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Electricité 16 3. Magnétisme 3.1 Champ magnétique et aimant Les aimants ont la propriété de dévier les aiguilles de boussole et d'attirer les clous. L'origine de cette propriété est complexe. Nous nous contenterons pour l'instant de décrire les effets produits par les aimants: ces derniers créent dans l'espace qui les entoure, un champ magnétique. Le corps épreuve utilisable pour mettre en évidence la présence et la 'forme' d'un champ magnétique, sont les aiguilles de boussole ou, si l'on veut davantage de précision, la limaille de fer. Aiguilles de boussole et limaille montrent les lignes de champ. Le champ magnétique lui- même, caractérisé par une intensité et une direction, c'est-à-dire étant une grandeur vectorielle, est tangent en chaque point aux lignes de champ. Notation: vecteur champ magnétique B Unités: Tesla [T] Exemples: Limaille de fer autour d'un barreau aimanté: Boussoles disposées autour d'un barreau aimanté: Lignes de champ magnétique autour d'un barreau aimanté:

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Electricité

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3. Magnétisme

3.1 Champ magnétique et aimantLes aimants ont la propriété de dévier les aiguilles de boussole et d'attirer les clous. L'originede cette propriété est complexe. Nous nous contenterons pour l'instant de décrire les effetsproduits par les aimants: ces derniers créent dans l'espace qui les entoure, un champmagnétique. Le corps épreuve utilisable pour mettre en évidence la présence et la 'forme' d'unchamp magnétique, sont les aiguilles de boussole ou, si l'on veut davantage de précision, lalimaille de fer. Aiguilles de boussole et limaille montrent les lignes de champ. Le champmagnétique lui- même, caractérisé par une intensité et une direction, c'est-à-dire étant unegrandeur vectorielle, est tangent en chaque point aux lignes de champ.Notation: vecteur champ magnétique B

Unités: Tesla [T]

Exemples:Limaille de fer autour d'un barreau aimanté:

Boussoles disposées autour d'un barreau aimanté:

Lignes de champ magnétique autour d'un barreau aimanté:

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Lignes du champ magnétique terrestre:

Ordre de grandeur:A la surface de la Terre: 0,5.10-4 TA la surface du Soleil: 10-2 TEtoile à neutron: 108 TAimant de labo: 0,01 à 0,02 TTV: 10-4 T

Champ magnétique résultant:

Si l'on superpose des champs magnétiques Bi provenant de diverses sources, quelles qu'ellessoient, le champ total se calcule en additionnant vectoriellement (par calcul ou par dessin)les champs individuels: Btot

= B→

i∑ . Par exemple, si l'on superpose au champ magnétiqueterrestre celui d'un petit aimant, on aura:

BTerrestre

B résultant

BAimant

La question qui se pose maintenant, est de comprendre l'origine du champ magnétique. Lesaimants, la Terre sont tous des systèmes complexes. Ne peut-on produire un champ B demanière plus simple et plus contrôlable?

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3.2 Champ magnétique et courantEn 1820, Hans Oersted découvre par hasard qu'un fil électrique parcouru par un courant Iproduit une déviation de l'aiguille de boussole: cette dernière s'oriente perpendiculairement àla direction du fil.

I

Aiguille de boussole

L'effet du courant électrique est analogue à celui produit par un aimant. On en conclut que lecourant électrique est la source du champ magnétique. Examinons un certain nombre desituations particulières:

(a) Fil rectiligne:En saupoudrant de limaille de fer un plan perpendiculaire à la direction du courant, on peutmettre en évidence les lignes de champ.

L'intensité du champ magnétique en un point, est proportionnelle à l'intensité du courant I etinversement proportionnelle à la distance r à laquelle on se trouve du fil. L'expression pour B

est B = µ 0 ⋅I2πr

où µ 0 est la perméabilité du vide et vaut 4π.10-7 Vs/Am

Le courant I apparaît en A, r en m et B s'exprime en T.

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(b) Boucle plate:La limaille met en évidence les lignes de champ suivantes:

s

Le champ magnétique, au centre de la boucle plate de rayon a (en m) et parcourue par uncourant I(en A), vaut B = µ 0 ⋅

I2a

[T]

(c) Solénoïde:Il comporte N spires, sa longueur vaut L et il est parcouru par un courant d'intensité I.

On remarque que le champ magnétique est uniforme à l'intérieur du solénoïde et nul à

l'extérieur. Son intensité vaut: B = µ 0 ⋅N ⋅ IL

où N est un nombre, I en A et L en m. Alors B est

exprimé en T.

