Économie PubliqueChapitre 3 : Biens Publics

L2 MASS – L3 Économétrie2010 – 2011

Philippe Polomé

www.gate.cnrs.fr/perso/polome

Plan

1. Introduction et définitions2. Une économie publique primitive3. Biens publics et biens privés4. Allocation et distribution5. Provision privée6. Mécanisme de Lindahl7. Implémentation8. Obtenir la vérité9. Bien public dichotomique : Mécanisme à pivot10. Mécanisme de Clarke-Groves

1. Introduction et définitions

Biens publics

! Définition 1 : Un bien public est un bien ou un service qui est dans une certaine mesure! Non rival : la consommation d’une personne ne diminue

pas la disponibilité du bien pour les autres consommateurs potentiels

! Non exclusif : il est impossible (ou au moins difficile/coûteux) d’interdire la consommation du bien à un consommateur non-payeur

! Exemples : constitution et lois, planète capable de supporter la vie, atmosphère, éclairage public, défense nationale...

! Continuum de degrés dans les biens publics en fonction du degré de rivalité et du degré d’exclusivité du bien

Une typologie

Forte faibleFo

rte

faib

le

Exclusivité : il est facile d’exclure les consommateurs non-payeurs

Rivalité : une unité consom-

mée réduit d’autant la quantité de bien

disponible

Biens privés (Automobile, Pomme...)

Biens communs(Poissons dans l’océan)

Biens collectifs / de club

(Télévision câblée)

Biens publics(Atmosphère, Défense

nationale)

2. Une économie publique primitive

Une section pour (re)définir quelques bases

2 biens publics! Anne & Bruce sont colocataires. ! Seules 2 choses les intéressent: la température de la pièce qu'ils

partagent et jouer aux cartes! Chacun préfère une combinaison différente de ces 2 biens

publics.

! UA(temp,#jeux) ! UB(temp,#jeux)

! Temp et #jeux ne sont pas indicés par i! Anne & Bruce doivent tomber d'accord !! C'est la pertinence économique de cette histoire

Courbes d'indifférence de Anne & Bruce! A & B: bliss points / saturation / béatitude

! Chaque combinaison de température et nombre de jeux est un outcome/situation

! Si tout le monde aime la situation " autant que la situation # et que quelqu'un aime mieux ", on dit que " est Pareto supérieur à #.

! Une situation est dite Pareto optimale si aucune situation réalisable ne lui est Pareto supérieure

! X n'est pas PO : Y est préféré par Anne & Bruce

! Les courbes d'indifférence de A & B par un point soit se coupent soit sont tangentes. Si elle se coupent en un point, ce point ne peut être PO. Donc des points PO doivent être des points de tangence des courbes d'indifférence

! Les points Z et W sont des exemples PO

Figure 1

Points PO

! L'ensemble (le lieu) de tous les points PO est la ligne BA. ! Bien que chaque point intérieur PO doit être un point de tangence,

tous les points de tangence ne sont pas PO. ! Pour voir cela, prenez le point V sur le diagramme.

! C'est un point de tangence entre les courbes d'indifférence de Anne et de Bruce.

! Mais V n'est pas PO parce que B est Pareto supérieur à V (B pareto domine V).

Marginal rate of substitution

! Le taux marginal de substitution [TMS/MRS] entre température et jeux pour une paire donnée est la pente de la courbe d'indifférence lorsqu'elle passe par cette paire.! En d'autres mots : combien donne t-on de température pour

un jeu tout en restant sur la même courbe d'indifférence ! Disposition à payer pour la température en terme de jeux

! À un optimum de Pareto, le TMS d'Anne entre température et jeux doit être le même que celui de Bruce (condition nécessaire)

! Anne et Bruce ont des fonctions d'utilité UA(C, T ) et UB (C, T )

! Chaque combinaison de température et de nombre de jeux de détermine une distribution possible d'utilité entre Anne & Bruce.

! L'ensemble des possibilités d'utilité est défini comme l'ensemble de toutes les distributions d'utilité entre Anne & Bruce

! Il peut ne pas être convexe

! La frontière des possibilités d'utilité est le bord nord-est (haut droit) de cet ensemble

! Par construction, c'est cette partie du bord de l'ensemble des possibilités d'utilité qui penchent vers le bas et la droite (entre A* et B*, points de saturation)

Ensemble des possibilités d'utilité et sa frontière Utilité de réserve et courbe de contrat

! Supposons que Anne ait une autre option que de vivre dans le ménage Anne-Bruce

! U*A : le plus haut niveau d'utilité que Anne peut atteindre dans cette autre option = Utilité de réserve (Reservation utility) d'Anne! Donc, dans le ménage, Anne doit au moins recevoir ce

niveau d'utilité, sinon elle part! Idem pour Bruce avec U*B

! Le morceau de la frontière des possibilités d'utilité qui se trouve au-dessus et à droite des 2 lignes pointillées dans la figure précédente est la courbe de contrat entre Anne & Bruce

Nettoyage Lagrangien

! Dès qu'on veut étudier des environnements plus complexes, les méthodes graphiques ne suffisent plus

! Pour généraliser la théorie de la tangeance des TMS à une situation avec plus d'agents et de biens, il nous faut un outil plus puissant : la théorie de l'optimisation (Kuhn-Tucker)

! Chaque Optimum de Pareto (OP) est la solution d'un problème de maximisation sous contrainte dans lequel ! on fixe l'utilité de Bruce à un certain niveau et ! on maximise l'utilité d'Anne sous contrainte que Bruce

reçoive au moins ce niveau (contrainte d'inégalité)! En répétant cette opération à des niveaux différents d'utilité de

Bruce, on finit par générer tout l'ensemble des paires OP

Anne & Bruce à nouveauOn trouve un OP en résolvant pour (C,T) et $ t.q. les dérivées partielles du Lagrangien

par rapport à C & T sont toutes deux zéros et $ % 0 (preuve en math). On obtient l'égalité des TMS :

! Le terme n'entre pas dans cette égalité – cette condition doit tenir quel soit le niveau d'utilité que l'on choisi pour Bruce, .

! En général, il y aura plusieurs solutions à l'égalité des TMRS, correspondant au lieu des points OP dans la Figure 1, pour chaque niveau de

! Ces développements requièrent des utilités cardinales et comparables (sinon, ces calculs n'ont pas de sens)

3. Biens publics & biens privés

Un bien public, un bien privé

! Cédric & Dorothée partagent aussi un appartement.! Chacun d'eux s'intéressent à

! La taille de l'appartement qu'ils habitent, ! L'argent qui leur reste pour des “biens privés”.

