!!!1s maths plein d'exercices corrigés

7/25/2019 !!!1S MATHS plein d'Exercices corrigs

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6 novembre 2015

109 exercicesde

mathmatiques

pour1re S

Stphane PASQUET


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SommaireDisponible surhttp: //www.mathweb.fr

6 novembre 2015

I Le second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.1 Calcul de discriminant et de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.2 quation avec une racine carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.3 Avec changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.4 Changements de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.5 Rsolution dinquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.6 Une inquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.7 Polynme de degr 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.8 Polynme de degr 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.9 Trouver un trinme partir dune parabole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.10 Trouver la bonne courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.11 Conditions sur deux paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.12 Trinme avec un paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.13 Une quation avec paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.14 La trajectoire de la balle de tennis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.15 En Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.16 Nol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.17 Vers le nombre dor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.18 Une autre criture pour une racine carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.19 Aire dune couronne rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.20 Trouver deux nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II Gnralit sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.1 Trouver le domaine de dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.2 Fonctions paires, fonctions impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.3 Lecture de tableaux de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.4 Lectures graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29II.5 Dcompositions en fonctions de rfrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30II.6 Fonctions associes : domaine de dfinition et variations (1) . . . . . . . . . . . . . . . 30II.7 Fonctions associes : domaine de dfinition et variations (2) . . . . . . . . . . . . . . . 30II.8 tude dune fonction avec valeurs absolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II.9 Valeur absolue dun polynme de degr 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II.10 Calculs avec valeurs absolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II.11 quations avec valeurs absolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

ii
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III Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42III.1 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42III.2 Sens de variation, majorant et minorant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42III.3 Sens de variation dune suite dfinie par rcurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42III.4 Sens de variation dune suite avec racines carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42III.5 Reconnatre une suite arithmtique et gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43III.6 Reconnatre une suite arithmtique ou gomtrique, le retour . . . . . . . . . . . . . . 43III.7 Trouver un terme ou la raison dans une suite arithmtique . . . . . . . . . . . . . . . . 43III.8 Trouver un terme ou la raison dune suite gomtrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44III.9 tablir une relation de rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44III.10 Somme des premiers termes dune suite arithmtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45III.11 Somme des premiers termes dune suite gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45III.12 Le super-hros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45III.13 Avec une suite auxiliaire et un algorithme (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46III.14 Avec une suite auxiliaire et un algorithme (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

III.15 Compilation dexercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47IV Drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66IV.1 Nombre driv & quation de tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66IV.2 Lecture graphique de nombres drivs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66IV.3 Dtermination dune fonction par lecture graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67IV.4 Dtermination dune fonction par lecture graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68IV.5 Drives de rfrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68IV.6 Drives de fonctions produits et quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68IV.7 Variations de fonctions produits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

IV.8 Sens de variation de fonctions quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69IV.9 Optimisation dune aire dans un triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69IV.10 Optimisation du volume dune bote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69IV.11 Optimisation du volume dun cne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

V Trigonomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86V.1 Mesure principale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86V.2 Calculs de mesures principales dangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86V.3 Lecture dangles sur le cercle trigonomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86V.4 Rsolution dquations trigonomtriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

V.5 Transformation dune quation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87V.6 quations avec changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87V.7 la dcouverte dun sinus et dun cosinus inconnu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

VI Gomtrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99VI.1 Vecteurs colinaires dans un repre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99VI.2 Vecteurs avec paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99VI.3 Alignement de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99VI.4 Alignement de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99VI.5 Dans un paralllogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100VI.6 quations cartsiennes de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100VI.7 quation de droites avec paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100VI.8 quation de droites & mdiatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101VI.9 Un algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

iii


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VII Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109VII.1 Produits scalaires et angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109VII.2 Produits scalaires et angles dans un repre orthonorm . . . . . . . . . . . . . . . . . 109VII.3 Angle dans un carr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110VII.4 Dans un rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110VII.5 quation de droites perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

VII.6 quations de cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110VII.7 Trois cercles tangents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110VII.8 Hauteur dune montagne, formule dAl-Kashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111VII.9 La formule de Hron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111VII.10 Aire dun triangle inscrit dans un cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112VII.11 Avec les formules trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113VII.12 Dans un repre : cercle, angle et hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113VII.13 Dans un rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

VIII Statistiques descriptives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

VIII.1 Notes de deux classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131VIII.2 Salaires dans deux entreprises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131VIII.3 Influence dun ajout dans une srie statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132VIII.4 Un algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132VIII.5 De lalgbre dans les statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

IX Probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143IX.1 Diffrents ordinateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143IX.2 49 boules dans un urne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143IX.3 Deux urnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144IX.4 Nombre variable de boules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

IX.5 Avec deux ds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145IX.6 Avec une pice de monnaie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145IX.7 Lancer de 3 pices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145IX.8 Loi binomiale : avec une urne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145IX.9 Loi binomiale : dans une usine de composants lectroniques . . . . . . . . . . . . . . . 146IX.10 Loi binomiale : au lyce vlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146IX.11 Loi binomiale : au tennis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146IX.12 Lancer de 3 pices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147IX.13 Le jeu des petits chevaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

X Fluctuation et chantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159X.1 Pice dfectueuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159X.2 Un d peut-tre truqu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159X.3 Le mdecin de campagne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159X.4 Les OVNIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160X.5 Coup de fatigue au centre dappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

iv


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Rgles de navigationDisponible surhttp: //www.mathweb.fr

6 novembre 2015

Bonjour.

Jai souhait cr ici un document dans lequel il est facile de naviguer. Cest la raison pourlaquelle :

chaque nonc dexercices, vous pouvez cliquer sur le numro de la page o se trouvele corrig pour vous y rendre directement ;

tout moment, vous pouvez retourner au sommaire en cliquant sur le petit carr quise trouve devant chaque titre.

Dautre part, il se peut que quelques erreurs se soient glisses dans les noncs ou corrections ;si vous avez un doute, nhsitez pas me contacter via le formulaire qui se trouve sur monsite (http://www.mathweb.fr/contact.html) afin daboutir un document tendant vers laperfection...

Je vous remercie par avance et vous souhaite un bon travail !

Stphane Pasquet

v
http://www.mathweb.fr/http://www.mathweb.fr/contact.htmlhttp://www.mathweb.fr/contact.htmlhttp://www.mathweb.fr/


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Compilation LATEX 2 de ce

documentDisponible surhttp: //www.mathweb.fr

6 novembre 2015

Ce document repose sur deux extensions personnelles :

pas-exos.sty

pas-echant.mod.tex

tous les deux disponibles gratuitement sur la page :

http://www.mathweb.fr/latex-packages-personnels.html

de mon site.

Il a t initialement rdig sous Ubuntu, mais dernirement compil sous Windows 10.

Vous aurez besoin de GIAC Xcas pour les calculs sur les chantillonnages.

Utilisateurs de Windows :vrifiez queC:\xcas\apparat bien dans le PATH (tapez invitede commandes dans la barre de recherche, lancez le terminal, puis tapez path et validez.Si ce chemin ne figure pas dans le PATH,

tapez variables denvironnement dans la barre de recherche et slectionnez Modifierles variables denvironnement systme

cliquez ensuite sur le bouton Variables denvironnement en bas de la fentre quiapparat ;

sous variables systme , il y a une fentre dans laquelle apparat une ligne commenant

par Path : slectionnez-l puis cliquer sur le bouton Modifier ; ajoutez C :\xcas\ en fin de ligne.

Il vous faudra redmarrer le systme pour que ce changement soit pris en compte.

vi
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noncs

Le second degrDisponible surhttp: //www.mathweb.fr

A Exercices dapplication du cours

R Exercices de rflexion6 novembre 2015

quations

Exercice 1. Calcul de discriminant et de racines A

Corrig page 8

Pour chacun des trinmes suivants, calculer le discriminant et ses ventuelles racines.

1 x2 2x+ 1

2 x2 3x+ 2

3 x2 + 3x 2

4 x2 + x+ 1

5 3x2 5x+ 1

6 2x2 5x+ 3

7 1

4x2 4x+ 16

8 3x2 8x+ 29 5x2 + 4x+ 3

Exercice 2. quation avec une racine carre ACorrig page 9

Rsoudre les quations suivantes :

1

x+ 1 = 2x 3 2 x2 8 = 2x 5 3 2x 1 = 1 2x

Exercice 3. Avec changement de variables ACorrig page 10


1 x 5x+ 4 = 02 x4 + 3x2 2 = 0

3 6

x2+

1

x 2 = 0

4 2

cos x

2

+ 3 cos x 2 = 0

5 (x2

3x+ 1)2

3(x2

3x+ 1) + 2 = 0

1


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Exercice 4. Changements de variables RCorrig page 13

On souhaite rsoudre sur] ; ]lquation (E) suivante :

4 sin x2 + 2

3

2 sin x

6 = 0

1 On pose = 20 + 8

6et on suppose que =

a+ b

62

.

a. Montrer que a2 + 6b2 = 20et ab = 4.

b. En dduire que a4 20a2 + 96 = 0.c. Trouver alors aet b et en dduire

.

2 En dduire les solutions de (E).

Inquations

Exercice 5. Rsolution dinquations ACorrig page 14

Rsoudre les inquations suivantes :

1 x2 + x+ 1 < 0

2 2x2 5x+ 3 0

3

x2 + 3x

2< 0

4 5x2 9x+ 3 0

5 3x2 7x+ 10 06 4x2 20x+ 25 > 0

7 1 4xx2

3x+ 2 0

8 (2x 3)(2x2 + 5x+ 3) < 0

Exercice 6. Une inquation RCorrig page 16

Rsoudre linquation :7x 105x 17

25(x+ 2)

10x2 49x+ 51

2


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Factorisation

Exercice 7. Polynme de degr 3 RCorrig page 17

On considre le polynme P(x) = 2x3 + 7x2 + 7x+ 2.

1 Vrifier que x=2est une racine de P.2 Factoriser alorsP(x)sous la forme P(x) = (x + 2)Q(x), oQ est un trinme de degr 2.

3 Rsoudre alors lquationP(x) = 0.

Exercice 8. Polynme de degr 4 RCorrig page 18

On considre le polynme P(x) = 10x4

29x3

34x2 + 107x

42.

1 CalculerP(3)et P(2).2 En dduire queP(x) =A(x) B(x), o A et B sont deux polynmes de degr 2 que lon

dterminera.

