Modèle de Chan&Vese avec terme de lissage : application en imagerie médicale

Riad DIB*, Karim MOKRANI*

et Abdenour MEKHMOUKH*

*

riad_dib@yahoo.fr LTII, Université de Bejaia, Algérie

Mokrani_k@yahoo.fr abdmek@yahoo.fr

Résumé : La segmentation d’images consiste à regrouper les différents pixels de l’image en classes, chaque classe regroupant les pixels similaires au sens d’un critère donné. La segmentation d'images est, en général, très difficile à réaliser car les images naturelles sont diverses, complexes et la manière de les percevoir varie selon les individus. Du fait de cette difficulté, plusieurs approches ont été proposées. L’approche abordée dans cet article est la technique des contours actifs. Nous nous intéressons aux contours actifs implicites, nous proposons une amélioration pour le modèle de Chan&Vese. L’application de notre méthode sur des images médicales à montré qu’ils peuvent être un outil pour la segmentation d’images et ainsi apporter un outil d’aide au diagnostic au praticien. Mots clés : segmentation, images, contours actifs implicites, level set.

1. Introduction

La méthode des contours actifs est l’une des méthodes efficaces pour la segmentation d’images [1, 2-6, 7]. Les contours actifs peuvent êtres divisées en deux approches : approche « contours » [1, 3-6] et approche « régions » [8, 9, 10]. Ces deux approches présentent des avantages et des inconvénients, le choix de l’approche dans une application dépend de différents types et caractéristiques des images.

L’approche « contours » utilise le gradient de l’image pour stopper l’évolution du contour sur les frontières de l’objet à segmenter. Cette approche nécessite une fonction d’arrêt et une force de ballon pour contrôler le mouvement du contour actif. La fonction d’arrêt sert à stopper le contour sur l’objet désiré. La force du ballon est introduite pour gonfler ou dégonfler le contour (la courbe d’évolution). Le choix de cette force pose parfois des difficultés : si la force est choisie très petite, la courbe n’arrive pas à localiser l’objet d’intérêt et dans le cas inverse, la courbe peut dépasser les frontières de faible contraste de l’objet d’intérêt.

L’approche « régions » présente des avantages par rapport a l’approche « contours ». Premièrement, l’approche « régions » n’utilise pas le gradient de l’image mais elle utilise les statistiques régionales. Deuxièment,

cette approche n’est pas sensible à l’initialisation (ne dépend pas de la position initiale de la courbe).

Le modèle le plus populaire dans cette approche est celui de Chan&Vese [8]. Ce modèle offre des résultats satisfaisants pour la segmentation d’une image qui présente deux régions d’intensités presque uniformes, le modèle assume que l’image à segmenter est composées des régions homogènes et dans le cas ou l’image est composées des régions non homogènes, le modèle de Chan&Vese devient inadéquat pour la segmentation de ce types d’images.

Dans cet article nous proposons une nouvelle version améliorée pour le model de Chan&Vese pour la segmentation des images avec intensités non uniformes. L’idée de base est d’introduire une fonction gaussienne pour définir l’énergie de raffinement locale dans la formulation variationelle du modèle. La fonctionnelle d’énergie de raffinement locale est introduite dans le modèle proposé par Li [5], la réinitialisation du contour n’est pas nécessaire pour notre méthode. 2. Contours actifs implicites

Ce type des contours actifs à été mise en œuvre pour remédier aux problèmes posés par la méthode des contours actifs explicites (Snakes) [3]. La méthode des contours

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actifs implicites fait appel à la théorie des ensembles de niveau.

Le principe des ensembles de niveau est inspiré de la théorie de la propagation des courbes subissant une force normale, comme cela est illustré sur la figure 1. Les premiers travaux relatifs à cette méthode sont ceux de Dervieux et Thomasset à propos des interfaces entre des fluides de densité non-homogène en mouvement [11, 12]. Par la suite, Osher et Sethian ont modélisé la propagation des interfaces (ou fronts) entre des fluides et/ou des solides de nature différentes sous l'action d'une force dépendante de leurs courbures [13, 14].

