2 compatibilite de l’approche energetique ??l’heterogeneite en contraintes et en vitesses de...

Download 2 COMPATIBILITE DE L’APPROCHE ENERGETIQUE ??L’HETEROGENEITE EN CONTRAINTES ET EN VITESSES DE DEFORMATION Les tenseurs des actions intrieures sont forms par le produit symtrique

Post on 06-Feb-2018

215 views

Category:

Documents

3 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • E. Frossard / Localisation de dformations et chanons de contrainte -26-

    poudres & grains NS 3 , 1-119 (Octobre 2004)

    2 COMPATIBILITE DE LAPPROCHE ENERGETIQUE AVEC LHETEROGENEITE EN CONTRAINTES ET EN VITESSES DE DEFORMATION

    Les tenseurs des actions intrieures sont forms par le produit symtrique (contract) des tenseurs des contraintes et des vitesses de dformation . Ce qui prcde montre que, en dissipation minimale, les produits symtriques des tenseurs locaux

    ( ) ( )et M M& , ainsi que la moyenne sur D de ces produits, vrifient la mme quation de dissipation. Or : - les mesures accessibles usuellement dans lexprimentation mcanique en

    laboratoire sur ces milieux, ne concernent pas les tenseurs locaux ( ) ( )et M M& , mais bien les tenseurs moyens ( ) ( )et & D D ;

    - lexprience physique montre que, dans un large ventail de conditions exprimentales couvrant les sollicitations sous contraintes axissymtriques, la dformation plane, avec ou sans rotation daxes, et des sollicitations cycliques tridimensionnelles de large amplitude, lquation de la dissipation minimale apparat pourtant vrifie par le produit des tenseurs moyens [18], [19], ce constat exprimental porte en particulier sur les manifestations directes de lquation de la dissipation minimale, telles que les relations contraintes-dilatance, lexistence dundomaine caractristique, celle dun Critre de Rupture , etc.;

    - outre ces manifestations qualitatives, ce constat exprimental porte aussi sur des manifestations quantitatives: lutilisation de lquation de dissipation minimale, pour valuer indirectement un coefficient de friction physique moyen entre granulats, donne des rsultats cohrents avec dautres mthodes de mesures, pour des milieux monominraux [20].

    Pourtant rien ne garantit priori que ce produit des tenseurs moyens vrifie, de

    manire gnrale, la mme relation constitutive que la moyenne des produits des tenseurs locaux. Dans la majeure partie des rsultats exprimentaux voqus plus haut, il se trouve (voir Annexe 2.1) que les conditions aux limites imposes assurent que, par construction, produits des moyennes et moyennes des produits sont identiques vis vis de lquation de dissipation, au moins au 1er ordre. Nous pourrions alors tre tents den conclure que ce sont les conditions extrieures, qui induisent cette forme particulire de compatibilit; toutefois: - cela reviendrait conclure que les conditions internes qui en rsultent, cest dire

    une structure particulire des covariances entre contraintes et taux de dformation, peuvent tre induites de lextrieur par simple contact, ce qui est physiquement douteux;

    - de plus, il existe des rsultats exprimentaux qui vrifient apparemment cette proprit, mais pour lesquels lidentit produit des moyennes / moyenne des

  • E. Frossard / Localisation de dformations et chanons de contrainte -27-

    poudres & grains NS 3 , 1-119 (Octobre 2004)

    produits, nest pas impose par les conditions aux limites (dformation plane avec rotation daxes en simple shear, par exemple).

    Ce constat pose donc la double question:

    - pourquoi les produits des moyennes, vrifient la mme relation constitutive (lquation de dissipation minimale) que les moyennes des produits ?

    - quelles conditions sur les fluctuations locales en contraintes et vitesses de dformation, font quil en est ainsi ?

    Ces questions sont plus complexes que la prcdente, car elles portent sur les relations entre six tenseurs, incluant les tenseurs locaux ( ) ( )et M M& et les tenseurs moyens

    ( ) ( )et & D D , en plus des deux prcdents (le tenseur local ( )M et le tenseur moyen ( )D ).

    Nous les aborderons progressivement, en analysant dabord le cas le plus simple, lorsque les six tenseurs ont le mme repre propre (coaxialit repre propre fixe), avant daborder le cas gnral. 2.1 CAS DE LA COAXIALITE - CONDITIONS PHYSIQUES

    PARTICULIERES En situation de coaxialit simple, les tenseurs locaux ( ) ( )et M M& ont leurs directions propres communes, qui sont alors aussi directions propres pour ( )M , et forment le repre propre local. Dun point lautre dun domaine proche des conditions de la dissipation minimale, ces repres propres locaux ont toujours en commun au moins une direction propre signe (cf section prcdente), et se dduisent donc les uns des autres par simple rotation autour de cet axe propre commun. Pour les tenseurs moyens, les repres propres de ( ) ( )et & D D diffrent donc du repre propre de ( )D , par des rotations simples autour de cet axe propre commun.

