Comportement etdimensionnement

des poteaux

Conception de structuresAutomne 2012

R. Pleau

École d’architecture, Université Laval

2Élancement des poteaux

Selon leur élancement, on peut diviser les poteaux en deux catégories: - les poteaux courts - les poteaux longs

poteau court

poteau longd

L

poteau courtd

L

L’élancement est défini comme le rapport entre la longueur d’un poteau (L) et sa largeur (d). Les poteaux courts sont dits «trapus» et caractérisés par un faible rapport L/d. Les poteaux longs sont dits «élancés» et caractérisés par un rapport L/d élevé. Ces deux types de poteaux ont des modes de rupture différents et, dans les bâtiments, la très grande majorité des poteaux entre dans la catégorie des poteaux longs.

Élancement des poteaux

3exemple de poteau court exemple de poteau long

Pr = ϕ σadm x A

où : ϕ = coefficient de tenue = 0,9 pour l’acier = 0,9 pour le bois

= 0,6 pour le béton σadm = contrainte admissible dans le matériau = 350 MPa pour l’acier de charpente = 30,2 MPa pour le bois lamellé-collé

= 20 à 40 MPa pour le béton A = aire de la section du poteau

4Poteaux courtsLa rupture des poteaux courts survient lorsque la contrainte de compression imposée au matériau excède la contrainte admissible dans le matériau. La force de rupture, Pr, est alors donnée par :

poteau court

P

A

P

Poteaux longs : phénomène de flambement 5

Lorsqu’un poteau est long, de petits défauts de rectitude et d’alignement font en sorte qu’il n’est jamais parfaitement droit et vertical. Ces défauts font en sorte que la charge, P, est excentrée p/r au centre du poteau ce qui provoque un moment de flexion interne M (M = P x e).

P

P

e

P

P

e

défaut derectitude

défautd’alignement

M = P x e

Flambement des poteaux 6

Le moment de flexion M provoque une déformation additionnelle du poteau qui a pour effet d’accroître l’excentricité de la charge e ce qui, à son tour, fait augmenter le moment de flexion interne M ce qui provoque une déformation additionnelle du poteau qui a pour effet d’accroître l’excentricité de la charge e ce qui, à son tour, fait augmenter le moment de flexion M ce qui.... etc!Si la charge imposée au poteau (P) demeure en-deca d’une charge limite, appelée charge critique d’Euler (Pcr), la déformation du poteau finit par se stabiliser.

En revanche, si la charge imposée au poteau (P) excède la charge critique d’Euler, la déformation augmente constamment et provoque une rupture SOUDAINE et BRUTALE du poteau: c’est le phénomène de flambement.

Expérience concrète du flambement

7

Rupture par flambement d’un poteau en acier

8

Rupture par flambement d’un poteau en acier

9

Rupture par flambement de poteaux en béton

10

11Charge critique d’Euler (Pcr)

P

P

La charge critique (Pcr) est définie p/r à un poteau qui serait rotulé à ses deux extrémités et retenu latéralement. Elle est égale à :

Pcr = π2 E IL2

où: E = module élastique du matériau I = moment d’inertie de la section L = longueur du poteau

La contrainte de compression imposée au poteau (σcr) est obtenue en divisant la charge critique (Pcr) par l’aire de la section du poteau (A). En réarrangeant les termes, on obtient:

σcr = π2 E(L/r)2

où r = I = rayon de giration A de la section L/r = élancement du poteau

L

12Charge critique vs élancement

résistance du matériau

charge critique d’Euler

élancement (L/r)

Résis

tanc

e à

laco

mpr

essio

n (P

r)

poteaux courts poteaux longs

13Coefficient de retenue (k)

Lorsque le poteau n’est pas rotulé à ses deux extrémités, ou qu’il n’est pas retenu latéralement, la longueur du poteau doit être multipliée par un coefficient de retenue (k) afin d’obtenir une longueur de flambement équivalente (Le) qui tient compte de la déformation du poteau pour différentes conditions de retenue à ses extrémités.

