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3. CHAPITRE III : Précision en Topographie

3.1 Introduction

En topométrie, nous avons à mesurer des grandeurs de nature diverse : longueurs, dénivelées, etc..., avec des instruments variés : rubans, théodolites, tachéomètres, niveaux, etc...

Une grandeur n'est jamais définie qu'avec une approximation limitée : la longueur de la façade d'une maison ne pourra guère être mesurée qu'au cm près ; la mesure de l'angle que font entre elles deux droites tracées sur le papier ne pourra être mesurée avec un rapporteur qu'au décigrade près.

Il arrive constamment que l’on effectue des observations en nombre supérieur à celui qui serait strictement nécessaire pour la détermination des quantités que l’on veut mesurer. Il s’agit, dans ce cas :

− de se ménager des vérifications,

− d’améliorer la qualité des résultats obtenus.

Pour la suite des erreurs inévitables (de nature très diverses) qui ont été commises, on obtient en général des résultats plus ou moins discordants. Trois problèmes alors se posent au topographe :

• déduire de l’ensemble des observations faites, la valeur la meilleure pour la qualité que l’on veut déterminer

• déduire, des discordances constatées dans les observations, un nombre qui caractérise, de façon rationnelle et universellement adoptée, la précision des observations qui avaient été effectuées.

• déduire dans les mêmes conditions, un nombre qui caractérise la précision des résultats adoptés.

D’autre part, lors d’enchaînement ou de répétitions de mesures, il est nécessaire de pouvoir estimer les erreurs résultantes.

L’étude porte donc :

− sur la nature des erreurs,

− sur leur cumulation dans une succession de mesures.

Et cela pour permettre :

− le choix judicieux des instruments

− la discussion des opérations

− le contrôle des mesures

Remarque : Pour une mesure donnée on choisira donc l'instrument le plus approprié, donnant une précision suffisante, mais non superflue.

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3.2 Observations directes et Observation indirectes

3.2.1 Observations directes

Dans le cas des observations directes, chacune des observations faites donne directement une valeur de la quantité mesurée ; on procède par comparaison de la grandeur avec un étalon.

Pax exemple : la mesure d’une longueur au ruban, d’un angle au théodolite.

3.2.2 Observations indirectes

Dans le cas des observations indirectes, chaque observation contribue à la détermination simultanée de plusieurs quantités inconnues que nous supposerons indépendantes les unes des autres. Il est dans ce cas possible, par définition, d’écrire une relation dans laquelle figurent :

− les quantités à mesurer ; − les résultats numériques des observations faites ; − des quantités connues caractérisant les conditions dans lesquelles a été faite

chaque mesure (température, pressions, lectures des niveaux, distances…).

Cette relation réduite à une forme linéaire, s’appelle une relation d’observation.

Par exemple, on peut déterminer, par calcul, une distance en l’intégrant dans un triangle dont on mesure d’autres éléments suffisants pour le résoudre.

3.3 Equations de condition

En prenant l’exemple d’un triangle dont les trois angles intérieurs sont mesurés, on peut écrire l’équation de condition géométrique suivante :

Σ angles intérieurs = 200 gons

Si A, B et C sont les valeurs mesurées pour ces angles, on constate que :

A + B + C = 200 gons – ef

avec ef : écart de fermeture, positif ou négatif, provenant des erreurs de mesure.

Il faut :

− déterminer si ef est acceptable ; cela sera expliqué dans les paragraphes suivants en calculant les limites de tolérance.

− Corriger les valeurs A, B et C des angles pour satisfaire à l’équation de condition, dans le cas où l’écart de fermeture est acceptable.

On effectue alors la compensation des erreurs de mesure, c’est-à-dire la répartition de l’ef sur les mesures pour que la condition géométrique soit satisfaite.

On aurait pu choisir d’autres équations de conditions, telle que : « la somme des angles d’un tour d’horizon doit égaler à 400 gons.

Remarque : Il ne faut pas confondre un écart de fermeture angulaire et l’excès sphérique.

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3.4 Caractéristiques métrologiques d’un instrument de mesure

La sensibilité: c'est la plus petite variation de la grandeur à mesurer que l'instrument est capable de déceler.

La fidélité: c'est la capacité d'un instrument de donner toujours la même valeur d'une grandeur mesurée plusieurs fois (c'est une qualité primordiale).

La justesse: c'est la capacité de donner une valeur exacte de la grandeur mesurée.

3.5 Terminologie

3.5.1 Mesurage

Le mesurage est l’ensemble des opérations expérimentales ayant pour but de déterminer la valeur d’une grandeur ; en topométrie, on utilise généralement le terme mesure, tant pour la méthode que pour le résultat.