3 En dduire les racines deP.

Lectures graphiques

Exercice 9. Trouver un trinme partir dune parabole R

Corrig page 18

Nous avons trac dans le repre sur la page suivante des paraboles.

#

#

O

P1

P2

P3

P4

Retrouver les trinmes (sous la forme dveloppe) correspondant chacune delles.

Exercice 10. Trouver la bonne courbe RCorrig page 19

On considre la fonctionfdfinie par :

f(x) = 3x2 + 2x2 3x 2.

3


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1 Montrer quef(1) = 0.

2 En dduire une factorisation def(x)sous la forme f(x) = (x 1)(ax2 + bx+ c).3 En dduire la courbe reprsentative defparmi les trois ci-dessous :

a

1 1

4321

1

2

3

0

b

1 1

4321

1

2

3

0

c

1 1

4321

1

2

3

0

Trinme avec paramtres

Exercice 11. Conditions sur deux paramtres RCorrig page 20

On considre le trinme x2 + mx+p, omet psont deux rels. quelles conditions sur m et pce trinme admet au moins une racine ?

Exercice 12. Trinme avec un paramtre RCorrig page 20

Montrer que, pour toutkdans R \ {1}, le polynme :

P(x) = (k+ 1)x2 + 2kx+ (k 1)

admet toujours deux racines distinctes.

Exercice 13. Une quation avec paramtre RCorrig page 20

On considre lquation :

(Em) : (2m+ 1)x2 + (m 1)x+ (m+ 4)(m 1) = 0.

1 Pourm= 0, donner les solutions de(E0).

2 Pour quelles valeurs demlquation(Em)admet-elle une unique solution ?3 Pour quelles valeurs demlquation(Em)admet-elle 1 pour solution ?

4


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Exercices de recherche

Exercice 14. La trajectoire de la balle de tennis RCorrig page 22

Un joueur de tennis se trouve 9 m du filet et renvoie la balle h = 50 cm du sol avec unangle de = 20avec lhorizontale. En fonction de sa position dlicate, on estime sa vitesse defrappe v0= 20km/h.

Sachant que la hauteur du filet est 91,4 cm et que la trajectoire de la balle est donne par laformule :

y=12 g

(v0cos )2 x

2 + x tan + h ,

o :

g9, 81 m s1,

v0est la vitesse initiale (exprime en m s1), est langle de la trajectoire avec lhorizontale,

hest la hauteur initiale (exprime en mtre),

La balle dpassera-t-elle le filet ?Si tel nest pas le cas, quelle vitesse aurait-il fallu donner la balle en la frappant ?

Exercice 15. En Physique RCorrig page 23

On dispose de deux conducteurs de rsistances R1 etR2.Si on les monte en srie (figure I.1), on obtient un diple ohmique de rsistance r = R1+ R2.Si on les monte en parallle (figureI.2), on obtient un diple ohmique de rsistance R telle que1

R=

1

R1+

1

R2(on dit que Rest la moyenne harmoniquedeR1etR2).

R1 R2

FigureI.1 En srie

R1

R2

FigureI.2 En parallle

1 On sait que r= 10 et R= 2 .

TrouvezR1etR2.

5


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2 Reprenez la question prcdente avecr= 4 et R= 1 .

3 On connatretR.

Montrez que lon peut alors calculer R1etR2 la seule condition que r 4R.

Exercice 16. Nol RCorrig page 23

Plusieurs personnes se sont runies pour fter Nol. Chaque personne a apport trois cadeaux chacune des autres personnes.Sachant quau total 468 cadeaux ont t dposs prs de larbre de Nol, combien de personnesy avait-il?

Exercice 17. Vers le nombre dor RCorrig page 24

1 Rsoudre lquation : x2 = 1 + x.

On notera la solution positive.

2 Que vaut :

N=

1 +

1 +

1 +

1 + ?

Exercice 18. Une autre criture pour une racine carre RCorrig page 24

On pose :A=

33 + 20

2.

On cherche crire A sous la forme a+ b

2, oaet b sont deux entiers relatifs.

1 Dvelopper

a+ b

22

.

2 Montrer alors que :

a2 + 2b2 = 33

ab= 10

3 Calculer alors aet b.

4 Sinspirer de ce qui vient dtre fait pour trouver une formule permettant de calculera etbtels que :

p+ q

n= a+ b

n ; p Z, q Z, nN.

6


13/169

Exercice 19. Aire dune couronne rectangulaire RCorrig page 26

16

30

x

x

x xDterminer x de sorte que laire de la partieblanche de la figure ci-contre soit gale celle durectangle plein.

Exercice 20. Trouver deux nombres RCorrig page 27

Deux entiers naturels ont pour diffrence 7, et la diffrence entre leur produit et leur sommeest gale 43.

Trouver ces deux nombres.

7


14/169

Corrigs

6 novembre 2015

Corrig de lexercice 1.

1 x2 2x+ 1 = (x 1)2 (cest une identit remarquable).

Par consquent, = 0et sa racine double est = 1.

2 x2 3x+ 2. = (3)2 4 1 2 = 9 8 = 1.

Les racines sont donc :

=(3) 1

2 1 = 1 et =(3) + 1

2 1 = 2.

3 x2 + 3x 2. = 3

2

4 (1) (2) = 9 8 = 1.Les racines sont donc :

=3 12 (1) = 2 et =

3 + 12 (1) = 1.

4 x2 + x+ 1. = 12 4 1 1 =3.

< 0 donc le trinme na aucune racine.

5 3x2 5x+ 1. = (5)2 4 3 1 = 25 12 = 13.


=(5) 13

2 3 =5 13

6 et =

5 +

13

6 .

6 2x2 5x+ 3. = (5)2 4 (2) 3 = 25 + 24 = 49.


=(5) 49

2 (2) =5 7

4 =1

2 et =

5 + 7

4 =3.

8


15/169

7 1

4x2 4x+ 16.

= (4)2 4 14 16 = 16 16 = 0.

Donc le trinme a une racine double :

=

42

14

= 8.

8 3x2 8x+ 2. = (8)2 4 3 2 = 64 24 = 40.


=(8) 40

2 3 =8 210

6 =

4 103

et=4 +

10

6 .

9 5x2 + 4x+ 3. = 42 4 (5) 3 = 16 + 60 = 76.


=4 76

2 (5) =4 219

10 =2 +

19

5 et =

2 195

.


1 Le domaine de validit de lquation :

x+ 1 = 2x 3est lensemble des valeurs de xtelles que :

x+ 1 02x 3 0soit :

x 3

2.

On a :

x+ 1 = 2x 3x+ 1 = (2x 3)2

x+ 1 = 4x2

12x+ 9

4x2 13x+ 8 = 0.Le discriminant de4x2 13x+ 8 est :

= 169 128 = 41.Les solutions de lquation sont donc potentiellement :

=13 41

8 0, 82 et =13 +

41

8 2, 43.

Comme 0Le discriminant de 4x2 20x+ 25est = 400 4 4 25 = 0. Par consquent, il estdu signe de 4 (donc positif) tout le temps sauf en sa racine =20

2 4 = 5

2(o il

est nul). Par consquent, lensemble solution de linquation est :

S= R \

5

2

7 1 4xx2 3x+ 2 0Le discriminant dex2 3x + 2est = 9 8 = 1. Par consquent, il admet deux racinesdistinctes =

3 12

= 1et =3 + 1

2 = 2. On en dduit le tableau de signes suivant :

x

14xx2 3x+ 2

1

4x

x2 3x+ 2

14 1 2 +

+ 0 + + 0 0 +

+ 0 +

Lensemble solution de linquation est alors :

S= ;1

4

]1;2[

8 (2x 3)(2x2 + 5x+ 3) < 0Le discriminant de

2x2 + 5x+ 3 est = 25 + 24 = 49 donc il admet deux racines :

=5 74 = 3et =5 + 74 =12 . On en dduit le tableau de signes suivant :

x

2x 32x2 + 5x + 3

(2x 3)(2x2 + 5x+ 3)

12

32 3 +

0 + + 0 + + 0 + 0 0 + 0

Lensemble solution de linquation est alors :

S=1

2;

3

2

] 3 ; +[

15


22/169

Corrig de lexercice 6.Avant toute chose, on cherche le domaine de validit de linquation.

Cette inquation existe lorsque :

5x 17= 0

10x2

49x+ 51= 0Le discriminant du polynme10x2 49x+ 51 est :

= (49)2 4 10 51= 361

= 192 >0

donc il admet deux racines distinctes :

x1 =(

49)

19

2 10 =3

2 et x2 =

49 + 19

20 =

17

5 .

Il peut donc se factoriser sous la forme :

10x2 49x+ 51 = 10

x 32

x 17

5

= 5 2

x 32

x 17

5

= 2

x 3

2 5

x 17

5 = (2x 3)(5x 17).Cette factorisation va tre importante pour la rsolution de linquation.Le domaine de validit de linquation est donc R \3

2;

17

5

.

7x 105x 17

25(x+ 2)

10x2 49x+ 51 7x 10

5x 17 25(x+ 2)

10x2 49x+ 51 0

7x 105x 17

25(x+ 2)

(2x 3)(5x 17) 0

(7x

10)(2x

3)

(5x 17)(2x 3) 25(x+ 2)

(2x 3)(5x 17) 0 14x

2 21x 20x+ 30 25x 5010x2 49x+ 51 0

14x2 66x 20

10x2 49x+ 51 0

2(7x2 33x 10)

10x2 49x+ 51 0

Le discriminant du polynme7x2 33x 10est :

= (33)2

4 7 (10)= 1 369

= 372 >0.

16


23/169

Donc il admet deux racines distinctes :

=(33) 37

2 7 =2

7 et =

33 + 37

14 = 5.

En utilisant la proprit du signe dun trinme du second degr, on obtient le tableau de signessuivant :

x

7x2 33x1010x2 49x+ 51

2(7x2 33x 10)10x2 49x+ 51

27 3 175 5 ++ 0 0 ++ + 0 0 + ++ 0 + 0 +

Ainsi, S=

; 2

7

3

2;

17

5

[ 5 ; +[


1 P(2) = 2 (2)3 + 7 (2)2 + 7 (2) + 2=16 + 28 14 + 2=30 + 30= 0.

P(2) = 0doncx=2est une racine de P.2 P(x) = (x+ 2)(ax2 + bx+ c)

=ax3 + bx2 + cx+ 2ax2 + 2bx+ 2c

=ax3 + (b+ 2a)x2 + (c+ 2b)x+ 2c

Ainsi, on souhaite que, pour tout rel x:

2x3 + 7x2 + 7x+ 2 =ax3 + (b+ 2a)x2 + (c+ 2b)x+ 2c.