! Cédric & Dorothée ont un revenu monétaire fixe commun W& qu'ils partagent! On ne dit rien sur d'éventuels droits de propriétés de ces W&

! Cet argent peut être dépensés de 3 façons! Biens privés pour chacun, ! Loyer de l'appartement à c&/m2

( = coût marginal de production du bien public)

Ensemble des possibles

! Soit XC et XD l'argent dépensés par C & D, respectivement, en biens privés

! Soit Y la surface (m2) de l'appartement.! L'ensemble des combinaisons possibles est

{(XC, XD, Y) | XC+ XD + cY ' W }

! Altruisme/Envie : En général, l'utilité de Cédric peut dépendre de la consommation privée de Dorothée, en plus de la sienne et de la taille de l'appartement UC (XC , XD , Y)

! Pour simplifier, on suppose qu'il est égoïste :

! UC (XC , Y)

! et UD (XD , Y)

Seconde définition de bien public et bien privé

! Bien public : variable de décision sociale qui entre simultanément comme argument dans les fonctions d'utilité de plus d'une personne.

! Bien privé : La consommation totale du bien peut être partitionnée entre les consommateurs de quelque manière t.q. la somme des quantités reçues par les personnes égale l'offre total disponible.

! Égoïsme : Les consommateurs ne considèrent que leur propre consommation, pas le niveau de consommation des biens privés des autres.

Allocation des ressources! Une allocation est décrite par :

! Le niveau/production du bien public,! La consommation de bien privé pour Cédric,! La consommation de bien privé pour Dorothée.

! Donc : pas sur un graphe! Comment sont caractérisées les allocations OP ?

Condition de Samuelson

! À un OP, il doit être impossible de trouver une allocation faisable qui profite à Cédric sans nuire à Dorothée.

! On met Dorothée à un niveau arbitraire (mais possible) d'utilité (D et on maximise l'utilité de Cédric sous contrainte que UD(X,Y) % (D et la contrainte de faisabilité, soit :

! Choisir XC , XD et Y pour maximiser UC (XC,Y) t.q.

" UD (XD,Y) % (D

" XC + XD + cY ' W! Lagrangien :

UC (XC,Y) ) $1 ((D)UD (XD,Y)) ) $2 (XC+XD+cY)W)

Condition de Samuelson ! À partir de la CPO, on peut obtenir l'expression suivante, connue

sous le nom de “condition de Samuelson pour la provision efficiente (=PO) de bien public”:

! La somme des TMS de C & D entre taille de l'appartement et consommation des biens privés doit être égale au coût de l'unité marginale de bien public (appartement) en termes du bien privé (qui vaut 1 ici).

! À nouveau, il est nécessaire que les utilités soient comparables et cardinales pour que cette sommation soit possible

! Quand la fonction d'utilité est quasi linéaire, on a donc une somme d'utilités marginales (cfr externalités)

Condition de Samuelson en mots! TMS = disposition à payer (DAP) pour un accroissement (marginal) d'une

unité de surface de l'appartement (si le revenu est connu). Donc le membre de gauche de la condition de Samuelson représente :

! La quantité de biens privés que Cédric veut bien donner pour une unité de plus de surface

! plus ! La même chose pour Dorothée.

! Si le membre de gauche de la condition de Samuelson (somme des DAP) était plus grande que c, alors C & D pourraient être mieux puisque leur DAP totale pour une unité de surface en plus est plus grande que le coût de cette unité.

! Si la somme des DAP était plus petites que c, ils seraient mieux avec moins de surface.

! Donc, une allocation ne peut être PO que si la condition de Samuelson est satisfaite.

4. Allocation & distribution

Introduction! Musgrave [The Theory of Public Finance, 1959] suggère que le

gouvernement a 3 rôles distincts! Allocation des ressources : trouver tous les niveaux PO de

provision de biens publics et de richesse individuelles! Distribution des richesses selon un certain critère éthique ou

autre : choisir un OP! Stabilisation économique : plein-emploi [politiques macro – on ne

regarde pas]! Ces 3 branches du gouvernement peuvent-elles agir

indépendamment les unes des autres, chacune assumant que les deux autres fonctionnent correctement ? ! En d'autres mots, les économistes ont-ils quelque chose à dire sur

la distribution des richesses ?! La réponse à cette question est non, on va voir un contre exemple

Contre-exemple! On retourne à C & D, supposons qu'ils aient des utilités Cobb–Douglas

! UC(XC , Y) = XC Y2 & UD(XD , Y) = XD Y

! Samuelson: (en posant c = 1)!

! Contrainte de budget : XC + XD + Y = W

! 2 équations en 3 inconnues! Il n'y a pas assez d'information pour résoudre de manière unique pour

Y sans postuler quelque chose sur la distribution (XC,XD) du revenu entre C & D

! La condition d'efficience est satisfaite pour tout choix de Y et de XC t.q. Y = XC /2 + W/2 – donc on ne peut décider le niveau de Y

Contre-exemple (suite)

! Si la branche Allocation connait la règle selon laquelle la branche Distribution opère, alors, sauf cas particulier, elle peut résoudre de manière unique pour la quantité optimale de bien public! Par exemple, si C & D doivent avoir le même revenu, on a en

plus des équations d'efficience XC = XD

! En résolvant, " Y = 3W/5 " XC = XD = W/5

Un règle incorrecte de provision des biens publics

! Avec les marchés privés, on ajoute des courbes de demande individuelles “horizontalement” pour obtenir la quantité totale demandée à chaque prix

! L'équilibre se trouve au prix où la demande agrégée croise la courbe d'offre

Un règle incorrecte de provision des biens publics! Il a été suggéré que avec les biens

publics, on pouvait sommer “verticalement” pour obtenir la quantité totale demandée du bien public ! La courbe de demande reflète la

Disposition A Payer marginale (“prix”) à mesure que la quantité du bien public s'accroît

! La courbe d'offre est le coût marginal! Samuelson: égaliser la somme des

DAP avec le coût marginal, donc on somme les courbes

Un règle incorrecte de provision des biens publics! Le problème avec cette dernière figure est qu'on suppose que les

TMS sont connus! Mais un TMS dépend en général non seulement de la quantité de

bien public mais aussi de celle de bien privé consommée puisque MRS = (*U/*Y)/(*U/*X) – donc essentiellement du revenu

! Donc, la provision de biens public est conditionnelle à l'allocation des ressources (ou vice-versa) ! Pour connaître la quantité de bien public souhaitée par la

société, il faudrait d'abord connaitre la distribution souhaitée des richesses

! En d'autres mots, d'abord on taxe et puis on voit quel bien public fournir (peu réaliste)

! Ou bien admettre une distribution donnée des richesses" = logique de l'analyse coût-bénéfice : + des DAP aux

revenus actuels

Cas particulier : Quand la branche Allocation peut-elle ignorer la branche Distribution?

! La figure antérieure est correcte pour une distribution donnée des richesses, mais aussi dans un cas particulier : celui des fonctions d'utilité quasi-linéaires :

UC (XC, Y) = XC + fC(Y)Dans ce cas, le TMS de C entre biens public et privé est (*UC/*Y)/(*U/*XC) = fC'(Y) et ne dépend que de la quantité de bien public : il n'y a qu'une seule quantité du bien public qui satisfasse la condition de Samuelson.

