2.4

Dérivée et continuité

Pour qu’une fonction f (x) soit dérivable en x = a,il est nécessaire que f (x) soit continue en x = a.

Théorème 2.1 :

Si f (x) est une fonction dérivable en x = a, alors f (x) est continue en x = a

On peut déduire de ce théorème que :si f (x) n’est pas continue en x = a, alors elle n’est pas dérivable en x = a.

On dit qu’une fonction f (x) est dérivable en x = a si la limite suivante existe.

Et on sait qu’elle existe si :

Limite à gauche = Limite à droite:

Exemple (animé) d’une fonction continue f (x) dérivable en x = a.

Exemple (animé) d’une fonction f (x) continue présentant un point anguleux en x = a, et donc non dérivable en x = a.

L’exemple précédent illustre bien qu’une fonction f (x) peut être continue en x = aet ne pas être dérivable en x = a.

On montre d’abord que f(x) est continue en x = 2.

lim𝑥→2−

𝑓 (𝑥 )= lim𝑥→2−

𝟐 𝒙𝟐+𝟏=𝟐 (𝟐 )𝟐+𝟏=𝟗  

lim𝑥→ 2+¿ 𝑓 (𝑥 )= lim

𝑥 →2+¿ 𝟎 ,𝟓 𝒙𝟐+𝟕=𝟎 ,𝟓(𝟐)𝟐+𝟕=𝟗  

¿ ¿¿¿

lim𝑥→2−

𝑓 (𝑥 )= lim𝑥→2+¿ 𝑓 (𝑥 )=9⇒ lim

𝑥→ 2𝑓 (𝑥 )=9  

¿ ¿

𝒇 (𝟐)¿𝟎 ,𝟓 (𝟐 )𝟐+𝟕=𝟗  

𝑙𝑖𝑚𝑥→2

𝑓 (𝑥 )=9= 𝑓 (2)⇒ 𝑓 (𝑥 ) est   continue   en  x  = 2.  

Traitons cet exemple algébriquement

On montre ensuite que, bien que f(x) estcontinue en x = 2, elle n’y est pas dérivable.

𝑓 (𝑥 ) est   dé rivable   en   x  = 2  ssi   lim∆𝑥→ 0

𝑓 (2+∆ 𝑥 )− 𝑓 (2)∆ 𝑥

existe .

lim∆ 𝑥→0−

𝒇 (𝟐+∆ 𝒙 )− 𝒇 (𝟐)∆ 𝑥

= lim∆ 𝑥→0−

[𝟐 (𝟐+∆ 𝒙 )𝟐+𝟏 ]−𝟗∆𝑥

= lim∆𝑥→0−

[𝟐(𝟒+𝟒∆ 𝒙+(∆ 𝒙 )𝟐)+𝟏 ]−𝟗∆ 𝑥

𝒇 (𝟐)¿𝟎 ,𝟓 (𝟐 )𝟐+𝟕=𝟗  

¿ lim∆ 𝑥→ 0−

𝟖+𝟖∆ 𝒙+𝟐 (∆ 𝒙 )𝟐+𝟏−𝟗∆𝑥

= lim∆𝑥→ 0−

𝟖∆ 𝒙+𝟐 (∆ 𝒙 )𝟐

∆ 𝑥= lim∆ 𝑥→ 0−

∆ 𝒙(𝟖+𝟐∆ 𝒙)∆ 𝑥

=¿ ¿𝟖lim

∆ 𝑥→0+¿ 𝒇 (𝟐+∆ 𝒙 )− 𝒇 (𝟐)∆𝑥

= lim∆ 𝑥→0+ ¿ [𝟎 ,𝟓 (𝟐 +∆𝒙 )𝟐+𝟕]−𝟗

∆𝑥= lim

∆ 𝑥 →0+ ¿ [𝟎 ,𝟓 ( 𝟒+ 𝟒 ∆𝒙 +(∆ 𝒙 )𝟐) +𝟕 ]−𝟗∆𝑥

¿ ¿¿

¿ ¿

¿

¿ lim∆ 𝑥→ 0+¿ 𝟐+𝟐∆ 𝒙+𝟎 ,𝟓 (∆ 𝒙 )𝟐+𝟕−𝟗

∆ 𝑥= lim

∆𝑥→ 0+¿ 𝟐∆ 𝒙+𝟎,𝟓 (∆ 𝒙 )𝟐

∆𝑥= lim∆ 𝑥→ 0+¿ ∆ 𝒙( 𝟐+ 𝟎 ,𝟓∆ 𝒙)

