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Chapitre 13 : Equations diffrentielles Cours complet. - 1 -

Equations diffrentielles. Chap. 13 : cours complet.

1. Equations diffrentielles linaires scalaires dordre 1.

Dfinition 1.1 : quation diffrentielle linaire scalaire dordre 1, quation homogne associe, solution dune telle quation diffrentielle

Thorme 1.1 : de Cauchy-Lipschiz Thorme 1.2 : mthode de variation de la constante Thorme 1.3 : de Cauchy-Lipschitz, version condition initiale Thorme 1.4 : raccordement de solutions

2. Systmes diffrentiels linaires dordre 1 coefficients constants.

Dfinition 2.1 : systme diffrentiel linaire dordre 1, systme homogne associ, solution dun tel systme

Thorme 2.1 : solutions dun systme diffrentiel homogne dordre 1 coefficients constants Thorme 2.2 : rsolution pratique dun systme diffrentiel homogne coefficients constants Thorme 2.3 : de Cauchy-Lipschitz, systmes diffrentiels linaires version conditions initiales Thorme 2.4 : structure de lensemble des solutions dun systme diffrentiel linaire homogne Thorme 2.5 : isomorphisme entre SI(SH) et Mn,1(K), dimension de SI(SH) Thorme 2.6 : (hors programme) quivalence dindpendance Dfinition 2.2 : (hors programme) systme fondamental de solutions, wronskien dans une base Thorme 2.7 : (hors programme) valuation du wronskien de n solutions

3. Equations diffrentielles linaires dordre 2.

Dfinition 3.1 : quation diffrentielle linaire dordre 2, quation homogne associe, solution dune telle quation

Thorme 3.1 : quivalence quation diffrentielle dordre 2 systme diffrentiel 22 dordre 1 Thorme 3.2 : de Cauchy-Lipschitz, quations diffrentielles dordre 2, version conditions initiales Thorme 3.3 : structure de lensemble des solutions dune quation homogne dordre 2 Dfinition 3.2 et thorme 3.4 : (hors programme) wronskien de deux solutions dune quation homogne

dordre 2 Thorme 3.5 : rsolution pratique dune quation homogne dordre 2 coefficients constants Thorme 3.6 : (hors programme) obtention dune deuxime solution dune quation homogne laide

dune solution ne sannulant pas, mthode de Lagrange Thorme 3.7 : cas particulier dune quation du second ordre linaire coefficients constants et second

membre produit dun polynme et dune exponentielle


Equations diffrentielles. Chap. 13 : cours complet.

1. Equations diffrentielles linaires scalaires dordre 1.

Dfinition 1.1 : quation diffrentielle linaire scalaire dordre 1, quation homogne associe, solution dune telle quation diffrentielle Soit I un intervalle de . On appelle quation diffrentielle linaire scalaire dordre 1 une quation du type : (E) a(t).y' + b(t).y = c(t), o a, b, c sont des fonctions dfinies et continues de I de dans ou et y est une fonction inconnue valeurs dans ou . Une solution de (E) est une fonction dfinie sur un sous-intervalle J de I, continue et drivable sur J, valeurs dans ou , telle que : t J, a(t).'(t) + b(t).(t) = c(t). On appelle quation diffrentielle homogne (ou sans second membre) associe (E) lquation : (EH) a(t).y' + b(t).y = 0.

Thorme 1.1 : de Cauchy-Lipschitz Soit I un intervalle de . Soit : (E) a(t).y + b(t).y = c(t), (o a, b, c sont trois fonctions dfinies et continues de I dans ou ) une quation diffrentielle linaire scalaire dordre 1 et (EH) son quation homogne associe. Les solutions de (EH) sur tout intervalle J inclus dans I forment toujours un K-espace vectoriel. Sur un intervalle J inclus dans I o la fonction a ne s'annule pas les solutions de (EH) sont les fonctions : t J,

= dtta

tbkty .)()(

exp.)( , o k appartient ou . Lespace vectoriel des solutions sur un intervalle J o a ne sannule pas est donc de dimension 1. Sur un intervalle quelconque J inclus dans I, les solutions de (E) ont, elles, pour forme : y = y0E + yH, o y0E est une solution particulire de (E), et yH une solution quelconque de (EH) sur J. Les solutions de (E) sur un intervalle J inclus dans I o a ne sannule pas forment donc un espace affine de dimension 1.

Dmonstration : Lensemble des solutions de (EH) sur J est inclus dans lensemble des fonctions de J dans ou . De plus, il est non vide puisque la fonction nulle est solution de (EH) sur J. Enfin, il est clair que si f et g sont solutions de (EH) sur J et et sont des scalaires rels ou complexes, (.f + .g) est encore solution de (EH) sur J, ce qui montre que cet ensemble est stable par combinaison linaire, et forme donc bien un K-espace vectoriel. Sur un intervalle J inclus dans I o a ne sannule pas, y est solution de (EH) si et seulement si : t J, 0)(.)(

)()(' =+ tyta

tbty .

