第 yd講義Ĝ直交行列

戸瀬　信之

AhPa1 S_PC1*h

経済数学入⾨，kyRN年 y8月 kd日 �i >*

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f R

SL L 04 Part 0 2.

2次

I.PEM。 (112)

(PEPE ) = (もて ) (もて Eば)→ Pi 通交 。

に で歩い ※バ(RIRで ) = (ら が ) 心

iT ※Too

=七 R Rい g

CRに ws20 +バ0=3130 IIR が 1に 1 1 で 11

こ ( use-0) - sine

," 心に い て い

sincea) wsに0 ) くも げ ) = 1 1 で 11.11で 11TEO

WS f.

Cのなかで ) = は、

「 RRで ) = 心 は心 ) = (で心 )と RR = が R は、

が (○嵓 喁。○)が。

(Q が、QT) = しも ど ) へ

の?姿だ器 =が た無"

ta =出品した

。 ) = Q .

wsg = ws にい

ryQ は対称 いか 1に い Q で い

QEに は、 taa で )

いでに NQで い

た ( で、 QQ で ) = (か だ ) = くるな

内積を保つ行列

2次正⽅行列

P =

✓a1 b1a2 b2

◆=⇣~a ~b⌘

P は内積を保つ

(P~x, P~y) = (~x, ~y) (~x, ~y 2 R2)

この条件はtPP = I2

と必要十分である。

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I

準備

すべてのベクトルに直交するベクトルは

(~a, ~x) = 0 (~x 2 Rn) , ~a = ~0

A m ⇥ n行列とすると

A~x = ~0 (~x 2 Rn) , A = 0m,n

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1しかいて

い

た=E とする .ca?E)=o~sE=

が Eばく- 0k.

.

rire et

che= CT - En )

が 街な ぼ こ なこかばいい

へ) A = 10 . . S )= 0 m

,n.

必要十分であるのは

(P~x, P~y) = (~x, ~y) , (tPP~x, ~y) = (~x, ~y)

, (tPP~x � ~x, ~y) = 0

, ((tPP � I2)~x, ~y) = 0

これが任意の ~y 2 R2で成⽴するから

(tPP � I2)~x = ~0

これが任意の ~x 2 R2で成⽴するから

tPP = I2

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JET~ ~

ru ru

~ 小nnn

tPP = I2について

P = (~a ~b)が tPP = I2を満たすとき

✓t~at~b

◆⇣~a ~b

⌘=

(~a,~a) (~a,~b)

(~b,~a) (~b,~b)

!=

✓1 00 1

◆

これから tPP = I2は

||~a||2 = ||~b||2 = 1, (~a,~b) = 0

と必要十分である。

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11でいて くる E )t に した影 (ぼ ) いない )

ness/1

-Pの グラム sfefs寧系となる°

→t で も = CIE )CIE e が )

||~a||2 = ||~b||2 = 1, (~a,~b) = 0

~a =

✓cos ✓sin ✓

◆とすると

~b =

✓� sin ✓cos ✓

◆P_✓

sin ✓� cos ✓

◆

P =

✓cos ✓ sin ✓sin ✓ � cos ✓

◆は y = tan ✓

2xに関する折り返し

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はな) に「将が

-_-権。

心でい

た (どだこも ) Q (した こと)1 RI = 1 IQに - 1

.

まとめ

次の同値な条件を満たすとき P = (~a ~b)を直交行列という

(P~x, P~y) = (~x, ~y) (~x, ~y 2 R2)

, ||P~x|| = ||~x|| (~x 2 R2)

, tPP = P tP = I2

, ||~a||2 = ||~b||2 = 1, (~a,~b) = 0

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pense i!日

も

も いかでいて もいたが = は.が

小 小