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Statistiques Le couple moyenne-cart type

La mdiane est un indicateur de tendance centrale (il indique un centre possible de la srie statistique tudie). Pour savoir comment se disperse la srie autour de cette valeur, on indique alors des valeurs de dispersion (tendue, quartiles). Cf. rappel.

La moyenne est elle aussi un indicateur de tendance centrale (elle indique un autre centre possible de la srie tudie). Pour savoir comment se disperse la srie autour de cette valeur, on introduit une nouvelle valeur de dispersion : lcart type

Rappel : la moyenne (arithmtique) de la srie statistique p donnes {x1 ; x2 ; x3 ; ; xp} est calcule par la formule :

x = x1 + x2 + x3 + + xp

p

Exemple : Considrons la srie {12,14,10,17,5,15,18} La moyenne est x = 12 + 14 + 10 + 17 + 5 + 15 + 187 = 13

Dfinition : la variance, note Var(X) est la moyenne des carrs des carts la moyenne. On a donc la formule suivante :

Var(X) = (x1 x)2 + (x2 x)2 + (x3 x)2 + + (xp - x)2

p

Dans la pratique, on utilisera la racine carre de la variance : lcart type. Lintrt est que lcart type est dans la mme unit que la srie, ce nest pas le cas de la variance.

Dfinition : lcart type,not , est la racine carre de la variance. = Var(X) On a donc la formule suivante

= (x1 x)2 + (x2 x)2 + (x3 x)2 + + (xp x)2

p

Interprtation : plus lcart type est faible, plus les valeurs sont centres autour de la moyenne, plus il est lev, plus les valeurs se dispersent.

Calcul : dans la pratique, appliquer la formule est fastidieux. On utilisera plutt les fonctionnalits de la calculatrice (voir fiches calculatrice) ou du tableur (voir TP).

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Exemple :

= (12 13)2+(14 13)2+(10 13)2+(17 13)2+(5 13)2+(15 13)2+(18 13)2

7 4,14

On peut donc rsumer cette srie par le couple (13 ; 4,14). Cela signifie que la moyenne est de 13, et que les valeurs se rpartissent globalement entre 8,86 et 17,14. Si cette srie reprsente des notes, on peut dire que les rsultats sont assez bien, mais plutt htrognes.

Dans le cas dune srie o les valeurs identiques sont regroupes, on peut acclrer le calcul.

Posons N = n1 + n2 + n3 + + np. Cest leffectif total.

La moyenne pondre (arithmtique) est calcule comme suit : x =

n1x1 + n2x2 + n3x3 + + npxpN

Lcart type de cette srie de moyenne x est calcul comme suit :

= n1(x1 x)2 + n2(x2 x)2 + n3(x3 x)2 + + np(xp x)2

N

Exemple :

La moyenne est 24 + 45 + 87 + 59 + 3122 + 4 + 8 + 5 + 3 = 7,5

= 2(4 7,5)2 + 4(5 7,5)2 + 8(7 7,5)2 + 5(9 7,5)2 + 3(12 7,5)2

22 2,37

Remarque : dans la pratique, on utilisera la calculatrice en faisant attention de bien configurer les listes de la calculatrice (voir fiches calculatrice).

Valeurs (ou modalit) x1 x2 x3 xp Effectifs n1 n2 n3 np

Modalits 4 5 7 9 12 Effectifs 2 4 8 5 3