∆ 𝑥=¿¿¿

¿¿

¿¿

¿𝟐

lim∆ 𝑥→0−

𝒇 (𝟐+∆ 𝒙 )− 𝒇 (𝟐)∆ 𝑥

≠ lim∆𝑥→ 0+¿ 𝒇 (𝟐+∆ 𝒙 )− 𝒇 (𝟐 )

∆ 𝑥⇒ 𝑓 (𝑥 ) n ′ est   pas  d é rivable  en   x =2. ¿

¿

Exemple d’une fonction continue mais non dérivable en x = acar elle présente une tangente verticale en x = a.

Voir exemple 2.14

Exercice

Déterminer les valeurs réelles de x pour lesquelles la fonction f (x) n’est pas dérivable.

x = -1 : point anguleux

x = 0 : point anguleux

x = 1 : f(x) discontinue

Une fonction f(x) n’est pas dérivable en x = a si l’on a un des cas suivants: 

f(x) n’est pas continue en x = a f(x) change brusquement de direction en ce point

(il y a un point anguleux en x = a)

f(x) admet une tangente verticale en ce point.

2.5

Premières formules de dérivation

On a vu que la dérivée d’une fonction f (x) est une fonction qui donne la pente de latangente à la courbe en tout point d’abscisse x. On l’obtient en faisant tendre Δx vers 0dans l’expression donnant la pente des sécantes.

Dérivée d’une fonction constante f(x) = k, k R

Théorème 2.2 : Si f(x) = k, k , alors (formule 1)

Exemples :

R

Dérivée de la fonction identité f (x) = x.

La pente de la droite f (x) = x est 1. Ainsi, la pente des sécantes en tout point d’abscisse x est de 1. Aussi, la pente de toute tangente à un point d’abscisse x sera de 1: f ’(x) =1.

Théorème 2.3 : Si f(x) = x, alors (formule 2)

Considérant le paragraphe précédent, sauriez-vous calculerles dérivées des droites suivantes ?

3 5 - 5 - 1

Bref, les dérivées représentent les pentes de ces droites.

Dérivée de la fonction puissance f (x) = xn , où n est un nombre réel.

Théorème 2.8 : Si f(x) = xn, alors (formule 8)

Exemples : calculer la dérivée des fonctions suivantes.

a) f(x) = x3

b) g(x) = x-3

c) h(x) = 1/ x3

d) i(x) = x1/3

𝒇 ′ (𝒙 )=𝟑 𝒙𝟑−𝟏

𝒇 ′ (𝒙 )=𝟑 𝒙𝟐

𝒈 ′ (𝒙 )=−𝟑 𝒙−𝟑−𝟏

𝒈 ′ (𝒙 )=−𝟑 𝒙−𝟒

𝒈 ′ (𝒙 )=−𝟑𝒙𝟒  

𝒉 (𝒙 )=𝒙−𝟑

𝒊 ′ (𝒙 )=𝟏𝟑𝒙

𝟏𝟑−𝟏

𝒉′ (𝒙 )= −𝟑𝒙𝟒  

𝒊 ′ (𝒙 )=𝟏𝟑𝒙−𝟐𝟑

𝒊 ′ (𝒙 )= 𝟏

𝟑 𝒙𝟐𝟑

ou  𝟏

𝟑𝟑√𝒙𝟐

Théorème 2.8 : Si f(x) = xn, alors (formule 8)

