2. performances d'un système : stabilité - précision -...

Automatique - Représentation Externe 2. Performances d’un Système : Stabilité - Précision - Rapidité

TR 2. 1

2. Performances d'un Système : Stabilité - Précision - Rapidité

STABILITE

Condition générale de stabilité Stabilité au sens strict (système asymptotiquement stable, stabilité au sens de Lyapunov) Il y a retour à l'équilibre après disparition de la perturbation. Il est instable s’il n’y revient pas ou s’il s'en écarte. Exemple : pendule simple Autre définition de la stabilité (au sens large) : A entrée bornée correspond une sortie bornée pour le système. Critère général de stabilité des systèmes à TC

y(t) = h(t)h(t)

Temps

1H(p)

Y(p) = H(p)

Fréquence

δ ( )t

Théorème : (hypothèse de causalité) TC : Un système linéaire à TC est stable si et seulement si tous les pôles de sa FT ont leur partie réelle strictement négative.

TD : TC → TD : z e pT= (T : période d’échantillonnage) Un système linéaire à TD est stable si et seulement si tous les pôles de sa FT ont leur module strictement inférieur à 1.


TR 2. 2

Les pôles d'un système caractérisent sa dynamique (stabilité). Les zéros déterminent sa rapidité (phase minimale).

Lieu des pôles de la FT et stabilité (systèmes à TC)

Plus les pôles de la FT sont éloignés de l'axe imaginaire (avec partie réelle < 0), plus le système est stable (et rapide).

Exemple : 2nd ordre (2 pôles)

Pôles Modes (régime libre) (RI) Stabilité

Ym(p)

Re(p)

y

t

Stable

Ym(p)

Re(p)

y

t

Stable

Ym(p)

Re(p)

y

t

Juste instable (oscillant)

Ym(p)

Re(p)

y

t

saturation

Instable

Ym(p)

Re(p)

y

t

saturation

Instable

Ym(p)

Re(p)

y

t

saturation

Instable

Ym(p)

Re(p)

y

t

Juste instable (astatique)


TR 2. 3

Exemple :

3ème ordre (3 pôles) constitué d’un sous-système du 1er ordre (pôle 2p ) et d’un sous-système du 2nd ordre (pôles 1p et

*1p )

Im p

Re p

1p

*1p

2p

Critère algébrique de stabilité de Routh des systèmes à TC

Soit H pN pD p

( )( )( )

= la FT d'un système linéaire continu (≡ à TC)

Q p( ) : polynôme caractéristique de la stabilité

Stabilité de H p( ) : H(p) H pN pD p

( )( )( )

=

Q p D p( ) ( )= Stabilité du Système Bouclé ′H p( ) :

+

-H(p) H'(p)≡

′ =+

=+

=+

H p H pH p

N pD p

N pD p

N pN p D p

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )1 1

Q p N p D p( ) ( ) ( )= +


TR 2. 4

Q p a p a p a p ann

nn( ) = + + + + =−−

11

1 0 0L 0≥na 0>n

Critère de Routh

1. Si certains coeffs ai ≤ 0, Q p( ) a des racines à partie réelle ≥ 0 Le système est donc instable (cas où au moins un ai < 0), ou juste instable (cas où au moins un ai = 0 avec les autres coeffs ≥ 0).

2. Tableau de Routh On

écrit

p n :

p n - 1:

an - 2

an

an - 1

an - 3

an - 4

an - 5

...

...

a 1 si n impairou a 0 si n pair

On

calcule

A1

A2

A3

...

B1

B2

B3

...

...

M1

M2

M3

...

N1

N2

N3

O1

O2

O3

...

...

p n - 2:

p n - 3:

p 2 :

p 1 :

p 0 :

On analyse

-a1 si n pairou a0 si n impair

......

......

Calculs

Pivot : an−1 : A a a a aa

n n n n

n1

1 2 3

1

=−− − −

− A a a a a

an n n n

n2

1 4 5

1

=−− − −

−

Pivot : A1 : B A a a AA

n n1

1 3 1 2

1

=−− −

B A a a AA

n n2

1 5 1 3

1

=−− −

...