Puisque la fonction : t a )()(

ta

tb , est dfinie et continue sur J, elle y admet des primitives.

En multipliant lgalit sur y par

dtta

tb.)(

)(exp qui ne sannule pas, elle est quivalente :

t J, 0.)()(

exp.)(.)()()(' =

+ dtta

tbty

ta

tbty , soit encore : 0.)(

)(exp).( =

dtta

tbty

dtd

.

Or sur un intervalle, une fonction valeurs relles ou complexes est de drive nulle si et seulement si elle est constante, autrement dit :

(y solution de (EH) sur J) ( k ou , t J,

= dtta

tbkty .)()(

exp.)( ).

En notant alors par exemple : t J, y0(t) =

t

tdu

ua

ub0

.)()(

exp , o : t0 J, il est clair que toute solution

de (EH) sur J est proportionnelle y0, et comme de plus y0 est solution de (EH) sur J et que lensemble SJ(EH) de ces solutions forme un K-espace vectoriel, on peut conclure : SJ(EH) = Vect(y0).


Enfin, cette fonction tant non nulle, SJ(EH) est bien de dimension 1. Soit y une fonction dfinie, continue et drivable sur J inclus dans I, et y0E une solution particulire de (E) sur J. Alors y est solution de (E) sur J si et seulement si : t J, a(t).y(t) + b(t).y(t) = c(t) = a(t).y0E(t) + b(t).y0E(t), ce qui est encore quivalent : t J, a(t).[y y0E](t) + b(t).[y y0E](t) = 0, soit finalement quivalent : (y y0E) SJ(EH), ou : ( yH SJ(EH), y = y0E + yH). Enfin, si a ne sannule pas sur J, les solutions de (EH) sur J formant une droite vectorielle, les solutions de (E) sur J, au vu de la forme prcdente, forment bien une droite affine ou un espace affine de dimension 1.

Thorme 1.2 : mthode de variation de la constante Soit I un intervalle de . Soit : (E) a(t).y + b(t).y = c(t), (o a, b, c sont trois fonctions dfinies et continues de I dans ou ) une quation diffrentielle linaire scalaire dordre 1 et (EH) son quation homogne associe. Soit J un intervalle inclus dans I sur lequel a ne sannule pas et soit y0 une solution de (EH) sur J. Alors soit y0 est la fonction nulle, soit elle ne sannule pas sur J. De plus si on pose : y= k.y0, o y0 est une solution non nulle de (EH) sur J et k est une fonction inconnue suppose dfinie, continue et drivable sur J, alors y est solution de (E) sur J si et seulement si : t J, )().(

)()('0 tyta

tctk = ,

et aprs intgration, cela fournit une solution de (E) sur J. Dmonstration :

Vu la forme obtenue pour les solutions de (EH) sur J dans le thorme prcdent, il est clair quune solution y de (EH) sur J soit est constamment nulle, soit ne sannule pas sur J. Posons y0 une solution de (EH) sur J, puis : y = k.y0, o k est suppose dfinie, continue, drivable sur J. Alors y est solution de (E) sur J si et seulement si : t J, a(t).[k(t).y0(t) + k(t).y0(t)] + b(t).k(t).y0(t) = c(t), ou : t J, k(t).[a(t).y0(t) + b(t).y0(t)] + k(t).a(t).y0(t) = c(t), soit : t J, k(t) = )().(

)(0 tyta

tc.

Or cette dernire fonction est dfinie et continue sur J, donc elle y admet des primitives. Toutes ces primitives fournissent alors des fonctions k donnant des fonctions y, solutions de (E) sur J.

Thorme 1.3 : de Cauchy-Lipschitz, version condition initiale Soit I un intervalle de . Soit : (E) a(t).y + b(t).y = c(t), (o a, b, c sont trois fonctions dfinies et continues de I dans ou ) une quation diffrentielle linaire scalaire dordre 1 et (EH) son quation homogne associe. Soit : J I, un intervalle o a ne sannule pas. Alors pour tout : t0 J, et tout : y0 ou , il existe une unique solution y de (E) sur J telle que de plus : y(t0) = y0.

Dmonstration : Soit y0E une solution de (E) sur J et y0H la solution de (EH) sur J dfinie par : t J, y0H(t) =

tdu

ua

ub

.)()(

exp , o est un lment fix de J.

Alors toute solution y de (E) sur J scrit : t J, y(t) = y0E(t) + .y0E(t). De plus, cette solution vrifie : y(t0) = y0, si et seulement si : y0 = y0E(t0) + .y0H(t0). Or y0H(t0) est non nul puisque y0H est une solution non nulle, donc cela fournit une unique valeur de et une unique solution de (E) sur J.

