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LES OPÉRATIONS DE MULTIPLICATION

ET DE DIVISION

Durée suggérée : environ 3 semaines

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LES OPÉRATIONS DE MULTIPLICATION ET DE DIVISION

PROGRAMME DE MATHEMATIQUES 4e ANNEE – VERSION PROVISOIRE

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Aperçu du chapitre

Introduction

À la fin de la 4e année, démontrer sa connaissance d’une opération de multiplication signifie que l’on fournit une réponse rapide (moins de trois secondes pour la plupart des élèves) à une question portant sur une opération sans faire appel à des techniques inefficaces, comme compter. Les cartes-éclair et les tests chronométrés sont appropriés, mais ne doivent être utilisés qu’après un développement suffisant. Les Stratégies pour apprendre les tables de multiplication ont été incluses à l’annexe C aux fins de référence tout au long de l’année. L’approche recommandée pour la pratique et la remémoration de stratégies est de présenter d’abord une stratégie, accompagnée de matériel concret, de pratiquer cette stratégie et ensuite d’ajouter et de pratiquer de nouvelles stratégies. Quand les élèves disposent de deux stratégies et plus, il est important de se concentrer sur le choix de la stratégie, qui implique que l’on choisit la stratégie la plus utile pour trouver une opération en particulier. Les enseignants doivent prévoir suffisamment de temps à la fois pour l’élaboration et la pratique de ces stratégies pour s’assurer que les élèves peuvent démontrer qu’ils connaissent leurs tables. Souvent, les stratégies portant sur les tables reposent sur des stratégies ou des concepts préalablement élaborés. Par exemple, les enseignants pourront rappeler aux élèves la propriété de l’ordre des nombres (commutative), par ex. 6 x 8 = 8 x 6). Expliquez que 6 x 8 fait référence à 6 groupes de 8, tandis que 8 x 6 fait référence à 8 groupes de 6; les produits, en revanche, sont les mêmes. L’élaboration des tables de multiplication de base jusqu’à 9 × 9 et des opérations de division réciproques exige que l’élève ait une bonne connaissance des régularités, des relations entre les nombres, des valeurs de position, ainsi que du sens du nombre, des relations et des propriétés des opérations, comme il est décrit dans les indicateurs de rendement fondamentaux. Le lien entre les opérations de la multiplication et de la division est essentiel pour que les élèves saisissent les tables de la multiplication et de la division. Les élèves qui ont appris leurs tables de multiplication ont automatiquement appris leurs tables de division. Cette démarche se poursuit tout au long de l’année scolaire, car ces connaissances sont essentielles à de nombreux concepts mathématiques.

Processus mathématiques

[C] Communication [CE] Calcul mental et estimation [L] Liens [R] Raisonnement [RP] Résolution de problèmes [T] Technologie [V] Visualisation



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Domaine : Le nombre

Résultats d’apprentissage spécifiques

L’élève doit pouvoir :

4N4 Expliquer les propriétés de 0 et de 1 pour la multiplication ainsi que la propriété de 1 pour la division. (Suite) [C, L, R] Indicateurs de rendement : 4N4.1 Déterminer la réponse à

une question donnée qui implique

la multiplication d’un nombre par

un et expliquer la réponse.

4N4.2 Déterminer la réponse à

une question donnée qui implique

la multiplication d’un nombre par

zéro et expliquer la réponse.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Amener les élèves à saisir les propriétés de 0 et 1 pour la multiplication (4N4), car les règles arbitraires risquent de causer de la confusion avec les propriétés de l’addition de 0 et 1. Remettez une calculatrice à chaque élève pour explorer les produits découlant des facteurs 0 et 1 (c.-à-d. 654 x 0, 0 x 54, 3418 x 1, 1 x 26 et 7854 x 1, etc.) et chercher des régularités. En échangeant sur leurs trouvailles, les règles pour les facteurs de 0 et 1 émergeront, et non le pourquoi de ces règles. Utilisez une droite numérique de 0 à 10 et demandez :

• À quoi ressembleraient 7 sauts de 1 (7 x 1)? (terminez sur le 7)

• À quoi ressemblerait 1 saut de 7 (1 x 7)? (terminez sur le 7)

• À quoi ressembleraient 5 sauts de 0 (5 x 0)? (terminez sur le 0

cinq fois).

• À quoi ressemblerait 0 saut de 5 (0 x 5)? (demeurez sur le 0 –

pas de sauts)

Utilisez du matériel divers concret et des dessins pour démontrer que :

• Tout nombre multiplié par 1 demeure inchangé. 1 x signifie simplement un groupe de .

Par exemple, Elizabeth aime préparer des crêpes le samedi matin pour sa famille, qui compte 6 personnes. Elle met une crêpe dans chaque assiette. Demandez : Combien de crêpes a-t-elle préparées?

• La propriété de 0 : tout nombre multiplié par 0 égale 0 (parce que plusieurs 0 égalent toujours 0).

Par exemple, utilisez des assiettes en papier pour le concept de la multiplication par 0. Montrez 6 assiettes vides. Demandez : « Combien d’assiettes y a-t-il? » (Réponse : 6). Demandez : « Combien de biscuits y a-t-il dans chaque assiette? » (Réponse : 0). Demandez : « Six groupes de 0 font combien? » (Réponse : 0). Écrivez la phrase de nombres : 6 x 0 = 0. Dénoncez l’idée fausse voulant qu’une multiplication entraîne toujours un résultat supérieur : tout nombre multiplié ou divisé par 1 demeure inchangé.



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Résultat d’apprentissage général : Développer le sens du nombre

Stratégies d’évaluation Dialogue élève-enseignant/journal

Posez la question : • Qu’y a-t-il de spécial à multiplier par 1? • Qu’y a-t-il de spécial à multiplier par 0?

Utilisez des descriptions imagées ou des nombres pour expliquer. Présentation

Montrez aux élèves deux ou trois phrases de multiplication dont seulement une correspond à un problème tiré d’un récit. Demandez-leur de choisir les phrases de multiplication qui représentent le problème et de dessiner une image pour expliquer leur choix. Exemple : Grand-maman est allée faire des emplettes de Noël pour ses six petits-enfants. Elle voulait leur acheter à tous un DVD, livre, jeu, CD, etc. populaire : _____________________ (insérer le titre), mais tous les magasins avaient épuisé leur stock. Quelles phrases de multiplication représente le problème de grand-maman?

