290_30000000_2826812330_rapport-bouhjira

Anne Universitaire : 2013-2014

Universit Mohamed Premier cole Nationale des Sciences Appliques

Al-Hoceima

Pour lobtention du diplme Ingnieur dtat en Gnie Civil

Ralis par : Houria BOUHJIRA

Encadr par : Dr. Abdelouafi EL GHOULBZOURI : Encadrant interne. Mr. Youssef LAAOUISSI : Encadrant externe.

Soutenu le: 11 Juillet 2014

Devant le Jury : Dr. Abdelouafi EL GHOULBZOURI : Prsident Dr. Sad BENGAMRA : Rapporteur Dr. Mohammed Amine MOUSSAOUI : Rapporteur

MMOIRE DE PROJET DE FIN DTUDES Dimensionnement et analyse de

la Vulnrabilit sismique par la mthode PUSHOVER dune structure en Bton Arm

Mmoire de projet de fin dtudes

Ecole Nationale Des Sciences Appliques dAl-Hoceima Page 2

Ecole Nationale Des Sciences Appliques dAl

Pour tous les sacrifices quelle a consentit, pour tous

les instants o elle ma paule, pour la source

inpuisable de tendresse dont elle ma enveloppe

A ma chre mre Hadda TOU

Pour les efforts quil na cess de dployer, pour ses

prcieux conseils qui mont toujours

pour la

A mon cher pre Boujem

Pour leur amourQui sont

A ma petite sur Sara et mes

Pour son soutient, pour

Et pour mavoir considrer comme sa

A ma chre mre morale et

A tous mes ami


Ecole Nationale Des Sciences Appliques dAl-Hoceima

DEDICACESDEDICACESDEDICACESDEDICACES



inpuisable de tendresse dont elle ma enveloppe

A ma chre mre Hadda TOUAREB


prcieux conseils qui mont toujours accompagne

la confiance quil ma accorde.

A mon cher pre Boujema BOUHJIRA

our leur amour, leur gentillesse et les bons souvenirs

sont fonds dans ma mmoire.

A ma petite sur Sara et mes frres Younes, SamirEt Mouncef

soutient, pour sa confiance, pour ses

Encouragements pour mavoir considrer comme sa fille.

mre morale et professeur Amal LAMGHARI

A tous mes amies et mes collgues de LENAH

Et tous ce que je chris

...

Je ddie ce mmoire

Houria BOUHJIRA

Page 3



inpuisable de tendresse dont elle ma enveloppe.


accompagne,

souvenirs

Younes, Samir

ses

fille.

professeur Amal LAMGHARI

LENAH

Je ddie ce mmoire

Houria BOUHJIRA


Aprs avoir rendu

omnipotent, je remercie mes parents pour leur

soutient sans faille durant mon cursus scolaire.

Jadresse galement mes sincres remerciement

A mon encadrant externe

LAAOUISSILAAOUISSILAAOUISSILAAOUISSI, ingnieur en gnie civil et grant dun

bureau dtudes

disponibilit et ses conseils aviss

A mon encadrant interne, Monsieur

Abdelouafi ELAbdelouafi ELAbdelouafi ELAbdelouafi EL

lENSAH, pour son encadr

A tout le corps professoral de lcole

des sciences appliques dAL

A lensemble du personnel administratif de

lcole nationale des sciences appliques dAL

Je vous ritre ma profonde gratitude.

Enfin, je tiens remercier,de loin, ont particip la ralisation de ce projet de



REMECIEMENTSREMECIEMENTSREMECIEMENTSREMECIEMENTS

Aprs avoir rendu grce DieuDieuDieuDieu, notre crateur



Jadresse galement mes sincres remerciement

A mon encadrant externe, Monsieur Youssef Youssef Youssef Youssef

, ingnieur en gnie civil et grant dun

tudes, pour sa grande contribution, sa

disponibilit et ses conseils aviss ;


Abdelouafi ELAbdelouafi ELAbdelouafi ELAbdelouafi EL----GHOULBZOURIGHOULBZOURIGHOULBZOURIGHOULBZOURI, professeur

lENSAH, pour son encadrement et ses conseils

importants ;

A tout le corps professoral de lcole nationale

des sciences appliques dAL-HOCEIMA


lcole nationale des sciences appliques dAL

HOCEIMA ;

Je vous ritre ma profonde gratitude.

Enfin, je tiens remercier, tous ceux qui, de prs ou de loin, ont particip la ralisation de ce projet de

fin d'tudes.

Page 4

crateur



Jadresse galement mes sincres remerciements :

Youssef Youssef Youssef Youssef

, ingnieur en gnie civil et grant dun

, pour sa grande contribution, sa


, professeur

ement et ses conseils

nationale

HOCEIMA ;


lcole nationale des sciences appliques dAL-

tous ceux qui, de prs ou de loin, ont particip la ralisation de ce projet de



RsumRsumRsumRsum

Lvaluation des risques poss par les vnements sismiques constitue un lment

essentiel de la mise en place doutils efficaces de gestion des ouvrages. Cest le cas en

particulier de lvaluation de la vulnrabilit sismique des structures en bton arm. Celle-ci

permet dtablir une classification des btiments selon leur vulnrabilit sismique afin de

dfinir une priorit dintervention partir dinspections et dtudes dtailles.

Dans ce contexte, plusieurs mthodes dvaluation de la vulnrabilit sismique des

structures ont t dveloppes et sont utilises dans plusieurs pays. Parmi lesquelles on cite

la mthode statique non linaire dite mthode danalyse par pousse progressive ou bien

PUSHOVER .

Lobjectif principale de ce projet de fin dtudes consiste traiter la dite mthode

Pushover en dterminant les diffrentes notions lies cette dernire, son but, ses

hypothses de base et les conditions de son applicabilit ainsi que la procdure suivie pour

appliquer cette mthode.

Pour concrtiser mon projet, la mthode a t applique sur un portique plan en

bton arm, pris dun btiment R+2 usage dhabitation, quon a tudi en dtails en

exploitant les logiciels CBS pour le modliser et RSA pour le calculer en faisant rfrences

aux rglements BAEL91 modifi99 pour les calculs et RPS2000 pour la vrification.

A fin de faciliter lapplication de la mthode danalyse Pushover, on a exploit le

logiciel danalyse SAP2000 qui ma permet dobtenir des rsultats concrets sous forme de

tableaux, de schmas ainsi que de courbes. Concernant le chargement latral du portique

tudi, il a t dtermin en se basant sur le rglement RPS2000 et pour le point de

performance, il a t obtenu numriquement selon deux normes : lATC40 et le FEMA365.

Mots cls :

Vulnrabilit sismique, analyse Pushover, point de performance, courbe de capacit, rotules, poteau, poutre, pr-dimensionnement, ferraillage



TABLE DES MATIRES

Introduction gnrale ................................................................................................................. 14

Chapitre I : tude bibliographique ............................................................................................... 16

1. Mthodes dvaluation de la vulnrabilit sismique ............................................................... 17

1.1. Notions de vulnrabilit sismique .................................................................................... 17

1.2. Approches densemble et approches cibles ................................................................... 17

1.2.1. Principes de base des approches d'ensemble .............................................................. 18

1.2.1.1. tape 1 : Conditions de site ................................................................................... 18

1.2.1.2. tape 2 : Matrice de probabilit de dommage (MPD) .......................................... 19

1.2.1.3. tape 3 : valuation de la vulnrabilit ................................................................. 19

1.2.2. Approches cibles : Analyse mcanique des structures ............................................... 19

1.2.2.1. Description de lanalyse "Pushover" ..................................................................... 19

1.2.2.1.1. Chargement et rponse de la structure ............................................................ 20

1.2.2.1.2. Hypothse de base de lanalyse PUSHOVER ................................................. 20

1.2.2.1.3. But de lanalyse PUSHOVER ......................................................................... 21

1.2.2.1.4. Point de performance ....................................................................................... 21

1.2.2.2. Les tudes faites sur lanalyse Pushover .................................................... 22

Chapitre II : Vision gnrale sur la mthode dynamique ............................................................. 24

1. Gnralits ................................................................................................................................ 25

1.1. Paramtres de rigidit .............................................................................................................. 25

1.2. Bilan nergtique dune structure en mouvement .......................................................... 25

2. Systme un seul degr de libert .......................................................................................... 26

2.1. tablissement de l'quation du mouvement ................................................................... 26

2.1.1. Mouvement libre non amorti ........................................................................................ 27

2.1.2. Mouvement libre amorti ............................................................................................... 28

1. Systme plusieurs degrs de libert ...................................................................................... 29

3.1. Gnralits ........................................................................................................................ 29