Par identification des coefficients, on a :

2 =a

7 =b+ 2a

7 =c+ 2b

2 = 2c

On en dduit quea= 2etc = 1. Par suite, laide de la troisime quation (par exemple),on trouveb= 3.

Finalement, on obtient :

P(x) = (x+ 2)(2x2 + 3x+ 1)

3 P(x) = 0x+ 2 = 0 ou 2x2 + 3x+ 1 = 0.Le discriminant de 2x2 + 3x+ 1 = 0 est = 98 = 1 donc il admet deux racines :=

3 14

=1et =3 + 14

=12

.

Par consquent, lensemble solution de lquation P(x) = 0est :

S=2 ; 1 ; 1

2

17


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1 P(3) = 0et P(2) = 0.2 On en dduit queP(x) = (x3)(x+2)(ax2+bx+c), soitP(x) = (x2x6)(ax2+bx+c).

(x2

x

6)(ax2 + bx+ c) =ax4 + bx3 + cx2

ax3

bx2

cx

6ax2

6bx

6c

=ax4 + (b a)x3 + (c b 6a)x2 + (c 6b)x 6c= 10x4 29x3 34x2 + 107x 42

Donc :

a = 10

b a =29c b 6a =34c 6b = 107

6c =

42

On en dduit quea= 10et c = 7, puis que b=29 + a=19.Finalement, P(x) = (x2 x 6)(10x2 19x+ 7) .

3 Le discriminant du polynme10x2 19x+ 7 est : = (19)2 4 10 7 = 81 = 92.

Ses deux racines sont alors :

x1=19 9

20

=1

2

et x2=19 + 9

20

=7

5

.

Les racines dePsont donc :2, 3, 75

et 1

2.


Pour P1.

On voit que ses deux racines sont =1et = 3.Par consquent, le trinme est de la forme f1(x) =a(x+ 1)(x

3).

Le sommet de la parabole est le point de coordonnes (1 ; 4)doncf1(1) = 4. Ainsi,

a(1 + 1)(1 3) = 4 4a= 4a =1.

On a donc :

f1(x) =(x+ 1)(x 4) soit f1(x) =x2 + 3x+ 4

Pour P2.

On voit que le trinme na pas de racines car la parabole ne coupe pas laxe des abscisses.

Posonsf2(x) =ax2 + bx+ c.

La parabole passe par le point de coordonnes (0 ; 1)doncf2(0) = 1, soitc= 1.

18


25/169

La parabole passe par le point de coordonnes (2 ; 1)doncf2(2) = 1, soita 22 + 2b+ 1 = 1, soit4a+ 2b= 0ou encore b=2a.On peut alors crire : f2(x) =ax2 2ax+ 1.

La parabole passe par le point de coordonnes (4 ; 5)doncf2(4) = 5, soit16a

8a+ 1 = 5, ou encore8a= 4. Donca=

1

2

On en dduit alors quea=1

2, b=2 1

2=1et c= 1. Donc :

f2(x) =1

2x2 x+ 1

Pour P3.

Posonsf3(x) =ax2 + bx+ c.

A (0 ; 3)P3=c =3. B (4 ; 3) P3=16a 4b 3 =3, soit4a= b. Doncf3(x) =ax2 + 4ax 3. C(2 ; 1) P3=4a 8a 3 =1, soit4a= 2doa=1

2.

On en dduit :

f3(x) =12

x2 2x 3

Pour P4.

Laxe des abscisses est tangent la parabole donc f4(x) = a(x

)2. Lunique racine

tant2, on a f4(x) =a(x+ 2)2.De plus,f4(0) = 1et f4(0) = 4adonca=

1

4. Finalement, on a :

f4(x) =1

4x2 + x+ 1


1 f(1) = 3

13 + 2

12

3

1

2 = 3 + 2

3

2 = 0.

2 (x 1)(ax2 + bx+ c) =ax3 + bx2 + cx ax2 bx c=ax3 + (b a)x2 + (c b)x c

Ainsi, pour tout rel x:

f(x) = (x 1)(ax2 + bx+ c) 3x3 + 2x2 3x 2 =ax3 + (b a)x2 + (c b)x c

a = 3

b a = 2c b =3

c =2

a= 3

b= 5

c= 2

On a alors :f(x) = (x 1)(3x2 + 5x+ 2).

19


26/169

3 f(1) = 0doncCfcoupe laxe des abscisses enx= 1. On peut donc liminer la courbe b.De plus, le discriminant de3x2 + 5x+ 2 est :

= 25 24 = 1> 0 ,donc ce polynme admet 2 racines distinctes, ce qui signifie que Cfcoupe laxe des abscissesen 3 points distincts.Ainsi, la courbe aest celle qui reprsente la fonctionf.


On sait quun trinme admet au moins une racine lorsque son discriminant est positif ounul.Ici,

=m2 4p.Il faut donc que :

m2 4p

pour que le trinme ait au moins une racine.

Corrig de lexercice 12.Le discriminant de :

P(x) = (k+ 1)x2 + 2kx+ (k 1)est :

= (2k)2 4 (k+ 1) (k 1)= 4k2

4(k2

1)

= 4> 0.

Donc Padmet toujours deux racines, quelle que soit la valeur de k.


1 Pourm= 0, on a :(E0) : x

2 x 4 = 0Le discriminant du polynmex2 x 4est :

=b

2

4ac= (1)2 4 1 (4)= 1 + 16

= 17.

Ainsi,> 0 donc il y a deux solutions lquation(E0)qui sont :

=b

2a =

1 172

et =b+

2a =

1 +

17

2 .

Lensemble solution de(E

0)est donc :

S =

1 17

2 ;

1 +

17

2

20


27/169

2 Lquation(Em)admet une unique solution lorsque le discriminant du membre de gaucheest gal 0. Ce discriminant est :

=b2 4ac= (m 1)2 4(2m+ 1)(m+ 4)(m 1)

= (m 1)(m 1) 4(2m+ 1)(m+ 4)= (m 1)m 1 4(2m2 + 8m+ m+ 4)= (m 1)(m 1 8m2 36m 16)= (m 1)(8m2 35m 17).

= 0m 1 = 0 ou 8m2 35m 17 = 0m = 1 ou 8m2 + 35m+ 17 = 0

Le discriminant du polynme8m2 + 35m+ 17 est :

= 352 4 8 17 = 681,

donc ce polynme admet deux racines :

m1=35 681

16 et m2=

35 + 68116

.

Ainsi, lquation(Em)admet une unique solution pour trois valeurs dem:

m= 1 ; m=35

681

16 ; m=35 +

681

16 .

3 (Em)admet 1 pour solution si, en remplaantxpar 1 dans lquation, lgalit est vrifie :

1 est solution de(Em)(2m+ 1) 12 + (m 1) 1 + (m+ 4)(m 1) = 02m+ 1 +m 1 + m2 m+ 4m 4 = 0m2 + 6m 4 = 0.

Le discriminant du polynmem2 + 6m 4est : =b2 4ac

= 62 4 1 (4)= 36 + 16

= 52.

Il existe donc deux solutions lquation m2 + 6m 4 = 0:

m1 =6 522

=3 13 et m2 =3 + 13.

Ainsi, 1 est solution de lquation (Em)pourm=3 +

13et pour m=3 13.

21


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#

#

O

Filet

20

9 m

On convertit :20km/h = 20 000m

3600s 5, 56 m s1.

En remplaant les lettres dans la formule donne, on a :

y=12 9, 81

(5, 56 cos20)2 x2 + x tan20+ 0, 5,

soit :

y=0,179687471x2

+ 0,363970234x+ 0, 5.Le sommet de la parabole a pour abscisse :

b2a

= 0,3639702342 (0,179687471) 1.

Donc, au sommet de sa trajectoire, la balle naura pas encore atteint le filet.

En prenantx= 9, on obtient :y 10, 8

ce qui signifie que la balle aura touch le sol avant 9 mtres.Le joueur a donc perdu.

Cherchons la vitesse minimale v (en ms1) donner la balle lors de la frappe pour quellefranchisse le filet.

La fonction dfinie par :

f(x) =5,554786596v2

x2 + 0,363 970 234x+ 0, 5

reprsente la hauteur (en mtre) de la balle en fonction de sa position x.On veut quef(9)> 0, 914, soit :

5,554786596

v2 92 + 0,363970234

9 + 0, 5> 0, 914

cest--dire :449, 955

v2 + 2, 862> 0 =449, 955

v2 >2, 862

= 1v2

< 2, 862449, 955

=v2 > 449, 9552, 862

=v2 >157, 217

=v > 157, 217=v >12, 54La vitesse donner doit donc tre suprieure 12,54 ms1 (soit peu prs 45 km/h).

22


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1 1

R=

1

R1+

1

R2donc R=

R1R2r

, ce qui donne :

2 =R1R2

10 soit : R1R2 = 20.

Daprs le cours, on sait que P =R1R2 = 20et S=R1+R2= 10et donc que R1etR2sont racines du trinme :

x2 Sx+ P soit : x2 10x+ 20 ,

dont le discriminant est :

= (10)2 4 1 20 = 100 80 = 20.

Les deux racines sont donc :

R1=10 20

2 = 5 5 et R2 = 5 +

5.

2 On a dune part :

R=R1R2

r 1 = R1R2

4 P =R1R2 = 4

et dautre partS=R1+ R2 = 4.

Le trinmex2 Sx+ P =x2 4x+ 4 a pour discriminant :

= (4)2 4 1 4 = 0.

On peut donc dire que R1=R2= b2a

=4

4= 1.

3 Nous lavons vu, on ne peut calculerR1et R2que lorsque le discriminant de x2 Sx + Pest suprieur ou gal 0, soit lorsque :

S2 4P 0

donc :

r2 4rR 0ou encore :

r(r 4R) 0.Or,r= 0donc cette dernire inquation donne, en simplifiant par r:

r 4R.


Notons xle nombre total de personnes.Une personne offre 3 cadeaux (x 1)personnes donc :

3x(x 1) = 468

23


30/169

soit :x(x 1) = 156

ou encore :x2 x 156 = 0.

Le discriminant dex2

x 156est : = (1)2 + 4 1 156 = 625 = 252.

Il y a donc deux racines :

=(1) 25

2 =12< 0 et =1 + 25

2 = 13> 0.

Il ny a donc quune solution notre problme : il y a 13 personnes.


