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1°S Statistiques
Dans ce chapitre, nous étudierons des séries statistiques numériques (ou variables quantitatives).
Ces variables sont dites discrètes si les valeurs prises sont isolées (nombres d’élèves dans une classe, nombre
de notes dans un trimestre…) ou continues si les valeurs prises peuvent être quelconques dans un intervalle
(taille d’une personne, masse d’une personne…) Dans ce dernier cas, il est souvent utile de regrouper les
valeurs en classes. Nous allons voir des paramètres de position et des paramètres de dispersion.
1. Médiane, étendue, quartiles et déciles.
La médiane est un paramètre de position.
Exemple 1. Considérons les cinq nombres : 5 ; 2 ; 3 ; 12 ; 10. Rangeons-les par ordre croissant : 2 ; 3 ; 5 ; 10 ;
12. Il y a autant de nombres supérieurs à 5 que de nombres inférieurs à 5. On dit que la médiane de cette série
est égale à 5.
Exemple 2. Considérons les six nombres : 10 ; 12 ; 3 ; 2 ; 5 ; 14. Rangeons-les par ordre croissant : 2 ; 3 ; 5 ;
10 ; 12 ; 14. Il n’existe pas de nombre de cette série la partageant en effectifs égaux de part et d’autre. Pour la
médiane, on choisit le milieu de l’intervalle médian [ 5 ; 10 ], c’est-à-dire 7,5.
Définition. Soit X une série statistique quantitative discrète et x1, x2, … , xN la liste ordonnée des données.
Si N est impair, c’est-à-dire si N = 2 p + 1, on a une seule valeur centrale xp + 1 :
termes
1221
termes
1
p
ppp
p
pxxxxx .
Si N est pair, c’est-à-dire si N = 2 p, on a deux valeurs centrales xp et xp + 1 :
termes1
221
termes1
11
p
pppp
p
pxxxxxx .
On appelle médiane d’une série statistique X (notée Med X), la valeur centrale de la série (N impaire) ou la
demi somme des deux valeurs centrales (N pair).
Exercice 1.
Déterminer la médiane de la série statistique représentée dans ce tableau.
Remarque. La médiane ne change pas si on enlève les deux valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne.
Exercice 2. Déterminer graphiquement une médiane. Une enquête est effectuée pour étudier le temps t consacré
chaque jour au trajet maison/travail, par les 1312 employés d’une usine. Les résultats regroupés en classes
d’amplitude 30 minutes, sont indiqués dans le tableau suivant.
Classe [ 0 ; 30 [ [ 30 ; 60 [ [ 60 ; 90 [ [ 90 ; 120 [ [ 120 ; 150 [ [ 150 ; 180 [ [ 180 ; 210 [
Effectif 175 392 267 127 168 120 63
Fréquences
Classe [ 0 ; 30 [ [ 0 ; 60 [ [ 0 ; 90 [ [ 0 ; 120 [ [ 0 ; 150 [ [0 ; 180 [ [ 0 ; 210 [
Fréquences
cumulées
On suppose que dans chaque classe, les effectifs sont repartis de manière régulière.
a. Compléter les tableaux. b. Tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes (prendre une page entière et du papier millimétré).
c. En déduire une valeur approchée de la médiane de cette série statistique.
Valeur xi 50 45 30 60 61
Effectif ni 2 3 2 2 1
Définitions. ▪ Soit X une série statistique continue. La fonction, notée ou X, dont la courbe est celle des
fréquences cumulées croissante est appelée fonction de répartition. La médiane est le plus petit antécédent de
0,5 c’est-à-dire le nombre plus petit nombre Med tel que (Med) = 0,5.
▪ Soit X une série statistique numérique quelconque (discrète ou continue).
La plus petite valeur Q1 d’une série telle que 25 % au moins des données sont inférieures ou égales à Q1 est
appelée le premier quartile. La plus petite valeur Q3 d’une série telle que 75 % au moins des données sont
inférieures ou égales à Q3 est appelée le troisième quartile. Le deuxième quartile Q2 est la médiane de la série.
L’intervalle [ Q1 ; Q3 ] est l’intervalle interquartile, le nombre Q3 – Q1 est l’écart interquartile.
xmin Q1 Med = Q2 Q3 xmax
25 % 25 % 25 % 25 %
Remarque. Dans le cas d’une série statistique continue, les nombres Q1 et Q3 vérifient donc (Q1) = 0,25 et
(Q3) = 0,75 où est la fonction de répartition.
Définition. L’étendue d’une variable est la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs
observées. Ce paramètre dépend des mesures extrêmes qui peuvent être exceptionnelles. C’est un paramètre de
dispersion.
Exercice 3. Déterminer l’étendue des séries des exemples 1 et 2.
Exercice 4.
On considère les données d’une série statistique rangés par ordre croissant : 4, 5, 5, 6, 8, 8, 8, 10, 12, 12.
a. Compléter le tableau suivant.
Valeurs de la série 4 5 6 8 10 12
% de données inférieures
ou égales à la valeur
b. En déduire le premier quartile, la médiane, le troisième quartile, l’intervalle et l’écart interquartile de cette
série.
Exercice 5. Lire les quartiles sur la courbe des fréquences cumulées croissantes de l’exercice 2.
Définitions. On peut aussi définir les déciles, l’intervalle et l’écart interdécile d’une série statistique. La plus
petite valeur D1 d’une série telle que 10 % au moins des données sont inférieures à D1 est appelée le premier
décile… L’intervalle [ D1 ; D9 ] est l’intervalle interdécile. Le nombre D9 – D1 est l’écart interdécile. Les déciles
sont employés lorsque le nombre d’observations est important.
