Avec nos lves ou tudiants, et notamment lors dellaboration dun projet caractre industriel, nousrencontrons frquemment le problme suivant: dplacerun organe, muni dune charge, en translation rectiligne ou en rotation autour dun axe. II sagit donc de concevoir une commandedaxe (en chane directe ou en boucle ferme) dans laquelleinterviennent de nombreux critres ; en particulier, citons lescaractristiques mcaniques telles que couple ou effort, maisaussi la loi de conduite temporelle.

Dans ce contexte, il nous semble y avoir deux grands cas defigure : les actionneurs pour lesquels la commande est faite entout ou rien (TOR) et ceux dont la commande est contrle (enboucle ouverte) ou asservie (en boucle ferme), cest--dire effet proportionnel. Observons pour les deux cas la dmarchede dimensionnement qui les caractrise.

CAS DES ACTIONNEURS COMMANDS EN TOR

Tous ces actionneurs doivent majoritairement raliser unecourse dans un temps imparti ; ce temps tant lui-mmeconditionn par le temps de cycle de la machine dans laquellelactionneur est intgr. Leur dimensionnement consisteessentiellement calculer le couple (Cm) ou leffort (Fm) moteurncessaire en phase transitoire partir dune valeur dacc-lration maximale choisie pour les exigences de ce tempsdaction. En gnral, cette dtermination se fait partir dunemodlisation cinmatique le plus souvent de type trapzodaleen vitesse (voir dtail de la figure 1).

Globalement, cette dmarche peut se reprsenter parlorganigramme de la figure 1.

CAS DES ACTIONNEURS CONTRLS OU ASSERVIS

Cette typologie dactionneurs prsente la particularit dtrepilote par une commande lectronique capable de modulerleur nergie dalimentation pour en faire varier la vitesse.

Dans ce cas, la loi de vitesse est dfinie en fonction desncessits de lautomatisme. Pour cette loi, des choix dacc-lration et de vitesse maximales seront faits afin de respecter

les temps daction. Et cest partir de cette valeur de amaxque lon peut calculer le couple ou leffort moteur ncessaireen rgime transitoire.

Cette dmarche de dimensionnement est illustre par lafigure 2.

Les premires botes outils de cette nouvelle srienous ont permis de traiter le problme du dimensionnement des installations dalimentationen nergie des machines. De lnergie aux machines,il ny a quun pas franchir pour atteindre les actionneurs. Mais avant daborder prcisment le dimensionnement des actionneurs lectriques,

hydrauliques ou pneumatiques, cet article traite du problme gnral de dtermination des puissances ncessaires, partir des donnes de loi de commande, defforts dvelopper, de vitesse,de temps daction et dinertie.

Guide de dimensionnementLes actionneurs rotatifs et linairesPHILIPPE TAILLARD, CHRISTIAN TEIXIDO1

sansfrontireBOTE OUTILS

14 TECHNOLOGIE 111 JANVIER-FVRIER 2001

MOTS-CLS actionneur, automatismes,outil et mthode, puissance dynamique

Dimensionnement

Course daction Temps daction

Calcul du Cm ou Fmen rgime permanent

Calcul du Cm ou Fmen rgime transitoire

Modlisation de la loide vitesse :

Choix de Vmax Choix de a

Donnes

Choix

VitesseAcclration :

a = Vmax/taVmax

Temps

Modlisationde la variation

de vitessevolution relle

de la vitesse

ta: temps dacclration

Figure 1. Dmarchede dimensionnement dun actionneur TOR

Dimensionnement

Calcul du Cm ou Fmen rgime permanent

Calcul du Cm ou Fmen rgime transitoire

Course daction Temps daction Loi de vitesse impose

par lautomatisme

Donnes

Les diffrents modlesde loi de vitesse sont dveloppsdans le paragraphe suivant intitulLe point de vue cinmatique

Choix de Vmax Choix de amax

Choix

Vitesse

Acclration : amax

Vmax

Temps

Modleprogramm

volution rellede la vitesse

Figure 2 : Dmarche de dimensionnement dun actionneur commande proportionnelle

En consquence, quel que soit le type de commande (TORou contrle), deux points fondamentaux doivent tre rsolusen phase transitoire : llaboration dune loi de conduite (point de vue cinmatique) ; la matrise des performances dynamiques satisfaire (pointde vue nergtique).

