3 mardi 16 juin 2015 in2p3 théorie des poutres

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www.cnam-centre.fr www.in2p3.fr/actions/formation/calculs15/calculs15.html La théorie des poutres Sollicitations simples : o Traction-compression o Cisaillement o Torsion o Flexion Daniel Bernoulli Conservatoire National des Arts et Métiers Région Centre-Val de Loire Ecole de calculs IN2P3 2015

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La théorie des poutres

Sollicitations simples :o Traction-compression

o Cisaillement

o Torsion

o Flexion

Daniel Bernoulli

Conservatoire National des Arts et Métiers Région Centre-Val de Loire

Ecole de calculs IN2P3 2015

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Théorie des poutres

Torricelli Evangelista

Hypothèses sur la géométrie : une distance très grande devant les deux autres

Hypothèses sur le matériau : le coefficient de Poisson ν est négligé

(les dimensions de la section ne varient pas)

Par exemple : si poutre de diamètre D et longueur L

Alors L>>D et ΔD=0

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Notion d’isostatisme et hyperstatisme

Exemples : isostatisme

Exemples : hyperstatisme

Avantages et inconvénients isostatisme et/ou hyperstatisme

Isostatisme : calculable, montable, interchangeabilité, …

Hyperstatisme : rigide, usinage, apérage, liaison élastiques, ….

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Détermination des efforts extérieurs

Principe Fondamental de la Mécanique

{ } { }0actions mécaniques extérieures /D S R=

0

0

/

actions mécaniques extérieures / /

actions mécaniques extérieures /A A S R

F S M G S R

M S δ ∈

Σ = Γ ∈

Σ =

��������������������������������������������� ��������������

�������������������������������������������������������

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Sollicitations intérieures

Notion de « coupure »

Gi

Partie gauche Partie droite

On isole la partie gauche

Gi

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Sollicitations intérieures

Thomas Watt

Au niveau de la coupure,

la matière de la partie droite exerce des efforts sur la matière de la partie gauche

Gi

T

N

MtMf

Infinité d’efforts Effet résultant

N effort normal

T effort tranchant

Mt moment de torsion

Mf moment de flexion

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Etude de la traction

Notion de « coupure »

action de la partie droite sur la partie gauche

N

Hypothèse de répartition des contraintes

σJoseph Alfred Serret

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Etude de la traction : calcul à la résistance

théorique

N

Sσ =

réelle théorique admissible ekσ σ σ σ= ≤ =

e

Nk

Sσ≤

e

NS k

σ≥

N effort « normal » (en N)

S section de la poutre (en mm²)

σ contrainte normale (en Mpa : N/mm²)

Si présence d’un défaut de forme : rajouter un coefficient de concentration de contrainte k

Ce qui donne :

Walter Ritz

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Etude de la traction : calcul de la déformée

Loi de comportement du matériau (relation contrainte-déformation) Eσ ε=

Ce qui donne pour l’étude de la traction N L

ES L

∆=

D’ou adm

N LL L

S E∆ = ≤ ∆

adm

N LS

E L≥

E module Young (en Mpa)

Coulomb Charles

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Etude de la Torsion

Notion de « coupure »

action de la partie droite sur la partie gauche

Mt

Hypothèse

de répartition

des contraintes

Maxτ

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Etude de la Torsion calcul à la résistance

( )0Max théo

Mt

I vτ =

Mt Moment de torsion (en N mm)

Io moment polaire (en mm4 )

v distance fibre neutre/fibre + éloignée (en mm)

Avec pour un cylindre plein :

4

0 32 2

d dI et v

π= =

Et pour un tube :( )4 4

0 32 2

D d DI et v

π −= =

( )0 2e

réelle Max adm

RMtk k

I vτ τ τ= = ≤ ≈

Si présence d’un défaut de forme : rajouter un coefficient de concentration de contrainte

0

2

e

MtI v k

R≥

310

e

k Mtd

R≥

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Etude de la torsion : calcul de la déformée

0Mt G I θ=L

αθ ∆=

G module transversal 0,4G E≈

θ Déformée angulaire par unité de longueur

α∆ Déformée angulaire de la poutre entre deux sections distantes de L

Castigliano Carlo Alberto

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Etude de la torsion : astuce 1 !

1

2

1 1 11 ,P et dω→ ∅

2 2 22 ,P et dω→ ∅

Arbre 1 :

Arbre 2 :

Arbres pleins, même matériau et rendement égal à 1

( )( )

( )1 11

1 1301 1 1

/

/ /16Max adm

PMt

I v d

ωτ τ

π= = ≤

( )( )

( )2 22

2 2302 2 2

/

/ /16Max adm

PMt

I v d

ωτ τ

π= = ≤

Si même matériau 1 2adm admτ τ=

Si rendement = 1 1 2P P=

32 1 1 2/d d ω ω=

Copernic Nicolas

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Etude de la torsion astuce 2 !

Pour la torsion

préférer les cylindres creux

de section circulaire

René Descartes

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Etude de la flexion

Notion de « coupure »

action de la partie droite sur la partie gauche

Mf

maxσ

James Prescott Joule

v

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Etude de la flexion calcul à la résistance

( )Max théo

Mf

I vσ =

Mf Moment de flexion (en N mm)

I moment quadratique (en mm4 )

v distance fibre neutre/fibre + éloignée (en mm)

Avec pour un cylindre plein :

4

64 2

d dI et v

π= =

Et pour un tube :( )4 4

32 2

D d DI et v

π −= =

e

MfI v k

R≥

332

e

k Mtd

Rπ≥

( )réelle Max adm e

Mfk k R

I vσ σ σ= = ≤ =

Si présence d’un défaut de forme : rajouter un coefficient de concentration de contrainte

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Etude de la Flexion calcul de la déformée

"E I y Mf=

Avec y’ déformée angulaire

Et y déplacement de la section