1 Lquation est quivalente x2 x 1 = 0.

Le discriminant du trinme est : = 5

donc les solutions de lquation sont :

=1

5

2 et =1 +

5

2 .

2 On a :

N2 = 1 +

1 +

1 +

1 +

1 + = 1 + N.Donc Nest solution de lquation de la question 1.

Comme N >0, on en dduit que :

1 + 1 +1 + 1 + = = 1 + 52 .Corrig de lexercice 18.

1

a+ b

22

=a2 + 2b2 + 2ab

2.

2 SiA= a+ b

2 =

33 + 20

2, alorsA2 =a2 + 2b2 + 2ab

2 = 33 + 20

2.

Par identification du coefficient de

2et du nombre entier, on a :a2 + 2b2 = 332ab= 20 soit :a2 + 2b2 = 33ab= 10

24


31/169

3 De la seconde quation du systme prcdent, on peut dduire :

b=10

a

et en remplaantbpar cette valeur dans la premire quation, on obtient :

a2 +200a2

= 33

soit :a4 33a2 + 200 = 0.

En posantX=a2, on arrive :

X2 33X+ 200 = 0

dont le discriminant est :

= (33)2

800 = 289 = 172

.

Les deux solutions de X2 33X+ 200 = 0sont alors :

X1 =33 + 17

2 = 25 et X2 =

33 172

= 8.

Donc les solutions de a4 33a2 + 200 = 0sont a1eta2 tels que :a21 = 25 et a

22 = 8

soit :

a1 = 5ou a1=5 et x2= 22ou a2=22.Or,a Zdonca = 5ou a =5.

Sia= 5, alorsb=10

5 = 2et A= 5 + 2

2 ;

Sia=5, alors b=2et A =5 22< 0, ce qui nest pas possible car A >0.

Ainsi,

33 + 20

2 = 5 + 2

2

4 PosonsA= p+ qn. Alors, A2 =p+ qndo :a2 + nb2 =pb= q2a

La premire quation devient alors :

a2 +nq2

4a2 =p

ou encore :a4 4pa2 + nq2 = 0.

ou encore :X2 4pX+ nq2 en posant X=a2.

25


32/169

Le discriminant est : = 16p2 4nq2 = 4(4p2 nq2).

Premire condition dexistence :il faut que 4p2 nq2 0pour pouvoir transformerlcriture de A.

Dans ce cas, les deux solutions X1etX2sont :

X1=4p 24p2 nq2

2 = 2p

4p2 nq2 et X2 = 2p+

4p2 nq2.

Deuxime condition : il faut que2p 4p2 nq2 0et 2p+ 4p2 nq2 0.Dans ce cas,

a1=

2p

4p2 nq2 et a2=

2p+

4p2 nq2.

Or,a Zdonc :3e condition :il faut que

2p 4p2 nq2 Nou que

2p+

4p2 nq2 N.On a alors :

a=

2p

4p2 nq2 et b= q2

2p 4p2 nq2.

Corrig de lexercice 19.Notons

Alaire du grand rectangle lintrieur duquel se trouve le rectangle plein, dont

laire sera noteA.A A dsignera donc laire de la partie blanche.

A A = 30 16 (30 2x)(16 2x)= 480 (480 60x 32x+ 4x2)= 92x 4x2.

Ainsi, laire de la partie blanche est gale celle du rectangle intrieur si :

92x 4x2 = 480 92x+ 4x2 8x2 184x+ 480 = 0 x2 23x+ 60 = 0 (en divisant les deux

Le discriminant dex2 23x+ 60 est :

= (23)2 4 60 = 289 = 172

donc les solutions de lquation x2 + 23x+ 60 = 0 sont :

x1 =23 17

2 = 3 et x2 =

23 + 17

2 = 20.

Or,0 x 8car la largeur du rectangle extrieur est gale 16 et que xne peut excder samoiti.

Ainsi, pourx= 3, laire de la partie blanche est gale celle du rectangle intrieur.

26


33/169

Corrig de lexercice 20.Notons xet yles deux nombres. On sait alors daprs lnonc que :

x y= 7xy (x+ y) = 43

La premire quation nous donne :x= 7 + y

donc en remplaant xpar cette dernire expression dans la seconde quation, on a :

(7 + y)y (7 + y+ y) = 43 7y+ y2 7 2y = 43 y2 + 5y 50 = 0.

Le discriminant dey2 + 5y 50est :

= 52

4

(

50) = 25 + 200 = 225 = 152

donc deux valeurs sont possibles poury:

y1 =5 15

2 =10 et y2=5 + 15

2 = 5.

Or,y Ndoncy=10 ; seuley= 5est une valeur possible.On en dduit alors que x = 7 + y= 7 + 5 = 12.

Les deux nombres sont donc 5 et 12.

27


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noncs

Gnralit sur les fonctionsDisponible surhttp: //www.mathweb.fr


R Exercices de rflexion

6 novembre 2015

Exercice 1. Trouver le domaine de dfinition ACorrig page 32

Pour chacune des fonctions suivantes, trouver le domaine de dfinition D.1 f(x) = 3x2 5x+ 2

2 f(x) =x 2

x

3 f(x) =

3x 1

4 f(x) = 3

9x 7

5 f(x) =

x

1

x+ 1

6 f(x) =

x 1x+ 1

7 f(x) =

x2 3x+ 2

8 f(x) =

x2 1 x2 2x+ 1

9 f(x) =

x2

4x+ 3

x2 5x+ 4

Exercice 2. Fonctions paires, fonctions impaires ACorrig page 34

Pour chacune des fonctions suivantes, dites si elles sont paires, impaires ou ni lune ni lautre.

1 f1(x) =x2 12 f2(x) =x

2

3x+ 1

3 f3(x) = 2xx2 + 1

4 f4(x) = x

x2 + 3

5 f5(x) = xx 3

Exercice 3. Lecture de tableaux de variation RCorrig page 35

1 La fonction fa pour tableau de variation :

x

f(x)

5 0 5 10

22 11 33 55

a. Combien lquation f(x) = 0admet-elle de solution(s) ?

28


35/169

b. Quel est le minimum de f? Le maximum?

c. Combien lquation f(x) =32

admet-elle de solution(s) ?

2 La fonction ga pour tableau de variation :

x

g(x)

2 1 5 711 55 22 44

a. Quel est le minimum de g ? Le maximum?

b. Combien lquation g(x) = 0admet-elle de solution(s) ?

c. Rsoudre linquationg(x) 0sur [2 ; 7 ].d. Combien lquation g(x) =3admet-elle de solution(s) ?

Exercice 4. Lectures graphiques RCorrig page 35

1 partir des courbes suivantes, dresser un tableau de variations des fonctionsfetg.

#

#

O

f

g

2 Rsoudre graphiquement :

a. f(x) 0

b. g(x) 2c. f(x) =g(x)

3 On donne : f(x) =x+ 1

x 1 etg(x) =1

3x2 1

4 x 2.Rsoudre algbriquement linquationg(x) 2, puis comparer avec les rsultats trouvs la question 2 b.

29


36/169

Exercice 5. Dcompositions en fonctions de rfrence ACorrig page 36

laide des fonctions de rfrences (xax+b, xx,x 1x

etxx2), dcomposez lesfonctions suivantes afin de trouver leur sens de variation sur le ou les intervalles prcis(s).

1 f1 : x 2 5xsur 25

; +2 f2 : x 2x+ 3 + 5

x 1 sur] ; 1[et sur]1 ; +[

3 f3 : x 21 3x+ 1 sur]1 ; +[

4 f4 : x(2x+ 8)2 sur] ; 4]

5 f5

: x

2

(x+ 3)2 sur]

3 ; +

[

Exercice 6. Fonctions associes : domaine de dfinition et variations (1) ACorrig page 37

Pour chacune des fonctions suivantes, donner lensemble de dfinition puis les variations sur cetensemble.

1 f(x) = 3

(2 3x)22 g(x) = (x 2)

2 4

Exercice 7. Fonctions associes : domaine de dfinition et variations (2) ACorrig page 38


f(x) =x2 4x 5.

1 Dresser le tableau de variation def.

2 On poseg(x) = f(x).a. Dterminer lensemble de dfinition deg.

b. En justifiant soigneusement toutes les tapes, dresser le tableau de variation de g.

3 On poseh(x) =|f(x)|.a. Dterminer lensemble de dfinition deh.

b. Dresser le tableau de variation de h en justifiant.

4 On posei(x) = 1

f(x)

.

a. Dterminer lensemble de dfinition dei.

b. Dresser le tableau de variation de i en justifiant.

30


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Exercice 8. tude dune fonction avec valeurs absolues ACorrig page 39


f(x) =|x 1| |x+ 2|.

1 Trouver les expressions def(x)sans valeurs absolues suivant les valeurs de x.

2 En dduire les variations (sous forme de tableau par exemple) de la fonctionf.

3 Trouver les variations de la fonctiong : x |f(x)|.

Exercice 9. Valeur absolue dun polynme de degr 2 ACorrig page 39


f(x) =|x2 3x+ 2|.

1 Trouver les expressions def(x)sans valeurs absolues suivant les valeurs de x.

2 En dduire les variations (sous forme de tableau par exemple) de la fonctionf.

3 Rsoudre linquation f(x) x+ 3.

Exercice 10. Calculs avec valeurs absolues ACorrig page 40

Effectuer les calculs suivants. On mettra les rsultats sous sa forme la plus simplifie.

15 38

2

1 137

33 1 + 12 5

45 3 125 15

Exercice 11. quations avec valeurs absolues ACorrig page 41


1 |x 1|= 62 |x+ 2|=33 |2x+ 3|= 5

4 |3x 1|=|4x+ 2|5 |5x 3|=|2x+ 1|6 |x2 3|= 1

31


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Corrigs

6 novembre 2015


1 f(x) = 3x2 5x+ 2.

f(x)est un trinme du second degr donc dfini pour tout rel x. Ainsi,

D= R

2 f(x) =x 2

x .

f(x)est un quotient dont le numrateur est dfini pour tout rel x (car cest une fonctionaffine). Son dnominateur ne doit pas tre gal 0. Donc

x= 0, soit x= 0(1).

Le dnominateur est une racine carre donc son radicande (x) doit tre suprieur ou gal 0, donc x 0(2).

Les conditions (1) et (2) nous donne :

D= ]0 ; +[

3 f(x) =

3x 1.f(x)est une racine carre donc son radicande (3x 1) doit tre suprieur ou gal 0.

3x 1 0x 13

.