2.2. Calcul en domaine linaire ................................................................................................ 29

2.2.1. Modlisation .................................................................................................................. 29

2.2.2. quations du mouvement ............................................................................................ 30

2.2.2.1. Pulsations naturelles et modes propres ............................................................... 31

2.2.2.2. Analyse modale .................................................................................................... 31

Chapitre III :Prsentation de la structure tudie et son dimensionnement ................................ 35

1. Description de la structure tudie et donnes de calcul ....................................................... 36

1.1. Caractristiques gomtriques ........................................................................................ 36

1.2. Caractristiques du sol dassise ......................................................................................... 36

1.3. Caractristiques des matriaux ......................................................................................... 36

1.3.1. Bton ............................................................................................................................ 36



1.3.1.1. Composition du bton .......................................................................................... 36

1.3.1.2. Rsistance la compression ................................................................................. 36

1.3.1.3. Rsistance caractristique la traction ................................................................ 36

1.3.1.4. Les Contrainte Limites de compression du bton ................................................ 36

1.3.1.5. Contrainte limite de cisaillement ......................................................................... 37

1.3.2. Aciers ............................................................................................................................ 37

1.3.2.1. Caractristiques mcaniques de lacier ................................................................ 37

1.3.2.2. Contrainte limite de lacier ................................................................................... 37

1.4. Combinaisons de calcul ................................................................................................... 38

1.5. Les rglements utiliss ..................................................................................................... 38

1.5.1. B.A.E.L91 Modifi 99 (Bton Arm aux tats limites) ................................................. 38

1.5.2. R.P.S 2000 (Rglement Parasismique Marocain) ......................................................... 38

2. Pr- dimensionnement et descente des charges des lments porteurs .............................. 39

2.1. Les Planchers .................................................................................................................... 39

2.1.1. Pr-dimensionnement des planchers............................................................................ 39

2.1.2. Charges et surcharges des planchers ............................................................................ 40

2.2. Les Poutres ....................................................................................................................... 41

2.2.1. Pr-dimensionnement des poutres ............................................................................... 41

2.2.2. Descente de charges des poutres ................................................................................ 43

2.3. Les Poteaux ....................................................................................................................... 44

2.3.1. Descente de charges des poteaux ............................................................................... 44

2.3.2. Pr-dimensionnement des poteaux ............................................................................ 46

2.4. Les semelles ....................................................................................................................... 48

2.4.1. Dfinition ...................................................................................................................... 48

2.4.2. Forces et actions supportes par les semelles ............................................................. 48

2.4.3. Pr-dimensionnement des semelles ............................................................................ 48

3. Modlisation et dimensionnement de la structure ................................................................. 49

3.1. Modlisation en Concreate Building Structures ................................................................ 49

3.1.1. Description gnrale du logiciel ................................................................................... 50

3.1.2. Mode opratoire ........................................................................................................... 50

3.2. Calcul en Robot Structural Analysis .................................................................................. 55

3.2.1. Description gnrale du logiciel ................................................................................... 55

3.2.2. Mode opratoire .......................................................................................................... 56

3.2.3. Calcul des lments porteurs de la structure sous RSA ................................................ 57

3.2.3.1. Calcul des poteaux ................................................................................................ 57

3.2.3.2. Calcul des poutres ................................................................................................ 58

3.2.3.1. Calcul des semelles : .............................................................................................. 60

Chapitre V : Simulation numrique et analyse pushover de la structure ....................................... 61

1. Introduction .............................................................................................................................. 62

2. Description de lanalyse Pushover traditionnelle ................................................................. 62

3. Procdure danalyse par la mthode Pushover .................................................................. 62

3.1. Recherche du point de performance ................................................................................ 63

3.1. Les rotules plastiques ........................................................................................................ 64



4. tude sismique ......................................................................................................................... 65

4.1. Systme de contreventement .......................................................................................... 65

4.2. Paramtres sismiques ....................................................................................................... 67

4.2.1. Zonage sismique ............................................................................................................ 67

4.2.2. Classe de priorit parasismique I .................................................................................. 68

4.2.3. Influence du site S ........................................................................................................ 69

4.2.4. Niveau de ductilit ND ................................................................................................... 69

4.2.5. Facteur de comportement K ......................................................................................... 70

4.2.6. Priode de vibration ..................................................................................................... 70

4.2.7. Facteur damplification dynamique .............................................................................. 70

4.3. Code de chargement ......................................................................................................... 71

4.3.1. Charge prise en poids de la structure ............................................................................ 71

4.3.2. Force sismique latrale.................................................................................................. 72

4.3.3. Rpartition verticale de la force sismique .................................................................... 73

4.4. Simulation numrique de la structure ............................................................................. 74

4.4.1. Prsentation gnrale du logiciel ................................................................................. 74

4.4.2. Mode opratoire ........................................................................................................... 75

4.5. Rsultats et interprtations .............................................................................................. 81

Conclusion gnrale ................................................................................................................... 84

Bibliographie .............................................................................................................................. 85



LISTE DES FIGURES

Figure 1: valuation du bti existant Dmarche d'valuation du risque sismique. .............. 17

Figure 2: valuation du bti existant Dmarche des approches d'ensemble. ...................... 18

Figure 3 : Mthode Pushover - (a) Exemple de chargement latral sur une structure et (b)

Exemple d'volution Force-Dplacement. ............................................................................... 20

Figure 4: Hypothse de l'analyse Pushover. ............................................................................ 20

Figure5: Niveaux de performance structurale. Courbe globale de capacit Pushover ..... 22

Figure 6 : Reprsentation schmatique de lquilibre des forces en prsence dans la

structure, quilibre ncessaire pour la rsistance de la structure au sisme. .................. 25

Figure 7 : Schma des mcanismes dabsorption de lnergie des oscillations par la

structure. .................................................................................................................................. 26

Figure 8: Systme dynamique lmentaire. ............................................................................ 26

Figure 9 : Schma idalis dun btiment une tage ............................................................ 26

Figure 10 : Oscillateur libre non amorti ................................................................................... 28

Figure 11 : Oscillateur libre amorti .......................................................................................... 28

Figure 12 : Structure plusieurs degrs de libert :(a): Modlisation, (b): Dplacements des

tages par rapport au sol, (c): Dplacement relatif de l'tage i .............................................. 30

Figure13: Diagramme contrainte-dformation du bton ........................................................ 37

Figure14: Diagramme contrainte-dformation dacier ........................................................... 38

Figure 15:Elments du plancher corps creux ........................................................................ 39

Figure 16: Dimensions dune poutre ........................................................................................ 41

Figure 17: chargement des poutres a : non charg, b : peu charg, c : trop charg ............... 42

Figure18:Poutre N7 sur le plan coffrage .................................................................................. 43

Figure19 : La surface intervenant au calcul de la descente de charges dun poteau. ............. 45

Figure 20: Modlisation en CBS : page daccueil CBS .............................................................. 50

Figure 21: Modlisation en CBS : choix dunits ...................................................................... 51

Figure 22: Modlisation en CBS : paramtrage ....................................................................... 51

Figure23 : Modlisation CBS : normes de calcul et rglements .............................................. 51

Figure 24: Modlisation CBS : saisie des lments structuraux .............................................. 52

Figure 25: Modlisation CBS : dfinition des charges .............................................................. 53

Figure 26: Modlisation CBS : vue 3D de la ............................................................................. 53

Structure charge ..................................................................................................................... 53

Figure 27: Modlisation CBS : descente de charges totale vue 3D ......................................... 54

Figure 28: modlisation CBS : sens de port des dalles ........................................................... 55

Figure29: modlisation CBS : centre de torsion et de gravit de la structure ......................... 55



Figure 30: modlisation en RSA: page daccueil RSA ............................................................... 56

Figure 31: modlisation RSA : combinaisons et relations des pondrations........................... 57

Figure 32: Plan de ferraillage du poteau P11 ........................................................................... 58

Figure 33: Plan de ferraillage de la poutre N7 ......................................................................... 59

Figure 34 : Conversion du diagramme de capacit en format (A-D). ...................................... 63

Figure 35 : Point de performance selon EC 8 et principe dvaluation de la courbe de

capacit. ................................................................................................................................... 64

Figure 36: Point de performance- principe de reduction du spectre. ..................................... 64

Figure 37:Relation force-dformation d'une rotule plastique (FEMA-356) ............................ 65

Figure 38 : Types des contreventements ................................................................................. 66

Figure 39 :Portique analyser par la mthode Pushover. ...................................................... 67

Figure 40: zonages sismiques du Maroc .................................................................................. 68

Figure41 : Coefficients de priorit du site ................................................................................ 68