! Cela reste vrai pour plus de 2 individus! Mais pas dès que la fonction d'utilité perd la quasi-linéarité (en

fait : une version un peu généralisée de quasi-linéarité)

Utilité quasi-linéaire! L'hypothèse d'une fonction d'utilité quasi-linéaire n'est pas

réaliste ! Si les préférences étaient quasi-linéaires, alors le TMS entre

biens public et privé doit être indépendant de la richesse (précédent transparent)

! Si c'était vrai ! Des communautés (pays, communes...) riches demanderaient

les mêmes biens publics que les pauvres,! À l'intérieur d'une même communauté, si les riches sont

taxés à un plus haut taux, ils préféreraient toujours moins de bien public que les pauvres : il n'y a que l'effet prix, pas l'effet revenu

! Réfuté par l'observation empirique

Conclusion de la section

! En général, la quantité PO de bien public dans une communauté va dépendre non seulement de la richesse totale de cette communauté mais aussi de la distribution de richesse dans cette communauté

! Cela veut dire que pour décider du niveau de provision d'un bien public, un gouvernement devrait connaître la richesse de chacun et son TMS (fonction de sa richesse)! On verra ce que l'asymétrie d'information entraîne! En pratique, le gouvernement doit décider

conjointement des taxes et du niveau de biens publics

5. Mécanisme de provision privée du bien public

Voir pdf séparé 3_5_Prov_Privee_BP

6. Mécanisme de Lindahl

Introduction! Le mécanisme de Lindhal est une façon de résoudre

simultanément les problèmes d'allocation et de distribution

! Proposé par l'économiste Erik Lindhal en 1958.

Équilibre de Lindahl dans une petite communauté! Sur une île vivent deux pêcheurs, Lars & Olaf! Chacun ne consomme qu'un seul bien privé : du poisson

! Lars attrape FL poissons par an et Olaf FO [= leurs ressources]

! Le seul autre bien ils le consomment ensemble : des DVD

! La fonction d'utilité d'Olaf est UO(XO,Y) avec XO le nombre de poissons qu'il mange par an et Y le nombre de DVD loué par an

! La fonction d'utilité de Lars est similaire UL(XL,Y)

! Il peuvent louer les DVD au prix de p poissons (numéraire) par disque

! Le DVD est un bien public parce que lorsqu'ils en louent un, ils peuvent le regarder ensemble

Équilibre de Lindahl dans une petite communauté

! Le problème d'allocation qu'ils doivent résoudre est “combien de DVD louer par an ?” – niveau de provision du bien public

! Le problème de distribution revient à décider comment les coûts de location doivent être divisés! Implicitement, par différence avec les ressources, cela défini

la répartition des richesses! Bien que Lars et Olaf aiment tout deux le poisson et le cinéma,

leurs préférences ne sont pas identiques : ! Combien de DVD louer ?! Qui doit les payer ?

Équilibre de Lindahl dans une petite communauté! Une façon de résoudre ces deux problèmes simulatément :

! Chacun écrit une “fonction de demande” qui énonce la part du coût total de location qu'il veut bien payer en fonction du nombre de DVD loués

! Ils repèrent alors une répartition des coûts de location sur laquelle ils sont tous deux d'accord et louent le nombre correspondant de DVD en payant selon cette clef de répartition

! Le point E où se coupe les deux courbes détermine à la fois la quantité de bien public et la répartition des coûts

! Avec l'allocation initiale de poisson, cette répartition détermine le niveau de consom-mation privée de chaque pêcheur

! Équilibre de Lindahl

Équilibre de Lindahl dans une petite communauté

! L'équilibre de Lindahl a 2 propriétés intéréssantes :! Les deux pêcheurs sont d'accord sur la quantité de bien public, ! Cette quantité satisfait la condition de Samuelson pour l'OP

" Puisque la somme des DAP marginales sera bien égale au coût marginal! La solution de Lindahl peut être généralisée à de grandes

commnautés avec plusieurs biens publics et biens privés! Avec un bien privé, chacun consomme des quantités différentes mais

paie le même prix à l'équilibre ! Avec un bien public, chacun doit consommer la même quantité, mais, à

l'équilibre de Lindahl, peut payer un prix différent (leur part du coût total)

Conclusion de la section

! L'équilibre de Lindahl est attractif :! Il résoud les problèmes d'allocation et de distribution

simultanément

! Il semble équitable! Il promeut l'harmonie dans les décisions publiques! Il est Pareto efficient (PO) ! L'équilibre existe dans une large classe d'environnements

7. Implémentation

Équilibre de Lindahl! L'équilibre de Lindahl est-il implémentable? (peut-on le mettre en

pratique)! Peut-on réellement décider de la provision de biens publics sur la

base du mécanisme de Lindahl? ! Il faudrait connaitre les fonctions de demande de chaque individu

pour le bien public. ! Comment pourrait-on découvrir ces fonctions?! Supposons qu'on les demande à Lars and Olaf. Peut-on espérer

qu'ils nous les révèlent? Non. ! Pourquoi Lars & Olaf ne révéleraient-ils pas leur demande? ! Plus tard, nous verrons des procédés proposés par les économistes

pour “extraire” des informations honnêtes.

Équilibre de Lindahl et Manipulation! On suppose que Lars & Olaf peuvent décrire leur fonction de

demande avec un seul paramètre ßL et ßO, que chacun est seul à connaître

! Imaginons qu'on soit à l'équilibre de Lindahl

! Y(ßL, ß

O) quantité de bien public

! SO(ß

L, ß

O) [0,1] = part du coût total pour Olaf, idem pour Lars!

! En cet équilibre, Olaf consomme

! Y(ßL, ß

O) de bien public

! XO(ß

L, ß

O) = F

O - S

O(ß

L, ß

O)*p*Y(ß

L, ß

O)

" FO = richesse de O (# poissons) et p prix de location des DVD

! Son utilité est UO(ß

L, ß

O) = U

O(X

O(ß

L, ß

O), Y(ß

L, ß

O))

Équilibre de Lindahl et Manipulation! En cet équilibre, Olaf peut-il obtenir mieux en déclarant ,

O ! ß

O ?

! Imaginons qu'en déclarant ,O, Olaf indique qu'il aime le bien public

un peu moins qu'en déclarant ßO (=la vérité)

! Deux choses se passent! Moins de bien public Y-Y-.Y !

