انفصم األول

انمسائم

المتباينات قديمها وحديثها 6

المسائل 7

أثثد صذح انمرثاىح (١

𝑎2 + 1 − 𝑏 2 + 𝑏2 + 1 − 𝑐 2 + 𝑐2 + 1 − 𝑎 2 ≥3 2

2

,𝑎نكم األعذاد انذممح 𝑏, 𝑐 .

Kõmal

٢ )[Dino Şerbănescu] إرا كان 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ، فأثثد أن 0,1

𝑎𝑏𝑐 + 1 − 𝑎 1 − 𝑏 1 − 𝑐 < 1

Junior TST 2002, Romania

٣ )[Mircea Lascu] افشض أن 𝑎, 𝑏, 𝑐 أعذاد دممح ذذمك 𝑎𝑏𝑐 = أثثد أن. 1

𝑏 + 𝑐

𝑎+

𝑐 + 𝑎

𝑏+

𝑎 + 𝑏

𝑐≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 3

Gazeta Matematică

𝑥4إرا كان نهمعادنح ( ٤ + 𝑎𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑏𝑥 + 1 = جزس دمم وادذ عه األلم، 0

𝑎2 فأثثد أن + 𝑏2 ≥ 8

Tournament of the Towns, 1993

𝑥3جذ انممح انعظم نهممذاس ( ٥ + 𝑦3 + 𝑧3 − 3𝑥𝑦𝑧 عهما تأن 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1

,𝑥دث 𝑦, 𝑧أعذاد دممح .

المتباينات قديمها وحديثها 8

,𝑎نركه (٦ 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦, 𝑧 أعذادا دممح مىجثح تذث 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = أثثد أن . 1

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 2 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 ≤ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

Ukraine, 2001

٧ )[Darij Grinberg] إرا كاود 𝑎, 𝑏, 𝑐دممح مىجثح فأثثد أن ا أعذاد

𝑎

𝑏 + 𝑐 2+

𝑏

𝑐 + 𝑎 2+

𝑐

𝑎 + 𝑏 2≥

9

4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

٨ )[Hojoo Lee] افشض أن𝑎, 𝑏, 𝑐أثثد أن. أعذاد غش سانثح

𝑎4 + 𝑎2𝑏2 + 𝑏4 + 𝑏4 + 𝑏2𝑐2 + 𝑐4 + 𝑐4 + 𝑐2𝑎2 + 𝑎4

≥ 𝑎 2𝑎2 + 𝑏𝑐 + 𝑏 2𝑏2 + 𝑐𝑎 + 𝑐 2𝑐2 + 𝑎𝑏

Gazeta Matematică

,𝑎إرا كاود ( ٩ 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح تذث 𝑎𝑏𝑐 = ، فأثثد أن 2

𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 ≥ 𝑎 𝑏 + 𝑐 + 𝑏 𝑐 + 𝑎 + 𝑐 𝑎 + 𝑏

مر ذرذمك انمساواج ؟

JBMO 2002 Shortlist

المسائل 9

١٠ )[Joan Tomescu] افشض أن 𝑥, 𝑦, 𝑧 > أثثد أن . 0

𝑥𝑦𝑧

1 + 3𝑥 𝑥 + 8𝑦 𝑦 + 9𝑧 𝑧 + 6 ≤

1

74

مر ذرذمك انمساواج ؟

Gazeta Matematică

١١ )[Mihai Piticari, Dan Popescu] أثثد أن

5 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≤ 6 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 + 1

,𝑎نكم 𝑏, 𝑐 > 𝑎 ذذمك 0 + 𝑏 + 𝑐 = 1 .

١٢ )[Mircea Lascu] فشض أن ا𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ ℝ دث 𝑛 ≥ 𝑎 و 2 > إرا كان . 0

𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 = 𝑎 وكان 𝑎2

𝑛−1 𝑥1

2 + 𝑥22 + ⋯ + 𝑥𝑛

2 فأثثد أن ≥

𝑥𝑖 ∈ 0,2𝑎

𝑛𝑖 نكم ∈ 1,2, … , 𝑛

١٣ )[Adrian Zahariuc] نكم 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ أثثد صذح انمرثاىح 1,2

𝑏 𝑎

4𝑏 𝑐 − 𝑐 𝑎+

𝑐 𝑏

4𝑐 𝑎 − 𝑎 𝑏+

𝑎 𝑐

4𝑎 𝑏 − 𝑏 𝑐≥ 1

المتباينات قديمها وحديثها 10

,𝑎إرا كاود (١٤ 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح ذذمك 𝑎𝑏𝑐 ≤ ، فأثثد أن1

𝑎

𝑏+

𝑏

𝑐+

𝑐

𝑎≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

١٥ ) [Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu] نركه𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦, 𝑧 أعذادا دممح مىجثح

𝑎 تذث + 𝑏 + 𝑐 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 و 𝑎 + 𝑥 ≥ 𝑏 + 𝑦 ≥ 𝑐 + 𝑧 أثثد أن

𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 ≥ 𝑎𝑐 + 𝑥𝑧

١٦ )[Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu] نركه 𝑎, 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح مىجثح تذث

𝑎𝑏𝑐 = أثثد أن . 1

1 +3

𝑎 + 𝑏 + 𝑐≥

6

𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐

Junior TST 2003, Romania

,𝑎نركه (١٧ 𝑏, 𝑐 أثثد أن. أعذادا دممح مىجثح

𝑎3

𝑏2+

𝑏3

𝑐2+

𝑐3

𝑎2≥

𝑎2

𝑏+

𝑏2

𝑐+

𝑐2

𝑎

JMBO 2002 Shortlist

𝑛نركه (١٨ > ,𝑥1 و 3 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 أثثد أن. 1 أعذادا مىجثح داصم ظشتها ساو