• 1 x 6 = 6 • 6 x 1 = 6 • 0 x 6 = 0 • 6 x 0 = 0 (réponse exacte)

Papier-crayon

À l’aide d’une grille de cent, demandez aux élèves de trouver tous les multiples de 2 et de les encercler en couleur. Demandez-leur de décrire le résultat (exemple de réponse : cela ressemble à un damier). Répétez cette tâche pour les multiples de 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Demandez aux élèves de décrire les changements qu’ils observent à mesure que les nombres augmentent. Quand vous observez travail des élèves, notez jusqu’à quel point ils : • trouvent tous les multiples • trouvent certains ou aucun des multiples du nombre donné • sont en mesure de prédire et d’élargir la régularité des multiples • décrivent la régularité (clairement, partiellement, difficilement) en le reliant à des modèles semblables dans le monde réel. Papier-crayon

Demandez aux élèves de remplir par un nombre les espaces vides et d’expliquer la raison de chaque choix : 4, 8, ___, 16, 20, __ 5, ___, 15, ___, 25 3, ___, ___, 12, 15

Ressources /Notes Compas Mathématiques 4 * Présentation du chapitre 6 GE p. 8 ME p. 166-167 Premiers pas GE p. 9 ME p. 168-169 Ces deux premières parties ne devraient pas prendre plus de la moitié d’une période. Leçon 1: Multiplier des nombres en comptant par sauts 4N4 (4.1/ 4.2) 4N5 (5.1) 4RR6 (6.2/ 6.4) GE p. 12-15 ME p. 170-173 CA p. 45 Les leçons 1 et 2 peuvent être faites ensemble. * Légende GE: Guide d’enseignement ME: Manuel de l’élève CA : Cahier d’activités



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Domaine : Le nombre



4N5 Décrire et appliquer des stratégies de calcul mental, telles que : - compter par sauts à partir

d’une multiplication connue; - utiliser la notion du double

ou de la moitié; - utiliser la notion du double

ou de la moitié, puis ajouter ou retrancher un autre groupe;

- utiliser les régularités qui se dégagent des multiplications par 9;

- utiliser des doubles répétés; pour déterminer les multiplications jusqu’à 9×9 et les divisions reliées. [C, L, CE, R, RP]

Indicateurs de rendement : 4N5.1 Donner des exemples de

l’application de stratégies de calcul

mental en utilisant :

• la notion du double

• le comptage par saut à partir

d’une multiplication connue

4RR6 Résoudre des équations à une étape dans lesquelles un nombre inconnu est représenté par un symbole. [C, L, R, RP, V] Indicateurs de rendement: 4RR6.2 Résoudre une équation à une

étape donnée en procédant par

tâtonnement.

4RR6.4 Résoudre une équation

donnée dans laquelle l’inconnue

apparaît dans le membre de gauche

ou dans le membre de droite.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage et l’apprentissage Le système des nombres est rempli de régularités. L’exploration des régularités aide les élèves à élaborer des stratégies de multiplication comme le comptage par sauts et l’addition répétée. Les modèles possibles pour le comptage par sauts comprennent, entre autres, une table de cent, une droite numérique, un tableau ou un pictogramme. Le comptage par sauts est pratique pour certains nombres; certains élèves peuvent toutefois éprouver des difficultés pour d’autres (par ex. le comptage par sauts de 8). Les élèves trouvent facile de compter par sauts de 5 ou d’utiliser la stratégie de l’horloge pour les aider à compter par sauts de 5 (voir annexe C). 4RR6.2 Pour cette stratégie, un élève devine la réponse et se vérifie pour voir si elle est exacte. Dans le cas contraire, l’élève modifie sa réponse en s’appuyant sur ce qu’il a appris. Ce processus répétitif se poursuit jusqu’à ce qu’il trouve la réponse. Certains élèves sont en mesure de considérer en détail plusieurs réponses à la fois; d’autres doivent procéder par étapes. « Bien que nous ayons tendance à considérer les jeux de devinettes comme mauvais, pareille stratégie valorise la prise de risques et l’apprentissage d’après de l’information recueillie. » (Small 2008, p. 44). 4RR6.4 Les élèves doivent avoir maintes occasions d’écrire des équations où le nombre manquant est à un endroit différent. Par exemple : 8 x = 40 x 7 = 28 4 x 9 = = 6 x 8



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Stratégies d’évaluation Mise en application

Jeu de « Hum » - Les élèves sautent un nombre déterminé (par exemple « 4 »). Ils peuvent être placés en rang ou être assis en cercle. Le premier élève commence le compte en disant « 1 », l’élève suivant dit « 2 » et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on atteigne un multiple de 4. Plutôt que de dire le multiple, l’élève fait « HUM ». Élève 1 : « 1 » Élève 2 : « 2 » Élève 3 : « 3 » Élève 4 : « HUM » Élève 5 : « 5 » Élève 6 : « 6 » Élève 7 : « 7 » Élève 8 : « HUM » Etc. Invitez les élèves à continuer pour voir jusqu’où ils peuvent compter par sauts. Affichez une table de multiplication ou des grilles de cent, certains élèves pouvant avoir besoin de visualiser. Papier-crayon

Distribuez aux élèves une grille de cent pour résoudre ce problème : Sharon a invité toute sa classe de 24 élèves au cinéma pour son anniversaire. La mère de Sharon a organisé le transport des élèves. Chaque voiture peut prendre 4 passagers. Combien a-t-il fallu de voitures? Mise en application

Donnez aux élèves des calculatrices et une grille de cent. Demandez-leur d’utiliser les calculatrices pour trouver ce qui suit :

• Verriez-vous 83? Comptez par 2. Appuyez sur 2 + = = = • Verriez-vous 95? Comptez par 5. Appuyez sur 5 + = = = • Verriez-vous 36? Comptez par 3. Appuyez sur 3 + = = = • Verriez-vous 91? Comptez par 10. Appuyez sur 10 + = = = • Comment pouvez-vous faire en sorte que la calculatrice

compte par 4 ou par 7?

Ressources/Notes Compas Mathématique 4 Leçon 1 (Suite): Multiplier des nombres en comptant par sauts 4N4 (4.1/ 4.2) 4N5 (5.1) 4RR6 (6.2/ 6.4) GE p. 12-15 ME p. 170-173 CA p. 45



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Domaine : Le nombre



4N5 Décrire et appliquer des stratégies de calcul mental, telles que :

- compter par sauts à partir d’une multiplication connue;

- utiliser la notion du double ou de la moitié;

- utiliser la notion du double ou de la moitié, puis ajouter ou retrancher un autre groupe;


- utiliser des doubles répétés;

pour déterminer les tables de multiplication jusqu’à 9×9 et les divisions reliées. [C, L, CE, R, RP]


l’application de stratégies de

calcul mental en utilisant :

• le comptage par saut à

partir d’une multiplication

connue

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Les élèves ont acquis une expérience appréciable pour compter par sauts et ainsi calculer les tables jusqu’à 25. Compter par sauts et modélisez comment une opération connue peut être utilisée conjointement avec le comptage par sauts pour trouver un produit. Par exemple : 7 x 4 = (Réfléchissez tout haut : Comme je sais déjà que 5 groupes de 4 font 20, je peux commencer à 20 et compter ensuite par 4 deux fois de plus. Je peux dire 20, 24, 28.)



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Stratégies d’évaluation

Mise en application

Mettez à la disposition des élèves un outil visuel comme une grille de cent pour les aider à mettre en pratique la stratégie du comptage par sauts d’après une multiplication connue.

Les élèves cochent les carrés pour montrer ce qu’ils pensent. Résoudre : 5 x 7 = « Comme je sais déjà que 3 groupes de 7 font 21 (j’encercle le chiffre 21), je peux commencer à 21 et compter ensuite par 7 deux fois de plus. Je peux utiliser des coches pour rayer les chiffres lors de mon comptage par sauts. Je peux dire 21, 28, 35. »

Mise en application

Demandez aux élèves de cacher des nombres sur une grille de cent de façon à créer une régularité (par ex. cachez un nombre sur 2, sur 6, etc.). Choisissez l’une des régularités que vous avez créées sur la grille de cent et notez-la sur une ligne horizontale.

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

Cachez tous les nombres à l’aide d’autocollants « Post-it » et remettez-les à un ami. Combien d’autocollants devra-t-il enlever pour trouver la régularité?