Exemples:1) Que vaut le champ magnétique à 10 cm d'un fil parcouru par un courant de 0,5 A? 10 A?Rép. 1µT ; 20 µT

2) Que doit valoir le courant parcourant une bobine plate de diamètre 12 cm pour que lechamp au centre soit égal au champ magnétique terrestre? Discuter les orientations des deuxchamps. Rép. 4,8 A3) Une bobine longue de 8cm, comportant 500 spires est parcourue par un courant I. Que doitvaloir I pour que le champ dans le solénoïde soit de 20 mT? Rép. 2,54 A

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3.3 Force de LaplaceOn a vu au paragraphe précédent que le champ magnétique pouvait être produit par uncourant. Celui-ci agit à son tour sur un élément parcouru par un courant. L'expérience montreque si l'on soumet un échantillon rectiligne parcouru par un courant I à l'influence d'un champmagnétique B, la force exercée sur l'échantillon est perpendiculaire à la fois à B et à ladirection de I:

La force, dite de Laplace, s'exprime par: FLap→

= L ⋅ I→

× B→

, où L est la longueur de l'échantillonplongée dans le champ. Plus généralement, c'est la longueur L qui porte la direction de I.Force de Laplace: FLap

= I ⋅ L →

× B→

. On exprime I en A, L en m et B en T. Alors la forceapparaît en N.

Exemples:1) Une tige en aluminium parcourue par un courant de 3 A, est plongée dans un champmagnétique vertical de 14 mT sur une longueur L=1,5 cm.

FLapI

B

Quelle est la force de Laplace agissant sur la tige? Rép. 0,63 mN

2) On oriente ensuite le champ B de telle sorte que FLap soit dirigée vers le haut. Pour quelvaleur de courant la tige d'aluminium lévite-t-elle (la masse de la tige est de 8 g). Rép. 370 A

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3.4 Applications

(a) Force agissant entre deux conducteurs:Considérons deux conducteurs parallèles parcouru par un courant I, I' resp., séparés par ladistance d et calculons la force exercée par le conducteur 1 sur le conducteur 2. Le conducteur1, parcouru par I, produit un champ magnétique dans son voisinage, en particulier à l'endroitoù se trouve le conducteur 2 parcouru par I'.

(1) (2)

B

I’

FLap

Ce dernier subit donc une force de Laplace donnée par: FLap

= I' ⋅L→

× B→

= I ' ⋅L→

×µ 0 I

2πd, soit en

norme: FLap = µ 0L ⋅I ⋅ I '

2πd.

En ce qui concerne la direction de la force, on voit que des courants de même sens s'attirent.C'est le 'pinch effect' qui explique que les éclairs d'orage soient de fines traces.

(b) Moteur électrique:La force de Laplace explique le principe de fonctionnement d'un moteur électrique. Unsegment conducteur parcouru par un courant I et soumis à l'action d'un champ magnétique,subit une force qui met en mouvement le segment. Donc:

courant + champ magnétique --> mouvementLa puissance électrique consommée par un moteur se réparti donc entre puissance mécaniqueet puissance thermique (effet Joule: tout conducteur parcouru par un courant chauffe). C'est-à-dire U ⋅ I = Pméc + R ⋅ I

2 où UI=Pél.

(c) Haut-parleur:Une bobine légère attachée à un pavillon qui sera responsable du déplacement d'air et donc del'onde acoustique, est parcouru par le courant I variable issu d'un phonographe. La bobineplacée dans un champ magnétique et soumise à Flap, se déplacera au gré du courant, entraînantavec elle le pavillon. Les mouvements du pavillon reproduisent donc les variations ducourant.

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3.5 Force de LorentzUn courant est constitué de particules chargée en mouvement. Une particule isolée, de chargeq et se déplaçant à la vitesse v dans un champ magnétique B, sera également soumise à uneforce. On la nomme force de Lorentz. FLo

= q ⋅ v→

× B→

.

La force étant toujours perpendiculaire au déplacement de la particule, la norme de la vitessene sera pas modifiée (cf. mouvement de la Lune autour de la Terre). Par contre, la direction dela vitesse change et la trajectoire de la particule dans un champ magnétique sera un cercle derayon r si la vitesse de la particule est perpendiculaire à B.

B→

v→

FLo→

(m;q)

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Si, par contre, la vitesse de la particule est parallèle à B, la force est nulle et le mouvement estun MRU.L'équation fondamentale de la dynamique appliquée à ce cas, permet de calculer la vitesse dela particule ou le rayon du cercle, ainsi que la période de révolution de la masse m.Pour un MCU on a

m ⋅v2

r= FLo = q ⋅v ⋅ B

d'où l'on tire que v = qBrm

pour la vitesse. Le rayon r est donné par r =mvqB

.

Le calcul de la période de rotation T donne:

T =2πrv

=2πr

qBr /m=2πmqB

La période est donc indépendante de la vitesse de la particule et du rayon du cercle!

Exemples:1) Que devrait valoir le champ magnétique pour qu'un électron se déplaçant à 1% de la vitessede la lumière, parcourt un cercle de rayon r=30 cm? Rép. 57 µT

2) Même question pour un proton de même vitesse. Rép. 104 µT

3) Calculer le rayon des cercles effectués par les différents isotopes du carbone: C12 et C14,ionisé une fois, dont la vitesse est 0,1% celle de la lumière. Le champ B vaut 0,8 T.Rép. 47 mm ; 55 mm

Si la particule chargée possède une vitesse quelconque, c'est-à-dire, comportant unecomposante parallèle à B et une composante perpendiculaire à B, le mouvement sera une

hélice de rayon r =mv↵qB

et dont on peut facilement calculer le pas.