2.1. Approche de Mumford-Shah En 2D, soit Ω l’espace de l’image, et C est une courbe

définissant une région de l’image w de Ω (w ∈ Ω et C = 𝜕𝜕w). On note I : Ω → 𝑅𝑅 est l’image donnée et L(C) la longueur de la courbe C. La fonctionnelle d’énergie de Mumford et Shah [15] est alors donnée par :

𝐸𝐸𝑀𝑀𝑀𝑀 (𝑢𝑢, 𝐶𝐶) =𝜆𝜆 ∫ (Ι − 𝑢𝑢)2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

Ω+ ∫ |∇𝑢𝑢|2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝜇𝜇𝜇𝜇(𝐶𝐶)

Ω\𝐶𝐶 (1)

Où µ, λ > 0 sont des paramètres fixes servant à mesurer

le poids des différents termes de l’énergie. On voie que le paramètre µ influe sur la longueur de la

frontière. Donc on voudra des détails, plus il faudra diminuer ce paramètre. Ceci rend la minimisation de la fonctionnelle d’énergie (1) difficile.

2.2. Modèle de Chan&Vese

Chan et vese ont proposés une approche de contour actif pour le problème de Mumford-Shah dans un cas particulier ou l’image u est définie dans (1) est une fonction presque constante.

L’idée de base de ce modèle est simple, puisque l’hypothèse est faite que l’image I est composée de deux régions d’intensités presque uniformes iu0 et eu0 .

Partant de cette hypothèse on peut dire que Ι = 𝑢𝑢0𝑖𝑖 dans

la région ω et Ι = 𝑢𝑢0𝑖𝑖 dans la région extérieure à ω. On

considère maintenant le terme d’énergie de raffinement suivant [8]:

𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶(𝐶𝐶, 𝑐𝑐1, 𝑐𝑐2) =𝜆𝜆1 ∫ |Ι(𝑑𝑑, 𝑑𝑑) − 𝑐𝑐1|2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑑𝑑𝑖𝑖 (𝐶𝐶)

+𝜆𝜆2 ∫ |Ι(𝑑𝑑, 𝑑𝑑) − 𝑐𝑐2|2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑜𝑜𝑢𝑢𝑜𝑜𝑖𝑖𝑖𝑖𝑑𝑑𝑖𝑖 (𝐶𝐶)

(2)

On note inside(C) la région ω, se trouvant à l’intérieure

de la courbe C et outside(C) la région ϖ (= Ω/ω), se trouvant à l’extérieure de la courbe C. 1c et 2c sont

respectivement les moyennes de niveaux de gris à l’intérieur et à l’extérieur de la courbe C respectivement.

Dans ce modèle, Chan et Vese [8] ont introduit deux termes de régularisation pour minimiser la longueur de la courbe et la surface interne de la courbe C, ce qui introduit la fonctionnelle d’énergie E :

𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶(𝐶𝐶, 𝑐𝑐1, 𝑐𝑐2) =

𝜇𝜇𝜇𝜇(𝐶𝐶) + 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑑𝑑𝑖𝑖(𝐶𝐶)+𝜆𝜆1 ∫ |Ι(𝑑𝑑, 𝑑𝑑) − 𝑐𝑐1|2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑑𝑑𝑖𝑖 (𝐶𝐶)

+𝜆𝜆2 ∫ |Ι(𝑑𝑑, 𝑑𝑑) − 𝑐𝑐2|2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑜𝑜𝑢𝑢𝑜𝑜𝑖𝑖𝑖𝑖𝑑𝑑𝑖𝑖 (𝐶𝐶)

(3)

Avec 0≥µ , 0≥ν et 0,0 21 >> λλ des

paramètres pondérant les différents termes de la fonctionnelle d’énergie.

Le but de ce modèle est de minimiser l’énergie E. Ce problème de minimisation peut être formulé et résolu en utilisant la méthode des level sets (ensembles de niveau).