Figure 42 : Rpartition verticale des forces sismiques. ........................................................... 74

Figure 43: Modlisation en SAP2000: page daccueil SAP2000 ............................................... 75

Figure 44: Modlisation en SAP2000: Saisie du modle et des units .................................... 75

Figure 45: Modlisation en SAP2000: Introduction des dimensions ....................................... 76

Figure 45: Modlisation en SAP2000: Vue 2D du portique ..................................................... 76

Figure 46: Modlisation en SAP2000: dfinition des proprits des matriaux ..................... 77

Figure 47: Modlisation en SAP2000: Choix du type de sections ............................................ 77

Figure 48: Modlisation en SAP2000: Saisie des proprits de la section .............................. 78

Figure 49: Modlisation en SAP2000: Affichage des sections ................................................ 78

Figure 50: Modlisation en SAP2000: Distribution des charges latrales ............................... 79

Figure 51: Modlisation en SAP2000: Distribution des charges verticales ............................. 79

Figure 52: Modlisation en SAP2000: Emplacement des rotules ............................................ 80

Figure 53: Modlisation en SAP2000: Encastrement .............................................................. 80

Figure 54: Modlisation en SAP2000: Lancement danalyse ................................................... 81

Figure 55: Courbe de capacit Pushover ................................................................................. 82

Figure 56: Formation des rotules plastique la dernire tape ............................................ 82

Figure 57: Courbe de capacit-dplacement cible selon FEMA 356 ....................................... 83

Figure 58: Courbe de capacit-dplacement cible selon ATC 40 ............................................ 83



LISTE DES TABLEAUX

Tableau 1 : Les charges transmises par le plancher terrasse. ................................................. 40

Tableau 2: Les charges transmises par le plancher tage. ...................................................... 41

Tableau 3:Rcapitulatif de pr-dimensionnement des poutres. ............................................. 43

Tableau4:Formules de calcul des dimensions du poteau . ...................................................... 47

Tableau5:Rcapitulatif des sections des poteaux .................................................................... 48

Tableau6:Rcapitulatif des sections darmature du poteauP11 ............................................ 58

Tableau6:Rcapitulatif des sections darmature de la poutre N7 .......................................... 59

Tableau7:Rcapitulatif des dimensions et du ferraillage des semelles .................................. 60

Tableau 8: Valeurs dacclration selon les rgions ................................................................ 67

Tableau 9 : Coefficient dinfluence du site .............................................................................. 69

Tableau 10: Niveaux de ductilit ............................................................................................. 69

Tableau 11: Facteur de comportement ................................................................................... 70

Tableau 12: Facteur damplification dynamique ..................................................................... 71

Tableau 13: Coefficients de rduction des surcharges dexploitation en cas sismiques ........ 72

Tableau 14 : valuation des charges de prise en poids ........................................................... 72

Tableau 15 : Rcapitulatif des paramtres sismiques ............................................................. 73

Tableau16 : valuation des forces latrales par niveaux ........................................................ 74



LISTE DES ANNEXES

ANNEXE 1: Plans darchitecte .................................................................................................. 86

ANNEXE 2: Plans de coffrage ................................................................................................... 89

ANNEXE 3: Descente de charges .............................................................................................. 91

ANNEXE 4: Notes de calcul du poteau P11 .............................................................................. 94

ANNEXE 5: Notes de calcul de la poutre N7 ............................................................................ 95

ANNEXE 6:Ferraillage des poutres ........................................................................................... 96

ANNEXE 7:Ferraillage des poteaux .......................................................................................... 98

ANNEXE 8:Rsultats de lanalyse pushover ........................................................................... 101



LISTE DES ABRVIATIONS

SSDDL : Systme un Seul Degr de Libert SPDDL : Systme Plusieurs Degrs de Libert MPD : Matrices de Probabilit de Dommages

EC8 :Eurocode 8 FEMA :Federal Emergency Management Agency ATC 40: AppliedTechnology Council RPS2000: Rglement de Construction Parasismique BAEL : Bton Arm aux Etats Limites

ELS : Etat Limite de Service ELU: Etat Limite Ultime ND: Niveau de Ductilit CBS: Concreate Building Structures SAP2000: Structural Analysis Program RSA: Robot Structural Analysis Pp: Poids propre

IO: Immediate Occupancy LS: Life Safety CP: Collapse Prevention



Introduction gnraleIntroduction gnraleIntroduction gnraleIntroduction gnrale

Pour se protger des destructions pouvant tre occasionnes par les tremblements

de terre, les pays concerns se sont dots de rgles parasismiques. Ces rgles, lorsquelles

sont bien appliques, permettent aux nouvelles constructions un niveau de protection

acceptable. Or, le taux de renouvellement du bti existant est trs faible, ce qui montre que

le risque de dommages dus des sismes vient du bti existant pour lequel une analyse de

vulnrabilit aux sismes doit tre mene.

Ces dernires annes, les dirigeants politiques de nombreux pays, y compris

sismicit modre, ont pris conscience de la vulnrabilit des centres urbains situs en zones

sismiques et de la ncessit dune valuation sismique du bti pour :

Estimer les dommages, les cots et les victimes pour des scnarios possibles ;

Hirarchiser les priorits de renforcement.

Pour ce fait, de nombreuses mthodes sont mises en uvre tel lanalyse statique non

linaire, ou la mthode d'analyse Pushover . Cest une mthode assez rcente qui a t

dveloppe au cours des vingt-six dernires annes et qui est devenue la procdure

d'analyse privilgie pour la conception et l'valuation de la vulnrabilit sismique puisque

cette procdure est relativement simple en prenant en considration le comportement post-

lastique. Toutefois, la procdure implique certaines approximations et simplifications ainsi

que certaines variations dans la prvision de la demande sismique de l'analyse Pushover .

Les objectifs du travail prsent dans ce mmoire consistent :

Comprendre les diffrentes notions en relation avec la vulnrabilit sismique ;

Connaitre les mthodes existantes dvaluation de la vulnrabilit sismique ;

Maitriser la mthode pushover, ses hypothses, ses approximations ainsi que sa

procdure.

Assimiler le calcul numrique des btiments en exploitant des logiciels trs utilisables

dans le monde professionnel.



En effet, ce mmoire est compos dun rsum suivi dune introduction et quatre

chapitres. Le premier chapitre passe en revue une tude bibliographique concernant les

procdures dvaluation de la vulnrabilit sismique en gnral et la mthode statique non

linaire PUSHOVER en particulier. Pour le deuxime chapitre, il est rserv pour donner

une vision gnrale et synthtis sur le calcul dynamique des structures et plus prcisment,

les systmes plusieurs degrs de libert et ceux dun seul degr de libert. Dans Le

troisime chapitre on va tudier une structure en bton arm en commenant par sa

prsentation, puis le pr-dimensionnement de ses lments et son calcul. Quant au

quatrime chapitre, qui est rserv pour une tude de cas dapplication de la mthode

danalyse par pousse progressive, il comprend la procdure danalyse Push over cest--

dire la courbe de capacit, le point de performance, les rotules plastiques, le code de

chargement latrale, les rglements en vigueur etc. ainsi que la simulation numrique dun

portique plan pris de la structure tudie dans le chapitre prcdent. Et finalement, une

conclusion gnrale.



CCCCHAPITRE HAPITRE HAPITRE HAPITRE IIII ::::

TUDETUDETUDETUDE BIBLIOGRAPHIQUEBIBLIOGRAPHIQUEBIBLIOGRAPHIQUEBIBLIOGRAPHIQUE



1. Mthodes dvaluation de la vulnrabilit sismique

1.1. Notions de vulnrabilit sismique

Le risque sismique est dfini comme la convolution de l'ala sismique, de la vulnrabilit de l'ouvrage et de sa valeur (cot humain, matriel). (Eq 1-1)

L'Ala sismique correspond au niveau d'intensit de sisme probable sur une priode de retour choisie (ex : acclration maximale observe ou estime sur 400 ans).

La vulnrabilit sismique d'un ouvrage correspond sa sensibilit (tendance aux dommages) face un vnement sismique. La valeur de l'lment caractrise l'impact en termes de vie humaine, cot matriel...

(Eq 1-1)

Afin de pouvoir intervenir comme outil dcisionnel concernant le devenir d'une structure (non-intervention, confortement, destruction), l'valuation de la vulnrabilit ncessite de qualifier et de quantifier le niveau de dommage attendu afin de le comparer au niveau maximal acceptable (Figure 1).