    En situation de coaxialit repre propre fixe, ce paramtre de rotation disparat, les repres propres des tenseurs locaux et moyens sont identiques, et donc

    ( ) ( )et & D D ont le mme repre propre que les ( ) ( )et M M& dune part, et dautre part ce repre propre commun est aussi commun ( )D et aux ( )M . Remarquons quen dformation plane, pour un mouvement proche de la dissipation minimale, la section prcdente a montr que le repre propre des actions intrieures est de toutes faons fixe sur le domaine. Dans une situation de dformation plane, la coaxialit simple des contraintes et vitesses de dformations implique donc la coaxialit repre propre fixe.

    Dans ce repre propre fixe, nous pouvons dcrire lhtrognit des tenseurs locaux directement sur leurs valeurs propres, par des fonctions de fluctuations locales, et donc lhtrognit des contraintes locales par:

    ( ) ( ) ( ) ( )avec.(1 ) 0M M M dvi i = + =i i D D .

  • E. Frossard / Localisation de dformations et chanons de contrainte -28-

    poudres & grains NS 3 , 1-119 (Octobre 2004)

    La condition de non-traction impose que les contraintes normales, et donc aussi les contraintes principales, demeurent en compression, localement et en moyenne; leurs fonctions de fluctuations locales vrifient donc ( )0 1 Mi + .

    Nous pouvons galement dcrire lhtrognit des vitesses de dformation locales par: ( ) ( ) ( ) ( )avec.(1 ) 0M M M dvi i = + =i i& & D D . Par ailleurs, par dfinition des actions intrieures ( ) ( ) ( )M M Mi ii &= , la condition de signature de Mode vue prcdemment, impose que les valeurs propres des actions intrieures ne changent pas de signe sur le domaine . Comme les contraintes principales demeurent positives (non-traction), il sensuit que les fonctions de fluctuations locales en vitesses de dformation, vrifient ( )0 1 Mi + , ce qui revient transfrer aux vitesses de dformation la condition de signature de Mode.

    En rsum, sur un domaine proche des conditions de la dissipation minimale, les conditions de non-traction et de signature de Mode imposent que, en situation de coaxialit avec repre propre fixe, les htrognits locales en vitesses de dformation et en contraintes, vrifient, sur chacune des directions propres:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    avec et

    avec et

    .(1 ) 0 1 0

    .(1 ) 0 1 0

    M M M M dvi i i

    M M M M dvi i i

    = + + =

    = + + =

    i i

    i i

    & &

    DD

    DD

    (2.1)

    Les fluctuations relatives ne sont donc pas limites du ct des valeurs positives, par contre elles sont bornes du ct des valeurs ngatives, de manire totalement symtrique entre vitesses de dformation et contraintes.

    Arrtons-nous la signification concrte simple de ces conditions physiques sur lhtrognit, pour des situations proches de la dissipation minimale: - les valeurs propres locales sont toujours du mme signe que les valeurs propres

    moyennes; cest dire que les grandeurs locales ne peuvent donc aller contre-sens de la tendance moyenne ( en ce qui concerne les valeurs propres);

    - on ne pourra donc pas trouver localement de vitesses de dformations principales, contre-sens de la vitesse de dformation moyenne;

    - ceci correspond lexprience pratique sous conditions aux limites rgulires (permettant dapprocher les conditions de la dissipation minimale): au cours dun essai mcanique, on ne voit jamais une partie significative de lchantillon se dformer contre-sens de la moyenne.

    Remarquons que cette dernire proprit, dapparence banale, nest pas anodine, elle doit tre vue comme une spcificit de lhtrognit mcanique des milieux granulaires. En effet, dautres types dhtrognit, telle par exemple la turbulence en hydrodynamique, permettent des valeurs locales de vitesse de dformation, contre-courant de la valeur moyenne, sur une partie significative du domaine observ. Cette htrognit particulire au milieu granulaire est directement consquence de la dissipation par friction, car les conditions qui lencadrent rsultent de la structure

  • E. Frossard / Localisation de dformations et chanons de contrainte -29-

    poudres & grains NS 3 , 1-119 (Octobre 2004)

    induite dans les actions intrieures par les lois de la friction. La comparaison avec la turbulence en hydrodynamique, lie la dissipation par viscosit, est instructive: elle montre quil y a bien une certaine correspondance entre le mode de dissipation dnergie dans le milieu, et le type dhtrognit mcanique qui peut sy manifester. Enfin ce type dhtrognit implique une autre particularit: - la condition de somme nulle et la limitation des valeurs minimales sur le domaine,

    imposent que les fortes fluctuations, soient spares par des zones de calme, cette proprit sapplique en particulier aux htrognits qui mergent lchelle macroscopique ;

    - valeur moyenne donne, ces zones de calme seront donc dautant plus grandes, et dautant plus calmes, que les fluctuations sont fortes;

    - les zones de concentration de la dissipation, qui sont les bandes de localisation des dformations, seront donc spares par des zones inactives, dautant plus grandes et inactives, que l

Recommended

View more >