Pivot : N1 : O N M M NN1

1 2 1 2

1

=−


TR 2. 5

Théorème

Une CNS de stabilité du système est que tous les coefficients de la 1ère colonne du tableau de Routh soient > 0.

Le nombre de changements de signe des coefficients de la 1ère colonne est égal au nombre de pôles instables.

• Cas particuliers

1. Il apparaît un 0 dans la 1ère colonne seulement :

Un coeff. nul dans la 1ère colonne indique la présence d’une (ou des) racine(s) juste instable(s) ou instable(s) de )( pQ

Poursuite de la construction du tableau : On remplace 0 → ε << 1 et positif

2. Si la construction du tableau de Routh fait apparaître une ligne de 0 sur la ligne pi :

Un coeff. nul dans la 1ère colonne indique la présence d’une (ou des) racine(s) juste instable(s) ou instable(s) de )( pQ

Poursuite de la construction du tableau :

On forme : A p q p q pi i( ) = + ++ −1

12

1 L (puissances de p ≥ 0).

′ = + +−A p r p r pi i( ) 1 22 L (puissances de p ≥ 0)

La ligne de remplacement pi est :

pi : r1 r2 ...


TR 2. 6

Exemple : Stabilité du SB (à retour unitaire et comparateur +/-) de BO H p( ) en fonction du gain K de l’amplificateur de la BO :

Système en Boucle Ouverte (BO) : ( )H p K

p p p( ) =

+ +5 102

Système en Boucle Fermée (BF) : ′ =+ + +

H p Kp p p K

( )5 103 2

Polynôme caractéristique : Q p p p p K( ) = + + +5 103 2 Tableau de Routh :

pppp

3

2

1

0

::::

5110 5− KK

10

00

K

Le Système Bouclé (SB) ′H p( ) est stable si : 0 < K < 2.


TR 2. 7

Critère de stabilité de Nyquist des systèmes à TC

X(p)+

-Y(p)

E(p)H(p) ≡ Y(p)X(p) H'(p)

′ =+

H p H pH p

( ) ( )( )1

Soit : • ′+n : le nombre de pôles à partie réelle > 0 de ′H p( ) ) • n+ : le nombre de pôles à partie réelle > 0 de H(p) • t : le nombre de tours comptés algébriquement dans le sens trigonométrique du lieu de H(p) autour du point -1.

On a : ++ −= 'nnt ou encore : tnn −= ++'

Theorème de Nyquist

Un Système Bouclé est stable ( ( )≡ =+n' 0 ) si et seulement si le nombre t de tours autour du point -1 du lieu de la BO est égal au nombre de pôles à partie réelle > 0 (≡ +n ) de la BO.


TR 2. 8

Exemple 1 : H p Kp a p b p c

( )( )( )( )

=+ + +

0

Im[H(p)]

Re[H(p)]ω =+∞ω=−∞

ω = −0ω= +0

-1

ω t = 0 → Système stable (sens large) en BF ( 0' =+n ) si système stable (sens large) en BO, or ici 0=+n → SB stable

Exemple 2 : H p Kp p b p c

( )( )( )

=+ +

0

Im[H(p)]

Re[H(p)]ω = +∞ω=−∞

ω = −0

ω= +0

-1

ω

t = −2 → Système instable en BF ( 0' >−= ++ tnn , car +n ne peut être <0)


TR 2. 9

Exemple 3 : apKppH+

=)(

0

Im[H(p)]

Re[H(p)]ω = +∞ω=−∞-1

ω

t = 1 → Système stable (sens large) en BF ( 0' =+n ) si système instable en BO avec 1 pôle instable, or ici 0=+n

Critère du revers (critère simplifié, moins général que le critère de Nyquist) Soit à déterminer si un SB )( pH ′ de BO H p( ) est stable (SB à

comparateur +/- : )(1)()(pH

pHpH+

=′ )

. On se restreint à des systèmes stables en BO (au sens large, c’est-à-dire tels que 0=+n ) . On limite le tracé du lieu de Nyquist de la BO pour p restreint à la branche p i= ω (ω > 0) du contour de Bromwich


TR 2. 10

Critère du revers dans le plan de Nyquist Si lorsqu'on parcourt le lieu de la BO H i( )ω dans le sens des ω (ω varie de 0 à +∞), on laisse sur sa gauche le point -1 lorsqu’on se trouve à ω 0 telle que [ ]Arg H i( )ω π0 = − , le SB est stable

