition du VER)

VER

ReprésentationReprésentation

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 2


VER

5.1 Représentation (définition du VER)

Hypothèse : VER représente globalement tous les volumes élémentaires

• A priori, faux pour les aciers, céramiques, polymères, ...

• Quasiment vérifié pour les structures

ordonnées (composites à fibres longues,tissus,

…)

VER ~> une cellule élémentaire de

l’arrangement périodique

mais pour nous

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 3


Estimations ou un encadrement des caractéristiques effectives du Milieu Homogène

Equivalent

Estimations ou un encadrement des caractéristiques effectives du Milieu Homogène

Equivalent

maismais description complète impossible description complète impossible (sauf cas périodiques)

Utilisation d'outils d'analyse statistiques (moyennes des descriptions fines des positions, orientations, …) ou probabilistes

Comportement mécanique des phases

1/ Choix échelle microscopique + description statistique topologique

2/ Identification mécanique

Définition du VER Recherche, étude et description des constituants homogènes

ij(x,t)= Lijkl

x kl(x,t’) t't

ij(x,t)= Mijkl

x kl(x,t’)

Caractéristiques géométriques et distribution spatiale (VE tous différents)• géométrie des phases (ellipsoïdes, sphères,…)

• répartition

• fraction volumique

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 4



ijkl) (Eij,ij)


mili

eu h

été

rogène

mult

iphase

s

VER




5.2 Localisation

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 5


5.2 Localisation

VER = modèle de matériau hétérogène

Analyse mécanique Problème de calcul de structures

(computational mechanics)mais

pas complètement défini

• Sollicitations• Description statistique (fonctionnelle Y(x,t))

À préciserÀ préciser

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 6


Sollicitations

Sollicitations sur le VER Efforts au point macroscopique correspondant


relations de moyennes

? ? ? ?

F M

F M

Il faut revenir à un problème avec Conditions aux Limites classique

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 7


Solution (quand c’est possible) : contraintes ou déformations homogènes au contour

Formulation d’un problème avec conditions sur la frontière

Résultats démontrés

<ij> =

1|

ij(r)d = ij

h

Déformations homogènes *

ui - Eijh xj = 0

<ij> =

1|

ij(r)d = Eij

h

On définit <ij> = ij =

1|

ij(r)d

<ij> = Eij =

1|

ij(r)d

Contraintes homogènes *

ij-ij

h) nj =0

* p

as f

orc

ém

en

t con

nu

I

mp

osé

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 8


Conditions homogènes au contour : justifiées quand l >> d

l

d

ij(x)ij(x)

(hij - ij ) nj

ui - Eijh xj

x

0

d d

<<l

ui - Eijh xj = 0

ij - ij

h) nj = 0

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 9


1

Conditions homogènes au contour : Remarques

• Contraintes homogènes déformations homogènes

d l

Comportement homogénéisés si l >> d

• Pour les milieux périodiques

• Conditions de déplacement périodiques

• Contraintes anti-périodiquescontraintes S.A.

l

d

u1d-E1jx1Conditions homogènes au contour

(-n) = -n n

u1d-E1j(x1+l)

1

2

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 10


2u1

d=0u2

d=E11 l

u1d-E11

0=0u2

d-E11l=0

l

d

u3d=2 E11 l

Conditions en déformations périodiques :

Par exemple, on impose E11 seul :

Direction de périodicité0

u1d(x1,x2) =

E11(x1,x2) x1 + E12(x1,x2) x2

u1d(x1+l,x2) =

E11(x1+l,x2) (x1+l) + E12(x1+l,x2) x2

1

l

d

1

2

1

1

2

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 11


Encadrements et estimations :

Conditions de moyenne sur le VER + description statistique

Non-unicité de la solution

1/ Hypothèses supplémentairessolution uniquesolution unique mais sens physique des hypothèses cadre de validité des ESTIMATIONSESTIMATIONS (modèle)

2/ Similaire aux approches variationnelleschamp de contraintes et de déformations admissibles