Ressources/Notes Compas Mathématiques 4 Leçon 2 Calculer à partir de multiplication connues 4N5 GE p. 16-18 ME p. 174-175 CA p. 46



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Domaine : Le nombre









pour déterminer les multiplications jusqu’à 9×9 et les divisions reliées. [C, L, CE, R, RP]





• la notion du double, puis

ajouter un autre groupe.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Lorsque vous enseignez les stratégies, essayez de planifier vos leçons de telle façon que les élèves les découvrent en s’appuyant sur des stratégies qu’ils ont déjà maîtrisées et utilisées. Résistez à la tentation de leur révéler tout simplement votre stratégie et privilégiez les leur. Il serait préférable que les élèves puissent relier la stratégie à des concepts qu’ils comprennent déjà. Stimulez la participation active des élèves en évoquant des situations qui se rapportent à des enquêtes de la vie réelle. Il s’agit ici d’aider les élèves à acquérir une compréhension conceptuelle de ce que signifie la multiplication. La signification de la multiplication est essentielle à leur compréhension des opérations de multiplication. Les problèmes écrits et l’utilisation du matériel de manipulation (comme des jetons) sont essentiels à cette compréhension. Dans les niveaux précédents, les élèves ont appris les doubles dans le contexte de l’addition et peuvent maintenant les relier facilement aux opérations de multiplication par 2. D’autres opérations peuvent être reliés à ces opérations de multiplication par 2. La multiplication par 4 peut être calculé en doublant une opération de multiplication par 2; la multiplication par 8 peut être calculé en doublant une opération de multiplication par 4 (doubles répétés). Utilisation de doubles pour multiplier par 4. Trouvez 4 x 7 : Trouvez d’abord 2 x 7, puis doublez : Pensez : 2 x 7=14 et le double de 14 est 28. Utilisez des doubles répétés pour multiplier par 8. Pour trouver 8 x 6 : Pensez d’abord à 2 x 6 = 12, puis le double de 12 est 24 et le double de 24 est 48.



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Les enseignants peuvent diviser les élèves en groupes de deux pour mettre en pratique la stratégie des « doubles » pour des multiplications, comme 4 x 9. (Par exemple, 4 x 9 est le double de 2 x 9. Étant donné que deux groupes de neuf font 18, par conséquent, 4 groupes de 9 font 36.) Les élèves doivent à tour de rôle demander des multiplications et donner des réponses en utilisant la stratégie des doubles répétés. Dialogue élève-enseignant

Demandez aux élèves d’utiliser des jetons pour montrer comment ils peuvent utiliser 2 x 3 = 6 pour trouver la réponse à 4 x 3. Mise en application

Soumettez aux élèves le problème suivant : Karine a placé six crayons dans chacune des quatre boîtes. Suzanne place six crayons dans chacune des quatre boîtes. a) Combien de crayons chaque fillette a-t-elle? b) Expliquez comment vous pourriez utiliser la réponse quant au nombre de crayons qu’a Karine pour trouver le nombre de crayons qu’a Suzanne? (double répété) c) Expliquez comment les multiplications suivantes pourraient être utilisées pour résoudre ce problème : 4 x 6 = et 2 x 4 x 6 =

Ressources/Notes Compas Mathématiques 4 Leçon 3: Doubler des opérations de multiplication 4N5 (5.1) 4RR1 (1.1/ 1.2/ 1.4) GE p. 19-22 ME p. 176-177 CA p. 47



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Domaine : Le nombre



4RR1 Identifier et décrire des régularités dans des tables et des tableaux, y compris une table de multiplication. [C, L, RP, V] Indicateurs de rendement : 4RR1.1 Identifier et décrire une

variété de régularités dans une

table de multiplication.

4RR1.2 Déterminer les éléments

manquants dans une table ou un

tableau.

4RR1.4 Décrire la régularité dans

une table ou un tableau donné.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Les élèves doivent être encouragés à trouver et à expliquer les régularités qui surviennent dans une table de multiplication afin de mieux se rappeler les tables de multiplication. Il est important que les élèves comprennent qu’ils peuvent utiliser ces régularités pour trouver des produits et quotients inconnus. Observez les régularités des doubles qui se trouvent dans une table de multiplication. Amenez les élèves à découvrir : Comment les multiplications par 2 peuvent être utilisés pour calculer les multiplications par 4. Comment les multiplications par 4 peuvent être utilisés pour calculer les multiplications par 8. Comment les multiplications par 3 peuvent être utilisés pour calculer les multiplications par 6. Comment les multiplications par 10 peuvent être utilisés pour calculer les multiplications par 5. Les enseignants doivent fournir aux élèves de nombreuses occasions de trouver les éléments manquants d’une table. Par exemple :

Les élèves doivent chercher des régularités formées par des groupes de choses dans leur environnement. Ils doivent écrire leurs résultats sur un tableau à deux colonnes ainsi que sous forme d’équations de multiplication. Par exemple : Combien y a-t-il d’orteils dans un pied ?



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Stratégies d’évaluation Papier-crayon

Distribuez aux élèves un tableau auquel il manque des chiffres, demandez-leur de trouver les chiffres manquants et d’expliquer leur raisonnement. Journal

Fournissez-leur un tableau semblable à celui-ci :

1 4 2 8 3 12 4 16 5 20 6 22 7 28 8 32 9 36

Demandez aux élèves de trouver les erreurs dans la régularité présentée ci-dessus. Justifiez votre réponse. Dialogue élève-enseignant

Fournissez à l’élève une grille de multiplication : • Demandez-lui de décrire certaines des régularités qu’il ou elle observe. • Demandez à l’élève de montrer comment on peut utiliser la grille de multiplication pour s’exercer à compter par sauts. • Demandez à l’élève d’expliquer pourquoi certaines colonnes ou rangées comprennent à la fois des nombres pairs et impairs. (Par exemple : Indiquez la rangée 7. L’élève peut répondre : « parce que 7 est un nombre impair et que parfois il est multiplié par un autre nombre impair, le produit est donc un nombre impair. Quand il est multiplié par un nombre pair alors le produit est un nombre pair). • Demandez à l’élève d’utiliser la table de multiplication pour expliquer pourquoi 4 x 5 + 2 x 5 est pareil à 6 x 5. (une réponse possible pourrait être : « parce que 4 groupes de 5 + 2 groupes de 5 sont pareils à 6 groupes de 5 ».

Ressources Notes Leçon 3 (Suite) : Doubler des opérations de multiplication 4N5 (5.1) 4RR1 (1.1/ 1.2/ 1.4) GE p. 19-22 ME p. 176-177 CA p. 47



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Domaine : Le nombre









pour déterminer les multiplications jusqu’à 9×9 et les divisions reliées. [C, L, CE, R, RP]






ajouter un autre groupe


soustraire un autre groupe

• la notion de la moitié

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Les élèves ont intérêt à voir les relations entre les multiplications faciles et difficiles. Aidez-les à réaliser que, s’ils ne connaissent pas un produit, ils peuvent le calculer d’après quelque chose qu’ils connaissent déjà. Les élèves doivent être mis au défi de trouver autant de façons intéressantes que possible de répondre à une multiplication plus difficile. Les enseignants doivent accepter toutes les stratégies efficaces découvertes par les élèves. Pour les multiplications plus difficiles, prévoyez des occasions qui permettent aux élèves de découvrir de nouvelles stratégies en fonction de ce qu’ils savent déjà. Inciter les élèves à « inventer » et à nommer leur stratégie renforce la mémorisation des tables et la compréhension. Les élèves ont besoin d’occasions d’utiliser du matériel concret et des stratégies mentales pour relier les multiplications entre elles. Ils ne doivent pas être poussés à mémoriser les tables avant qu’ils ne soient prêts.

