4.5 Le bâton du pape

Lors de Show Math, les élèves ont vu comment, il y a 2200 ans, Ératosthène a calculé la circonférence de la Terre. Pour réussir cet exploit, il a dû utiliser des notions mathématiques car cette grandeur était impossible à mesurer physiquement à l’époque. Au fil du temps, l’homme a eu recours à divers procédés pour mesurer indirectement différentes choses.

Dans cette activité, l’élève sera amené à découvrir un de ces procé­dés : le bâton de Gerbert. Cette activité permettra d’approfondir le concept de similitude de triangles.

Intentions de l’activité

•  Faire voir aux élèves la portée des notions qu’ils apprennent

• Mettre en contexte les mathématiques

• Découvrir que l’étude d’un instrument de mesure ancien peut aider à la compréhension de problèmes réels et actuels

Forme de la production attendue

• Présentation et fonctionnement de l’instrument (partie 1)

• Construction de l’instrument (partie 2)

• Présentation orale (partie 3)

Concepts utilisés

•  Trigonométrie

•  Similitude de triangles

Ressources matérielles

• Bâtons (par exemple : tuteur pour les plantes, etc.)

• Ruban à mesurer

• Clou et marteau ou colle à bois

• Équerre

Présentation | 4.5 Le bâton du pape

Présentation | 4.5 Le bâton du pape

Déroulement

Préparation

•  Faire un rappel sur les cas de triangles semblables (les conditions minimales pour déterminer que des triangles sont semblables) et des conséquences que l’on peut tirer de ce fait.

•  Il faut essayer de faire voir aux élèves que dans les avancées techno­logiques se cachent des notions mathématiques et que le bâton de Gerbert était une importante avancée technologique pour l’époque.

Réalisation

• Dans cette activité, l’élève sera amené à sortir du cadre illustré pour trouver une solution au problème. Il devra comprendre que pour trouver la mesure manquante, il doit prolonger un segment de la figure 3.

•  L’enseignant pourra poser des questions et orienter le cheminement de ceux qui ont de la difficulté à voir les choses, surtout au début de l’activité.

•  L’élève devra justifier ce qu’il affirme au moyen du bagage mathé­matique qu’il possède.

•  Il devra construire un bâton de Gerbert en respectant le modèle qui lui est présenté.

•  Il serait très intéressant pour les élèves d’expérimenter leur instrument.

•  Il doit réinvestir ses apprentissages en réalisant une petite présenta­tion orale portant sur le fonctionnement du bâton de Gerbert. Afin de véritablement développer la compétence 3, il faudra s’assurer que l’élève explique correctement les principes mathématiques sur lesquels il se base.

Intégration

• Discuter de la possibilité d’effectuer les mêmes mesures, mais avec un bâton dont les segments sont dans un rapport de ½ au lieu d’être de même mesure.

•  Faire réaliser que la hauteur du bâton vertical par rapport à la hau­teur de l’œil de l’observateur est un facteur important dans l’effica­cité de la prise de mesure.

Pistes de différenciation

•  Il serait intéressant de discuter des limites de l’instrument. Par exemple, il faut que la mesure soit effectuée sur un terrain plat car il faut avoir le dégage­ment nécessaire afin de mesu­rer la hauteur de l’objet.

• Réaliser cette activité de con­cert avec les autres activités portant sur les instruments de mesure (Ératosthène et le GPS, l’Astrolabe et le Sextant) permettrait de comparer leur efficacité. Les élèves pourront aussi démontrer leur compré­hension des notions apprises en expliquant à des élèves qui ne connaissent pas leur instru­ment comment il fonctionne, à quoi il sert, etc.

•  Si certains élèves terminent trop vite par rapport à d’autres, on pourra leur demander de fa­briquer un bâton semblable qui permet de mesurer la hauteur d’objets situés plus loin.

Comment arriver rapidement, avec seule­ment un bâton, à trouver la mesure de la hauteur de votre école ? Il existe certainement plus d’une faon d’arriver à calculer pareille distance. Toutefois, si vous étiez né il y a 1000 ans, vous au­riez sans doute répondu à cette ques­tion en utilisant la méthode du bâton de Gerbert. Dans cette activité, vous allez devoir comprendre le fonctionnement de cet instrument de mesure datant du 11e siècle. Vous allez découvrir que ce bâton n’a pas de propriétés magiques, mais bien des propriétés mathématiques !

Cahier de l’élève | 4.5 Le bâton du pape | 1

4.5 Le bâton du pape

Nom : _________________________________________________________

Lors de Showmath, vous avez entendu parler d’un mathématicien grec du nom d’Ératosthène. Cet homme a réussi, il y a 2200 ans, à calculer la circonférence de la Terre en connaissant seulement la distance entre deux villes et la mesure d’un angle. Pour réussir cet exploit, il a dû utiliser des notions mathématiques car cette gran­deur était impossible à mesurer directement à l’époque.

Au cours des siècles passés, nous avons vu apparaître différents procédés pour mesurer la hauteur de grandes constructions comme celle des pyramides ou encore de la Tour Eiffel. Nous allons vous demander de construire et d’expliquer un de ces moyens trouvés par l’homme afin de mesurer des grandeurs linéaires. Le but de votre présentation sera de faire connaître aux autres votre instru­ment de mesure en expliquant comment vous l’avez fabriqué et quels étaient les avantages et inconvénients de son utilisation à l’époque où l’homme s’en servait.

