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#305

Lois discrètes

Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel.

Plein les urnes !

Exercice 1.Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires. Une urne B contient une boule rouge

et neuf boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher.Un joueur dispose d'un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il lance une fois :

s'il obtient 1, il tire au hasard une boule de l'urne A, sinon il tire au hasard une boule de l'urne B.1) Soit R l'évènement "le joueur obtient une boule rouge". Calculer p(R).2) Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu'elle provienne de A est-elle supérieure ouégale à la probabilité qu'elle provienne de B ?

Exercice 2.Un urne contient n1 boules portant le numéro 1, n2 boules portant le numéro 2,... np boules portant

le numéro p. Le nombre de boules dans l'uren est donc N = n1 + n2 + ...+ np.On tire les N boules successivement et sans remise en notant le numéro sorti à chaque tirage. Combien

de p-listes diérentes obtient-on ainsi ?

Exercice 3.Une urne contient deux boules marquées 1, deux marquées 2 et une marquée 3. On prélève simul-

tanément deux boules au hasard et on appelle X la somme des numéros marqués sur les deux boules.Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance.

Exercice 4.Une urne contient 2n jetons numérotés de 1 à 2n.1) Un joueur extrait un jeton au hasard de cette urne. Soit X1 le numéro aléatoire obtenu. Quelle estla loi de X1 ? Son espérance et sa variance ?2) Ce joueur a maintenant droit à deux essais au maximum. Il décide d'utiliser la stratégie suivante :Il se donne a priori un nombre k et

• Si le 1er tirage amène un jeton dont le numéro est au moins égal à k, il arrête le tirage.• Si le 1er tirage amène un jeton dont le numéro est strictement inférieur à k, il le remet dans

l'urne et eectue un second tirage.Soit X2 le numéro aléatoire obtenu par le joueur à son dernier tirage.Quelle est la loi de X2 ? Son espérance ?Pour quelle valeur de k son espérance est-elle maximale ?

3) Ce joueur a à nouveau droit à deux essais, avec remise, et X3 est le plus grand des deux numérosobtenus. Quelle est la loi de X3 ? Son espérance ? Vérier que cette dernière règle donne une espérancesupérieure à n'importe quelle stratégie relative à la question 2.

Exercice 5.Soit n un entier supérieur à 2. On dispose de n urnes contenant chacune x boules blanches et y boules

noires. On tire une boule de la première urne et on la met dans la deuxième ; puis on tire une boule de ladeuxième urne et on la met dans la troisième ; et ainsi de suite... Enn, on tire une boule de la dernièreurne. Pour i ∈ [[1;n]], on note Bi l'évènement : "on tire une boule blanche de la iième urne".

1) Déterminer p(B1).

1er juillet 2019 1 Thierry Sageaux

#305 Lois discrètes

2) Montrer que p(B2) =x

x+ y.

3) Déterminer p(Bn).

Exercice 6.On considère une urne contenant 4 boules indiscernables au toucher : 1 blanche et 3 rouges.1) On tire simultanément deux boules dans cette urne puis on les remet dans l'urne. Quelle est laprobabilité d'obtenir deux boules rouges ?2) On eectue maintenant une succession de tirages simultanés de deux boules dans cette urne (enremettant les boules dans l'urne après chaque tirage) jusqu'à obtenir un tirage constitué de deuxboules rouges. Soit N la variable aléatoire égale au rang du tirage où l'expérience s'arrête.

a) Quelles sont les valeurs prises par N ?b) Reconnaître la loi de N . On précisera p(N = k) pour tout entier k ≥ 1.c) En déduire son espérance et sa variance.d) Calculer la probabilité que l'expérience s'arrête au plus tard au quatrième tirage.

Exercice 7.Dans une urne, on dispose de huit jetons numérotés de la façon suivante : quatre jetons numérotés 1,

trois jetons numérotés 2, un jeton numéroté 3 et on dispose d'un dé équilibré.On tire au hasard un jeton puis on lance le dé. On note le numéro du jeton et la valeur du dé.

1) Déterminer l'univers Ω.2) On désigne par X1 la var associant à chaque épreuve le numéro obtenu par le jeton.

a) Déterminer X1(Ω) puis la loi de probabilité de X1.b) Représenter la loi de probabilité de X1 par un diagramme bâtons.c) Déterminer la fonction de répartition de X1 puis donner sa représentation graphique.d) Déterminer E(X1) puis V (X1).

3) Soit X2 la var associant à chaque épreuve la valeur du dé.a) Déterminer X2(Ω).b) Déterminer la loi de probabilité de X2.

4) Soit X3 la var associant à chaque épreuve la somme des deux nombres obtenus.a) Déterminer X3(Ω).b) Ecrire X3 en fonction de X1 et X2.c) Calculer p(X3 = 2) et p(X3 = 6).

5) Soit X4 la var associant à chaque épreuve le plus grand des deux nombres obtenus.a) Déterminer X4(Ω).b) Ecrire X4 en fonction de X1 et X2.c) Calculer pour k ∈ X4(Ω), les probabilités p(X4 ≤ k).d) En déduire la loi de probabilité de X4.

6) Soit X5 la var associant à chaque épreuve le plus petit des deux nombres obtenus.a) Déterminer X5(Ω).b) Calculer p(X5 = 3), p(X5 = 1) et p(X5 = 2).

Exercice 8.On considère une urne contenant 4 boules indiscernables au toucher : 1 blanche et 3 rouges.On eectue des tirages d'une boule sans remise dans l'urne jusqu'à obtenir une boule blanche. Soit Y

la variable aléatoire égale au rang du tirage où l'expérience s'arrête.1) Quelles sont les valeurs prises par Y ?2) Décrire l'évènement (Y = 2) et calculer p(Y = 2).3) Déterminer la loi de Y , son espérance E(Y ) et sa variance V (Y ).4) Soit Z la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges restant dans l'urne au moment oùl'expérience s'arrête. Exprimer Z en fonction de Y .

En déduire la loi de Z, son espérance et sa variance.

2 Thierry Sageaux


Exercice 9.Une urne contient initialement une boule blanche et une boule rouge. On eectue des tirages successifs

d'une et on rajoute dans l'urne, avant le tirage suivant, une boule de la couleur qui vient d'être tirée.Pour tout entier naturel non nul n, on note Xn la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches

obtenues au cours des n premiers tirages.Déterminer la loi de X1, puis X2, puis Xn.

Exercice 10.Une urne contient six boules blanches et quatre noires. On tire successivement et au hasard des boules

avec remise.1) Quelle est la probabilité de n'obtenir qu'une seule boule blanche en trois tirages ?2) Quelle est la probabilité d'obtenir au moins deux boules blanches en cinq tirages ?3) Quelle est la probabilité que la première boule blanche apparaisse au ne tirage ?4) Quelle est la probabilité que la ke boule blanche apparaisse au ne tirage ?

Exercice 11.On considère n urnes numérotées de 1 à n. La première contient des boules blanches et noires, avec

une proportion p de boules boules blanches. Les urnes suivantes contiennent chacune a boules blancheset a boules noires.

On eectue n tirages de la manière suivante : on tire une boule de la première urne que l'on placedans la deuxième urne, puis on tire une boule de la deuxième urne que l'on place dans la troisième urne,et ainsi de suite jusqu'au tirage dans la dernière urne.

Pour 1 ≤ k ≤ n, on désigne par Xk la variable aléatoire égale à 1 si le ke tirage est une boule blancheet 0 sinon.

1) Déterminer les lois de probabilité de X1 et X2, puis leur espérance et leur variance en fonction dep et a.2) Démontrer qu'il existe une valeur de p pour laquelle X1 et X2 suivent la même loi de probabilité.

Pour 1 ≤ k ≤ n, on pose pk = p(Xk = 1) et qk = p(Xk = 0).3) Démontrer qu'il existe une matrice M dépendant de a, telle que pour tout k de [[1, n− 1]], on ait :(

pk+1

qk+1

)= M

(pkqk

).

4) Calculer Mn pour tout n ∈ N. En déduire la loi de probabilité de Xn et déterminer limn→+∞

pn et

limn→+∞

qn.

Exercice 12.On considère une urne de taille N > 1, contenant r boules blanches et N−r boules noires (0 < r < N).

Dans cette urne, on prélève les boules une à une et sans remise, jusqu'à obtenir toutes les boules blanches.On note X le nombre de tirages nécessaires pour obtenir toutes les boules blanches.

1) a) Traiter le cas N = 4 et r = 1.b) Traiter le cas N = 4 et r = 2.

2) Dans le cas r = 1, et N quelconque, reconnaître la loi de X, donner son espérance et sa variance.Même question dans le cas r = N .3) On traite maintenant le cas général 1 < r < N .

a) Détermine l'ensemble des valeurs prises par X.b) Soit k l'une de ces valeurs, déterminer la probabilité pour qu'au cours des k−1 premiers tirages,

soient apparues r − 1 boules blanches. Vérier que p(X = k) =

(k−1r−1

)(Nr

) .

c) En déduire les valeurs des sommes :N∑

k=r

(k−1r−1

), puis

N∑k=r

(kr

), et

N∑k=r

(k+1r+1

).

3 Thierry Sageaux


d) Après avoir vérié que n(n−1p−1

)= p(np

), montrer que E(X) =

r(N + 1)

r + 1.

e) Calculer E(X(X + 1)) et en déduire V (X).

Exercice 13.Une urne contient des boules numérotées de 1 à 10.1) On tire au hasard, sans remise, trois boules de cette urne. Quelle est la probabilité d'obtenir lenuméro 10 ?2) Même question s'il y a remise.3) On tire au hasard, sans remise, trois boules de cette urne. Quelle est la probabilité d'obtenir desnuméros en ordre croissant ?4) On tire au hasard avec remise trois boules de cette urne. Quelle est la probabilité d'obtenir desnuméros en ordre strictement croissants ?5) On tire au hasard avec remise trois boules de cette urne. Quelle est la probabilité d'obtenir desnuméros en ordre croissants ?

Exercice 14.Un joueur dispose d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de trois

urnes U1, U2 et U3, chacune contenant k boules, où k ≥ 3.Il y a trois boules noires dans l'urne U1, deux boules noires dans l'urne U2 et une boule noire dans

l'urne U3, et toutes les autres boules contenues dans les urnes sont blanches.Les boules sont indiscernables au toucher.Une partie se déroule de la façon suivante :Le joueur lance le dé : • S'il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule de l'urne U1, note

sa couleur et la remet dans l'urne U1. • S'il obtient un multiple de 3, il prend au hasard une bouledans l'urne U2, note sa couleur et la remet dans l'urne U2. • Si le numéro amené par le dé n'est ni le1, ni un multiple de 3, il prend au hasard une boule de l'urne U3, note sa couleur et la remet dans l'urneU3.

On désigne par A, B, C et N les évènements suivants :A : le dé amène le numéro 1.B : le dé amène un multiple de 3.C : le dé amène un numéro qui n'est ni le 1, ni un multiple de 3.N : la boule tirée est noire.Le joueur joue une partie :1) Quelle est la probabilité qu'il amène une boule noire ?2) Quelle est la probabilité que le dé ait amené le 1 sachant que la boule tirée est noire ?3) Déterminer k pour que la probabilité d'obtenir une boule noire soit supérieure à 0,5 ?

4) Déterminer k pour que la probabilité d'obtenir une boule noire soit supérieure à1

30?

Exercice 15.Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. On tire 2 boules simultanément. On appelle X le

plus grand des deux numéros tirés. Déterminer la loi de X et E(X).

Exercice 16.Soit n ∈ N avec n ≥ 2. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On tire les boules une à une

sans remise et on s'arrête dès que le numéro tiré est strictement supérieur au précédent (ou quand il n'ya plus de boules évidemment).Soit X la v.a.r. égale au nombre de tirages eectués.

1) Préciser X(Ω). Calculer p(X = 2) et p(X > 2).2) Pour k ≥ 2, préciser p(X > k) et en déduire la loi de X.

Exercice 17.

4 Thierry Sageaux


Dans une urne se trouvent dix boules rouges et cinq vertes.1) On pioche sans remise dans l'urne et on note R le nombre de boules rouges obtenues et V le nombrede vertes. Donner la loi, l'espérance et la variance de R et V .2) Même question lorsque les tirages sont eectués avec remise.3) Dans le cas où les tirages sont eectués sans remise, on note X le nombre de tirages nécessairesavant de piocher une première boule rouge. Déterminer la loi de X.