Utilisez un géoplan transparent de 11 x 11 chevilles et un rétroprojecteur pour démontrer la matrice 7 x 6. Discutez avec les élèves la façon dont ils peuvent utiliser des séries de multiplications plus petites pour trouver un produit inconnu :

2 groupes de 3 x 6 (double) ajoutant 1 autre groupe de 6.

Les élèves apprennent à partager une équation en parties plus faciles à multiplier. Parfois cela pourra signifier faire appel à plus d’une stratégie pour trouver le produit. Certains exemples comprennent : • La réduction de moitié (du facteur) puis le doublement (du produit)

lorsqu’un facteur est un nombre pair : « Je ne me rappelle pas le produit de 8 x 7, mais je sais que je peux réduire de moitié le 8 pour obtenir 4 groupes de 7. Donc, 4 groupes de 7 font 28 et le double de 28 est 56 (ou donnera pour le produit 56 ».

• La réduction de moitié et le doublement puis l’addition d’un groupe lorsqu’un facteur est un nombre impair. « Je ne me rappelle pas le produit de 9 x 8, mais je sais que 4 groupes de 8 font 32. Pour obtenir 8 x 8, je peux doubler 32 pour obtenir 64. Pour obtenir 9 x 8, je peux ajouter un groupe de 8 de plus pour obtenir le produit de 72. »



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Stratégies d’évaluation Dialogue élève-enseignant

Demandez à l’élève d’expliquer comment le fait de connaître 6 x 5 l’aide à résoudre 12 x 5.

Mise en application

Demandez à l’élève d’expliquer comment le fait de connaître 8 x 10 l’aide à résoudre 8 x 9. Montrer votre démarche à l’aide d’une matrice.

Mise en application

Modélisez et résolvez un problème de multiplication donné à l’aide d’une matrice. Expliquez votre démarche. Mise en application

À l’aide d’un géoplan 11 x 11 chevilles et des élastiques de couleurs différentes, demandez aux élèves de placer les élastiques sur le géoplan de manière à montrer qu’ils peuvent trouver un produit. Par exemple : 8 x 7

Ressources/Notes Compas Mathématiques 4 Leçon 4: Diviser des nombres par 2 et doubler des multiplications 4N5 (5.1) 4RR6 (6.4/ 6.6)) GE p. 23-26 ME p. 178-180 CA p. 48



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Domaine : Les régularités et les relations (les variables et les équations)

Résultats d’apprentissage spécifiques L’élève doit pouvoir :

4RR6 Résoudre des équations à une étape dans lesquelles un nombre inconnu est représenté par un symbole. [C, L, R, RP, V]

4RR6.4 Résoudre une équation

donnée dans laquelle l’inconnue

apparaît dans le membre de gauche

ou dans le membre de droite.

4RR6.6 Représenter et résoudre un

problème de multiplication ou de

division donné, comprenant le

groupement égal ou la partition

(partage égal), à l’aide d’un symbole

pour représenter l’inconnue.






- utiliser des doubles répétés; pour déterminer les multiplications jusqu’à 9 × 9 et les divisions reliées. (Suite) [C, L, CE, R, RP]

4N5.1 Donner des exemples de



- les faits de multiplication par 10 lors de la multiplication par 9 4N5.2 Choisissez la stratégie de

mathématiques mentales la plus

efficace pour une situation donnée.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Les élèves doivent avoir l’occasion d’écrire des équations où le nombre manquant est à différents endroits. Exemple : • Des enfants sautent à la corde à la récréation. Il y a six cordes à

sauter et trois enfants pour chaque corde. Combien d’enfants peuvent sauter à la corde?

6 x 3 =

⌂ = 6 x 3

Tous les élèves ont appris à compter par sauts de 10 et cette connaissance doit être reliée à la multiplication par 10. Il est important de se concentrer sur le sens de la multiplication. Les enseignants doivent s’abstenir de dire aux élèves qu’un 0 est ajouté lorsque l’on multiplie par 10, parce que cela n’a aucun rapport avec le sens de la multiplication. Après avoir discuté des multiplications par 10, demandez aux élèves comment ils peuvent utiliser une multiplication de 10 pour trouver le produit d’une multiplication de 9. Lorsque l’on multiplie un facteur par 9, le produit est toujours le facteur multiplié par 10 moins le facteur.

- Exemple : Si j’essaie de solutionner 9 x 7 (9 groupes de 7), je peux d’abord penser que 10 x 7 font 70 et que par conséquent si je soustrais un groupe de 7, j’obtiendrai 63 (70 – 7= 63).

De même, lorsque l’on multiplie par un facteur de 8, le produit est toujours le facteur multiplié par 10 moins deux fois le facteur.

- Exemple : Si j’essaie de solutionner 8 x 7 (8 groupes de 7), je peux d’abord penser que 10 x 7 égale 70 et que par conséquent, si je soustrais deux groupes de 7 j’obtiendrai 56 (70 – 7 – 7 = 56)

Après que les élèves se sont concentrés sur certaines stratégies, on doit les encourager à penser à des stratégies et à choisir la plus efficace en fonction de la situation. Être « efficace » signifie qu’ils peuvent donner une réponse rapide sans recourir à des méthodes inefficaces. Cette pratique de choisir la meilleure stratégie doit être permanente, de façon à ce que les élèves ne se remettent pas à compter ni ne renoncent à des stratégies plus efficaces qu’ils ont apprises. L’acquisition de la compétence nécessaire pour effectuer des opérations de multiplication et de division en 4e année permet aux élèves de travailler plus efficacement par la suite avec des équations comportant un plus grand nombre de chiffres et de résoudre des problèmes. S’ils peuvent se rappeler les opérations efficacement, ils seront plus aptes à réfléchir logiquement à la résolution de problèmes sans perdre le fil de leur pensée.



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Résultat d’apprentissage général : Représenter des expressions algébriques de plusieurs façons


TAPEZ – Éparpillez les produits possibles de 8 et de 9 en réponse à une série de questions de multiplication sur des grandes feuilles de papier ou au tableau. Divisez la classe en deux équipes. Chaque équipe est munie d’une tapette à mouches. Une question est posée à un membre de chaque équipe et le premier membre d’une équipe à « taper » la bonne réponse au tableau gagne un point. Les membres des équipes jouent à tour de rôle.

Portfolio

Les enseignants doivent demander aux élèves de décrire par écrit les régularités qu’ils peuvent trouver pour les produits de 8 et 9 dans une centaine. Invitez les élèves à réfléchir comment leur travail démontre qu’ils sont de bons mathématiciens (par ex. en recherchant des régularités, en utilisant un vocabulaire mathématique pour décrire sa pensée, en persévérant malgré les difficultés de la tâche, en relevant des défis et en posant les bonnes questions).

Présentation

Dressez une liste de multiplications découlant de deux ou trois stratégies et demandez aux élèves de choisir la stratégie qui convient le mieux à ces multiplications. Ils doivent ensuite expliquer cette stratégie et illustrer son utilisation.

