4. energie dinteraction, application à la reconnaissance de forme (texte, parole, radar …)...

4. Energie d’interaction, application à la reconnaissance de forme (texte, parole, radar …)

𝑢(𝑡 )

i

𝑅=1Ω

𝑃 (𝑡 )=𝑢 (𝑡 )∗𝑖 (𝑡) 𝑃 (𝑡 )=𝑅∗𝑖 (𝑡 )∗𝑖(𝑡)= 𝑖2

𝑃 (𝑡 )=𝑢 (𝑡 )∗𝑢(𝑡 )𝑅

=𝑢2

𝐸=∫−∞

+∞

𝑃 (𝑡 )𝑑𝑡=∫−∞

+∞

𝑢(𝑡)2𝑑𝑡=∫−∞

+∞

𝑖 (𝑡)2𝑑𝑡

Energie d’un signal, analogie avec l’électrocinétique

Par analogiesi x(t) est un signal, on lui attribue l’énergie:

si x(t) et y(t) sont 2 signaux, on leur attribue l’énergie d’interaction:

𝐸𝑥𝑥=∫−∞

+∞

𝑥 (𝑡 ) .𝑥 (𝑡 )𝑑𝑡

𝐸𝑥𝑦=∫−∞

+∞

𝑥 (𝑡 ) . 𝑦 (𝑡 ) 𝑑𝑡


Interaction « glissante » pour la reconnaissance

x = Forme à reconnaitre

y = Signal à traiter

x.y = produit x.y « élément à élément »


+∞

𝑥 (𝑡 ) . 𝑦 (𝑡 ) 𝑑𝑡=0

X

=




+∞

𝑥 (𝑡 ) . 𝑦 (𝑡 ) 𝑑𝑡=0

On décale la « forme » d’une quantité et on calcule l’énergie d’interaction à chaque fois

x

y

x.y

𝜏




+∞

𝑥 (𝑡 ) . 𝑦 (𝑡 ) 𝑑𝑡≠0Lorsque les 2 signaux se recouvrent, l’énergie d’interaction augmente. Elle est maximum lorsque les 2 signaux se recouvrent exactement. Puis diminue lorsque la forme glissante s’éloigne de la forme « cachée » dans y.

x

y

x.y

𝜏



L’énergie d’interaction dépend donc du décalage et on peut écrire :

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

𝜏0

L’énergie d’interaction possède un maximum pour un décalage . La forme a été identifiée dans le signal à cette position.


Exemple écho sonar

Un signal court formé d’un front négatif suivi d’un front positif est généré par une source ultra sonore. Un récepteur le recueille après qu'il se soit réfléchi sur un obstacle sous-marin. Le signal recueilli en retour contient du bruit et il faut évaluer le temps d’aller-retour afin d’en déduire la distance à laquelle se trouve l’obstacle.

0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1Le signal "aller"

temps(s)

Am

plit

ude


Exemple écho sonar

A) synthèse des signaux de l’exemple

ta=linspace(0, 1, 101);ya=zeros(size(ta));ya(1:50) = -1; ya(51:101) = 1;plot(ta, ya, 'o')gridtitle('Le signal "aller"')xlabel('temps(s)'), ylabel('Amplitude')

10 éléments

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

10 + 1 éléments

Avec Te=0,01=1/100, il faut 101 éléments …

size(ta) = [1, 101]

Les éléments d’indices 51 à 101 prennent la valeur « 1 »

Afficher la grille Décorations


Exemple écho sonar

A) synthèse des signaux de l’exemple

tr=linspace(0, 60, 6001);yr=zeros(size(tr));yr(4201:4200+101) = 0.6*ya;yr = yr + randn(size(tr));figureplot(tr, yr)title('Le signal "retour"')xlabel('temps(s)'), ylabel('Amplitude')

0 10 20 30 40 50 60-4-3-2-101234

Le signal "retour"

temps(s)

Am

plit

ude

Perte de 40% de l’amplitude du signal (absorption dans le milieu)

Le retour s’effectue après 42 secondes Le signal retour contient du bruit provenant du milieu de propagation


Exemple écho sonar

B) Reconnaissance de l’impulsion dans le signal retour

N=6001; n=101;

for i = 1 : N-n

xy = ya .* yr(i : i+n-1);

E(i) = sum(xy);

end

figureplot(tr(1:N-n), abs(E))

i=1, on multiplie ya avec yr(1 : 101), si=2, on multiplie ya avec yr(2 : 102), si=3, on multiplie ya avec yr(3 : 103), s…i=5900, on multiplie ya avec yr(5900 : 6001) 59 s