Exercice 18.Une urne contient cinq boules blanches, cinq boules noires et dix boules rouges.On eectue des tirages successifs d'une boule avec remise.Soit X le nombre de tirages nécessaires à l'obtention d'une boule blanche et Y le nombre de boules

rouges obtenues avant cette boule blanche.1) Déterminer la loi de X et son espérance.2) Soit i un entier naturel non nul. Donner la loi de Y sachant (X = i).3) Donner la loi de Y et l'espérance de Y .

Exercice 19.On désigne par n un entier naturel avec n > 1. Un sac contient des boules rouges et des boules

blanches, indiscernables au toucher. La proportion de boules rouges est p où 0 < p < 1, celles des boulesblanches est q = 1 − p. On eectue une suite de tirages d'une boule avec remise de la boule tirée aprèschaque tirage selon la règle suivante :- dès qu'une boule rouge est tirée, on arrête les tirages ;- si les n premières boules sont blanches, on arrête les tirages.

1) Soit Ω l'ensemble des suites de couleur de boules que l'on peut tirer suivant cette règle.a) Déterminer Ω.b) Déterminer la probabilité de chacun des évènements élémentaires pour cette expérience.

2) On note N , X1, X2 les v.a.r. représentant respectivement le nombre de tirages eectués, le nombrede boules blanches tirées et le nombre de boules rouges tirées.

a) Déterminer la loi de la var X2, puis calculer E(X2) et V (X2).b) Déterminer la loi des variables aléatoires X1 et de N .

Lancers de pièces

Exercice 20.Deux joueurs lancent chacun une pièce de monnaie n fois. Quelle est la probabilité pour que les deux

joueurs obtiennent le même nombre de piles ?

Exercice 21.On lance indéniment une pièce équilibrée et l'on désigne par T la variable aléatoire indiquant le

numéro du jet où, pour la première fois, la pièce donne face.1) Déterminer pour tout entier k ≥ 1 la probabilité des évènements T = k et T ≤ k.2) En déduire l'espérance E(T ) de la variable aléatoire.3) On lance maintenant deux pièces simultanément. On appelle N la variable aléatoire indiquant lenuméro du jet où, pour la première fois, chacune des deux pièces a amené au moins une fois face.

On note T1 la variable aléatoire indiquant le numéro du jet où, pour la première fois, la premièrepièce a amené face et T2 la variable aléatoire indiquant le numéro du jet où, pour la première fois, laseconde pièce a amené face.

a) Déterminer p(N = 1).b) Comparer les évènements (N ≤ k) et [(T1 ≤ k) ∩ (T2 ≤ k)] pour k ≥ 1.

En déduire les probabilités p(N ≤ 2), puis, plus généralement p(N ≤ 1) pour k ≥ 1.

5 Thierry Sageaux


c) Déduire de ce résultat que p(N = k) =

(1

2

)k−1

− 3

4

(1

4

)k−1

.

d) On s'intéresse enn à l'espérance et à la médiane de la variable aléatoire N . Exprimer, sousforme de fraction irréductible, l'espérance E(N) de N .

Exercice 22.On admettra que pour tout entier naturel k non nul et que pour tout réel x strictement compris entre

−1 et 1, on a :+∞∑n=k

(nk

)xn =

xk

(1− x)k+1.

Un individu joue avec une pièce non nécessairement symétrique. La probabilité d'obtenir pile est unnombre p ∈]0, 1[.

Dans un premier temps, il lance la pièce jusqu'à obtenir pour la première fois pile. On note N lenombre aléatoire de lancers nécessaires. Dans un second temps, si le premier pile était apparu au nième

lancer, il lance cette même pièce n fois et l'on note X le nombre aléatoire de piles obtenus au cours decette deuxième série de lancers.

1) Déterminer la loi du couple (N ;X).2) Démontrer que :

∀k ∈ N\0, p(X = k) =qk−1

(1 + q)k+1et p(X = 0) =

q

1 + q.

3) Si la pièce est équilibrée, calculer la probabilité d'obtenir trois piles en tout.

Exercice 23.Deux joueurs A et B procèdent chacun à une succession de lancers d'une même pièce. A chaque lancer,

la probabilité d'obtenir pile est p xé, p ∈]0; 1[, et la probabilité d'obtenir face est q = 1− p.Le joueur A commence et il s'arrête quand il obtient le premier pile. On note X la variable aléatoire

égale au nombre de lancers eectués par le joueur A.Le joueur B eectue alors autant de lancers que le joueur A et on note Y la variable aléatoire égale

au nombre de piles obtenus par le joueur B.1) rappeler la loi de X et, pour tout k ≥ 1, donner la loi conditionnelle de Y sachant X = k.2) Quelles sont les valeurs prises par Y ?

3) Montrer que p(Y = 0) =+∞∑k=1

pq2k−1 =q

1 + q.

4) Soit n un entier naturel non nul. Montrer que p(Y = n) =+∞∑k=n

(kn

)pn+1q2k−n−1. Puis, que p(Y =

n) =1

(1 + q)2

(q

1 + q

)n−1

.

Exercice 24. (EDHEC 1998)On réalise une suite de lancers indépendants d'une pièce équilibrée, chaque lancer amenant donc "Pile"

ou "Face" avec la probabilité 12 .

On note Pk (resp. Fk) l'évènement : "on obtient Pile (resp. Face) au kième lancer."On note X la variable aléatoire qui prend la valeur k si l'on obtient, pour la première fois, "Pile" puis

"Face" dans cet ordre aux lancers k − 1 et k (k désignant un entier supérieur ou égal à 2). La variablealéatoire X prenant la valeur 0 si l'on n'obtient jamais une telle succession.

On note Y la variable aléatoire qui prend la valeur k si l'on obtient, pour la première fois, "Pile" suivide "Pile" aux lancers k−1 et k (k ≥ 2), Y prenant la valeur 0 si l'on n'obtient jamais une telle succession.

L'objet de l'exercice est de déterminer les espérances de X et Y et de vérier que, contre toute attente,E(Y ) > E(X).

1) Calculer p(X = 2).

6 Thierry Sageaux


2) a) Soit k un entier supérieur ou égal à 3. Montrer que si le premier lancer est un "Pile", alors ilfaut et il sut que P1 ∩ P2 ∩ . . .¶k−1 ∩ Fk se réalise pour que (X = k) se réalise.

b) En déduire que ∀k ≥ 3, p(X = k) =1

2p(X = k − 1) +

1

2k.

c) On pose, pour tout entier k ≥ 2, uk = 2kp(X = k). Déterminer uk, puis donner la loi de X.3) Montrer que X a une espérance et la calculer.4) a) Montrer que (F1, P1 ∩ P2, P1 ∩ F2) est un système complet d'évènements.

b) En déduire que, pour tout entier k ≥ 4, on a p(Y = k) =1

2p(Y = k − 1) +

1

4p(Y = k − 2).

c) On pose, pour tout k ≥ 2, vk = p(Y = k). Déterminer v2 et v3 puis montrer qu'en posant

v0 = 1 et v1 = 0, on a pour tout entier k ≥ 2 : vk =1

2vk−1 +

1

4vk−2.

d) En déduire la suite (vk) puis donner la loi de Y .e) Montrer que Y a une espérance et la calculer.

Exercice 25.Un lot de 10 pièces contient 3 pièces défectueuses. On en tire simultanément 2 du lot. Soit X le nombre

de pièces défectueuses parmi les pièces tirées.1) Quelle est la loi de X ?2) Préciser E(X) et V (X).

Exercice 26.On jette une pièce de monnaie et on se demande quelle est en moyenne le nombre de coups consécutifs.

Exercice 27.

Un joueur A dispose d'une pièce qui a la propriété de faire pile avec la probabilité1

3et un joueur

B dispose d'une pièce dont la probabilité de faire pile est p ∈]0, 1[. Les lancers des pièces sont supposésindépendants.

Les deux joueurs lancent leur pièce simultanément jusqu'à ce qu'au moins une des deux pièces donnepile. S'ils font pile simultanément, le jeu s'arrête sans que personne n'ait gagné d'argent. Sinon, le premierà obtenir pile s'arrête et l'autre continue ses lancers jusqu'à obtenir pile également et paye un euro à sonadversaire à chacun des lancers de cette série en solitaire.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de lancers eectués par le joueur A et Y la variablealéatoire égale au nombre de lancers eectués par le joueur B et Z = Y −X.

1) Justier que les variables X et Y suivent des lois géométriques dont on donnera le paramètre.Préciser X(Ω), Y (Ω) et les valeurs de p(X = k), p(Y = k), E(X), E(Y ), V (X) et V (Y ).

2) a) Montrer que E(Z) =1− 3p

pet V (Z) =

6p2 − p+ 1

p2.

b) Montrer que∑k≥1

p(X = k)× p(Y = k) =p

1 + 2pet en déduire p(Z = 0 =.

c) Soit n ∈ N\0, montrer que p(Z < 0) puis interpréter les évènements (Z = 0), (Z > 0) et(Z < 0).

Exercice 28.Mille personnes gagnent la possibilité de jouer à un jeu de pile ou face équilibré pour gagner 10 000e.

Un petit malin à l'esprit d'entreprise propose à chaque joueur la somme de 4 500e pour jouer à sa place :évidemment, s'il gagne, c'est lui qui empoche le gain.

1) Calculer l'espérance mathématique et l'écart type du gain de cet entrepreneur en fonction dunombre n de personnes qui acceptent son ore.2) Calculer, en fonction de n, la probabilité que l'entrepreneur perde de l'argent.

Exercice 29.On dispose d'un dé et de 6 pièces. On lance le dé, on note D le nombre obtenu. On lance ensuite D

pièces et on note X le nombre de faces obtenues. Donner la loi et l'espérance de X.

7 Thierry Sageaux


Lancers des dés

Exercice 30.On lance simultanément deux dés à six faces.• Si le résultat est (1, 1), on gagne 1000 points.• Si le résultat est (a, a) avec a 6= 1, alors on gagne 100 points.• si le résultat n'est pas un double, alors on gagne 50 points.

On a gagné quand on arrive à 1000 points. Déterminer la loi de la variable aléatoire X donnant lenombre de lancers.

Loi de Bernoulli

Exercice 31. ˇ “Soit n un entier au moins égal à 6. On lance n dés parfaits. Soit X la variable aléatoire égale au

nombre de résultats diérents obtenus : ainsi (X = 1) est réalisé par exemple si tous les dés donnent 3 ;(X = 2) est réalisé par exemple si tous les dés donnent 2 ou 5, ces deux valeurs étant obtenues chacuneau moins une fois ; et ainsi de suite.

1) Pour tout i ∈ 1, . . . 6 on désigne par Xi la variable aléatoire indicatrice de l'évènement Ai : "aumoins un dé donne le numéro i". Déterminer la loi de Xi, préciser son espérance et sa variance.2) Calculer la probabilité de l'évènement (X1 = 0) ∩ (X2 = 0). En déduire la covariance du couple(X1, X2).3) Exprimer X à l'aide des Xi. En déduire l'espérance et la variance de X.

Loi uniforme

Exercice 32.Montrer qu'il n'est pas possible de truquer deux dés de la même manière de sorte que la variable

aléatoire égale à la somme des numéros obtenus en lançant ces deux dés soit une variable uniforme sur[[2, 12]].

Exercice 33.Soient a ∈ N∗ et X une variable uniforme sur [[0, a]]. On suppose que E(X) = 6. Trouver a.

Exercice 34.n touristes se répartissent au hasard dans trois hôtel H1, H2 et H3. Pour k variant de 1 à 3, on pose

Xk le nombre de touristes dans l'hôtel Hk.1) Quelle est la loi de Xk ?2) Donner la loi de X1 +X2. Donner la variance de X1 +X2.3) Donner Cov(X1, X2). Quel est le coecient de corrélation de X1 et X2 ?

Exercice 35.Aristide habite un immeuble de plus trois étages et de moins de 25 étages, sans sous-sol, et possédant

un unique ascenseur. On suppose que les allées et venues sont telles que l'appareil, lorsqu'il est à l'arrêt,a une chance sur deux d'être au rez-de-chaussée, et des probabilités égales d'être aux autres étages.

1) Montrer que, lorsqu'il est à l'arrêt, l'ascenseur parcourt en moyenne la même distance lorsqu'onl'appelle du rez-de-chaussée ou du premier.