! La part payée par Olaf décroît SO-S

O-.S

O"

! En déclarant ßO Olaf payait S

O(ß

L, ß

O)*p*Y(ß

L, ß

O)

! En déclarant ,O, il paie

! [SO(ß

L, ß

O)-.S

O(ß

L, ,

O)]*p*[Y(ß

L, ß

O)-.Y(ß

L, ,

O)]

! = p*[SOY - S

O.Y - .S

OY + .S

O.Y]

! / p*[SOY - S

O.Y - .S

OY]

Équilibre de Lindahl et Manipulation! En déclarant ß

O, Olaf payait p*S

OY

! En déclarant ,O, il paie / p*[S

OY - S

O.Y - .S

OY]

! pSO = DAP (en poisson) pour 1 unité de Y à l'équilibre de Lindahl

! À cet équilibre, Olaf est donc juste indifférent à abandonner .Y unités de DVD contre pS

O.Y poissons (pour .Y pas trop grand)

! En déclarant ,O il abandonne .Y mais il reçoit p*[S

O.Y + .S

OY]

! Donc il est strictement mieux et la même chose se passe pour Lars! L'équilibre de Lindahl ne résiste donc pas aux manipulations

stratégiques

! Le Y qui prévaudra sera peut-être non-nul mais en tout cas inférieur au niveau PO (coïncidant avec l'équilibre de Lindahl)

Un exemple à Lyon

! Les habitants i de Lyon ne sont intéressés que par deux choses :! Le foot Y (le budget de l'équipe) et ! Les quenelles Xi (quantité consommée par i)

! Il n'y a que 2 sortes de gens à Lyon : ! Les Gourmands

" ne s'intéressent pas au foot, mais préfèrent toujours plus de quenelles

" fonction d'utilité UG (Xi , Y) = Xi ! Les Champions

" aiment bien les quenelles et le foot " fonction d'utilité UC(Xi , Y) = Xi + 20Y

! Chaque citoyen i de Lyon a une dotation de richesse Wi

! pour payer des taxes ! pour acheter des quenelles

! Les revenus fiscaux de Lyon sont utilisés pour payer l'équipe de foot. Meilleure est l'équipe et plus elle est chère, Y est une mesure de qualité de l'équipe et on peut choisir les unités de mesure de sorte à ce que le coût d'une équipe de qualité Y soit juste YFr.

! Une quenelle coûte 1 Fr.

! N personnes vivent à Lyon : NG gourmands et NC champions

! Une allocation est un vecteur (X1 , 1 1 1 , XN , Y)

! faisable/réalisable lorsque

! Condition de Samuelson pour un OP dans le cas de Lyon est que la + des taux marginaux de substitution pour le bien privé soit égal au coût marginal du bien public en terme du bien privé. ! À Lyon, le coût marginal du bien public est toujours 1 (un) ! La condition de Samuelson devient :

! Pour un gourmand! Pour un champion

! La condition de Samuelson devient :! Donc

! À Lyon, tous paient les mêmes taxes! On décide par un vote à la majorité combien on va dépenser

pour le foot.! Les Gourmands votent toujours pour zéro foot (zéro bien public)

puisqu'ils paient des impôts mais n'apprécient pas le foot. ! Mais il se fait que les Gourmands sont en minorité à Lyon.

! Donc, les Champions obtiennent toujours plus de voix que les Gourmands et obtiennent une quantité non nulle de foot (bien public). ! On peut imaginer une variété de raisons pour lesquelles les

Gourmands ne quittent pas la ville

! Combien de foot un Champion veut-il ?

! Quand Y est la quantité de foot, son impôt sera juste Y/N (division égale)

! Sa richesse après impôt est alors Wi - Y/N. Il peut donc consommer Xi = Wi - Y/N quenelles.

! Son utilité sera alors ! Elle est maximisée en Y = N2

! Puisqu'il y a plus de Champions que de Gourmands, la seule quantité de foot qui battra toute autre quantité dans un vote à la majorité est Y = N2 .! Dans le système à la majorité, il y a donc trop de foot par rapport

au niveau Pareto efficient :

! Proposition de Lindahl : que les Lyonnais essaient un système politique qui requiert l'unanimité au lieu de la majorité. ! Mais, sachant qu'il y avait des habitants aux préférences distinctes, il

faudrait imposer différemment différentes personnes afin d'obtenir l'unanimité sur les quantités de foot.

! À Lyon, la seule façon pour que les Gourmands acceptent une quantité non nulle de foot serait qu'ils ne soient pas imposés pour le foot.

! Alors, les Champions devraient payer tous les impôts. ! Supposons que tous les Champions soient imposés au même taux.

! Alors, chaque Champion devrait payer un impôt de Y/NC .

! Donc, il consommerait Xi = Wi – Y/NC quenelles et

! Aurait une utilité de

! Cette utilité est maximisée quand Y = NC2

! Donc, tous les Champions choisiraient NC2 comme étant leur

quantité préférée de foot. ! Puisque les Gourmands ne paient pas d'impôt et n'ont pas

d'intérêt dans le foot, cette quantité est aussi bonne qu'une autre.

! Donc, la quantité de foot (et d'impôt) NC2 , reçoit un soutien

unanime. ! Donc l'équilibre de Lindahl est l'allocation :

! Y = NC2

! Xi = Wi si i est un Gourmand &

! Xi = Wi - Y/NC = Wi - NC si i est un Champion

! L'équilibre de Lindahl était à la fois plus équitable et plus efficient que la façon ancienne.! Les Gourmands trouvent que c'est vrai (ils ne paient plus de taxes) ! Les Champions ne sont pas si surs

! Un Champion fait le calcul suivant ! Sous le système à la majorité, un Champion a pour utilité :

! Sous le système de Lindahl, il a :

! Comme N > NC , passer au système de Lindahl est mauvais pour les Champions, ils perdent une utilité de N

G

! Mais comme le système à la majorité n'est pas Pareto optimal, il devrait être possible pour les Gourmands de compenser les Champions pour passer au système de Lindahl. ! Sous le système à la majorité, chaque Gourmand a une utilité de

! Sous le système de Lindahl, il ne paierait pas d'impôt, donc son utilité serait

! Un Champion pourrait être compensé pour accepter le système de Lindahl si on lui donnait N - N

C = N

G quenelles.

! Puisque il y a NC

Champions, il faudrait NGN

C quenelles pour les

compenser tous pour le système de Lindahl. ! Donc, si chaque Gourmand donnait N

C quenelles pour compenser les

Champions, il y aurait juste assez de quenelles pour que les Champions soient juste indifférents (donc avec un 2 de plus, ils seraient strictement mieux).

! Si on fait cela, chaque Gourmand aurait une utilité de

! Avec une compensation de NG chaque Champion aurait une utilité de

! En comparant les utilités on voit que en passant au système de Lindahl avec compensations

! Tous les Gourmands y gagnent ! Tous les Champions sont indifférents. ! Donc, si la compensation est légèrement supérieure, chacun est

strictement mieux.! Supposons qu'on ne puisse distinguer un Gourmand d'un Champion

! Si on demande à chaque citoyen de déclarer s'il est un Gourmand ou un Champion, quelle réponse ferait-il ?