f) k(t) = t2 i )𝒏 (𝒓 )= 𝟏

√𝒓𝟑

j )𝒐 (𝒙 )=𝒙=𝒙𝟏

𝒋(𝒙 )=𝒙𝟏/𝟑

𝒌 ′ (𝒕 )=𝟐𝒕

𝒍 (𝒙)=𝒙𝟏/𝟐

𝒍 ′ (𝒙 )=𝟏𝟐𝒙𝟏 /𝟐−𝟏

=𝟏𝟐𝒙−𝟏 /𝟐

𝒍 ′ (𝒙 )=𝟏

𝟐 𝒙𝟏 /𝟐   ou  𝟏

𝟐√𝒙

¿𝟏𝒕𝟏 /𝟐=𝒕−𝟏/𝟐

𝒎′ (𝒕 )=−𝟏𝟐

𝒕−𝟏𝟐−𝟏

=−𝟏𝟐

𝒕−𝟑𝟐

𝒎 ′(𝒕)=−𝟏𝟐𝒕𝟑/𝟐   ou  

−𝟏

𝟐 √𝒕𝟑

¿𝟏𝒓𝟑/𝟐

𝒏 ′ (𝒓 )=−𝟑𝟐

𝒓−𝟑𝟐−𝟏

=−𝟑𝟐

𝒓−𝟓/𝟐

𝒏′ (𝒓 )= −𝟑𝟐𝒓𝟓 /𝟐=

−𝟑

𝟐√𝒓𝟓

𝒐′ (𝒙 )=𝟏 𝒙𝟏−𝟏=𝟏𝒙𝟎=𝟏

¿𝒓−𝟑/𝟐

Dérivée du produit d’une constante par une fonction.

Théorème 2.4 : Soit la fonction f(x) = k g(x) où g(x) est une fonction dérivable et k est une constante, alors

(formule 3)

Exemples : a)

b)

c)

𝒅𝒇𝒅𝒙

=𝒅𝒅𝒙

(𝒌 ∙𝒈 )=𝒌 ∙ 𝒅𝒈𝒅𝒙

Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions.

Théorème 2.5 : Soit f(x) et g(x) deux fonctions dérivables, alors

(formule 4)

et

(formule 5)

Exemples : a)

Note : on peut généraliser ce théorème à la dérivée d’une chaîne d’additions et de soustractions.

Exercices : Pages 126 et 127 : no. 15 a b c d e g j l ; no. 16 a b c e

𝒅𝒅𝒙

( 𝒇 +𝒈 )=𝒅𝒇𝒅𝒙

+𝒅𝒈𝒅𝒙

𝒅𝒅𝒙

( 𝒇 −𝒈 )=𝒅𝒇𝒅𝒙

−𝒅𝒈𝒅𝒙

c )𝑑𝑑𝑡

[8 𝑡 ( 2√𝑡−3 ) ]

d )𝑑𝑑𝑡 [ 1

𝑡−

12

𝑡3 ]

¿−1

𝑡2 +36

𝑡 4

¿𝑑𝑑 𝑡

[𝑡−1−12𝑡−3 ]

¿−1 𝑡− 2+3 6 𝑡−4

¿ −𝑡2+36𝑡 4

¿ 36−𝑡 2

𝑡4

¿(6−𝑡)(6+𝑡)

𝑡 4

Exercice 1 :a) En quel point de la courbe décrite par la fonction la tangente

est-elle horizontale ?

𝒇 (𝟑 )=𝟐𝟑−

𝟑(𝟑 )𝟐

=𝟐𝟑−𝟑𝟗

=𝟑𝟗

=𝟏𝟑. Donc au point (3, 1/3).

(3, 1/3)

b) Déterminer l’équation de la droite normale à la courbe de au point d’abscisse t = 1.

Exercices : Page 127 : no. 18

R é p .:𝒚=−𝟏𝟒𝒕−

𝟑𝟒

Comme e point d’abscisse t = 1 est (1,-1).

On a trouvé tantôt que La pente de la tangente au point

(1,-1) est donnée par La pente de la droite normaleest donc de

𝑦=−14𝑡+𝑏

(1,-1):−1=−14

(1)+𝑏

−1=−14

+𝑏

−1+14=𝑏⇒

−34

=𝑏

Exercice 2 : Déterminer les coordonnées des points pour lesquels la fonction admet une tangente horizontale.