A chaque fois, on calcule l’NRJ d’interaction = somme discrète

On peut représenter le module car l'interaction x-y est plus visible

0 10 20 30 40 50 600

10

20

30

40

50

60

70

80


Exemple écho sonar

C) Détermination du temps aller-retour

𝜏0

Reconnaissance d’une lettre dans un mot

Cette activité simule la reconnaissance de caractères. Les caractères seront représentés par des signaux ayant une forme particulière.Télécharger les données « lettre_dans_mot.mat « sur http://www.u-picardie.fr/~dellis/tdsMASTER/MASTER_TdS_2012/. Elles consistent en 2 vecteurs: a) un signal « lettre » symbolisant une lettre, qu’on appellera « alpha »; b) un signal « mot » contenant différentes lettres dont « alpha ». L’objectif est d’écrire un programme qui permette de situer la place de « alpha » dans le mot.

0/ Représenter alpha et mot dans 2 figures différentes (on utilisera une syntaxe du type « plot(y) » car il n’y a pas de temps dans cette activité).1/ Quelle est la longueur de alpha ?2/ Toutes les lettres de mot ont la même longueur que alpha. Quelle est la place de alpha dans mot ?3/ Ecrire un programme qui implémente l’algorithme de l’interaction « glissante ». L’interaction est maximale lorsque la lettre du mot correspond à alpha. Retrouve t’on le résultat de 2/. Expliquer.

http://www.u-picardie.fr/~dellis/tdsMASTER/MASTER_TdS_2012/

Télécharger les données DSEI_donnees.mat sur http://www.u-picardie.fr/~dellis/tdsMASTER/MASTER_TdS_2012/.

Elles consistent en 3 vecteurs: a) le temps t; b) un signal de référence x(t) et c) un signal mesuré y(t).x(t) est un signal purement sinusoïdal qui a servi à exciter un système physique dont la réponse y(t) mesurée est faible et par conséquent contaminée par du bruit.Lors de la mesure, le manipulateur a cherché à régler un paramètre expérimental PE afin d’obtenir la réponse y la plus grande possible (optimisation du rapport signal sur bruit).

1/ Représenter dans un même graphe x et y. Est-il possible en observant la figure, de déterminer la fenêtre de temps pour laquelle le paramètre expérimental PE est optimal (donne la réponse y la plus grande) ?

2/ Soit N le nombre d’éléments du vecteur t. Quelle est sa valeur ? Soit t1 la période en secondes de x ? Quelle est sa valeur ? A combien d’éléments correspond une durée t1 ? Appelons ‘longueur’ ce nombre d’éléments.

3/ Créer un programme traitant les données de façon à ce que l’on puisse déterminer la fenêtre de temps pour laquelle le paramètre expérimental PE est optimal (donne la réponse y la plus grande).

Corrélation entre un signal de référence et un signal mesuré


13

4. Analyse spectrale 4.1. Densité Spectrale d’Energie (DSE)

Soit x(t) un signal d'énergie finie et X(f) son spectre. On définit la DSE du signal x(t) par :

La DES est donc le carré du module du spectre :

Physiquement, la densité spectrale d'énergie fournit une représentation de la répartition fréquentielle de l'énergie du signal.La DSE ne donne pas d’information sur la phase. L'opération permettant de passer du spectre à la DSE est non réversible : l'information phase est perdue. Exemple:

14

4. Analyse spectrale 4.2. Fonction d’ autocorrélation

est appelée fonction d'autocorrélation.

La transformée de Fourier de l'autocorrélation est égale à la densité spectrale d'énergie:

Prise au point , cette fonction mesure en quelque sorte la manière dont les structures que l'on peut voir dans un signal x(t) se répètent sur des échelles de temps de l’ordre de .L'autocorrélation et la densité spectrale d'énergie contiennent les mêmes informations. Il est donc possible de considérer l'autocorrélation comme une caractérisation des propriétés énergétiques d'un signal dans le domaine du temps.

Certaines propriétés sont mieux mises en évidence par l'une ou l'autre des représentations.

TF TFiRépartition fréquentielle de l'énergie

Répartition temporelle de l'énergie

15

4. Analyse spectrale 4.3. DSE croisée - Fonction d’ intercorrélation

La Densité Spectrale d‘Energie d‘Intercorrélation notée DSEI est définie par :

Contrairement à la DSE, la DSEI est un nombre complexe. Son module est significatif de la puissance d'interaction et son argument du déphasage entre x(t) et y(t).