La minimisation de l’équation (3) en utilisant la formulation de level sets, revient à résoudre l’équation aux dérivées partielles suivante [8] :

𝜕𝜕Φ𝜕𝜕𝑜𝑜

= 𝛿𝛿𝜀𝜀 (Φ) 𝜇𝜇𝑑𝑑𝑖𝑖𝑣𝑣 ∇Φ

|∇Φ| − 𝑣𝑣

−𝜆𝜆1(𝐼𝐼 − 𝑐𝑐1)2 + 𝜆𝜆2(𝐼𝐼 − 𝑐𝑐2)2 (4)

L’application de ce modèle sur des images tests à

montré que ce dernier n’est pas sensible au bruit et de même il gère automatiquement les changements de topologie dans les images. Dans le cas où les deux régions à l’intérieure et à l’extérieure de la courbe C ne sont pas homogènes (avec intensités non uniformes), ce modèle pose des problèmes de segmentation pour quelques parties des images.

Pour exemple, l’image synthétique et l’image du vaisseau sanguin sur la Figure 2 sont des exemples typiques pour des images avec intensités non homogènes.

Sur l’image du vaisseau sanguin, l’intensité de l’arrière

plan (fond) de l’image diminue progressivement à partir du sommet à la base. De plus une partie du fond(le coin supérieur gauche) est d’intensité plus élevé qu’une partie

Figure 1. Courbe subissant une force normale.

Figure 2. Résultats de segmentation sur des images non homogènes. Colonne1 : Images originales;

colonne2 : Résultats de segmentation par seuillage; colonne3 : Résultats de segmentation par le modèle

de Chan&Vese.

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du vaisseau sanguin (bas gauche de la branche). La deuxième et la troisième colonne de la figure 2 montre les résultats de segmentation par seuil et en utilisant le modèle de Chan&Vese respectivement. On remarque clairement que le vaisseau sanguin est mal segmenté, tant que l’image ne présente pas une uniformité d’intensité entre l’image du vaisseau et le fond.

Similairement, Chan&Vese [16] ont proposés une autre méthode, consiste à utiliser plusieurs fonctions de level sets. Ce style n’arrive pas a résoudre le problème de non homogénéité des images. De plus, ce dernier modèle nécessite une réinitialisation pour la fonction de level set Φ. Ainsi ce modèle utilise plusieurs paramètres qui seront difficile à sélectionner par un utilisateur non expérimenté.

3. Modèle de Chan&Vese avec terme de raffinement local binaire :

3.1. Energie de raffinement locale binaire

Considérons l’image donnée I : Ω → ℝ𝑑𝑑 , où Ω ⊂ ℝ𝑖𝑖 est le domaine de l’image, d est la dimension du vecteur I(x). Dans notre cas d = 1 pour une image en niveau de gris. Soit C le contour dans le domaine d’image Ω.

Nous définissons pour tout point 𝑑𝑑 ∈ Ω le terme d’énergie suivante :

𝐸𝐸𝑅𝑅𝜇𝜇𝑅𝑅 𝐶𝐶 , 𝑐𝑐1(𝑑𝑑), 𝑐𝑐2(𝑑𝑑) =

𝜆𝜆1 ∫ 𝐾𝐾(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑)|Ι(𝑑𝑑) − 𝑐𝑐1(𝑑𝑑)|2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑜𝑜 (𝐶𝐶)

+𝜆𝜆2 ∫ 𝐾𝐾(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑)|Ι(𝑑𝑑) − 𝑐𝑐2(𝑑𝑑)|2𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑜𝑜 (𝐶𝐶)

(5)

Où 21 ,λλ sont des paramètres positifs, K est la

fonction noyau laquelle K(x) diminue et rapproche de zéro tant que x augmente, c1(x) et c2

Dans notre travail, on choisit la fonction du noyau gaussien :

(x) sont les deux termes qui correspondre aux intensités d’image près du point x.

𝐾𝐾𝜎𝜎 (𝑑𝑑) = 1√2𝜋𝜋𝜎𝜎

− 𝑑𝑑2

2𝜎𝜎 2 (6) Avec σ est la déviation standard (écart type). Le bon

choix de ce paramètre est très important pour une bonne localisation des objets d’intérêts.

L’introduction des deux fonctions variantes c1 et c2

La fonction gaussienne définie dans (5), prend des grandes valeurs aux points y proches du point x et tend vers zéro lorsque les point y s’éloignent du point x.

rend notre méthode essentiellement différente du celle de Chan&Vese [8].