𝑓 (𝑥 )=𝑥−2

2−𝑥−3+ 𝑥

−4

2𝑓 ′ (𝑥 )=−1

𝑥3 + 3𝑥4 −

2𝑥5 =

−𝑥2+3 𝑥−2𝑥5

admet une tangente horizontale pour des valeurs de x telles que

𝑓 (𝑥 )= 1

2 𝑥2−1

𝑥3 +1

2𝑥4

𝑓 (𝟏 )= 1

2(𝟏)2−1

(𝟏)3 +1

2(𝟏)4

𝑓 (𝟏 )=12−1+

12=0

(𝟏 ,0)

𝑓 (𝑥 )= 1

2 𝑥2−1

𝑥3 +1

2𝑥4

𝑓 (𝟐 )= 1

2(𝟐)2−1

(𝟐)3 +1

2(𝟐)4

𝑓 (𝟐 )=18−

18+

13 2

=1

32

(𝟐 ,132

)

admet une tangente horizontale a

Rép. : (1, 0) et (2, 1/32)

(formule 6) La formule 6 peut aussi s’écrire :

Soit f(x) et g(x) deux fonctions dérivables, alors

𝒅𝒅𝒙

( 𝒇 ∙𝒈 )=𝒅𝒇𝒅𝒙

∙𝒈+ 𝒇 ∙𝒅𝒈𝒅𝒙

Exemple : Déterminer la dérivée de la fonction

On aurait pu développer et dériver par la suite

Exercice 1 : Déterminer la dérivée de la fonction

Rép.:

Exercice 2 : Déterminer la dérivée de la fonction

Rép.:

(formule 7) 𝒅𝒅𝒙 ( 𝒇𝒈 )=

𝒅𝒇𝒅𝒙

∙𝒈− 𝒇 ∙𝒅𝒈𝒅𝒙

𝒈𝟐

Soit f(x) et g(x) deux fonctions dérivables, alors

La formule 7 peut aussi s’écrire :

Exemple : Déterminer la dérivée de la fonction

Réponse : Lire les exemples 2.29 et 2.32

Exercice : Déterminer la dérivée de la fonction

On n’emploiera pas toujours la formule du quotient même si la fonction à dériver a la forme d’un quotient :

Exemples : Dériver

2. 𝑓 (𝑥 )= 𝑥2−5 𝑥+8𝑥2

1. 𝑓 (𝑥 )=−8

𝑥54

𝑓 (𝑥 )=−8 𝑥− 5

4

𝑓 ′ (𝑥 )=−8(−54

)𝑥− 5

4− 1

𝑓 ′ (𝑥 )=10 𝑥− 9

4 = 10𝑥9 /4

𝑓 (𝑥 )=𝑥2

𝑥2 −5𝑥𝑥2 + 8

𝑥2

𝑓 (𝑥 )=1−5𝑥

+8

𝑥2

𝑓 (𝑥 )=1−5𝑥−1+8𝑥−2

𝑓 ′(𝑥 )=0+5 𝑥− 2−16𝑥− 3

𝑓 ′(𝑥 )=5

𝑥2−16

𝑥3

Exercice

Réponses : (-3, -54) et (5, 50)

La droite .Uaura donc une pente de 45.Cà la courbe de la fonction. On cherche donc les x tels que= 45. Ce qui se traduit par :

𝑓 ′ (𝑥 )=3𝑥2−6 𝑥=45

⟺3 𝑥2−6 𝑥−45=0

⟺3 (𝑥2−2 𝑥−15)=0

⟺3 (𝑥+3)(𝑥−5)=0

. Et on remplace ces valeurs dans .

𝒚=−𝟏𝟒𝟓

𝒙+𝟕

Exercices : Page 127 no. 21 et 24.Réponses : (-3, -54) : y = 45x + 81 et (5, 50) : y = 45x - 175

𝒚=𝟒𝟓𝒙+𝒃(-3,-54):−𝟓𝟒=𝟒𝟓(−𝟑)+𝒃

On a trouvé tantôt que la pente de la tangente

au point (-3, -54) est d

−𝟓𝟒=−𝟏𝟑𝟓+𝒃−𝟓𝟒+𝟏𝟑𝟓=𝒃

𝟖𝟏=𝒃

𝒚=𝟒𝟓𝒙+𝟖𝟏

𝒚=𝟒𝟓𝒙+𝒃(-3,-54):𝟓𝟎=𝟒𝟓 (𝟓)+𝒃

𝟓𝟎=𝟐𝟐𝟓+𝒃𝟓𝟎−𝟐𝟐𝟓=𝒃−𝟏𝟕𝟓=𝒃

𝒚=𝟒𝟓𝒙−𝟏𝟕𝟓

On sait que la pente de la tangente au point (5, 50)

est d