La fonction d‘intercorrélation des signaux x(t) et y(t), pris dans cet ordre, est définie par :

La fonction d‘intercorrélation est une mesure de la similitude de deux signaux en fonction du paramètre de translation, ici le temps. Elle fournit une mesure du décalage temporel entre deux signaux non identiques mais reliés à un même phénomène physique.

Si , les signaux x(t) et y(t) sont dits non corrélés.

Corrélation entre un signal de référence et un signal mesuréTélécharger les données DSEI_donnees.mat sur http://www.u-picardie.fr/~dellis/tdsMASTER/MASTER_TdS_2012/.

Elles consistent en 3 vecteurs: a) le temps t; b) un signal de référence x(t) et c) un signal mesuré y(t). x(t) est un signal purement sinusoïdal qui a servi à exciter un système physique dont la réponse y(t) mesurée est faible et par conséquent contaminée par du bruit. Lors de la mesure, le manipulateur a cherché à régler un paramètre expérimental PE afin d’obtenir la réponse y la plus grande possible. Il utilise pour cela un corrélateur qui va être implémenté ici : .1/ Représenter dans un même graphe x et y. Est-il possible en observant la figure, de déterminer la fenêtre de temps pour laquelle le paramètre expérimental est optimal ?2/ Soit N le nombre d’éléments du vecteur t. Quelle est sa valeur ? Soit t1 la période en secondes de x ? Quelle est sa valeur ? A combien d’éléments correspond une durée t1 ? Appelons ‘longueur’ ce nombre d’éléments.3/ Dans la boucle for ... end suivante, quelles valeurs prennent les arguments d’entrées de simul_TF à la première itération, à la seconde, la troisième, ... ? Que représente alors X et Y à chaque itération ?

for i=1:N-longueur[fX, X] = simul_TF(t(i:i+longueur), x(i:i+longueur), []);[fY, Y] = simul_TF(t(i:i+longueur), y(i:i+longueur), []);

end


4/ On complète la boucle précèdente:for i=1:N-longueur

[fX, X]=simul_TF(t(i:i+longueur), x(i:i+longueur), []);[fY, Y]=simul_TF(t(i:i+longueur), y(i:i+longueur), []);Sxy=X.*conj(Y);

endRemarquer le ‘.’ devant l’opérateur ‘*’. Pour comprendre sa signification, expérimenter dans la fenêtre de commandes:

>> a=[1, 2; 3, 4]>> b=[5, 6; 7, 8]>> calcul_avec_point= a.*b>> calcul_sans_point= a*b

Quelle est la différence entre ces 2 calculs ?Dans l’aide de Matlab, chercher ce que fait la fonction conj.Finalement que représente Sxy à chaque itération ?5/ On complète la boucle précèdente:for i=1:N-longueur

[fX, X]=simul_TF(t(i:i+longueur), x(i:i+longueur), []);[fY, Y]=simul_TF(t(i:i+longueur), y(i:i+longueur), []);Sxy=X.*conj(Y);[ttemp, Cxy]=simul_TFI(fX, Sxy,[]);Cxy_mean(i)=mean(abs(Cxy));

endDans l’aide de Matlab, chercher ce que fait la fonction mean.Que représente Cxy ? Cxy_mean ? (comparer, pour une itération donnée, leur taille).

6/ On complète le calcul t_Cxy=linspace(0, t(end), length(Cxy_mean));plot(t_Cxy, Cxy_mean)Expliquer ce qui est fait ci-dessus.A quels moments le paramètre expérimental PE est-il optimum ?

Pour information, les données ont été simulées et générées par le programme suivant:N=4000;tf=50;t=linspace(0, tf, N); % crée un vecteur t régulièrement espacé f1=0.5;t1=1/f1;x=cos(2*pi*f1*t); % crée un signal de référence n=randn(size(t)); % crée un signal aléatoire (n==noise) de même taille que le vecteur ty=x+n; % ajoute ce ‘bruit’ au signal x pour simuler le signal 'reçu'deb=round(N*0.35); fin=round(N*0.75); % précise les indices où le signal reçu se décorrèle de 50%y(deb:fin)=0.5*y(deb:fin)+ 0.5*n(deb:fin); % diminue l'amplitude pour ces indices et complète avec le bruitplot(t, y, t, x, 'r') % représente le signal référence et reçu

4. energie dinteraction, application à la reconnaissance de forme (texte, parole, radar …)...

Documents