2-mécanique spatiale

ariane 5

Direction des Lanceurs

Ce document est la propriété du CNES. Il ne peut être communiqué à des tiers et/ou reproduit sans une autorisation préalable écrite - CNES-DLA-1999

Rongier - DLA/SDT/SP - J. Droz - DLA/SDA/SY/SV1

MODULE 1

CHAPITRE 2

Rappels de mécanique spatiale

ariane 5



I. Rongier - DLA/SDT/SP - J. Droz - DLA/SDA/SY/SV2

Rappels de mécanique spatialeSommaire

Mouvement d ’un corps dans l ’espace

Définition des coniques

Définition des paramètres orbitaux

Définition des orbites classiques

Quelques formules à retenir …

Traduction du mouvement au sol

Trace au sol

Visibilité

Stabilité du mouvement, notions de perturbations orbitales

Manœuvres orbitales

ariane 5





Mouvement d ’un corps dans l ’espace

ariane 5




Mouvement d ’un corps dans l ’espaceIntroduction

Perception du phénomène• altitude• vitesse

è 2 conditions nécessaires pour ne pas retomber : altitude + vitesse

Mouvement d ’un corps par rapport à la terre• système isolé : terre + satellite• mouvement à force centrale (Kepler) ; gravité terrestre ramenée en 1 point• masse du corps << masse de la Terre

è mouvement autour de la Terre

Complexité du champ de gravité• intéractions multiples Terre / Lune / Soleil / « Etoiles »

è perturbations orbitales

rr

rmM

kFrr

².

−=

ariane 5




Mouvement d ’un corps dans l ’espaceIllustration (1)

ariane 5




Mouvement d ’un corps dans l ’espaceEquations de base

Principe fondamental de la dynamique

k.M = µ = 3.98602.1014 m3/s²

è trajectoire du satellite indépendante de sa masse

è mouvement du satellite plan (contenant les CDG + vitesse)

Conservation du moment cinétique

è loi des aires : surface balayée = constante

Conservation de l ’énergie

è équation de la trajectoire

0²

²

0²1

²²²

00

²

2

=

=

−=

−

⇒Γ=

−

=

dtzd

dtd

rdtd

r

rdtd

rdt

rd

mrm

kM

Fθ

µθ

rr

Cdtd

rFSOdtHd

=⇒=∧=θ

² 0rrr

cster

mdtd

rdtdr

mEpEc =−

+

=+

µθ22

²21

( ) )cos( ²1²

00 θθµµ

−+=

rccr

ariane 5




Mouvement d ’un corps dans l ’espaceIllustration ( 2)

O

S

zθ

→= OSr

rrr

rF

rr⋅−= 2

µ

OSVrdt

dr θ

Cdtdr =⋅ θ2

ariane 5




Mouvement d ’un corps dans l ’espaceDéfinition des coniques

Notations classiquement utiliséesp : paramètre de l ’orbitee : excentricité de l ’orbite

è (expression mathématique d ’une conique)

è

Quelques exemples– Mars Sample Return hyperbole (au départ de la Terre)– Trajectoire vers la lune ≈ parabole– Missions commerciales classiques ellipses (ou cercles)

µ²cp = 0 ² rce µ=

)cos( 1 0θθ −+=

epr

( )1²2

−= ep

Eµ E = 0 : parabole

E < 0 : orbites captivesE > 0 : orbites de libération

e = 0 : orbite circulairee < 1 : orbite elliptiquee = 1 : orbite paraboliquee > 1 : orbite hyperbolique

ariane 5





Ellipse

Hyperbole

Za

Zp

Zp

Parabole

Zp

ariane 5




Diapositive de résumé


ariane 5





ariane 5





Terre

ApogéePérigée

Satellite

θ

a

Approche plane

ariane 5





Définition des différentes anomalies

V = anomalie vraie = θ

Visualisation tridimensionnelle

θ

ariane 5




Paramètres de description du mouvement• cartésiens : X, Y, Z, Vx, Vy, Vz adaptés aux calculs

• orbitaux : a e i ω Ω θ

adaptés aux raisonnements physiques

Définitions du périgée et de l ’apogée• (a, e) ⇔ (Zp, Za)• altitude de périgée• altitude d ’apogée