LE POINT DE VUE CINMATIQUE2

La spcification dune loi de conduite peut tre tablie enfonction de plusieurs objectifs.1. Obtenir des performances dfinies (temps dexcutiondun cycle par exemple) en respectant au mieux lesspcifications relatives au produit ou au procd.

Une loi simple, dite en trapze, est alors le plus souventutilise (figures 3).

En gnral, lacclration et la dclration sont galesen module. Un palier faible vitesse est souvent introduitau ralentissement pour obtenir une bonne prcision lorsdu freinage (figure 3b).Cette loi provoque des -coups sur la mcanique lors dudmarrage et de larrt en raison de la variation brutalede lacclration de 0 + a ou de a 0 (figure 3c) ;

JANVIER-FVRIER 2001 TECHNOLOGIE 111 15

A valeur de lacclration, fonction du temps

v valeur de la vitesse, fonction du temps

Vmax vitesse spcifie en rgime permanent

TA, TD dures spcifies (ou calcules) dacclration, de dclration

CA, CD courses spcifies (ou calcules) dacclration, de dclration

A1, A2 valeurs de lacclration, de la dclration (spcifies ou calcules)

XF, XI positions : finale, initialeNota : X fait rfrence implicitement un dplacement linaire, mais toute lanalysesapplique un dplacement angulaire.

2. Optimiser la tenue mcanique et thermique des constituants.Cette optimisation, en amliorant la fiabilit de la mca-nique et des actionneurs, permet de rduire le cot globalet damliorer la scurit (figures 4).

Les lois de conduite sinusodales rpondent cet objectif,au dtriment cependant de la rapidit. Elles sont particu-lirement dveloppes pour des machines dessais dusure,pour des applications dans le domaine des transports afin damliorer le confort physiologique des passagers.

Dautres lois peuvent encore tre rencontres commela loi en sinus carr de lacclration, proche de la loi laplus optimale (rapidit et tenue), ou la loi dite cubique enposition, qui assure un bon compromis fiabilit-rapiditpar une monte en vitesse progressive.

Le tableau ci-aprs dfinit les lments caractristiquesde ces lois de commande.

b) Palier de ralentissement c) -coups dus la variation de a

+ a a + a a

t

= 270 = 90

a) Exemple de loi de vitesse trapzodale pour un asservissement de position angulaire

v

Vmax

Vr

a

t

v

+ a

a -coups

Figures 3.

d. Loi sinusodale e. Loi en sinus carr

Vitesse V

Vitesse

Acclration

f. Loi cubique

Figures 4. Exemples de lois de conduite

Graphes

Loi en trapze des vitesses

Relations cinmatiques

TA =Vmax CA =

V 2maxA1 2A1

TD =Vmax CD =

V 2maxA2 2A2

TD =CP

Vmax

=(XF XI) (CA + CD)

Vmax

Si A1 = A2 = A (cas frquent) et si lon pose :C = XF XITA = TD = tTA + TP + TD = T

alors A =C

t(T t)

Proprits

Loi la plus souvent utilise

Phases transitoires les plusrapides mais

Acclration discontinue chocs mcaniques

Pour un servomcanisme,une consigne de vitesse miniest applique au dmarrage(seuil de vitesse, frottements)et un palier faible vitesseest introduit au ralentisse-ment pour obtenir une bonneprcision lors du freinage.

quations de la loi de commande

Les quations sont obtenues parintgration de la spcification delacclration

Plase 0 t TAA(t) = A1V(t) = A1t

X(t) = 12

A1t2 + XI

Phase TA t TA + TPA(t) = 0V(t) = VmaxX(t) = XI + CA + Vmax (t TA)

La phase se dduit par symtrie.