Présentation

Lorsque vous êtes assuré que les élèves sont en mesure d’utiliser une stratégie mentalement, il est temps de la mettre en pratique. Pour aider à pratiquer les tables de multiplication, préparez un jeu de 24 cartes portant sur un côté diverses questions de multiplication (face « A »). À l’endos (face « B »), écrivez la réponse à la question précédente. Distribuez les jeux de cartes à des groupes d’élèves – de petits groupes ou toute la classe. Distribuez toutes les cartes la réponse en dessus (face « B »). Désignez qui commence par la question « Qui a… » par exemple « … 5 x 9? » Le joueur qui a la carte portant 45 répondra « J’ai 45 », retournera la carte et posera la question figurant au verso. Le jeu continue jusqu’à ce que toutes les cartes sont toutes retournées et que l’on a répondu à toutes les questions.

Ressources/Notes Leçon 4 (Suite): Diviser des nombres par 2 et doubler des multiplications 4N5 (5.1) 4RR6 (6.4/ 6.6)) GE p. 23-26 ME p. 178-180 CA p. 48 Leçon 5 (facultatif) Multiplier des nombres par des multiples de 10 4N5 (5.1) 4RR6 (6.4/ 6.6)) GE p. 27-29 ME p. 181 CA p. 49 Leçon 6: Multiplier des nombres par 8 et par 9 4N5 (5.1) 4RR1 (1.1/ 1.2/ 1.4) GE p. 30-33 ME p. 182-184 CA p. 50



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Domaine : Le nombre









pour déterminer les multiplications jusqu’à 9×9 et les divisions reliées. (Suite) [C, L, CE, R, RP]




- les faits de multiplication par 10

lors de la multiplication par 9.

4N5.2 Choisissez la stratégie de

mathématiques mentales la

plus efficace pour une

situation donnée.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage La modélisation de la multiplication à l’aide de jetons sur des grilles de dix de dix pourra profiter aux élèves. Ceux-ci connaissent bien les grilles de dix de dix depuis leurs années antérieures. Ce sont là des modèles visuels utiles pour les élèves qui multiplient des objets qui se présentent par groupes de neuf. Exemple : 6 x 9

Les multiplications avec un facteur de 9 comprennent les produits les plus importants, mais peuvent s’apprendre facilement. La table de 9 fait comprendre certaines régularités qui seront amusantes à découvrir. Servez-vous de la tâche suivante pour aider les élèves à découvrir des régularités comportant un facteur de 9 : Montrez :

9 x 1 = 9 9 x 2 = 18 9 x 3 = 27 9 x 4 = 36 9 x 5 = 45 9 x 6 = 56 9 x 7 = 63 9 x 8 = 72 9 x 9 = 81

Demandez aux élèves de trouver autant de régularités que possible dans la table. Tout en écoutant les élèves, assurez-vous que les deux régularités suivantes ont été repérées : • Les dix chiffres du produit sont toujours un de moins que le

second facteur, par ex. 9 x 4 = 36 (3 est 1 de moins que 4) • La somme des deux chiffres du produit est toujours 9. Ces deux idées permettent d’obtenir tous les produits de 9 rapidement. Pour 7 x 9, 1 de moins que 7 est 6, 6 + 3 font 9, donc la réponse est 63. « Étant donné que deux règles séparées sont en jeu et en l’absence d’une base conceptuelle apparente, les élèves risquent de confondre les deux règles ou de tenter d’appliquer l’idée à d’autres opérations. Ce n’est toutefois pas une « règle sans raison ». C’est une idée fondée sur des régularités intéressantes qui se dégagent du système de numération utilisant la base dix. » (Elementary and Middle School Mathematics- Teaching Developmentally 2001, p. 141 -142, Van de Walle)



155



Cette activité doit être menée quand vous constatez que les élèves comprennent et sont en mesure d’utiliser mentalement une stratégie. Rappelez-vous qu’à mesure que les élèves enrichissent leur répertoire de stratégies, il est bon de leur fournir des occasions de mettre également en pratique des stratégies antérieures. Remettez à des groupes de deux élèves des jetons de couleurs différentes, deux trombones et une grille de 4 sur 6 montrant les produits de diverses multiplications. Sous la grille, alignez sept facteurs qui correspondent aux produits figurant sur la grille. Le joueur A place un trombone sur l’un des nombres de facteur et le joueur B place ensuite un trombone sur un autre facteur. Le joueur A multiplie les deux facteurs et place son jeton de couleur sur le produit de la grille. La partie continue lorsque le joueur B choisit un facteur et le joueur A un autre facteur; le joueur B multiplie les deux facteurs, trouve le produit, le couvre et ainsi de suite. Le gagnant est la première personne à aligner quatre de ses jetons horizontalement, verticalement ou diagonalement. Pendant que vous observez les élèves en train de jouer, demandez-leur « Quelles stratégies vous ont aidés? »

9

15

16

20

21

24

25

27

28

30

32

35

36

40

42

45

48

49 54

56

63

64 72

81

3 4 5 6 7 8 9

Mise en application

Les élèves ont deux jeux de cartes numérotées de 0 à 9. Les élèves jouent par groupes de deux. Le joueur A tire deux cartes du jeu sans les montrer à son adversaire. Le joueur A multiplie secrètement les deux nombres et indique au joueur B le produit seulement. Le joueur A met alors les mains derrière son dos (avec une carte dans chaque main) et demande au joueur B de choisir une main. Le joueur A dévoile cette carte au joueur B. Le joueur B connaît maintenant le produit et un facteur et calcule ensuite le nombre caché. Si le joueur B trouve la bonne réponse, il peut conserver les deux cartes. S’il se trompe, le joueur A obtient les deux cartes. Le gagnant est celui qui recueille le plus grand nombre de cartes à la fin de la partie.

Ressources/Notes Compas Mathématique 4 Leçon 6 (Suite) : Multiplier des nombres par 8 et par 9 4N5 (5.1) 4RR1 (1.1/ 1.2/ 1.4) GE p. 30-33 ME p. 182-184 CA p. 50 Curiosités mathématiques: Multiplier sur ses doigts 4N5 (5.1) GE p. 34-35 ME p. 185 Révision 4N 4 (4.1/4.2) 4N 5 (5.1) 4RR1 (1.1/1.2/1.4) 4RR6 (6.2/6.4/6.6) GE p. 36-37 ME p. 186-187 Lecture supplémentaire: Elementary and Middle School Mathematics-Teaching Developmentally 2001, Van de Walle



156

Domaine Le nombre



4N7 Démontrer une compréhension de la division (dividendes de un à deux chiffres par un diviseur de un chiffre) pour résoudre des problèmes en:

- utilisant ses propres stratégies de division avec ou sans l’aide de matériel de manipulation;

- estimant des quotients; - établissant un lien entre

la division et la multiplication. [C, CE, L, R, RP, V] Indicateurs de rendement :

4N7.1 Résoudre un problème de

division n’ayant pas de reste

donné à l’aide de matrices ou de

matériel de base dix, et faire le

lien entre ce processus et la

représentation symbolique.


division donné en appliquant sa

propre stratégie et noter le

processus.