Remarque : principe de superposition Soit : (E) a(t).y + b(t).y = c(t), (o a, b, c sont trois fonctions dfinies et continues dun intervalle I de dans ou ) une quation diffrentielle linaire dordre 1, telle que : 21 ccc += . Si y1 et y2 sont des solutions respectivement de : (E1) a(t).y + b(t).y = c1(t), et : (E2) a(t).y + b(t).y = c2(t),


sur un intervalle : J I, alors 21 yy + est solution de (E) sur J. Ce rsultat est immdiat, du fait de la forme linaire de lquation.

Thorme 1.4 : raccordement de solutions Soit I un intervalle de . Soit : (E) a(t).y + b(t).y = c(t), (o a, b, c sont trois fonctions dfinies et continues de I dans ou ) une quation diffrentielle linaire scalaire dordre 1. Soient ],[ et ],[ des intervalles inclus dans I sur lesquels a ne sannule pas et tels que : a() = 0. Une fonction y de ],[ dans ou dfinie sur ],[ est solution de (E) sur ],[ si et seulement si : la restriction y1 de y ],[ est solution de (E) sur ],[, donc a la forme annonce par le th. 1.2, la restriction y2 de y ],[ est solution de (E) sur ],[, donc a la forme annonce par le th. 1.2, y1 admet une limite finie gauche en , y2 admet une limite finie droite en , qui sont gales, la fonction y est drivable en .

Dmonstration : Le rsultat est presque immdiat, et dcrit surtout la dmarche suivre (par analyse-synthse), lorsque lon veut raccorder des solutions dquation diffrentielle en un point o le coefficient de y sannule.

2. Systmes diffrentiels linaires dordre 1.

Dfinition 2.1 : systme diffrentiel linaire dordre 1, systme homogne associ, solution dun tel systme Soit I un intervalle de et un entier : n 2. On appelle systme diffrentiel linaire dordre 1 un systme du type :

(S) X = A(t).X + B(t), ou : )().('

' 11

tBx

x

tAx

x

nn

+

=

MM , ou :

+++=

+++=

)().(...).('

)().(...).('

,11,

1,111,11

tbxtaxtax

tbxtaxtax

nnnnnn

nn

M ,

o A une fonction matricielle de I dans Mn() ou Mn(), et B une fonction matricielle de I dans Mn,1() ou Mn,1() et X une fonction inconnue valeurs dans Mn,1() ou Mn,1(). On appelle solution de (S) une fonction X dfinie dun sous-intervalle : J I, dans Mn,1() ou Mn,1(), continue et drivable sur J telle que : t J, X(t) = A(t).X(t) + B(t). On appelle systme linaire homogne associ (S) le systme (SH) : X = A(t).X.

Thorme 2.1 : solutions dun systme diffrentiel homogne dordre 1 coefficients constants Soit I un intervalle de et un entier : n 2. Soit : (SH) X = A.X, un systme diffrentiel linaire homogne dordre 1 (o A est une matrice constante appartenant Mn() ou Mn()). Alors le systme admet des solutions sur qui forme un - ou -espace vectoriel de dimension n. En particulier, pour tout : (x10, , xn0) n ou n, et tout : t0 , il existe une unique solution du

systme (S) sur :

=

nx

x

X M1

, telle que de plus : 1 i n, ii xtx ,00 )( = .

Dmonstration : Cest un cas particulier du thorme de Cauchy-Lipschitz 3.1 que lon verra plus loin (et dont on admettra la dmonstration), en remarquant que : t a A, est une fonction matricielle constante, dfinie sur . On peut aussi tablir cette existence explicitement en utilisant des exponentielles de matrices (plus

prcisment, la solution cherche est :

=

nx

x

AtttX

,0

1,0

0 ).).exp(()( M ).

Le thorme 2.2 donnant une rsolution pratique dun tel systme dans le cas complexe, montre


galement lexistence et lunicit de la solution cherche.

Thorme 2.2 : rsolution pratique dun systme diffrentiel homogne coefficients constants Soit I un intervalle de et un entier : n 2. Soit : (SH) X = A.X, un systme diffrentiel linaire homogne dordre 1 (o A est une matrice constante appartenant Mn() ou Mn()). Si A est diagonalisable, alors : P Gln( ou ), D diagonale, relle ou complexe, D = P-1.A.P. Dans ce cas, si pour une fonction X de dans Mn( ou ), on pose : Y = P-1.X, alors : (X est continue et drivable sur ) (Y est continue et drivable sur ), et : (X solution de (SH) sur ) (Y est solution de : Y = D.Y, sur ). Ce dernier systme tant diagonal, il se ramne la rsolution de n quations scalaires dordre 1 indpendantes, et on obtient les solutions de (SH) en calculant : X = P.Y, pour les solutions Y trouves. Si A est trigonalisable (ce qui est toujours le cas pour une matrice complexe), alors : P Gln( ou ), T triangulaire suprieure, relle ou complexes, T = P-1.A.P. Dans ce cas, si pour une fonction X de dans Mn( ou ), on pose : Y = P-1.X, alors : (X est continue et drivable sur ) (Y est continue et drivable sur ), et : (X solution de (SH) sur ) (Y est solution de : Y = T.Y, sur ).