Diagrammes en boîte. Connaissant les quartiles d’une série statistique, on peut représenter la série par un
diagramme en boîte de la manière suivante :
Les barres verticales indiquent de la gauche vers la droite : le minimum, le premier quartile, la médiane, le
troisième quartile et le maximum de cette série statistique.
Exercice 6.
Faire le diagramme en boîte à partir des données de l’exercice 2. On pourra choisir 1 cm pour 20 min.
2. Moyenne arithmétique (paramètre de position).
a) Définition. La moyenne de N nombres x1, x2, … , xN, notée x , est :
N
1
N21N
1
N
1i
i
ixxxxx .
La moyenne des nombres a1, a2, … , ap avec les effectifs n1, n2, .. , np est : pj
j
jjppanananana
1
2211N
1
N
1 avec N = n1 + … + np.
Exercice 7. Un élève a eu les notes suivantes au premier trimestre.
Note 7 9 10 14
Effectif 2 3 1 2
a. Calculer sa moyenne. b. Calculer la fréquence de chaque note, puis la moyenne à partir de celles-ci.
En notant N l’effectif total de la série, la fréquence du nombre j
a est j
f = N
jn
.
Cette nouvelle notation donne la formule suivante :
nj
j
jjppafafafafa
1
2211 .
Oralement : La moyenne n’apporte aucune information sur la dispersion des nombres, ainsi pour l’exemple
précédent, on ne peut pas dire que la moitié des notes est supérieure à la moyenne et que la moitié des notes est
inférieure à la moyenne.
Il existe d’autres moyennes, citons par exemple la moyenne géométrique, la moyenne harmonique, et la
moyenne quadratique (quelle est la vitesse moyenne sur un aller retour sachant que la vitesse à l’allée était v1 et
la vitesse au retour était v2 ?)
Exercice 8. Sur une droite graduée, considérons les points A1, … , Ap d’abscisses respectives a1, … , ap et soit
G le barycentre des points (A1 , f1), … , (Ap , fp). Démontrer que l’abscisse de G est a .
Exercice 9. Au dernier devoir de math, les 14 filles de la classe ont eu une moyenne de 12 et les 21 garçons une
moyenne de 9,5. Calculer la moyenne de la classe en utilisant l’associativité du barycentre.
b) Théorème (Transformation affine des données).
Soit X une série statistique discrète : (x1, f1), … , (xp, fp) de moyenne x . En effectuant une transformation affine
x a x + b (a et b réels fixés) sur les données x1 , … , xp, on obtient une série statistique Y : (y1, f1), … , (yp,
fp) avec yi = a xi + b de moyenne y = a x + b. (La démonstration est facile en revenant aux définitions).
Exercice 10.
a) Avec les données de l’exercice 4, que devient la moyenne si on augmente chaque note d’un point ?
b) Toujours avec les mêmes données, que devient la moyenne si on augmente chaque note de 10 % ?
c) Regroupements.
Exemple. La moyenne m1 des 20 notes obtenues par les garçons à un devoir est 11,5 ; la moyenne m2 des 10
notes obtenues par les filles est égale à 12,5. Quelle est la moyenne de la classe ?
(Remarquons que la moyenne de cette classe est forcément comprise entre 11,5 et 12,5).
Théorème (admis). On répartit N nombres x1, x2, … , xn en deux sous-groupes disjoints, l’un contenant p
éléments et l’autre q éléments. Si m1 est la moyenne des nombres du premier sous-groupe, et m2 celle du
deuxième sous-groupe, alors la moyenne des N nombres x1, x2, … , xn est :
m = 21NN
mq
mp
ou avec les fréquences m = f1 m1 + f2 m2.
Avec l’exemple précédent, cela donne m = 20
30 11,5 +
10
30 12,5 11,83.
3. Variance et écart type (paramètres de dispersion).
a) Définitions et exemples.
Théorème (Steiner). La fonction : t f1 (a1 – t) 2 + … + fp (ap – t)
2 admet un minimum atteint pour t = a .
Le nombre (t) mesure la dispersion des nombres a1, a2, … , an autour de t.
Démonstration. La fonction est dérivable, de dérivée :
’(t) = 2 f1 (t – a1) + … + 2 fp (t – ap) = 2 ((f1 + … + fp) t – (f1 a1 + … + fp ap)).
Compte tenu de f1 + … + fp = 1 et de a = f1 a1 + … + fp ap, on obtient : ’(t) = 2 (t – a ).
Lorsque t a , alors ’(t) 0, donc est décroissante sur ] – ; a [.
Lorsque t a , alors ’(t) 0, donc est croissante sur ] a ; + [.
Donc admet un minimum atteint pour t = a . Le minimum est alors calculé par :
( a ) = f1 (a1 – a ) 2 + … + fp (ap – a )
2. Ceci nous conduit aux définitions suivantes :
Définitions (variance et écart type).
La variance d’une série statistique (a1, f1), … , (ap, fp) est définie par :
V = pi
i
iiaaf
1
2
ou avec les effectifs V = pi
i
iiaan
1
2
N
1 .
C’est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
L’écart type est la racine carrée de la variance, s = V (ou noté en probabilité).
L’unité de l’écart type est la même que celle de la série.
Exemple 1. Au contrôle n°1, on relève les notes suivantes.
Note ai 6 9 11 14
Effectif ni 2 4 3 1
La moyenne de ces notes est : a = 5,910
1411139462.
La variance de ces notes est : V = 25,510
5,9145,91135,9945,9622222
.
Donc l’écart type est : s = 29,225,5 .
Remarque orale. On ne peut pas conclure que l’écart absolu moyen à la moyenne est 2,29.
