IDENTITÉS REMARQUABLES

OBJECTIFS : Rappel double distributivitéConnaitre les identités remarquables en développement et

factorisationApplications

3

1. (a + b)² = a² + 2 ab + b²

(a + b)² = (a + b)(a + b)

=

= a² + ab + ba + b²

= a² + 2ab + b²

aa + ab + ba + bb

(a + b)² = a² + 2ab + b²

ab = produit de a et b

2ab = double produit

Exemples

(x + 2)² = x² + 4x + 4Produit =

Double produit =

(2x + 3)² = 4x² + 12x + 9Produit =

Double produit =

2x

4x

6x

12x

4

2. (a – b)² = a² – 2ab + b²

(a – b)² = (a – b)(a – b)

= a² – ab – ba + b²

= a² – 2ab + b²

(a – b)² = a² – 2ab + b²

ab = produit de a et b

2ab = double produit

Exemples

(x – 5)² = x² – 10x + 25Produit =

Double produit =

(2x – 7)² = 4x² – 28x + 49Produit =

Double produit =

(7x – 6)² = 49x² – 84x + 36Produit =

Double produit =

5x

10x

14x

28x

42x

84x

5

3. (a + b)(a – b) = a² – b²

(a + b)(a – b) = – bb– abaa + ba

= a² – ab + ba – b²

= a² – b²

(a +b)(a – b) = a² – b²

Exemples

(x + 1)(x – 1) = x² – 1

(x + 2)(x – 2) = x² – 4

(4x + 7)(4x – 7) = 16x² – 49

Des développements accélérés

Développer ( 2+ 6x)( 2 –6x) = 4 -36x²

( a + b ) ( a – b ) = a ² - b²

Développer ( 2- 9x) ²=

( a - b ) ²= a ² - 2 a b + b ²

4 -36x + 81x²

Développer ( x²+ 10) ²=

( a + b ) ²= a ² + 2 a b + b ²

x4 +20x² + 100

Des développements encore

Développer ( 3y- 6x)( 3y +6x) = 9y² - 36x²

Développer ( 1- 5x) ²= 1 -10x+ 25x²

Développer ( 3x²+ y) ²= 9x4 +6x²y+ y²

Des développements plus délicats

Développer (𝒙

𝟐+ 𝟏)(

𝒙

𝟐− 𝟏) =

x²

𝟒-1

Développer (𝒙

𝟐- 5) ²=

x²

𝟒-5x + 25

Développer (3𝟐

+ x ) ²=9

𝟒+ 3x + x²

Des développements de plus en plus délicats

Développer ( 𝒙

𝟐+

𝟏

𝟑)(𝒙

𝟐−

𝟏

𝟑) =

𝒙²

𝟒−

𝟏

𝟗

Développer (𝒙

𝟐−

𝟐

𝟑)𝟐=

𝒙²

𝟒−𝟐𝒙

𝟑+𝟒

𝟗

Développer (𝟐𝒙

𝟑−

𝟏

𝟒)𝟐=

𝟒𝒙²

𝟗+𝒙

𝟑+

𝟏

𝟏𝟔

Des développements de plus en plus délicats

Développer ( 3 – 2x)( 2x + 3) = 9 - 4x²

Développer ( x - 2) ²= x² - 4x + 4

Développer ( 2 - x ) ²= 4 - 4x + x²

Développer ( - x - 3 ) ²= x² + 6x + 9

Développer (- x + 2 ) ²= x² - 4x + 4

Développer ( - 4 + 2x)( - 4 – 2x) = 16 - 4x²

Des factorisations moins détaillées

Factoriser 4x² - 36 = ( 2x + 6 ) (2x –6 )

a ² - b² = ( a + b ) ( a – b )

Factoriser 4 – 36x + 81x²=

a ² - 2 a b + b ² = ( a - b ) ²

( 2 – 9x)²

Factoriser x4 + 20x² + 100=

a ² + 2 a b + b ² = ( a + b ) ²

( x² + 10 )²

Des factorisations encore moins détaillées

Factoriser 9y² - 36x² = ( 3y + 6x ) ( 3y - 6x)

Factoriser 1 – 10x + 25x²= ( 1 – 5x )²

Factoriser 9x4 + 6x²y + y²= ( 3x² + y )²

Des factorisations plus délicates

Factoriser 9x² + 4 + 12x = ( 3x + 2 )²

Factoriser - 16 + 25x² = ( 5x – 4 ) ( 5x + 4 )

Factoriser 25 + 16x²+ 20x = Impossible !!!!