1

1 + 𝑥1 + 𝑥1𝑥2+

1

1 + 𝑥2 + 𝑥2𝑥3+ ⋯ +

1

1 + 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛𝑥1> 1

Russia, 2004

المسائل 11

١٩) [Marian Tetiva] نركه 𝑥, 𝑦, 𝑧أعذادا دممح مىجثح ذذمك انششغ

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 2𝑥𝑦𝑧 = أثثد ما ه 1

𝑥𝑦𝑧 ≤1

8 (أ)

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤3

2 (ب)

𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 ≤3

4≤ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 (ج)

𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 ≤1

2+ 2𝑥𝑦𝑧 (د)

٢٠ )[Marius Olteanu] افشض أن 𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3, 𝑥4 , 𝑥5 ∈ ℝذذمك

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = أثثد أن ، 0

𝑐𝑜𝑠𝑥1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥3 + 𝑐𝑜𝑠𝑥4 + 𝑐𝑜𝑠𝑥5 ≥ 1

Gazeta Matematică

٢١ )[Florina Cârlan, Martin Tetiva] إرا كاود𝑥, 𝑦, 𝑧 > وذذمك انششغ 0

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 فأثثد أن

𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + +𝑦𝑧 ≥ 3 + 𝑥2 + 1 + 𝑦2 + 1 + 𝑧2 + 1

٢٢ )[Laurenţiu Panaitopol]أثثد أن

1 + 𝑥2

1 + 𝑦 + 𝑧2+

1 + 𝑦2

1 + 𝑧 + 𝑥2+

1 + 𝑧2

1 + 𝑥 + 𝑦2≥ 2

,𝑥نكم األعذاد انذممح انر ذذمك 𝑦, 𝑧 > −1

JBMO, 2003

المتباينات قديمها وحديثها 12

,𝑎فشض أن ا(٢٣ 𝑏, 𝑐 > 𝑎 وذذمك 0 + 𝑏 + 𝑐 = أثثد أن. 1

𝑎2 + 𝑏

𝑏 + 𝑐+

𝑏2 + 𝑐

𝑐 + 𝑎+

𝑐2 + 𝑎

𝑎 + 𝑏≥ 2

,𝑎فشض أن ا(٢٤ 𝑏, 𝑐 ≥ 𝑎4 وذذمك 0 + 𝑏4 + 𝑐4 ≤ 2 𝑎2𝑏2 + 𝑏2𝑐2 + 𝑐2𝑎2 .

𝑎2أثثد أن + 𝑏2 + 𝑐2 ≤ 2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 .

Kvant, 1988

𝑛نركه (٢٥ ≥ ,𝑥1فشض أن األعذاد انذممح انمىجثح ا و2 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ذذمك

1

𝑥1 + 1998+

1

𝑥2 + 1998+ ⋯ +

1

𝑥𝑛 + 1998=

1

1998

أثثد أن

𝑥1𝑥2 … 𝑥𝑛𝑛

𝑛 − 1≥ 1998

Vietnam, 1998

٢٦ )[Marian Tetiva] إرا كاود األعذاد انذممح انمىجثح 𝑥, 𝑦, 𝑧 ذذمك انششغ

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑥𝑦𝑧 فأثثد صذح ما ه

𝑥𝑦𝑧 ≥ (أ) 27

𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 ≥ (ب) 27

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ (ج) 9

𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 ≥ 2 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + (د) 9

المسائل 13

,𝑥افشض أن (٢٧ 𝑦, 𝑧 أثثد أن . 3 أعذادا دممح مىجثح مجمىعها ساو

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥

Russia, 2002

٢٨ )[D.Olteanu] نركه𝑎, 𝑏, 𝑐أثثد أن . أعذادا دممح مىجثح

𝑎 + 𝑏

𝑏 + 𝑐∙

𝑎

2𝑎 + 𝑏 + 𝑐+

𝑏 + 𝑐

𝑐 + 𝑎∙

𝑏

2𝑏 + 𝑐 + 𝑎+

𝑐 + 𝑎

𝑎 + 𝑏∙

𝑐

2𝑐 + 𝑎 + 𝑏≥

3

4

Gazeta Matematică

,𝑎أل أعذاد دممح مىجثح (٢٩ 𝑏, 𝑐أثثد صذح انمرثاىح

𝑎

𝑏+

𝑏

𝑐+

𝑐

𝑎≥

𝑐 + 𝑎

𝑐 + 𝑏+

𝑎 + 𝑏

𝑎 + 𝑐+

𝑏 + 𝑐

𝑏 + 𝑎

India, 2002

,𝑎نركه ( ٣٠ 𝑏, 𝑐أثثد أن . أعذادا دممح مىجثح

𝑎3

𝑏2 − 𝑏𝑐 + 𝑐2+

𝑏3

𝑐2 − 𝑎𝑐 + 𝑎2+

𝑐3

𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2≥

3 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

(ألرشح هزا انسؤال ألونمثاد انثهمان انشاظ)

٣١ )[Adnan Zahariuc] إرا كاود األعذاد𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 غش سانثح وذخرهف عه تععها

انثعط، فأثثد أن

𝑥12 + 𝑥2

2 + ⋯ + 𝑥𝑛2 ≥ 𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑥1 + 2𝑛 − 3

المتباينات قديمها وحديثها 14

٣٢ )[Murray Klamkin] أفشض أن 𝑛 ≥ ,𝑥1 ونركه 2 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 أعذادا غش سانثح

جذ انممح انعظم نهممذاس . 1مجمىعها ساو

𝑥12𝑥2 + 𝑥2

2𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛−12 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛

2𝑥1

Crux Mathematicorum

,𝑥1نركه (٣٣ 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑘+1 أعذادا مىجثح ذذمك … ≥ 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑘 نكم 𝑘.