En effet l’écart absolu moyen est 8,110
5,9145,91135,9945,962.
Exercice 11. Au contrôle n°2, on relève les notes suivantes.
Note 4 8 13 16
Effectif 2 4 3 1
a. Calculer la moyenne de ces notes.
b. Calculer l’écart type de ces notes.
c. Comparer et commenter les résultats par rapport au contrôle n°1.
Remarque. Il existe une autre formule permettant de calculer la variance (et donc l’écart type).
V = 2
1
2aaf
pi
i
ii (formule de Huygens-König)
b) Propriétés.
Théorème (Transformation affine des données).
Soit X une série statistique discrète : (x1, f1), … , (xp, fp) d’écart type sX. En effectuant une transformation affine
x a x + b (a et b réels fixés) sur les données x1 , … , xp, on obtient une série statistique Y : (y1, f1), … , (yp,
fp) avec yi = a xi + b d’écart type sY = | a | sX (La démonstration est facile en revenant aux définitions).
Le couple (moyenne, écart type) joue un rôle majeur en statistique.
D’une part pour l’analyse ou la comparaison de séries statistiques, d’autant plus qu’elles sont proches d’une
distribution normale (voir ci-dessous).
D’autre part, il est irremplaçable dans l’étude théorique de problèmes relavant de l’estimation et de
l’échantillonnage …
Distribution normale.
Le polygone des effectifs présente l’aspect d’une courbe en cloche symétrique par rapport à la moyenne a
(courbe de Gauss). Noter le pourcentage des effectifs dans les intervalles centrés en a et de rayon s, 2 s (95 %),
3 s (99 %).
a 2a a a 2a 3a 3a
68 %
95 %
99 %
Compléments Utilisation de la calculatrice en statistiques
Avec une calculatrice Texas Instrument.
Effacer les données : , choisir CLRLIST et faire suivre de .
Entrer les données : , choisir EDIT. Entrer les valeurs de x dans la colonne L1 et les effectifs dans
L2.
Puis appuyer sur puis déplacer le curseur sur la droite sur CALC et presser 1 pour lancer le calcul des
statistiques à une variable. Presser alors . (L’affichage est alors 1-VarStats L1, L2).
On peut alors lire (en faisant défiler les résultats avec les flèches ) :
La moyenne de la série ( x )
La somme des valeurs de la série ( x ).
La somme des carrés des valeurs de la série ( 2x ).
L’écart type de la série (σx ).
L’écart type « échantillonnage » de la série (Sx).
L’effectif total de la série (nStat).
La plus petite valeur de la série (minX).
La plus grande valeur de la série (maxX).
Le premier quartile (q1).
La médiane (medStat).
Le troisième quartile (q3).
Avec une calculatrice Casio.
Effacer les données : MENU , choisir STAT et placer le curseur dans la liste 1.
Presser F6 ( ) pour faire défiler le menu, puis F3 (DEL.A) enfin confirmer la suppression F1 (YES).
Entrer les données : MENU , choisir STAT.
Entrer les valeurs de x dans la colonne L1 et les effectifs dans L2.
Après avoir éventuellement pressé la touche F6 ( ) pour faire défiler le bandeau inférieur, presser la touche
F2 (CALC) puis F4 (SET).
Le curseur, étant sur la première ligne, choisir List1 F1 1var Xlist : List1.
(Cela définit la première liste List1 comme liste des valeurs de la série).
Le curseur étant sur la deuxième ligne, choisir List 2 F2 1Var Freq : List2.
(Cela définit la deuxième liste List2 comme liste des effectifs de la série).
Appuyer sur EXIT ou QUIT ou EXE pour quitter le paramétrage, puis presser la touche F1 (1VAR).
On peut alors lire (en faisant défiler les résultats avec les flèches ) :
La moyenne de la série ( x ).
La somme des valeurs de la série ( x ).
La somme des carrés des valeurs de la série (2
x ).
L’écart type de la série ( nx ).
L’écart type « échantillonnage » de la série ( 1nx .)
L’effectif total de la série (n).
La plus petite valeur de la série (minX).
Le premier quartile (Q1).
La médiane (Med).
Le troisième quartile (Q3).
La plus grande valeur de la série (maxX).
Il est conseillé de se faire une fiche sur l’utilisation de la calculatrice pour les statistiques.
Trajet maison travail
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
0 50 100 150 200 250
temps (allée retour)
Fré
qu
en
ces c
um
ulé
es c
rois
san
tes .
1°S Statistiques Solutions des exercices
Exercice 1. On range les valeurs du caractère par ordre croissant, chacune figurant un nombre de fois égal à son
effectif : 30 ; 30 ; 45 ; 45 ; 45 ; 50 ; 50 ; 60 ; 60 ; 61. Ici, N est pair (N = 10), donc Med est le milieu de
l’intervalle médian, c’est-à-dire de l’intervalle [45 ; 50], donc Med = 47,5.
Attention à ne pas confondre médiane et moyenne !
Exercice 2. a. Complétons les tableaux.
Classe [ 0 ; 30 [ [ 30 ; 60 [ [ 60 ; 90 [ [ 90 ; 120 [ [ 120 ; 150 [ [ 150 ; 180 [ [ 180 ; 210 [
Effectif 175 392 267 127 168 120 63
Fréquences 0,133 0,299 0,204 0,097 0,128 0,0914 0,048
Classe [ 0 ; 30 [ [ 0 ; 60 [ [ 0 ; 90 [ [ 0 ; 120 [ [ 0 ; 150 [ [0 ; 180 [ [ 0 ; 210 [
Fréquences
cumulées 0,133 0,432 0,636 0,732 0,861 0,952 1,000
b.
c. La médiane est le nombre qui partage la série en deux parties égales, il y a 50 % des valeurs de la série
inférieures à la médiane et 50 % des valeurs de la série supérieures à la médiane.