4N7.5 Créer et résoudre un

problème comportant un dividende

d’un chiffre ou un dividende de

deux chiffres, et noter la

démarche.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage La division est un processus qui intervient naturellement dans la vie de tous les jours, comme le fait de partager des biscuits. Elle peut être enseignée efficacement conjointement avec la multiplication et dans un contexte de résolution de problèmes. Il serait bon lire à haute voix The Doorbell Rang de Pat Hutchins pour présenter la division. Les élèves doivent avoir de nombreuses occasions de résoudre et de créer des problèmes écrits visant à répondre à des questions de la vraie vie qui les intéressent personnellement. Ces occasions permettent aux élèves d’exercer leurs compétences en calcul et de vérifier leur raisonnement mathématique.

Les deux situations présentées ci-dessous commandent une division et les élèves doivent connaître ces deux significations (bien que le produit final soit le même, les crayons sont partagés différemment) :

• Partage égal : Comptez le nombre de crayons dans chaque groupe. Par exemple, Mme Brown a créé des centres de mathématiques. Elle a 32 crayons à partager également entre quatre centres. Combien de crayons chaque centre recevra-t-il? (Pour résoudre ce problème, modélisez le partage de 32 crayons en plaçant un crayon à la fois sur chaque plateau jusqu’à ce que tous les crayons aient été partagés) Réponse : 32 ÷ 8 = 4

• Groupement égal : déterminez combien de groupes : Par ex. Mme Brown est à créer des centres de mathématiques. Elle dispose de 32 crayons. Mme Brown sait qu’elle doit les répartir entre groupes égaux de 8. Combien de centres peut-elle créer? (Pour résoudre le problème de cette façon, modélisez la répartition de groupes de huit crayons entre les centres. Elle a découvert qu’elle en avait suffisamment pour créer quatre centres.) Réponse : 32 ÷ 8 = 4

Les deux équations semblent identiques, mais la façon de diviser les crayons était différente. Les problèmes peuvent être modélisés avec des ensembles de jetons, des droites numériques et des tableaux. Dans l’exemple ci-dessus, les élèves peuvent faire semblant d’utiliser de vrais objets ou se servir de matériel de base dix pour répartir des crayons. Les élèves doivent noter les réponses à l’aide d’images, de nombres ou de mots.



157


Stratégies d’évaluation Papier-crayon

Demandez aux élèves de créer différents problèmes qui illustrent les deux significations de la division (partage égal et groupement égal). Les élèves doivent échanger leurs problèmes avec un camarade et résoudre celui de son camarade. Mise en application

Dessinez un tableau pour démontrer que 18 ÷ 6 font 3. Mise en application

Gregory a 35 cartes de hockey. Il partage les cartes également entre sept amis. Chaque ami a besoin de six cartes pour compléter sa collection. Gregory a-t-il suffisamment de cartes? Expliquez votre réponse à l’aide d’images, de nombres et de mots. Dialogue élève-enseignant Demandez aux élèves de modéliser 36 ÷ 6 à l’aide du matériel de base dix. Mise en application

Demandez aux élèves d’utiliser un modèle pour expliquer à un camarade comment partager 45 billes entre cinq personnes. Discutez des diverses stratégies employées. Journal

Présentez l’équation de division suivante : 64 ÷ 8 = ____

Demandez aux élèves de résoudre l’équation en utilisant deux stratégies personnelles. Expliquez quelle stratégie est la plus efficace et pourquoi.

Ressources/Notes Leçon 7: Partager et grouper des nombres 4N7 (7.1/ 7.3/ 7.5) GE p. 40-43 ME p. 188-190 CA p. 51 Même si la ressource ne fait pas le lien entre la multiplication et la division avant la leçon 8, les enseignants peuvent juger bon de le faire dans la leçon 7. Faites un choix parmi les activités de la p. 190. Les questions 1, 2, 3 et 7 sont recommandées. Jeu de maths (facultatif) Les produits comparés 4N5(5.1) GE p. 44-45 ME p. 191



158

* 5 × 1 est 5 groupes de 1,

ou 5 éléments en tout. * 5 ÷ 1 est 5 éléments en groupes de 1,

ou 5 groupes en tout

Domaine : Le nombre


4N4 Expliquer les propriétés de 0 et de 1 pour la multiplication ainsi que la propriété de 1 pour la division. [C, L, R]

4N4.1 Déterminer la réponse à une

question donnée qui implique la

multiplication d’un nombre par un et

expliquer la réponse.



multiplication d’un nombre par zéro

et expliquer la réponse.



division d’un nombre par un et

expliquer la réponse.

4N5 Décrire et appliquer des stratégies de calcul mental, telles que : - compter par sauts à partir

d’une multiplication connue; - utiliser la notion du double ou

de la moitié; - utiliser la notion du double ou

de la moitié, puis ajouter ou retrancher un autre groupe;


- utiliser des doubles répétés; pour déterminer les multiplications jusqu’à 9×9 et les divisions reliées. (Suite) [C, L, CE, R, RP]




- le lien entre la division et la

multiplication

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Quand vous divisez un nombre par 1, la réponse est le nombre que vous aviez au départ. Par exemple :

Fournissez aux élèves des occasions d’explorer la relation entre la multiplication et la division. Toute situation de multiplication peut également être considérée comme une situation de division et vice versa. Cela peut sembler évident aux adultes, mais pour des élèves de 4e année, ces deux concepts apparaîtront au début comme totalement différents. Les différences entre la multiplication et la division sont subtiles et il n’est pas nécessaire d’apprendre à distinguer entre elles ou de les étiqueter. Fournissez aux élèves des occasions de travailler sur des problèmes qui sont reliés, ce qui les mènera éventuellement à découvrir cette relation. Une façon d’aborder ce concept est la présentation d’une famille d’opérations correspondantes - un ensemble de quatre phrases de nombres, ou d’équations, qui peuvent être utilisées pour décrire la même situation. Servez-vous du modèle suivant, avec des tuiles, pour représenter une famille d’opérations correspondantes :

4 × 3 = 12, 4 colonnes de 3 carrés représentent 12 carrés

3 × 4 = 12, 3 rangées de 4 carrés représentent 12 carrés

12 ÷ 3 = 4, 12 carrés en 4 colonnes forment 3 rangées

12 ÷ 4 = 3, 12 carrés en 3 rangées forment 4 colonnes

(Small, 2008 p. 123)

* 1 × 5 est un groupe de 5,

ou 5 éléments en tout. * 5 ÷ 1 est 5 éléments dans un groupe,

ou 5 éléments dans chaque groupe



159



4N7.1/4N7.2 Mettez à la disposition des élèves du matériel de base dix. Les enseignants peuvent leur demander de modéliser trois questions différentes de division de son choix et d’écrire la phrase de division pour chacune. Mise en application

Écrivez les phrases de multiplication et de division représentées par le tableau suivant.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Dialogue élève-enseignant

Comment trouveriez-vous le quotient de l’équation suivante par la multiplication? 30 ÷ 5 = . Expliquez votre raisonnement. Mise en application

À l’aide d’un ensemble de nombres comme 9, 6, 54, écrivez les quatre opérations correspondantes. Mise en application

Mettez à la disposition des élèves un ensemble de 24 jetons ou cubes emboîtables. Demandez-leur de créer une matrice comprenant les multiplications et les divisions correspondantes. (Réponse : 3 x 8 = 24, 8 x 3=24, 24 ÷ 3 = 8, 24 ÷ 8 = 3). Réaménagez la matrice pour représenter des équations différentes. Par exemples : 1 x 24 24 x 1 2 x 12 12 x 2 3 x 8 8 x 3 4 x 6 6 x 4

Ressources/Notes Leçon 8: La division et la multiplication 4N4 (4.3) 4N5 (5.1) 4N7 (7.1/ 7.3/ 7.5) 4RR6 (6.1/ 6.4/ 6.6) GE p. 46-49 ME p. 192-195) CA p. 52 Leçon 9: Les régularités dans une table de multiplication 4N4 (4.1/ 4.2/ 4.3) 4N5 (5.1) 4RR1 (1.1/ 1.2) GE p. 50-52 ME p. 196 CA p. 53 Il pourrait être utile de travailler en même temps les leçons 8 et 9. 4N4 figure dans les deux leçons, mais est traité plus directement dans la leçon 9.