Ce dernier systme peut scrire :

=

+=

++=

nnnn

nnnnnnn

nn

ytyytyty

ytyty

.'

..'

..'

,

,111,11

,111,11

MOM

LL

,

et se ramne la rsolution successive de n quations scalaires dordre 1 avec second membre, en commenant par la dernire puis en remontant, les solutions de (SH) sobtenant ensuite en calculant : X = P.Y, pour les solutions Y trouves auparavant.

Dmonstration : En posant : Y = P-1.X, on a limplication : (X continue et drivable sur I) (Y continue et drivable sur I). En effet, les coefficients de la matrice (colonne) Y sont des combinaisons linaires coefficients constants de ceux de la matrice X. A ce titre, ce sont tous des fonctions continues et drivables sur I. Limplication prcdente sobtient avec les mmes arguments et la relation : X = P.Y. De plus, en utilisant les combinaisons linaires voques au-dessus (et coefficients constants), on a : t I, Y = P-1.X. Dans ce cas, on a la suite dquivalences : (X est solution de (SH) sur ) (X = A.X) (P-1.X = P-1.A.P.P-1.X) (Y = D.Y). Une fois les solutions Y de ce nouveau systme (diagonal) trouves, on obtient les solutions X du systme initial par la relation : X = P.Y. Il nest donc pas ici ncessaire de calculer P-1. Lorsque la matrice nest que trigonalisable, les rsultats sont totalement similaires ceux que lon vient dtablir.

Thorme 2.3 : de Cauchy-Lipschitz, systmes diffrentiels linaires version conditions initiales Soit I un intervalle de et un entier : n 2. Soit : (S) X = A(t).X + B(t), un systme diffrentiel linaire dordre 1 (o A est une fonction matricielle de I dans Mn() ou Mn(), et B une fonction matricielle de I dans Mn,1() ou Mn,1()). Si A et B sont continues sur I, alors : t0 I, (x10, x20, , xn0) n ou n,

il existe une unique solution : X =

nx

x

M

1

, du systme (S) sur I telle que de plus : 1 i n, xi(t0) = x0,i.

Dmonstration : hors programme et admise.

Thorme 2.4 : structure de lensemble des solutions dun systme diffrentiel linaire homogne Soit I un intervalle de et un entier : n 2. Soit : (SH) X = A(t).X, un systme diffrentiel linaire homogne dordre 1 (o A est une fonction


matricielle de I dans Mn() ou Mn()). Lensemble SI(SH) des solutions de (SH) sur I peut tre muni dune structure de - ou -espace vectoriel et cest un sous-espace vectoriel de C0(I,Mn,1()) ou de C0(I,Mn,1()).

Dmonstration : Il est clair que la fonction nulle, de I dans Mn,1() ou Mn,1() est solution de (SH) sur I. De plus, SI(SH) est inclus dans C0(I,Mn,1()) ou C0(I,Mn,1()). Enfin, si X1 et X2 sont des lments de SI(SH) et 1, 2 des rels ou des complexes, alors par linarit de la drivation des fonctions valeurs vectorielles, 1.X1 + 2.X2 est galement solution de (SH) sur I. Cest donc bien un sous-espace vectoriel de C0(I,Mn,1()) ou de C0(I,Mn,1()).

Thorme 2.5 : isomorphisme entre SI(SH) et Mn,1(K), dimension de SI(SH) Soit I un intervalle de et un entier : n 2. Soit : (SH) X = A(t).X, un systme diffrentiel linaire homogne dordre 1 (o A est une fonction matricielle continue de I dans Mn() ou Mn()) et soit : t0 I. On note t0 l'application de SI(SH) dans Mn,1() ou Mn,1(), qui fait correspondre (t0). Alors t0 est un isomorphisme d'espaces vectoriels et : dim(SI(H)) = n.

Dmonstration : Lapplication est clairement linaire de SI(SH) dans Mn,1() ou Mn,1(). De plus, le thorme 2.3 de Cauchy-Lipschitz montre que cette application linaire est bijective. Cest donc bien un isomorphisme despaces vectoriels. Donc : dim(SI(SH)) = dim(Mn,1(K)) = n.

Remarque : Pour un systme diffrentiel homogne : (SH) X = A(t).X, o A est une fonction continue de I dans Mn(K), les solutions dun tel systme sont :

=

=

n

iii XX

1. , o (X1, , Xn) forme une base de SI(SH).