8 Thierry Sageaux


2) Si l'on suppose de plus que, lorsqu'il sort de son appartement, et qu'il appelle l'ascenseur, alorsque celui-ci est à l'arrêt, l'appareil parcourt en moyenne exactement deux fois plus de distance quelorsqu'on l'appelle du rez-de-chaussée ; A quel étage Aristide habite-t-il ?

Exercice 36.On tire trois dés identiques, ce qui donne trois résultats : α ≤ β ≤ γ. On note X, Y et Z les lois

correspondant respectivement à α, β et γ.1) Calculer p(X ≤ k) et en déduire la loi de X.2) Calculer la loi de Z.3) Calculer p(Y = k).4) Montrer que E(X) + E(Z) = 7.

Loi binomiale

Exercice 37.U étant une variable aléatoire prenant un nombre ni de valeurs de N, on note PU la fonction polynôme

dénie par :∀x ∈ R, PU (x) = E(xU ).1) Déterminer PU dans chacun des cas suivants :

a) Si U suit un loi de Bernoulli de paramètre p.b) Si U suit une loi binomiale de paramètres n et p.

2) Soient U et V deux variables aléatoires prenant un nombre ni de valeurs de N telles que PU = PV .Montrer que U et V suivent la même loi.3) Montrer que pour toute variable aléatoire prenant un nombre ni de valeurs de N, E(U) = PU (1).

Exercice 38.On eectue indéniment une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p ∈]0; 1[ dans ces conditions

indépendantes.1) Soit Xn la variable aléatoire réelle égale au nombre de succès dans les n premières fois.

a) Donner la loi de Xn, son espérance et sa variance.

b) Montrer que si t est un réel positif tel que n > tp , on a : p(Xn ≤ t) ≤

np(1− p)(np− t)2

.

2) Soit k un entier naturel non nul. On dénit la variable aléatoire réelle Y de la façon suivante :Si le nombre de succès est strictement inférieur à k, alors Y prend la valeur 0. Sinon, Y est égale

au rang d'apparition du kième succès.a) Donnez la loi de Y .

b) En déduire en fonction de p et k la valeur de+∞∑n=k

(n−1k−1

)(1− p)n.

3) Montrer que l'espérance de Y existe et la calculer.

Exercice 39.On désinfecte dix plantes avec un produit ecace avec la probabilité p. On note X1 le nombre de

plantes désinfectées la première semaine ; On renouvelle la pulvérisation sur les plantes encore infectéesla deuxième semaine. On note X2 le nombre de plantes désinfectées la deuxième semaine.

On pose Y = X1 +X2.1) Donner la loi de X1 puis la loi de X2 sachant (X1 = k).2) Donner la loi de Y . Reconnaître une loi connue.3) On pose p = 0, 75. La proposition "p(Y ≥ 9) ≥ 0, 95" est-elle vraie ?

Exercice 40.

9 Thierry Sageaux


Soit X une variable aléatoire de loi B(n, p). On dénit Y =1

1 +X. Donner l'espérance de Y . On

suppose ensuite que p = 12 et on pose Z =

ax

2n. Calculer E(Z).

Exercice 41.Les bouteilles de vin du coin ont une chance sur quinze s'être bouchonnées et inbuvables (indépen-

damment les unes des autres). Si on achète un lot de n bouteilles, à partir de quelle valeur de n aura-t-onen moyenne au moins une bouteille bouchonnée ?

Exercice 42.On lance des fusées vers Titan une des lunes de Saturne. A chaque lancer, la probabilité de réussite

est de 0, 7. On eectue dix lancers successifs. Quelle est la probabilité d'obtenir k lancers réussis ? Quelest le nombre moyens de lancers réussis ? Combien faudrait-il de lancers pour avoir 98% de chances qu'aumoins un lancer ait réussi ?

Exercice 43.Dans un examen à correction automatique, on pose 10 questions. Chaque question comporte 5 réponses

dont une seule est exacte. Pour chaque question, le candidat doit cocher sa bonne réponse. Un candidatqui ne se e pas à son savoir décide de procéder au hasard.Quelle est la probabilité que le candidat ait au moins la moyenne ?

Exercice 44.Dans une poste d'un petit village, on remarque qu'entre 10h et 11h, la probabilité pour que deux

personnes entrent durant la même minute est considérée comme nulle et que l'arrivée des personnes estindépendante de la minute considérée. On a observé que la probabilité pour qu'une personne se présenteentre la minute n et la minute n + 1 est p = 0, 1. On veut calculer la probabilité pour que 3,4,5,6,7,8...personnes se présentent au guichet entre 10h et 11h.

1) Dénir une variable aléatoire adaptée, puis répondre au problème considéré.2) Quelle est la probabilité pour qu'au moins 10 personnes se présentent au guichet entre 10h et 11h.

Exercice 45.Un industriel doit vérier l'état de marche de ses machines et en remplacer certaines le cas échéant.

D'après des statistiques précédentes, il évalue à 30% la probabilité pour une machine de tomber en panneen 5 ans ; parmi ces dernières, la probabilité de devenir hors d'usage suite à une panne plus grave estévaluée à 75% ; cette probabilité est de 40% pour une machine n'ayant jamais eu de panne.

1) Quelle est la probabilité pour une machine donnée de plus de cinq ans d'être hors d'usage ?2) Quelle est la probabilité pour une machine hors d'usage de n'avoir jamais eu de panne auparavant ?3) Soit X la variable aléatoire "nombre de machines qui tombent en panne au bout de 5 ans, parmi10 machines choisies au hasard". Quelle est la loi de probabilité de X, son espérance, sa variance etson écart type ?4) Calculer p(X = 5).

Exercice 46.Deux variables aléatoires indépendantes X et Y suivent une loi B(n, 1

2 ). Calculer p(X + Y = n),p(X = Y ) et p(X ≥ Y ).

Exercice 47.Un spot se déplace sur une droite à partir de l'origine. A chaque seconde, il se déplace d'une unité

vers la droite avec la probabilité p ou vers la gauche avec la probabilité q = 1 − p. La variable aléatoireX est l'abscisse au bout de n secondes.Déterminer la loi de X, E(X) et V (X).

10 Thierry Sageaux


Loi hypergéométrique

Exercice 48.Dans un laboratoire se trouve une cage avec vingt souris présentant deux caractères : sexe (mâle ou

femelle) et couleur (blanche ou noire).Il y a douze mâles, dont sept blancs et onze souris blanches en tout. On décide de prélever trois souris

au hasard.1) Calculer la probabilité d'obtenir trois souris blanches si le prélèvement est eectué avec remise.2) Calculer la probabilité d'obtenir trois souris blanches si le prélèvement est eectué sans remise.3) Calculer la probabilité d'obtenir au moins une souris blanche si le prélèvement est eectué avecremise.4) Calculer la probabilité d'obtenir trois souris blanches ou mâles si le prélèvement est eectué sansremise.

Exercice 49.Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un bout au chien quand on joue au tarot ?

Exercice 50.Si dans une population une personne sur cent est un centenaire, quelle est la probabilité de trouver

au moins un centenaire parmi 100 personnes choisies au hasard ? Et parmi 200 personnes ?

Exercice 51.Un jeu de 32 cartes est truqué : on remplace une carte autre que l'as de pique par un second as de

pique. On tire au hasard dans ce jeu (simultanément) n cartes.1) Quelle est (en fonction de n), la probabilité de déceler la supercherie ?2) On suppose n = 4 et on tire plusieurs fois de suite quatre cartes au hasard dans le jeu (en remettantà chaque fois les cartes après tirage). Quelle est le nombre minimum de tirages à eectuer avant quela probabilité de découvrir la supercherie n'atteigne 95%.

Autres inclassables

Exercice 52. (CERDI 2012)On note X la variable aléatoire suivant la distribution f telle que :

f(x) =3!

n!(3− n)!

(1

4

)n(3

4

)3−n

pour n ∈ 0, 1, 2, 3.

1) Calculer E(X) et E(X(X − 1)).2) En déduire σ(X)2.

Exercice 53. ˇ “ (Annia)Soit (Ω; A ; p) un espace probabilisé. Soit (Ai)

ni=1 un système complet d'évènements tel que p(Ai) = pi.

On pose Ui les variables aléatoires caractéristiques, i.e.

Ui(ω) =

1 si ω ∈ Ai

0 sinon

11 Thierry Sageaux


1) Déterminern∑

i=1

Ui.

2) On pose M = (Cov(Ui, Uj))i,j . Ecrire les coecients de la matrice.

3) Montrer que V =

1...1

est un vecteur propre de M .

4) Soient x = (xi)ni=1 et y = (yi)

ni=1 des vecteurs réels. On pose X =

n∑i=1

xiUi et Y =n∑

i=1

yiUi. Montrer

que Cov(X,Y ) = txMy.5) La matriceM est-elle diagonalisable ? Montrer que les valeurs propres deM appartiennent à [0, 1[.

Exercice 54.Un sac contient n billes bleues et n billes rouges. On les retire toutes une à une. On appelle X le

numéro du tirage où la dernière bleue est prélevée.1) Donner la loi de X. Vérier que la formule obtenue dénit bien une loi de probabilité.2) Calculer l'espérance de X.

Exercice 55. Loi trinomialeSoit n un entier naturel non nul. Au cours d'un championnat sportif, une équipe rencontre n adver-

saires. A chaque rencontre,• sa probabilité de victoire est p auquel cas elle gagne un point,• sa probabilité de défaite est q auquel cas elle perd un point,• sa probabilité de faire match nul est r avec p+ q+ r = 1, elle ne perd ni ne gagne aucun point.

On suppose les résultats des diérentes rencontres indépendants les uns des autres. Soient A le nombrede victoires, B le nombre de défaites et X le nombre de points de cette équipe à l'issue du championnat.

1) Donner la loi du couple (A,B). En déduire la loi de X.2) Calculer alors E(X) et V (X).

Exercice 56. Le problème du collectionneurSoit n un entier naturel n ≥ 2. Un enfant désire posséder les n gurines d'une collection dans des

paquets de céréales. Il achète toutes les semaines un paquet. On désigne par• Xk la variable aléatoire égale au nombre de gurines distinctes que possède l'enfant après k

achats.• Yi la variable aléatoire égale au nombre d'achats nécessaires à l'obtention de la ième gurine,

la i− 1ème une fois obtenue.• T le nombre de gurines que l'enfant a achetées lorsque la colelction est terminée.

1) a) Soit i un entier de [[1, n]]. Pour tout j ∈ [[1, n]], exprimer p(Xk=j)(Xk+1 = i).b) En déduire l'expression de p(Xk+1 = i) en fonction des p(Xk = j).

2) On note Gk les fonctions génératrices qui sont des polynômes dénis par Gk(x) =n∑

i=1

p(Xk =

i)xn−i.a) Soit F l'a application de Rn−1[x] qui a tout polynôme P associe le polynôme Q = P (x) +1− xn

P ′(x). Montrer que ∀k ∈ N\0, Gk+1 = F (Gk).

b) En déduire que ∀k ∈ N\0, Gk =n−1∑i=0

(n− in

)k−1 (n−1i

)(x− 1)i.

c) Donner alors la loi deXk. En déduire que si 1 ≤ k < m ≤ n, alorsm−1∑i=0

(−1)i(m−ii

)(m− in

)k−1

=

0.d) En utilisant les polynômes (Gk), calculer l'espérance et la variance de Xk.

12 Thierry Sageaux


3) a) Exprimer l'évènement (T = k) à l'aide des variables aléatoires Xk et Xk−1. En déduire la loide T .b) Donner la loi de Yi. En exprimant T à l'aide des variables aléatoires (Yi), en déduire l'espéranceet la variance de T .

Exercice 57.Soit n un entier supérieur ou égal à 3. On considère n boîtes numérotées (Bi)1≤i≤n. Un objet est

caché dans l'une de ces boîtes (de façon équiprobable) et on cherche à le localiser, c'est-à-dire à connaîtrele numéro de la boîte qui le contient. Pour cela, on ouvre successivement les boîtes B1, B2,... jusqu'à ceque l'on puisse déterminer à coup sûr dans quelle boîte se trouve l'objet.Soit X la var égale au nombre de boîtes ouvertes.

1) Déterminer la loi de X.2) Déterminer E(X) et V (X).

