Rduction canonique du problme deux corps (33-208) Page 1 sur 5 JN Beury

M2

M1

r1 2u

RDUCTION CANONIQUE DU PROBLME DEUX CORPS

I. LMENTS CINTIQUES

I.1 Rfrentiel barycentrique On considre deux points matriels M1 et M2 de masse m1 et m2. On note M la masse totale : 1 2M m m= + . On appelle G leur centre dinertie On considre deux rfrentiels : ( ), , ,O i j k = rfrentiel galilen et ( )* , , ,G i j k = .

* est en translation par rapport , donc */ 0 = et */*

d d ^d dA A At t

= +

.

Rappels de dfinition :

( ) ddOMv M

t

=

= vitesse absolue de M

( )*

d*dGMv M

t

=

= vitesse relative de M

On a vu dans le cours que ( ) ( )* Gv M v M v= +

I.2 Mouvement relatif de 2 par rapport 1 On pose 1 2 1 2r M M r u = = avec 1 2u vecteur unitaire dirig de M1 vers M2. On cherche dterminer le mouvement relatif de 2 par rapport 1, cest par dfinition dterminer le vecteur

1 2 1 2r M M r u = = . La vitesse relative de 2 par rapport 1 est :

( ) ( )( )2 2 1 2

2/1 2 1 2 1 2 1**

*

d d d* * * *d d dG G

GM GM M M rv v v v v v v v vt t t

= = + + = = = =

On notera par la suite : 1 2 1 2r M M r u = = et *

ddrvt

=

la vitesse relative de 2 par rapport 1

Ne pas confondre vitesse absolue, vitesse relative et vitesse relative de 2 par rapport 1. On cherchera par la suite dterminer 1 2r M M= . Connaissant 1 2r M M= , on pourra remonter facilement 1GM et

2GM et donc connatre le mouvement de M1 et M2 dans * et donc dans .

I.3 Masse rduite Par dfinition du barycentre, on a : 1 1 2 2 0m GM m GM+ =

1 1 2 1 2 1 2 0m GM m GM m M M+ + = , soit ( )1 2 1 2 1 2 0m m GM m M M+ + = , do 2

1 1 21 2

mGM M Mm m

= +

et 1 12 1 1 22 1 2

m mGM GM M Mm m m

= =+

On dfinit la masse rduite telle que : 1 21 2

m mm m

=+

ou 1 2

1 1 1m m

= +

On a donc 11

1GM rm

= et 22

1GM rm

= . Ces deux relations se retrouvent trs facilement avec la relation de

Chasles.

I.4 Quantits de mouvement barycentrique On a vu dans le chapitre Mcanique dun systme de points matriels que 1 2* 0 * *P p p= = +

Rduction canonique du problme deux corps (33-208) Page 2 sur 5 JN Beury

2 22 2 2 2

*2*

d d* *d d

GM m rp m v m vt m t

= = = = . On en dduit que 1 2* *p p v= =

2*p v=

I.5 Moment cintique barycentrique Le moment cintique barycentrique ne dpend pas du point o le calcule. On le calcule trs souvent en G :

( )1 1 2 2 1 2 2 1 2* ^ * ^ * ^ * ^G GM p GM p GM GM p M M v = + = + = * ^G r v =

I.6 nergie cintique barycentrique

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2 1 2 2 2 2 21 1 2 2

1 2 1 2

* *1 1 1 1 1 1 1* * *2 2 2 2 2 2c

p pE m v m v v v

m m m m

= + = + = + =

21*2c

E v=

II. RDUCTION CANONIQUE DU PROBLME DEUX CORPS

II.1 Problme deux corps Le rfrentiel barycentrique est galilen On appelle problme deux corps ltude dun systme isol de deux points matriels. Il ny a pas de forces extrieures au systme. On applique le thorme du centre dinertie au systme isol { }1 2,M M dans le rfrentiel ( ), , ,O i j k = galilen.

dd 0d d

Gext

vP M Rt t

= = =

G a donc un mouvement rectiligne uniforme. * est donc en translation rectiligne uniforme par rapport .