Le niveau de dommage acceptable pour un difice est fortement li sa classe d'exploitation (non sensible, sensible,). Ainsi un immeuble usage d'habitation devra prserver la vie des occupants sans ncessiter de rester exploitable la suite du phnomne sismique. En revanche les structures dont le fonctionnement est indispensable en cas de gestion d'une crise tel qu'un sisme (hpitaux, services de secours, centres de gestion d'urgence) devront rester intgres et immdiatement exploitables.

Figure 1: valuation du bti existant Dmarche d'valuation du risque sismique.

1.2. Approches densemble et approches cibles

Dommages admissibles

(Non effondrement,

exploitation immdiate ...)

Dcision d'intervention (non intervention,

renforcement, destruction)

Ala sismique (Zonage sismique,

rcurrence, effets de site,

classe de l'ouvrage)

Nature de la structure valuer

(Gomtrie, matriaux,

mthodes constructives)

valuation des Dommages

(Approches d'ensemble,

approches cibles)

Risque =Ala*Vulnrabilit*Valeur



1.2.1. Principes de base des approches d'ensemble

Les approches d'ensemble ont pour but d'valuer le niveau de dommage obtenu

dans un type de structure en fonction de l'intensit sismique. Ces mthodes se basent donc

sur un triptyque Typologie-Intensit-Dommage. Les trois tapes de cette approche sont

explicites dans la Figure 2 .

Figure 2: valuation du bti existant Dmarche des approches d'ensemble.

1.2.1.1. tape 1 : Conditions de site La dfinition de la typologie doit tre effectue de manire simple et rapide afin

de permettre le recensement de zones l'chelle d'un quartier, d'une ville :

La description du bti provient donc essentiellement d'un diagnostic visuel ;

les principales informations tant la nature des constructions (bton, bois, mtal) et leurs spcificits structurelles (contreventement, hauteur, symtrie);

Les relevs effectus sur de grands nombres de btiments permettent ainsi de transcrire le comportement moyen d'un type de structures.



L'intensit de la sollicitation sismique dfinit la puissance du scnario sismique dont on cherche caractriser la nocivit sur le bti tudi. Plusieurs indicateurs peuvent tres employs, tels que l'acclration maximale du signal, sa magnitude ou son nergie, ou encore son intensit macroscopique ;

Le (micro)zonage correspond un dcoupage gographique prenant en compte la nature des constructions et/ou l'activit sismique et ses spcificits (effets de sites). La qualit de ce zonage est directement lie la prcision de l'analyse de vulnrabilit.

1.2.1.2. tape 2 : Matrice de probabilit de dommage (MPD)

La prvision du niveau de dommage est essentiellement dduite de statistiques provenant du retour d'exprience (observations post-sismiques) sur des structures de typologies semblables. Ces statistiques servent la cration de bases de donnes appeles "Matrices de Probabilit de Dommage" (MPD).

1.2.1.3. tape 3 : valuation de la vulnrabilit

L'intensit sismique correspondant l'ala envisag et la typologie du bti concern servent de donnes d'entre dans la MPD. Celle-ci renvoie le niveau de dommage moyen attendu. Le caractre statistique et probabiliste des MPD ncessite la prise en compte des incertitudes sur la fiabilit de la prdiction afin d'exprimer la probabilit d'atteindre chaque niveau de dommage.

1.2.2. Approches cibles : Analyse mcanique des structures

Si les approches d'ensemble permettent d'valuer synthtiquement la vulnrabilit sismique du bti l'chelle d'une zone, l'valuation d'une structure particulire ncessite une expertise dtaille. Le travail de l'expert consiste alors quantifier la capacit mcanique d'un ouvrage et son comportement face un ala sismique.

Ce type d'analyse s'appuie essentiellement sur une modlisation numrique de la structure. Une connaissance prcise de la structure est donc requise. Pour ce fait, plusieurs techniques d'analyse sont utilises, parmi lesquelles on cite :

la mthode statique non linaire : "Pushover"

La mthode dynamique

Dans ce qui suit, je vais aborder la premire mthode et lutiliser dans mon cas dtude, mais en ce qui concerne la mthode dynamique, je vais seulement donner une vision gnrale sur sa procdure parce quelle a une relation avec la premire.

1.2.2.1. Description de lanalyse "Pushover"

L'analyse statique par pousse progressive (Pushover), consiste imposer un chargement latral croissant de manire monotone sur une face de l'ouvrage et d'en tudier la rponse notamment en termes de dplacement en tte et d'effort tranchant la base.

L'intrt de cette mthode est galement de fournir une estimation du comportement dynamique de la structure par la dtermination de son "point de performance" ou "dplacement cible".



1.2.2.1.1. Chargement et rponse de la structure

Figure 3 : Mthode Pushover - (a) Exemple de chargement latral sur une structure et (b) Exemple

d'volution Force-Dplacement.

Le chargement appliqu a pour objectif de reprsenter l'action des forces d'inertie sur la structure. Lintensit de celui-ci augmente au cours de l'analyse jusqu' atteindre un dplacement cible. Ce chargement est bas gnralement sur la premire dforme modale ou bien sur une rpartition uniforme.

1.2.2.1.2. Hypothse de base de lanalyse PUSHOVER

Lanalyse statique Pushover est base sur lhypothse que la rponse de la structure peut tre assimile la rponse dun systme un seul degr de libert quivalent, ce qui implique que la rponse est fondamentalement contrle par un seul mode de vibration et la forme de ce mode demeure constante durant la dure du sisme.

Les chercheurs ont montr que ces hypothses donnent de bons rsultats concernant la rponse sismique (dplacement maximale) donne par le premier mode de vibration de la structure simul un systme linaire quivalent.

Figure 4: Hypothse de l'analyse Pushover.



1.2.2.1.3. But de lanalyse PUSHOVER Le but de lanalyse PUSHOVER est de dcrire le comportement rel de la

structure et dvaluer les diffrents paramtres en termes de sollicitations et dplacements dans les lments de la structure.

Lanalyse PUSHOVER est suppose fournir des informations sur plusieurs caractristiques de la rponse qui ne peuvent tre obtenues par une simple analyse lastique, on cite :

Lestimation des dformations dans le cas des lments qui doivent subir des

dformations inlastiques afin de dissiper de lnergie communique la structure par le mouvement du sol.

La dtermination des sollicitations relles sur les lments fragiles, telles que les

sollicitations sur les assemblages de contreventements, les sollicitations axiales sur les poteaux, les moments sur les jonctions poteau-poutre, les sollicitations de cisaillement.

Les consquences de la dtrioration de la rsistance des lments sur le

comportement global de la structure ce qui permet de dterminer les points forts et les points faibles de notre structure.

Lidentification des zones critiques dans lesquelles les dformations sont supposes

tre grandes

1.2.2.1.4. Point de performance

La recherche du point de performance de la structure vise prdire, partir dune analyse statique non linaire, les conditions de fonctionnement (effort tranchant la base, dplacements en tte) que subira la structure au cours dune sollicitation dynamique. Gnralement, le point de performance est utilis comme indicateur de dommage.

1.2.2.1.5. Dtermination de la courbe de capacit

La courbe de capacit d'une structure reprsente leffort horizontal la base du btiment en fonction du dplacement. En gnral, elle est forme dune phase caractre lastique linaire suivie par une phase non linaire correspondant la formation des rotules de flexion et de cisaillement, jusquau moment de la rupture. Le dveloppement de la courbe de capacit selon l'analyse Pushover, bas sur l'application d'un chargement latral statique monotone croissant quivalent, dpend directement de la rponse modale de la structure.



Figure5: Niveaux de performance structurale. Courbe globale de capacit Pushover .

1.2.2.2. Les tudes faites sur lanalyse Pushover

La plupart des procdures de lanalyse non linaire simplifies utilises pour l'valuation de la performance sismique utilisent lanalyse Pushover et / ou reprsentation relle de la structure quivalente SSDDL. Toutefois, lanalyse Pushover implique certaines approximations dont la fiabilit et l'exactitude de la procdure doivent tre identifies. cet effet, les chercheurs ont tudi divers aspects de l'analyse Pushover pour identifier les limites et les faiblesses de la procdure et les procdures proposes pour lamlioration de lanalyse Pushover, en tenant en compte les effets des modles de charge latrale, les modes plus levs et les mcanismes de dfaillance, etc.

Krawinkler et Seneviratna ont men une tude dtaille qui prsente les avantages, les inconvnients et l'applicabilit de l'analyse Pushover en considrant divers aspects de la procdure. Les concepts de base et les principales hypothses sur lesquelles l'analyse Pushover est fonde sont : l'estimation de dplacement cible de la structure SPDDL par le passage SSDDL quivalent et les facteurs de modification applique ; l'importance du modle de charge latrale sur les prvisions de Pushover ; les conditions dans lesquelles les prvisions de Pushover sont adquates ou non ; et les informations obtenues par l'analyse Pushover qui ont t identifis.