! Si ils sont tous des maximisateurs d'utilité, intelligents et pas trop moraux, ils se déclarent tous Champion : on va voir pourquoi

! Chaque Gourmand se demande s'il vaut mieux pour lui prétendre être un Champion

! Si chacun dit la vérité, alors si je déclare que je suis un Gourmand, je vais devoir payer ma part de la compensation à payer aux Champions pour accepter le système de Lindahl, soit NG.

! Dans ce cas, mon impôt Lindahl sera 0 et comme le foot ne m'intéresse pas, mon utilité sera Wi - NG.

! Mais que se passerait-il si je déclare être un Champion ?

! Alors, le nombre de Champions enregistrés à la mairie serait NC + 1 et le nombre de Gourmands NG - 1.

! Dans ce cas, mon impôt Lindahl est (NC + 1)2 /(NC + 1) = NC + 1

! mais je recevrai une compensation des autres Gourmands pour accepter le système de Lindahl. Cette compensation vaudra aussi NC + 1 (ou légèrement plus pour des préférences strictes).

! Puisque ma compensation est égale à mon impôt Lindahl, je pourrai consommer Wi quenelles et mon utilité sera Wi

! Donc, si les autres disent la vérité, il vaut mieux pour moi que je prétende être un Champion.

! De façon semblable, on montre que chaque Champion préfère déclarer être un Champion plutôt qu'un Gourmand

! Le maire de Lyon organise un recensement des Gourmands et des Champions pour calculer la quantité d'équilibre Lindahl de foot et la distribution des impôts, selon ce que chacun déclare

! Comme tout le monde déclare être un Champion, la quantité Lindahl de foot est N2, exactement comme elle était avant la réforme

! Et aussi, comme avant la réforme, chacun paie un impôt de N2 /N = N

! Conclusion : comme le mécanisme de Lindahl repose sur des déclarations invérifiables, il ne faut pas s'attendre à ce que tout le monde réponde honnêtement, ce qui fait que en général, le mécanisme de Lindahl n'est pas une solution au problème de la provision d'un bien public

! Pour une distribution arbitraire des taxes (de la richesse), le vote à la majorité (sur deux ou plus alternatives) n'aboutira en général pas à une provision PO de bien public

! La règle de provision de Lindahl

! Chacun indique sa demande pour le bien public en fonction de la part du coût total qu'il devra payer

! Résoud simultanément pour les problèmes d'allocation et de distribution

! L'équilibre de Lindahl est PO! Mais imposer un équilibre de Lindahl requiert que l'autorité

centrale connaisse les préférences individuelles

Conclusions de la section (1/2)! Si on demande aux gens de révéler leurs préférences,

! En sachant que leurs réponses serviront à calculer l'équilibre de Lindahl qui leur sera ensuite imposé, alors

! La situation dans laquelle chacun dit la vérité n'est pas un équilibre de Nash (dire la vérité n'est pas la meilleure réponse)

! C'est la seconde facette du problème du free-rider, “Resquilleur”, “Passager clandestin”" Le première facette était l'externalité positive

! On dit que la règle de provision de Lindahl est “manipulable” ou “pas à épreuve de stratégie”

Conclusions de la section (2/2)

8. Obtenir (“éliciter”) la vérité

! La condition de Samuelson nous dit qu'il est essentiel d'obtenir la vérité (les vrais préférences individuelles, le vrai TMS)

! La résistance aux stratégies est considérée comme essentielle par les économistes! En particulier Samuelson écarta le mécanisme de Lindahl sur ce critère

! Comment faire pour que quelqu'un vous dise la vérité sur quelque chose que lui seul sait ?! Hypothèse économique : l'équilibre de Nash prévaut, chaque agent tendant

à considérer le bénéfice des autres agents dans sa propre réponse, d'où comportement stratégique

! Un tel comportement est-il si commun ?

Obtenir la vérité

Les présidentielles françaises de 2007

Le comportement stratégique est-il répandu ?

Quelles étaient les chances de Royal?

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En résumé! Il ne semble pas raisonnable de penser que Royal avait la moindre chance

de gagner, ou de croire que beaucoup de gens s'imaginaient qu'elle pouvait gagner

! Si Bayrou était arrivé au 2nd tour, Sarkozy n'avait aucune chance! Pourquoi les gens de gauche n'ont-ils alors pas voté Bayrou au 1er tour ?

(Alors que parmi les “Royalistes”, une écrasante majorité préféraient Bayrou)! Le vote n'est-il pas stratégique?! Les électeurs ne voient-ils pas les probabilités (qui parie en ligne alors ?)! La raison peut être que les motivations du vote sont essentiellement non-

stratégiques : je sais que la probabilité que mon vote influence les résultats de l'élection est zéro.

! Le parallèle avec la provision de biens publics pour un large public est flagrant – dans ce cas, la critique de Samuelson s'applique t-elle?

! Admettons que les agents se comportent stratégiquement! Peut-être lorsqu'ils sont peu nombreux parce qu'alors la probabilité

que leurs déclarations/votes influencent le choix social est plus important

! Quand peut-on concevoir un système d'incitations (récompenses et/ou sanctions) tel que des personnes égoïstes, disposées à mentir, agissent de manière à aboutir à un OP ?

! Cela ne veut pas dire que tout le monde ment – mais ceux qui ne mentent pas ne posent pas problème

! Théorèmes de Gibbard & Satterwaithe : on ne peut pas, sauf dans des cas particuliers

Obtenir la vérité

Théorèmes de Gibbard [1973] & Satterwaithe [1975]

! Un mécanisme de vote est une fonction qui sélectionne une unique alternative de l'expression des préférences des agents sur plusieurs alternatives ! “Alternative” au sens anglais : candidat, solution, programme politique

! Un mécanisme de vote est manipulable si il existe un état d'opinions [les préférences des agents dans la société] dans lequel, pour au moins un agent, déclarer ses vraies préférences N'EST PAS une stratégie dominante! Définition très “dure” de manipulabilité : d'autres stratégies (équilibre

de Nash en particulier) sont exclues! Le domaine de préférences est universel lorsque les préférences ne sont

restreintes en aucune façon! Des préférences unimodales (single-peaked) n'ont pas un domaine

universel

Théorèmes de Gibbard [1973] & Satterwaithe [1975]

! Si le mécanisme de vote est une dictature, il n'est pas manipulable! S'il n'y a que deux alternatives, le vote à la majorité (et d'autres

mécanismes) n'est pas manipulable (lorsque le coût individuel est connu sans incertitude)! Intuition évidente! Il peut ne pas être PO comme vu dans l'exemple du foot à Lyon

! Théorème de Gibbard & Satterwaithe : en dehors de ces deux mécanismes, tout mécanisme de vote est manipulable! Démonstration mathématique non triviale, voir Mas-colell p 874