Par conséquence, les intensités d’image aux points y près de x ont une grande influence sur les valeurs des deux fonctions c1 et c2 qui minimise la fonctionnelle d’énergie𝐸𝐸𝑅𝑅𝜇𝜇𝑅𝑅 𝐶𝐶, 𝑐𝑐1(𝑑𝑑), 𝑐𝑐2(𝑑𝑑), alors que loin du point x, les intensités d’image n’ont pas une influence sur c1 et c2

Donc, pour tout point x, l’énergie de raffinement locale 𝐸𝐸𝑅𝑅𝜇𝜇𝑅𝑅 𝐶𝐶 , 𝑐𝑐1(𝑑𝑑), 𝑐𝑐2(𝑑𝑑) peut être minimisée lorsque le

contour C localise la frontière de l’objet à détecter pour un choix optimal de c

.

1 et c2

Notre but est de minimiser 𝐸𝐸𝑅𝑅𝜇𝜇𝑅𝑅 𝐶𝐶, 𝑐𝑐1(𝑑𝑑), 𝑐𝑐2(𝑑𝑑) pour tous les points x dans le domaine image Ω. Pour cela la fonctionnelle d’énergie définie dans (5) peut être convertie en une formulation des level sets équivalente, dont un nouveau modèle des contours actifs sera obtenu.

.

3.2. Formulation du modèle avec les levels sets

Dans la méthode des level sets, le contour Ω⊂C est représentée par le niveau zéro d’une fonction distance signée Φ : Ω → R, telle que :

Φ(x, y, t): = 0 (x, y) ∈ C = ∂w < 0 (x, y) ∈ inside (𝐶𝐶) > 0 (x, y) ∈ outside(C)

(7)

En utilisant la représentation des level sets, la

fonctionnelle d’énergie 𝐸𝐸𝑅𝑅𝜇𝜇𝑅𝑅 𝐶𝐶, 𝑐𝑐1(𝑑𝑑), 𝑐𝑐2(𝑑𝑑) peut être écrite comme suit :

𝐸𝐸𝑅𝑅𝜇𝜇𝑅𝑅 Φ, 𝑐𝑐1(𝑑𝑑), 𝑐𝑐2(𝑑𝑑) = 𝜆𝜆1 ∫ 𝐾𝐾𝜎𝜎 (𝑑𝑑 − 𝑑𝑑)|Ι(𝑑𝑑) − 𝑐𝑐1(𝑑𝑑)|2 ΗΦ(𝑑𝑑)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

Ω (8)

𝜆𝜆2 ∫ 𝐾𝐾𝜎𝜎 (𝑑𝑑 − 𝑑𝑑)|Ι(𝑑𝑑) − 𝑐𝑐2(𝑑𝑑)|2 1 − ΗΦ(𝑑𝑑) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Ω

On note H la fonction Heaviside [8,16]. Dans le but d’assurer une stable évolution pour la

courbe d’évolu tion Φ, on rajou te u n terme d e régularisation de distance proposé par Li [5]. Ce terme est donné par la relation suivante :

Ρ(Φ) = ∫ 1

2

Ω (|∇Φ(𝑑𝑑)| − 1)2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 (9) Pour régulariser le niveau zéro du contour de Φ, on

utilise aussi la longueur de la courbe d’évolution Φ qui est donnée par :

𝜇𝜇(Φ) = ∫ 𝛿𝛿Φ(𝑑𝑑)∇Φ(𝑑𝑑)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 Ω (10)

Donc, la fonctionnelle d’énergie entière est définie

comme suit :

𝑓𝑓(Φ, c1, c2) = 𝐸𝐸𝑅𝑅𝜇𝜇𝑅𝑅 (Φ, 𝑐𝑐1, 𝑐𝑐2) + 𝜇𝜇Ρ(Φ) + 𝜌𝜌𝜇𝜇(Φ) (11)

Avec µ et ρ sont des constantes positives. Afin de minimiser la fonctionnelle d’énergie (11), nous

devons tout d’abord régulariser la fon de Heaviside H dans l’équation (8) et la fonction Dirac δ dans l’équation (10), Chan et Vese [2] proposent :

𝐻𝐻𝜀𝜀 (Φ) = 1

2+ 1

Π𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑜𝑜𝑎𝑎𝑖𝑖 Φ

𝜀𝜀 (12)

et 𝛿𝛿𝜀𝜀 (Φ) = 1

Π𝜀𝜀

ε2+Φ2 (13) Lorsque ε tend vers zéro, 𝐻𝐻𝜀𝜀 (Φ) converge vers H(Φ) et

𝛿𝛿𝜀𝜀 (Φ) converge vers δ(Φ).

