13. introduction à la fiabilité

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13. Introduction a la fiabilite

MTH2302D

S. Le Digabel, Ecole Polytechnique de Montreal

A2017(v1)

MTH2302D: fiabilite 1/30

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Plan

1. Introduction

2. Taux de panne

3. Distributions usuelles

4. Fiabilite des systemes


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1. Introduction

2. Taux de panne




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La theorie de la fiabilite sert a etudier l’aptitude de systemes afonctionner correctement durant une periode donnee. Un dispositifpeut se trouver dans l’un des deux etats suivants :

I Apte a fonctionner correctement, c’est-a-dire en etat deservice.

I Inapte a fonctionner correctement, c’est-a-dire en panne ouhors-service.

Nous posons les hypotheses suivantes :

I Au depart, chaque dispositif est en etat de service.

I Les defaillances se produisent generalement de facon aleatoire.

Nous definissons la fiabilite d’un dispositif pour une duree donneecomme etant la probabilite qu’aucune defaillance ne se produisependant cette duree.


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I Etant donne que les defaillances se produisent de faconaleatoire, et afin de pouvoir traiter le concept de fiabilite, nousassocions a chaque dispositif une v.a. non negative Trepresentant la duree de vie (ou temps jusqu’a une panne) dudispositif.

I La fiabilite du dispositif a l’instant t ≥ 0 est la probabilitequ’il fonctionne encore a l’instant t :

R(t) = P (T > t) = 1− FT (t) ∈ [0; 1] .

I Comme FT est une fonction croissante, la fiabilite R(T ) estune fonction decroissante.

I R(0) = 1 et limt→+∞

R(t) = 0.

I P (t1 < T ≤ t2) = R(t1)−R(t2).


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I La v.a. T est generalement continue, mais elle peut parfoisetre discrete, par exemple si elle represente le nombres decycles d’operation.

I Si T est continue, on note f sa densite, et si elle est discrete,on note p sa fonction de masse : P (T = t) = p(t) ∈ [0; 1].

I f(t) = F ′T (t) = −R′(t) ≥ 0.

I La duree de vie moyenne, ou Mean Time To Failure(MTTF), est donnee par τ = E(T ).

I Si le systeme peut etre repare, on note :

I Mean Time Between Failures (MTBF) : temps moyen entredeux pannes.

I Mean Time To Repair (MTTR) : temps moyen de reparation.I On a MTBF = MTTF +MTTR.


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I Cas discret :

I R(t) = P (T > t) =∞∑

i=t+1

p(i) = 1− FT (t) = 1−t∑

i=0

p(i).

I τ = E(T ) =∞∑

i=0

ip(i) =nouveau

∞∑i=0

R(i).

I Cas continu :

I R(t) = P (T > t) =∞∫t

f(s)ds = 1− FT (t) = 1−t∫0

f(s)ds.

I τ = E(T ) =∞∫0

tf(t)dt =nouveau

∞∫0

R(t)dt.

Exemple 1 : Prouver que τ =∞∑i=0

R(i).

Exemple 2 : Exprimer R(t) et τ si T ∼ Exp(λ).


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1. Introduction

2. Taux de panne




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Taux de panne (ou taux de defaillance)I Le taux de panne r(t) est defini pour que la quantite r(t)dt

represente la probabilite qu’une machine fonctionnant encoreapres t unites de temps tombe en panne durant les dt unitesde temps supplementaires. On considere que dt est petit.

I r(t)dt = P (t < T ≤ t+ dt|T > t).

I Le taux de panne est un bon indicateur de la valeur de ladistribution comme modele de fiabilite tenant compte del’usure. Lorsque t est assez grand, r devrait etre strictementcroissante.

I Si T est discrete, 0 ≤ r(k) ≤ 1 et

r(k) =p(k)∑∞j=k p(j)

=p(k)

R(k − 1)pour k ∈ {0, 1, . . .} .


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Taux de panne : cas continu

I r(t)dt ' f(t)dtR(t)

et comme f(t) = −R′(t), on a

r(t) = −R′(t)R(t)

≥ 0 .

I On peut en deduire que R(t) = exp(−

t∫0

r(x)dx)

.

Exemple 3 : Exprimer le taux de panne r(t) si T ∼ Exp(λ) et siT ∼ Geom(p).