Pour un systme diffrentiel avec second membre : (S) X = A(t).X + B(t), o A et B sont des fonctions continues de I dans Mn(K) et Mn,1(K), les solutions dun tel systme sont :

=

+=n

iii XYX

10 . , o

(X1, , Xn) forme une base de SI(SH) et Y0 est une solution particulire du systme.

Thorme 2.6 : (hors programme) quivalence dindpendance Soit I un intervalle de et un entier : n 2. Soit : (SH) X = A(t).X, un systme diffrentiel linaire homogne dordre 1 (o A est une fonction matricielle de I dans Mn() ou Mn()). Soient X1, , Xp des solutions de (SH) sur un intervalle J inclus dans I. Les affirmations suivantes sont quivalentes : les n-uplets Xi sont linairement indpendantes, pour tout t dans J, les matrices colonnes Xi(t) sont indpendantes, il existe une valeur t0 dans J pour laquelle les matrices colonnes Xi(t0) sont indpendantes.

Dmonstration : On va utiliser la fonction t0 du thorme 2.5. Puisque cest un isomorphisme despaces vectoriels, une famille de vecteurs de lespace de dpart est libre si et seulement si la famille des images est libre. [i] [ii]. Pour tout : t J, la famille (X1, , Xn) est libre si et seulement si la famille (X1(t), , Xn(t)) lest laide de t. [ii] [iii]. Cest immdiat puisqualors, toute valeur t0 dans J convient. [iii] [ii]. Il suffit de dire, toujours laide de t0, que [iii] entrane [i] donc [ii] puisque a lui est quivalent.

Dfinition 2.2 : (hors programme) systme fondamental de solutions, wronskien dans une base Soit I un intervalle de et un entier : n 2.


Soit : (SH) X = A(t).X, un systme diffrentiel linaire homogne dordre 1 (o A est une fonction matricielle de I dans Mn() ou Mn()). Un systme fondamental de solutions de (SH) est une base de l'espace SI(SH). Par ailleurs, pour n solutions X1, , Xn de (SH) ou encore n lments de SI(SH), le wronskien de ces n solutions est dfini par : t I, W(t) = detB(X1(t), , Xn(t)), o B est la base canonique de n ou n, et Xi.

Thorme 2.7 : (hors programme) valuation du wronskien de n solutions Soit I un intervalle de et un entier : n 2. Soit : (SH) X = A(t).X, un systme diffrentiel linaire homogne dordre 1 (o A est une fonction matricielle de I dans Mn() ou Mn()). Soient n solutions X1, , Xn de (SH) sur I et W leur wronskien. Alors : ((X1, , Xn) est une base de SI(SH)) ( t I, W(t) 0) ( t I, W(t) 0), ((X1, , Xn) nest pas une base de SI(SH)) ( t I, W(t) = 0) ( t I, W(t) = 0). (hors programme) de plus W vrifie lquation diffrentielle scalaire : WtAtrW )).(('= , et : t I,

= t

tdssAtrtWtW

0)).((exp).()( 0 , o t0 est un lment fix de I.

Dmonstration : Soit n solutions X1, , Xn de (SH) sur I. Elles forment alors une base de SI(SH) si et seulement si elles forment une famille libre. Par ailleurs, pour tout : t I, (X1(t), , Xn(t)) forme une base de Mn,1(K) si et seulement si elle forme une famille libre donc si et seulement si : detB(X1(t), , Xn(t)) = W(t) 0. On termine alors le premier point en utilisant le thorme 2.6. Le second point correspond simplement aux quivalences contraposes de celles quon vient dtablir. On peut obtenir la drive de W en t, laide de la multilinarit du dterminant dans une base. On peut aussi remarquer que : t I, W(t) =

nSnn txtx

)()...().( ),(1),1( , donc que W est drivable sur I et que :

t I, W(t) =

++nS

nnnnnn txtxtxtxtxtx

)](').()...(...)()...().(').[( ),(1),1(1),1(),(2),2(1),1( .

Si alors on regroupe les termes, on obtient :

t I, W(t) =

++

nn Snnnn

Snn txtxtxtxtxtx

)(').()...(...)()...().(').( ),(1),1(1),1(),(2),2(1),1( , soit :

t I, W(t) = detB(X1(t), X2(t), , Xn(t)) + + detB(X1(t), , Xn-1(t), Xn(t)). Or : t I, detB(X1(t), X2(t), , Xn(t)) = detB(A(t).X1(t), X2(t), , Xn(t)), do : t I, W(t) =

=

+

n

jnjjj tXtXtXtAtXtX

1111B ))(),...,(),().(),(),...,((det .