Exercice 58.Soient n et p deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 tels que n ≥ p. On considère une urne

contenant n boules numérotées de 1 à n dans laquelle on eectue un tirage de p boules.1) On suppose dans cette question que les tirages s'eectuent sans remise. Soient X la var égale au

plus grand numéro obtenu et Y la var égale au plus petit numéro obtenu.a) Déterminer la loi de X, ainsi que son espérance et sa variance.b) Déterminer la loi de Y , ainsi que son espérance.

2) On suppose dans cette question que les tirages s'eectuent avec remise. Soient Z la var égale auplus grand numéro obtenu. Déterminer la loi de Z ainsi que son espérance.

Exercice 59.On dispose d'une urne contenant 3 objets A,B et C. Le jeu consiste en une succession de tirages d'un

objet avec remise dans l'urne après chaque tirage.A chaque tirage, le joueur :- gagne 1e s'il tire l'objet A,- ne perd ni ne gagne s'il tire l'objet B,- perd tout ce qu'il a gagné s'il tire l'objet C.On note Xn la var égale au gain au bout de n tirages.

1) Déterminer les lois de X1 et X2.2) Calculer p(Xn = n) en fonction de n.3) Exprimer p(Xn+1 = 0) en fonction de p(Xn = 0). En déduire p(Xn = 0) en fonction de n.4) Soient a et n deux entiers naturels non nuls. Montrer que p(Xn+1 = a) = 1

3p(Xn = a) + 13p(Xn =

a− 1).Trouver une relation entre E(Xn+1) et E(Xn). En déduire E(Xn) en fonction de n.

Exercice 60.Dans un bassin, nagent R = 100 poissons rouges, B = 200 poissons bleus, J = 300 poissons jaunes,

G = 400 poissons gris, indépendamment les uns des autres. Un coup d'épuisette ramène, au hasard unnombre n < 100 de poissons de diverses couleurs, chaque poisson ayant la même "chance" d'être pêché.

1) Sachant qu'un coup d'épuisette a capturé, au hasard, n poissons, quelle est la probabilité d'avoirobtenu exactement r poissons rouges, b poissons bleus, j poissons jaunes et g poissons gris, avecr + b+ j + g = n ?2) Application numérique : Le coup d'épuisette a ramené 10 poissons. Quelle est la probabilité que cecoup d'épuisette soit constitué de 2 poissons rouges, 2 poissons bleus,3 poissons jaunes et 3 poissonsgris.

Exercice 61. La loi multinomiale.On lance 5 fois de suite un dé équilibré. Quelles sont les probabilités des évènements :

13 Thierry Sageaux


1) On obtient deux fois un nombre pair et une fois le 1, une fois le 3, une fois le 5.2) On obtient trois fois un nombre pair et jamais un nombre premier.3) On obtient trois fois un nombre premier et une fois le 4.4) On obtient au moins une fois le nombre 2 et au plus deux fois un nombre pair.5) On obtient au moins une fois le nombre 2 et trois fois un nombre pair.

Exercice 62.Une gare dispose de deux guichets. Trois clients C1, C2 et C3 arrivent en même temps. Mes clients

C1 et C2 se font servir tandis que le client C3 attend puis eectue son opération dès que l'un des deuxguichets se libère.

On dénit X1, X2 et x3 les variables égales à la durée de l'opération des clients C1, C2 et C3 respecti-vement. Ces durées sont mesurées en minutes et arrondies à l'unité supérieure ou égale. On suppose queles variables aléatoires X1, X2 et X3 suivent la loi géométrique de paramètre p ∈]0; 1[ et qu'elles sontindépendantes. On note q = 1− p.

On note A l'évènement : "C3 termine en dernier son opération".1) Montrer que l'évènement A est égal à l'évènement (min(X1, X2) +X3 > max(X1, X2)).2) Rappeler la loi de X1 ainsi que son espérance et sa variance. On dénit la variable aléatoire ∆ par∆ = |X1 −X2|.3) Calculer la probabilité p(∆ = 0).4) Soit n un entier naturel non nul.

a) Justier que p(X1 −X2 = n) =+∞∑k=1

p(X2 = k)p(X1 = n+ k).

b) En déduire p(∆ = n) =2pqn

1 + q.

5) a) Montrer que ∆ admet une espérance E(∆) et la calculer.b) Montrer que E((X1 − X2)2) = 2V (X1). En déduire que ∆ admet une variance V (∆) et lacalculer.

6) Montrer que l'évènement A est égal à l'évènement (X3 > ∆).

7) a) En déduire p(A) =+∞∑k=0

p(∆ = k)p(X3 > k).

b) Exprimer p(A) à l'aide de p et q.

Exercice 63.Un scorpion se trouve à l'origine d'un repère orthonormé avec, dans sa poche, un dé équilibré à quatre

faces marquées : Nord, Est, Ouest et Sud. Il lance le dé et avance d'une unité dans la direction de la facecachée du dé, puis il relance le dé... On note Mn la position du scorpion à l'issue de n déplacements enconvenant que M0 = O et on note (Xn, Yn) les coordonnées de Mn.

1) Déterminer les lois de X1 et de Y1.2) Calculer E(X2

n+1) en fonction de E(X2n). En déduire E(X2

n) en fonction de n.3) Idem avec Y 2

n+1.4) En déduire l'espérance de OM2

n.5) Les variables Xn et Yn sont-elles indépendantes ?6) a) Montrer que

∀p ∈ N, ∀k ∈ [[0, 2p]],(

2pk

)(2p−k

k

)(2p−2kp−k

)=(

2pp

)(pk

)(p

p−k).

b) Soit pn la probabilité que le scorpion se trouve à l'origine au bout de n déplacements. Montrer

que pn = 0 si n est impair et pn =(nn2

)2( 1

4 )n si n est pair.

Exercice 64.Les vacanciers ont trois poubelles B1, B2 et B3 à leur disposition sur la plage.Ils se comportent de la façon suivante :

14 Thierry Sageaux


• Un sur deux laisse ses détritus sur la plage,• Parmi les autres, la moitié met son sac de détritus dans la poubelle B1, et les autres mettent à

part égale dans B2 et B3.On étudie le comportement de n vacanciers. On appelle X1, X2 et X3 les variables égales au nombre

de sacs jetés dans les poubelles B1, B2 et B3.1) Donner la loi de X = X1 +X2 +X3.2) Quelle est la probabilité pour qu'un vacancier jette son sac dans la poubelle B1 ? Même questionpour les autres poubelles.3) Trouver la loi de chacune des variables X1, X2 et X3. Donner leur espérance et leur variance.4) Les variables aléatoires X1, X2 et X3 sont-elles indépendantes ?

Exercice 65.Guy est très distrait : quand il s'arrête pour prendre de l'essence ; il y a une chance sur dix pour qu'il

reparte sans sa passagère, descendue pour visiter les services de la station...Soit X la variable aléatoire égale au nombre d'étapes que Guy a parcouru en compagnie de sa passa-

gère, avant de repartir sans elle.1) Etablir la loi de probabilité de X. Calculer E(X).2) Quel est le nombre maximum d'étapes que peut comporter le voyage pour que la passagère arriveà destination dans la voiture de Guy avec une probabilité supérieure à 0, 5 ?

Exercice 66.Etant donné un entier n non nul, on considère n personnes qui se répartissent au hasard dans trois

hôtels H1, H2 et H3. Pour i ∈ 1, 2, 3, on note Xi la variable aléatoire égale au nombre de personnesayant choisi l'hôtel Hi.

1) Déterminer les lois des trois variables aléatoires X1, X2 et X3.2) Déterminer la loi, l'espérance et la variance de X1 +X2.

Exercice 67.On lance simultanément deux dés équilibrés à six faces ; on note Y le maximum des chires et Z le

minimum. Donner les lois de Y et de Z. Calculer leur espérance et leur variance.

Exercice 68.Un cavalier a n ∈ N∗ haies à sauter numérotées de 1 à n, il s'arrête au premier saut non réussi. On

suppose que s'il se présente devant la ke haies, la probabilité pour qu'il réussisse son saut est qk ∈]0, 1[.On note X le nombre de sauts réussis, ainsi X prend la valeur 0 s'il échoue à la première haie.

1) Déterminer la loi de X.2) On suppose que pour tout k ∈ [[1, n]], on a qk = q constant. Déterminer la loi de X en fonction deq et p = 1− q.3) Pour t ∈]0, 1[, on pose GX(t) =

n∑k=0

tkp(X = k).

Justier que E(X) = G′X(1). En déduire l'espérance de X ainsi que limn→+∞

E(X).

Exercice 69.On désire analyser le sang d'une population de N individus pour détecter la présence d'un virus qui

aecte les individus de la population avec une probabilité p. On a pour cela deux possibilités : soit onanalyse le sang de chaque personne ; soit on regroupe les personnes en groupes de n, dont on analyse lesang en groupe. Si le test du groupe est positif, on analyse individuellement chaque individu du groupe.

1) On note X le nombre de groupes positifs. Donner la loi de X.2) On note Y le nombre total d'analyses eectuées avec la seconde méthode. Calculer en fonction deN , n et p l'espérance de Y .3) Comparer les deux méthodes dans le cas où N = 1000, n = 100 et p = 0, 01.

15 Thierry Sageaux


Exercice 70.Soient X1, X2, . . . , Xn, Xn+1 des variables indépendantes qui suivent la loi de Bernoulli de paramètre

p. Pour tout entier i compris entre 1 et n, on pose Yi = XiXi+1.1) Donner la loi de Yi.

2) On pose Sn =n∑

i=1

Yi. Calculer l'espérance et la variance de Sn.

Exercice 71.Une piste rectiligne est divisée en cases numérotées de 0 à k de gauche à droite. Une puce se déplace

vers la droite de une ou deux cases au hasard à chaque saut. Au départ, elle est sur la case 0. Soit Xn

le numéro de la case occupée par la puce après n sauts et Yn le nombre de fois où la puce a sauté d'unecase au cours des n premiers sauts.

1) Donner la loi, l'espérance et la variance de Yn.2) En déduire celles de Xn.

Exercice 72. Les allumettes de BanachUn joueur dispose de deux boîtes d'allumettes, qui contiennent initialement n ∈ N∗ allumettes. L'une

des boîtes est notée P l'autre F . Il dispose aussi d'une pièce de monnaie équilibrée. Il répète l'expérience :• Lancer la pièce.• S'il obtient pile il enlève une allumette de la boîte P , sinon de la boîte F .• Il s'arrête de fumer lorsqu'il prend la dernière allumette de l'une des boîtes. On note alors X

le nombre d'allumettes qui restent dans l'autre boîte.1) Déterminer l'univers image de X ?2) Déterminer la loi de X.3) On change l'expérience et on suppose qu'il s'arrête non plus lorsqu'il prend la dernière allumetted'une boîte, mais au moment où il doit retirer une allumette d'une boîte vide. Déterminer la loi de Xdans ce cas.

Exercice 73. (ENS Cachan D2 - 1999)1) Soient Ω un ensemble non vide et A une partie de Ω. On désigne par IA l'application de Ω dansl'ensemble 0, 1 par :

∀x ∈ Ω IA(x) =

1 si x ∈ A0 sinon.

Désignons par C l'ensemble de toutes les applications de Ω dans l'ensemble 0, 1.a) Montrer que toute application f ∈ C peut être considérée comme une application IA où A ⊂ Ω.b) Montrer que l'application T de l'ensemble des parties de Ω, noté P(Ω) vers C telle que T (A) =IA est une bijection et que

∀x ∈ Ω, IA(x) ≤ IB(x) ⇔ A ⊂ B.

c) Montrer que pour A et B inclus dans Ω, on a :IA = 1− IA, IA∩B = IAIB et IA∪B = IA + IB − IA∩B .

2) Supposons que (Ω,P(Ω), p) soit un espace probabilisé. On possède deux partitions de Ω qui sont

(A1, . . . , An) et (B1, . . . , Bm). L'application Z =n∑

i=1

ziIAipeut être considérée comme une variable

aléatoire qui prend la valeur réelle zi si l'évènement Ai se réalise pour i = 1, . . . , n.

a) Soient X =n∑

i=1

xiIAiet Y =

m∑j=1

yjIBjdeux applications de Ω vers R. Montrer que la variable

aléatoire X + Y s'écrit

X + Y =n∑

i=1

m∑j=1

(xi + yj)IAi∩Bj .