Exemple : H p Kp a p b p c

( )( )( )( )

=+ + +

0

Im[H(p)]

Re[H(p)]ω = +∞ω=0

-1

ω

ω 0

0

Im[H(p)]

Re[H(p)]ω = +∞ω=0-1

ω

ω 0

0

Im[H(p)]

Re[H(p)]ω = +∞ω=0-1

ω

ω 0

SB stable SB limite stable SB instable Critère du revers algébrique Soit ω 0 telle que Arg H i[ ( )]ω π0 = − .Si H i( )ω 0 1< : SB stable .Si H i( )ω 0 1= : SB limite stable .Si H i( )ω 0 1> : SB instable

Critère du revers dans le plan de Bode

0 dB

0

−π

H i dB( )ω

ωω 0

ω 0 ω

Arg H i[ ( )]ω

0 dB

0

−π

H i dB( )ω

ωω 0

ω 0 ω

Arg H i[ ( )]ω

0 dB

0

−π

H i dB( )ω

ωω 0

ω 0 ω

Arg H i[ ( )]ω

SB stable SB juste stable SB instable H i dB

dB( )ω 0 0< H i dB

dB( )ω 0 0= H i dBdB( )ω 0 0>

ω 0 : pulsation telle que Arg H i[ ( )]ω π0 = −


TR 2. 11

Critère du Revers dans le plan de Black

−π 0 dB

H i dB( )ω

ω

ω 0

Arg H i[ ( )]ω

−π 0 dB

H i dB( )ω

ω

ω 0

Arg H i[ ( )]ω

−π

0 dB

H i dB( )ω

ω

ω 0

Arg H i[ ( )]ω

SB stable SB juste stable SB instable H i dB

dB( )ω 0 0< H i dB

dB( )ω 0 0= H i dBdB( )ω 0 0>

ω 0 : pulsation telle que Arg H i[ ( )]ω π0 = − Lieu des Racines (lieu d'Evans)

FTBO : H p K N pD p

( ) ( )( )

= ⋅

Stabilité de la FTBF : racines de : D p K N p( ) ( )+ ⋅ = 0 Polynôme caractéristique Q(p) : Q(p) = D(p) + K. N(p) = 0 Lorsque le gain K varie de 0 à +∞ , les racines du polynôme caractéristique décrivent dans le plan complexe le lieu des racines. Exemple :

BO : H p Kp p a

( )( )

=+ → Polynôme caractéristique :

Q(p) = p(p + a) + K = 0 → p ap K2 0+ + =


TR 2. 12

Racines de Q(p) : (∆ ≥ 0 ) :

p a a K

p a a K

1

2

2

2

2 4

2 4

= − + −

= − − −

(∆ < 0 ) :

p a i K a

p a i K a

1

2

2

2

2 4

2 4

= − + −

= − − −

-a K K 0

Im( , )p p1 2

Re( , )p p1 2

K a=2

4 K = 0− a

2

K = +∞

K = +∞

K = 0

Système bouclé Stable ∀K > 0


TR 2. 13

Marges de stabilité Marges de stabilité dans le plan de Nyquist

-1

cercle unité

0

Im[ ( )]H iω

Re[ ( )]H iωω 0

ω 1

g

Mϕ

( )H iω

Mg'

ω

Soit ω 0 telle que : Arg H i[ ( )]ω π0 = − :

. Mgg

g H idB = = − = −20 1 20 20 0log log log ( )ω

Soit ω 1 telle que : H i( )ω 1 1= : . M Arg H iϕ π ω= + [ ( )]1 Marges de stabilité dans le plan de Bode

0 dB

0

−π

H i dB( )ω

ωω 0

ω 0 ω

Arg H i[ ( )]ω

ω 1

ω 1

MgdB

Mϕ

Soit ω 0 telle que : Arg H i[ ( )]ω π0 = − : . Mg H idB dB= − ( )ω 0

Soit ω 1 telle que : H i dBdB

( )ω 1 0= : . M Arg H iϕ π ω= + [ ( )]1


TR 2. 14

Marges de stabilité dans le plan de Black

−π 0 dB

H i dB( )ω

ω

ω 0

Arg H i[ ( )]ωω 1

MgdB

Mϕ

Soit ω 0 telle que : Arg H i[ ( )]ω π0 = − : . Mg H idB dB= − ( )ω 0

Soit ω 1 telle que : H i dBdB

( )ω 1 0= : . M Arg H iϕ π ω= + [ ( )]1 Valeurs de Mϕ et Mg assurant une bonne marge de stabilité :