تذث ذرذمك انمرثاىح 𝑐جذ أكثش لمح نهثاتد

𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 ≤ 𝑐 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛

. 𝑛نكم

IMO Shortlist, 1986

,𝑎نركه ( ٣٤ 𝑏, 𝑐 و 𝑥, 𝑦, 𝑧أعذادا دممح مىجثح تذث 𝑎 + 𝑥 = 𝑏 + 𝑦 = 𝑐 + 𝑧 = 1

أثثد أن

𝑎𝑏𝑐 + 𝑥𝑦𝑧 1

𝑎𝑦+

1

𝑏𝑧+

1

𝑐𝑥 ≥ 3

Russia, 2002

٣٥ )[Viorel Vâjâitu, Alexandru Zaharescu] نركه 𝑎, 𝑏, 𝑐أنأثثد . أعذادا دممح مىجثح

𝑎𝑏

𝑎 + 𝑏 + 2𝑐+

𝑏𝑐

𝑏 + 𝑐 + 2𝑎+

𝑐𝑎

𝑐 + 𝑎 + 2𝑏≤

1

4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

Gazeta Matematică

المسائل 15

,𝑎إرا كاود (٣٦ 𝑏, 𝑐, 𝑑 نهممذاسفادسة انممح انعظم . 1 أعذادا دممح مجمىع مشتعاذها ساو

𝑎3 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑏3 𝑐 + 𝑑 + 𝑎 + 𝑐3 𝑑 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑑3 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

٣٧ )[Walther Janous] نركه𝑥, 𝑦, 𝑧أثثد أن. أعذادا دممح مىجثح

𝑥

𝑥 + 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑧 +

𝑦

𝑦 + 𝑦 + 𝑧 𝑦 + 𝑥 +

𝑧

𝑧 + 𝑧 + 𝑥 𝑧 + 𝑦 ≤ 1

Crux Mathematicorum

𝑛افشض أن (٣٨ ≥ 𝑎1 ونركه 2 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑛أثثد أن . أعذادا دممح

𝑎1𝑎24 + 𝑎2𝑎3

4 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑎14 ≥ 𝑎2𝑎1

4 + 𝑎3𝑎24 + ⋯ + 𝑎1𝑎𝑛

4

Iran, 1999

٣٩ )[Mircea Lascu] نركه𝑎, 𝑏, 𝑐أثثد أن . أعذادا دممح مىجثح

𝑏 + 𝑐

𝑎+

𝑐 + 𝑎

𝑏+

𝑎 + 𝑏

𝑐≥ 4

𝑎

𝑏 + 𝑐+

𝑏

𝑐 + 𝑎+

𝑐

𝑎 + 𝑏

,𝑎1نركه (٤٠ 𝑎2, … , 𝑎𝑛 > مه األعذاد انرانح ال عه األلمأثثد أن وادذا. أعذادا صذذح1

3 زذ عه 3

.

𝑎2𝑎1 , 𝑎3

𝑎2 , … , 𝑎𝑛𝑎𝑛−1 , 𝑎1

𝑎𝑛

Adapted after a well-known problem

المتباينات قديمها وحديثها 16

٤١ )[Mircea Lascu, Marian Tetiva]عذاد انذممح انمىجثح افشض أن األ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ذذمك

𝑥𝑦انششغ + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 + 2𝑥𝑦𝑧 = أثثد صذح انمرثاىاخ انرانح. 1

𝑥𝑦𝑧 ≤1

8 (أ)

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥3

2 (ب)

1

𝑥+

1

𝑦+

1

𝑧≥ 4 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 (ج)

𝑧 = 𝑚𝑎𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 دث 1

𝑥+

1

𝑦+

1

𝑧− 4 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥

2𝑧 − 1 2

𝑧 2𝑧 + 1 (د)

٤٢ )[Manlio Marangėlli] إرا كاود𝑥, 𝑦, 𝑧 أعذادا دممح مىجثح، فأثثد أن

3 𝑥2𝑦 + 𝑦2𝑧 + 𝑧2𝑥 𝑥𝑦2 + 𝑦𝑧2 + 𝑧𝑥2 ≥ 𝑥𝑦𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 3

٤٣ )[Gabriel Dospinescu]إرا كاود 𝑎, 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح تذث

𝑚𝑎𝑥 𝑎, 𝑏, 𝑐 − 𝑚𝑖𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≤ ، فأثثد أن 1

1 + 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 + 6𝑎𝑏𝑐 ≥ 3𝑎2𝑏 + 3𝑏2𝑐 + 3𝑐2𝑎

1 −1

𝑛< 𝑎𝑛 < 𝑎𝑘+1 فأثثد أن 1 = 𝑎𝑘 +

𝑎𝑘2

𝑛𝑎𝑜 و =

1

2 ٤٥) إرا كان

TST Singapore

المسائل 17

٤٦ )[Călin Popa] افشض أن𝑎, 𝑏, 𝑐وذذمك 0,1 انفرشجعذادا دممح ف أ

𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = أثثد أن . 1

𝑎

1 − 𝑎2+

𝑏

1 − 𝑏2+

𝑐

1 − 𝑐2≥

3

4

1 − 𝑎2

𝑎+

1 − 𝑏2

𝑏+

1 − 𝑐2

𝑐

٤٧ )[Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu] افشض أن𝑥, 𝑦, 𝑧 ≤ وأن 1

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = أثثد أن . 1

1

1 + 𝑥2+

1

1 + 𝑦2+

1

1 + 𝑧2≤

27

10

𝑥 إرا كان ( ٤٨ + 𝑦 + 𝑧 = ، فأثثد أن 1

1 − 𝑥 2 1 − 𝑦 2 1 − 𝑧 2 ≥ 215𝑥𝑦𝑧 𝑥 + 𝑦 𝑦 + 𝑧 𝑧 + 𝑥

,𝑥افشض أن (٤٩ 𝑦, 𝑧إرا كان . عذادا دممح مىجثح أ𝑥𝑦𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + فأثثد انران 2

𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 ≥ 2 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 (أ)

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤3

2 𝑥𝑦𝑧 (ب)

,𝑥نركه (٥٠ 𝑦, 𝑧 إرا كان . عذادا دممحأ𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = ، فأثثد أن 2

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 𝑥𝑦𝑧 + 2 IMO Shortlist, 1987

المتباينات قديمها وحديثها 18

٥١ )[Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu] افشض أن 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 أعذاد ف

,1,2 أ ذثذم نهمجمىعح σإرا كان . 0,1 انفرشج … , 𝑛 فأثثد صذح انمرثاىح ،

1

1 − 𝑥𝑖≥ 1 +

𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛

𝑛

𝑖=1

∙ 1

1 − 𝑥𝑖 ∙ 𝑥𝜎 𝑖

𝑛

𝑖=1

. أثثد أن 1

1 + 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

= ,𝑥1 أعذادا دممح مىجثح ذذمك انششغ 1 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ٥٢) نركه

𝑥𝑖 ≥ 𝑛 − 1 1

𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

Vojtech Jarnik

٥٣ )[Titu Andreescu] افشض أن𝑛 > ,𝑎1 ونركه 3 𝑎2, … , 𝑎𝑛 عذادا دممح ذذمكأ

𝑎1 انششطه + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 ≥ 𝑛 و 𝑎12 + 𝑎2

2 + ⋯ + 𝑎𝑛2 ≥ 𝑛2 . أثثد أن

𝑚𝑎𝑥 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ≥ 2 USAMO, 1999

٥٤ )[Vasile Cîrtoaje] إرا كاود𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 أعذادا دممح مىجثح، فأثثد أن

𝑎 − 𝑏

𝑏 + 𝑐+

𝑏 − 𝑐

𝑐 + 𝑑+

𝑐 − 𝑑

𝑑 + 𝑎+

𝑑 − 𝑎

𝑎 + 𝑏≥ 0

𝑥𝑦 + 𝑦𝑥 > ,𝑥 ، أثثد أن 1 𝑦 ٥٥) أل عذده دممه مىجثه

France, 1996

المسائل 19

,𝑎إرا كاود (٥٦ 𝑏, 𝑐 فأثثد أن 1 أعذادا مىجثح داصم ظشتها ساو ،

𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 ≥ 4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 1 MOSP, 2001

,𝑎أل أعذاد مىجثح (٥٧ 𝑏, 𝑐 أثثد صذح انمرثاىح

𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 𝑐 + 𝑎 − 𝑏 ≤ 𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎

٥٨ ) [D.P.Mavlo] إرا كاود 𝑎, 𝑏, 𝑐 أعذادا مىجثح، فأثثد أن

3 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 +1

𝑎+

1

𝑏+

1

𝑐+

𝑎

𝑏+

𝑏

𝑐+

𝑐

𝑎≥ 3

𝑎 + 1 𝑏 + 1 𝑐 + 1

1 + 𝑎𝑏𝑐

Kvant, 1988

٥٩) [Gabriel Dospinescu] إرا كاود 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 أعذادا دممح مىجثح داصم ظشتها

، فأثثد أن 1ساو

𝑛𝑛 ∙ 𝑥𝑖𝑛 + 1 ≥ 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 1

𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑛𝑛

𝑖=1

,𝑎نركه ( ٦٠ 𝑏, 𝑐, 𝑑مىجثح وافشض أن ا أعذاد 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = أثثد أن . 1

𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 + 𝑎𝑏𝑐𝑑 ≥ 𝑚𝑖𝑛 1

4,1

9+

𝑑

27

Kvant, 1993

المتباينات قديمها وحديثها 20

,𝑎أل أعذاد دممح (٦١ 𝑏, 𝑐 أثثد صذح انمرثاىح

1 + 𝑎2 2 1 + 𝑏2 2 𝑎 − 𝑐 2 𝑏 − 𝑐 2

≥ 1 + 𝑎2 1 + 𝑏2 1 + 𝑐2 𝑎 − 𝑏 2 𝑏 − 𝑐 2 𝑐 − 𝑎 2

AMM

٦٢ )[Titu Andreescu, Mircea Lascu] نركه𝛼, 𝑥, 𝑦, 𝑧 أعذادا دممح مىجثح تذث

𝑥𝑦𝑧كىن = 𝛼 و 1 ≥ أثثد أن .1

𝑥𝛼

𝑦 + 𝑧+

𝑦𝛼

𝑧 + 𝑥+

𝑧𝛼

𝑥 + 𝑦≥

3

2

, 𝑦1إرا كاود (٦٣ … , 𝑦𝑛 , 𝑥1 و … , 𝑥𝑛 أعذادا دممح ذذمك

𝑥12 + ⋯ + 𝑥𝑛

2 = 𝑦12 + ⋯ + 𝑦𝑛

2 = فأثثد أن 1

𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 2 ≤ 2 1 − 𝑥𝑘𝑦𝑘

𝑛

𝑖=1

Korea, 2001

٦٤ )[Laurenţiu Panaitopol] نركه𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 أعذادا صذذح مىجثح ذخرهف عه

تععها انثعط، أثثد أن

𝑎12 + 𝑎2

2 + ⋯ + 𝑎𝑛2 ≥

2𝑛 + 1

3 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛

TST Romania

المسائل 21

٦٥ )[Călin Popa] إرا كاود 𝑎, 𝑏, 𝑐 فأثثد أن 1 أعذادا دممح مىجثح داصم جمعها ساو ،

𝑏 𝑐

𝑎 3𝑐 + 𝑎𝑏 +

𝑐 𝑎

𝑏 3𝑎 + 𝑏𝑐 +

𝑎 𝑏

𝑐 3𝑏 + 𝑐𝑎 ≥

3 3

4

٦٦ )[Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu] أفشض أن 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 أعذادا دممح ذذمك