Considrons alors : u L(n) (ou L(n)), et f dfinie sur n (ou n) par : (x1, , xn) (n)n (ou (n)n), f(x1, , xn) =

=

+

n

jnjjj xxxuxx

1111B ),...,),(,,...,(det .

Il est clair que f est multilinaire (du fait de la multilinarit de detB et de la linarit de u) et quelle est alterne, puisque si : xi = xj, tous les termes sont nuls dans la somme, sauf deux qui sont opposs. Donc : K ou , f = K.detB. En calculant alors f(e1, , en) pour les vecteurs de la base B, on constate que : f(e1, , en) = KKAtraeeeaee

n

jjj

n

jnj

n

jijij ====

==

+=

1.)(),...,,,,...,(det1

,

11

1,11B .

Dans le cas du wronskien, pour t fix dans I, on obtient donc : t I, W(t) = tr(A(t)).W(t), et la valeur de W(t) pour tout t dans I sen dduit, comme solution de cette quation diffrentielle.

3. Equations diffrentielles linaires dordre 2.


Dfinition 3.1 : quations diffrentielles linaires dordre 2, quation homogne associe, solution dune telle quation Soit I un intervalle de . On appelle quation diffrentielle linaire dordre 2, une quation du type : (E) (t).y' + (t).y + (t).y = (t), o , , , sont des fonctions dfinies et continues de I dans ou , et y est une fonction inconnue dfinie dun intervalle : J I, dans ou .

Thorme 3.1 : quivalence quation diffrentielle dordre 2 systme diffrentiel 22 dordre 1 Soit I un intervalle de . Soit : (E) y' + a(t).y + b(t).y = c(t), une quation diffrentielle linaire dordre 2 rsolue en y (o a, b, c sont des fonctions dfinies et continues de I dans ou ). On note (S) le systme diffrentiel : (S) X = A(t).X + B(t), avec :

= )()(10)(

tatbtA , et :

= )(

0)(tc

tB .

Une fonction y est alors solution sur I de (E) si et seulement si

'yy

est solution de (S) sur I. De mme en notant (EH) et (SH) les quation et systme homognes associs, on a lquivalence : (y solution de (EH) sur I) (

'yy

est solution de (SH) sur I).

Lapplication : y a

'yy

, dfinit en fait un isomorphisme entre SI(EH) et SI(SH).

Dmonstration : Montrons cette quivalence pour (EH) et (SH) par double implication. [] Si y est solution de (EH) sur I, alors : y = ').().( ytaytb , et donc :

=

+=

=

'

).('..

'.1.0''

'

' yy

tAyayb

yyyy

yy

dtd

,

autrement dit

'yy

est solution de (SH) sur I.

[] Rciproquement, si

'yy

est solution de (SH) sur I, alors la deuxime ligne du systme montre que y est solution de (EH) sur I.

Remarque : On a la mme quivalence entre solutions sur I de (E) et de (S).

Thorme 3.2 : de Cauchy-Lipschitz, quations diffrentielles dordre 2, version conditions initiales Soit I un intervalle de . Soit : (E) y' + a(t).y + b(t).y = c(t), une quation diffrentielle linaire dordre 2 rsolue en y (o a, b, c sont des fonctions dfinies et continues de I dans ou ). Pour tout couple : (y0, y0) 2 ou 2, et toute valeur : t0 I, il existe une unique solution de (E) sur I, telle que de plus : (t0) = y0, (t0) = y0.

Dmonstration : Soit : t0 I, et (y0, y0) 2 ou 2. Le thorme 2.3 de Cauchy-Lipschitz montre que (SH) admet une unique solution

sur I telle que de

plus on ait : (t0) = y0, et : (t0) = y0. Mais le systme montre galement que : = , et donc tant suppos drivable, est de classe C1


sur I, deux fois drivable sur J, et : (t0) = (t0) = y0. Dans ce cas, le thorme prcdent montre que est de plus solution de (E) sur I ce qui montre lexistence dune solution au problme pos, avec conditions initiales.

Si maintenant y est une autre solution de (E) vrifiant : y(t0) = y0, y(t0) = y0, alors : X =

'yy

, est solution

de (S) sur I avec de plus la condition initiale : X(t0) =

0

0

'yy

.

Lunicit donne par le thorme de Cauchy-Lipschitz garantit alors que : X =

, donc : y = .

Thorme 3.3 : structure de lensemble des solutions dune quation homogne dordre 2 Soit I un intervalle de . Soit : (EH) y' + a(t).y + b(t).y = 0, une quation diffrentielle linaire homogne dordre 2 rsolue en y (o a, b sont des fonctions dfinies et continues de I dans ou ). Lensemble des solutions de (EH) sur tout intervalle inclus dans I forme un - ou -espace vectoriel de dimension 2.