Exemple 4 : Trouver R(t), τ et r(t) si T ∼ Unif(a, b) avec a ≥ 0.

Exemple 5 : Prouver que R(t) = exp(−

t∫0

r(x)dx)

.


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Taux de panne dans un intervalle

Le taux de panne d’un systeme dans un intervalle ]t1; t2] est definipar

FR(t1, t2) =P (t1 < T ≤ t2|T > t1)

∆t=

1∆t

R(t1)−R(t2)R(t1)

avec ∆t = t2 − t1 et 0 ≤ t1 < t2.

Si ∆t devient tres petit : lim∆t↓0

FR(t1, t2) = r(t1).

Exemple 6 : Exprimer FR(t1, t2) si T ∼ Exp(λ).


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Taux moyen de panne

Le taux moyen de panne d’un systeme dans un intervalle ]t1; t2] estdefini par

AFR(t1, t2) =1

∆t

t2∫t1

r(t)dt =1

∆t[ln(R(t1))− ln(R(t2))] .

si T ∼ Exp(λ), AFR(t1, t2) = λ.


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1. Introduction

2. Taux de panne




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Distributions usuelles : loi normale tronquee

I T ∼ N+(µ, σ).

I fT (t) =1√

2πσcexp

(−(t− µ)2

2σ2

)pour t ≥ 0 et

c = (1− Φ(−µ/σ))−1.

I On peut montrer que r est strictement croissante.


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Distributions usuelles : loi exponentielleTres utilisee mais peu realiste a cause de son taux de panneconstant. Elle est cependant souvent acceptable a condition de laconsiderer dans un intervalle de temps [t1; t2] fini.

I T ∼ Exp(λ) avec λ > 0.

I f(t) = λe−λt.

I R(t) = e−λt.

I r(t) = λ (constante).

I E(T ) = τ = 1/λ.

I FR(t1, t2) =1− e−λ(t2−t1)

t2 − t1.

I AFR(t1, t2) = λ.


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Distributions usuelles : loi de WeibullI T ∼W(λ, β) avec λ > 0 et β > 0.

I f(t) = λβtβ−1 exp(−λtβ) pour t > 0.

I W(λ, β = 1) = Exp(λ).

I R(t) = exp(−λtβ).

I r(t) = λβtβ−1.

I r est croissante (IFR – Increasing Failure Rate) si β > 1 etdecroissante (DFR – Decreasing Failure Rate) si β < 1. Siβ = 1, r est constante (distribution exponentielle).

I FR(t1, t2) =1

t2 − t1

(1− exp(−λ(tβ2 − t

β1 )))

.

I AFR(t1, t2) =λ(tβ2 − t

β1 )

t2 − t1.


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Distribution de Weibull mixte

I Motivation : dans de nombreuses situations reelles, le tauxde panne devrait d’abord decroıtre, puis stagner un certaintemps, et enfin augmenter. Ces trois phases correspondentaux pannes precoces, aux pannes aleatoires, puis a l’usure : radopte une forme de baignoire.

I On adopte la combinaison lineaire suivante :

T = c1T1 + c2T2 + c3T3

avec Ti ∼W(λ, βi) et ci > 0 pour i ∈ {1, 2, 3}, etc1 + c2 + c3 = 1.

I Pour obtenir une baignoire, on prend β1 < 1, β2 = 1 (et doncT2 ∼ Exp(λ)), et β3 > 1.


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1. Introduction

2. Taux de panne




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Fiabilite des systemes

I On s’interesse a un ensemble de n composants ousous-systemes, montes en serie ou en parallele.

I On considere que les composants fonctionnent et tombent enpanne de facon independante.

I On considere qu’un systeme ne peut etre repare.

I On s’interesse donc au temps ecoule avant la premiere panne.

I Soient Tk la duree de vie du composant k, Rk sa fiabilite, etrk son taux de panne.


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Montages en serie

I La duree de vie T du systeme est telle que

T > t⇐⇒ Tk > t pour tout k ∈ {1, 2, . . . , n}.

I Donc R(t) = P (T > t) = P (T1 > t ∩ T2 > t ∩ . . . ∩ Tn > t)

=ind

n∏k=1

P (Tk > t) =n∏k=1

Rk(t) =cas cont.

n∏k=1

exp(−

t∫0

rk(x)dx)

et donc

R(t) = exp

− t∫0

[n∑k=1

rk(x)

]dx

.