On constate sur le graphique que Med 70 (min). Il y a (approximativement) autant d’employés dont le temps
de trajet est inférieur à 70 min que d’employés dont le temps de trajet est supérieur à 70 min.
Exercice 3. L’étendue de la première série est 12 – 2 = 10, pour la deuxième série c’est 14 – 2 = 12.
Exercice 4.
On considère les données d’une série statistique rangés par ordre croissant : 4, 5, 5, 6, 8, 8, 8, 10, 12, 12.
a. Complétons le tableau suivant.
Valeurs de la série 4 5 6 8 10 12
% de données inférieures
ou égales à la valeur 10 % 30 % 40 % 70 % 80 % 100 %
b. On en déduit que le premier quartile est Q1 = 5 (car 5 est la plus petite valeur pour laquelle il y a au moins 25
% des données inférieures à 5). De même Q2 = Med = 8, Q3 = 10.
L’intervalle interquartile est [ 5 ; 10 ] et l’écart interquartile est 10 – 5 = 5.
Exercice 5. On peut lire sur le graphique ci-dessus, Q1 42 (min) et Q3 124 (min).
Exercice 6. Faisons le diagramme en boîte à partir des données Q1 42 (min), Med 70 (min) et Q3 124
(min) et en prenant 1 cm pour 20 min.
0 min 42 min 70 min 124 min 210 min
Exercice 7. a. On calcule la moyenne arithmétique par la formule : 9,8758
1421019372.
b.
On trouve alors : 2
8 7 +
3
8 9 +
1
8 10 +
2
8 14 = 9,875.
Exercice 8. Sur une droite graduée, considérons les points A1, … , Ap d’abscisses respectives a1, … , ap et soit
G le barycentre des points (A1 , f1), … , (Ap , fp). Démontrons que l’abscisse de G est a .
Puisque G est le barycentre des points (A1 , f1), … , (Ap , fp), alors
pppffff OAOAOG
111 .
Compte tenu que f1 + … + fp = 1, alors pp
ff OAOAOG11 .
En regardant les abscisses des vecteurs, on obtient xG = f1 a1 + … + fp ap = a .
Exercice 9. Au dernier devoir de math, les 14 filles de la classe ont eu une moyenne de 12 et les 21 garçons une
moyenne de 9,5. Calculer la moyenne de la classe en utilisant l’associativité du barycentre.
Notons x la moyenne des filles, c’es l’abscisse du point (X , 14).
Notons y la moyenne des garçons, c’est l’abscisse du point (Y , 21).
Notons a la moyenne de la classe, c’est l’abscisse du point (A , 35).
D’après le théorème d’associativité du barycentre, on a 35
A = bar 21
Y
14
X .
Avec la formule des coordonnées du barycentre, on a a = 35
2114 yx soit a =
35
5,9211214 = 10,5.
Exercice 10. a. La moyenne augmente d’un point également, la nouvelle moyenne est donc 10,875.
b. Si on augmente chaque note de 10 %, alors la moyenne augmente aussi de 10 % (soit une multiplication par
CM = 1,1). La nouvelle moyenne est donc 9,875 1,1 = 10,8625.
Exercice 11. a. et b. m = 9,5 et 85,310
5,148
10
5,9165,913385,9445,922222
s .
c. Les moyennes sont les mêmes mais l’écart type est plus grand pour cette deuxième série, donc les notes sont
plus dispersées par rapport à la moyenne (hétérogènes).
Note 7 9 10 14
Effectif 2 3 1 2
Fréquence 8
2 8
3 8
1 8
2
Distribution normale.
Le polygone des effectifs présente l’aspect d’une courbe en cloche symétrique par rapport à la moyenne a
(courbe de Gauss). Noter le pourcentage des effectifs dans les intervalles centrés en a et de rayon s, 2 s (95 %),
3 s (99 %).
Distribution normale.
Le polygone des effectifs présente l’aspect d’une courbe en cloche symétrique par rapport à la moyenne a
(courbe de Gauss). Noter le pourcentage des effectifs dans les intervalles centrés en a et de rayon s, 2 s (95 %),
3 s (99 %).
a 2a a a 2a 3a 3a
68 %
95 %
99 %
a 2a a a 2a 3a 3a
68 %
95 %
99 %
1°S Statistiques Exercices
Médiane, étendue, quartiles et déciles.
Exercice 1. Les tailles, en cm, de 63 enfants de 5 à 7 ans, sont les suivantes :
104 107 107 107 108 108 109 110 111 111 112 112 112
112 113 113 114 114 114 114 115 115 115 115 115 116
116 117 117 117 118 118 118 119 119 120 120 120 121
121 122 123 123 125 125 125 125 126 126 126 126 127
127 128 128 129 129 129 130 130 131 132 135.
a. Donner la médiane, les quartiles Q1 et Q3, les déciles D1 et D9, l’intervalle interquartile et l’écart
interquartile.
b. Représenter cette série statistique par un diagramme en boîte.
Exercice 2. Les 35 élèves d’une classe ont obtenu les notes suivantes à un test :
9 9 6 11 4 4 4 11 14 8 8 13 10 6
8 7 6 8 5 5 9 5 11 10 7 5 7 7
15 5 4 13 6 11 4.