La comparaison des rsultats de lanalyse Pushover et l'analyse dynamique non linaire a dmontr que l'analyse Pushover fournit de bonnes prvisions de demande sismique des structures de faible hauteur ayant une distribution uniforme de comportement non lastique sur toute sa hauteur.

Chopra et Goel ont dvelopp une procdure damlioration de l'analyse de Pushover nomme : Analyse Modale de Pushover (AMP) qui est bas sur la thorie de la dynamique des structures. Tout d'abord, la procdure a t applique aux btiments



linairement lastiques et il a t montr que la procdure est quivalente l'analyse du spectre de rponse bien connue. Ensuite, la procdure a t tendue l'estimation des demandes parasismiques des systmes inlastique en dcrivant les hypothses et les approximations.

Gupta a propos la procdure modale adaptative de Pushover qui tient compte des effets des modes plus levs ainsi que les limitations d'analyse Pushover. La mthode propose n'importe quelle tape, est identique l'analyse du spectre de rponse.

Jan, Liu et Kao ont propos une procdure d'analyse Pushover de limite suprieure pour estimer la demande sismique des btiments grande hauteur en considrant les effets des modes suprieurs. Dans cette procdure, les rapports de contribution lastique dplacement-rponse des modes plus levs par rapport au mode fondamental est d'abord obtenu pour un ensemble d'enregistrements de sisme et le nombre de modes qui dominent la rponse de dplacement est dtermine partir de l'enveloppe des courbes de taux de contribution. Ensuite, une analyse Pushover utilise le modle des nouvelles formules de charge latrale et de dplacement cible compte tenu de la contribution des modes suprieurs ainsi que le mode fondamental est excut pour estimer la demande sismique.



CCCCHAPITRE HAPITRE HAPITRE HAPITRE IIIIIIII ::::

VVVVISION ISION ISION ISION GNRALEGNRALEGNRALEGNRALE SUR SUR SUR SUR LA LA LA LA

MTHODEMTHODEMTHODEMTHODE DYNAMIQUEDYNAMIQUEDYNAMIQUEDYNAMIQUE



1. Gnralits

1.1. Paramtres de rigidit

Vis vis des mouvements du sol, les structures se comportent comme des oscillateurs dont les modes propres doscillation dpendent notamment de la raideur (ou rigidit) des lments de la structure.

La raideur des diffrents lments de la structure est un des paramtres fondamentaux du comportement dynamique des structures qui doit tre pris en considration par le projet architectural en amont des calculs de vrification.

La dformation des lments est le rapport de la force exerce sur la raideur (k).

Avec :F :Force en [N] ;

X : Dplacement en [m] ;

K :Raideur en [N/m].

1.2. Bilan nergtique dune structure en mouvement

En termes de forces, on peut dire que les forces dinerties Fi doivent tre quilibres par les forces de rappel Fr (qui permettent la structure de revenir sa position dorigine aprs larrt des sollicitations externes) et par les forces dissipes Fd (sous forme de chaleur) pendant le mouvement. Si lquilibre nest pas assur il y a rupture.

Figure 6 : Reprsentation schmatique de lquilibre des forces en prsence dans la structure, quilibre ncessaire pour la rsistance de la structure au sisme.

Lnergie des oscillations doit donc tre entirement absorbe par la structure. Cette absorption se fait par deux mcanismes distincts lors des dformations de la structure :

Le stockage de lnergie communique : Il sagit dune nergie potentielle (Ep) qui sera restitue sous la forme dnergie cintique pour ramener la structure sa position dorigine.

F = k.Xk = F/X


La dissipation dnergie :forme de chaleur sous leffet des dformations lastiques de lamortissement (frottements internes la matire)

Figure 7 : Schma des mcanismes dabsorption de lnergie des oscillations par la structure.

2. Systme un seul degr de libert

Les caractristiques physiques essentielles de toute structure lastique linaire soumise un chargement dynamique F(t) sont: sa masse, ses proprits lastiques (rigidit ou bien souplesse) et son mcanisme de dperdition modle simplifi un seul degr de rsistance lastique au dplacement est reprsente par le ressort sans masse, de rigidit K et le mcanisme de dperdition

Figure 8: Systme dynamique lmentaire.

Ce qui correspond pour un btiment un seul tage, au schma suivant:

Figure 9 : Schma idalis dun btiment

2.1. tablissement

L'quation de mouvement des SSDd'quilibre de toutes les forces agissant sur ces systmes. Ces forces sont d'une part la force



La dissipation dnergie : une partie de lnergie du sisme est dissipe(Eur sous leffet des dformations lastiques de la structure

lamortissement (frottements internes la matire).

des mcanismes dabsorption de lnergie des oscillations par la structure.

un seul degr de libert

Les caractristiques physiques essentielles de toute structure lastique linaire soumise un chargement dynamique F(t) sont: sa masse, ses proprits lastiques (rigidit ou bien souplesse) et son mcanisme de dperdition d'nergie (ou amortissement). Pour le

un seul degr de libert, la masse M est localise dans le bloc rigide, la rsistance lastique au dplacement est reprsente par le ressort sans masse, de rigidit K et le mcanisme de dperdition d'nergie, par l'amortissement C.

Figure 8: Systme dynamique lmentaire.

Ce qui correspond pour un btiment un seul tage, au schma suivant:

Figure 9 : Schma idalis dun btiment un tage

tablissement de l'quation du mouvement

de mouvement des SSDDL peut tre exprime directement par l'quation d'quilibre de toutes les forces agissant sur ces systmes. Ces forces sont d'une part la force

Page 26

une partie de lnergie du sisme est dissipe(Ed) sous la structure : il sagit de

des mcanismes dabsorption de lnergie des oscillations par la structure.

Les caractristiques physiques essentielles de toute structure lastique linaire soumise un chargement dynamique F(t) sont: sa masse, ses proprits lastiques (rigidit

d'nergie (ou amortissement). Pour le la masse M est localise dans le bloc rigide, la

rsistance lastique au dplacement est reprsente par le ressort sans masse, de rigidit K

L peut tre exprime directement par l'quation d'quilibre de toutes les forces agissant sur ces systmes. Ces forces sont d'une part la force



d'excitation (charge applique) F(t)et d'autre part, les trois forces engendres et relies respectivement au dplacement, la vitesse et l'acclration.

Pour la majorit des structures et pour des "petites" longations (ou contraction), il existe

une relation linaire entre la force et l'longation (contraction), cette relation est donne

par: F= k.x

Tout comme le ressort conserve de l'nergie, les structures possdent des moyens pour

dissiper de l'nergie. Ces moyens sont appels mcanismes d'amortissement. La nature

exacte de l'effet amortissement d'une structure est gnralement impossible dterminer.

Parmi les nombreuses formulations et modlisations introduites jusqu' prsent, la plus

accepter dans l'analyse dynamique des structures est le modle linaire visqueux. La force

d'amortissement Fa est donne par Fa = c.x.

Avec :C : la constante d'amortissement et son unit est (N.sec/m).

Lorsque la masse m du SSDDL est carte de sa position d'quilibre, elle est soumise

une force d'inertie (force d'Alembert) Fi = m.x".

En rsum, la masse est soumise l'action des forces suivantes s'opposant son mouvement:

La force de rappel du ressort -k.x ;

La force d'amortissement -c.x' ;

La force d'inertie -m.x" .

Do l'quation du mouvement :

2.1.1. Mouvement libre non amorti

Lorsquaucune force extrieure ne sapplique la masse et que la viscosit est nglige, lquation scrit :

ou

Avec : : pulsation propre du systme (en rad/s). = La solution de lquation diffrentielle scrit sous la forme :

Les constantes dintgration A et B sont dtermines laide des conditions initiales sur la

vitesse(x0) et le dplacement(x0) : A=x0 /0 et B=x0

m.x"+c.x'+k.x=F(t)

x=A sin (0 t)+ Bcos((((0 t)

M.x" +k.x=0 x" +0.x=0


Figure 10 : Oscillateur libre non amorti

2.1.2. Mouvement libre

Lorsquon tient compte dun amortissemen

Soit

Nous nous intressons ici uniquement coefficient damortissement reste infrieur 1.

La solution de lquation diffrentielle scrit maintenant :

Avec :D====0.... est la pulsation du systme amorti.Les constantes dintgration valent

Le systme amorti oscille donc une pulsation lgrement infrieure la pulsation du Systme non amorti (Figurecas pour des systmes instables), lamplitude du mouvement dcrot dans le temps de exponentielle (en atteignant une amplitude nulle mais pour un temps infini).

x= = = = (AsinDt + + + + Bcos

M.x"+c.x'+k.x=0

x"+20 x'+ 0.x=0



Figure 10 : Oscillateur libre non amorti.

