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1S1 : DEVOIR SURVEILLÉ N°4 (1 heure)

Exercice 1 (3 points)

Ci-contre est donnée la courbe Cƒ représentant

une fonction ƒ définie et dérivable sur

l'intervalle [1 ; 8].

1. Par lecture graphique, donner, sans

justifier, la valeur de : ƒ(3) ; ƒ '(3) ; ƒ(6)

et ƒ '(6).

2. Le graphique ne permet pas la lecture de

ƒ '(4). Préciser néanmoins son signe.

(Expliquer)

Exercice 2 (9 points)

On considère la fonction ƒ définie sur par : ƒ(x) = x3 − 3x − 3. On note Cƒ sa représentation graphique.

1. Étudier les limites de ƒ en −∞ et en +∞.

2. Calculer la dérivée ƒ ' de ƒ.

3. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.

4. Déterminer une équation de la tangente T à Cƒ au point d'abscisse 0.

5. Tracer T et Cƒ (dans un même repère). (On se limitera à l'intervalle [−2 ; 2,5] et on choisira 2 cm par unité sur chaque axe)

6. Démontrer que l'équation ƒ(x) = 0 admet une unique solution α dans l'intervalle [2 ; 3].

Donner une valeur approchée de α, par défaut, à 10−1 près.

Exercice 3 (6 points)

Un fermier décide de réaliser un poulailler (en forme rectangulaire) le long du mur de sa maison. Ce poulailler

devra avoir une aire de 392 m2. Où doit-on placer les piquets A et B pour que la longueur de la clôture soit

minimale ?

La figure ci-dessus représente le poulailler accolé à la ferme en vue de dessus. On appelle x la distance séparant

chaque piquet au mur et y la distance entre les 2 piquets A et B. (On a donc x > 0 et y > 0)

mur de la ferme

x x

y BA

y

9

Cƒ

2

Ox

63 81

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1. Sachant que l'aire du poulailler est 392 m2, exprimer y en fonction de x.

2. Démontrer que la longueur l(x) du grillage est : l(x) = 2x + x

392 .

3. Calculer la dérivée l' de l. En déduire le tableau de variation de l.

4. En déduire les dimensions x et y pour lesquelles la clôture a une longueur minimale. Préciser cette longueur.

Exercice 4 (2 points)

Soient ƒ et g deux fonctions dérivables sur l'intervalle I = [0 ; 1] telles que : ƒ(0) = g(0) et ƒ ' g' sur I.

Démontrer que ƒ g sur I. (On pourra étudier les variations de g − ƒ)

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1S1 : DEVOIR SURVEILLÉ N°4 : CORRIGÉ

Exercice 1 (3 points)

1. ƒ(3) = 9 (Image de 3)

ƒ(6) = 2 (Image de 2)

ƒ '(3) = 0 (Tangente horizontale)

ƒ '(6) = 0 (Idem)

2. La fonction ƒ est strictement décroissante sur

l'intervalle [3 ; 6] donc ƒ '(4) < 0.

Exercice 2 (9 points)

On considère la fonction ƒ définie sur par : ƒ(x) = x3 − 3x − 3. On note Cƒ sa représentation graphique.

1. ƒ est une fonction polynôme de degré 3. Sa limite en −∞ (et en +∞) est donnée par la limite de son terme de

plus haut degré : limx→−∞

ƒ(x) = limx→−∞

x3 = −∞ et limx→+∞

ƒ(x) = limx→+∞

x3 = +∞.

2. On a immédiatement : ƒ '(x) = 3 x2 − 3 = 3( x2 − 1) = 3(x − 1)(x + 1)

3. La dérivée ƒ ' est une fonction polynôme de degré 2. Son signe est celui de a (coefficient de x2 ) sauf entre

les racines. Ici, a = 3 et les racines sont −1 et 1. Donc ƒ ' est positive sauf entre −1 et 1. On en déduit le

tableau de variation de ƒ :

Maximum local (ou relatif) en −1 : ƒ(−1) = (−1)3 − 3×(−1) − 3 = −1

Minimum local (ou relatif) en 1 : ƒ(1) = 13 − 3 − 3 = −5

4. Une équation de la tangente T à Cƒ au point d'abscisse x0 est donnée par la formule :

y = ƒ(x0) + ƒ '(x0)(x − x0)

Lorsque x0 = 0, la formule devient :

y = ƒ ' (0) x + ƒ(0)

Et comme ƒ(0) = −3 et ƒ ' (0) = −3, on obtient :

T : y = −3x − 3

5. Représentation graphique de T et Cƒ (dans un même repère) :

6. La fonction ƒ est continue (puisque dérivable) sur donc a fortiori sur [2 ; 3].

La fonction ƒ est strictement croissante sur [2 ; 3].

ƒ(2) = −1 < 0 et ƒ(3) = 15 > 0. (Signes contraires)

y

9

Cƒ

2

Ox

63 81

x –∞ –1 1 +∞Signe de ladérivée ƒ ' + 0 − 0 +

−1 +∞Variations de ƒ

−∞ −5y

2T

Cƒ

1

x−2 −1 α2O 1

−1

−5

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L'équation ƒ(x) = 0 admet donc une unique solution α dans l'intervalle [2 ; 3].

Localisation de α :

Comme ƒ(2,1) < 0 et ƒ(2,2) > 0, on a : 2,1 < α < 2,2.

Une valeur approchée de α, par défaut, à 10−1 près est donc : α 2,1.

Exercice 3 (6 points)

1. Puisque l'aire du poulailler est 392 m2 on a : xy = 392 d'où : y = 392x

.

2. La longueur l(x) du grillage est : l(x) = 2x + y = 2x + 392x

3. La fonction l est du type l = u + 392v

avec

==

xxvxxu

)(2)(

. Donc l' = u' − 2vv

′, ce qui donne :

l'(x) = 2 − 2392x

= 2 3922

2x

x−

= 2 1962

2( )x

x−

= 2 14 142

( )( )x xx

− +

Comme x > 0, le signe de l' ne dépend que de celui de x − 14 :

Minimum local (ou relatif) de l en 14 : l(14) = 56

4. La clôture a une longueur minimale lorsque x = 14 et y = 39214

= 28.

Cette longueur minimale est l(14) = 56.

mur de la ferme

x x

yBA

392 m2

x 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

ƒ(x) −0,039 1,048 2,267 ...

x 0 14 +∞

Signe de x − 14 − 0 +Signe de x + 14 + +

Signe de x2 0 + +Signe de la dérivée l ' − 0 +

+∞ +∞Variations de l

56

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Exercice 4 (2 points)

Calculons la dérivée de la fonction g − ƒ : (g − ƒ)' = g' − ƒ ' .

Comme ƒ ' g' sur I, on a : g' − ƒ ' 0 sur I. La fonction g − ƒ est donc croissante sur I. Ce qui signifie :

pour tous réels u et v de I : u < v ⇒ (g − ƒ)(u) (g − ƒ)(v)

C'est-à-dire : pour tous réels u et v de I : u < v ⇒ g(u) − ƒ(u) g(v) − ƒ(v)

En particulier avec u = 0, on a : pour tout v de I : g(0) − ƒ(0) g(v) − ƒ(v)

Et comme ƒ(0) = g(0) : pour tout v de I : 0 g(v) − ƒ(v)

C'est-à-dire : pour tout v de I : 0 g(v) − ƒ(v)

Ce qui signifie : ƒ g sur I