(pas pour ce cours) ! Le théorème de Gibbard & Satterwaithe peut ne pas tenir lorsque le

domaine n'est pas universel, particulièrement lorsque les préférences sont comparables ou l'utilité est transférable

Obtenir la vérité

Deux cas particuliers :

Biens publics dichotomiques (2 alternatives)

Les mécanismes Clark-Groves-Ledyard

9. Biens publics dichotomiques

Le mécanisme du Pivot

Rappel : enchères à valeur privée

! Soit n personne et un “objet” qu'on souhaite allouer entre elles

! Soit Vi le maximum que la persone i veut bien payer (est “disposée à payer”) pour l'objet

! L'allocation est PO si la personne avec la plus grande DAP obtient l'objet! Sinon, des transferts sont possibles pour améliorer le sort de

tous

Enchère (Auction) : allouer un objet à une personne! Chaque enchérisseur écrit une offre pour l'objet, la place dans une

enveloppe scellée avec son nom! Le commissaire priseur ouvre les enveloppes

! La plus grande offre ! Gagne l'enchère (emporte l'objet)! Doit payer le prix qu'il/elle a écrit

! Dans une telle enchère, personne n'a intérêt à faire une offre égale à sa propre DAP! Si on le fait et qu'on remporte l'enchère, on ne fait aucun gain! Celui qui fait une offre plus élevée que sa DAP perd de l'argent s'il

remporte l'enchère! Donc il faut enchérir en-dessous de sa vraie DAP : de combien ?

Enchère au premier prix sous pli fermé

! On peut montrer (Vickrey 1961) que ! Pour n enchérisseurs neutres au risque! Lorsque les valeurs proviennent d'une distribution uniforme dans ! Un équilibre de Nash existe et est unique dans lequel les enchérisseurs ont la

fonction d'offre suivante :

! On peut montrer que l'aversion au risque induit des offres plus élevées

! L'aversion au risque fait que les enchérisseurs ont plus peur de rater le bien! Donc, en général, avec des enchérisseurs hétérogènes quant à leur attitude vis-à-

vis du risque, ! Il n'y a aucune garantie que l'objet aille à la personne avec la plus haute

DAP! Donc, l'enchère au 1er prix sous pli fermé peut ne pas aboutir à un OP

Enchère au premier prix sous pli fermé

! Comme pour l'enchère au premier prix, l'objet va à la personne ayant fait l'offre la plus haute, ! MAIS cette personne ne paie que la deuxième offre plus haute

! Avec ce système on va voir que enchérir sa vraie valeur (DAP) est une stratégie dominante! Dans l'enchère de Vickrey, la situation dans laquelle chacun offre sa

vraie valeur est un équilibre à stratégie dominante

! Donc, quelle que soit la stratégie des autres, chacun a une stratégie dominante à offrir sa vraie valeur

Enchère au second prix sous pli fermé (enchère de Vickrey)

! Supposons que vous offrez plus que votre DAP! Si votre offre n'est pas la haute, vous n'êtes pas mieux que si vous

aviez dit la vérité (puisque vous n'auriez pas gagné non plus) ! Si votre offre EST la plus haute, alors il y a 2 cas :

" Soit votre DAP aurait aussi été l'offre la plus haute, donc vous auriez aussi remporté l'enchère en disant la vérité et vous auriez payé la même chose : vous n'êtes pas mieux qu'en disant la vérité

" Soit votre DAP est plus petite que la 2ème offre la plus haute, alors vous remportez l'objet mais vous devez payer plus que ce qu'il vaut pour vous : vous êtes pire que si vous aviez dit la vérité (où vous n'auriez rien payé)

Enchère au second prix sous pli fermé

VotreDAP

2ème + haute

Votre offre

! Donc vous ne pouvez pas gagnez en enchérissant au-dessus de votre DAP (“sur-enchérir”)

! De façon similaire, vous ne pouvez pas gagner en sous-enchérissant ! Donc, enchérir la vérité est une stratége dominante

! L'idée de Vickrey est double : ! Récompenser pour dire la vérité / sanctionner pour mentir de sorte

que révéler la vérité soit une stratégie dominante! Rendre cette récompense / sanction dépendante de ce que les

autres disent

Enchère au second prix sous pli fermé

! L'enchère au 2nd prix sous pli fermé est isomorphique à l'enchère anglaise

! Le commissaire part d'un prix bas, les enchérisseurs abandonnent jusqu'à ce qu'il n'en reste qu'un

! L'enchère au 1er prix sous pli fermé est isomorphique à l'enchère hollandaise

! Le commissaire part d'un prix élevé et l'objet va au premier qui lève la main

! D'un point de vue social, l'enchère au 2nd prix est préférable car elle garantit que l'objet va à celui qui l'apprécie le plus

! Du point de vue du vendeur, la recette est généralement plus élevée avec une enchère au premier prix, mais celles-ci incitent à la collusion des enchérisseurs, puisque sinon leurs marges sont trop faibles

Enchères : remarques! L'idée de l'enchère de Vickrey peut être étendue aux biens publics

dichotomiques! Par ex. construire ou pas un équipement, permettre ou pas quelque

chose... ! Le parallèle avec Vickrey est d'obtenir que chacun dise la vérité en

faisant que le mensonge soit dominé via l'introduction de coûts qui dépendent de ce que les autres ont dit

Extension à un choix social dichotomique (oui/non)

! Soit Wi la DAP de la personne i pour obtenir le bien public

! La DAP pour le statu quo (le bien public ne se fait pas) est zéro! Soit Xi la richesse de i

! Alors Wi est la solution de l'équation

Ui (Xi , 0) = Ui (Xi - Wi , 1)! Donc Wi est positive pour ceux qui veulent le bien public,

négative pour ceux qui ne le veulent pas et zéro pour ceux qui y sont indifférents

Extension à un choix social dichotomique (oui/non)

! Un mécanisme de décision possible serait de décider à la majorité! Point fort : non-manipulable! Point faible : peut ne pas aboutir à un OP

! Une minorité peut être intensément concernée (DAP élévée)! Alors que les membres de la majorité ne sont guère intéressés! Exemple du foot

! Dans ce cas, il peut être possible de trouver une situation Pareto supérieure qui renverse cet équilibre puisque la minorité peut être suffisamment intéressée pour “acheter” la majorité (paiements compensatoires)

Extension à un choix social dichotomique (oui/non)

! Pour prendre une décision efficiente, il faut sommer les DAP (nettes) sur l'ensemble de la population, +i Wi

! Pour autant que les utilités puissent être comparées et sommées! Si +i Wi > 0, alors, à l'allocation actuelle des richesses, “produire” le bien

public est PO et ne pas le faire ne l'est pas ! Pour autant que les perdants soient compensés (sinon, on ne peut pas

dire)! Si +i Wi < 0, c'est l'histoire inverse

! Si on demande simplement au gens de déclarer Wi, et ensuite on décide sur le bien public selon le signe de +i [Wi declarés], ils seront incités à exagérer leurs préférences (en positif ou en négatif)