Par consquent,D=13; +

4 f(x) = 3

9x 7 .f(x)est un quotient dont le numrateur est toujours dfini et dont le dnominateur doittre non nul (diffrent de 0). Do :

9x 7= 0x=79

.

On en dduit alors :

D= R \7

9

32


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5 f(x) =

x 1x+ 1

.

Les deux conditions remplir ici sont :

x 1 0

x+ 1 > 0 (dnominateur non nul)

x 1

x >1x 1.

Do :D= [1 ; +[

6 f(x) =

x 1x+ 1

.

Les conditions remplir ici sont :

x 1x+ 1

0

x+ 1= 0

Pour rsoudre linquation x 1x+ 1

0, nous devons nous aider du tableau de signes

suivant :

xx 1x+ 1

x 1x+ 1

1 1 + 0 + 0 + ++

0 +

Ainsi,D= ] ; 1[ [ 1 ; +[

7 f(x) =

x2 3x+ 2.f(x)existe lorsquex2 3x+ 2 0.Le discriminant de x2 3x+ 2 est = 98 = 1 donc ce trinme a pour racines

=

3

1

2 = 1et =

3 + 1

2 = 2.On sait quun trinme est du signe du coefficient de x2 lextrieur de ses racines do :

D= ] ; 1] [ 2 ; +[

8 f(x) =

x2 1 x2 2x+ 1.f(x)existe quandx2 1 0et x2 2x+ 1 0.x2 1 0lorsquex] ; 1] [ 1 ; +[car les racines (videntes) dex2 1sont1 et

1.

De plus,x2 2x+ 1 = (x+ 1)2 0pour tout rel x. On en dduit alors que :

D= ] ; 1] [ 1 ; +[

33


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9 f(x) =

x2 4x+ 3

x2 5x+ 4 .Les conditions remplir ici sont :

x2 4x+ 3 0x2

5x+ 4

= 0

Le discriminant de x2 4x+ 3est = 16 12 = 4donc x2 4x+ 3admet deuxracines :=

4 42

= 1et =4 + 2

2 = 3.

Ainsi,x2 4x+ 3 0pour x] ; 1] [ 3 ; +[. Le discriminant dex2 5x+ 4 est = 25 16 = 9donc x2 5x+ 4 admet deux

raines : =5 3

2 = 1et =

5 + 3

2 = 4.

On en dduit alors :

D= ] ; 1[ [3;4[ ] 4 ; +[


1 f1(x) =x2 1.

Le domaine de dfinition de f1 est R, donc centr en 0.

De plus,f1(x) = (x)2 1 =x2 1 =f1(x).

Par consquent, f1est paire.

2 f2(x) =x2 3x+ 1.

Le domaine de dfinition de f2 est R, donc centr en 0.

De plus,f2(x) = (x)2 3(x) + 1 =x2 + 3x+ 1.Donc f2(x)=f2(x)et f2(x)=f2(x).

Par consquent, f2nest ni paire ni impaire.

3 f3(x) = 2x

x2 + 1.

Le domaine de dfinition de f3est R, donc centr en 0 (car x2 + 1 0pour tout relx).

De plus,f3(x) = 2(x)

(x)2 + 1 =2xx2 + 1 =f3(x).

Par consquent, f3est impaire.

4 f4(x) = x

x2 + 3.

Le domaine de dfinition def4estR

, donc centr en 0 (car x2

+ 3= 0pour tout relx). De plus,f4(x) = x

(x)2 + 3 = x

x2 + 3=f4(x).

34


41/169

Par consquent, f4est impaire.

5 f5(x) = x

x 3 .

Le domaine de dfinition de f5 est D= R \ {3}(carx 3= 0x= 3).

Dnest pas centr en 0 donc f5ne peut pas tre paire ou impaire.


1 a. Lquationf(x) = 0admet une unique solution dans lintervalle ]5;10[.

b. Le minimum de f est3, atteint pour x = 5 et son maximum est 5, atteint pourx= 10.

c. Lquationf(x) =

3

2a 2 solutions ; lune dans ]

5 ; 0 [et lautre dans ]0 ; 5[.

2 a. Le minimum de g est5, atteint pour x = 1 et le maximum est1, atteint pourx=2.

b. Lquation g(x) = 0admet aucune solution car son maximum est strictement inf-rieur 0.

c. Le minimum de g sur [2 ; 7 ]tant strictement infrieur 0, linquation g(x) 0apour solution : S= [2 ; 7 ].

d. Lquationg(x) =

3admet 3 solutions : une sur ]

2 ; 1 [, une autre sur]1 ; 5[et uneautre sur]5 ; 7[.


1 Nous avons :

x

f(x)

5 1 5

x

g(x)

5 12 12 5

2 a. f(x) 0x[5 ; 1] ]1;5].b. La droite dquationy =2coupe la courbe reprsentative de g en 3 points dabs-

cisses respectives : x1 0, 9,x2 = 0et x3 = 0, 9.Linquation g(x) 2a alors pour ensemble solution : S= [5 ; 0, 9] [ 0 ; 0, 9].

35


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N.B. Lchelle du graphique ainsi que ses graduations ne nous permettent pas dedonner avec prcision les abscisses x1 et x3, donc si llve donne dautres valeursque celles donnes ici, le rsultat sera correct (dans la mesure o les valeurs sontproches de0, 9et 0, 9).

c. Les solutions de lquation f(x) = g(x) sont les abscisses des points dintersection

des courbes reprsentatives des fonctions fetg.On peut alors dire que lensemble solution est approximativement :S={0, 4 ; 2, 5}.

3 g(x) 2 13

x3 14

x 2 2

13

x3 14

x 0

x1

3x2 1

4

0

Les racines de 1

3x2 1

4sont

3

2 et

3

2, do le tableau de signes suivant :

x

x13

x2 14

x13

x2 14

5

32

032

5 0 + ++ 0 0 + 0 + 0 0 +

Lensemble solution de linquation est donc : S=

5 ;

3

2

0 ;

3

2

, ce qui corres-

pond bien aux rsultats trouvs la question 2 b.car 32

0, 86.


1 f1 : x

2 5xsur2

5; +.

f1 : x u2 5x

u 2 5x.

La fonction u : x 2 5xest une fonction affine de coefficient directeur ngatif donc

elle est dcroissante; en prenant la racine carre de u, on ne change pas les variationsdoncuest dcroissante.

f1 est donc dcroissante sur2

5; +

2 f2 : x 2x+ 3 + 5x 1 sur] ; 1[et sur]1 ; +[.

Posons :f2 : xg + ho :g : x

u

x

1 v=

u

x

1w= 1

v

1

x 15w

5

x 1eth : x

2x+ 3.

Pour g, u est une fonction affine croissante, donc v =

u est aussi croissante et donc

w=1

vest dcroissante, ce qui fait que 5west aussi dcroissante.

36


43/169

De plus,hest une fonction affine dcroissante.

Ainsi, f2 est dcroissante comme somme de fonctions dcroissantes sur ] ; 1[ et sur] 1 ; +[.

3 f3 : x 2

1 3x+ 1 sur]1 ; +[. : x

ux+ 1 v=u x+ 1 w=3v 3x+ 1 z=1+w 1 3x+ 1

1z 1

1 3x+ 12 1

z 21 3x+ 1

u est une fonction affine croissante, donc v =

u est croissante, donc w =3v estdcroissante, doz= 1 + waussi et

1

zest croissante. Ainsi,2 1

zest dcroissante.

Ainsi,f3est dcroissante sur ]1 ; +[.

4 f4 : x

(

2x+ 8)2 sur[4 ; +

[.

f4 : x u 2x+ 8 v=u2 (2x+ 8)2.

uest une fonction affine dcroissante et positive sur ] ; 4](car2x+ 8 0 2x 8x 4).La fonction carr tant croissante lorsque sa variable est positive, v = u2 est croissantelorsqueu 0, cest--dire sur] ; 4].f4 est donc croissante sur] ; 4].

5 f5 : x 2

(x+ 3)2 sur]3 ; +[.

f5 : x ux+ 3 v=u2(x+ 3)2 w=

1

v 1(x+ 3)2

2w 2(x+ 3)2

u est croissante et u 0 sur ]3 ; +[, donc v = u2 est croissante, donc w = 1v

estdcroissante, donc2west croissante.f5 est donc croissante sur]3 ; +[.

Corrig de lexercice 6.1 On a :Df= ;2

3

2

3; +et :

x

23x

(23x)21

(2 3x)23

(2 3x)2

23

+

37


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2 On a : (x 2)2 4 0x2 4x+ 4 4 0x(x 4) 0

DoncDg = ] ; 0] [ 4 ; +[et :

x

x2 4x

x2 4x

0 4 +


1 b2a

= 2donc le sommet de la parabole (qui reprsente f) a pour abscisse 2.

On a donc :

x

f(x)

2 +

2 a. Le discriminant defest :

= (4)2 4 1 (5) = 16 + 20 = 36

donc f(x)a deux racines :

x1 =4 6

2 =1 et x2 = 4 + 6

2 = 5.

DoncDg = ] ; 1] [ 5 ; +[.b. 2 tant entre les racines de f, fest dcroissante sur ] ; 1], puis croissante

sur[5 ; +[.Or, prendre la racine carre dune fonction ne change pas ses variations donc :

x

g

1 5 +

3 a.Dh = Rcar nous pouvons calculer la valeur absolue de nimporte quel nombre relf(x).

b. On sait que f(x) < 0 sur ]1 ; 5 [ ; or, prendre la valeur absolue dune fonctionngative inverse les variations alors que prendre la valeur absolue dune fonctionpositive ne les change pas. On a donc :

x

h

1 2 5 +

38


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4 a.Di= ] ; 1[ ]1 ; 5 [ ] 5 ; +[.b. Prendre linverse dune fonction inverse ses variations donc :

x

f(x)

i(x)

1 2 5 +


1 On sait que x 1> 0 pourx >1 ; donc pourx 0 pourx >2 ; donc pourx 0x


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2 On dduit de la question prcdente le tableau suivant :

x

f(x)

1 32 2 +

00 00

3 Linquationf(x) x+ 3 quivaut :

x

x2 3x+ 2 1 2 +

+ 0 0 +x2 3x+ 2 x+ 3 0x2 + 3x 2 x+ 3 0 x2 3x+ 2 x+ 3

Sur[1 ; 2], on a :x2 + 2x 5 0.Le discriminant de

x2 + 2x

5 est : = 4

4

(

1)

(

5) =

16 < 0 donc

x2 + 2x 5est toujours du signe de1, donc toujours ngatif.Ainsi,[1 ; 2]est inclus dans lensemble solution.