Mouvement libre amorti

compte dun amortissement visqueux, lquation scrit

en introduisant le coefficient damortissement

Nous nous intressons ici uniquement aux systmes sous-critiques pour lesquels le coefficient damortissement reste infrieur 1.

La solution de lquation diffrentielle scrit maintenant :

est la pulsation du systme amorti.

Les constantes dintgration valent :A=x0 + x0 /0et B=x0 Le systme amorti oscille donc une pulsation lgrement infrieure la pulsation

ure 11). Si lamortissement est positif (ce qui nest parfois pas le des systmes instables), lamplitude du mouvement dcrot dans le temps de

(en atteignant une amplitude nulle mais pour un temps infini).

Figure 11 : Oscillateur libre amorti.

cosD t)e0t

M.x"+c.x'+k.x=0

.x=0

Page 28

t visqueux, lquation scrit :

damortissement.

critiques pour lesquels le

Le systme amorti oscille donc une pulsation lgrement infrieure la pulsation ). Si lamortissement est positif (ce qui nest parfois pas le

des systmes instables), lamplitude du mouvement dcrot dans le temps de faon (en atteignant une amplitude nulle mais pour un temps infini).



1. Systme plusieurs degrs de libert 3.1. Gnralits

Une structure peut tre modlise et sa rponse analyse en utilisant un modle un seul degr de libert si la masse est essentiellement concentre en un point pouvant se dplacer, en translation ou rotation, uniquement dans une seule direction ou, si le systme en entier est contraint, (par le type d'appui et le chargement extrieur) de faon ne permettre qu'un seul mode de dplacement. Certains types de structures tels que les chteaux deau surlevs ou les btiments de forme simple un tage, se comportent approximativement comme des systmes un degr de libert. Mais pour la plupart des structures (grands btiments, ponts, chemines, ), il n'en est pas ainsi. En ralit, les structures sont des systmes continus et possdent ainsi un nombre infini de degrs de libert.

En gnral, la masse peut tre considre comme localise en certains points pouvant se dplacer de plusieurs manires. Les coordonnes de dplacement constituent les degrs de libert pour les structures ainsi modlises. Dans certains cas cependant, la masse du systme est rpartie partout de manire pratiquement uniforme; on peut alors prfrer une autre mthode pour limiter le nombre de degrs de libert. Cette mthode est fonde sur l'hypothse selon laquelle la dforme peut tre exprime comme une combinaison linaire de certains motifs de dplacement; ces motifs jouent alors le rle de coordonnes gnralises dans lesquelles on exprime les dplacements de la structure.

La mthode de superposition modale peut tre aisment applique aux systmes linaires plusieurs degrs de libert. Cette mthode pratique d'analyse dynamique consiste reprsenter le systme initial, sur une base linaire, par des systmes un seul degr de libert chacun; chaque instant, la rponse du systme est donne par une combinaison linaire des systmes de base.

Enfin, il nous reste signaler que, comme il a t fait pour l'oscillateur simple, l'tude de l'oscillateur multiple est faite dans le cas de l'excitation sismique.

2.2. Calcul en domaine linaire

2.2.1. Modlisation

Considrons la structure suivante reprsentant un btiment n tages, avec les hypothses simplificatrices suivantes:

Les hauteurs des tages sont prises gales: H1= H2 == Hn = H La masse totale de la structure est suppose concentre au niveau des tages, les

masses des poteaux tant reportes ces niveaux Les masses mi des tages sont prises gales: m1= m2 == mn = m Les tages sont infiniment rigides en rotation, si bien qu'ils ne peuvent se dplacer

que dans le sens horizontal. Par consquent, chaque tage prsenta un seul degr de libert en dplacement et la structure ainsi modlise possde au total n degrs de libert.


L'ensemble des poteaux de chaque tage tranchant.

Le mode propre fondamental de vibration de la structure, en lasticit, est considr linaire.

L'amortissement de la structure est du type visqueux Figure 12 : Structure plusieurs degrs de

par rapport au sol, (c): Dplacement relatif de l'tage i

Compte tenu de ces hypothses, les caractristiques de la structure sont dtermines comme suit:

Dans le cas de concentration de masses, diagonale mais, la matrice de rigidit symtrique par rapport la diagonale. Quant la matrice d'amortissement, elle est difficile exprimer en pratique, si bien que dans les mthodes pratiques d'analyse, ses lments ne sont pas calculs sur la base des proprits d'amortissement "local" dans le voisinage des degrs de libert. Au lieu de cela, l'amortissement est communment exprim en termes de

taux d'amortissement critique

2.2.2. quations

Pour le modle n dscrire sous forme matricielle comme suit:

[M]. {X} +[C]. {X}+ [K]. {X}= {F(t)}



L'ensemble des poteaux de chaque tage i prsente une rigidit ki

Le mode propre fondamental de vibration de la structure, en lasticit, est considr

L'amortissement de la structure est du type visqueux.

Figure 12 : Structure plusieurs degrs de libert :(a): Modlisation, (b): Dplacements des tages par rapport au sol, (c): Dplacement relatif de l'tage i.

Compte tenu de ces hypothses, les caractristiques de la structure sont dtermines

Dans le cas de concentration de masses, la matrice de masses [M]diagonale mais, la matrice de rigidit [K] ne l'est pas en gnral; par contre, elle est souvent symtrique par rapport la diagonale. Quant la matrice d'amortissement, elle est difficile

ue, si bien que dans les mthodes pratiques d'analyse, ses lments ne sont pas calculs sur la base des proprits d'amortissement "local" dans le voisinage des degrs de libert. Au lieu de cela, l'amortissement est communment exprim en termes de

d'amortissement critique.

quations du mouvement

Pour le modle n degrs de libert de la figure 12, l'quation dcrire sous forme matricielle comme suit:

(3-1)+[C]. {X}+ [K]. {X}= {F(t)}

Page 30

l'effort

Le mode propre fondamental de vibration de la structure, en lasticit, est considr

libert :(a): Modlisation, (b): Dplacements des tages

Compte tenu de ces hypothses, les caractristiques de la structure sont dtermines

[M] de la structure est ne l'est pas en gnral; par contre, elle est souvent

symtrique par rapport la diagonale. Quant la matrice d'amortissement, elle est difficile ue, si bien que dans les mthodes pratiques d'analyse, ses lments ne

sont pas calculs sur la base des proprits d'amortissement "local" dans le voisinage des degrs de libert. Au lieu de cela, l'amortissement est communment exprim en termes de

quation dquilibre peut



Avec: [M] : la matrice de masse de la structure ;

[K] : la matrice de rigidit de la structure ;

[C] : la matrice damortissement de la structure ;

{F(t)} : le vecteur force extrieure ;

{X} : le vecteur dplacement du systme ;

{X} : le vecteur vitesse du systme ;

{X} : Le vecteur acclration du systme.

Dans le cas o la structure est soumise une excitation dappui (sisme par exemple), le chargement extrieur est donn sous forme d'acclrations du sol Xs (t)et l'quation (3-1) devient: (3-2)

O: {1} :le vecteur colonne des units correspondant au nombre de degrs de libert.

2.2.2.1. Pulsations naturelles et modes propres

Comme pour les systmes un degr de libert, la premire tape dans l'analyse des systmes plusieurs degrs de libert consiste tudier les systmes libres non amortis. Ce genre de systme sans amortissement ni de charge extrieure, qui est pratiquement inexistant, est utilis pour la dtermination des pulsations naturelles et modes propres de la structure. Dans ce cas, l'quation (3-1) devient :

(3-3)

Le processus de rsolution conduit un systme homogne d'quations algbriques

linaires de la forme: (3-4)

Pour une solution non triviale de ce problme, le dterminant des coefficients multiplicatifs des inconnues {ai} doit tre nul, c'est--dire: (3-5)

Les racines ide cette "quation caractristique" fournissent les n pulsations naturelles i du systme.

A chaque pulsation naturelle i est associ un mode propre de vibration {ai}qui peut tre dtermin, en termes de valeurs relatives, l'aide de l'quation (3-4). Les vecteurs {ai} correspondant aux racines ireprsentent les "formes modales" (vecteurs propres) du systme dynamique.