Mouvement d ’un corps dans l ’espaceParamètres orbitaux

anomalievraie

longitudedu nœud ascendant

argumentdu périgée

/nœud ascendant

excentricitédemi gd axe inclinaison

Zp = a (1 - e) - RtZa = a (1 + e) - Rt

ariane 5




Mouvement d ’un corps dans l ’espaceParamètres orbitaux (suite)

Problèmes potentiels de détermination• e = 0 : orbite circulaire ⇒ ω non déterminé ⇒ ex = e cosω et ey = e sinω• i = 0 : orbite équatoriale ⇒ Ω non déterminé ⇒ hx = 2 sin i/2 cosΩ et hy = 2 sin i/2 sinΩ

Période et énergie fonction du demi grand axe

• période :

• énergie :

• anomalie moyenne :

• vitesse caractéristique de l ’orbite :

( )

−=

−=

−=

=

arV

ttT

M

aE

aT

MM 2

2

22

2

0

3

µµ

π

µ

µπ

ariane 5




Mouvement d ’un corps dans l ’espaceDéfinition des orbites classiques

Type Intérêt Période Za Zp a e i ω Ω

GTO orbite optimale pourtransfert vers GEO

10h31 35786 200 24371 0.73 7 180

MEO constellations 5h48 10000 10000 16378 0 fortes /

LEO orbite proche Terre 1h30 à1h45

<1000 <1000 <7378 quelconque /

SSO observation de la Terre(cas particulier LEO)

1h41 800 800 7118 0 98,6 / fixe

GEO Telecom 23h56 35786 35786 0 0

GTO+ GTO plus énergique 13h51 35786 10000 7 7 180

km degcontraintes

ariane 5




Mouvement d ’un corps dans l ’espaceIllustrations (7)

GTOMEO

LEO

GTO+Super GTO

Movie Clip (MPEG) Movie Clip (MPEG)

ariane 5




Mouvement d ’un corps dans l ’espaceQuelques formules à retenir … (1/2)

Ellipse + Hyperbole Ellipse HyperboleRayon Vecteur

Rayon au périgéeRayon à l’apogée

θcos1 ep

r+

=

)1(

)1()cos1(

ear

earEear

a

p

+=

−=−=

)1()1cosh(

−=−=

earHear

p

Coordonnéescartésiennes θ

θsincos

ryrx

==

Eeay

eEax

sin1

)(cos2−=

−=

Heay

Heax

sinh1²

)cosh(

−=

=

Paramètres de laconique

²1/

²)1/(

epb

eacepa

−=

=−=

1²/

)1²/(

−=

=−=

epb

eacepa

Demi-grand axe

pa rraK

a

+=

−=

22µ

2

2

∞

=

=

V

Ka

µ

µ

Energie

rV

Kµ

−=2²

)0(2

<−= Ka

Kµ

2

)0(2

2∞=

>=

V

Ka

Kµ

Excentricité²²2

1µ

KCe +=

pa

pa

rr

rr

Ka

Ce

+

−=

<−= )0(²

1µ

∞

∞

−=

+=

>+=

θ

µ

µ

cos1

²²

1

)0(²1

2VC

Ka

Ce

ariane 5





Ellipse + Hyperbole Ellipse Hyperbole

Distance del’Asymptote

au foyer ∞

∞∞

=

+=

vae

vrad p

sin

sin)(

Vitesse aupérigée e

eaar

Vp

p −+

=

−=

1112 µ

µpp

p rV

arV µµ 212 2 +=

+= ∞

Vitesse àl’apogée

ee

aarV

aa +

−=

−=

1112 µ

µ

Module dela vitesse Ee

Eeaar

Vcos1cos112

++=

−= µµ

+=

arV

12µ

Vitesseradiale

sinVr =

Vitessetangentielle

cosVrC

rv ==

Moyenmouvement

µ=3²an

Képler)( tptnM −= MEeE =− sin

MHHe =−sin

Période

µπ

3

2a

T =

ariane 5





Ellipse + Hyperbole Ellipse Hyperbole

Constantede la loi des

aires(module du

momentcinétique)