16 Thierry Sageaux


b) Désignons par EP (.) l'opérateur espérance mathématique par rapport à la loi p. Calculer EP (IA)et en déduire que p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B).

c) SoientX =n∑

i=1

xiIAi une variable aléatoire et ε un réel positif. Désignons l'évènement [|X| ≥ ε] =

ω ∈ Ω, |X(ω)| ≥ ε et l'évènement [|X| < ε] = ω ∈ Ω, |X(ω)| < ε. Sachant que la variablealéatoire X2 peut s'écrire sous la forme X2 = X2I[|X|≥ε] +X2

[|X|<ε], montrer que

E(X2) ≥ ε2p(|X| ≥ ε).

Exercice 74.Soient X0, X1, . . . , Xn, n + 1 variables aléatoires indépendantes suivant la même loi de Bernoulli

de paramètre p. On dénit alors pour tout i ∈ [[1, n]] la variable aléatoire Yi = Xi−1Xi. Soient Sn =

Y1 + Y2 + · · ·+ Yn et Zn =Sn

n.

1) Calculer E(sn) et V (Sn).2) Montrer que

limn→+∞

p(|Zn − p2| ≥ ε) = 0.

Exercice 75. Chaîne de MarkovOn dispose de deux urnes U1 et U2 et de n boules numérotées de 1 à n ≥ 2 réparties initialement

entre U1 et U2.L'expérience se déroule de la façon suivante :• On choisit un nombre au hasard et de façon équiprobable dans [[1, n]].• La boule dont le numéro a été tiré est alors changée d'urne avec la probabilité p et maintenue

avec une probabilité 1− p.On répète cette expérience indéniment et on note Xk la variable aléatoire égale au nombre de boules

contenues dans U1 après la réalisation de la ke expérience.1) a) En discutant suivant les valeurs de j, déterminer les valeurs prises parXk+1 sachant queXk = j.

b) Pour tout (i, j) ∈ [[0, n]]2 exprimer p(Xk=j)(Xk+1 = i).c) En déduire l'expression de p(Xk+1 = i) en fonction des probabilités (p(Xk = j))0≤j≤n.

d) Soit Πk le vecteur colonne de dimension n+ 1 déni par Πk =

p(Xk = 0)p(Xk = 1)

...p(Xk = n)

Montrer qu'il existe une matrice M , dite matrice de transition, telle que Πk+1 = MΠk.En déduire l'expression de Πk en fonction de Π0.

2) On suppose désormais que n = 2, p = 12 et que toutes les boules sont initialement placées dans U1.

a) Calculer M . Déterminer ses valeurs propres et ses vecteurs propres.b) Soient P la matrice de passage de la base canonique de R3 à la base des vecteurs propres deM , et D la matrice diagonale semblable à M dans cette dernière.

Calculer Mk en fonction de P , P−1 et D pour tout k ∈ N. En déduire une expression de Mk

en fonction de k.c) Déterminer enn la matrice Π∞ dont les éléments sont ceux de la matrice Πk quand k → +∞.

17 Thierry Sageaux


Solutions des exercices

Exercice 7.1) Ω = [[1; 3]]× [[1; 6]]

2) a) X1(Ω) = 1; 2; 3 et la loi de probabilité estxi 0 1 2p(X1 = xi)

12

38

18

c) On a F (x) = p(X ≤ x), donc F (x) =

0 si x < 112 si 1 ≤ x < 278 si 2 ≤ x < 31 si x ≥ 3

d) E(X1) = 12 × 1 + 3

8 × 2 + 18 × 3 =

13

8.

De même, E(X21 ) = 25

8 et avec la formule de König-Huygens, V (X1) = 258 −

(138

)2=

31

64.

3) a) X2(Ω) = [[1; 6]]b) On a p(X2 = k) = 1

6 . (Il s'agit d'une loi uniforme)4) a) X3(Ω) = [[2; 9]].

b) On a X3 = X1 +X2.c) Une seule façon d'obtenir 2 ici en faisant 1 + 1. D'où la probabilité cherchée : p(X3 = 2) =p ((X1 = 1) ∩ (X2 = 1)) = p(X1 = 1) × p(X2 = 1) car les évènements sont indépendants. Donc

p(X3 = 2) = 12 ×

16 =

1

12.

Trois façons d'obtenir 6 = 1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3, ce qui donne avec le même raisonnement que

précédemment : p(X3 = 6) = 16 ×

12 + 1

6 ×38 + 1

6 ×18 =

1

6.

5) a) X4(Ω) = [[1; 6]].b) X4 = maxX1, X2.c) p(X4 = 1) = 1

12 , p(X4 = 2) = 524 , p(X4 = 3) = 5

24 , p(X4 = 4) = p(X4 = 5) = p(X4 = 6) = 16 .

6) a) X5(Ω) = [[1; 3]]b) p(X5 = 1) = 7

12 , p(X5 = 2) = 13 et p(X5 = 3) = 1

12 .

Exercice 15.A VÉRIFIER : X(Ω) =]]2, 10[[, on a p(X = k) = p(X ≤ k)− p(X ≤ k − 1), donc p(X = k) = k−1

(102 )

=

k−145 . Donc E(x) =

9∑k=1

k(k+1)45 Or on connaît la somme des n premiers entiers qui est n(n+1)

2 et la somme

des n premiers carrés qui est n(n+1)(2n+1)6 , donc

E(X) = 145

(9∑

k=1

k2 +9∑

k=1

k

)= 1

45

(9×10×19

6 + 9×102

)=

22

3

Exercice 16.1) On a X(Ω) = [[2;n]]. L'évènement (X = 2) correspond au tirage de la boule numérotée 1 toutd'abord et de n'importe laquelle ensuite parmi les n − 1 qui restent ou bien un 2 pour commenceret une des n − 2 boules plus grande ensuite... L'univers étant avec ordre et sans remise, on a desarrangements : Donc

p(X = 2) =

n−1∑k=1

k

A2n

= n(n−1)(n−2)!2n! =

1

2

18 Thierry Sageaux


Et p(X > 2) = 1− p(X = 2) = 12 .

2) L'univers est toujours ordonné et sans remise mais comme on tire k boules, on a card(Ω′) = Akn.

D'autre part, on a(nk

)façons de choisir k boules et une seule façon de les ordonner de telle sorte que

le tirage s'arrête bien au ke et pas avant : dans l'ordre décroissant en faisant bien attention de garderla plus grande pour la n. D'où, si k ∈ [[2, n− 1]],la probabilité cherchée :

p(X > k) =(nk)

Akn

=1

k!.

Une autre façon de faire dont l'astuce peut être utile parfois est de considérer que l'on videl'urne, même si on perd, on a alors cardΩ′′ = n!. Le choix de k boules est toujours

(nk

)et il y

a toujours une seule façon de les ranger (condition d'arrêt des tirages). Il reste à ordonner les n − kboules restantes, ce qui se fait de (n− k)! façons.

Donc on a là encore on a p(X > k) =(nk)(n−k)!

n! = 1k!

Exercice 18.

3) Utiliser le fait que+∞∑n=k

(nk

)xn =

xk

(1− x)k+1.

Exercice 19.En notant BBBR = B3R l'évènement : "Tirer trois boules blanches au trois premiers tirages et une

boule rouge au dernier" et par extension BkR pour "Tirer k boules blanches puis une boule rouge".1) a) Ω = R,BR,B2R, ..., Bn−1R,Bn et card(Ω) = n+ 1.

b) p(BkR) = qkp et p(Bn) = qn.2) a) X2(Ω) = 0; 1. On a p(X2 = 0) = p(Bn) = qn et p(X2 = 1) = 1− p(X2 = 0) = 1− qn. Donc

E(X2) = 1− qn et V (X2) = (1− qn)− (1− qn)2 = qn(1− qn) .

b) On a X1(Ω) = [[0;n]]. De plus, p(X1 = k) = p(BkR) = qkp quand k ∈ [[0;n− 1]] et p(X1 = n) =qn.D'autre part, N(Ω) = [[1;n]] et p(N = k) = p(X1 = k− 1) = qk−1p si k ∈ [[1;n− 1]] car dans ce casN = X1 + 1 et p(N = n) = p(X1 = n− 1) + p(X1 = n) = qn−1(1 + q).

Exercice 20.Soient X et Y les variables aléatoires correspondant au nombre de piles amenés par chaque joueur.

Elles suivent toutes deux une loi binomiale de paramètres n et p = 12 .

On cherche p(X = Y ) =n∑

k=0

p((X = k) ∩ (Y = k)) =n∑

k=0

[(nk

)× 1

2n

]2

=1

22n

n∑k=0

(nk

)2=

1

22n

(2nn

).

Exercice 25.

1)xi 0 1 2

p(X = xi)(72)

(102 )

= 715

(71)×(3

1)(10

2 )= 7

15

(32)

(102 )

= 115

(En fait, il s'agit d"une loi hypergéométrique H(N,n, p)).

2) E(X) =3

5et V (X) =

28

75

Exercice 26.

La probabilité d'obtenir une chaîne de n coups consécutif est de p(n) =1

2n. D'où l'espérance :

N =+∞∑n=1

n× p(n) =+∞∑n=1

n

2n= 2

19 Thierry Sageaux


Pour ce dernier calcul, on utilise la somme∑nxn−1 que l'on obtient en dérivant la série

∑xn.

Exercice 31.

1) On a p(Ai) = 1− p(Ai) = 1−(

5

6

)n

et Xi suit une loi de Bernoulli. D'où son espérance E(Xi) =

1×(

1−(

5

6

)n)+ 0×

(5

6

)n

= 1−(

5

6

)n

. Et comme E(X2i ) = E(Xi), on a

V (Xi) = E(X2i )− (E(Xi))

2= 1−

(5

6

)n

−(

1−(

5

6

)n)2

=

(5

6

)n

−(

5

6

)2n

.

2) p ((X1 = 0) ∩ (X2 = 0)) =

(2

3

)n

. Pour la covariance : Cov(X1, X2) = E(X1X2)−E(X1)E(X2). Or

p ((X1 = 1) ∩ (X2 = 1)) = 1−p ((X1 = 0) ∪ (X2 = 0)) = 1−p(X1 = 0)−p(X2 = 0)+p ((X1 = 0) ∩ (X2 = 0)) =

1− 2×(

5

6

)n

+

(2

3

)n

. Donc

Cov(X1, X2) =

(2

3

)n

−(

5

6

)2n

3) On a X =6∑

i=1

Xi. Donc

E(X) =6∑

i=1

E(Xi) = 6×(

1−(

5

6

)n)et

V (X) =

6∑i=1

V (Xi) + 2∑

1≤i<j≤6

Cov(Xi, Xj)

= 6

((5

6

)n

−(

5

6

)2n)

+ 2

(6

2

)((2

3

)n

−(

5

6

)2n)

= 6

(5

6

)n

− 36

(5

6

)2n

+ 30

(2

3

)n

.

Exercice 35.1) On note P la position de l'ascenseur à l'arrêt et D0 la distance parcourue par l'ascenseur quandon l'appelle du rez-de-chaussée et D1 quand on l'appelle du premier. On calcule les espérances de cesdeux variables aléatoires.

E(D0) =n∑

k=0

kp(P = k) =n∑

k=1

k

2n=n+ 1

4

E(D1) =n∑

k=0

|k − 1|p(P = k) = 1× 1

2+ 1× 1

2n+ · · ·+ (n− 1)× 1

2n=

1

2+n− 1

4=n+ 1

4.

2) On appelle X le numéro de l'étage d'Aristide et n le nombre d'étages de l'immeuble. On a alors2 ≤ X ≤ n et 3 ≤ n ≤ 25. On note, là encore DX la distance parcourue par l'ascenseur quand onl'appelle de l'étage X. On a alors

E(DX) =X

2+

(X − 1) + (X − 2) + · · ·+ 1 + 0 + 1 + 2 + · · ·+ (n− 1−X) + (n−X)

2n=

X

2+X(X − 1)

4n+

(n−X)(n−X + 1)

4n.

20 Thierry Sageaux


D'après l'énoncé, on a E(DX) = 2E(D0), ce qui donne

n(n+ 1) = nX +X(X − 1) + (n−X)(n−X + 1)

2⇔ n(n+ 1) = 2X(X − 1).

Ce qui donne en examinant les possibilités n = 20 et X = 15 .

Exercice 38.1) b) Bienaymé-Tchebichev.2) a) remarquer que (Y = 0) ⊂ (Xn ≤ k − 1).

Exercice 43.Le candidat a une probabilité de 1

5 de répondre correctement à chaque question. L'expérience aléatoireest la répétition de 10 épreuves identiques et indépendantes de Bernoulli. Le nombre X de réponsescorrectes suit donc une loi binomiale B

(10, 1

5

).