160

Domaine: Le nombre


4N7 Démontrer une compréhension de la division (dividendes de un à deux chiffres par un diviseur de un chiffre) pour résoudre des problèmes en:

- utilisant ses propres stratégies de division avec ou sans l’aide de matériel de manipulation;

- estimant des quotients; - établissant un lien entre

la division et la multiplication. [C, CE, L, R, RP, V] Indicateurs de rendement:


division n’ayant pas de reste donné à

l’aide de matrices ou de matériel de

base dix, et faire le lien entre ce

processus et la représentation

symbolique.


division donné en appliquant sa

propre stratégie et noter le processus.

4N7.5 Créer et résoudre un problème

comportant un dividende d’un chiffre

ou un dividende de deux chiffres, et

noter la démarche.

4RR6 Résoudre des équations à une étape dans lesquelles un nombre inconnu est représenté par un symbole. [C, L, R, RP, V] Indicateurs de rendement : 4RR6.1 Résoudre une équation à une

étape donnée à l’aide de matériel de

manipulation.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Il existe de nombreux types de situations de multiplication et de division. Chaque situation peut être représentée par une phrase soit de multiplication soit de division avec un nombre manquant. Chacune peut être résolue soit en multipliant, soit en divisant les deux quantités connues. La relation entre les multiplications et les divisions peut être représentée à l’aide de matrices. Toute situation de multiplication peut aussi être représentée comme une situation de division, par exemple : modélisez la matrice suivante en imaginant que les étoiles sont des chaises que vous disposez dans un gymnase :

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Vérifiez la compréhension des élèves en posant les questions suivantes : • Combien comptez-vous de rangées de chaises? (4) • Combien comptez-vous de chaises par rangée? (8) • Écrivez une phrase de multiplication indiquant qu’il y a un certain

nombre de rangées avec un nombre de chaises donné par rangée. (4 x 8 = 32)

Demandez ensuite aux élèves de regarder les colonnes de bas en haut de la matrice. (Pointez) • Combien de colonnes compte la matrice? (8) • Combien de chaises compte chaque colonne? (4) • Écrivez une phrase de multiplication pour montrer le nombre de

chaises dans les colonnes. (8 x 4 = 32) • Avez-vous obtenu la même réponse lorsque vous avez changé

l’ordre dans lequel vous avez multiplié les deux facteurs? Expliquez.

Pour faire une phrase de division correspondante à celle de la multiplication, posez les questions suivantes : • Combien de chaises y a-t-il? (32) • Combien de chaises y a-t-il dans chaque rangée? (8) • Écrivez une phrase de division montrant combien de rangées il y

a (32 ÷ 8 = 4) • Écrivez un autre division à l’aide de la matrice pour montrer

combien il y a de chaises dans chaque rangée. (32 ÷ 4 = 8)



161



Divisez les élèves en groupes et distribuez à chaque groupe 24 images ou dessins de personnes sur des carrés de 4 sur 4 cm. (Les élèves aimeront peut-être créer leur propre personne en dessinant des visages différents sur des carrés en blanc!) Demandez aux élèves de partager leurs dessins de façon qu’il y en ait 12 « par équipe ». Notez l’équation de division, tout en discutant de la signification de chaque nombre dans l’équation. (L’élève pourra expliquer : « Il y a 24 personnes en tout. Si j’en mets 12 dans chaque équipe, il y aura deux équipes.) Répétez l’activité avec 8, 6 et 4 personnes par équipe. Écrivez chaque fois une équation de division qui répond à la question « Combien d’équipes y a-t-il? ».

Ressources/Notes Leçon 8 (Suite): La division et la multiplication 4N4 (4.3) 4N5 (5.1) 4N7 (7.1/ 7.3/ 7.5) 4RR6 (6.1/ 6.4/ 6.6) GE p. 46-49 ME p. 192-195) CA p. 52 Leçon 9 (Suite): Les régularités dans une table de multiplication 4N4 (4.1/ 4.2/ 4.3) 4N5 (5.1) 4RR1 (1.1/ 1.2) GE p. 50-52 ME p. 196 CA p. 53 Il pourrait être utile de travailler en même temps les leçons 8 et 9. N4 figure dans les deux leçons, mais est traité plus directement dans la leçon 9.



162

Domaine : Les régularités et les relations (les régularités)



4RR1 Identifier et décrire des régularités dans des tables et des tableaux, y compris une table de multiplication. [C, L, RP, V] Indicateurs de rendement : 4RR1.1 Identifier et décrire une

variété de régularités dans une

grille de multiplication.

4RR1.2 Déterminer les éléments

manquants dans une table ou un

tableau.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Les élèves connaissent bien les régularités dans une grille de multiplication puisqu’on l’a utilisée plus tôt dans ce chapitre. Réexaminez la grille de multiplication pour aider les élèves à découvrir davantage de régularités qui peuvent les aider à se mémoriser les tables de multiplication :

Table de multiplication

• la première rangée et la première colonne comporte que de 0 • la rangée et la colonne de 1 ont comme produit le second facteur • les rangées et les colonnes correspondent (par ex. les nombres

dans la 7e rangée correspondent à ceux dans la 7e colonne) • les facteurs de la rangée et de la colonne augmentent de 1 • la rangée de la colonne des mêmes facteurs ont le même produit

(commutativité) • les nombres sur la diagonale de gauche à droite (1, 4, 9, 16...)

s’accroissent de 3, 5, 7, 9 … • la rangée 4 est le double de la rangée 2, la rangée 6 est le double

de la rangée 3; la grille est symétrique (c.-à-d. que les nombres sont les mêmes de part et d’autre de la diagonale de gauche à droite)

• quand vous additionnez les produits correspondants des rangées 2 et 3, vous obtenez le produit dans la rangée 5; par exemple, 2 × 4 (8) plus 3 × 4 (12) équivalent à 5 × 4 (20)

• quand vous « multipliez en croix » quatre nombres qui forment un carré sur la grille, le produit est toujours le même; par exemple, 2 × 6 = 3 × 4 - de même, lorsque vous « additionnez en croix » ces nombres et soustrayez les sommes, la différence est 1.

À l’aide de la table de multiplication, aidez les élèves à voir la relation entre la multiplication et la division. Par exemple : « Comment cette table vous aide-t-elle à calculer 24 ÷ 6? » Réponse possible d’un élève : « J’ai cherché dans la rangée de 6 jusqu’à ce que je trouve à 24. Puis j’ai vérifié la colonne et constaté que le quotient est 4 ».