µprVC == cos ( )

aapp rVrV

ena

eaC

==

−=

−=

²1²

²1µ

∞∞==

−=

−=

rvrv

ena

eaC

pp

1²²

)1²(µ

dtdAdtdv

r

2

²

=

=

pente de lavitesse ²cos21

cos1sinsin

eveve

Vv

pe

+++

==µ

Ee

Ee

arp

ve

²cos²1

sin

12

sinsin−

=

−

=1²cosh²

sin

12

sinsin

−=

+

=He

He

arp

ve

=

+++

==

dvdr

rtg

eveve

rVC

1

²cos21cos1

cos

²1sin

²cos²1²1

cos

eEe

tg

Eee

−=

−−

=

²1

sinh1²cosh²

1²cos

e

Hetg

Hee

−=

−−

=

veve

cos1sin

+=

Anomaliesvraies

211

2

cos1sin²1

sin

cos1coscos

Etgeevtg

EeEe

v

EeeEv

−+=

−−

=

−−=

2tanh

11

2

1coshsinh1²

sin

cosh1coshcos

Heeutg

HeHe

v

HeeHv

−+=

−−

=

−−=

EeEeEv

tgcos1

sin2 β

β−

=−

Anomaliesexcentriques

veVeEv

tg

veve

E

veev

E

cos1sin

2

cos1sin1

sin

cos1cos

cos

2

ββ+

=−

+−

=

++

=

veveH

veevH

cos1sin1²sinh

cos1coscosh

+−=

++=

ariane 5





Traduction du mouvement au sol

ariane 5




Traduction du mouvement au solIntroduction

Nécessité de dialogue avec le mobile :– transmission de données– contrôle du mobile– …

è nécessité de voir le satellite : dépend de la trace au sol et de l ’altitude

Quelques ordres de grandeur

ariane 5





ariane 5




Traduction du mouvement au solIllustration (8)

ariane 5

ariane 5




Traduction du mouvement au solTrace au sol

Géométriquement : trace au sol = grand cercle (diamètre terrestre)

Mais avec mouvement de la terre, nécessité de prendre en compte la loi horaire du satellite

è souci important dans le processus d ’analyse de mission

ariane 5




Traduction du mouvement au solIllustrations (9)

GTO 20° - TRACE AU SOL

-90

-70

-50

-30

-10

10

30

50

70

90

-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

LONGITUDE (°)

LATI

TUD

E (

°)

Orbite :300/35786/20°ω = -90°Ω = 90°

terre fixe terre tournante

ApogéePérigée

ariane 5





Orbite :300/35786/20°ω = -46°78Ω = 90°


GTO 20° - TRACE AU SOL

-90

-70

-50

-30

-10

10

30

50

70

90

-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

LONGITUDE (°)

LA

TIT

UD

E (

°)

ApogéePérigée

ariane 5





Orbite SSO824/824/98°6ω = 0°Ω = 0°


SSO - TRACE AU SOL

-90

-70

-50

-30

-10

10

30

50

70

90

-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

LONGITUDE (°)

LA

TIT

UD

E (°

)

ariane 5




Traduction du mouvement au solNotions de visibilité

Visibilité : la trajectoire du lanceur ou du satellite passe dans l ’espace visible par une station(antenne)

Obstacles à la surface de la terre ⇒ site minimum < 0 si station en altitude (effet géométrique) ou si effets radioélectriques favorables

horizonlocal

site minimum

trajectoire

trajectoire

portionvisible

Station

Movie Clip (MPEG)

ariane 5




Traduction du mouvement au solNotions de visibilité (suite)

Quelques ordres de grandeur

en orbite basse (ex : 400 km circulaire) , durée de visibilité ≈ 10 min (ex. satellite radio amateur) en orbite GEO (35786 km circulaire), durée de visibilité = 24 heures

( )

SmZR

RSm

ZRdurée

T

T

T

cos)cos( avec

23

+=+

+=

α

µα

pour une orbite circulaire(mouvement uniforme)

αZ

trajectoirelanceur

ariane 5





Stabilité du mouvement

ariane 5




Stabilité du mouvementIntroduction

Problème

terre sphérique non homogène è force non centrale influence gravitationnelle des autres astres è forces perturbatrices densité de l ’air non nulle à haute altitude, pression radiations solaires è forces de surface à effet cumulatif

approximation Képlerienne mise en défaut

travail en orbite Képlerienne + perturbations orbitales nécessité de corriger sans arrêt pour rester sur l ’orbite voulue

ariane 5




Stabilité du mouvementPrincipale perturbation

Potentiel gravitationnel terrestre

où Jn représentent les harmoniques zonaux et Pn représentent les harmoniques tesseraux et λn d ’autres paramètres

termes prépondérants : potentiel central

terme dit en « J2 » (J2 ≈ 10-3)