Le rfrentiel * est donc galilen pour le problme deux corps

II.2 quation du mouvement relatif On applique le PFD la masse m2 dans le rfrentiel * galilen :

22 int sur 2 ext sur 2

*

d *dvm f f

t

= +

1 2f = , soit 2 1 2**

d * dd dp v f

t t

= =

, do 1 2*

ddv ft

=

(1)

On applique le PFD la masse m1 dans le rfrentiel * galilen :

11 int sur 1 ext sur 1

*

d *dvm f ft

= +

2 1f = , soit 1 2 1 1 2**

d * dd dp v f ft t

= = =

daprs le principe des actions

rciproques, do 1 2*

ddv ft

=

(2).

On obtient les mmes quations (1) et (2). Cela permet de dterminer r , c'est--dire le mouvement relatif de 2 par rapport 1. Nous allons introduire le mobile rduit qui permet davoir une reprsentation concrte du mouvement relatif de 2 par rapport 1.

II.3 Mobile rduit (ou mobile quivalent) On appelle mobile rduit (ou mobile quivalent ou mobile fictif) un point matriel qui serait situ au point M tel que

1 2GM M M r= = et dont la masse serait gale la masse rduite : 1 21 2

m mm m

=+

.

On a **

d dd dGM r v

t t

= = = vitesse relative de 2 par rapport 1

= vitesse du mobile rduit dans *

On a vu que 1 2*

ddv ft

=

Le mouvement du mobile rduit peut studier dans * comme celui dun point matriel de masse gale la masse rduite et auquel serait appliqu la force 1 2f que le point M1 exerce sur le point M2.

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z

GM2

x

y

M

M1

M

r

x

y

zG

ruu

M2

x

y

M

M1

G

1

2

La mthode du mobile rduit ramne ltude du problme deux corps celle du problme un corps. On dit que lon a procd la rduction canonique du problme deux corps. Un intrt supplmentaire est que *cE et *G calculs prcdemment sidentifient ceux de son mobile rduit :

21*2c

E v= = nergie cintique du mobile rduit dans * et * ^G r v = = moment cintique en G du mobile rduit

dans * . On a donc une quation diffrentielle permettant de connatre r . On peut donc en dduire 1GM et 2GM et si

ncessaire 1OM et 2OM

II.4 Conservation du moment cintique et consquences On a vu que le rfrentiel * est galilen.

Le thorme du moment cintique appliqu au systme { }1 2M M+ scrit : *

d *0

dG

extRt

= =

On a donc conservation du moment cintique : *G cte =

Or * ^G r v = , donc *G r . On a vu que *GGM r = Le mouvement du mobile rduit est donc le plan passant par G et orthogonal *G

Remarque : Si * 0G = , alors on un mouvement rectiligne. On choisit laxe Oz tel que * *G zu = On utilise les coordonnes cylindriques pour reprer la position de M.

( ) 2* ^G r r zru ru r u r u = + = On pose 2* *G z z zu r u Cu = = =

La constante des aires vaut 2C r = Le mobile rduit suit donc la loi des aires.

On a vu que 11

1GM rm

= et 22

1GM rm

= . On a donc : 1 1 11

GM r rm

= = = +

et 2 2 22

GM r rm

= = =

On a 2C r = , donc 2

11 1

mC r

=

et

2

22 2

mC r

=

On a donc :

2

21 1 1

1

2

22 2 2

2

r C Cm

r C Cm

= =

= =

Les mouvements de M1 et M2 seffectuent selon la loi des aires avec 1 2C C .

II.5 Cas particulier des forces dinteraction newtonienne

a) quation diffrentielle du mouvement du mobile rduit

Le principe fondamental de la dynamique scrit pour le mobile rduit dans * : 2 r

ka f ur

= =

On utilise la formule de Binet pour lacclration et on projette suivant ru : 2 2C u ( ) 2"u u k u+ =

On en dduit lquation diffrentielle du mouvement : 2

" ku uC

+ = .