1 + 𝑎2 1 + 𝑏2 1 + 𝑐2 1 + 𝑑2 = أثثد أن 1

−3 ≤ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑 + 𝑑𝑎 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 − 𝑎𝑏𝑐𝑑 ≤ 5

أل أعذاد دممح مىجثح ، أثثد صذح انمرثاىح (٦٧

𝑎2 + 2 𝑏2 + 2 𝑐2 + 2 ≥ 9 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 APMO

٦٨ )[Vasile Cîrtoaje]0 إرا كان < 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑧 و 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 + ، فأثثد أن2

1 − 𝑥𝑦 1 − 𝑦𝑧 1 − 𝑥𝑧 ≥ (أ) 0

𝑥2𝑦 ≤ 1, 𝑥3𝑦2 ≤32

27 (ب)

٦٩ )[Titu Andreescu] نركه𝑎, 𝑏, 𝑐 مىجثح تذث دممح أعذادا 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 𝑎𝑏𝑐 .

أثثد أوه عه األلم ذصخ اثىران مه انمرثاىاخ انرانح

2

𝑎+

3

𝑏+

6

𝑐≥ 6 ,

2

𝑏+

3

𝑐+

6

𝑎≥ 6 ,

2

𝑐+

3

𝑎+

6

𝑏≥ 6

TST 2001, USA

المتباينات قديمها وحديثها 22

٧٠ )[Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva]نركه 𝑥, 𝑦, 𝑧 > أعذادا ذذمك 0

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 . أثثد أن

𝑥 − 1 𝑦 − 1 𝑧 − 1 ≤ 6 3 − 10

٧١ )[Marian Tetiva] نركه𝑎, 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح مىجثح ، أثثد أن

𝑎3 − 𝑏3

𝑎 + 𝑏+

𝑏3 − 𝑐3

𝑏 + 𝑐+ +

𝑐3 − 𝑎3

𝑐 + 𝑎 ≤

𝑎 − 𝑏 2 + 𝑏 − 𝑐 2 + 𝑐 − 𝑎 2

4

Moldova TST, 2004

٧٢ )[Titu Andreescu] نركه 𝑎, 𝑏, 𝑐أثثد أن . أعذادا دممح مىجثح

𝑎5 − 𝑎2 + 3 𝑏5 − 𝑏2 + 3 𝑐5 − 𝑐2 + 3 ≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 3

USAMO, 2004

٧٣ )[Gabriel Dospinescu]كه ل𝑛 > ,𝑥1نركه و2 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 أعذادا مىجثح ذذمك

𝑥𝑘

𝑛

𝑘=1

∙ 1

𝑥𝑘

𝑛

𝑘=1

= 𝑛2 + 1

أثثد أن

𝑥𝑘2

𝑛

𝑘=1

∙ 1

𝑥𝑘2

𝑛

𝑘=1

> 𝑛2 + 4 +2

𝑛 𝑛 − 1

المسائل 23

٧٤ )[Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Marian Tetiva] إرا كاود𝑎, 𝑏, 𝑐

مىجثح فأثثد أن دممحأعذادا

𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏𝑐 + 3 ≥ 1 + 𝑎 1 + 𝑏 1 + 𝑐

٧٥) [Titu Andreescu, Zuming Feng] نركه𝑎, 𝑏, 𝑐أثثد أن . أعذادا دممح مىجثح

2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2

2𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 2+

2𝑏 + 𝑎 + 𝑐 2

2𝑏2 + 𝑎 + 𝑐 2+

2𝑐 + 𝑎 + 𝑏 2

2𝑐2 + 𝑎 + 𝑏 2≤ 8

USAMO, 2003

,𝑥أل عذده دممه مىجثه (٧٦ 𝑦 وأل عذده صذذه مىجثه 𝑚, 𝑛.أن أثثد

𝑛 − 1 𝑚 − 1 𝑥𝑚+𝑛 + 𝑦𝑚+𝑛 + 𝑚 + 𝑛 − 1 𝑥𝑚𝑦𝑛 + 𝑥𝑛𝑦𝑚

≥ 𝑚𝑛 𝑥𝑚+𝑛−1𝑦 + 𝑦𝑚+𝑛−1𝑥

Australian-Polish Competition, 1995

,𝑎إرا كان داصم ظشب األعذاد انذممح انمىجثح (٧٧ 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 فأثثد أن 1 ساو ،

𝑎 + 𝑎𝑏𝑐

1 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏𝑐𝑑+

𝑏 + 𝑏𝑐𝑑

1 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑐𝑑𝑒+

𝑐 + 𝑐𝑑𝑒

1 + 𝑐𝑑 + 𝑐𝑑𝑒𝑎

+𝑑 + 𝑑𝑒𝑎

1 + 𝑑𝑒 + 𝑑𝑒𝑎𝑏+

𝑒 + 𝑒𝑎𝑏

1 + 𝑒𝑎 + 𝑒𝑎𝑏𝑐≥

10

3

Crux Mathematicorum

المتباينات قديمها وحديثها 24

٧٨ )[Titu Andreescu] إرا كان 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 0, 𝜋 ، فأثثد صذح انمرثاىح 2

𝑠𝑖𝑛𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑎 − 𝑏) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑎 − 𝑐)

𝑠𝑖𝑛(𝑏 + 𝑐)+

𝑠𝑖𝑛𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑏 − 𝑐) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑏 − 𝑎)

𝑠𝑖𝑛(𝑐 + 𝑎)

+𝑠𝑖𝑛𝑐 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑐 − 𝑎) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑐 − 𝑏)

𝑠𝑖𝑛(𝑎 + 𝑏)≥ 0

TST 2003, USA

,𝑎إرا كاود (٧٩ 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح مىجثح ، فأثثد أن

𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4 + 𝑎2𝑏2 + 𝑏2𝑐2 + 𝑐2𝑎2

≥ 𝑎3𝑏 + 𝑏3𝑐 + 𝑐3𝑎 + 𝑎𝑏3 + 𝑏𝑐3 + 𝑐𝑎3

KMO Summer Program Test, 2001

٨٠ )[Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu] أل 𝑛 > ذمك 𝑘𝑛 جذ أصغش ثاتد ، 2

,𝑎1إرا كاود : انخاصح انرانح 𝑎2, … , 𝑎𝑛فئن 1 داصم ظشتها ساو أعذادا مىجثح

𝑎1𝑎2

𝑎12 + 𝑎2 𝑎2

2 + 𝑎1 +

𝑎2𝑎3

𝑎22 + 𝑎3 𝑎3

2 + 𝑎2 + ⋯ +

𝑎𝑛𝑎1

𝑎𝑛2 + 𝑎1 𝑎1

2 + 𝑎𝑛 ≤ 𝑘𝑛

٨١ )[Vasile Cîrtoaje] إرا كاود𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦, 𝑧أعذادا دممح ، فأثثد صذح انمرثاىح انرانح

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≥2

3 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑥 + 𝑦 + 𝑧

Kvant, 1989

المسائل 25

٨٢ )[Vasile Cîrtoaje] إرا كاود 𝑎, 𝑏, 𝑐 أثثد أن ف. أظالع مثهث ماأطىال

3 𝑎

𝑏+

𝑏

𝑐+

𝑐

𝑎− 1 ≥ 2

𝑏

𝑎+

𝑐

𝑏+

𝑎

𝑐

٨٣ ) [Walther Janous] كه ل𝑛 > ,𝑥1 وافشض أن2 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 أعذادا مىجثح داصم

أثثد أن . 1جمعها ساو

1 +1

𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

≥ 𝑛 − 𝑥𝑖

1 − 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

Crux Mathematicorum

٨٤ )[Vasile Cîrtoaje, Gheorghe Eckstein] نركه𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 مىجثح دممح أعذادا

أثثد أن. 1داصم ظشتها ساو

1

𝑛 − 1 + 𝑥1+

1

𝑛 − 1 + 𝑥2+ ⋯ +

1

𝑛 − 1 + 𝑥𝑛≤ 1

TST 1999, Romania

٨٥ )[Titu Andreescu] نركه𝑎, 𝑏, 𝑐 إرا كان . غش سانثحدممح أعذادا

𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑎𝑏𝑐 = ، فأثثد أن 4

0 ≤ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 − 𝑎𝑏𝑐 ≤ 2 USAMO, 2001

المتباينات قديمها وحديثها 26

٨٦ )[Titu Andreescu] إرا كاود𝑎, 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح مىجثح ، فأثثد صذح انمرثاىح

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

3− 𝑎𝑏𝑐

3≤ 𝑚𝑎𝑥 𝑎 − 𝑏

2, 𝑏 − 𝑐

2, 𝑐 − 𝑎

2

TST 2000, USA

٨٧ )[Kiran Kedlaya] نركه𝑎, 𝑏, 𝑐أثثد أن دممح مىجثح أعذادا ،

𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏𝑐3

3≤ 𝑎 ∙

𝑎 + 𝑏

2∙𝑎 + 𝑏 + 𝑐

3

3

ذمك 𝑘جذ أكثش ثاتد عذدا صذذا مىجثا نس مشتعا كامال ف𝑛 إرا كان (٨٨

1 + 𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝜋 𝑛 > 𝑘

Vietnamese IMO Training Camp, 1995

٨٩ )[Dung Tran Nam] فشض أن ا𝑥, 𝑦, 𝑧مىجثح ذذمك دممح أعذادا

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 3 = 32𝑥𝑦𝑧 . جذ أصغش وأكثش لمح نهممذاس

𝑥4 + 𝑦4 + 𝑧4

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 4

Vietnam, 2004

٩٠ )[George Tsintifas] إرا كاود 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 مىجثح ، فأثثد أن دممح أعذادا

𝑎 + 𝑏 3 𝑏 + 𝑐 3 𝑐 + 𝑑 3 𝑑 + 𝑎 3 ≥ 16𝑎2𝑏2𝑐2𝑑2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 4

Crux Mathematicorum

المسائل 27

٩١ )[Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu] جذ انممح انعظم نهممذاس

𝑎𝑏 𝑛

1 − 𝑎𝑏+

𝑏𝑐 𝑛

1 − 𝑏𝑐+

𝑐𝑎 𝑛

1 − 𝑐𝑎

,𝑎دث 𝑏, 𝑐و 1 مجمىعها أعذاد دممح غش سانثح 𝑛عذد صذخ مىجة .

,𝑎نركه (٩٢ 𝑏, 𝑐أثثد أن . دممح مىجثح أعذادا

1

𝑎 1 + 𝑏 +

1

𝑏 1 + 𝑐 +

1

𝑐 1 + 𝑎 ≥

3

𝑎𝑏𝑐3

1 + 𝑎𝑏𝑐3

٩٣ )[Dung Tran Nam] إرا كاود 𝑎, 𝑏, 𝑐ق ق أعذادا دممح ذخ𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 9 ،

فأثثد أن

2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 𝑎𝑏𝑐 ≤ 10 Vietnam, 2002

,𝑎نركه ( ٩٤ 𝑏, 𝑐أثثد أن . دممح مىجثح أعذادا

𝑎 +1

𝑏− 1 𝑏 +

1

𝑐− 1 + 𝑏 +

1

𝑐− 1 𝑐 +

1

𝑎− 1

+ 𝑐 +1

𝑎− 1 𝑎 +

1

𝑏− 1 ≥ 3

المتباينات قديمها وحديثها 28

٩٥ )[Gabriel Dospinescu] نكه 𝑛 جذ أكثش عذد دمم . 2 عذداصذذا أكثش مه𝑚𝑛

انهزان ذممان انمرثاىح 𝑀𝑛وأصغش عذد دمم

𝑚𝑛 ≤ 𝑥𝑖

𝑥𝑖−1 + 2 𝑛 − 1 𝑥𝑖 + 𝑥𝑖+1

𝑛

𝑖=1

≤ 𝑀𝑛

,𝑥1 نكم مجمىعح أعذاد دممح مىجثح 𝑥2, … , 𝑥𝑛 دث 𝑥0 = 𝑥𝑛 و 𝑥𝑛+1 = 𝑥1 .