MMg dBdB

ϕ = °=45

10 (valeurs usuelles)

Abaque de Black

Lecture de l’abaque de Black

X(p)

+

-Y(p)T(p) X(p) Y(p)≡ ′T p( )

T p( ) : FTBO T p T p

T p' ( ) ( )

( )=

+1 : FTBF

Tracé BO T i( )ω (coordonnées rectangulaires) → Abaques ′T i dB( )ω et Arg T i[ ( )]′ ω (coordonnées curviligne)


TR 2. 15

- 90 ° - 45 °

8 dB

6 dB

0dB

- 180 ° - 90 ° T i dB( )ω

Arg T i[ ( )]ω

0 dB

-3 dB0dB

- 180 ° - 90 ° T i dB( )ω

Arg T i[ ( )]ω

Abaques de gainAbaques de phase

Exemple :

- 90 ° - 45 °

8 dB

6 dB

0dB

- 180 ° - 90 ° T i dB( )ω

Arg T i[ ( )]ω

0 dB

-3 dB

M

T i( )ω

Mω M

A ω M , T i( )ω est tel que : T i dB

Arg T idB( )

( )

ω

ω

=

= − °

0

90

Abaques → BF : ′ = −

′ = − °

T i dB

Arg T idB( )

( )

ω

ω

3

45


TR 2. 16

Résonance en BF

Le contour de l'abaque (en dB) que le lieu de la BO T i( )ω tangente, indique la valeur maximale du module du gain de la BF ′T i dB( )ω et donc le facteur de résonnance ′Q de la BF et la

pulsation de résonnance ′ω r de la BF :

Exemple avec une BO résonante :

8 dB

6 dB

0dB

T i dB( )ω

Arg T i[ ( )]ω

2.3 dB

T i( )ω

ω r

′ω r

T dB0

ω r :pulsation de résonance (BO) ′ω r :pulsation de résonance (BF) T dB0 : gain statique de la BO : T T i

dB dB0 = ( )ω pour ω = 0 ′T

dB0 : gain statique de la BF : ′ = ′T T idB dB0 ( )ω pour ω = 0 :

′ =+

TT

T00

01 ′ ≤T dBdB0 0

′T i( )ω passe par un maximum pour ω ω= ′r Dans cet exemple: ′ = − ′Q dB TdB dB

2 3 0. ′ = ′ − ′Q T i TdB dB dB( )

maxω 0

Avec : dBTdB

00 ≈′ : ′ =Q dBdB 2 3.

Comme ′ =−

Qm m

12 1 2 , on a : m = 0 42. (amortissement de la

BF) si on assimile la BF à un 2nd ordre.


TR 2. 17

PRECISION - RAPIDITE Exemples

- Asservissement de position de l’objectif d’un appareil photo (auto-focus)

Précision

εyc+

-

yH(p)

Précision ≡ inverse de l'erreur ε ( ) ( ) ( )t y t y tc= −

Précision statique → erreur statique ε ε( ) lim ( ) lim ( )t t p pt p

=∞ = =→∞ →0

Ε Précision dynamique → erreur dynamique (transitoire) Ex.:réponse indicielle d’un SB du 2nd ordre pseudo-oscillant

t

y(t)

0

)(y tc

ε ( )t = ∞y t( )= ∞ε ( )t

Erreur dynamique

Erreur statique

La précision si ε ( )t ε ( ) ( ) ( )t y t y tc= −


TR 2. 18

Précision des Systèmes Asservis Linéaires (SAL) Soit le SB de BO H p( ) (SB à comparateur +/-)

εyc+

-

yH(p)