163

Résultat d’apprentissage général : Décrire le monde à l’aide de régularités pour résoudre des problèmes


Remettez à des groupes de deux élèves deux cubes numérotés portant les nombres 4, 5, 6, 7, 8 et 9 et une planchette de jeu comme la suivante : Le joueur A jette les cubes numérotés, multiplie les nombres et couvre le produit sur la planchette de jeu (les planchettes de jeu comportent deux aires de jeu chacune, une pour chaque joueur). Les joueurs jettent leurs cubes à tour de rôle, multipliant et couvrant les produits. Quand un joueur ne fait pas un produit apparaissant sur la planchette de jeu, ce joueur perd son tour. Quand les deux joueurs ont jeté sans succès deux fois de suite, le tour prend fin. Le gagnant est celui qui a couvert le plus de nombres. Mise en application

Certains élèves hésitent à donner des réponses en présence de groupes nombreux, mais aiment avoir l’occasion de jouer ce jeu avec un partenaire. L’enseignant peut observer de petits groupes et écouter les élèves discuter des stratégies utilisées dans ce jeu. Préparez un jeu de cartes-éclair pour chaque groupe de deux élèves, contenant des multiplications avec des produits jusqu’à 81 (par ex. 5 x 4, etc.). Perforez les cartes et enfilez un anneau de métal (par exemple, rideau de douche) dans chaque jeu de multiplications. Les élèves travaillent par groupes de deux et, à tour de rôle, montrent rapidement les cartes à leur partenaire. Le partenaire donne la réponse et révèle la stratégie utilisée pour y parvenir. Les deux élèves sont encouragés à penser à la réponse et dans certains cas devront discuter de la façon dont tous deux sont parvenus à la même réponse, mais à l’aide d’une stratégie différente.

Ressources/Notes Leçon 8 (Suite): La division et la multiplication 4N4 (4.3) 4N5 (5.1) 4N7 (7.1/ 7.3/ 7.5) 4RR6 (6.1/ 6.4/ 6.6) GE p. 46-49 ME p. 192-195) Leçon 9 (Suite): Les régularités dans une table de multiplication 4N4 (4.1/ 4.2/ 4.3) 4N5 (5.1) 4RR1 (1.1/ 1.2) GE p. 50-52 ME p. 196 Il pourrait être utile de travailler en même temps avec les leçons 8 et 9. N4 figure dans les deux leçons, mais est abordé plus directement à la leçon 9. Jeu de maths: Jumeler des paires (Facultatif)

4N5 (5.1) 4RR6 (6.4) GE p. 53-54 ME p. 197

35 49 54 30 25 25 30 54 49 35

64 72 81 28 24 24 28 81 72 64

36 56 45 32 20 20 32 45 56 36

42 48 63 40 16 16 40 63 48 42



164

Domaine : Le nombre



4RR6 Résoudre des équations à une étape dans lesquelles un nombre inconnu est représenté par un symbole. [C, L, R, RP, V]

Indicateurs de rendement :

4RR6.2 Résoudre une équation à

une étape donnée en procédant

par tâtonnement.

4RR6.6 Représenter et résoudre

un problème de multiplication ou

de division donné, comprenant le

groupement égal ou la partition

(partage égal), à l’aide d’un

symbole pour représenter

l’inconnue.

Stratégies d’enseignement et d’apprentissage Les éducateurs ont cerné plusieurs stratégies de résolution de problèmes qui se révèlent utiles dans diverses situations. Chaque stratégie peut être discutée avec les élèves, de préférence lorsqu’elle est survenue naturellement et que l’élève l’a utilisée. Il peut être utile de nommer les stratégies de façon à ce que les élèves puissent se les rappeler et les utiliser plus facilement. Au fil des niveaux scolaires, les élèves ont probablement connu des stratégies comme :

• Mimez • Utilisez un modèle • Dessinez une image • Devinez et essayez • Cherchez une régularité • Utilisez une phrase ouverte • Créez une grille, une matrice ou un diagramme • Résolvez un problème plus simple • Dressez une liste • Faites appel à un raisonnement logique

De plus, les élèves de l’élémentaire doivent apprendre à résoudre des problèmes en procédant à rebours. Parfois, en commençant par le résultat, un élève peut procéder à rebours pour connaître la situation initiale. Procéder à rebours est une stratégie plus complexe de résolution de problèmes qui est expliquée dans le présent chapitre, mais qui s’applique également à d’autres domaines. Vous devriez peut-être commencer avec des nombres plus petits.

On utilise parfois un diagramme pour représenter chaque étape du processus. Certains élèves réclament ce type de visuel, alors que d’autres peuvent trouver cela déroutant.

Exemple : J’ai doublé un nombre ajouté 10 divisé par 3 et soustrait 2. Le résultat est 18. Quel était le nombre initial?

Commencez par le résultat final de 18 : La dernière étape était de soustraire 2; je fais donc l’inverse et ajoute 2 (18 + 2 = 20) L’avant-dernière étape était de diviser par 3; je multiplie donc par 3 (20 x 3 = 60) L’étape précédente était l’addition de 10, donc je soustrais 10 (60 – 10 =50) La dernière étape me demande de doubler le nombre, mais je fais l’inverse et j’obtiens la moitié (1/2 de 50 = 25). Le nombre initial était 25.



165



Katie travaille à la boulangerie. Chaque matin elle fait cuire des gâteaux. Un jour elle observe que la moitié des gâteaux se vend au cours de la première heure d’ouverture de la boulangerie. Au cours de la deuxième heure, la moitié des gâteaux restants se vend. Au cours de la troisième heure, la moitié des gâteaux restants se vend à nouveau, et enfin, au cours de la quatrième heure, la même chose se reproduit –i.e. la moitié des gâteaux restants se vend. Il reste maintenant trois gâteaux. Combien de gâteaux a-t-on vendus pendant la journée? (Réponse : L’information requise pour commencer à résoudre ce

problème se trouve à la fin. Combien reste-t-il de gâteaux à la fin de

la journée? (3). Si trois sont une moitié, six gâteaux devaient se

trouver en vitrine au cours de la quatrième heure. Au cours de

l’heure de la troisième heure, 12 gâteaux devaient être offerts à la

vente. Au cours de la deuxième heure (si 12 sont une moitié)

24 gâteaux devaient être en vitrine. Et au cours de la première heure

(si 24 sont une moitié) 48 gâteaux ont été cuits ce matin-là. Il en

restait trois à la fin de la journée, donc 45 (48-3) ont été

véritablement vendus).

(Les enseignants peuvent suggérer d’utiliser un tableau à deux

colonnes, puisque les élèves utilisent souvent plus d’une stratégie. Un

tableau à deux colonnes aide à organiser les données, tout en créant

un lien avec le chapitre précédent.)

Ressources/Notes Leçon 10: Résoudre des problèmes en procédant à rebours 4N5 (5.1) 4N7 (7.1/ 7.3/ 7.5) 4RR6(6.2/ 6.6) GE p. 55-58 ME p. 198-199 CA p. 54 Révision du chapitre: 4N4 (4.1/ 4.2) 4N5 (5.1) 4N7 (7.3) 4RR6 (6.2/ 6.4/ 6.6) GE p. 59-64 ME p. 200-202 Tâche du chapitre Organiser un jeu d’os 4N5 (5.1) 4N7 (7.3) GE p. 65-67 ME p. 203 Exerce-toi! CA p. 55 Test du chapitre 6 GE p. 79-80



166

351rations de multiplication et de division.doc) · le lien entre les opérations de la...

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