2.2.2.2. Analyse modale

[M]. {X} +[C]. {X}+ [K]. {X}=-[M]. {1}.Xs (t)

[M]. {X} + [K]. {X}=0

[[K]- i.[M]].{ai} = {0}

|[K]- .[M]|=0


N'tant que des valeurs relatives, les amplitudes de vibration dans un mode normal peuvent tre"normalises". Dans une certaine mesure, cette normalisation est une question de choix et la formule suivante est particulirement adapte dans le cas gnral:

Avec: : la composante normalise

Pour une question de commodit, les diffrents modes normaux peuvent tre arrangs sous forme de matrice connue sous le nom de "matrice modale" :

Dans ce cas, la proprit d'orthogonalit par rapport la matrice des masses estpar:

Avec: : la matrice transpose de [I] : la matrice unit.

Il faut noter que cette proprit est galement assure pour las'crit dans ce cas:

La propritd'orthogonalit dela matrice modale par rapport la matrice

d'amortissement s'crit :

et l'quation suivante permet de dterminer les constantes ai pour n'importe quelle valeur de correspondant un nombre donn de modes:

L'importance de la proprit d'orthogonalit des matrices de masse, de rigidit et d'amortissement, rside essentiellement dans le fait qu'elles permettent le des quations du systme gnral qui rgit le mouvement de l



N'tant que des valeurs relatives, les amplitudes de vibration dans un mode normal peuvent tre"normalises". Dans une certaine mesure, cette normalisation est une question de choix

particulirement adapte dans le cas gnral:

(3-6)

la composante normalisei du vecteur modal j.


Dans ce cas, la proprit d'orthogonalit par rapport la matrice des masses est

(3-7-a)

la matrice transpose de ;

Il faut noter que cette proprit est galement assure pour la matrice de rigidit et

(3-7-b)

a propritd'orthogonalit dela matrice modale par rapport la matrice

(3-7-c)

et l'quation suivante permet de dterminer les constantes ai pour n'importe quelle valeur correspondant un nombre donn de modes:

(3-7-d)

L'importance de la proprit d'orthogonalit des matrices de masse, de rigidit et d'amortissement, rside essentiellement dans le fait qu'elles permettent le des quations du systme gnral qui rgit le mouvement de la structure . Ce dcouplage

=

. [M]. = [I]

. [K]. =.[I]

. [C]. = 2...[I]

Page 32

N'tant que des valeurs relatives, les amplitudes de vibration dans un mode normal peuvent tre"normalises". Dans une certaine mesure, cette normalisation est une question de choix


Dans ce cas, la proprit d'orthogonalit par rapport la matrice des masses est exprime

matrice de rigidit et

a propritd'orthogonalit dela matrice modale par rapport la matrice

et l'quation suivante permet de dterminer les constantes ai pour n'importe quelle valeur

d)

L'importance de la proprit d'orthogonalit des matrices de masse, de rigidit et d'amortissement, rside essentiellement dans le fait qu'elles permettent le "dcouplage"

a structure . Ce dcouplage



consiste transformer les quations d'origine couples (c'est--dire avec des variables dpendantes l'une de l'autre) en un systme d'quations dcouples dans lequel chaque quation contient une seule inconnue fonction du temps.

Pour ce faire, il est ncessaire dans un premier temps d'exprimer la solution en termes de modes normaux multiplis par des facteurs dterminant la contribution de chaque mode. Dans le cas gnral des systmes forcs amortis, ces facteurs sont des fonctions gnrales du temps qu'on note z(t); ce qui donne, en notation matricielle:

(3-8) O: est la matrice modale obtenue dans la rsolution du systme libre non amorti.La substitution de l'quation prcdente et ses drives dans l'quation gnrale (3-1) conduit : (3-9)

En prmultipliant cette dernire quation par le transpos du nime vecteur modal

et en utilisant laproprit d'orthogonalit des modes par rapport [M], [C]et[K], on aboutit :

(3-10-a) ou, alternativement: (3-10-b) ou bien, dans le cas d'excitation sismique : (3-10-c) Avec :

Mi====. [M].{}(3-11-a)

Ki===={}. [K].{}==== i. Mi (3-11-b)

Ci===={}. [C].{}====2i Mi (3-11-c)

Fi (t)===={}.{F(t)}(3-11-d)

i===={}

.[].{}

{}.[].{}

:"facteur de participation modale" (3-11-e)

{X}=[]. {z}= {}. Z+ {}. Z++ {}. Z

[M]. []. {z} +[C]. []. {z} + [K]. []. {z}= {F(t)}

Mi .zi+Ci .zi+Ki.zi====Fi (t)

zi+2i . zi +i .zi====()

zi+2i .zi+i .zi==== ----i.Xs (t)



On est donc en prsence d'un systme d'quations dcouples (i = 1, , n) dont la

rsolution nous donne les diffrents zqui nous permettent de calculer les dplacements

xpar le biais de la relation (3-8).

N.B:N.B:N.B:N.B:

Un systme N degrs de librt possde N frquences relles et N modes

propres associs.

Les modes constituent une base orthogonale complte qui permet

dexprimer un dplacement quelconque du systme en fonction des

dformes modales.

Aprs calcul des rponses modales,on ne concerve que les modes qui

donnent des efforts notables,gnralement les trois premiers.



CCCCHAPITRE HAPITRE HAPITRE HAPITRE IIIIIIIIIIII ::::

PPPPRSENTATION DE LA RSENTATION DE LA RSENTATION DE LA RSENTATION DE LA

STRUCTURE TUDIESTRUCTURE TUDIESTRUCTURE TUDIESTRUCTURE TUDIE ET ET ET ET

SONSONSONSON DIMENSIONNEMENTDIMENSIONNEMENTDIMENSIONNEMENTDIMENSIONNEMENT



1. Description de la structure tudie et donnes de calcul

La structure que je vais traiter dans cette tude de cas est un btiment de type R+2 usage dhabitation avec une terrasse accessible aux habitants.

1.1. Caractristiques gomtriques

Les caractristiques gomtriques de ce btiment sont :

EN PLAN :(voir annexe n 1)

TAGES : RDC :

Longueur en plan----------------10.00 m Longueur en plan------------10.00 m Largeur en plan-------------------9.57 m Largeur en plan---------------8.47 m

EN LVATION :

Hauteur du RDC----------------------------------3.00 m. Hauteur dtage courant -----------------------3.00 m.

1.2. Caractristiques du sol dassise

Le sol d'assise de la construction est un sol de lithologie htrogne, daprs le rapport du laboratoire de la mcanique des sols :

La contrainte du sol est sol = 1.5 bars pour un ancrage D = 2,00 m.

1.3. Caractristiques des matriaux

1.3.1. Bton

1.3.1.1. Composition du bton

La composition ordinaire pour un mtre cube du bton est :

350 kg/m3 de ciment de classe CPJ45.

400 litres de sable de diamtre 0/5.

800 litres de gravier de diamtre 15/25.

175 litres deau de gchage.

1.3.1.2. Rsistance la compression

Le bton est dos 350Kg/m3 ayant une rsistance la compression 28 j :fc28 = 25 MPa

1.3.1.3. Rsistance caractristique la traction

La rsistance caractristique la traction du bton 28 : f tj=0.6+0.06fcjpour cj40MPa.

fc28=25MPa donc f t28 =2.1MPa.[BAEL91] 1.3.1.4. Les Contrainte Limites de compression du bton

En se rfrant au rglement du BAEL. 91 on distingue deux tats limites.



Etat limite ultime E.L.U :

La contrainte ultime du bton en compression est donne par : !" = #,%&'()*+, Avec : -!: Coefficient de scurit tel que : -!=1,5 cas des actions courantes.

Figure13: Diagramme contrainte-dformation du bton Daprs J. PERCHAT, J. ROUX (1993) PRATIQUE DU B.A.E.L. 91 .

Etat limite de service E.L.S :

La contrainte limite de service en compression du bton est limite par la formule :

!".... = 0,61"2%Donc !".... = 15567 1.3.1.5. Contrainte limite de cisaillement

Pour ce projet la fissuration est peu nuisible car le milieu est non agressive : pas trop dhumidit, de condensation, et faible exposition aux intempries donc la contrainte limite de cisaillement prend la valeur suivante :

89... min #,2'(>+, ; 556789... min 3,33567 ; 5567 = 3,33567 1.3.2. Aciers

1.3.2.1. Caractristiques mcaniques de lacier

Lacier choisi pour les armatures longitudinales et transversales est un acier haute adhrence (HA) de nuance FeE400 (limite dlasticit fe = 400MPa).

Le module dlasticit longitudinal de lacier Es est pris gal : Es=2*105MPa.

1.3.2.2. Contrainte limite de lacier

Contrainte limite l ELU :

La contrainte limite ultime dacier est limite par la formule : A = 1B/-A Avec : -A : Coefficient de scurit tel que : -A= 1.15 en situation courante.