٩٦ )[Vasile Cîrtoaje] إرا كاود𝑥, 𝑦, 𝑧أعذادا دممح مىجثح ، فأثثد أن

1

𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2+

1

𝑦2 + 𝑦𝑧 + 𝑧2+

1

𝑧2 + 𝑧𝑥 + 𝑥2≥

9

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 2

Gazeta Matematică

٩٧ )[Vasile Cîrtoaje] إرا كاود𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑مىجثح ، فأثثد أن دممح أعذادا

2 𝑎3 + 1 𝑏3 + 1 𝑐3 + 1 𝑑3 + 1

≥ 1 + 𝑎𝑏𝑐𝑑 1 + 𝑎2 1 + 𝑏2 1 + 𝑐2 1 + 𝑑2

Gazeta Matematică

,𝑎إرا كاود (٩٨ 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح ، فأثثد أن

𝑎 + 𝑏 4 + 𝑏 + 𝑐 4 + 𝑐 + 𝑎 4 ≥4

7 𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4

Vietnam TST, 1996

المسائل 29

,𝑎نركه ( ٩٩ 𝑏, 𝑐 أثثد أن . 1 أعذادا دممح مىجثح داصم ظشتها ساو

1

1 + 𝑎 + 𝑏+

1

1 + 𝑏 + 𝑐+

1

1 + 𝑐 + 𝑎≤

1

2 + 𝑎+

1

2 + 𝑏+

1

2 + 𝑐

Bulgaria, 1997

١٠٠ )[Dung Tran Nam] جذ أصغش لمح نهممذاس 1

𝑎+

2

𝑏+

3

𝑐,𝑎 دث 𝑏, 𝑐 أعذداد دممح

مىجثح ذذمك

21𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 8𝑐𝑎 ≤ 12 Vietnam, 2001

١٠١ )[Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu] افشض أن 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑎, 𝑏, 𝑐 > وذذمك 0

𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 = أثثد أن . 3

𝑎

𝑏 + 𝑐 𝑦 + 𝑧 +

𝑏

𝑐 + 𝑎 𝑧 + 𝑥 +

𝑐

𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑦 ≥ 3

,𝑎إرا كاود ( ١٠٢ 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح مىجثح ، فأثثد أن

𝑏 + 𝑐 − 𝑎 2

𝑏 + 𝑐 2 + 𝑎2+

𝑐 + 𝑎 − 𝑏 2

𝑐 + 𝑎 2 + 𝑏2+

𝑎 + 𝑏 − 𝑐 2

𝑎 + 𝑏 2 + 𝑐2≥

3

5

Japan, 1997

المتباينات قديمها وحديثها 30

١٠٣ )[Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu] نركه 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 أعذادا غش سانثح

. أثثد. هى أصغشها𝑎𝑛وافشض أن

𝑎1𝑛 + 𝑎2

𝑛 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 − 𝑛𝑎1𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛 ≥ 𝑛 − 1

𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1

𝑛 − 1− 𝑎𝑛

𝑛

١٠٤ )[Turkevici] إرا كاود𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑡أعذادا دممح مىجثح ، فأثثد أن

𝑥4 + 𝑦4 + 𝑧4 + 𝑡4 + 2𝑥𝑦𝑧𝑡 ≥ 𝑥2𝑦2 + 𝑦2𝑧2 + 𝑧2𝑡2 + 𝑡2𝑥2 + 𝑥2𝑧2 + 𝑦2𝑡2

Kvant

,𝑎1إرا كاود (١٠٥ 𝑎2, … , 𝑎𝑛 أعذادا دممح، فأثثد صذح انمرثاىح

𝑎𝑖

𝑛

𝑖=1

2

≤ 𝑖𝑗

𝑖 + 𝑗 − 1𝑎𝑖𝑎𝑗

𝑛

𝑖 ,𝑗 =1

,𝑎1افشض أن ( ١٠٦ 𝑎2, … , 𝑎𝑛 ,𝑏1 و 𝑏2, … , 𝑏𝑛ذذمك[1001,2002] ف انفرشج دممح أعذادا

𝑎12 + 𝑎2

2 + ⋯ + 𝑎𝑛2 = 𝑏1

2 + 𝑏22 + ⋯ + 𝑏𝑛

أثثد صذح انمرثاىح 2

𝑎13

𝑏1+

𝑎23

𝑏2+ ⋯ +

𝑎𝑛3

𝑏𝑛≤

17

10 𝑎1

2 + 𝑎22 + ⋯ + 𝑎𝑛

2

TST Singapore

المسائل 31

١٠٧ )[Titu Andreescu, Gabriel Dospinescu] إرا كاود 𝑎, 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح مىجثح

، فأثثد أن 1مجمىعها ساو

𝑎2 + 𝑏2 𝑏2 + 𝑐2 𝑐2 + 𝑎2 ≥ 8 𝑎2𝑏2 + 𝑏2𝑐2 + 𝑐2𝑎2 2

١٠٨ )[Vasile Cîrtoaje] نركه𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 1 أعذادا دممح مىجثح داصم ظشتها ساو .