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r

Ep eff

E > m 0

rmin

valeurs de inaccessibles

r

r

Ep eff

E = m 0rmin

valeurs de inaccessibles

r

r

Ep eff

Em< 0

mouvementborn

r1 r2

Dans le chapitre Interaction newtonienne entre deux particules , on a rsolu cette quation diffrentielle. En utilisant la mme mthode, on trouve :

Pour une force attractive, on obtient 1 cos

pre

=+

avec 2Cp

k

= .

Pour une force rpulsive, on obtient : cos 1

pre

=

avec 2Cp

k

= .

b) Conservation de lnergie mcanique b1) Dmonstration avec le systme constitu des deux particules On applique le thorme de lnergie cintique au systme { }1 2M M+ dans le rfrentiel * galilen.

int ext intd *cE W W W = + = car le systme est isol.

On considre deux points matriels en interaction newtonienne : 1 2 1 22kf ur

= . On a vu dans le chapitre

prcdent que int d pW E = avec pkEr

= .

On a donc intd * dc pE W E= = , do *c pE E cte+ =

b2) Dmonstration simplifie mais suffisante avec le mobile rduit

Le mobile rduit est soumis une force qui drive dune nergie potentielle : pkEr

= .

On a donc conservation de lnergie mcanique avec 21*2c

E v=

On a donc conservation de lnergie mcanique du mobile rduit dans * : * *m c pE E E cte= + = .

On peut donc reprendre tout le cours que lon a vu sur les forces dinteraction newtonienne condition de

raisonner dans le rfrentiel * sur le mobile rduit de masse et soumis une force 1 2 1 22kf ur

= avec

p

kEr

= .

c) nergie potentielle effective pour des forces dinteraction newtonienne

Lnergie mcanique dans * vaut : 21* *2m c p

kE E E vr

= + = + .

En coordonnes polaires, on a rOM ru= et rv ru r u= + . Soit 2 2 2 2v r r = + . On remplace par

2

Cr

.

Soit : ( )2

2 2 2 22

1 1* *2 2 2m c p

k C kE E E r r rr r r

= + = + + = + +

On dfinit lnergie potentielle effective : 2

eff 22pC kEr r

= + . Comme 2 0r > , on doit avoir eff *p mE E<

c1) Force attractive (k < 0)

hyperbole parabole ellipse

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r

Ep eff

Em> 0

rmin

valeurs de inaccessibles

r

Si Em* > 0, e > 1. On a une branche dhyperbole. Si Em* = 0, e = 1. La trajectoire est une parabole. Si Em* > 0, e < 1. La trajectoire est une ellipse (e = 0 correspond au cercle).

c2) Force rpulsive (k > 0) Em* > 0, e > 1. On a une branche dhyperbole.

d) Expressions simplifies de lnergie mcanique On peut redmontrer (voir chapitre Interaction newtonienne entre deux particules ) les rsultats suivants :

( )2* 12mk

E ep

=

Pour une parabole, lnergie mcanique est nulle : Em = 0.

Pour une ellipse, lnergie mcanique est toujours ngative, on retient la formule : *2mk

Ea

= .

Pour une hyperbole, lnergie mcanique est toujours positive (force rpulsive ou force attractive), on

retient par cur la formule : *2mk

Ea

= .

ON PEUT RETENIR QUE POUR UNE ELLIPSE OU UNE HYPERBOLE, ON A : *2mkEa

= . IL

SUFFIT DE RFLCHIR AU SIGNE DE LNERGIE MCANIQUE POUR SAVOIR QUEL SIGNE IL FAUT METTRE.

e) Troisime loi de Kepler

Le mobile rduit suit la loi des aires : 2d 1d 2 2A Crt

= = , do d d2CA t= .

Sur une priode, on a : 2CA ab T= = . En levant au carr, on obtient

22 2 2 2

4Ca b T = (1).

Or 2 2b Cp

a k

= = On a donc 2

2

kCb a

= .

Il reste remplacer dans lquation (1) : 2 2 214

ka T

a

= , do

2 2

3

4Ta k

= .

Remarque : Trs souvent, on demande une dmonstration simplifie avec un mouvement circulaire uniforme.