Ainsi, la probabilité que le candidat ait son examen est

p(X ≥ 5) =10∑k=5

(10k

) (15

)k ( 45

)n−k= 320249

9765625 ' 0, 033.

Exercice 44.1) Soit X le nombre de personnes se présentant au guichet entre 10h et 11h. On calcule en minutes.La variable X suit une loi binomiale de paramètres n = 60 et p = 0, 1. On approche X par une loi dePoisson P(6) car E(X) = np = 60× 0, 1 = 6.

On a donc p(X = k) =6ke−6

k!. De façon générale p(X = k − 1) =

kk−1e−k

(k − 1)!=kke−k

k!= p(X = k).

2) On cherche p(X ≥ 10) = 1−9∑

k=0

6ke−k

k!' 0, 08.

Exercice 45.1) On trouve avec les probabilités totales p = 0, 505.2) On trouve p = 0, 55446.3) X suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0, 4. L'espérance est donc E(X) = 4.4) p(X = 5) ' 0, 103.

Exercice 46.

On a p(X+Y = n) =n∑

k=0

p ((X = k) ∩ (Y = n− k)) =n∑

k=0

p(X = k)×p(Y = n−k) via l'indépendance

des deux variables. Donc

p(X + Y = n) =n∑

k=0

(nk

)(1

2)n−k(

1

2)k︸︷︷︸

12n

(n

n−k)

(1

2)k(

1

2)n−k︸︷︷︸

12n

=1

22n

n∑k=0

(n

k

)(n

n− k

)︸︷︷︸

(2nn )

=1

22n

(2n

n

).

Grâce à Vandermonde.Pour p(X = Y ), on utilise le même principe :

p(X = Y ) =n∑

k=0

p((X = k) ∩ (Y = k)) =1

22n

n∑k=0

(nk

)(nk

)=

1

22n

n∑k=0

(nk

)(n

n−k)

=1

22n

(2n

n

).

Pour la dernière, on peut aller un peu plus vite en constatant que p(X > Y ) = p(Y > X). Donc1 = p(X = Y ) + p(X > Y ) + p(Y > X) ⇔ 2p(X > Y ) = 1− p(X = Y ). Ainsi,

21 Thierry Sageaux


p(X ≥ Y ) = p(X = Y ) + p(X > Y ) =1

22n

(2nn

)+

1

2

(1− 1

22n

(2nn

))=

1

22n+1

(2n

n

)+

1

2.

Exercice 47.Il est clair que X(Ω) ⊂ [[−n, n]]. Ce qui est moins clair est que la place du spot ne peut être qu'un

entier k pair (positif ou négatif) si n est pair (resp. k impair si n est impair). En eet, imaginons n = 3,comment faire pour arriver en 2 par exemple ?1ère Méthode : On traite d'abord le cas n pair et k aussi du coup. Si le spot est à la place k, cela signiequ'il y a eu k tirages "positifs" (de probabilité p) de plus que de tirages négatifs.

N.B. Si k est négatif, cela fonctionne aussi. En notant r le nombre de tirages négatifs, l'emplacementk correspond à r tirages négatifs et r + k tirages positifs. (On peut aussi remarquer que Y , le nombrede sauts négatifs, suit une loi binomiale de paramètres n et q). Et comme il y a n tirages au total, on a2r + k = n ⇔ r = n−k

2 . D'où

p(X = k) =(

nr+k

)pr+kqr et

E(X) =∑

k∈[[−n,n]]k pair

k

(n

r + k

)pr+kqr =

n=2mk=2l

m∑l=−m

2l

(2m

m− l + 2l

)pm−l+2lqm−l

= 2

m∑l=−m

l

(2m

m+ l

)pm+lqm−l =

L=l+m2

2m∑L=0

(L−m)

(2m

L

)pLq2m−L

= 2

2m∑L=1

L(2m)!

(2m− L)!L!pLq2m−L − 2m

2m∑L=0

(2m

L

)pLq2m−L

︸︷︷︸(p+q)2m=12m=1

= 2

2m∑L=1

2m(2m− 1)!

(2m− L)!(L− 1)!pLq2m−L − 2m

= 4mp

2m∑L=1

(2m− 1

L− 1

)pL−1q2m−L

︸︷︷︸(p+q)2m−1=1

−2m = 2m(2p− 1) = n(2p− 1)

On remarque que si p = 12 = q, on retrouve une espérance nulle.

22 Thierry Sageaux


Pour calculer la variance, on a besoin de E(X2) que l'on calcule de la même manière :

E(X2) =∑

k∈[[−n,n]]k pair

k2

(n

r + k

)pr+kqr =

n=2mk=2l

m∑l=−m

4l2(

2m

m− l + 2l

)pm−l+2lqm−l

= 4

m∑l=−m

l2(

2m

m+ l

)pm+lqm−l =

L=l+m4

2m∑L=0

(L−m)2

(2m

L

)pLq2m−L

= 4

2m∑L=0

L2

(2m

L

)pLq2m−L − 8m

2m∑L=0

L

(2m

L

)pLq2m−L

︸︷︷︸2mp

+4m22m∑L=0

(2m

L

)pLq2m−L

︸︷︷︸1

= 4

2m∑L=1

2Lmp

(2m− 1

L− 1

)pL−1q2m−L − 16m2p+ 4m2

= 8mp

2m∑L=1

(L− 1)

(2m− 1

L− 1

)pL−1q2m−L + 8mp

2m∑L=1

(2m− 1

L− 1

)pL−1q2m−L

︸︷︷︸1

−16m2p+ 4m2

= 8mp2(2m− 1)

2m∑L=2

(2m− 2

L− 2

)pL−2q2m−L

︸︷︷︸1

+8mp− 16m2p+ 4m2

= 16m2p2 − 8mp2 + 8mp− 16m2p+ 4m2 = n(4np2 − 4p2 + 4p− 4np+ n)

Donc V (X) = E(X2)− E(X)2 = n(4np2 − 4p2 + 4p− 4np+ n)− (n(2p− 1))2 = 4npq .

2nde Méthode : On remarque que Y le nombre de sauts à droite, par exemple, suit une loi binomialeB(n, p). Toujours si n est pair, on trouve (X = k) = (Y = n+k

2 ) et

E(X) =

n∑k=−nk pair

kp(X = k)K= n+k

2=

n∑K=0

(2K − n)p(Y = K)

= 2

n∑K=0

Kp(Y = K)︸︷︷︸E(Y )

−nn∑

K=0

p(Y = K)︸︷︷︸1

= 2np− n = n(2p− 1).

Ou encore plus rapide en disant que X = 2Y −n et le fait que l'espérance est linéaire. Pour la variance,on doit donc trouver V (X) = 22V (Y ) = 4npq.

Exercice 49.Le nombre X de bouts au chien suit un loi hypergéométrique H(78, 6, 3

78 ). Donc

p(X ≥ 1) = 1− p(X = 0) =

(30

)(756

)(786

) =587

2717' 0, 216 .

Exercice 50.

23 Thierry Sageaux


La probabilité p = 1100 étant très faible, on peut utiliser une loi de Poisson de paramètre 100p = 1.

On cherche alors p(X ≥ 1) = 1− p(X = 0) = 1− e−1 ' 0, 86. Et p(X = 2) ' 0, 14.

Exercice 52.2) On utilise σ(X)2 = E[X(X − 1) + E(X)− E(X)2].

Exercice 53.1) = 1.

2) On a Cov(Ui, Uj) = E(UiUj)− E(Ui)E(Uj) =

V (Ui) = −pi(1− pi) si i = j

0− pipj sinon.car E(Ui) = pi

et E(UiUj) = 0 quand i 6= j car Ai ∩Aj = ∅.p1(1− p1) −p1p2 . . . −p1pn−p2p1 p2(1− p2) . . . −p2pn

... . . .. . .

...−pnp1 . . . . . . pn(1− pn)

3) On calcule

n∑j=1,j 6=i

−pipj + pi(1− pi) =n∑

j=1

−pipj + pi = pi

(1−

n∑j=1

pj

)= 0.

4) Grâce à la bilinéarité de la covariance.5) Elle est diagonalisable car symétrique réelle (théorème spectral). Si V = (vi) est un vecteur propreassocié à une valeur propre λ, on écrit le résultat du produit :

MV = λV ⇔ pkvk − pkn∑

i=1

pivi = λvk ∀k ∈ [[1, n]]

D'après la question précédente, la matrice est semi-dénie positive, donc les valeurs propres sontpositives ou nulles.

Pour trouver les valeurs propres, il sut d'essayer de diagonaliser. On utilise le pivot en faisantLk ← pkL1 + q1Lk pour k ∈ [[2, n]]. Ce qui donne

p1q1 −p1p2 . . . −p1pn

0 p2(1− p1 − p2) . . ....

... −p2p3. . .

...0 −p2pn . . . pn(1− p1 − pn)

Les valeurs propres apparaissent sur la diagonale et sont toutes des produits de probabilité non nulleet non égale à 1. Elles sont donc toutes dans [0, 1[.

Exercice 54.1) X(Ω) = [[n, 2n]]. Il sut de se donner les places des billes bleues pour avoir celles des rouges, soitcard(Ω) =

(2nn

).

On calcule p(X = k) =(k−1n−1

)/(

2nn

).

On a bien2n∑k=n

p(X = k) =

(n−1n−1

)+(

nn−1

)+ · · ·+

(2n−1n−1

)(2nn

) = 1.

2) E(X) =2n∑k=n

kp(X = k) =1(2nn

) 2n∑k=n

k(k−1n−1

)=

n(2nn

) 2n∑k=n

(kn

)=

n(2nn

) × (2n+1n+1

)= n× 2n+ 1

n+ 1

Exercice 55.1) On a clairement (A,B)(Ω) = [[0, n]]2 et p((A = i) ∩ (B = j)) =

(ni

)(n−ij

)piqjrn−i−j .

D'autre part,X(Ω) = [[−n, n]] et p(X = k) =n∑

i=0

p((A = k+i)∩(B = i)) =n∑

i=0

(n

k+i

)(n−k−i

i

)pk+iqirn−k−2i.

24 Thierry Sageaux


2) On a A → B(n, p) et B → B(n, q). Et comme X = A − B, on trouve E(X) = E(A) − E(B) =np− nq.

De même, V (X) = V (A − B) = V (A) + V (B) − 2Cov(A,B) et V (A + B) = V (A) + V (B) +2Cov(A,B) = V (n − C) = V (C) ⇔ 2Cov(A,B) = V (C) − V (A) − V (B) = nr(1 − r) − np(1 −p)− nq(1− q) = −2npq. Ainsi, V (X) = np(q + r) + nq(p+ r) + 2npq = 4npq + n(p+ q)r .

Exercice 56.1) a) On trouve facilement

p(Xk=j)(Xk+1 = i) =

0 si j 6= i− 1 et j 6= i

n− i+ 1

nsi j = i− 1

i

nsi j = i

b) Avec la formule des probabilités totales sur le système complet d'évènements (Xk = j),

p(Xk+1 = i) =n− i+ 1

np(Xk = i− 1) +

i

np(Xk = i).

2) a) On a

F (Gk) =

n∑i=1

p(Xk = i)

(xn−i + (n− i)1− x

nxn−i−1

)=

n∑i=1

p(Xk = i)

(n− in

xn−i−1 +i

nxn−i

)

=

n∑i=1

n− in

p(Xk = i)xn−i+1 +

n∑i=1

i

np(Xk = i)xn−i

=

n+1∑i=2

n− i+ 1

np(Xk = i− 1)xn−i +

n∑i=1

i

np(Xk = i)xn−i

=

n∑i=1

(n− i+ 1

np(Xk = i− 1 +

i

np(Xk = i)

)xn−i

=

n∑i=1

p(Xk+1 = i)xn−i = Gk+1.

b) Par récurrence :

Initialisation : X1(Ω) = 1 et G1(x) = xn−1 =n−1∑i=0

(n−1i

)(x− 1)i.

Hérédité : Gk+1(x) = F (Gk)(x) =n−1∑i=0

(n− in

)k−1 (n−1i

)[(x − 1)i + i

n (1 − x)(x − 1)i−1] =

n−1∑i=0

(n− in

)k−1 (n−1i

) [(1− i

n (x− 1)i]

=n−1∑i=0

(n− in

)k−1 (n−1i

)(x− 1)i.

c) On a Xk(Ω) = [[1,min(k, n)]].