1. Donner la médiane.
2. a. Si la note la plus haute passe à 18, la médiane change t-elle ? Expliquer.
b. On a oublié de noter une question aux 5 élèves qui ont 4, si leur note passe à 6, la médiane change t-elle ?
c. On relève toutes les notes de 3 points, la médiane change t-elle ? Justifier.
d. L’un des élèves qui a obtenu 7 est exclu de la série. Que devient la médiane ?
Moyenne arithmétique.
Exercice 3. Sans calculatrice, mais en utilisant les écarts à 10, calculer la moyenne de la série donnée :
a. 12 15 8 7 11 11 13 12 10 8.
b. 5 7 12 18 20 13 11 8 7 14.
c. 10,3 12,1 8,9 7,2 9,7 11,2 10,5 10,1 9,3 8,1.
Exercice 4. Dans une entreprise, il y a 60 % d’hommes et 40 % de femmes. Le salaire moyen des hommes est
de 1780 € et celui des femmes est de 1420 €.
1. Calculer le salaire moyen dans cette entreprise.
2. Si on augmente chaque salaire de 100 €, quel sera le salaire moyen après cette augmentation ?
3. Si on diminue chaque salaire de 5 %, que devient le salaire moyen ? (Prendre les données initiales)
4. On augmente le salaire des hommes de 5 % et celui des femmes de 10 %.
a. Le salaire moyen augmente t-il de 7,5 % ? De plus de 7,5 % ? Répondre sans faire de calcul.
b. Calculer ce nouveau salaire moyen. Confirmer la réponse à la question précédente.
Exercice 5. Après quatre contrôles en mathématiques, Virginie a 12 de moyenne et Elodie a 10,5.
a. Virginie obtient 10 au 5° contrôle et Elodie 15. Calculer leur moyenne après cinq contrôles.
b. Au 6° contrôle, Virginie a 13. Déterminer la note x d’Elodie au 6° contrôle sachant qu’elle a atteint la même
moyenne que Virginie après six contrôles.
Variance et écart type.
Exercice 6. Calculer la moyenne, l’étendue et l’écart type (à 0,01 près) de la série suivante :
10 7 7 10 12 14 8 11 10 10 10
13 12 6 11 10 7 7 8 8 13 11
10 6 14 9 8 7 14 13 12 13 6
7 12 10 14 7 9 7 14 14 11 7
13 12 6 9 14 14 11 6 11 8 6
10 10 11 9 7 6 11 9 13 11 10
8 9 10 12 7 13 6 9 10 7 13
12 8 14 14 8 8 14 9 13 12 9 14 6.
Exercice 7. Dans un journal, on a comptabilisé le nombre de lignes pour chaque petite annonce. On a obtenu le
tableau de répartition suivant :
Nombre de lignes 1 2 3 4 5 6
Nombre d’annonces 3 8 21 39 22 7
1. Donner la population étudiée, la variable et sa nature, la dominante (ou mode). Calculer l’effectif total.
2. Calculer la moyenne de cette série et exprimer ce résultat à l’aide d’une phrase.
3. Calculer l’écart type de cette série.
4. Calculer le pourcentage d’annonces dont le nombre de lignes présente un écart avec la moyenne plus grand
que l’écart type.
Exercice 8. On relève la température à 8 h du matin durant 6 jours : – 2 5 3 1 – 4 – 3.
1. Calculer la moyenne x et l’écart type s.
2. Soit S (t) = (t + 2) 2 + (t – 5)
2 + (t – 3)
2 + (t – 1)
2 + (t + 4)
2 + (t + 3)
2 où t est un réel.
a. Développer chaque carré formant cette somme, et en déduire la forme réduite et ordonnée de S (t).
b. Déterminer le réel t0 où S (t) atteint un minimum.
c. Faire le lien avec la moyenne x .
d. Calculer alors la somme minimale et retrouver l’écart type.
Exercice 9. 1. Soit (a1, f1), … , (ap, fp) une série statistique.
Démontrer que V = 2
1
2aaf
pi
i
ii (formule de Huygens-König).
2. Soit X une série statistique discrète : (x1, f1), … , (xp, fp) de moyenne x et d’écart type sX. En effectuant une
transformation affine x a x + b (a et b réels fixés) sur les données x1 , … , xp, on obtient une série statistique
Y : (y1, f1), … , (yp, fp) avec yi = a xi + b.
Démontrer que la moyenne de cette nouvelle série est y = a x + b et que l’écart type est sY = | a | sX.
Exercice 10.
Le tableau ci-contre donne en euros, le montant
des achats effectués par 2 000 personnes dans un
magasin un jour donné.
Montant des achats effectif
[ 0 ; 5 [ 60
[ 5 ; 10 [ 80
[ 10 ; 20 [ 480
[ 20 ; 30 [ 600
[ 30 ; 40 [ 420
[ 40 ; 60 [ 300
[ 60 ; 80 ] 60
1. Faire l'histogramme des effectifs. Unités. Axe des x : 1 cm 5 €, effectifs : 5.
2. Faire le tableau des fréquences. En déduire, avec une calculatrice et en prenant le centre des classes, la
moyenne x et l’écart type ( à 0,001 près). Calculer ensuite x + , x .
3. Recopier et compléter le tableau des fréquences cumulées croissantes.
montant … 0. .. 5 … 10 .. 20 .. 30 .. 40 .. 60 .. 80
fréq. 0 % 100 %
4. Construire la courbe (ou polygone) des fréquences cumulées croissantes.
Unités. Axe des x : 1 cm 5 €; axe des y : 1cm 10.
5. À l'aide d'une construction sur le graphique, trouver la médiane M et les quartiles Q1 et Q3.
6. Représenter cette série statistique par un diagramme en boite.
7. A l'aide d'une construction sur le graphique, trouver le pourcentage correspondant à un montant inférieur à
x + . Même question avec x . En déduire le pourcentage de montants des achats entre x et x .