Dmonstration : Le fait que lensemble des solutions de (EH) sur tout intervalle inclus dans I forme un - ou -espace vectoriel se dmontre de faon totalement identique la dmonstration du thorme 1.1. Pour la dimension de SJ(EH), soit J un intervalle inclus dans I sur lequel a ne sannule pas, et : t0 J. On pose alors 1 et 2 les solutions de cette quation sur J qui vrifient respectivement : 1(t0) = 1, 1(t0) = 0, et : 2(t0) = 0, 2(t0) = 1. Alors dune part : Vect(1,2) SJ(EH), puisque cest un espace vectoriel, et dautre part, toute solution de (EH) sur J scrit : = (t0).1 + (t0).2, puisquil y a unicit dune solution sur J de (EH) vrifiant les conditions initiales vrifies par . Donc : SJ(EH) Vect(1,2). On en dduit quon a bien lgalit : SJ(EH) = Vect(1,2), et cela fournit dabord une famille gnratrice de cet espace, qui par ailleurs est libre, comme on le vrifie immdiatement, donc une base de SJ(EH). Finalement, on a : dim(SJ(EH)) = 2.

Dfinition 3.2 et thorme 3.4 : (hors programme) wronskien de deux solutions dune quation homogne dordre 2 : Soit I un intervalle de . Soit : (EH) a(t).y' + b(t).y + c(t).y = 0, une quation diffrentielle linaire homogne dordre 2 (o a, b, c sont des fonctions dfinies et continues de I dans ou ). Soient 1 et 2 deux solutions de (EH) sur un intervalle : J I. On appelle wronskien de ces deux solutions sur la fonction dfinie par :

t J, W(t) =

)(')(')()(

det21

21

tt

tt

= 1(t).2(t) 1(t).2(t).

On a alors lquivalence suivante, sur un intervalle J o a ne sannule pas : ((1, 2) base de SJ(EH)) ( t J, W(t) 0).

Dmonstration :

Lapplication de SJ(EH) dans SJ(SH) qui, une solution de (EH) sur J, fait correspondre

'

, est un

isomorphisme despaces vectoriels. En effet, cest bien une application linaire de SJ(EH) dans SJ(EH), et puisque les deux espaces ont mme dimension, il suffit de vrifier quelle est injective. Or pour cela, si a pour image

00

, il est immdiat que est nulle.

Donc cet isomorphisme conserve le rang et donc : ((1, 2) libre) (((1), (2)) libre) (det((1), (2)) 0) ( t J, W(t) 0),


avec la notation prcdente.

Thorme 3.5 : rsolution pratique dune quation homogne dordre 2 coefficients constants Soit I un intervalle de . Soit : (EH) a.y' + b.y + c.y = 0, une quation diffrentielle linaire homogne dordre 2 (o a, b, c sont des lments de ou de ). On appelle quation caractristique associe cette quation diffrentielle lquation : a.r2 + b.r + c = 0. On distingue alors les cas suivants : si lquation caractristique admet deux racines distinctes r1 est r2 (relles dans ou complexes dans ), (EH) admet pour solutions sur les fonctions : trtr eet .. 21 ..)( += , o et sont des constantes relles ou complexes quelconques, si lquation caractristique admet une racine double r (relle ou complexe suivant le cas), (EH) admet pour solutions sur les fonctions : trett .)..()( += , o et sont des constantes relles ou complexes quelconques. si lquation caractristique admet dans le cas rel deux racines complexes conjugues ( i.), (EH) admet pour solutions sur les fonctions : (t) = [.cos(.t) + .sin(.t)].e.t, o et sont des constantes relles quelconques.

Dmonstration : Puisque lespace dans chaque cas est de dimension 2, il suffit de vrifier que les fonctions proposes sont bien donnes par une famille libre de solutions. soit r une racine de lquation caractristique (simple ou double). Alors, en notant : t , (t) = er.t, on a : t , (t) = r.er.t, (t) = r2.er.t. Donc : t , a.(t) + b.(t) + c.(t) = (a.r2 + b.r + c).er.t = 0, et est bien solution de (EH) sur . Cela donne une base de S(EH), dans le cas o lquation caractristique admet deux racines distinctes, puisqualors il est clair que les deux solutions ne sont pas proportionnelles.

si r admet une racine double, elle vaut : a

br

.2= .

Dans ce cas, en posant : t , (t) = t.er.t, on a : t , (t) = (r.t + 1).er.t, (t) = (r2.t + 2.r).er.t. Donc : t , a.(t) + b.(t) + c.(t) = [(a.r2 + b.r + c).t + (2.a.r + b)].er.t = 0. Cela fournit bien une deuxime solution lquation diffrentielle. Enfin, la famille (,) est encore libre car nouveau les deux fonctions ne sont pas proportionnelles. Donc on a bien ainsi une base de S(EH). dans ce troisime cas, on peut considrer les racines complexes de lquation caractristique, en les notant : r = i., et dans ce cas, les fonctions (complexes) dfinies par : t , 1(t) = e(+i.).t, et : 2(t) = e( i.).t, sont solutions de lquation diffrentielle (EH) sur . Mais alors les fonctions ).(

21

21 + et ).(.2

121 i

aussi, soit les fonctions relles dfinies par :

t , 1(t) = e.t.cos(.t), et : 2(t) = e.t.sin(.t). Enfin, ces deux fonctions forment encore une famille libre comme on le vrifie sans peine. Donc on a ainsi une base de S(EH).