Sur] ; 1]et sur [2 ; +[, on a :x2 4x 1 0.Le discriminant de x2 4x 1 est : = 16 + 4 = 20. Il y a donc deux racines : =

4 202

= 225 < 1 et = 2 + 25 > 2. Donc et sont dans lesintervalles] ; 1]et sur [2 ; +[.Ainsi,x2 4x 1 0sur [ ; 1]et sur [2 ; ].

Par consquent, lensemble solution de linquation f(x) x+ 3 est :

S =2 25 ; 2 + 25.


15 38

= 408 38= 378

= 378.2

1 13

7 =

7

713

7 =

6

7 =

6

7.

33 1 + 12 5.

3> 1 donc

3>

1, soit

3 1> 0 ; ainsi,3 1= 3 1.

12< 25 donc

12 0 et n+ 3 > 0 car nNdoncun+1 un > 0.La suite (un) est donc croissante.

2 Si la suite(un)est majore par 5, alors un < 5 doncun

5< 0 pour tout nN.

un 5 =2n+ 1n+ 2

5

=2n+ 1

n+ 2 5(n+ 2)

n+ 2

=2n+ 1 5n 10

n+ 2

=3n 9

n+ 2

3n

9< 0 car n 0doncun

5< 0, soitun< 5.

Donc la suite est majore par 5.

3 Quand on ne prcise pas le minorant (ou le majorant), cest quil doit tre facile trouver.

Ici,2n+ 1 > 0 et n+ 2 > 0 doncun> 0 pour tout n N.La suite est donc minore par 0.

Corrig de lexercice 3.On calculeun+1 unpour tout entier natureln:

un+1 un= u2n+ 1 un=

u2n+ 1 un

u2n+ 1 +un

u2n+ 1 +un

= u2n+ 1 u2n

u2n+ 1 +un

= 1

u2n+ 1 +un

un > 0 car chaque terme est dfini comme tant gal une racine carre ; de plus,u2n+ 1 > 0donc un+1 un > 0.La suite est donc croissante.Corrig de lexercice 4.

50


57/169

1 un=

n+ 1 n

=

n+ 1 nn+ 1 + n

n+ 1 +

n (on multiplie par lexpression conjugue)

= n+ 1 n

n+ 1 +

n

un= 1n+ 1

n

2 un+1 = 1

n+ 2 +

n+ 1.

Or, n+ 2 > n donc

n+ 2 >

n et donc, en ajoutant

n+ 1 aux deux membres decette dernire ingalit, on a

n+ 2 +

n+ 1 >

n+ 1 +

n.

En inversant, on obtient : 1

n+ 2 +

n+ 10 doncun>0.

(un)est donc minore par 0.

De plus,

n+ 1

n 1(car

n+ 1 1et

n 0) donc 1n+ 1

n 1, soitun 1.

(un) est donc majore par 1.


1 un = 3 + 4n. On calcule pour tout entier naturel n:

un+1 un= 3 + 4(n+ 1) (3 + 4n)= 3 + 4n+ 4 3 4n= 4.

un+1 un = 4est une constante (un nombre qui ne dpend pas de n) donc (un)n0 estune suite arithmtique de raison r= 4et de premier termeu0= 3 + 4 0 = 3.Remarque : jai remarqu que un tait de la forme u0 +nr donc jai commenc par

calculer un+1 uncar je savais alors que ctait une suite arithmtique.2 un = 8 2n. On calcule pour tout entier naturel n:

un+1un

= 8 2n+18 2n

=2n 21

2n

= 2.

un+1

un= 2est une constante donc (un)n0est une suite gomtrique de raison q= 2et de

premier termeu0= 8 20 = 8.Remarque :ici, jai remarqu que un tait de la formeu0 qn, do le calcul de un+1

un.

51


58/169

3 un = 2 3n1. On calcule pour tout entier naturel n:

un+1un

= 2 3n2 3n1

=3

n

1

33n1= 3.

Par consquent, (un)n0 est gomtrique de raison q = 3 et de premier terme

u0 = 2 301 =23

.

4 un =

2n. On calcule pour tout entier naturel n :

un+1un

= 2n+1

2n

=

2n+1

2n

=

2n 2

2n

=

2.

(un)n0est donc gomtrique de raison q=

2et de premier termeu0 =

20 = 1.

5 un = 5

3n. On calcule pour tout entier naturel n:

un+1un

= 5

3n+1 3

n

5

= 3n

3n 3=

1

3.

(un)n0est donc gomtrique de raison q=1

3et de premier terme u0 =

5

30 = 5.

6 un =n(n+ 1) n(n 1) =n2 +n n2 +n = 2n.unest donc de la forme u0+nr avecu0 = 0et r= 2.

(un)n0est donc arithmtique de raison r= 2et de premier termeu0 = 0.

7 un = n2 + 2n+ 1 = (n+ 1)2. On calcule pour tout entier naturel n :

un+1 un= (n+ 2)2

(n+ 1)2

= (n+ 2 n 1)(n+ 2 +n+ 1)= 2n+ 3.

52


59/169

un+1un

=(n+ 2)2

(n+ 1)2

= n+ 2

n+ 12

= n+ 1n+ 1

+ 1n+ 12

=

1 + 1

n+ 1

2.

Ainsi, un+1 un et un+1un

ne sont pas des constantes. La suite (un)n0 nest donc ni

arithmtique, ni gomtrique.

8 un = 1

3n+ 1. On calcule pour tout entier naturel n:

un+1 un= 13n+1

+ 1 13n

1

= 1

3n 3 1

3n

= 1

3n

13 1

=23 1

3n.

un+1un

=1

3n+1 + 113n

+ 1

=1+3n+1

3n+1

1+3n

3n

=1 + 3n+1

3n+1 3

n

1 + 3n

= 1 + 3n+1

3(1 + 3n).

Ainsi, un+1 un et un+1un ne sont pas des constantes. La suite (un)n0 nest donc niarithmtique, ni gomtrique.

9 un = 2n + 1. On calcule :

un+1 un= 2n+1 + 1 2n 1= 2n 2 2n= 2n(2 1)= 2n.

un+1un

=2n+1 + 1

2n + 1 .

53


60/169

Ainsi, un+1 un et un+1un

ne sont pas des constantes. La suite (un)n0 nest donc ni

arithmtique, ni gomtrique.

10 un =

2n

3n. On calcule pour tout entier naturel n :

un+1un

=

2n+1

3n+1 3

n

2n

=

2n+1

2n 3

n

3n+1

=

2 13

=

2

3 .

Ainsi,(un)n0est une suite gomtrique de raison q=

2

3 et de premier termeu0= 1.


1 un+1 = 3un, u0 = 1. On reconnat ici une relation de rcurrence de la forme un+1 = qundonc (un)n0est une suite gomtrique de raison q= 3.

2 un+1 = 1

un, u0 = 1. Pour toutn 0, on a :

un+1 un= 1un

un = 1 u2n

un=cte.

Donc (un)n0nest pas arithmtique.

un+1un

= 1

u2n=cte.

Donc (un)n0nest pas gomtrique.

3 un = 2un1, u0 = 1. On reconnat ici une relation de rcurrence de la forme un = qun1donc (un)n0est une suite gomtrique de raison q= 2.

4 un+1 = un , u0 = 2. On reconnat ici une relation de rcurrence de la formeun+1 = un+ rdonc(un)n0est une suite arithmtique de raison r= .

5 un+1 = 3(un 1) 2(un+ 1) =un 5. On reconnat ici une relation de rcurrence de laformeun+1=un+ rdonc(un)n0 est une suite gomtrique de raison r=5.

6 un =un1

2 =

12

un1. On reconnat ici une relation de rcurrence de la forme un =qun1

donc (un)n0est une suite gomtrique de raison q=1

2.

54


61/169

7 un+1 =

un,u0= 2. Pour tout entier naturel n, on a :

un+1 un=un

un2

=

un

1 un=cte.

Donc (un)n0nest pas arithmtique.

un+1un

=

unun

= 1

un=cte.

Donc (un)n0nest pas gomtrique.

8 un+1 =

un, u0 = 1. La relation de rcurrence de cette suite est la mme que dans laquestion prcdente. Cependant, le premier terme change. On a ici :u0= 1,u1=

1 = 1,

etc.

Ainsi,(un)est constante. On peut alors dire quelle est arithmtique (de raisonr = 0) et

gomtrique (de raisonq= 1).

55


62/169


1 u0 = 3et u8 = 7. Calculerr.

On sait que :un=u0+ nr

donc

u8 = u0+ 8r

7 = 3 + 8r

7 3 = 8rr=

4

8

r=1

2

2 u2 = 5et u5 = 2. Calculerr.

On sait que :un = uk+ (n k)r

donc

u5 = u2+ (5 2)r2 = 5 + 3r

2 5 = 3r3r=3

r=1

3 u0 = 5et r=12

. Calculer u9.

On sait que :un=u0+ nr

donc

u9=u0+ 9r

u9= 5 92

u9=

10

2 9

2

u9=1

2

4 u5 = 6et r= 2. Calculeru20.


donc

u20 =u5+ (20 5)ru20 = 6 + 15 2u20 = 6 + 30

u20 = 36

56


63/169

5 u7 =

2et u2=

7. Calculerr.


donc

u7=u2+ (7 2)r2 =

7 + 5r

5r=

2

7

r=

2 7

5


1 u0 = 5et u2 = 12. Calculerq.On sait que :

un = u0 qn

donc

u2=u0 q212 = 5 q2

q2 =12

5

q= 125

ou q=125

2 u0 = 3et q= 2. Calculeru9.

On sait que :un = u0 qn

donc

u9 = u0

q9

u9 = 3 29u9 = 1 536

3 u2 = 8et q=1

2. Calculeru8.

On sait que :un= uk qnk

donc

u8 = u2 q82

u8 = 8 26

u8 = 23

57


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4 u0 = 2et q=1

3. Calculeru10.

On sait que :un = u0 qn

donc

u10 = u0 q10

u10 = 2 310

u10 = 2

310

5 u5 = 2et q=

2. Calculer u7.

On sait que :un= uk qnk

donc

u7 = u5 q75

u7 = 2

22

u7 = 4


1 Chaque jour, ma vue baisse de0, 001%. undsigne ma note aux yeux au jour n.

Alors,un+1

= 99, 999un

.