Donc E = fG/E = 400 / 1.15 = 347,83 MPa .



Figure14: Diagramme contrainte-dformation dacier Daprs J. PERCHAT, J. ROUX (1993) PRATIQUE DU B.A.E.L. 91 .

Contrainte limite de service :

Les contraintes limites de lacier A sont donnes en fonction de ltat limite douverture des fissures. La fissuration dans ce cas est peu prjudiciable, donc pas de vrification concernant la contrainte limite de service.

1.4. Combinaisons de calcul

Les sollicitations sont calcules en appliquant la structure les combinaisons dactions dfinies ci-aprs :

La combinaison de calcul ltat limite :

Pu = 1,35 G + 1,5 Q.

Les combinaisons de calcul ltat limite service:

Ps = G + Q.

Avec : G : Charge permanente.

Q : Charge dexploitation.

1.5. Les rglements utiliss

1.5.1. B.A.E.L91 Modifi 99 (Bton Arm aux tats limites)

Recueil des rgles techniques pour la conception et le calcul des ouvrages en bton arm suivant la mthode des tats limites.

1.5.2. R.P.S 2000 (Rglement Parasismique Marocain)

Le rglement de construction parasismique RPS2000 a pour objectif de limiter les dommages en vies humaines et en matriels susceptibles de survenir suite des tremblements de terre.

Il dfinit ainsi la mthode de lvaluation de laction sismique sur les btiments prendre en compte dans le calcul des structures et dcrit les critres de conception et les



dispositions techniques adopter pour permettre ces btiments de rsister aux secousses sismiques.

2. Pr- dimensionnement et descente des charges des lments porteurs

Le pr-dimensionnement dun btiment est une tape trs importante, il consiste proposer des dimensions temporaires des diffrents lments de la structure afin de rsister aux sollicitations horizontales dues au sisme et aux sollicitations verticales dues aux charges permanentes et aux surcharges (charges dexploitation).

Pour cela les rglements en vigueur notamment le BAEL 91 modifi99 et le RPS 2000 donnent des fourchettes pour un pr-dimensionnement la fois scuritaire et conomique.

2.1. Les Planchers

Le plancher joue un rle de plateforme porteuse pour ltage considre, de toit pour ltage sous joints, dcran permettant le confort de lhabitant et dlment de stabilit, il doit bien sr tre :

Stable sous leffet de sollicitations extrieures et sous son poids propre ;

Rsistant, pendant toute la dure dutilisation, aux charges permanentes et charges dexploitation ;

tanche leau et surtout en toiture ou la pluie peut saccumuler ;

Rsistant au feu ;

Support de revtement du sol et de plafond.

Pour mon tude de cas, le type du plancher adopter pour tous les niveaux est celui des planchers corps creux, qui est le type le plus utilis dans les btiments usage dhabitation, puisquil offre une bonne isolation thermique et phontique, avec un temps rduit de mise en uvre. Ce type de plancher est constitu par des lments porteurs (poutrelles), et par des lments de remplissage (corps creux ou hourdis). Le tout surmont dune dalle de compression en bton dune paisseur de 4 ou 5cm.

On distingue diffrents types du plancher et qui sont : 12+5, 15+5 ou 16+4, 20+5,25+5.Le premier chiffre indique lpaisseur des hourdis et le deuxime indique lpaisseur de la table de compression.

2.1.1. Pr-dimensionnement des planchers

Figure 15:lments du plancher corps creux.



Daprs les rgles B.A.E.L 91 modifies 99, on doit vrifier la condition de la flche

suivante :

Avec :ht : lpaisseur du plancher. L : tant la largeur du plus grand des planchers suivant le sens des poutrelles.

Application sur le projet :

Au niveau du plancher haut de RDC :(Voir annexe N2)

ht 3.36/22.5 ht 0.149 donc on prend ht =17 cm soit un plancher de 12+5.

Au niveau du plancher haut de 1er et 2me tage : (Voir annexe N2)

ht 3.36/22.5 ht 0.149 donc on prend ht =17cm soit un plancher de12+5.

2.1.2. Charges et surcharges des planchers

Plancher haut du 2me tage (terrasse accessible aux habitants) :

Charges permanentes :

1- Gravillon roul de protection 0.60 KN/m2

2- tanchit multicouche 0.24 KN/m2

3- Forme de pente 1.76 KN/m2

4- Enduit sous plafond 0.20 KN/m2

5- Plancher corps creux (12+5) 2.40KN/m2

Charges dexploitation :

6- Charge dexploitation Q 1.5 KN/m2

On rsume les rsultats trouvs pour le plancher terrasse dans le tableau suivant :

Charge permanente Charge dexploitation

G = 5.20KN/m Q=1.50KN/m2

Tableau 1 : Les charges transmises par le plancher terrasse.

Plancher haut dtage courant (RDC- 1 er tage) :

Charges permanentes :

1- Carrelage 0.40 KN/m2

2- Mortier de pose 0.40 KN/m2

3- Plancher corps creux (12+5) 2.40KN/m2

4- Enduit en pltre 0.20 KN/m2

ht / L 1/ 22,5



5- cloison 1.20 KN/m2

Charges dexploitation :

6- Charge dexploitation "Q" 1.50 KN/m2

On rsume les rsultats trouvs pour le plancher tage courant dans le tableau suivant :

Charge permanente Charge dexploitation

G = 4.60 KN/m Q= 1.50 KN/ m

Tableau 2: Les charges transmises par le plancher tage.

2.2. Les Poutres

Les poutres sont des lments structuraux horizontaux charges de la transmission des charges verticales et horizontales aux lments porteurs (Poteaux et Voiles) ; elles supportent leurs poids propres plus les charges et surcharges transmises par les dalles (hourdis travers les poutrelles), murs, cloisons. Elles doivent avoir des sections rgulires (rectangulaires, carres).

Les poutres utilises dans mon projet sont en Bton Arm et de section rectangulaire, elles seront pr-dimensionnes selon les formules donnes par le B.A.E.L.91 modifi 99 et le RPS 2000.

Soit : L: Longueur de la trave

h: Hauteur de la Poutre Dimensions dune Poutre

b: Largeur de la poutre

Figure 16: Dimensions dune poutre.

2.2.1. Pr-dimensionnement des poutres

Selon les rgles B.A.E.L 91modifies 99, la hauteur totale des poutres est donne par :

Pour les poutres isostatiques :

L/15 h L /10



Pour les poutres continues :

Gnralement, on distingue trois cas pour le pr-dimensionnement en fonction du chargement de la poutre :

Figure 17: chargement des poutres a : non charg, b : peu charg, c : trop charg.

Pour une poutre non charge (a) sa hauteur gale 1/15 de sa porte : h= L/15 ;

Pour une poutre peu charge (b) sa hauteur gale 1/12 de sa porte : h= L/12 ;

Pour une poutre trop charge (c) sa hauteur gale 1/10 de sa porte : h= L/10 ;

Dautre part il faut fixer les largeurs des poutres une valeur b qui vrifie les

conditions de RPS2000, suivantes :

b/h 0.25 m ;

b 0.20 m ;

b bc+hc/2.

Avec : bc : La dimension de la section du poteau perpendiculaire laxe de la poutre;

hc : La dimension de la section du poteau parallle laxe de la poutre.

L /16 h L /12



Application sur le projet :

Pour la poutre N7 au niveau du plancher haut-RDC, elle est charge des deux cots et sa longueur L=542cm.

Donc sa hauteur est :h=L/10=54,2 on adopte une hauteur h=55cm.

Et pour sa largeur b>20 cm, on adopte la valeur minimale b=25 cmb/h=0,45> 0,25 vrifi.

Donc la poutre N7 prend comme section 25*55.

Figure18:Poutre N7 sur le plan coffrage.

On rsume les rsultats trouvs pour notre structure dans le tableau suivant :

Tableau 3:Rcapitulatif de pr-dimensionnement des poutres.

2.2.2. Descente de charges des poutres

La charge supporte par une poutre porteuse, dans le cas ou le plancher est en corps creux, est la somme des charges de la moiti des deux rives de la poutre.

En tenant en compte des charges semblables au niveau de chaque tage la formule de cette charge est :

Avec :Qp: la charge dexploitation unitaire par mtre carr sur plancher ; Gp : la charge permanente unitaire par mtre carr sur plancher ;

Dsignation L en [m] b en [m] h en [m]

N1 3 0,25 0,35

N2 3,76 0,25 0,35

N3 3,76 0,25 0,45

N6 5,42 0,25 0,50

N7 5,42 0,25 0,55

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