−+

+= ∑ ∑∑

∞

=

∞

=

∞

=2 2 1

)(cossin)(sin1n n k

kn

kn

knn

nT

n longiklatPJlatPr

RJ

ru λ

µ

( )1sin321 2

2

2 −

lat

rR

J T

rµ

ariane 5




Stabilité du mouvementPrincipale perturbation

Potentiel gravitationnel terrestre : illustration

J9

J2

J3

ariane 5




Stabilité du mouvementPrincipale perturbation (suite)

è effet du J2 : modification du Ω :

application SSO : faire tourner la ligne des nœuds pour équilibrer l ’effet de rotation de la terre autour du soleil modification du ω :

application russe : ω reste constant en choisissant i = 63.5°, ce qui permet de garder l’apogée fixe au dessus de la Russie (satellites Molnya)

( )22

2

²1cos2

23

ei

JaR

Tdtd T

−

−=Ω π

( )

2

22 ²1²sin54

23

−−

=aR

ei

Jdtd Tπω

ariane 5




Stabilité du mouvementCaractéristiques de l ’orbite SSO

Soleil

αα Plan orbitalΩ1

Ω0

Ω1 - Ω0 = dΩ/dt . (t1 - t0)

ariane 5




Stabilité du mouvementAutres perturbations - ordres de grandeur

10x

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

Attraction centrale

Aplatissement de la Terre (J2)

Frottement (altitude de 1000 à 150 km)

Irrégularités de la forme de la Terre (Jn, n>2 et Cpn)

Attraction de la lune

Attraction du soleil

Pression de radiation solaire

ariane 5




Stabilité du mouvementAutres perturbations - effets principaux (suite)

Satellite géostationnaire Satellite héliosynchrone

Modèle de potentiel Evolution du 1/2 grand axe Evolution de de la Terre et de la longitude moyenne l ’excentricité (termes tesseraux) (termes zonaux) Définition des points stables et des points instables

Attraction luni-solaire Evolution de l ’inclinaison (dérive séculaire)

Pression de radiation Evolution de l ’excentricité

Frottement atmosphérique Décroissance du demi grand axe

Résonance entre rotation Dérive de l ’inclinaison du plan de l ’orbite et de l ’orbite rotation apparente du soleil

ariane 5




Stabilité du mouvementAutres perturbations - frottement atmosphérique

Décélération tangentielle :

−=

mCxS

VdtdV .

21 2ρ

A partir de l ’expression de l ’énergie que l ’ondérive par rapport au temps, on obtient :

mCxS

adtda .

µρ−=

La décroisance du demi grand-axe dépend de ladensité atmosphérique, fonction de l ’altitude : plusl ’orbite est basse, plus la décroissance est rapide.

ariane 5





Manœuvres orbitales

ariane 5




Manœuvres orbitalesManœuvres pures

1 seul paramètre modifié : exemples sur paramètres courants

∆ inclinaison aux nœuds(très coûteux)

∆ Ω à 90° des noeuds

∆ Zp à l ’apogée

∆ Za au périgée

2sin2

iVV

∆=∆

2sin2

∆Ω=∆ VV

initialapogéefinalapogée VVV −=∆

initialpérigéefinalpérigée VVV −=∆

V initial

∆i

V final

∆V

∆Ω∆Ω ∆V

∆Zp

∆V

∆V

∆Za

ariane 5




Exemples les plus classiques

∆i et circularisation ex : passage GTO à GEO

Transfert de Hohmann

Phasage (orbite parking) : application du transfert de Hohmann

Manœuvres orbitalesManœuvres élaborées courantes

∆i ∆VVapogée

Vcirculaire

iVVVVV circulaireacirculairea ∆−+=∆ cos 2222

triangle des vitesses

∆V1∆V2

orbite detransfert

orbiteinitiale

orbitefinale

∆iV1

V2

Movie Clip (MPEG)

ariane 5




MODULE 1

FIN DU CHAPITRE 2

(Rappels de mécanique spatiale)

2-mécanique spatiale

Documents