Erreur ε ( ) ( ) ( )t y t y tc= − Ε∆

( ) [ ( )]p TL t= ε

Ε ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )p Y p Y p Y p

H pH p

Y p Y pH pc c c c= − = −

+=

+11

1

Erreur absolue ε ( ) ( ) ( )t y t y tc= − TL → Ε( ) ( )( )

p Y pH pc=

+1

1

Erreur relative ( y t C ycte

c( ) = = ) ε( )

( ) ( )( )

ty t y t

y trelativec

c

=−

(%)

Précision statique ε ε ε= = ∞ = =

→∞ →

∆

Ε( ) lim ( ) lim ( )t t p pt p 0

→ ε =

+→lim ( )

( )p cpY pH p0

11

Intégrateur (pur)

K p( ) possède un intégrateur (pur) si K pp

K p( ) ( )=1

1

K p( ) comporte n intégrateurs (purs) si K pp

K pn( ) ( )=1

1


TR 2. 19

Gain en BO et gain en BF

BO )(tu )(tyBO)( pH BF

)( pH )(tyBF)(tyc

)(tε+

-

0H gain statique de BO 0H ′ gain statique de BF 0

00 1 H

HH

+=′

Réponses indicielles non unitaires : BO BF

)(tyBO

0U

00UH

t

)(tu)(tyBF

)(tyc0Y

00YH′ ε

t

0H ε 0

00 1 H

HH

+=′ 1


TR 2. 20

Précision statique d’un Système Bouclé

n nombre d’intégrateurs (purs) de la BO H p( ) H pp

H pn n( ) ( )=1

Entrée de consigne constante (≡ en échelon)

ε ( )t ≡ erreur de position ≡ε p t( ) ε ≡ erreur statique de position ≡ε p

Consigne: échelon d’amplitude Y0 y t Y tc ( ) ( )= 0 Γ de TL Y pYpc ( ) = 0

Ex. : réponse indicielle d’un SB du 2nd ordre pseudo-oscillant

t

y(t)

0

y t( )= ∞

y t Yc ( ) = 0

ε p

ε =+→

lim ( )( )p cpY p

H p0

11 →

ε p pY

H p=

+→lim

( )0 01

1

• n = 0 : ε pp

YK

=+01

1

avec : K H H pp p= =

→

∆ ∆

0 0lim ( ) : Gain statique de la BO

• n ≥ 1: ε p = 0


TR 2. 21

Entrée de consigne en rampe

ε ( )t ≡ erreur de vitesse ≡ε v t( ) ε ≡ erreur statique de vitesse ≡ε v

Consigne: rampe de pente a y t at tc ( ) ( )= Γ de TL Y p apc ( ) = 2

Ex. : réponse d’un SB du 2nd ordre pseudo-oscillant

t

y(t)

0

y tc ( )ε v

ε =+→

lim ( )( )p cpY p

H p0

11 →

ε v p

ap H p

=+→

lim( )0

11

• n = 0 : ε v = ∞

• n = 1: ε v

v

aK

= avec : K H pH pv p

= =→

∆ ∆

10 0lim ( )

• n ≥ 2 : ε v = 0


TR 2. 22

Entrée de consigne en parabole

ε ( )t ≡ erreur d’accélération ≡ε a t( ) ε ≡ erreur statique d’accélération≡ε a

Consigne: parabole (param. b ) y t b t tc ( ) ( )=2

2 Γ de TL Y p b

pc ( ) = 3

Ex. : réponse d’un SB du 2nd ordre non oscillant

ty(t)

0

y tc ( )

ε a

ε =+→

lim ( )( )p cpY p

H p0

11 →

ε a p

bp H p

=+→

lim( )0 2

11

• n ≤ 1 : ε a = ∞

• n = 2 : ε a

a

bK

= avec : K H p H pa p

= =→

∆ ∆

20 0

2lim ( )

• n ≥ 3 : ε a = 0


TR 2. 23

Résumé (les erreurs statiques unitaires s’obtiennent pour

Yab

0 111

===

)

y t( )

y t Y tc ( ) ( )= 0 Γ

y t at tc ( ) ( )= Γ

y t b t tc ( ) ( )=2

2 Γ

n = 0 ε p

ε pp

YK

=+01

1

ε v

ε v = ∞

ε a

ε a = ∞

n = 1 ε p

ε p = 0

ε v

ε vv

aK

=

ε a

ε a = ∞

n = 2 ε p

ε p = 0

ε v

ε v = 0

ε a

ε aa

bK

=

ε p ε v ε a

K H H pp p= =

→

∆ ∆

0 0lim ( ) : Gain statique de la BO

K H pH pv p= =

→

∆ ∆

10 0lim ( )