! Il faut un mécanisme plus subtil

Extension à un choix social dichotomique (oui/non)

! On demande à chaque i de déclarer sa valeur (sa DAP)

! On écrit cette déclaration Vi (qui peut être = à Wi ou non)

! Le gouvernement calcule alors +i Vi

! De plus des taxes sont établies comme suit! Si la réponse de la personne j ne change pas le résultat, c'est-à-dire si

de +i!j Vi est le même que le signe +i Vi, alors elle ne paie pas de taxe

! Si la déclaration de j fait la différence, on dit qu'elle est pivot : sans sa déclaration, la décision change; dans ce cas elle paie la quantité +i!j Vi

" C'est-à-dire, elle paie ce qu'elle fait perdre aux autres collectivement

" Il peut y avoir plusieurs pivots! Tout revenu de cette taxe est détruit

Le mécanisme du pivot

! On va expérimenter le jeu du pivot! Formez 5 groupes pas trop proches dans l'amphi! Chaque groupe reçoit une carte rouge ou une noire correspondante à la

DAP W pour un bien public dichotomique! Noire = W>0, Rouge = W<0, cartes de 2 à 9! Si le bien public est fourni, chacun reçoit sa DAP, sinon rien

" Les perdants ne sont pas compensés! On va jouer plusieurs procédures, dans tous les cas, un représentant de

chaque groupe viendra me donner un papier avec la décision du groupe! Vous pouvez communiquer intra groupe et inter groupe! Mais la décision finale inscrite sur papier ne peut être montrée aux

membres extérieurs du groupe" Sinon l'expérience ne peut marcher

Le mécanisme du pivot : XP

! La décision de provision est prise sur base d'un vote secret sous pli fermé (pliez le bout de papier)! Chaque groupe est obligé d'émettre une préférence (pour ou contre le

bien public), sinon l'élection est répétée! Chaque groupe me rend la carte avec son vote

! Je dépouille les bulletins et je note les gains au tableau (pas les votes)! Essayez de jouer comme si les gains étaient importants !! Les XP en cours sont matière d'examen

! On va faire quelques tours, à chaque tour le W de chaque groupe (la carte) changera

1ère procédure: vote à la majorité

! Chaque groupe déclare sur son papier un montant Vi

! Je calcule +i Vi

! Si +i Vi > 0 alors le bien public est fourni et chacun reçoit son W (pas son V!!)

! Sinon, le bien n'est pas fourni et personne ne reçoit de W (mais peut payer des taxes)

! Je calcule de plus les taxes suivantes! Si la réponse du groupe j ne change pas la décision, donc si le signe de +i!j Vi est le même que +i Vi, le groupe j ne paie pas de taxe

! Dans le cas contraire, le groupe j paie une taxe du montant de +i!j Vi (en valeur absolue)

! Tout revenu de cette taxe est détruit (pas redistribué)

2ème proc. : mécanisme du pivot

! Même mécanisme mais après avoir calculé les taxes, je demande si tout le monde est d'accord! Si oui, on compte les gains et les pertes! Si non, on recommence toute la procédure ! Vous gardez la même carte jusqu'à ce qu'il y aie unanimité

3ème proc : mécanisme du pivot répété

! On écrit que j a une valeur Wj pour le projet et déclare Vj ! Cas 1: en disant la vérité Vj=Wj, j ne change pas la décision

1. Si +iVi > 0 et Wj>0, alors mentir ne peut qu'empirer la situation (pas l'améliorer)

2. Si +iVi>0 et Wj<0 (donc +i!jVi>0), alors j a l'opportunité de changer le résultat en déclarant quelque chose de suffisamment négatif pour que +iVi devienne <0. Alors j est pivot et doit payer une taxe de +i!jVi, c'est-à-dire ce qu'il a fait perdre à la collectivité ; on a deux cas :

a. +i!j Vi < |Wj| est impossible puisque +iVi > 0 et Wj < 0.

" Donc il faut que +i!j Vi > |Wj|, j perd plus dès qu'il exagère ses préférences plutôt que de dire la vérité (en déclarant V

j=Wj, il ne perdait que |Wj| puisque le bien se faisait mais il

n'était pas pivot)

3. De façon similaire quand +iVi < 0

Le mécanisme du pivot : stratégie! Cas 2: En disant la vérité Vj=Wj, j change la décision

1. Si +iVi > 0 et Wj > 0 et que j change la décision, il faut que +i!jVi<0,

a. Dire la vérité induit une taxe de |+i!jVi| pour j, mais celui-ci reçoit aussi sa valeur Wj et Wj > |+i!jVi| puisque j est pivot, donc en disant la vérité, j ne perd pas d'argent

c. Puisque le projet se fait (somme positive), mentir ne peut faire changer la décision que pour que le projet ne fasse pas; dans ce cas j reçoit zéro, donc mieux vaut dire la vérité

2. Si +iVi < 0 and Wj < 0 et j change la décision, il faut que +i!jVi>0,

a. En disant la vérité, j doit payer +i!jVi mais le projet ne se fait pas, donc il ne perd pas Wj (sa valeur négative pour le projet) et |Wj| > +i!jVi puisque j est pivot

c. En mentant, j fait changer la décision vers la réalisation du projet, il n'est alors plus pivot et ne paie pas la taxe mais perd Wj alors que |Wj|>+i!jVi puisque j est pivot

3. +iVi > 0 et Wj < 0 et j change la décision en disant la vérité est impossible, de même avec +iVi < 0 and Wj > 0

Le mécanisme du pivot

! Donc la situation dans laquelle tout le monde révèle sa véritable DAP est un équilibre de Nash (si tout le monde dit la vérité, personne n'a intérêt à dévier)

! La décision résultante est PO puisque le bien public est fourni lorsque la somme des valeurs est positive! Il y a par contre un certain gaspillage dans le processus puisque le

revenu de la taxe est détruit" S'il ne l'est pas, les propriétés incitatives de la taxe changent

! Dans de grandes économies, on peut montrer que sous des hypothèses raisonnables, ce gaspillage sera faible

Le mécanisme du pivot

10. Design de mécanisme

! Un mécanisme est une règle de taxation! Qui induit des agents rationnels égoïstes à révéler leurs véritables

préférences pour les biens publics! Permettant au gouvernement de fournir la quantité PO du bien public

sur la base de cette information! Le mécanisme Groves-Clarke n'est défini que pour le cas de l'utilité quasi-

linéaire mais aboutit à un équilibre en stratégie dominante! Le mécanisme Groves–Ledyard s'applique à n'importe quelle préférences

smooth (lisses) et convexes mais n'aboutit qu'à un équilibre de Nash (plus faible que la stratégie dominante)