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En remplaçant H et δ dans (8) et (10) par 𝐻𝐻𝜀𝜀 (Φ) et𝛿𝛿𝜀𝜀 (Φ), la fonctionnelle d’énergie 𝐸𝐸𝑅𝑅𝜇𝜇𝑅𝑅 et le terme de 𝜇𝜇(Φ) sont régularisés comme 𝐸𝐸𝜀𝜀

𝑅𝑅𝜇𝜇𝑅𝑅 et 𝜇𝜇𝜀𝜀 . Comme dans [8, 16], on choisit ε=1 pour une bonne approximation de H et δ par 𝐻𝐻𝜀𝜀 et𝛿𝛿𝜀𝜀 .

Par conséquent, l’équation (11) peut être écrite comme suit :

𝑓𝑓𝜀𝜀 (Φ, c1, c2) = 𝐸𝐸𝜀𝜀

𝑅𝑅𝜇𝜇𝑅𝑅 (Φ, 𝑐𝑐1, 𝑐𝑐2) + 𝜇𝜇Ρ(Φ) + 𝜌𝜌𝜇𝜇𝜀𝜀 (Φ)(14) 3.3. Flux de descente du gradient (Gradient descent flow) :

On utilise la méthode de descente du gradient standard (ou méthode de Steepest descent) pour minimiser la fonctionnelle d’énergie définie dans (14). La dérivation de flux du gradient est identique a celle du modèle de Chan et Vese [8, 16]. Pour cela on doit calculer les variations des deux fonctions c1(x) et c2

(x) qui minimise𝑓𝑓𝜀𝜀 (Φ, c1, c2), ce qui introduit :

𝑐𝑐1(x) = 𝐾𝐾𝜎𝜎 (𝑑𝑑)∗𝐻𝐻𝜀𝜀Φ(x)Ι(𝑑𝑑)

𝐾𝐾𝜎𝜎 (𝑑𝑑)∗𝐻𝐻𝜀𝜀Φ(x) (15)

et

𝑐𝑐2(x) =𝐾𝐾𝜎𝜎 (𝑑𝑑)∗1−𝐻𝐻𝜀𝜀Φ(x)Ι(𝑑𝑑)

𝐾𝐾𝜎𝜎 (𝑑𝑑)∗1−𝐻𝐻𝜀𝜀Φ(x)Ι(𝑑𝑑) (16)

On remarque que les dominateurs dans (15) et (16) sont

toujours positifs du fait que 𝐻𝐻𝜀𝜀 (Φ) > 0 et 1 − 𝐻𝐻𝜀𝜀 (Φ) >0 en évaluant l’expression de 𝐻𝐻𝜀𝜀 (Φ) dans (12).

Nous pouvons donc, déduire l’équation aux dérivées partielles (EDP) de l’équation d’énergie (14) en utilisant le flux de descente du gradient :

𝜕𝜕Φ𝜕𝜕𝑜𝑜

=

−𝛿𝛿𝜖𝜖 (Φ)(𝜆𝜆1𝑖𝑖1 − 𝜆𝜆2𝑖𝑖2)

+𝜌𝜌𝛿𝛿𝜖𝜖 (Φ)𝑑𝑑𝑖𝑖𝑣𝑣 ∇Φ|∇Φ|

+𝜇𝜇 ∇2Φ − 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑣𝑣 ∇Φ|∇Φ|

(17)

Avec δε est une fonction Dirac donnée par l’équation

(13), e1 et e2

deux fonctions définies comme suit :

𝑖𝑖1(𝑑𝑑) = ∫ 𝐾𝐾𝜎𝜎 (𝑑𝑑 − 𝑑𝑑)|Ι(𝑑𝑑) − 𝑐𝑐1(𝑑𝑑)|2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 Ω (18)

et 𝑖𝑖2(𝑑𝑑) = ∫ 𝐾𝐾𝜎𝜎 (𝑑𝑑 − 𝑑𝑑)|Ι(𝑑𝑑) − 𝑐𝑐2(𝑑𝑑)|2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

Ω (19) Avec c1 et c2Donc l’équation (17) implémente notre modèle de

contour actif implicite en améliorant celui implémenté par Chan&Vese proposé dans l’article [8].

respectivement donnés par (15) et (16).