(un) est donc une suite gomtrique de raison q= 99, 999.

2 Ma mre me donne 10 e, puis me dit : chaque mois, je te donnerai 10 e .unreprsentela somme que jai reu en nmois, pour n 1.

Alors,un+1=un+ 10.

(un) est donc une suite arithmtique de raison r= 10.

3 Je remplis deau une bouteille dun litre moiti. Chaque minute, ce qui restait la minuteprcdente est rempli moiti. unreprsente la proportion de la bouteille qui est remplielane minute,n 1.

Alors,

un+1= un+1

2

1 un

=1

2un+

1

2.

(un) nest donc ni arithmtique ni gomtrique.

4 Je place 1000 e sur un compte qui me rapporte 0, 75 %chaque anne. un reprsente lesolde de ce compte (si je ne prlve rien) lanne n,n 0, avecu0 = 1 000.

Alors,un+1= 1, 075un.

(un) est donc une suite gomtrique de raison q= 1, 075.

58


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5 Paul et Pierre sont 20 mtres lun de lautre, Pierre tant derrire Paul. Quand Pierrefait un pas en avant, Paul en fait deux. un reprsente la distance (en mtre) entre Paulet Pierre la ne tape,n 0, avecu0 = 20.

Dune tape lautre, si Paul avance de deux mtres, la distance qui le spare de Pierresagrandit de deux mtres, mais si Pierre avance dun mtre, elle se rduit dun mtre.

Au final, elle sagrandit dun mtre. Mais attention! unest une distance donc :un+1=

un+ 1.Ici,un+ 1> 0 pour toutn (cest assez intuitif) donc on peut enlever les valeurs absolues.Finalement, on a :

un+1=un+ 1.

(un) est donc arithmtique de raison r= 1.

6 Paul et Pierre sont 20 mtres lun de lautre, Paul tant derrire Pierre. Quand Pierre

fait un pas en avant, Paul en fait deux. un reprsente la distance (en mtre) entre Paulet Pierre la ne tape,n 0, avecu0 = 20.

Dune tape lautre, si Paul avance de deux mtres, la distance qui le spare de Pierrese rduit de deux mtres, mais si Pierre avance dun mtre, elle sagrandit dun mtre.Au final, elle se rduit dun mtre. Mais attention !unest une distance donc :

un+1=un 1.

On ne peut pas ici enlever les valeurs absolues car un 1sera ngatif au-del dun certainrang.

Par consquent, (un) nest ni arithmtique ni gomtrique.


1 Siu0= 5et r= 3, calculeru0+ u1+ + u100.(un) est une suite arithmtique donc :

u0+ u1+ + un= u0+ un2

(n+ 1)

donc ici :

u0+ u1+ + u100=5 + (5 + 100 3)2

101= 155 101

u0+ u1+ + u100= 15 655

2 Siu0= 3et u50= 60, calculeru0+ u1+ + u50.

u0+ u1+ + u50 =3 + 60

2 51= 155 101

u0+ u1+ + u100 = 1 606,5

59


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3 Siu1= 60et r= 5, calculeru1+ u2+ + u100.

u1+ u2+ + u100= u1+ u1002

100

=

60 + (60 + 5

99)

2 100=

61 500

2u1+ u2+ + u100= 30 750

4 Siu1= 50et u50 = 1, calculeru1+ u2+ + u50.

u1+ u2+

+ u50 =

u1+ u50

2 50

50 + 1

2u1+ u2+ + u50 = 25, 5


1 Siu0= 1et q= 2, calculeru0+ u1+ + u100.(un) est une suite gomtrique donc :

u0+ u1+ + un= u0 1 qn+1

1 q .

Donc ici,

u0+ u1+ + u100 = 1 2101

1 2u0+ u1+ + u100 = 2101 1

2 Siu0= 3et q=1

2, calculeru0+ u1+ + u50.

u0+ u1+ + u50= 3 1 1

251

1 12

= 3

1 1

251

2

u0+ u1+

+ u50= 61 1251

3 Siu1= 60et q=1

3, calculeru1+ u2+ + u100.

60


67/169

u1+ u2+ + u100 = u1 1 q100

1 q= 60 1

13100

1

13

= 60

1 13100 3

2

u1+ u2+ + u100 = 45

1 13100

4 Siu1= 50et q= 10, calculer u1+ u2+ + u50.

u1+ u2+

+ u50 = 50

1 1050

1 10u1+ u2+ + u5 =50

9

1050 1

Corrig de lexercice 12.Notons unla force de Destructo(en Newton) aprs avoir travers nmurs, avecu0 = 1 000.On a :

un+1= 0, 95un

donc (un)est une suite gomtrique de raison q= 0, 95.

Ainsi,un = u0 qn = 1 000 0, 95n.

Avant le 50e mur, sa force sera :

u49 = 1 000 0, 9549 81.

Par consquent, Destructo naura pas assez de force pour dtruire le 50e mur ... Le mchantmassono a bien calcul son coup!


1 u1 =1

3u0+ 3 =

1

3 1 + 3 =10

3.

u2 =1

3u1+ 3 =

1

310

3 + 3 =

10

9 +

27

9 =

37

9.

2 u1 u0 =10

3 1 =7

3

u2 u1 = 379 10

3 =

7

9=u1 u0

=(un)n0 nest pas arithmtique.

u1u0 =

10

373

=10

3 3

7=10

7

u2u1

=37

9 3

10=

37

30= u1

u0

=(un)n0 nest pas gomtrique.

61


68/169

3 vn+1 = un+1 92

=1

3un+ 3 9

2

=1

3un

3

2

=1

3

un 9

2

vn+1 =

1

3vn

Ainsi,(vn)n0vrifie une relation de rcurrence de la forme vn+1=qvnqui est significatif

dune suite gomtrique de raison q=1

3. Son premier terme est :

v0=u0 9

2= 1 9

2=7

2 .

4 De la question prcdente, on peut dduire que pour tout entier natureln:

vn = v0 qn =72 1

3n

et commevn=un 92

, on a :

un=vn+9

2soit :

un =72 13n +925 a. On a le tableau suivant :

Condition i


69/169

2 vn+1 =un+1 23un+1+ 1

=2

3un+1 2

32

3un+1+ 1

=

62(3un+1)3(3un+1)

2+3un+13un+1

=6un+ 43(3un+ 1)

3un+ 13un+ 3

=6un+ 4

9un+ 9

=6 un 23

9(un+ 1)

=69

vn

vn+1 =23

vn

Ainsi,(vn) est une suite gomtrique de raison q=23

et de premier terme :

v0 =u0 23u0+ 1

=2 2

3

2 + 1

=

43

3

v0 =4

9

3 De la question prcdente, on dduit :

vn =4

9

2

3

n

.

De plus,

vn =un 23un+ 1

vn(un+ 1) =un 23

vnun un=vn 23

un(vn 1) =vn 23

un=

vn 23vn 1

un=4

9 2

3

n 23

49 2

3

n 163


70/169


1 (un)n0est une suite arithmtique donc, pour tout entier naturel n,un = uk+ (n k)r.

Ainsi,u10=u2+ (10 2)r, soit3 = 8+ (10 2)r. On obtient alorsr =3 810 2 =

11

8.

On peut alors crire :

un=u2+ (n 2)run= 8 11

8(n 2)

= 8 118

n+11

4

un=43

4 11

8n

2 (un)n0est une suite arithmtique donc, pour tout entier naturel n,un = uk+ (n k)r.

Ainsi,u8 = u0+ 8r, soit10 =6 + 8r. On obtient alorsr= 10 + 68

= 2.

On peut alors crire :

un=u0+ nr

un=9 + 2n

3 (un)n0 est gomtrique donc un = u0 qn, soit u2 = u0 q8. Ainsi, 10 = 90 q2, soitq2 =

1

9.

Par consquent, q= 13

ouq=13

.

Il existe donc deux suites gomtriques, chacune de premier termeu0= 90, lune de raison1

3et lautre de raison1

3.

4 On constate queun=un1+ 4, donc(un)n1est une suite arithmtique de raisonr = 4.

Ainsi, la somme des 20 premiers termes est :

u1+ u2+ + u20 = (nombre de termes dans la somme) 1er terme+dernier terme

2

= 20 1 + (u1+ (20 1) 4)2

= 20 1 + (1 + 19 4)2

= 20 782

= 780.

Le nombre total dallumettes quil faut pour faire 20 tages correspond la somme des20 premiers termes de la suite(un)n1, donc il faut 780 allumettes.

5 a. un+1 = 3un 13

un =

3 13

un =83

un doncun+1 est de la forme qun donc cest le

terme gnral de la suite gomtrique de raison q=8

3et de premier terme u0 = 1.

64


71/169

b. un+1 = 1

10un donc un+1 est de la forme qun avec q=

1

10. Il dfinit donc une suite

gomtrique de raison q= 1

10et de premier terme u0= 1.

c. un = 3 + 4(n 1) = 3 + 4n 4 =1 + 4n donc un est de la forme u0+ nr avecu0 =1 et r = 4. Cest donc le terme gnral dune suite arithmtique de raisonr= 4et de premier terme u0 =1.

d. un+1 = un+ 1 donc cest de la forme un+1 = un+ r. un est donc le terme gnraldune suite arithmtique de raison r= 1et de premier termeu0= 2.

e. un+1 = 3un5 nest pas de la forme un+r ou qun donc un nest pas un termegnral dune suite arithmtique ou gomtrique.

6 Appelons rn le rayon du disque ajout ltape n et anlaire du disque de rayonrn.

Alors,rn+1=1

2rn. Donc (rn)est une suite gomtrique de raison q=

1

2.

Laire du disque ajout ltape n est an= rn = 5

2n1 .an+1

an=

rn+1 rn =

rn+1rn

=qdonc(an)est aussi une suite gomtrique de raison q.

Laire totale des disques (en cm2) ltape 10 est donc :

a1+ a2+ + a10 = (1er terme) 1 qnombre de termes

1 q= 25 1

1210

1 12

= 50 1 1210= 50

1 11024

= 50 1023

1024

=25575

512157.

Laire totale est donc environ gale 157 cm2.

65


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noncs

DrivationDisponible surhttp: //www.mathweb.fr


R Exercices de rflexion

6 novembre 2015

Exercice 1. Nombre driv & quation de tangentes ACorrig page 71

Pour chacune des fonctions suivantes, calculer f(a)puis trouver lquation rduite de la tan-gente la courbe reprsentative de fau point dabscisse a.