Nous rappellerons qu’il ne faut pas confondre mesure et calcul d’une valeur.

3.5.2 Valeur vraie d’une grandeur

La valeur vraie d’une grandeur est la valeur qui caractérise une grandeur parfaitement définie dans les conditions qui existent au moment où cette grandeur est examinée ; la valeur vraie d’une grandeur est une notion idéale qui, en général, n’est pas connue.

Par exemple, on ne pourra jamais connaître la valeur vraie de la longueur du local de classe qu’à une approximation près ; cette valeur varie d’ailleurs en fonction de certaines condition comme, par exemple, la température (dilatation des matériaux).

Exemples de valeurs vraies :

• la somme des dénivelées dans un cheminement ferme vaut 0

• la somme des angles d'un triangle vaut 200 gons

• la mesure d'un angle droit fait 100 gons

3.5.3 Valeur conventionnellement vraie d’une grandeur

C’est une valeur approchée de la valeur vraie d’une grandeur telle que, pour la fin à laquelle cette grandeur est employée, la différence entre ces deux valeurs peut être négligée. On détermine généralement la valeur conventionnellement vraie de la grandeur au moyen de méthodes (comme par exemple le calcul de la moyenne arithmétique des mesures) et à l’aide d’instruments d’une précision convenable pour chaque cas particulier

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3.6 Classification des erreurs

Les mesures topométriques, comme toutes les mesures physiques, sont inévitablement inexactes. Ces inexactitudes proviennent des instruments de mesure, des sens de l'observateur et parfois des méthodes de mesure.

En topométrie, on les classe en deux grandes catégories: les fautes et les erreurs.

3.6.1 Fautes ou erreurs grossières (erreurs parasités)

Une faute est une inexactitude dont l'ordre de grandeur est important par rapport à la précision recherchée dans la mesure (c'est une erreur grossière qui résulte d'une exécution incorrecte du mesurage).

Les fautes proviennent d'une étourderie, d'une maladresse ou d'un oubli.

Ces fautes risquent de ne pas être décelées si aucune mesure surabondante ou répétition de mesures n’est réalisée.

Exemples :

• faute de 1m sur une lecture sur mire en nivellement

• oubli d'une portée de chaîne en mesure de distance

Il est donc indispensable de les éliminer. Pour cela on utilise :

− le contrôle direct qui consiste à recommencer la mesure par le même procédé ;

− le contrôle indirect avec une mesure ou un calcul avec une méthode différente.

Remarque : les fautes ne sont susceptibles d’aucune analyse mathématique.

3.6.2 Erreurs systématiques

Une erreur systématique est une erreur qui, lors de plusieurs mesurages effectués dans les mêmes conditions, reste constante en valeur absolue et en signe.

Elle est due à une cause déterminée.

Exemples :

• erreur de dilatation d'une chaine

• erreur de collimation verticale

• erreur de niveau apparent

Dans la plupart des cas ces causes sont connues, elles doivent donc être éliminées.

Application : On mesure plusieurs fois avec un ruban de 30 m la longueur d'une base d'étalonnage dont la valeur déterminée est de 120,428 m.

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3.6.3 Erreurs accidentelles

Une erreur accidentelle est une erreur qui varie de façon imprévisible en valeur absolue et en signe lorsqu'on effectue un grand nombre de mesurages de la même valeur d'une grandeur dans des conditions pratiquement identiques.

Il s’agit des erreurs d’observation qui n’ont aucun caractère systématique. On admet, par définition, que leur influence s’élimine dans le résultat final si l’on recommence un très grand nombre de fois les opérations (théoriquement, un nombre infini de fois).

En conséquence, cela veut dire que :

− les erreurs accidentelles sont indifféremment positives et négatives

− à toute erreur positive correspond une erreur semblable négative

Exemple :

• appréciation du mm sur une mire ou sur une chaine

Application : On mesure plusieurs fois avec un ruban de 30 m la longueur d'une base d'étalonnage dont la valeur déterminée est de 151,128 m.

3.6.4 Erreurs vraies

L'erreur vraie "e" est la différence entre la valeur mesurée et la valeur vraie de la grandeur mesurée.

Pour un grand nombre n de mesures de la même grandeur x on a :

Les erreurs vraies étant de signes aléatoires et du même ordre de grandeur leur somme est à peu près nulle.

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3.6.5 Erreurs apparentes

L'erreur apparente "v" est la différence entre la valeur mesurée et la valeur la plus probable de la grandeur mesurée.

Elle est appelée aussi écart en mesure directe et résidu en mesure indirecte.