3.4. Avantages

Contrairement au modèle de Chan&Vese [8, 16], dans notre méthode, la régularisation des deux fonctions de raffinements c1 et c2 n’est pas nécessaire. En fait c1 et c2 sont des fonctions de

lissage dû à la présence de la convolution gaussienne dans les deux formulations (15) et (16). Un autre avantage est que notre méthode ne nécessite pas de réinitialisation de Φ dû au terme de distance régularisée définie dans l’équation (9). Pratiquement, on peut simplement initialiser la courbe Φ comme une fonction binaire, qui prend la valeur constante c0 dans la région w et –c0

à l’extérieure de w, avec w peut être donnée arbitrairement comme un sous ensemble dans le domaine d’image Ω.

4. Implémentation et résultats Les dérivées partielles 𝜕𝜕Φ

𝜕𝜕𝑑𝑑 et 𝜕𝜕Φ

𝜕𝜕𝑑𝑑 dans (17) sont

discrétisées en utilisant le schéma des différences finies dans [6]. A noter que pour le deux fonctions c1 et c2

données par les deux équations (15) et (16). Nous appliquons notre modèle sur des images Synthétiques et réelles, on utilise les mêmes paramètres : 𝜌𝜌 = 0.001 × 2552, 𝜇𝜇 = 1.0, 𝜆𝜆1 = 𝜆𝜆2 = 1.0, 𝜎𝜎 = 3.0 et le pas du temps 𝜏𝜏 = 0.1 pour toutes les images utilisées, sauf pour l’image de la rétine (figure 5) où 𝜌𝜌 = 10−10 × 2552

La figure 3 montre les résultats de segmentation par

notre méthode sur une image synthétique et deux images réelles (vaisseaux sanguins). Les courbes initiales et les courbes finales sont représentées à gauche et à droite respectivement. Dans ces images, la non uniformité d’intensités se manifeste dans l’arrière et l’avant plan. A

Figure 3. Application de notre méthode sur une image synthétique et deux images réelles. Colonne1 : Contours

initiaux ; Colonne2 : Contours finals.

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noter que l’image synthétique sur la première ligne et l’image du vaisseau sanguin sur la deuxième ligne sont les mêmes images représentées sur la figure 2, cette dernière montre que le modèle de Chan&Vese échoue à localiser correctement les différentes branches pour l’image réelle et l’objet de faible contraste pour l’image synthétique.

Sur les images des vaisseaux sanguins, quelques parties des vaisseaux sont de faibles contrastes. Comme illustre la figure 3, notre méthode réalise des résultats de segmentation satisfaisante pour les trois images. Les objets de faibles contrastes et les régions non homogènes des vaisseaux sanguins sont bien détectés.

La figure 4 montre le résultat de notre méthode sur une image synthétique bruitée avec trois objets et avec intensités non homogènes. Pour cette image, la courbe initiale est placée à côté d’un objet et de l’arrière plan de l’image comme sur la colonne gauche de la figure 4. La figure montre que le contour final recouvre parfaitement les frontières des trois objets. Nous constatons que notre méthode est efficace pour la segmentation de plusieurs objets avec régions homogènes ou non.

Un autre exemple typique d’images non homogènes est

montré sur la figure 5. Limage représente l’image IRM de la rétine, l’image est de topologie très complexe. Les vaisseaux rétiniens sont de différents tailles et de contraste variés (quelques vaisseaux ont de contraste très proche de celui de l’arrière plan). L’application de notre modèle sue l’mage de la rétine montre la robustesse du modèle pour la segmentation des images complexes. Les différents vaisseaux rétiniens (grands ou petits) sont biens détectés, de même pour les vaisseaux de faibles contrastes.