1°S Statistiques Correction des exercices
Médiane, étendue, quartiles et déciles.
Exercice 1. Les tailles, en cm, de 63 enfants de 5 à 7 ans, sont les suivantes :
104 107 107 107 108 108 109 110 111 111 112 112 112
112 113 113 114 114 114 114 115 115 115 115 115 116
116 117 117 117 118 118 118 119 119 120 120 120 121
121 122 123 123 125 125 125 125 126 126 126 126 127
127 128 128 129 129 129 130 130 131 132 135.
a. Puisque cette série a 63 valeurs (nombre impair), alors la médiane est la 32° valeur (en effet, 31 valeurs sont
inférieures à celle-ci et 31 valeurs sont supérieures à celle-ci). Donc Med = 118.
Pour les quartiles, on fait 63/4 = 15,75. On en déduit que le premier quartile Q1 est la 16° valeur (car
4,2510063
16 % des valeurs sont inférieures ou égales à celle-ci). Donc Q1 = 113.
De même, puisque 634
3 = 47,25 alors le troisième quartile Q3 est la 48° valeur (car 2,7610063
48 % des
valeurs sont inférieures ou égales à celle-ci). Donc Q3 = 126.
On en déduit que l’intervalle interquartile est [ 113 ; 126 ] et que l’écart interquartile est 126 – 113 = 13.
Pour le premier décile, on calcule 63/10 = 6,3 donc le premier décile est la 7° valeur (car 1,1110063
7 % des
valeurs sont inférieures ou égales à celle-ci). Ainsi D1 = 109.
De même, pour le neuvième décile, on calcule 7,566310
9 donc le neuvième décile est la 57° valeur (car
5,9010063
57 % des valeurs sont inférieures ou égales à celle-ci). Ainsi D9 = 129.
b. Représentons cette série statistique par un diagramme en boîte. On choisit d’abord une unité, par exemple 1 cm
sur la figure représente 2 cm dans la réalité et on commence à partir de 104.
Min = 104 Q1 = 133 Med = 118 Q3 = 126 Max = 135
Exercice 2. Les 35 élèves d’une classe ont obtenu les notes suivantes à un test :
1. Il faut d’abord ranger les notes par ordre croissant (ou décroissant).
4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6
7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 10 10 11
11 11 11 13 13 14 15.
Comme la série comporte 35 nombres, la médiane est le 18°, soit Med = 7. Il y a donc au moins 17 notes (17 en
fait) inférieures ou égales à 7 et au moins 17 notes (21 en fait) supérieures ou égales à 7.
2. a. Si la note la plus haute passe à 18, la médiane ne change pas. En effet, il y aura toujours au moins 17 notes
inférieures ou égales à 7 et au moins 17 notes supérieures ou égales à 7.
b. On a oublié de noter une question aux 5 élèves qui ont 4, si leur note passe à 6, la médiane ne change pas. En
effet il y aura toujours au moins 17 notes inférieures ou égales à 7 et au moins 17 notes inférieures ou égales à 7.
c. On relève toutes les notes de 3 points, la médiane change, elle augmente de 3 points, donc elle devient 10. On
peut alors facilement vérifier qu’il y a au moins 17 notes inférieures ou égales à 10 et au moins 17 notes
supérieures ou égales à 10.
d. L’un des élèves qui a obtenu 7 est exclu de la série. La médiane devient 7,5 car l’intervalle médian (formé par
la 17° et 18° note) est [ 7 ; 8 ].
Moyenne arithmétique.
Exercice 3. Sans calculatrice, mais en utilisant les écarts à 10, calculons la moyenne de la série donnée. Pour cela
on ajoute les écarts à 10 (qui peuvent être positifs ou négatifs) :
a. 12 15 8 7 11 11 13 12 10 8.
Cela donne 2 + 5 – 2 – 3 + 1 + 1 + 3 + 2 + 0 – 2 = 7.
Puis on fait 10 + 10
7 = 10,7 ce qui donne la moyenne.
b. 5 7 12 18 20 13 11 8 7 14.
Cela donne – 5 – 3 + 2 + 8 + 10 + 3 + 1 – 2 – 3 + 4 = 15.
Donc la moyenne est 10 + 10
15 = 11,5.
c. 10,3 12,1 8,9 7,2 9,7 11,2 10,5 10,1 9,3 8,1.
Cela donne 0,3 + 2,1 – 1,1 – 2,8 – 0,3 + 1,2 +0,5 + 0,1 + 0,1 – 0,7 – 1,9 = – 2,6.
Donc la moyenne est 10 – 10
6,2 = 9,74.
Exercice 4. Dans une entreprise, il y a 60 % d’hommes et 40 % de femmes.
Le salaire moyen des hommes est de 1780 € et celui des femmes est de 1420 €.
1. Calculons le salaire moyen dans cette entreprise.
On applique la formule du cours permettant de calculer ma moyenne à partir de deux sous groupes.
Soit m = f1 m1 + f2 m2 = 0,6 1780 + 0,4 1420 = 1636 €.
2. Si on augmente chaque salaire de 100 €, alors d’après le théorème de transformation affine des données, la
moyenne augmente aussi de 100 € (et devient 1736 €).
3. Si on diminue chaque salaire de 5 %, alors chaque salaire est multiplié par 1 – 100
5 = 0,95.
Alors d’après le théorème de transformation affine des données, la moyenne est multipliée aussi par 0,95 (et
devient 1636 0,95 = 1554,2 €).