(contraintes S.A., déformations compatibles)LocalisationLocalisation relier ces ‘ champs d’approche ’ aux grandeurs

macroscopiques imposées et paramètres de description

2 Démarches possibles2 Démarches possibles

Principe Principe : ENCADREMENTENCADREMENT(méthodes des bornes)

Encadrement optimalRaffinement

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 12


Considérons le problème de localisation résolu complètement :

(x,t) Ax [E(t’),Y(x’,t’)] x, x’ , t’ t

Fonctionnelle spatio-temporelle de - localisation des

déformationsDéformations (Contraintes)

macroscopiques

Ensemble des paramètres de description géométrique et mécanique du VER

Histoire du comportement

(x,t) Bx [(t’),Y(x',t’)] x, x’ , t’’ t’

Local

- concentration des contraintes

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 13



mili

eu h

été

rogène

mult

iphase

s



ijkl) (Eij,ij)


VER


5.3 Homogénéisation

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 14


5.3 HomogénéisationDétermination du comportement effectif à partir du

comportement local

relations de moyennes (<>) relations de localisation

Comportement du Matériau Homogène Équivalent

ij(x,t)= Lijkl

x kl(x,t’)

Loi de comportement locale

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 15


De manière formelle : pour les contraintes

(t) = < (x,t) > = < Lx (x,t’)> t’ t

Lx Ax [E(t’’),Y(x’,t’’)] x’ , t’’ t’

En utilisant la loi de comportement locale et l’expression de la fonctionnelle de localisation correspondante :

Soit finalement la loi de comportement équivalente :(qu’on suppose pouvoir s’écrire formellement)

ij(t) = Lijkl

Hom Ekl(t’) t’ t

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 16


De manière formelle : pour les déformations

Soit finalement la loi de comportement équivalente :(qu’on suppose pouvoir s’écrire formellement)

ij(t) = Mijkl

Hom kl(t’) t’ t

En utilisant la loi de comportement locale et l’expression de la fonctionnelle de localisation correspondante :

(t) = < (x,t) > = < Mx (x,t’)> t’ t

Mx Bx [(t’’),Y(x’,t’’)] x’ , t’’ t’

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 17


Remarques

• On rappelle que les fonctionnelles homogénéisées LH et MH

dépendent en toute rigueur du type de conditions au

contour considérées,

• de plus, rien ne garantit que ces 2 fonctionnelles soient, au

contraire des fonctionnelles locales, inverses l’une de l’autre

Ce théorème sera également utilisé dans les estimations des bornes d ’encadrement

Pour tester ce dernier point, on peut utiliser le Lemme de Hill

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 18


Lemme de Hill (condition de macrohomogénéité de Hill ou condition de Hill-Mandel)

Si est un champ de contrainte S.A. et ’ un champ de déformation

compatiblediv(*)=0 ’’(u’)

soit en contraintes homogènes au contour

soit en déformations homogènes au contour

< ij* ij' (u’) > = ijh < ij' (u’) >

< ij* ij' (u’) > = < ij* > Eijh

En conditions homogènes au contour et en homogénéisation périodique, on a égalité du travail macroscopique et de la moyenne

spatiale du travail microscopique :< ij* ij' (u’) > = ij

h Eij

h

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 19


5. Méthodologie de l'homogénéisation5.4 Remarques et conclusion

L’homogénéisation peut être une étape intermédiaire dans le calcul de réponses de matériaux :

• comportement macroscopique très sensible aux comportements microscopiques (endommagement, rupture, ...). •dans le cadre de grandes transformations

• Pour la suite : élasticité linéaire et déformations infinitésimales

HomogénéisationHomogénéisation

LH (MH)VER (Y(x,t)) LocalisationLocalisation

• Application d’un critère local• Actualisation de la représentation locale

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

S. DRAPIER 20


VER

HomogénéisationHomogénéisation

MH-Y(x,t)

LocalisationLocalisation

Ehx

xhY

]

h x

x[hY

]

ComportemenComportement localt local

xL x(x)

xM

x(x)

x x

xx

xEx

LH-E

5.5 Synthèse de la démarche

5. méthodologie de l'homogénéisation

Documents