5. Comparaison avec le model de Chan et Vese

La figure 6 montre les résultats de notre modèle (la troisième colonne) et celui de Chan&Vese (la deuxième colonne) en utilisant le même contour initial (la première colonne). Le temps de convergence (CPU times) des deux méthodes est montré sur le tableau 1. Les résultats sont obtenus avec un processus Pentium 4, 3GHz, 1GB de RAM, avec Matlab 6,5.

Img1 Img2 Img3 Modèle de

Chan&Vese 108.92 114.89 665.64

Notre modèle 3.547 3.89 120,32

On remarque clairement que notre modèle est plus rapide de celui de Chan&Vese, d’après le tableau 1, notre méthode est de 5 à 40 fois plus rapide que le modèle de Chan&Vese. Cette démonstration montre l’avantage de notre méthode en termes d’efficacité du temps de convergence.

Aussi notre modèle est supérieur en termes de précision, du a son capacité à utiliser l’information local d’image. Ceci est montré sur l’image de la rétine (figure 6). Notre méthode arrive à extraire les différents vaisseaux

Figure 5. Application de la méthode sur l’image de la rétine (2000 itérations).

Figure 4. Application de notre méthode sur une image synthétique bruitée (200 itérations).

Tableau1. CPU time (en second) pour les deux méthodes de segmentation pour les images de la

figure 6 dans l’ordre.

Figure 6. Comparaison de notre méthode avec celle

de Chan&Vese. Colonne1 : Contours initiaux ; Colonne2 : Résultats de Chan&Vese. Colonne3 :

Résultats de notre méthode. ICEO'11

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rétiniens de contrastes et tailles différents, ce qui n’est pas le cas pour le modèle de Chan&Vese, ce dernier n’arrive pas à extraire les vaisseaux de faibles contrastes et de tailles petites. En plus, quelques contours indésirables sont générés par le modèle de Chan&Vese. Notre méthode arrive efficacement à remédier à ce problème, ce qui est montré sue les images des vaisseaux sanguins. 6. Conclusion

Dans cet article, nous avons proposé une méthode de contours actifs basée approche région pour la segmentation d’images dans le cadre de la formulation level sets. La méthode proposée est capable à segmenter des images avec intensités non homogènes. Les résultats pratiques aussi montrent les performances désirables de notre méthode pour les images avec contours de faible contraste. La comparaison avec le modèle de Chan&Vese montre les avantages de notre méthode en termes d’efficacité et de précision. 7. Références [1]: V. Caselles, R. Kimmel and G. Sapiro, « Geodesic Active Contours », International Journal of Computer Vision-IJCV, vol.22, n°1, pp.61-79, 1997. [2]: L. Cohen and I. Cohen, «Finite-element methods for active contour models and balloons for 2-D and 3-D images », IEE Trans. Patt. Anal. Mach. Intell, pp.1131-1147, 1993. [3]: M. Kass, A. Witkin, D. Terzopoulos, « Snakes: Active Contours Models », Proceedings of the First International Conference on Computer Vision, pp.259-268, 1987. [4]: C. Li, J. Liu, and M. D. Fox, « Segmentation of external force field for automatic initialization and splitting of snakes», Pattern Recognition, vol.38 (11), pp.1947–1960, 2005. [5]: C. Li, C. Xu, C. Gui, and M. D. Fox, « Level set evolution without re-initialization: A new variational formulation », In IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognotion (CVPR), vol.1, pp.430–436, 2005. [6]: R. Malladi, J.A. Sethian, and B.C. Vemuri, « Shape modelling with front propagation: A level Set Approach », IEEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol.17, n°2, pp.158-175, 1995. [7]: C. Xu and J.L. Prince, « Snakes, Shapes, and Gradient Vector Flow », IEE Trans. on Image Processing, 1997. [8]: T.F. Chan and L.A. Vese, « Active Contours Without Edges », IEEE Transactions on Image Processing, vol.10, n°7, pp.266-277, 2001. [9]: N. Paragios and R. Deriche, « Geodesic active regions and level set methods for supervised texture segmentation » Int’l J. Comp. Vis., vol.46, pp.223–247, 2002. [10]: A. Tsai, A. Yezzi, and A. S. Willsky, « Curve evolution implementation of the Mumford-shah functional for image segmentation, denoising, interpolation, and magnification IEEE Trans Im Proc, vol.10, pp.1169–1186, 2001.

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