3.7 Indices de dispersion

La fidélité d'un instrument de mesure est la qualité qui caractérise son aptitude à donner, pour une même valeur de la grandeur mesurée, des indications concordantes entre elles.

La dispersion des indications est le phénomène présenté par un instrument qui donne dans une série de mesurages d'une même valeur de la grandeur mesurée, effectués dans des conditions bien déterminées, des indications différentes.

Cette dispersion est exprimée quantitativement par l'étendue de la dispersion ou par un indice de dispersion encore appelé erreur de fidélité.

Les différents indices de dispersion sont:

• l'erreur probable ep

• l'erreur moyenne arithmétique ea

• l'erreur moyenne quadratique emq ou Ecart-type σ

Ces indices de dispersion sont des unités de mesure des erreurs accidentelles.

On démontre (calculs de probabilités) qu'ils sont liés par la relation :

En topométrie, bien qu'il soit possible d'utiliser l'un ou l'autre de ces indices, on adopte l'écart-type ou l'erreur moyenne quadratique pour caractériser la précision d'un instrument de mesure ou le résultat d'un mesurage.

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3.7.1 Erreur probable « ep »

L'erreur probable est l'écart équiprobable qui a la probabilité 1/2 de n'être pas dépassé en valeur absolue.

L'erreur probable est donc l'erreur du milieu dans la suite des valeurs absolues des erreurs classées dans l'ordre croissant.

En dépit de son nom, l'erreur probable n'est pas l'erreur qui a la plus grande probabilité de se produire : on a simplement une chance sur 2 de ne pas l'atteindre ou de la dépasser.

Dans la pratique, le nombre de mesures effectuées est généralement insuffisant pour que ce procédé fournisse une valeur significative de l'erreur probable.

On peut déduire ep de ea ou de emq :

3.7.2 Erreur moyenne arithmétique « ea »

L'erreur moyenne arithmétique ea est la moyenne arithmétique des valeurs absolues des erreurs.

Pour n erreurs vraies :

Pour n erreurs apparentes :

Avec : e ou v : les différents résidus

n : le nombre de mesures

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3.7.3 Erreur moyenne quadratique « emq » ou Ecart – type « σ »

L'erreur moyenne quadratique emq ou l'écart-type σ est égal à la racine carré de la moyenne arithmétique des carrés des erreurs.

L’écart-type est une mesure de la dispersion des valeurs autour de leur moyenne arithmétique.

On démontre que l’écart-type d’une mesure, ou erreur standard d’une mesure, se recherche par les formules :

− Dans le cas d’erreurs vraies :

− Dans le cas d’erreurs apparentes :

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Remarque :

− L’écart-type d’un appareil est généralement donné par le constructeur ; il peut être déterminé expérimentalement par un grand nombre de mesures d’une grandeur (voir fiche technique d’un niveau à lunette).

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− L’écart-type d’une moyenne arithmétique (MA) vaut :

= √ (Pourplusd explicationsvoirplusloin)3.8 Courbes de fréquence des erreurs accidentelles

Lorsqu'une même mesure est répétée un très grand nombre de fois sans erreur systématique, on constate qu'il y a sensiblement autant d'erreurs positives que d'erreurs négatives et que les plus petites en valeur absolue sont les plus nombreuses.

On peut tracer un diagramme en portant en abscisse les valeurs des erreurs et en ordonnée leur nombre.

En pratique, l'unité de mesure utilisée pour le tracé est l'erreur probable : on trace des rectangles ayant comme base la valeur d'une erreur probable et comme hauteur le nombre d'erreurs comprises entre les bornes de la base.

Si on trace la courbe en laissant des aires égales a l'intérieur et a l'extérieure de chaque rectangle, on obtient la courbe de fréquence des erreurs accidentelles (courbe de Gauss).

La répartition des erreurs en pourcentage est donnée par la figure ci-après.

L'écart-type correspond à l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de Gauss.

La probabilité pour qu'une erreur dépasse 4 fois la valeur de ep est de 1%.

Ce qui signifie que sur 100 mesures une seule à une "chance" de dépasser 4 ep.

Cette valeur de 4 ep fixe la tolérance, c'est à dire la valeur de l'erreur à ne pas dépasser pour une série de mesures :

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Probabilité de dépassement :

− 50 % des erreurs sont inférieures à l'erreur probable

− 66 % des erreurs sont inférieures à l'écart-type

− 99 % des erreurs sont inférieures à la tolérance

Remarque : La formule précédente (T = 2,7 x σ) est valable pour des écarts vrais "e". Pour des écarts apparents, elle devient : T = 2,58 x σ.