أثثد أن 1

1 + 𝑎 2+

1

1 + 𝑏 2+

1

1 + 𝑐 2+

1

1 + 𝑑 2≥ 1

Gazeta Matematică

١٠٩ )[Vasile Cîrtoaje] إرا كاود𝑎, 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح مىجثح، فأثثد أن

𝑎2

𝑏2 + 𝑐2+

𝑏2

𝑐2 + 𝑎2+

𝑐2

𝑎2 + 𝑏2≥

𝑎

𝑏 + 𝑐+

𝑏

𝑐 + 𝑎+

𝑐

𝑎 + 𝑏

Gazeta Matematică

١١٠ )[Gabriel Dospinescu] نركه 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 أعذادا دممح وافشض أن 𝑆 مجمىعح

,1,2 جزئح غش خانح مه … , 𝑛 . أثثد أن

𝑎𝑖

𝑖∈𝑆

2

≤ 𝑎𝑖 + ⋯ + 𝑎𝑗 2

1≤𝑖≤𝑗≤𝑛

TST 2004, Romania

المتباينات قديمها وحديثها 32

١١١ )[Dung Tran Nam] نركه 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥2004 ذذمك 1,1− أعذادا دممح ف انفرشج

𝑥13 + 𝑥2

3 + ⋯ + 𝑥20043 = 0 .

𝑥1 جذ انممح انعظم نهممذاس + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥2004 .

١١٢ )[Gabriel Dospinescu, Călin Popa] نركه 𝑛 ≥ ,𝑎1 وافشض أن 2 𝑎2, … , 𝑎𝑛

أثثد أن . 1أعذادا دممح داصم ظشتها ساو

𝑎12 + 𝑎2

2 + ⋯ + 𝑎𝑛2 − 𝑛 ≥

2𝑛

𝑛 − 1∙ 𝑛 − 1

𝑛 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 − 𝑛

١١٣ )[Vasile Cîrtoaje] إرا كاود𝑎, 𝑏, 𝑐 أعذادا دممح مىجثح، فأثثد أن

2𝑎

𝑎 + 𝑏+

2𝑏

𝑏 + 𝑐+

2𝑐

𝑐 + 𝑎≤ 3

Gazeta Matematică

,𝑥أثثد انمرثاىح انرانح أل أعذاد دممح ( ١١٤ 𝑦, 𝑧 .

𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 1

𝑥 + 𝑦 2+

1

𝑦 + 𝑧 2+

1

𝑧 + 𝑥 2 ≥

9

4

Iran, 1996

,𝑥أل ( ١١٥ 𝑦 ∈ أثثد أن 0,1

1 + 𝑥2 + 1 + 𝑦2 + 1 − 𝑥 2 + 1 − 𝑦 2 ≥ 1 + 5 1 − 𝑥𝑦

المسائل 33

١١٦ )[Suranyi] إرا كاود𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 أعذادا دممح مىجثح، فأثثد صذح انمرثاىح

𝑛 − 1 𝑎1𝑛 + 𝑎2

𝑛 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 + 𝑛𝑎1𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛

≥ 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑎1𝑛−1 + 𝑎2

𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛−1

Miklos Schweitzer Competition

,𝑥1نركه (١١٧ 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 أثثد أن . 1 أعذادا دممح مىجثح داصم ظشتها ساو

𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 2

1≤𝑖<𝑗≤𝑛

≥ 𝑥𝑖2 − 𝑛

𝑛

𝑖=1

A generalization of Turkevici’s inequality

١١٨ )[Gabriel Dospinescu]كه ل𝑛 وافشض أن 2 عذدا صذذا أكثش مه 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛

مم عه وكم مىها 1أعذادا مجمىعها 1

𝑛−1 جذ انممح انصغشي نهممذاس .

𝑎1𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛

1 − 𝑛 − 1 𝑎𝑖

𝑛

𝑖=1

المتباينات قديمها وحديثها 34

١١٩ )[Vasile Cîrtoaje] نركه𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 1 أعذادا دممح غش سانثح مم كم مىها عه

وافشض أوها ذذمك انششغ

𝑎 = 𝑎1

2 + 𝑎22 + ⋯ + 𝑎𝑛

2

𝑛≥

3

3

أثثد أن 𝑎1

1 − 𝑎12 +

𝑎2

1 − 𝑎22 + ⋯ +

𝑎𝑛

1 − 𝑎𝑛2

≥𝑛𝑎

1 − 𝑎2

١٢٠ )[Vasile Cîrtoaje, Mircea Lascu] نركه 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦, 𝑧 أعذادا دممح مىجثح

وافشض أوها ذذمك

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = أثثد أن . 4

𝑎𝑏𝑐𝑥𝑦𝑧 <1

36

١٢١ )[Gabriel Dospinescu]كه ل𝑛 > انز ذمك 𝑘𝑛جذ أصغش لمح نهثاتد . 2

1

1 + 𝑘𝑛𝑥1

+1

1 + 𝑘𝑛𝑥2

+ ⋯ +1

1 + 𝑘𝑛𝑥𝑛

≤ 𝑛 − 1

,𝑥1نكم مرراتعح 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 1 مه األعذاد انمىجثح انر ساو داصم ظشتها .

Mathlinks Contest

المسائل 35

١٢٢ )[Vasile Cîrtoaje, Gabriel Dospinescu]كه ل𝑛 > 𝑘𝑛جذ أكثش لمح نهثاتد . 2

1 انز ذمك − 𝑥1 + 1 − 𝑥2 ⋯ 1 − 𝑥𝑛 ≥ 𝑘𝑛𝑥1𝑥2 ⋯𝑥𝑛 نكم مرراتعح

𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 1مجمىع مشتعاذها ساو مه األعذاد انمىجثح انر.