L’élancement du poteau est alors égal à kL/r.

L e =

L

L

L e =

2L

k = 1 k = 2

Coefficients de retenue (k) 14

k = 1 k = 0.7 k = 0.5 k = 2 k = 1

sans déplacement latéral avec déplacement latéral

k = 2

Différentes conditions de retenue 15

Le Le

Le

Essai de flambement d’un poteau en laboratoire

16

Coefficients de retenue (k) 17

Comment savoir si le déplacement latéralest permis ?

Pour les bâtiments courants, le mouvement latéral est permis quand la charpente est contreventée par des cadres rigides. En revanche, ce mouvement est empêché lorsqu’on utilise des contreventements en treillis ou des murs de refend.

déplacementlatéral empêché

déplacementlatéral permis

Le cas particulier des arches 18

Le

Les arches sont des éléments structuraux qui sont sollicités en compression. La figure ci-dessous illustre schématiquement la déformation d’un arche lorsqu’elle est soumise au flambement et la longueur équivalente (Le) qui doit être prise en compte dans le choix de la section.

Notion d’axe fort et d’axe faible 19

Une section de poteau peut généralement être définie p/r à deux axes principaux qui sont perpendiculaires l’un à l’autre. Si le rayon de giration n’est pas le même selon les deux axes, l’axe qui possède le rayon de giration le plus élevé est appelé axe fort (x-x) et celui qui possède le plus faible rayon de giration est appelé axe faible (y-y).

Si les conditions de retenue sont les mêmes aux extrémités du poteau, la rigidité du poteau est moins grande selon l’axe faible (EIy) que selon l’axe fort (EIx) et le poteau flambera selon l’axe faible.

y

yy y

x x

x x

axe fort

axe faible

Notion d’axe fort et d’axe faible 20

Si les conditions de retenue du poteau ne sont pas les mêmessur les deux axes principaux, le poteau flambera selon l’axe où l’élancement (kL/r) est le plus élevé.

kx Lxrx

ky Lyry

>

Lx

>ky Lyry

kx Lxrx

LyLy

Lx

Flambement des poteaux dans une structure

21

Dans certains cas, les membrures seront soumises à des efforts combinés de compression et de flexion. Ces membrures sont appelées des poteaux-poutres. Elles sont en mesure de résister aux charges qui leur sont appliquées uniquement si la condition suivante (appelée équation d’interaction) est respectée.

Pf + Mf < 1Pr Mr

Équation d’interaction

Où: Pf = effort de compression imposé à la membrure (kN) Pr = résistance à la compression de la membrure (kN)

Mf = effort de flexion imposé à la membrure (kN-m) Mr = résistance à la flexion de la membrure (kN-m)

22Le cas des poteaux-poutres

Dimensionnementdes poteaux

23

Dimensionnement des poteaux 24

1. On calcule la charge de compression maximale imposée au poteau par l’application des charges totales majorées (Pf)

2. On calcule la longueur équivalente (Le = kL)

3. On va dans les tables de sélection et on choisit un profilé pour lequel Pr > Pf

Note : Les tables de sélection sont conçues pour donner la résistance du poteau selon son axe faible (Pry) puisque

c’est le cas le plus courant. Si, par contre, on souhaite obtenir la résistance du poteau selon son axe fort (Prx), il suffit d’utiliser les tables de sélection avec une longueur équivalente Le = k L ÷ rx/ry où rx/ry est le ratio des rayons de giration dans les deux axes principaux (il est donné dans la partie inférieure des tables de sélection).

Dimensionnement des poteaux 25

4. Si on ne peut pas utiliser les tables de sélection, ou si on veut concevoir un profilé sur mesure, on peut utiliser les feuilles excel prévues à cet effet (acier.xls et bois.xls) qui sont disponibles sur le site du cours.