K H p H pa p= =

→

∆ ∆

20 0

2lim ( )


TR 2. 24

Rapidité des systèmes

Rapidité et stabilité Exemple (lieu des pôles) :

3ème ordre (3 pôles) = sous-système du 1er ordre (pôle 2p )

+ sous-système du 2nd ordre (pôles 1p et *1p )

Im p

Re p

1p

*1p

2p

Sous-système du 1er ordre gouverné par le pôle 2p :

moins stable et moins rapide

que le sous-système du 2nd ordre régi par les pôles 1p et *1p ,

car 2p est situé plus près de l’axe imaginaire.

Les pôles dominants (≡ lents) sont situés le plus près de l’axe imaginaire


TR 2. 25

Rapidité et stabilité dans le plan de Black Exemple (lieu de Black) :

π−

Module

Phase

BO BO plus rapideBF plus stable

Rapidité d’un système en BO avance de temps avance de phase

décalage vers la droite du lieu de la BO dans le plan de Black

stabilité à la BF


TR 2. 26

Performances dans le domaine fréquentiel +

-Y(p)

E(p)H(p) ≡ Y(p)H'(p)Y pc ( )Y pc ( )

Fréquence Temps (Plan de Black de la BO) (réponse indicielle de la BF)

Arg H

H01

| H | (BO)

1

2

3

H03

H02

−π 2

2.3 dB

−π

-6 dB

dB

ω r 1

ω r 2

ω r 3

1

t

y(t)

0

yc

ε p

2

t

y(t)

0

yc

ε p

3

t

y(t)

0

yc

ε p

cyHty10)( ′=∞=

cyHty20)( ′=∞=

cyHty30)( ′=∞=

y t yH

Hy Hc c( )= ∞ =

+= ′0

00

1

1

11 ε p faible ( H0 1 élevé) ′ = −H dB0 11 ′ =H dB

12 3max .

y t yH

Hy Hc c( )= ∞ =

+= ′0

00

2

2

21 ε p élevée ( H 0 2 faible) ′ = −H dB0 28 ′ = −H dB2 6max

y t yH

Hy Hc c( )= ∞ =

+= ′0

00

3

3

31 ε p nulle ( H0 3 ∞ ) ′ =H dB0 30 ′ =H dB

32 3max .


TR 2. 27

On déduit le facteur de résonance de la BF assimilée à un 2nd ordre :

Qm m

=−

1

2 1 20

max

HH

′′

= dBenHH )( 0max ′−′=

: Q dBdB = 3 3. → 37.0=m : Q dBdB = 2 → 44.0=m : Q dBdB = 2 3. → 42.0=m

( m < 1: régime pseudo-oscillant) (résonance si Q dBdB > 0 ↔ 1>Q ( m < 0 7. )) Pulsation de résonance et rapidité La pulsation de résonance ω r du SB (≡ de la BF) est obtenue à la tangence de la BO au contour de l’abaque de Black de gain (du fait que l’abaque de gain croît de façon concentrique au fur et à mesure qu’on s’approche du point critique) La pulsation de résonance ω r du SB traduit sa rapidité : plus un SB est rapide, plus ω r est élevée.


TR 2. 28

Rappels sur la réponse en BO et en BF

Réponse indicielle de la BO Réponse indicielle de la BF

• 0H faible :

t0

A

AHtyBO 0)( =∞=

)(tyBO

t

0

A

AH'tyBF 0)( =∞= )(tyBF

pε

• 0H élevé :

t0

A

AHtyBO 0)( =∞=

)(tyBO

t

0

A

AH'tyBF 0)( =∞=)(tyBF

pε

• 0H infini (présence d’intégrateur pur sans la BO) :

t0

A

AHtyBO 0)( =∞=

)(tyBO

t

0

A

AH'tyBF 0)( =∞=

)(tyBF

0=pε

0H ε 0

00 1 H

HH

+=′ 1

_________

2. performances d'un système : stabilité - précision -...

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