A

t

t

t

A1

A2

TA

CA CP

CD

TP

X

XF

XI

TD

VVmax

16 TECHNOLOGIE 111 JANVIER-FVRIER 2001

Graphes

Loi cubique en position ou trapze en acclration

Relations cinmatiques

TA = Vmax +

A1A1 p1

et

CA = V2max +

VmaxA1 +A13

2A1 2p1 3p12

TA = Vmax +

A2A2 p2

et

CA = V2max +

VmaxA2 +A23

2A2 2p2 3p22

TD =CP

Vmax

=(XF XI) (CA + CD)

Vmax

TA = 2Vmax

A1et

CA = A1TA2 +

V2max4 A1

TD = 2Vmax

A2et

CA = A2TD2 +

V2max4 A2

TD =CP

Vmax

=(XF XI) (CA + CD)

Vmax

Proprits

Acclration continue

Dans le cas dun servom-canisme, cette loi assure unmeilleure contrle de la tra-jectoire que la prcdente.

(TA)cubique > (TA)trapze,mais bon compromis fiabi-lit-rapidit par une monteen vitesse progressive.

Acclration continue

Permet damliorer la fiabi-lit de la chane de commandeau dtriment de la rapiditcar :(TA)sinus

2 >(TA)cubique>(TA)trapze

Recommande dans les servomcanismes.

Plus complexe laborer.

quations de la loi de commande

Les quations sont obtenues parintgration de la spcification delacclration en trapze.

Phase 0 t t1 = A11V(t) = p1

t2

2 X(t) = XI + p1

t3

6

Phase t1 t t2V(t) = V1 + A1 (t t1)X(t) = x1 + v1 (t t1) + A1

(t t1)2

2

Phase t2 t TAV(t) = V2 + A1 (t t2) p1

(t t2)2

2X(t) = X2 + V2 (t t2) +

A1 (t t2)2

p1(t t2)

3

2 6Phase TA t Ta + TPV(t) = VmaxX(t) = x3 + Vmax (t TA)Les phases se dduisent parsymtrie.

Phase 0 t TAA(t) = A1sin2

tTA

V(t) = A1 t TA sin 2t2 [ 2 ( TA )]

V(t) = XI + A1[t2 (TA)2sin 2(t)]4 TAPhase tA t tA +TPA(t) = 0V(t) = VmaxX(t) = XI + CA + Vmax(t TA)La phase se dduit par symtrie.

A

t

t

t

A1

p1

A2

p1

TA

CA

CP

CD

TP

XXF

XI

TD

V Vmax

V1

V2

t1

x1x2

x3

t2 t3

p2 p2

A

t

t

t

A1

A2

TA

CA

CP

CD

TP

XXF

XI

TD

V Vmax

Loi en sinus2 des acclrations

LE POINT DE VUE NERGTIQUE2

Les quations de fonctionnementDeux cas sont distinguer suivant la nature du mouvement desortie de lactionneur.

Les quations et les lments de calcul sont donns par letableau ci-dessous.

lments comparatifs Actionneur rotatif Actionneur linaire

Schma de principe

Charge

MoteurChane

cinmatique

Moteur

Cm, mCm, m

CmCm

CpmCpm

JmeJme

mam

mam

Fm, Vm

FmFpm

MeqVmm

Chanecinmatique

JANVIER-FVRIER 2001 TECHNOLOGIE 111 17

lments comparatifs Actionneur rotatif Actionneur linaire

Grandeurs caractristiques Cm : couple total moteur (en Nm) Fm : effort total dvelopp par le moteur (en N)

m : vitesse angulaire moteur (rd/s) Vm = vitesse linaire moteur (en m/s)am : acclration angulaire moteur (rd/s2) m : acclration linaire moteur (en m/s2)Jme : inertie quivalente, ramene au moteur, Mme : masse quivalente, ramene au moteur,

de lensemble moteur + charge + ... de lensemble moteur + charge + ...

Cpm : couple permanent d la charge Fpm : effort permanent du la charge,

ramen au moteur (en N.m) ramen sur larbre moteur (en N)

quation de fonctionnement

en rgime permanentCm = Cpm Ftm = Fpm

quation de fonctionnement

en rgime transitoireCm = Cpm + Jme . am Fm = Fpm + Mme . m

Les caractristiques quivalentes de couples et dinertie de mcanismes courants Fpc et Cpc : effort ou couple permanent sur la charge

Moteur + vis-crou+ table

Moteur + rducteur + vis-crou + table

Moteur + pignon crmaillre + table(+ rducteur ventuel)

Chariot automoteur:moteur + rducteur + roues + chariot

Bandes transporteuses:moteur + rducteur + chane ou bande

Type Schma de principe

CF p

N m

J J J Mp

kg m

pmpc

me m

=

= + +

2

22

( )