En partant de G(n−j)k (x) =

j∑i=1

(n− ij − 1

)p(Xk = i)xj−i, on trouve G(n−j)

k (0) = (n− j)!p(Xk =

j). Donc p(Xk = j) =n−1∑

i=n−j

(n− in

)k−1 (n−1i

)(i

n−j)(−1)i−n+j .

Or(n−1i

)(i

n−j)

=(n−1j−1

)(j−1

i+j−n).

Donc p(Xk = j) =(n−1j−1

) n−1∑i=n−j

(n− in

)k−1 (j−1

i+j−n)(−1)i−n+j =

(n−1j−1

) j−1∑i=0

(−1)i(j−1i

)(j − in

)k−1

.

25 Thierry Sageaux


D'autre part, pour 1 ≤ k < m ≤ n,Xk(Ω) = [[1, k]] donc p(Xk = m) = 0 etm−1∑i=0

(−1)i(m−ii

)(m− in

)k−1

=

0.

d) G′k(x) =n∑

i=1

(n − i)p(Xk = i)xn−i−1 = nn∑

i=1

p(Xk = i) −n∑

i=1

ip(Xk = i). Or comme Xk(Ω) =

[[1, n]], on an∑

i=1

p(Xk = i) = 1 etn∑

i=1

ip(Xk = i) = E(Xk).

D'où E(Xk) = n−G′k(1) = n− (n− 1)

(n− 1

n

)k−1

.

De même, G′′k(x) =n∑

i=1

(n − i)(n − i − 1)p(Xi = i)xn−i−2 et G′′k(1) = (n2 − n)n∑

i=1

p(Xk =

i) +n∑

i=1

i2p(Xk = i) + (1− 2n)n∑

i=1

ip(Xk = i) = n2 − n+ E(X2k) + (1− 2n)E(X). Donc V (Xk) =

n− n2 +G′′k(1) + (2n− 1)E(Xk)− E(2k).

Or G′′k(x) =n−1∑i=2

(n− in

)k−1

i(i− 1)(n−1i

)(x− 1)i−2 et G′′k(1) = (n− 1)(n− 2)

(n− 2

n

)k−1

. Ce

qui donne tout calcul simplié :

V (Xk) = (n− 1)

(n− 1

n

)k−1

+ (n− 1)(n− 2)

(n− 2

n

)k−1

− (n− 1)2

(n− 1

n

)2k−2

3) a) On a T (Ω) = [[n,+∞[[ et p(T = k) = p(Xk = n)−p(Xk−1 = n) =n−1∑i=0

(−1)i−1(n−1i

) in

(n− in

)k−2

.

b) La variable aléatoire Yi suit une loi géométrique GN∗(n−i+1n ).

On a T =n∑

i=1

Yi et par linéarité d l'espérance, E(T ) =n∑

i=1

E(Yi) = nn∑

i=1

1

i.

De même, V (T ) =n∑

i=1

V (Yi) + 2∑

1≤i≤j≤nCov(Yi, Yj). Or les variable Yi sont mutuellement

indépendantes, donc Cov(Yi, yj) = 0. Donc

V (T ) =n∑

i=1

i−1n

(n−i+1n )2

= nn∑

i=1

n− ii2

= n2n∑

i=1

1

i2− n

n∑i=1

1

n.

Exercice 57.1) On a X(Ω) = [[1;n − 1]] et clairement p(X = 1) = 1

n et p(X = 2) = n−1n × 1

n−1 (i.e. probabilitéd'avoir ouvert une boîte vide, puis la boîte contenant l'objet et ainsi de suite. Donc si k ∈ [[1;n− 2]],alors p(X = k) = 1

n . Il reste (X = n − 1) qui correspond à l'évènement : "l'objet est dans la boîten− 1 ou il est dans la boîte n, soit p(X = n− 1) = 2

n .2) De ce qui précède, on trouve

E(X) =n−2∑k=1

kn + (n− 1) 2

n = (n−2)(n−1)2n + 2(n−1)

n =(n+ 2)(n− 1)

2n

et pour la variance,

E(X2) =n−2∑k=1

k2

n + (n− 1)2 2n = (n−2)(n−1)(2n−3)

6n + (n− 1)2 2n = n−1

6n × [(n− 2)(2n− 3) + 12(n− 1)]

d'où,

V (X) = E(X2)− E(X)2 =(n− 1)(n− 2)(n2 + 3n− 6)

12n2

26 Thierry Sageaux


Exercice 58.

1) a) X(Ω) = [[p, n]] et p(X = p+ k) =(p+k−1

p−1 )(np)

. On peut alors calculer l'espérance :

E(X) = 1

(np)

n−p∑k=0

(p+ k)(p+k−1p−1

)= 1

(np)

n−p∑k=0

(p+ k) (p+k−1)!(p−1)!k! = 1

(np)

n−p∑k=0

p (p+k)!p!k! = 1

(np)pn−p∑k=0

(p+kp

)= 1

(np)p

n∑K=p

(Kp

)en utilisant le changement de variable K = p + k. Avec la formule d'itération de Pascal, on trouve

E(X) =p(n+1

p+1)(np)

=p(n+ 1)

p+ 1. Pour la variance, on a besoin de E(X2).

(n

p

)E(X2) =

n−p∑k=0

(p+ k)2

(p+ k − 1

p− 1

)=

K=p+k

n∑K=p

K2

(K − 1

p− 1

)=

n∑K=p

K2 (K − 1)!

(p− 1)!(K − p)!

=

n∑K=p

pKK!

p!(K − p)!=

capricep

n∑K=p

(K + 1− 1)K!

p!(K − p)!

= p

n∑K=p

(K + 1)K!

p!(K − p)!− p

n∑K=p

K!

p!(K − p)!= p

n∑K=p

(p+ 1)(K + 1)!

(p+ 1)!(K − p)!− p(n+ 1

p+ 1

)

= p(p+ 1)

n∑K=p

(K + 1

p+ 1

)− p(n+ 1

p+ 1

)= p(p+ 1)

(n+ 2

p+ 2

)− p(n+ 1

p+ 1

)Donc

E(X2) =p!(n− p)!

n!×(p(p+ 1)

(n+ 2)!

(n− p)!(p+ 2)!− p (n+ 1)!

(n− p)!(p+ 1)!

)=

p(n+ 1)

(p+ 2)(p+ 1)[(p+ 1)(n+ 2)− (p+ 2)] =

p(n+ 1)(np+ p+ n)

(p+ 2)(p+ 1)

et

V (X) = E(X2)− (E(X))2

=p(n+ 1)(np+ p+ n)

(p+ 2)(p+ 1)−(p(n+ 1)

p+ 1

)2

=

(p(n+ 1)

(p+ 1)2(p+ 2)

)[(np+ p+ n)(p+ 1)− p(n+ 1)(p+ 2)]︸︷︷︸

n−p

=p(n+ 1)(n− p)(p+ 1)2(p+ 2)

27 Thierry Sageaux


b) Pour Y : On a Y (Ω) = [[1;n− p+ 1]] et p(Y = k) =(n−kp−1)(np)

. Donc,

(n

p

)E(Y ) =

n−p+1∑k=1

k

(n− kp− 1

)=

l=n−k

n−1∑l=p−1

(n− l)(

l

p− 1

)

=

l=n−1∑p−1

(n+ 1− (l + 1))

(l

p− 1

)

= (n+ 1)

n−1∑l=p−1

(l

p− 1

)−

n−1∑l=p−1

(l + 1)

(l

p− 1

)

= (n+ 1)

(n

p

)− p

n−1∑l=p−1

(l + 1

p

)

=K=l+1

(n+ 1)

(n

p

)− p

n∑K=p

(K

p

)

= (n+ 1)

(n

p

)− p(n+ 1

p+ 1

)=

(n+ 1

p+ 1

)

donc E(Y ) =n+ 1

p+ 1.

2) On a Z(Ω) = [[1;n]] et du fait d'un univers sans ordre et avec remise, on a p(Z = k) =Γp−1k

Γpn. Donc(

n+ p− 1

p

)E(Z) =

n∑k=1

k

(p+ k − 2

p− 1

)=

n∑k=1

(p− 1)

(p+ k − 2

p− 1

)

=K=p+k−2

(p− 1)

n+p−2∑K=p−1

(K

p− 1

)= (p− 1)

(n+ p− 1

p

)

D'où E(Z) = p− 1 .

Exercice 59.On utilise la notation ABAAC pour signier l'évènement pour lequel on a tiré en premier l'objet A,

puis le B, puis deux fois le A et enn le C.1) On a l'univers Ω1 = A,B,C, donc X1(Ω1) = 0; 1 et p(X1 = 0) = p(B ∪ C) = 2

3 , p(X1 = 1) =p(A) = 1

3 .Avec deux tirages, on a Ω2 = A2, AB,BA,AC,CA,B2, BC,CB,C2 donc X2(Ω2) = 0, 1, 2 etp(X2 = 0) = p(AC ∪B2 ∪BC ∪ CB ∪ C2) = 5

9 , p(X2 = 1) = p(AB ∪BA ∪ CA) = 13 et p(X2 = 2) =

p(A2) = 19 .

2) Avec les notations précédentes, p(Xn = n) = p(An) = 13n .

3) On pose pn = p(Xn = 0) et en utilisant la formule des probabilités totales avec le système completd'évènements(Xn = 0), (Xn 6= 0), on obtient :

p(Xn+1 = 0) = p(Xn = 0)× p(Xn=0)(Xn+1 = 0) + p(Xn 6= 0)× p(Xn 6=0)(Xn+1 = 0).

d'où

pn+1 = 23pn + 1

3 (1− pn) ⇔ pn+1 = 13pn + 1

3 .

28 Thierry Sageaux


On est face à une suite arithmético géométrique que l'on résout de façon usuelle. On trouve que la suite(pn − 1

2

)n∈N est géométrique de raison 1

3 et de premier terme p1 − 12 = 2

3 −12 = 1

6 . D'où

pn =1

2

1

3n+

1

2.

4) Pour avoir un gain de a au bout n + 1e tirage, il faut soit avoir au ne tirage un gain de a et nerien perdre au suivant (i.e. tirer l'objet B avec une probabilité de 1

3 ), soit avoir au ne tirage un gain

de a − 1 et gagner encore un euro au suivant (i.e. tirer l'objet A avec une probabilité de 13 là aussi).

Tous les autres cas de gure apportent un gain diérent. Donc,

p(Xn+1 = a) = 13p(Xn = a) + 1

3p(Xn = a− 1)

Pour l'espérance, en utilisant cette relation,

E(Xn+1) =

n+1∑a=0

ap(Xn+1 = a) =1

3

n+1∑a=0

ap(Xn = a) +1

3

n+1∑a=0

ap(Xn = a− 1)

=A=a−1

1

3

n∑a=0

ap(Xn = a) +1

3

n∑A=0

(A+ 1)p(Xn = A)

=1

3E(Xn) +

1

3

n∑A=0

Ap(Xn = A) +1

3

n∑A=0

p(Xn = A)︸︷︷︸1

=2E(Xn) + 1

3.

On a donc (E(Xn))n∈N qui est une suite arithmético géométrique là encore et (E(Xn) − 1)n∈N estgéométrique de raison 2

3 de premier terme E(X1)− 1 = 13 . Donc

E(Xn) =2n−1

3n+ 1 .

Exercice 60.1) On cherche le nombre de parties à n éléments (parmi les 1000) contenant r poissons rouges, bpoissons bleus, j poissons jaunes et g poissons gris. Il y a en a :(

Rr

)(Bb

)(Jj

)(Gg

).

Et comme l'univers a pour cardinal :(R+B+J+G

n

), on obtient la probabilité cherchée :

p =(Rr)(B

b)(Jj)(

Gg)

(R+B+J+Gn )

.

2) Application numérique :

p =(100

2 )(2002 )(300

3 )(4003 )

(100010 )

' 0, 0176.

Exercice 61.L'univers est Ω = [[1; 6]].1) On considère les évènements Ai = i pour i ∈ Ω et A0 = 2; 4; 6. La loi uniforme sur Ωdonne facilement pi = p(Ai) = 1

6 pour i ∈ Ω et p0 = p(A0) = 12 . On note Yj , pour 0 ≤ j ≤ 6 le

nombre de fois où l'évènement Aj se réalise. La variable (Y0, Y1, Y3, Y5) suit une loi multinomiale carA0, A1, A3, A5 constitue une partition de l'univers et

29 Thierry Sageaux


p ((Y0, Y1, Y3, Y5) = (2, 1, 1, 1)) = 5!2!1!1!1!p

20p

11p

13p

15 =

5

72.