! Ces mécanismes sont des généralisations du mécanisme du pivot, qui se basent sur l'idée de taxer les personnes en fonciton de ce que les autres disent

Définitions Mécanisme Groves-Clarke 1/7

! Modèle à un bien privé et un bien public! On assume agent i utilité quasi-linéaire

! Ui(Xi, Y) = Xi + Fi(Y) avec

" Xi consommation bien privé" Y quantité de bien public

! F est strictement concave! Chaque i a une allocation initiale de Wi unités de bien privé

! Le bien public ne peut être que à partir de bien privé! La quantité totale de bien privé pour produire Y unités de bien public

est une fonction C(Y), convexe! Le mécanisme du Pivot est plus simple : choix dichotomique

Mécanisme Groves-Clarke 2/7

! Si on ne considère que les allocations dans lesquelles chacun reçoit au moins un peu de bien privé (solution intérieure), alors dans cette économie, il y a un unique quantité PO de bien public qui max :

+i Fi(Y) - C(Y)

! Somme des utilités - coût de production du bien public! Rappel : utilité quasi-linéaire provision de bien public indépendante "

de la consommation privée

Mécanisme Groves-Clarke 3/7! On demande aux i de révéler leurs fonctions Fi au gouvernement

! Soit Mi (peut-être différent de Fi) la fonction que i déclare

! Soit M = (M1,111,Mn) le vecteur des fonctions déclarées par toute la population

! Pour un vecteur déclaré M, le gouvernement choisi la quantité de bien public Y(M) qui est Pareto optimale [qui max +iFi(Y) - C(Y)] comme si chacun disait la vérité sur son utilité! C'est-à- dire, le gouvernement choisi Y(M) tel que Y>0 :#

+iMi(Y(M)) - C(Y(M)) % +iMi(Y) - C(Y)

! Donc si chacun disait la vérité (Mi = Fi) :

+iFi(Y(F)) - C(Y(F)) % +iFi(Y) - C(Y)

! En d'autres termes, le gouvernement max la somme des utilités déclarées moins le coût de provision du bien public! Ce serait PO si chacun disait le vérité

Mécanisme Groves-Clarke 4/7! Des taxes Ti(M) sont ensuite assignées par i selon la règle suivante :

Ti(M) = C(Y(M)) - +j!i Mj(Y(M)) – Ri(M) (1)

! avec Ri(M) une fonction qui peut dépendre des fonctions Mj, déclarées par les autres (j!i) mais est constante par rapport à Mi

! i n'influence Ti que par Y(M)

! Si le vecteur des fonctions déclarées au gouvernement is M=(M1,111,Mn), alors la consommation privée de i est

Xi(M) = Wi - Ti(M)

! Et son utilité Xi(M) + Fi(Y(M)) =

Wi + +j!i Mj(Y(M)) + Ri(M) – C(Y(M)) +Fi(Y(M))

Mécanisme Groves-Clarke 5/7! Puisque Wi + Ri(M) est indépendant de Mi, la seule façon que pour la

fonction déclarée Mi change l'utilité de i est via la dépendance de Y(M) à Mi

! donc Mi affecte seulement +j!i Mj(Y(M)) – C(Y(M)) +Fi(Y(M))

! Donc, pour tout choix de stratégies des autres joueurs, le meilleur choix de Mi pour i est celui qui induit le gouvernement à choisir Y(M) pour maximisercette dernière expression, soit

+j!i Mj(Y(M)) + Fi(Y(M)) – C(Y(M)) (2)

! Mais, de (1) il était établi que le gouvernement maximisait :

+i Mi(Y(M)) - C(Y(M))

Mécanisme Groves-Clarke 6/7

! Donc, si i déclare sa vraie fonction, Mi = Fi , alors quand le gouvernement max (1) il max aussi (2)

! Donc i ne peut mieux faire et pourrait faire prire en décalrant autre chose que la vérité! La révélation (honnête) est donc une stratégie dominante

! Comme chacun choisi sa stratégie dominante, les véritable préférences (fonctions M) sont révélées et le gouvernement choisi Y(M) qui max

+i Fi(Y) - C(Y)

! Cela amène à la quantité correcte du bien public

Mécanisme Groves-Clarke 7/7! Pour que le mécanisme soit réalisable, il faut que la somme des taxes

collectées soit au moins aussi grande que le coût de provision du bien public, soit : +iTi(M)%C(Y)

! Sauf si le gouvernement a des revenus additionnels! Pour que le niveau de provision du bien public soit PO, il faut que la

somme des taxes collectées soit au plus égale au côut du bien public : +iTi(M)'C(Y)

! En général, il s'avère impossible de trouver des fonctions Ri(M) qui soient indépendantes de Mi i et t.q. +# i Ti(M) = C(Y)

! Cependant, il est possible de trouver des fonctions Ri(M) qui garantissent que les revenus de la taxe couvrent au moins les coûts de provision : +i Ti(M) % C(Y)

Groves-Clarke Mechanism 9

! In general, it turns out to be impossible to find functions Ri(M) that are independent of Mi for each i and such that

+i Ti(M) = C(Y)

! However, functions Ri(M) can be found that guarantee that tax revenues at least cover total costs

+i Ti(M) % C(Y)

Groves-Clarke Mechanism 10! As indicated, it may be cognitively difficult for consumers to find out

that their dominant strategy is indeed to tell the truth.! The Groves-Clarke Mechanism can also be motivated as a problem in

which several firms share a public good as a factor of production. ! Each firm knows its own production function but not that of others. ! A central authority will decide the amount of the public factor of

production to purchase and the way to allocate its cost based on information supplied by the firms.

! This problem is formally the same as a public goods problem with quasi-linear utility

! On a vu ce qu'était un bien public et la condition de Samuelson indique à quel niveau de provision il doit être fourni pour une certaine distribution des richesses

! Ni la contribution volontaire ni le mécanisme de Lindahl ne sont des mécanismes de provision satisfaisant pour des raisons stratégiques! La contribution volontaire a de plus le problème qu'elle induit une

externalité positive

Biens publics : Conclusion! Le thm de Gibbard & Sattherwaithe indique que tout mécanisme de

vote sur plus de deux alternatives est manipulable (sauf dictature)! Le vote à la majorité sur 2 alternatives n'est pas manipulable mais

n'aboutit pas à un OP! Pour atteindre un OP il faut nécessairement connaitre les DAP

individuelles mais on ne peut amener les gens à la révéler honnêtement que dans des cas spéciaux! Le mécanisme du pivot (biens dichotomiques) et les mécanismes

de Clarke-Groves et de Groves-Ledyard permettent d'obtenir une révélation sincère " Dans des cas trop particuliers" Dans des conditions de rationalité trop exigeantes " Pour être de réelle utilité dans la plupart des décisions

publiques