3.9 Ecart-type d’une fonction de mesures directes indépendantes

3.9.1 Fonction quelconque

Soit la grandeur G, fonction de diverses mesures directes indépendantes x, y, et z dont les écarts-types respectifs sont : ex, ey et ez.

G = f (x, y, z)

On démontre que l’écart-type Eg de la grandeur est donné par la formule :

E = (dfdx) ∙ e + (dfdy) ∙ e + (dfdz) ∙ e

Exemple :

1. Dans la mesure des deux côtés d’un rectangle, soient ex et ey les écart-types

sur les valeurs x et y des côtés. L’écart-type EG de la surface du rectangle se

calcule comme suit :

G = x.y (surface du rectangle)

E = y ∙ e + x ∙ e

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3.9.2 Fonction linéaire

Soit : G = a.x + b.y + c.z

Avec : x, y, z : mesures directes indépendantes

ex, ey et ez : les écart-types correspondants

a, b, c : les coefficients de x, y, z

Il vient :

E = a ∙ e + b ∙ e + c ∙ e

3.9.3 La grandeur G est la somme de n quantités mesurées avec un même degré de précision

Par exemple, il peut s’agir des « n » angles d’une polygonale ou des « n » portées de ruban d’une longueur.

G = x1 + x2 + …+ xn E = 1 ∙ e + 1 ∙ e + ⋯+ 1 ∙ e

or ∶ |e | ≈ |e | ≈ ⋯ ≈ |e | ≈ |e |(mêmeprécision) donc ∶ E = n ∙ e et = ± ∙ √

3.9.4 La grandeur G est la moyenne arithmétique de n quantités mesurées avec un même degré de précision

Par exemple, il peut s’agir d’une longueur ou d’un angle mesuré n fois dans les mêmes conditions.

G = x + x + x +⋯+ xn G = (1n) ∙ x + (1n) ∙ x + (1n) ∙ x +∙∙∙ +(1n) ∙ x

E = 1n ∙ e + 1n ∙ e + 1n ∙ e +∙∙∙ + 1n ∙ e or ∶ |e | ≈ |e | ≈ |e | ≈ ⋯ ≈ |e | ≈ |e |(mêmeprécision)

donc ∶ E = n ∙ 1n ∙ e et = ±√

Pour les erreurs apparentes, on obtient :

= ± ∑∙ ( − )

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3.10 Exercices

Enonce n°1

Un théodolite permet la mesure des angles avec un écart-type d’une minute centésimale (soit 0,01 gon).

Demande :

Combien faut-il faire de mesures pour que la moyenne arithmétique ait un écart-type de 25 secondes centésimales (0,0025 gon).

Enonce n°2

Une station totale est tombée et est ramenée au laboratoire pour un contrôle de distance. Vérifier si cet appareil est toujours dans ses limites d’écart-type (+/-5 mm).

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Enonce n°3

Une longueur a été mesurée 10 fois par le même opérateur avec le même instrument et dans les mêmes conditions de mesure. Les résultats obtenus sont les suivants :

1286,95 m 1286,98 m 1286,93 m 1286,96 m 1286,97 m

1286,93 m 1286,87 m 1286,92 m 1286,97 m 1286 ,98 m

Demandes :

1. Y a-t-il des mesures aberrantes ?

2. Quelle est la valeur à adopter ?

3. Quel est l’écart-type de cette valeur ?

4. Quelles sont les limites entre lesquelles on a la certitude pratique (99%) que la longueur est comprise ?

Enonce n°4

On a mesuré 12 fois une même distance au moyen d’un ruban de 10 mètres. Les résultats obtenus sont les suivants :

301,26 m 301,30 m 301,35 m 301,42 m 301,33 m 301,34 m

301,38 m 301,42 m 301,29 m 301,48 m 301,40 m 301,37 m

On a constaté que la longueur exacte du ruban est 10,003 m.

Demandes :

5. Y a-t-il des valeurs à rejeter ?

6. Valeur à admettre pour la distance ?

7. Ecart-type d’une mesure ?

8. Ecart-type de la valeur admise ?

9. Limites entre lesquelles on a la certitude pratique (99%) que la distance est comprises ?

Enonce n°5

Un ruban de 50 m n’est pas étalonné et présente une erreur systématique

d’allongement ea = 5 mm.

Lors de mesures aller-retour, on sait que l’on a une précision caractérisée par un

écart-type et = 10 mm. On mesure une distance de 800 m.

Demandes :

1. Quelle sera l’erreur systématique résultante Ea ?

2. Quel sera l’écart-type résultat Et ?

3. La distance mesurée sera :

− correcte ? - trop longue ? - trop courte ?