2) Il sut de prendre pour évènements A0 = 4; 6, A1 = 1 et A2 = 2, 3, 5. Le systèmeA0, A1, A2 forme là encore une partition de l'univers et en associant à chaque évènement Ai lavariable aléatoire Yi du nombre de fois où l'évènement est réalisé, on trouve encore que la variablealéatoire (Y0, Y1, Y2) suit une loi multinomiale avec p0 = 1

3 , p1 = 16 et p2 = 1

2 . D'où :

p ((Y0, Y1, Y2) = (3, 2, 0)) = 5!3!2!0!p

30p

21p

02 =

5

486.

3) Avec le même raisonnement que précédemment, on trouve : p =5

36.

4) On pose A0 = 1; 3; 5, A1 = 4; 6 et A2 = 2 qui forme bien un système complet. On veutdéterminer la probabilité de l'évènement (Y2 ≥ 1) ∩ (Y1 + Y2 ≤ 2) que l'on peut écrire avec lesévènements incompatibles :

[(Y1 = 0) ∩ (Y2 = 1) ∩ (Y0 = 4)]︸︷︷︸B

∪ [(Y1 = 1) ∩ (Y2 = 1) ∩ (Y0 = 3)]︸︷︷︸C

∪ [(Y1 = 0) ∩ (Y2 = 2) ∩ (Y0 = 3)]︸︷︷︸D

On calcule comme précédemment les probabilités de chacun des évènements B,C et D :

p(B) = 5!4!0!1!

(12

)4 ( 13

)0 ( 16

)1= 5

96

p(C) = 5!3!1!1!

(12

)3 ( 13

)1 ( 16

)1= 5

36

p(D) = 5!3!0!2!

(12

)3 ( 13

)0 ( 16

)2= 5

144 donc p = 596 + 5

36 + 5144 =

65

288.

5) On pose le même système que ci-dessus. On s'intéresse à la probabilité de l'évènement (Y2 ≥1) ∩ (Y1 + Y2 = 3), que l'on peut écrire avec les évènements incompatibles :

[(Y1 = 2) ∩ (Y2 = 1) ∩ (Y0 = 2)]︸︷︷︸B

∪ [(Y1 = 1) ∩ (Y2 = 2) ∩ (Y0 = 2)]︸︷︷︸C

∪ [(Y1 = 0) ∩ (Y2 = 3) ∩ (Y0 = 2)]︸︷︷︸D

On peut calculer chacune des probabilités des évènements A,B et C avec une loi multinomiale et lesadditionner car les évènements sont incompatibles, mais on va donner une solution plus originale :On se propose d'utiliser la loi marginale de Y0 qui est une loi binomiale de paramètres n = 5 etp = p3 = 1

2 . Donc p(Y0 = 2) = 5!2!3!

(12

)3 ( 12

)2= 5

16 .Comme on a B ∪ C ∪ D = (Y0 = 2)\ [(Y1 = 3) ∩ (Y2 = 0) ∩ (Y0 = 2)]. Donc la probabilité cherchéeest :

p(B ∪ C ∪D) = 516 −

5!2!3!0!

(13

)3 ( 12

)2 ( 16

)0= 5

16 −554 =

19

432

Exercice 63.1) On a X1(Ω) = −1, 0, 1 et p(X1 = −1) = 1

4 , p(X1 = 1) = 14 et p(X1 = 0) = 1

2 . Idem avec Y1.2) On pose Zn = Xn+1 −Xn qui suit la même loi que X1. Et

E(X2n+1) = E(X2

n) + 2E(Xn)E(Zn) + E(Z2n) = E(X2

n) + 12 .

La suite (E(X2n)) est arithmétique de raison n et de premier terme 1

2 , donc E(X2n) =

n

2.

3) Pareil.4) On a OM2

n = X2n + Y 2

n et E(OM2n) = E(X2

n) + E(Y 2n ) = n.

5) Non, car p[(Xn = n) ∩ (Yn = n)] = 0 alors que p(Xn = n) 6= 0 6= p(Yn = n).6) a) Simple calcul.

b) On a

30 Thierry Sageaux


p[(X2p = 0 ∩ (Y2p = 0)] =p∑

k=0

(2pk

)(2p−k

k

)(2p−2kp−k

)( 1

4 )2p = ( 14 )2p

(2pp

) p∑k=0

(pk

)2= ( 1

4 )2p(

2pp

)2.

(choix des k déplacements vers le Nord, puis des k déplacements vers le Sud ; enn, des p− k dépla-cements vers l'Est...)

Exercice 72.1) X(Ω) = [[0, n]].2) On cherche p(X = k). Il doit avoir vidé une des deux poches, soit n+ 1 tirage P (ou F ) et n− ktirage dans l'autre. Il y a donc

(2n−k

n

)possibilités par poche vide (le denier tirage vidant la poche

étant automatique). Ainsi, il y a 2(

2n−kn

)possibilités au total.

On cherche maintenant le cardinal de l'univers : On a 2n∑

k=0

(2n−k

n

)= 2

n∑K=0

(n+Kn

)= 2

(n∑

K=0

(n+K+1n+1

)−

n∑K=0

(n+kn+1

))=

2((

2n+1n+1

)−(

nn+1

))= 2(

2n+1n+1

).

D'où la probabilité cherchée : p(X = k) =

(2n−k

n

)(2n+1n+1

) .Exercice 73.

1) a) Pour f une fonction de C, il sut de poser A = f−11. On a alors f = IA.b) L'application T est une bijection car il s'agit d'une surjection (via la question précédente) etd'une injection : si T (A) = T (B), alors IA = IB . Il faut montrer que A = B. Si x ∈ A, alorsIA(x) = 1 = IB(x), donc x ∈ B. Ainsi, A ⊂ B et par symétrie, B ⊂ A.

Si ∀x ∈ Ω, IA(x) ≤ IB(x), alors soit x ∈ A, on a IA(x) = 1, sauf que IB(x) ≥ IA(x) etIB(x) ∈ 0, 1, donc IB(x) = 1 et x ∈ B. Ainsi, A ⊂ B.

Si A ⊂ B, soit x ∈ Ω, on a deux cas : x ∈ A, qui donne IA(x) = 1 = IB(x) car x ∈ B. Et six /∈ A, IA(x) = 0 et comme IB(x) ∈ 0, 1, alors IA(x) ≤ IB(x).c) Pour la première, on regarde les deux cas : si x ∈ A, alors IA(x) = 1 et comme x /∈ A, alorsIA(x) = 0 et 1 − IA(x) = 1. Si x /∈ A, alors IA(x) = 0 et comme x ∈ A, alors IA(x) = 1 et1− IA(x) = 0. Donc IA = 1− IA.

Idem pour les deux autres.2) a) Des deux partitions on construit une troisième : (Ai ∩Bj)(i,j)∈[[1,n]]×[[1,m]]. On a alors

X + Y =∑

(i,j)∈[[1,n]]×[[1,m]]

xiIAi∩Bj +∑

(i,j)∈[[1,n]]×[[1,m]]

yjIAi∩Bj

=∑

(i,j)∈[[1,n]]×[[1,m]]

(xi + yj)IAi∩Bj=

n∑i=1

m∑j=1

(xi + yj)IAi∩Bj.

b) On a donc EP (IA) = 1× p(A) + 0× p(A) = p(A).Comme l'espérance est linéaire, on a EP (IA + IB) = EP (IA) + EP (IB) = p(A) + p(B).

Or (IA + IB)(x) =

0 si x /∈ A ∪B1 si x ∈ (A ∪B)\(A ∩B)2 si x ∈ A ∩B

Donc EP (IA+IB) = 1×(p(A∪B)−p(A∩B))+2p(A∩B) = p(A∪B)+p(A∩B). En combinantavec l'égalité précédemment trouvée, on obtient bien p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B).

c) On a E(X2) = E(X2I[|X|≥ε]

)+E

(X2

[|X|<ε]

). On peut minorer X2 par ε2 quand |X| ≥ ε et la

seconde espérance E(X2

[|X|<ε]

)≥ 0 car la variable aléatoire X2 est positive. Au nal, E(X2) ≥

ε2p(|X| ≥ ε).

Exercice 74.

31 Thierry Sageaux


1) Les variables Xi étant indépendantes, on a E(Yi) = E(Xi−1)E(Xi) = p2, puis par linéarité del'espérance, E(Sn) = np2.

Pour la variance, V (Sn) =n∑

i=1

V (Yi) + 2∑

1≤i<j≤nCov(Yi, Yj). On a facilement V (Yi) = p2 − p4 en

remarquant que Y 2i = Yi en tant que variable de Bernoulli.

Pour les covariance, on voit que si i et j ne sont pas consécutifs, alors les variables Yi et Yj sontindépendantes et Cov(Yi, Yj) = 0. Donc

V (Sn) = n(p2 − p4) + 2n−1∑i=1

Cov(Yi, Yi+1).

Enn, Cov(YiYi+1) = E(YiYi+1)−E(Yi)E(Yi+1) = E(Xi−1XiXiXi+1)−p4 = E(Xi−1E(Xi)E(Xi+1)−p4 = E(Xi−1)E(Xi)E(Xi+1)− p4 = p3 − p4.

D'où V (Sn) = n(p2 − p4) + 2(n− 1)(p3 − p4)

2) De ce qui précède, on a V (Zn) = V (Sn

n ) =n(p2 − p4) + 2(n− 1)(p3 − p4)

n2et grâce à Bienaymé-

Tchébychev, p(|Zn − p2| ≥ ε) ≤ (p2 + 2p3 − 3p4)n− 2(p3 − p4)

n2ε2.

D'où le résultat sur la limite.

Exercice 75.

1) a) Sachant (Xk = j), on a

j = 0 ⇒ Xk+1(Ω) = 0, 1j ∈ [[1, n− 1]] ⇒ Xk+1(Ω) = j − 1, j, j + 1

j = n ⇒ Xk+1(Ω) = n− 1, nb) On trouve sans dicultés :

p(Xk=0)(Xk+1 = 0) = 1− pp(Xk=1)(Xk+1 = 0) = p

∀i ∈ [[0, n− 2]], p(Xk=n)(Xk+1 = i) = 0

p(Xk=n)(Xk+1 = n− 1) = pp(Xk=n)(Xk+1 = n) = 1− p

∀i ∈ [[1, n]]\j − 1, j, j + 1, p(Xk=j)(Xk+1 = i) = 0

p(Xk=j)(Xk+1 = j + 1) = n−jn p

p(Xk=j)(Xk+1 = j) = 1− pp(Xk=j)(Xk+1 = j − 1) = j

np

c) On utilise la formule des probabilités totales et le système complet d'évènements (Xk = j)0≤j≤n.On trouve

p(Xk+1 = 0) = (1− p)p(Xk = 0) + 1np(Xk = 1)

p(Xk+1 = n) = pnp(Xk = n− 1) + (1− p)p(Xk = n)

p(Xk+1 = i) = n−i+1n pp(Xk = i− 1) + (1− p)p(Xk = i) + i+1

n pp(Xk = i+ 1) ∀i ∈ [[1, n− 1]]

d) Il sut d'écrire la matrice des probabilités conditionnelles dont on a trouvé les expressions àla question précédente : M =

(p(Xk=j)(Xk+1 = i)

)i,j

qui est une matrice carrée d'ordre n + 1 ettridiagonale.

Par récurrence et de manière classique, on a Πk = MkΠ0.

2) a) On a

12

14 0

12

12

12

0 14

12

On trouve facilement Spec(M) = 0, 1

2 , 1 de vecteurs propres associés (1,−2, 1), (1, 0,−1) et(1, 2, 1).

b) On prend donc comme matrice de passage P =

1 1 1−2 0 21 −1 1

et P−1 =1

4

1 −1 12 0 −21 1 1

.

Ce qui donne Mk =

14 + ( 1

2 )k+1 14

14 − ( 1

2 )k+1

12

12

12

14 − ( 1

2 )k+1 14

14 + ( 1

2 )k+1

. D'où Πk =

14 − ( 1

2 )k+1

12

14 + ( 1

2 )k+1

32 Thierry Sageaux


c) Un passage à la limite dans l'expression précédente donne Π∞ =

141214

33 Thierry Sageaux

305 - free

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