Thorme 3.6 : (hors programme) obtention dune deuxime solution dune quation homogne laide dune solution ne sannulant pas, mthode de Lagrange Soit I un intervalle de . Soit : (EH) a(t).y' + b(t).y + c(t).y = 0, une quation diffrentielle linaire homogne dordre 2 (o a, b, c sont des fonctions dfinies et continues de I dans ou ). Soit u une solution sur un intervalle J inclus dans I de (EH) ne sannulant pas sur J. On peut trouver une autre solution de (EH), indpendante de u sous la forme : y = u.z, o z est une fonction inconnue dfinie sur J, de classe C1 sur J, et deux fois drivable sur J.

Dmonstration : On suppose donc que u est une solution de (EH) sur J. En posant : y = u.z, o z est une fonction inconnue de classe C1 sur J, deux fois drivable sur J, la fonction inconnue y est alors galement de classe C1 et deux fois drivable sur J. Puis : y = u.z + u.z, y = u.z + 2.u.z + u.z, et y est solution de (EH) sur J si et seulement si : a.[u.z + 2.u.z + u.z] + b.[u.z + u.z] + c.u.z = 0, soit : [a.u + b.u + c.u].z + [2.a.u + b.u].z + a.u.z = 0, ou encore enfin :


[a.u].z + [2.a.u + b.u].z = 0. Or cette dernire quation est une quation diffrentielle linaire du premier ordre en : Z = z. Puisque a et u ne sannulent pas sur J (et que tous les coefficients sont des fonctions dfinies et continues sur J), elle admet des solutions de la forme : Z = C.exp

+ ua

ubua.

.'..2.

Les fonctions Z ainsi trouves tant elles-mmes continues sur J, elles y admettent des primitives et cela fournit une fonction z, donc une fonction y solution de (EH) sur J. Considrons enfin une des fonctions z obtenues pour la valeur : C = 1. Montrons que la famille (u, u.z) est alors libre et pour cela calculons son wronskien : W =

'.'.'

.

zuzuu

zuu

+ = u2.z 0, puisque z, comme exponentielle, ne sannule pas.

On dispose donc dune famille libre dans SJ(EH), espace vectoriel de dimension 2, donc dune base de cet espace.

Thorme 3.7 : cas particulier dune quation du second ordre linaire coefficients constants et second membre produit dun polynme et dune exponentielle Soit I un intervalle de . Soit : (E) a.y' + b.y + c.y = P(t).e.t, une quation diffrentielle linaire homogne dordre 2 (o a, b, c, sont des lments de ou de , et P un polynme coefficients dans ou ). Il existe une solution de (E) de la forme tk

..Q(t).e.t, o Q est un polynme de mme degr que P et k est

un entier gal la multiplicit de comme racine (ventuelle) de lquation caractristique associe cette quation diffrentielle.

Dmonstration : Notons : t , z(t) = y(t).e-.t. Alors on a lquivalence : (y deux fois drivable sur ) (z deux fois drivable sur ). Puis : t , y(t) = z(t).e.t + z(t)..e.t, et : y(t) = z(t).e.t + 2.z(t)..e.t + z(t).2.e.t. Dans ce cas, y est solution de (E) sur si et seulement si : t , a.z(t) + [2..a + b].z(t) + [a.2 + b. + c].z(t) = P(t). Notons alors : n = deg(P). si nest pas racine de lquation caractristique : lapplication : Q a a.Q + [2..a + b].Q + [a.2 + b. + c].Q, est un automorphisme de n[X] (ou n[X]) et donc pour tout polynme de n[X] (ou n[X]) donc en particulier P, il existe Q tel que : (Q) = P. Il est alors clair que : deg(Q) = deg(P). si est racine simple de lquation caractristique : lapplication : Q a a.Q + [2..a + b].Q, est alors linaire et surjective de n+1[X] (ou de n+1[X]) dans n[X] (ou n[X]), puisque son noyau est lensemble des polynmes constants et le thorme du rang donne la surjectivit et donc pour le polynme P, il existe Q tel que : (Q) = P. L encore, il est clair que : deg(Q) = deg(P) + 1. si est racine double de lquation caractristique : chercher z se ramne alors trouver un polynme Q tel que : a.Q = P, il en existe et on a cette fois : deg(Q) = deg(P) + 2.

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