I On note T = min{T1, T2, . . . , Tn

}.


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Montages en serie (suite)

Si Tk ∼ Exp(λk) pour tout k ∈ {1, 2, . . . , n}, alors :

I T = min{T1, T2, . . . , Tn

}∼ Exp(λ) avec λ =

∑nk=1 λk.

I R(t) = e−λt.

I r(t) = λ.

I E(T ) = 1/λ.

Exemple 7 : Prouver le cas n = 2.


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Exemple 8

Soit un montage en serie de trois dispositifs qui fonctionnent ettombent en panne independamment. La distribution du temps defonctionnement avant defaillance de chaque dispositif estexponentielle avec les taux de pannes r1 = 3× 10−2,r2 = 6× 10−3, et r3 = 4× 10−2.

1. Trouver R(60) pour ce systeme.

2. Calculer le temps moyen de bon fonctionnement du systeme.


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Montages en parallele

On considere deux modes differents :

I Redondance active : tous les composants fonctionnent desle temps t = 0. Il suffit qu’au moins un composant fonctionnepour que le systeme au complet fonctionne.

I Redondance passive : Seul le premier composant est mis enmarche a t = 0. Une fois en panne, le deuxieme composantprend le relai et ainsi de suite. Le systeme au complet tombeen panne quand le n-ieme composant tombe en panne.


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Montages en parallele : redondance activeI La duree de vie T du systeme est telle que

T ≤ t⇐⇒ Tk ≤ t pour tout k ∈ {1, 2, . . . , n}.

I Donc FT (t) = P (T ≤ t) = P (T1 ≤ t ∩ T2 ≤ t ∩ . . . ∩ Tn ≤ t)=ind

n∏k=1

P (Tk ≤ t) =n∏k=1

(1−Rk(t)

).

I Ainsi

R(t) = 1−n∏k=1

(1−Rk(t)).

I On note T = max{T1, T2, . . . , Tn

}.

Exemple 9 : Exprimer R(t), f(t), et τ = E(T ) si n = 2,T1 ∼ Exp(λ1), et T2 ∼ Exp(λ2). Si λ1 = λ2, comparer τ avec lemontage en serie.


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Montages en parallele : redondance passive

I La duree de vie T du systeme est

T = T1 + T2 + . . .+ Tn.

I τ = E(T ) =n∑k=1

E(Tk).

I V(T ) =ind

n∑k=1

V(Tk).


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Redondance passive avec des lois exponentielles

Si Tk ∼ Exp(λ) pour tout k ∈ {1, 2, . . . , n} :

I T ∼ Γ(α = n, λ) (loi Gamma).

I R(t) = FY (n− 1) avec Y ∼ Poi(c = λt), et donc

R(t) = e−λtn−1∑k=0

(λt)k

k!.


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Systeme k parmi n

Le systeme au complet fonctionne si au moins k composantsfonctionnent.

I Si k = n, c’est le montage en serie, et si k = 1, c’est lemontage parallele avec redondance active.

I Si les composants sont independants et s’ils ont tous la memefiabilite R1, alors

R(t) = P (N ≥ k) avec N ∼ B(n, p = R1(t)),

ou encore

R(t) = 1−k−1∑i=0

(ni

)R1(t)i(1−R1(t))n−i.


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Exemple 10

Soit p(k) = 1/N pour k = 1, 2, . . . , N la fonction de masse pour laduree de vie en cycles d’un systeme particulier. Calculer le taux depanne r(k) pour k = 1, 2, . . . , N .


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Exemple 11

Un systeme comporte deux composants qui fonctionnentindependamment l’un de l’autre, a partir de l’instant initial. Onsuppose que les durees de vie en cycles X1 et X2 des deuxcomposants presentent une distribution geometrique de parametre1/2. Trouver la probabilite que les deux composants tombent enpanne durant le meme cycle.


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Exemple 12

On considere quatre composants independants ayant une duree devie presentant une distribution exponentielle, l’esperance de laduree de vie du k-ieme composant etant egale a 1/k.Les composants sont utilises pour construire le systeme ci-dessous :

12

34

Quelle est l’esperance de la duree de vie du systeme ?


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