3eme chap 3

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I.Équations. II.Inéquations.

Cours de mathématiquesÉquations et inéquations du 1er degré

X. GARDEIL

18 février 2012

Troisième de collège Collège de Bozel (Savoie)

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I.Équations.1.1.Définition :1.2.Résolution d’une équation :1.3.Transformer une équation :1.4.Équation produit :

II.Inéquations.2.1.Résolution d’une inéquation :2.2.Transformer une inéquation :


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1.1.Définition :




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1.1.Définition :

Une équation est une égalité dans laquelle un nombre inconnuest remplacé par une lettre. Cette lettre peut être un x ou uneautre lettre de l’alphabet.

Une équation c’est comme une balance où le signe =représente l’aiguille de la balance.


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1.1.Définition :

Une équation est une égalité dans laquelle un nombre inconnuest remplacé par une lettre. Cette lettre peut être un x ou uneautre lettre de l’alphabet.Une équation c’est comme une balance où le signe =représente l’aiguille de la balance.


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1.2.Résolution d’une équation :




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1.2.Résolution d’une équation :

DéfinitionI Résoudre cette équation, c’est trouver l’ensemble des valeurs

numériques que l’on peut donner à cette inconnue pour quel’égalité soit vraie.

I L’ensemble solution c’est l’ensemble des valeurs que peutprendre l’inconnue pour que l’équation soit vraie.


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1.3.Transformer une équation :




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Pour rechercher les solutions d’une équation on peut effectuerdes calculs sur les équations. Dans ce cas on doit suivre lesdeux règles de calcul suivantes :


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I Règle no1 : Une équation a les mêmes solutions quetoutes les équations obtenues en ajoutant (ou enretranchant) un même nombre aux deux membres del’équation.

I Règle no2 : Une équation a les mêmes solutions quetoutes les équations obtenues en multipliant (ou endivisant) par un même nombre non nul les deux membresde l’équation.


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Pour résoudre une équation on la transforme grâce aux règlesde calculs pour la mettre sous l’une des deux formessuivantes :

ax = b

où a et b sont des nombres.

A ∗ B ∗ ... ∗ C = 0

où A, B et C sont des facteurs.


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1.4.Équation produit :




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DéfinitionUne équation produit est une équation que l’on trouve sous laforme d’un produit de facteurs égal à zéro. Elle est de la forme :

(ax + b)(cx + d) = 0


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RemarqueLorsqu’une équation se présente sous la forme d’un produit defacteurs égal à zéro, il ne faut surtout pas développer ce produitmais utiliser les règles suivantes :

I Règle no1 : Si un produit est nul, Alors l’un au moins deses facteurs est nul.

I Règle no2 : Si l’un des facteurs d’un produit est nul, Alorsce produit est nul.

Les deux équations à résoudre seront :ax + b = 0 ou cx + d = 0.


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exempleRésoudre l’équation (2 − 3x)(4x + 8) = 0Le produit (2 − 3x)(4x + 8) est nul lorsque :2 − 3x = 0 ou 4x + 8 = 0


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On résout alors les deux équations :

2 − 3x = 0 ou 4x + 8 = 0

2 = 3x ou 4x = −8x = 2

3 ou x = −2

Conclusion : 23 et −2 sont les solutions de l’équation.


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2 − 3x = 0 ou 4x + 8 = 02 = 3x ou 4x = −8

x = 23 ou x = −2



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2 − 3x = 0 ou 4x + 8 = 02 = 3x ou 4x = −8x = 2

3 ou x = −2



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DéfinitionUne inégalité dans laquelle un nombre inconnu est remplacépar une lettre s’appelle une inéquation.


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2.1.Résolution d’une inéquation :




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DéfinitionRésoudre cette inéquation, c’est trouver l’ensemble desvaleurs numériques que l’on peut donner à l’inconnue pour quel’inégalité soit vraie.

L’ensemble solution c’est l’ensemble des valeurs que peutprendre l’inconnue pour que l’inéquation soit vraie.


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DéfinitionRésoudre cette inéquation, c’est trouver l’ensemble desvaleurs numériques que l’on peut donner à l’inconnue pour quel’inégalité soit vraie.L’ensemble solution c’est l’ensemble des valeurs que peutprendre l’inconnue pour que l’inéquation soit vraie.


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Pour résoudre une inéquation on la transforme grâce auxrègles de calculs pour la mettre sous l’une des deux formessuivantes :

I ax ≥ bI ax ≤ bI ax < bI ax > b

où a et b sont des nombres.


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2.2.Transformer une inéquation :




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On peut effectuer des calculs sur les inéquations pourrechercher leurs solutions. Dans ce cas on doit suivre les troisrègles de calcul suivantes :


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I Règle no1 : Une inéquation a les mêmes solutions quetoutes les inéquations obtenues en ajoutant (ou enretranchant) un même nombre aux deux membres del’inéquation.

I Règle no2 : Une inéquation a les mêmes solutions quetoutes les inéquations obtenues en multipliant (ou endivisant) par un même nombre strictement positif les deuxmembres de l’inéquation.

I Règle no3 : Une inéquation a les mêmes solutions quetoutes les inéquations obtenues en multipliant (ou endivisant) par un même nombre strictement négatif les deuxmembres de l’inéquation pour lesquelles on aura changerle sens de l’inégalité.


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