A

PO

BFigure #1Figure 1

Partie 1Le bâton de Gerbert porte le nom de Gerbert d’Aurillac, un théologien, qui fut nommé pape en 999 et qui porta alors le nom de Sylvestre II.

L’instrument utilisé est formé d’un bâton, tenu verticalement, auquel un bâton plus court est attaché perpendiculairement près du sommet de fa­çon à ce que la longueur de ce bâton horizontal soit égale à la distance entre le point d’attache et le sommet du bâton vertical.

Si vous regardez la figure 1, mOP = mAP et ces segments sont perpendi­culaires.

Comment pouvons­nous mesurer la hauteur d’un objet avec un instru­ment aussi simple ? Tout d’abord, il faut viser de façon à voir simultané­ment (comme sur une même droite), l’extrémité du bâton horizontal (le point O), le sommet du bâton (le point A) et le sommet de l’objet dont nous voulons mesurer la hauteur. Par la suite, il faut connaître les relations entre les triangles semblables afin de déduire la hauteur désirée.

2 | Cahier de l’élève | 4.5 Le bâton du pape

Si nous voulons, par exemple, mesurer la hauteur de l’arbre ci­contre (figure 2), il faudra placer le bâton devant l’arbre et mettre notre œil de façon à voir en même temps les deux extrémités du bâton et la cime de l’arbre, comme le montre la figure 3.

Maintenant, à l’aide de cette figure et de vos habiletés à jouer avec les concepts géométriques, vous allez devoir expliquer comment au 11e siècle on pouvait utiliser cet instrument pour déduire la mesure de grandeurs inaccessibles. Pour ce faire, vous devez essayer d’exprimer la hauteur H comme étant la mesure de distances qui sont mesurables (connues).

Attention, vous devez arriver à une déduction logique de la réponse sous la forme d’affirmations et de justifications.

Pistes de réflexions :

• Il serait peut-être intéressant de prolonger un segment pour obte­nir d’autres triangles.

• Pouvez-vous identifier tous les triangles présents et trouver leurs

propriétés ?

• Ont-ils des angles communs ?

• Rappelez-vous que le bâton est construit de telle sorte que

mOP = mAP

E

H=?

A

D

O P

B

E

Observateur

Figure #2

?

Figure 2

Figure 3

1.

Cahier de l’élève | 4.5 Le bâton du pape | 3

Partie 3Nous vous invitons maintenant à présenter au groupe l’instrument que vous avez construit. Vous devez expliquer son fonctionnement ainsi que ses avantages et ses inconvénients. Nous vous demandons ici de porter un jugement critique sur cette invention du 11e siècle et d’essayer de faire ressortir les limites de son utilisation.

Partie 2Maintenant que vous savez comment fonctionne le bâton de Gerbert, nous vous invitons à partager cette découverte avec le reste de la classe. Afin de faciliter la compréhension des autres élèves, nous vous demandons d’en fa­briquer un. Voici une liste des matériaux que nous vous suggérons d’utiliser.

• Des bâtons (par exemple : tuteur pour les plantes, baguettes de bois, etc.)

• Ruban à mesurer

• Clou et marteau ou colle à bois

• Équerre

Vous devez faire un schéma de votre instrument avant de le construire. Les mesures de chacune de vos pièces de même que les matériaux utilisés doivent y apparaître.

Schéma de votre bâton

2.

Corrigé | 4.5 Le bâton du pape | 1

4.5 Le bâton du papeCorrigé

Il faut d’abord prolonger le segment DAO jusqu’à la droite représentant le sol. Ensuite, nous remarquerons que le triangle DEC est semblable au triangle APO.

En effet, comme le segment OP est parallèle au sol les angles AOP et DCE sont correspondants et isomé­triques.

Les angles APO et DEC sont droits et donc isométriques.

Comme le triangle APO est isocèle, le triangle DEC l’est aussi. Ainsi : mCE = mDE.

Il suffit donc de mesurer CE pour connaître DE.

Partie 1Si nous voulons, par exemple, mesurer la hauteur de l’arbre ci­contre (figure 2), il faudra placer le bâton devant l’arbre et mettre notre œil de façon à voir en même temps les deux extrémités du bâton et la cime de l’arbre, comme le montre la figure 3.

Maintenant, à l’aide de cette figure et de vos habiletés à jouer avec les concepts géométriques, vous allez devoir expliquer comment au 11e siècle on pouvait utiliser cet instrument pour déduire la mesure de grandeurs inaccessibles. Pour ce faire, vous devez essayer d’exprimer la hauteur H comme étant la mesure de distances qui sont mesurables (connues).

Attention, vous devez arriver à une déduction logique de la réponse sous la forme d’affirmations et de justifications.

E

H=?

A

D

O P

B

E

Observateur

Figure 3

c

1. (Page 2)

2 | Corrigé | 4.5 Le bâton du pape

Partie 2Maintenant que vous savez comment fonctionne le bâton de Gerbert, nous vous invitons à partager cette découverte avec le reste de la classe. Afin de faciliter la compréhension des autres élèves, nous vous demandons d’en fabriquer un. Voici une liste des matériaux que nous vous suggérons d’utiliser.

• Des bâtons (par exemple : tuteurs pour les plantes, baguettes de bois, etc.)

• Ruban à mesurer

• Clou et marteau ou colle à bois

• Équerre

Vous devez faire un schéma de votre instrument avant de le construire. Les mesures de chacune de vos pièces de même que les matériaux utilisés doivent y apparaître.

Différentes réponses sont appropriées

Schéma de votre bâton

2. (Page 3)