4. On augmente le salaire des hommes de 5 % et celui des femmes de 10 %.
a. Le salaire moyen n’augmente pas de 7,5 % car il n’y a pas autant d’hommes que de femmes. Comme il y a plus
d’hommes que de femmes, alors l’augmentation globale est plus proche de 5 % que de 10 %, autrement dit cette
augmentation globale est inférieure à 7,5 %.
b. Calculons ce nouveau salaire moyen.
On calcule d’abord le nouveau salaire moyen des hommes 1780 1,05 = 1869 € et le nouveau salaire moyen des
femmes 1420 1,1 = 1562. On applique alors la formule de calcul de la moyenne à partir de deux sous groupes
(comme dans la question 1) et on obtient m’ = f1 m1’ + f2 m2’ = 0,6 1869 + 0,4 1562 = 1746,2 €.
Calculons le pourcentage d’augmentation pour passer de 1636 à 1746,2. On fait 1001636
16362,1746 6,74 %.
Cela confirme que l’augmentation globale est inférieure à 7,5 %.
Exercice 5. Après quatre contrôles en mathématiques, Virginie a 12 de moyenne et Elodie a 10,5.
a. Virginie obtient 10 au 5° contrôle et Elodie 15. Calculons leur moyenne après cinq contrôles.
On utilise la formule de calcul de la moyenne à partir de deux sous groupes et on obtient :
m = f1 m1 + f2 m2 = 10125
1
5
4 = 11,6 et m’ = f1 m1’ + f2 m2’ = 155,105
1
5
4 = 11,4.
Donc Virginie a 11,6 de moyenne et Elodie a 11,4 avec les cinq premières notes.
b. Au 6° contrôle, Virginie a 13. Déterminons la note x d’Elodie au 6° contrôle sachant qu’elle a atteint la même
moyenne que Virginie après six contrôles.
La moyenne de Virginie au bout du 6° contrôle est donc 136,116
1
6
5 = 6
71 (soit 11,83).
La moyenne d’Elodie au bout de 6° contrôle est donc x6
1
6
5 4,11 .
Nous devons donc résoudre l’équation x6
1
6
5 4,11 = 6
71 . Soit en multipliant les deux membres par 6 :
5 11,4 + x = 71 puis 57 + x = 71 donc x = 71 – 57 = 14.
Elodie doit avoir 14 au 6° contrôle pour obtenir la même moyenne que Virginie.
Variance et écart type.
Exercice 6. Calculons la moyenne, l’étendue et l’écart type (à 0,01 près) de la série de l’énoncé.
Auparavant, résumons les données dans un tableau.
Note xi 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Effectif ni 9 12 9 9 13 9 8 9 12
Remarquons que l’effectif total est N = 9 + 12 + 9 + 9 + 13 + 9 +8 + 9 + 12 = 90.
La moyenne est : 9
1N
1i
i
iixnx = 12149138129111310999812796
90
1 =
90
901 10,01.
La variance est :
V = 2
9
1
2
N
1xxn
i
i
ii
= 1214913812911131099981279690
1 222222222 –
2
90
901
=
2
90
901
90
9631 6,79.
On en déduit que l’écart type est s = V 79,6 2,61.
Exercice 7. Dans un journal, on a comptabilisé le nombre de lignes pour chaque petite annonce. On a obtenu le
tableau de répartition suivant :
Nombre de lignes xi 1 2 3 4 5 6
Nombre d’annonces ni 3 8 21 39 22 7
1. La population étudiée est les petites annonces, la variable est le nombre de lignes, c’est une variable
quantitative (c’est un nombre) et le mode est 4 (39 annonces ont 4 lignes). L’effectif total est N = 100.
2. Calculons la moyenne de cette série.
762253942138231130
1
N
16
1
i
i
iixnx = 9,3
100
390.
Les petites annonces de ce journal ont moyenne environ 3,9 lignes.
3. Calculons la variance puis l’écart type de cette série.
V = 2
6
1
2
N
1xxn
i
i
ii = 22222229,3762253942138231
100
1
= 29,1100
129
100
1521
100
1650.
On en déduit que l’écart type est s = V = 29,1 1,14 (ligne).
4. Calculons le pourcentage d’annonces dont le nombre de lignes présente un écart avec la moyenne (3,9) plus
grand que l’écart type (1,14). Il faut donc voir le pourcentage d’annonces dont le nombre de lignes n’est pas dans
l’intervalle [ 3,9 – 1,14 ; 3,9 + 1,14 ] = [ 2,76 ; 5,04 ].
Donc on compte 3 + 8 + 7 = 18 annonces ayant 1, 2 ou 6 lignes, ce qui représente donc 18 % des annonces.
Exercice 8. On relève la température à 8 h du matin durant 6 jours : – 2 5 3 1 – 4 – 3.
1. Calculons la moyenne x et l’écart type s.
3413526
1
N
16
1
i
i
iixnx = 0.
V = 2
6
1
2
N
1xxn
i
i
ii =
222222341352
6
1 =
3
32 10,67.
On en déduit que l’écart type est s = V = 27,33
32 .
2. Soit S (t) = (t + 2) 2 + (t – 5)
2 + (t – 3)
2 + (t – 1)
2 + (t + 4)
2 + (t + 3)
2 où t est un réel.
a. Développons puis obtenons la forme réduite et ordonnée de S (t).
S (t) = t 2 + 4 t + 4 + t
2 – 10 t + 25 + t
2 – 6 t + 9 + t
2 – 2 t + 1 + t
2 + 8 t + 16 + t
2 + 6 t + 9
S (t) = 6 t 2 + 64.
b. Déterminons le réel t0 où S (t) atteint un minimum.