( )

CR F

k

J J JJ J MR

k

pmr

pc

me m re

=

= + ++ +

1

1 22

2

bt

Caractristiques quivalentes

Moteur + 2 rducteurs+ charges C

C

k kN m

J JJ

k

J

k kkg m

pmpc

me mr c

=

= + + +

1 2 21

Jr12

12 2

1

2

2

( )

( )( )

Moteur

Rducteur

ChargeR1 R2Jr1

Jr2Cpc

JcJm

(k1, 1) (k2, 2 )

(J , )Moteur

Jm

MFpc Table

Vispas p

Moteur Jm M FpcEffortpermanentsur charge

Vis (p, J , )Rducteur(k, Jre , )

Ck

F pN m

J J J

J Mp

kkg m

pmr

pc

me m re

=

= + +

+

1 1

2

2

2

22

( )

( )

Moteur Jm

M

M

R

Fpc

Pignonrayon R, Jp

pc: rendement pignon/crmaillre

Crmaillre

CR F

J J J MR

pmpc

pc

me m p

=

= + +

( )2

ChargeAvec rducteur

CR F

k

J J JJ MR

k

mpc r

pc

me m rep

=

= + ++

2

2

1

Moteur Jm

Rducteur(k, r, Jre)

Moteur (Jm)+ rducteur (k, r, Jre)

RFpc

Roue (R, Jroue, roue)

CR F

k

J J JJ MR

k

pmr roue

pc

me m reroues

=

= + ++

1

2

2

M

R

Fpc M = massecharge +bandeou chane

J1 J2bt = rendementde la bande transporteuse

1

2

Prslectiondes moteurs

Choix du typede moteurs

Prslectiondu rapport de

rduction k

Optimisationde lensemble

moteur-rducteur

Slectiondu moteur

Rductionnon

oui

18 TECHNOLOGIE 111 JANVIER-FVRIER 2001

LA DMARCHE DE DTERMINATION DUNE MOTORISATION

Le calcul seffectue en deux tapes fondamentales : dabord, une prslection en rgime permanent permettantde retenir des actionneurs en fonction de leurs caractris-tiques nominales ;

1. Note de la page 14. Respectivement, professeurs agrgs de gnie mca-niqueet de mcanique au lyce Gustave-Eiffel de Cachan et au lyce Jean-Jaurs dArgenteuil.

2. Note des pages 15 et 16. Documents extraits, en grande partie, de louvrage Guide de la commande daxe Technoguide E, d. Adepa.

Vrin + pignoncrmaillre + rducteur+ charge

Type Schma de principe Caractristiques quivalentes

Vrin + vis-crou

M

R

J(/)

M(piston + vis)e rendement vis-crou

Pignon (rayon R, inertie Jp)

Crmaillre

Cpc F Cp

enN

M M Jp

enKg

pme

pc

me

=

= +

1 2

2 2

( )

( )

FC

kR

M MJ J

R

J

k R

pmpc r

pc

mep re c

=

= ++

+

1

2 2 2

Jp Jc

Cpc

Rducteur (k, Jre, )

ensuite, une slection afin doptimiser la chane motoriseen rgime transitoire.

Type dutilisation : asservissement, milieuambiant, arrts frquents, vitesses admis-sibles, jeu de fonctionnement

Moteur asynchrone Moteur CC

Rgime permanent Type de moteurs rmax:puissance maxi en rgime permanent

Choix de plusieurs moteurs possibles telsque : nom. = rmax Dduction de Nnom pour chaque moteur.

Vitesse maxi du rcepteur en rgime per-manent

Jeu de fonctionnement admissible

Choix de plusieurs rducteurs possibles ki et i

Dure et mode dacclration en rgimetransitoire

Couple rcepteur quivalent ramen surlarbre moteur Cpm

Inertie quivalente ramene sur larbremoteur Jme

Calcul du couple moteur dynamique :Cm = Cpm + Jme . am

Couple dynamique Cm = f (Nm) Documents constructeurs concernant des

moteurs prslectionns

Tout point de fonctionnement (Cm, Nm) lintrieur de la zone tolre en rgime transitoire (Cm)nom conforme en rgime permanent

Donnes lments de calculs et rsultats