Membruressollicitées

en tension

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Tr = ϕ σadm x A

où : ϕ = coefficient de tenue = 0,9 pour l’acier et le bois σadm = contrainte admissible dans le matériau = 350 MPa pour l’acier de charpente

= 1000 à 1800 MPa pour l’acier des câbles = 30,2 MPa pour le bois lamellé collé A = aire de section de la membrure

27Le cas de membrures tendues(câbles et tirants)

Les membrures tendues ne sont pas soumises au flambement. Les efforts de tension tendent, bien au contraire, à corriger les défauts de rectitude de la membrure. La rupture survient lorsque la contrainte de tension excède la contrainte admissible dans le matériau. La force de rupture, Tr, est alors donnée par :

poteau court

T

A

TNote : La résistance à la traction du béton est nulle (dans le béton armé, toute la traction est reprise par les armatures en acier)

Dimensionnement des membrures tendues (câbles et tirants) 28

1. On calcule la charge de tension maximale dans la membrure causée par l’application des charges totales majorées (Tf)

2. On utilise l’une des deux options suivantes:

a) Puisque Tr = ϕ σadm A > Tf on trouve que:

A > Tf / ϕ σadm

b) On utilise les tables de sélection des poteaux en utilisant un élancement nul (kL = 0) puisque la résistance à la compression est alors égale à la résistance à la traction du profilé et on choisit un profilé pour lequel Pr = Tr > Tf

Exempled’un contreventement

en treillis

29

Exemple : contreventement en treillis 30

100 kN

50 kN

100 kN

100 kN

4 m

4 m

4 m

4 m

4 m

La figure ci-contre montre un contreventement en treillis en acier qui supporte des charges horizontales de vent. Tous les assemblages sont rotulés.

Quel profilé en acier devrait-on utiliser pour les membrures ?

31

La figure ci-contre montre les efforts axiaux dans chaque membrure obtenus avec le logiciel DrFrame2D. Les membrures en rouge sont sollicitées en compression et celles en bleu en tension.

Membrure en compression la plus sollicitéePf = 495 kN L = 4000 mm / cos 45° k = 1 = 5656 mm ≈ 5500 mm

Membrure en tension la plus sollicitéeTf = 800 kN

32

Choix du profiléAprès avoir consulté les tables de sélection (page 47), nous avons choisi le profilé suivant:W200x46 → Pr = 708 kN > 495 kN

Tr = 1846 kN > 800 kNDéformation horizontale maximaleΔadm = L/500 = 16000 mm/500 = 32 mmDrFrame2D → Δmax = 21 mm <  32 mm

Exempled’un contreventement

en cadres rigides

33

Exemple : contreventement en cadres rigides 34

La figure ci-contre montre un contreventement en cadres rigides en acier qui supporte des charges horizontales de vent. Tous les assemblages entre les poutres et les poteaux sont rigides.

Quel profilé en acier devrait-on utiliser pour les membrures ?

100 kN

50 kN

100 kN

100 kN

4 m

4 m

4 m

4 m

4 m

35

Efforts axiaux Moments fléchissants

Les figures ci-dessous montrent les diagrammes d’efforts axiaux etd’efforts fléchissants obtenus avec le logiciel DrFrame2D:

36Choix des poteauxOn constate que la membrure la plus sollicitée est le poteau inférieur droit qui supporte une charge de compression de 800 kN et un moment fléchissant de 700 kN-m. Cette membrure agira comme un poteau-poutre et sera orientée de manière à ce que son axe fort soit dans le plan du cadre rigide.