On remarque aussi que la trajectoire d'une particule légère ou de petite vitesse, est un cerclede petit rayon. Donc une particule qui perd de la vitesse, effectuera une spirale de plus en plusserrée. On peut le voir sur les clichés de chambre a bulles. C'est ce qui arrive aux particuleschargées provenant du vent solaire et qui sont trappées par le champ magnétique terrestredans les ceintures (protectrices) de Van Allen.

Cliché de chambre à bulles Ceintures de Van Allen

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3.6 Spectromètre de masse

Les résultats établis ci-dessus permettent de décrire diverses applications. En particulier la

relation r =mvqB

montre que l'on a ici un nouveau moyen de déterminer la masse d'une

particule aussi petite qu'un noyau d'atome ou un ion, toutes particules que l'on ne pourrait paspeser sur une balance! Pour cela, il faut donner aux particules de charge connue (les ionsportent une ou deux ou trois charge unité, q=e ou q=2e, etc), une vitesse v, en les accélérantavec une tension Ua. Le champ B étant mesuré ou déterminé de manière indépendante, on

peut ainsi déduire la masse par m =rqBv

. Le spectromètre de masse est précisément un outil

de mesure de masse basé sur ce principe. Il est d'ailleurs couramment utilisé dans les stationsmobiles de contrôle de qualité de l'air, car mesurant la masse d'un élément, on peut aussil'utiliser pour identifier un composant chimique de l'air.

B→

m1

m2

Détecteur

Exemples:1) Quel champ magnétique faut-il pour qu'un ion O2

+ se déplace sur une orbite circulaire derayon 2 m, sa vitesse valant 1% de la vitesse de la lumière? Rép. 0,167 T2) Pour mesurer la masse d'un électron on l'accélère avec une tension de 290 V et on l'envoieperpendiculairement dans un champ magnétique de 0,42 mT, la vitesse étant perpendiculaire àla direction du champ. L'électron effectue un mouvement circulaire (expliquez) de rayonr=13,7 cm. En déduire la masse de l'électron.3) Les deux isotopes du néon, néon 22 et néon 20, ionisé une fois, sont accéléré avec unetension de 14 kV et pénètre dans un champ magnétique uniforme de 0,6 T, normalement auxlignes de champ. Quelle distance les séparent après une demi-révolution dans unspectromètre? Rép. 4,98 mm4) Des atomes de chlore porteurs d'une charge négative se déplaçant à la vitesse de 2.105 m/spénètrent perpendiculairement à un champ magnétique uniforme de 0,5 T. Après unetrajectoire circulaire d'un demi-tour, ils heurtent une pellicule photographique. Le chlorenaturel est constitué d'environ 75% de chlore 35 et de de 25 % de chlore 37. Quelle distancesépare les taches produites par les deux isotopes sur la pellicule? Rép. 16,6 mm.

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3.7 Accélérateurs

Les accélérateurs de particules sont des machines construites pour fournir d'énorme énergieaux particules. Ces dernières peuvent alors être utilisées comme projectiles pour sonder lamatière (sorte de super-microscope). Dans certains cas on cherche également à recréer lesconditions extrêmes qui régnaient dans l'univers peu après le bing-bang. L'accélérateurdevient une machine à remonter le temps et le domaine de l'infini petit rejoint le domaine del'infiniment grand...

Comme on ne peut accélérer les particules en une fois avec une tension U (celle-ci ne peutavoir qu'une valeur limitée), l'astuce consiste à faire repasser plusieurs fois la particule entreles bornes d'une même source de tension, qui reçoit ainsi à chaque passage une chiquenaudesupplémentaire. La tension accélératrice U modifie la norme de la vitesse et augmentel'énergie cinétique de la particule, le champ magnétique B, lui, dévie la particule et lamaintient sur une trajectoire circulaire. Le premier accélérateur construit en 1932 était uncyclotron de la taille d'un boîte de camembert...

B→

B→

Uacc.

Cyclotron

Cyclotron du PSI

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Autre configuration (synchrotron):

Le site du Cern et ses divers accélérateurs:

Le tunnel du Lep (en remplacement par le LHC)

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4. Induction

Le principe du moteur (de même que celui du haut-parleur) est basé sur le fait que

courant I + champ magnétique B ---> mouvement

Le phénomène d'induction est une inversion partielle de cette proposition.

champ magnétique + mouvement → courant I

En effet, l'expérience montre que si l'on déplace une boucle de fil conducteur dans une zoneoù existe un champ magnétique et si l'on veille à ce que le plan de la boucle soitperpendiculaire au champ, on observe l'apparition d'un courant dans la boucle. Pour exprimerplus précisément la loi physique, on définit le flux du champ B comme:

Φ = B→

• S→

Loi d'induction:

La variation du flux produit une tension induite:

Uinduit = −ΔΦ

ΔtC'est sur ce principe que fonctionne générateur, alternateur des centrales électriques etdynamo servant à produire la lumière pour les cyclistes.

Générateur de tension