Université Ibn Khaldoun de Tiaret Tiaret le 15/05/2018Département Informatique Durée 1H : 30mn1 ère année licence en informatique

Examen �nal deuxième semestreanalyse 2

Exercice 1(6pts)1)Soient fet g deux fonctions dérivables au voisinage de a, a ∈ R.La proposition suivante est-elle vraie ?

limx→a

f(x)

g(x)= l⇒ lim

x→a

f ′(x)

g′(x)= l

Justi�er votre réponse2)Montrer en utilisant le théorème des accroissemet �nis, l'inégalité suivante

(1 + x)5 > 1 + 5x,∀x > 0

3) Monter que ∀x > 0

arctanx+ arctan1

x=π

2

Exercice 2(5pts)1)Trouver le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre n = 3 de

f(x) =arcsinx√1 + x

2)En déduire le développement limité au voisinage de 0 à n = 4 de

g(x) = (arcsin x)2

3)Calculer la limite suivante

limx→0

arcsinx− xx3

Exxercice 3(4pts)Soit

In =

∫ 1

0

xne−xdx, n ∈ N

1)Calculer I0 et I1.2)En faisant une intégration par partie, trouver une relation entre In+1 et In.Exercice 4(5pts)

Calculer les intégrales suivantes :∫ x− 1

(x+ 2)2xdx,

∫x arcsinxdx,

∫sin2 xdx

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