Pf = 800 kNMfx = 700 kN-mMfy = 0 kN-m

kx = ky = 2 Lx = Ly = 4000 mm

kxLx = kyLy = 2 x 4000 mm = 8000 mm L

Le = 2L

37Choix des poteauxChoix du profilé

W310x158

kLy = 8000 mm Pry = 2636 kN > 800 kN

Selon l’axe faible

Le = k Lx ÷ rx/ry = 2 x 4000 mm ÷ 1,76 = 4544 mm Prx = 4729 kN Mrx = 829 kN-m Pf + Mf = 800 + 700 = 0,17 + 0,84 = 1,01 ≈ 1,0 Pr Mr 4729 829

Selon l’axe fort

38Choix des poutresEn ce qui concerne les poutres on a que:Mf = 917 kN-mPf = 49,8 kN = valeur négligeable

Choix du profilé

W610x113

Mr = 1020 kN-m > 917 kN-m

Vérification des déformations 39

Déformation horizontale maximale DrFrame2D → Δmax = 69 mm Δadm = L/500 = 16000 mm/500 = 32 mm < 69 mmDonc notre cadre rigide est suffisamment résistant mais... beaucoup trop flexible!Il faut donc accroître la rigidité en choisissant des membrures plus grosses.Après divers essais sur DrFrame2D, notre choix s’est arrêté sur le profilé suivant (utilisé pour toutes les membrures):W760 x185 → Δmax = 31 mm < 32 mm O.K.

Comparaison entre le contreventement en treillis et le contreventement en cadres rigides 40

On constate que le contreventement en treillis est beaucoup plus efficace que celui en cadres rigides car il nécessite des profilés beaucoup plus petits (W200x46 vs W760x185) ce qui représente une économie de matériaux de 75% sans compter l’économie sur les assemblages qui sont beaucoup plus faciles à réaliser dans les contreventements en treillis (joints rotulés vs joints rigides)

L’aéroport de Dullesà Washington

exemple dedimensionnement

d’un poteau-poutre

41

Aéroport de Dullesà Washington

Conçue par Eeero Saarinen, la toiture de l’aéroport est formée d’un voile de béton de 10 cm

d’épaisseur supporté par des câbles en acier qui sont eux-mêmes accrochés à des poteaux inclinés

42

43

Aéroport de Dullespour les besoins de l’exercice, nous allonsdimensionner des poteaux en acier en remplacement des poteaux en béton armé

Estimation des charges 44

Béton : 24 kN/m3 x 0,1 m = 2,4 kN/m2

Membrane imperméable = 0,3 kN/m2

Mécanique = 0,3 kN/m2

wD = 3 kN/m2

65 m

câblepoteauxà 6 m c/c

wL = 1 kN/m2 (charge minimale en l’absence de neige)wF = 1,25 wD + 1,5 wL = (1,25 x 3 kN/m2) + (1,5 x 1 kN/m2) = 5,25 kN/m2

wF = 5,25 kN/m2 x 6 m = 31,5 kN/mPour chaque câble

Forces sollicitant le poteau droit

45

Pv = 31,5 kN/m x 65 m / 2 = 1024 kN

Pv 22°Ph

PF

PF = 1024 kN / sin 22° = 2733 kN

13 m

2733 kN 35°

1568 kN

2239

kN

1568 kN

2239

kN M = 2733 kN x 13 m

= 35 530 kN-m

21 m

Efforts externes imposés au poteauet propriétés géométriques

46

13 m

2733 kN 35°

1568 kN

2239

kN

1568 kN

2239

kN M = 2733 kN x 13 m

= 35 530 kN-m

21 m

Selon l’axe fort

Pfx = 2239 kNMfx = 35530 kN-mk = 2Lx = 21 m

Selon l’axe faible

Pfy = 2239 kNMfy = 0k = 2Ly = 21 m

Dimensionnement du poteau

47

Selon l’axe fort

Prx = 56349 kNMrx = 38949 kN-m

Choix

poteau rectangulaire300 x 3500 x 25 mm

PfxPrx

MfxMrx

+ = 223956349

3553038949+

= 0,04 + 0,91= 0,95 < 1

Selon l’axe faible

Pry = 3407 kN > 2239 kNMfy = 0 kN-m