S’(t) = 12 t puis on résout l’équation S’(t) = 0 soit 12 t = 0 et t = 0.
Donc le réel t0 où S (t) atteint son minimum est t0 = 0.
c. On en déduit que la moyenne x est 0, c’est le théorème de Steiner puisque (t) = 6
S t admet son minimum
en la moyenne.
d. Calculons alors la somme minimale et retrouvons l’écart type.
D’après le cours, V = ( x ) = (0) = 6
0S =
3
32
6
64 puis s = V = 27,3
3
32 ce qui avait été déjà trouvé
auparavant.
Exercice 9. 1. Soit (a1, f1), … , (ap, fp) une série statistique.
Démontrons que : V = 2
1
2aaf
pi
i
ii (formule de Huygens-König).
On a par définition V = pi
i
iiaaf
1
2
= pi
i
iiiaaaaf
1
222 =
pi
i
iiiiiafaafaf
1
222
Donc V = pi
i
pi
i
pi
i
iiiiiafaafaf
1 1 1
222 =
pi
i
pi
i
pi
i
iiiiifaafaaf
1 1 1
222
Puisque pi
i
if
1
= 1 et que pi
i
iiaaf
1
, on obtient :
V = 2
1
22 aaaaf
pi
i
ii = 2
1
222 aaaf
pi
i
ii = pi
i
iiaaf
1
22.
2. Soit X une série statistique discrète : (x1, f1), … , (xp, fp) de moyenne x et d’écart type sX. En effectuant une
transformation affine x a x + b (a et b réels fixés) sur les données x1 , … , xp, on obtient une série statistique
Y : (y1, f1), … , (yp, fp) avec yi = a xi + b.
Démontrons que la moyenne de cette nouvelle série est y = a x + b et que l’écart type est sY = | a | sX.
y = pi
i
iiyf
1
= pi
i
iibxaf
1
= pi
i
iiibfxaf
1
= pi
i
i
pi
i
iibfxaf
11
= pi
i
i
pi
i
iifbxfa
11
.
Puisque pi
i
if
1
= 1 et que pi
i
iixxf
1
, on obtient : y = bxa , ce qu’il fallait démontrer.
VY = pi
i
iiyyf
1
2
= pi
i
iibxabxaf
1
2
= pi
i
iixaxaf
1
2
= pi
i
iixxaf
1
22
Donc VY =
pi
i
iixxfa
1
22
= a 2 VX.
Par conséquent sY = YV = X
2Va = X
2Va = | a | sX, ce qu’il fallait démontrer.
Exercice 10. 1. Faisons l'histogramme des effectifs. Unités. Axe des x : 1 cm 5 €, effectifs : 5.
Attention, les classes ne sont pas d’amplitudes égales !
Montant des
achats Nombre d’achats Aire (petits carreaux) Aire (cm
2) Largeur (cm) Hauteur (cm)
[ 0 ; 5 [ 60 12 3 1 3
[ 5 ; 10 [ 80 16 4 1 4
[ 10 ; 20 [ 480 96 24 2 12
[ 20 ; 30 [ 600 120 30 2 15
[ 30 ; 40 [ 420 84 21 2 10,5
[ 40 ; 60 [ 300 60 15 4 3,75
[ 60 ; 80 ] 60 12 3 4 0,75
[ 0 ; 5 [
[ 5 ; 10 [
[ 10 ; 20 [
[ 20 ; 30 [
[ 30 ; 40 [
[ 40 ; 60 [
[60 ; 80 [
montant (€)
2. Faisons le tableau des fréquences.
Le tableau ci-contre donne en euros, le montant
des achats effectués par 2 000 personnes dans un
magasin un jour donné.
Montant des achats effectif fréquence
[ 0 ; 5 [ 60 3 %
[ 5 ; 10 [ 80 4 %
[ 10 ; 20 [ 480 24 %
[ 20 ; 30 [ 600 30 %
[ 30 ; 40 [ 420 21 %
[ 40 ; 60 [ 300 15 %
[ 60 ; 80 ] 60 3 %
Nous en déduisons :
Moyenne = x = 2000
7060503003542025600154805,7805,260
= 0002
85056 = 28,425.
Variance = V = 2
7
1
2xxf
i
i
ii = 2
425,282000
2046375 215,2069.
Ecart type = V 2069,215 14,670.
On a donc x + 43,095 et x 13,755.
3. Complétons le tableau des fréquences cumulées croissantes.
montant … 0. .. 5 … 10 .. 20 .. 30 .. 40 .. 60 .. 80
fréq. 0 % 3 % 7 % 31 % 61 % 82 % 97 % 100 %
4. Construisons la courbe (ou polygone) des fréquences cumulées croissantes.
Unités. Axe des x : 1 cm 5 €; axe des y : 1cm 10.
0
20
40
60
80
100
120
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
montant (€)
fréq
uen
ce (
%)
5. A l'aide d'une construction sur le graphique, nous trouvons la médiane m 26 €.
Nous voyons que le premier quartile est d’environ Q1 17,5 € et le troisième quartile Q3 37 €.
6. On choisit une unité, par exemple 1 cm pour 5 €. Puis on place sur une droite graduée le minimum de la série
0, le premier quartile, ma médiane, le troisième quartile et le maximum 80.
min = 0 Q1 17,5 M 26 Q3 37 max = 80
7. Par construction graphique, nous trouvons qu’il y a environ 84 % de montants inférieurs à x + 43 €.
De même, par lecture graphique, nous trouvons qu’il y a environ 16 % de montants inférieurs à x 14 €.
Nous en déduisons qu’il y a environ 84 – 17 = 67 % de montants d’achats entre x 43 € et x 14 €.