1 f(x) =x2,a= 2

2 f(x) = 1

x, a= 1

3 f(x) =x2 2x+ 3,a=14 f(x) =

x,a= 4

Exercice 2. Lecture graphique de nombres drivs ACorrig page 73

Pour chacune des questions suivantes, on a la reprsentation graphique dune fonction f (enrouge) et la tangente cette reprsentation au point dabscisse a. Dterminer graphiquementf(a), puis crire lquation rduite de la tangente trace.

1 a= 1.

#

#

O

2 a= 0.

#

#

O

66


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3 a= 1.

#

#

O

4 a= 2.

#

#

O

Exercice 3. Dtermination dune fonction par lecture graphique RCorrig page 74

Cf T

1

1

AB

La courbe ci-dessus reprsente la fonctionfdont lexpression est de la forme :

f(x) =ax2 + bx+ c.

1 Lire graphiquement les valeurs :

f(0) ; f(2) ; f(2) ;

f(4) ; f(4)

2 Dterminer les valeurs dea,bet c laide des valeurs trouves prcdemment.

3 Calculer labscisse des points A et B.

67


74/169

Exercice 4. Dtermination dune fonction par lecture graphique RCorrig page 75


f(x) =ax3 + bx2 + cx+ d ,

oa,b,cet dsont quatre nombres rels.On sait que :

le point A (1 ; 1)appartient Cf; la tangente Cfau pointAa pour quation :y=2x+ 1 ; Cf coupe laxe des ordonnes au point dordonne 2 ;

f(0) =5Dterminer les valeurs de a,b,cet d laide de ces informations.

Exercice 5. Drives de rfrence ACorrig page 75

Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la drive.

1 f(x) = 3x 1

2 f(x) = 5x2 + 3x 1

3 f(x) =1

3x3 5x2 + 3x 1

4 f(x) = 1

x+

x

5 f(x) = 2

x 3x

6 f(x) =12

x2 + 3x 13

x

Exercice 6. Drives de fonctions produits et quotient ACorrig page 76

Pour chacune des fonctions suivantes, dterminer sa drive.

1 f(x) = 2x

x

2 f(x) =3x 14x+ 5

3 f(x) = x xx2 + 1

4 f(x) =x2 3x+ 1

x 3

5 f(x) =

x

x+1x

Exercice 7. Variations de fonctions produits ACorrig page 78

Pour chacune des fonctions suivantes,

Trouver son domaine de dfinition ;

Trouver sa drive ;

Trouver son sens de variation sur son domaine de dfinition ;

Donner le signe de la fonction sur son domaine de dfinition.

68


75/169

1 f(x) = (3x+ 2)

x 2 g(x) =

1 +1

x

x

Exercice 8. Sens de variation de fonctions quotients ACorrig page 80

Pour chacune des fonctions suivantes,

Donner son domaine de dfinition ;

Trouver sa drive ;

En dduire ses variations sur son domaine de dfinition.

1 f(x) =3x 45x 2 2 g(x) =

5x 3x2 x 2 3 h(x) =

x2 + x+ 1

x2 3x+ 2

Exercice 9. Optimisation dune aire dans un triangle rectangle RCorrig page 82

On considre la figure suivante (M est un point de [BC]) :

A B

C

6

8 Mx

Trouver la valeur de xpour laquelle laire du rectangle hachur est optimale.

Exercice 10. Optimisation du volume dune bote RCorrig page 83

On souhaite construire une bote paralllpipdique partir dun carton carr de 4 mtres dect, comme lillustre le schma suivant :

4m

4 m

x x

69


76/169

La partie hachure correspond la partie du carton qui va tre plie (aux pointills) pourobtenir la bote.

1 Montrer que le volume de la bote est gal f(x) = 2x(2 x)2.2 tudier les variations def, puis en dduire la valeur de x(arrondie au centimtre prs)

pour laquelle le volume de la bote est optimal.

Exercice 11. Optimisation du volume dun cne RCorrig page 84

On considre la figure suivante :

A

S

BO

MO

SO = 10 cm.OB = 3 cm.M est un point mobile sur [SB] tel que MB = xcm.

On cherche dterminer la valeur de xpour laquelle levolume du cne de sommet O est optimal. Pour cela,rpondre aux questions suivantes :

1 Calculer SB.

2 Dterminer en fonction de x le rayon de la baseainsi que la hauteur OO du cne de sommet O.

3 En notant f(x)le volume du cne de sommet O,

montrer quef(x) = 30

109109 x109 x2.4 Conclure.

70


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Corrigs

6 novembre 2015


1 f(x) =x2,a= 2.

Calcul de f(2).

Le taux daccroissement de fen 2 est :

f(a+ h) f(a)h

=(2 +h)2 22

h

=(2 +h 2)(2 + h + 2)

h

= h(4 + h)h

= 4 + h.

Ainsi, le nombre driv de fen 2 est :

f(2) = limh0

(4 +h) = 4.

Lquation de la tangente au point dabscisse 2 est alors :

y = f(a)(x a) + f(a)y = f(2)(x 2) +f(2)y = 4(x 2) + 4y = 4x 8 + 4y = 4x 4

2 f(x) = 1

x, a= 1.

Calcul de f(1).

Le taux daccroissement de fen 1 est :

71


78/169

f(a+ h) f(a)h

=1

1+h 1

1

h

=1

1+h 1+h

1+h

h

= h

1+h

h

= hh(1 +h)

= 11 + h

.

Ainsi, le nombre driv de fen 1 est :

f(1) = limh0

11 + h

=1.

Lquation de la tangente au point dabscisse 1 est alors :y = f(a)(x a) + f(a)y = f(1)(x 1) +f(1)y =1(x 1) + 1y =x+ 1 + 1y =x+ 2

3 f(x) =x2 2x+ 3,a=1. Calcul de f(

1).

Le taux daccroissement de fen1est :

f(1 +h) f(1)h

=(1 + h)2 2(1 + h) + 3 (1)2 2 (1) + 3

h

=h2 2h + 1 + 2 2h + 3 6

h

=h2 4h

h

=h(h 4)

h=h 4.

Ainsi, le nombre driv de fen1est :f(1) = lim

h0(h 4) =4.

Lquation de la tangente au point dabscisse1est alors :y=f(a)(x a) +f(a)y=f(1)(x+ 1) +f(1)y=

4(x+ 1) + 6

y=4x 4 + 6y=4x+ 2

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4 f(x) =

x,a= 3.

Calcul de f(3).Le taux daccroissement de fen4est :

f(4 +h) f(4)h

= 4 + h 4h

=

4 + h 24 +h + 2

h

= h2 4h

h

4 + h + 2

= 4 + h 4

h

4 + h + 2

= hh4 + h + 2=

14 + h + 2

.

Ainsi, le nombre driv de fen4est :

f(4) = limh0

14 + h + 2

=

1

4.

Lquation de la tangente au point dabscisse 4est alors :

y = f(a)(x a) + f(a)y = f(4)(x 4) +f(4)y =

1

4(x 4) + 2

y =1

4x 1 + 2

y =1

4x+ 1

Corrig de lexercice 2.Dans cet exercice, il faut avoir en tte que le nombre driv dune fonction en un point a est lecoefficient directeur de la courbe reprsentative defau point dabscisse a.Il faut donc, pour chaque question, regarder la tangente la courbe trace en rouge au pointdabscisseadonn.

1 Ici, la tangente a pour coefficient directeur 1. Doncf(1) = 1.

Ainsi, la tangente trace a pour quation rduite :

y= x

1

(Noublions pas que dans lquation dune droite y = mx+ p, p dsigne lordonne dupoint dintersection de la droite avec laxe des ordonnes).

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2 Ici, le coefficient directeur de la tangente trace est12

. En effet, les points A(0;1) et

B(2;0)sont sur la tangente donc :

m= yB yAxB xA =

0 12 0=

1

2.

Ainsi,f(0) =12

.

Lquation rduite de la tangente sera alors :

y=12

x+ 1

3 Ici, le coefficient directeur de la tangente est 1

2, doncf(1) =

1

2.

Lquation rduite de la tangente sera alors :

y =1

2x 1

2

4 Ici, la tangente est horizontale donc son coefficient directeur est gal 0.

Lquation de la tangente est alors :

y=1

Corrig de lexercice 3.1 f(0) =1 ;

f(2) = 1 ;

f(2) = 0car la fonction atteint un maximum pour x = 2 ;

f(4) =1 ; f(4) =2(cest le coefficient directeur de la tangente la courbe au point dabscisse

4).

2 f(0) =a

02 + b

0 + c= c ; doncc =

1daprs la question prcdente (1er point).

f(x) = 2ax+ bet f(2) = 4a+ b ; donc4a+ b= 0, soitb=4a. f(2) = 1 donc 4a+ 2b 1 = 1, soitb+ 2b= 2daprs le point prcdent. Ainsi,

b= 2.

f(4) = 8a+ b=2donc 8a=4, soitb=12

.

Finalement, on a :f(x) =12

x2 + 2x 1.

3 Labscisse des points A et B sont les solutions de lquationf(x) = 0.

= 22 4 12

(1) = 4 2 = 2.Ainsi,

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xB =b

2a

xB =2 2

1

xB = 2 + 2

xA=b+

2a

xA =2 + 2

1

xA= 2 2


1 A (1 ; 1) Cfdoncf(1) =1, soit :

a+ b+ c+ d=1 (IV.1)

la tangente Cfau point A a pour quation :y=2x+ 1 doncf(1) =2, soit :

3a+ 2b+ c=2 (IV.2) Cfcoupe laxe des ordonnes au point dordonne 2 donc f(0) = 2, do :

d= 2.

f(0) =5et f(x) = 3ax2 + 2bx+ cdonc :

c=5.

Les quationsIV.1etIV.2donnent alors le systme suivant :a+ b=1 (5) 2 = 23a+ 2b=2 (5) = 3soit : a= 2 b3(2 b) + 2b= 3La seconde quation donne alors :

6 b= 3 soit : b= 3.La premire quation donne alors :

a= 2 3 =1.

On obtient finalement :f(x) =x3 + 3x2 5x+ 2.


1 f(x) = 3x 1doncf(x) = 3.2 f(x) = 5x2 + 3x 1doncf(x) = 10x+ 3.

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3 f(x) =1

3x3 5x2 + 3x 1doncf(x) =x2 10x+ 3.

4 f(x) = 1

x+

xdoncf(x) = 1

x2+

1

2

x.

5 f(x) = 2

x

3

xdoncf(x) =

1

!!!1s maths plein d'exercices corrigés

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