10 fibre optique

Gérard Hincelin - Electronique B8

Chapitre 9 : Fibres optiques

SOMMAIRE4. Fibre optique à saut d’indice

Composantes axiales des champsComposantes transversesEquation de dispersionodes TE et TMrides HE et EHModes LP dans l’approximation du guidage faible

5. Télécommunications optiquesAtténuationDispersion intermodaleDispersion chromatiqueMultiplexage fréquentiel (WDM)

1. Introduction

2. Guides d’ondes diélectriquesEquations de passageRéflexion totaleOnde évanescente

3. Types de fibres optiques


Introduction : Fibres optiques

Emergence dans les années 60Développement en parallèle avec celui des composants optoélectroniquesDomaines d’applications : télécommunications optiques, capteurs optiques,opto-microondes, médical, …

INCONVENIENTSCoût d’installation élevéCouplages optiques délicats :

Le cœur mesure quelques µm. Utilisation d’interfaces optoélectroniques (Mais évolution vers les réseaux « tout optique »).

AVANTAGESTrès faible atténuation :

0,2 dB/km à λ = 1,55 µmTrès large bande passante sur fibre monomodeMultiplexage en longueur d’onde WDMDimensions, poids, flexibilitéImmunité aux interférences électromagnétiques.


Réflexion sur un dioptre plan

Equations de passagemilieux non absorbantsindices n1 > n2

Conservation des composantes tangentielles des champs E et H

Conservation de β:Loi de Snell-Descartes:

Réflexion totale pour ϕt = π/2Angle d’incidence critique:

milieu 2

Σ

nrmilieu 1

iϕ

tϕ

z

1kr

2kr

1 1n ε=

2 2n ε=

β = n1kosinϕi1 2sin sini tn nϕ ϕ=

Notations:

0kcω

=

1 1 1 0k n n kcω

= =

2 2 2 0k n n kcω

= =

2

1

sin cnn

ϕ =


Exemple : guide d’onde plan

Guidage par réflexion totale pour:

Pas de perte par réflexion !Contrainte sur β:

Comparaison avec le guide métalliqueOnde évanescente

Onde liée à la surface dans le milieu 2Décroissance rapide des champspermet d’assurer la continuité des composantes tangentielles des champs

2c iϕ ϕ π≤ ≤

1 0 sin in kβ ϕ=

1 0 2c in k car πβ ϕ ϕ≤ ≤ ≤2

1

sin inn

ϕ ≥

1 0 2 0sin cn k n kβ ϕ≥ =

2 0 1 0n k n kβ≤ ≤

d zβ : composante axiale

cœur : n1

gaine : n2

ϕi

κ : composantetransversale

Réflexion totale : ϕi > ϕc


Coupure des modes:guide métallique et guide diélectrique

En optique

Cϕ 1 1n ε=

2 2n ε=

Guidé :ϕi > ϕC

Non guidé:ϕi < φC

ω

β1n

cω

En micro ondes

1 1n ε=

ϕ = 0 à la coupure

coupure:0β →

2ncω

2ncωβ =

à la coupure

2 1n nc cω ωβ≤ ≤

10 ncωβ≤ ≤


Types de fibres optiques

revêtement protecteur

cœur : n1 gaine : n2

Constitution d’une fibre optique

r

a) Monomodediamètre = 5 à 8 µm

b) Multimodesaut d’indicea = 50 µm

c) Multimodegradient d’indice


Composantes axiales des champs

Equation d’onde en coordonnées cylindriques (Ez ou Hz)

Séparation des variables

Solution périodique en φn = 0, 1, 2 , ….

Fonction de BESSEL

( , ) ( ) ( )f r R rφ φ= Φ

22 2

2 2

1 ( , ) 1 ( , ) ( ) ( , ) 0rf r f rr f r

r r r r cφ φ ω ε β φ

φ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

22

2

1 0nφ

∂ Φ+ =

Φ ∂

cos( ) sin( )C n D nφ φΦ = +

22 2

r cωκ ε β⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2 2( ) 0Rr r r n Rr r

κ∂ ∂⎡ ⎤ + − =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦


Solution pour r < a (cœur)

Dans le cœur :

Les champs restent finis :

Jn(x) est la fonction de Bessel de première espèceComposantes axiales des champs: solutions possibles

1 1 1

1 1 1

( , ) ( )sin( )( 0)

( , ) ( ) cos( )z n

z n

E r E J r nTE n

H r H J r nφ κ φφ κ φ

= ⎫=⎬= ⎭

22 2 2 2 21 1 1 02 0n k

cωκ ε β β= − = − >

( )1 1( ) nR r C J rκ=

1 1 1

1 1 1

( , ) ( ) cos( )( 0)

( , ) ( )sin( )z n

z n

E r E J r nTM n

H r H J r nφ κ φφ κ φ

= ⎫=⎬= ⎭

2 2 2( ) 0Rr r r n Rr r

κ∂ ∂⎡ ⎤ + − =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

Jn(x)

Fonctions de Bessel de première espèce


Solution pour r > a (gaine)

Dans la gaine:On pose :Solution générale:

Onde évanescenteIn:Fonction de Bessel modifiée de première espèce (croissante)

Expression des champs (modes TE):

2 2 2 22 2 0 0n kκ β= − <

Fonctions de Bessel modifiées de seconde espèce Kn(x) et de première espèce In(x).

2 2j imaginaire purκ α=

2 2 2 2( ) ( ) ( )n nR r C K r D I rα α= +

2 2 2( , ) ( )sin( )z nE r E K r nφ α φ=

2 2 2( , ) ( ) cos( )z nH r H K r nφ α φ=

Kn(x)

In(x)

2 2 2( ) 0Rr r r n Rr r

κ∂ ∂⎡ ⎤ + − =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦


Composantes transversales des champs

02

02

02

02

1

1

1

1

z zr

z z

z zr r

z zr

j E HEr r

j E HEr r

j H EHr r

j H EHr r

φ

φ

β ωµκ φ

β ωµκ φ

β ωε εκ φ

β ωε εκ φ

⎫⎛ ⎞∂ ∂= − + ⎪⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎪

⎪⎛ ⎞∂ ∂⎪= − −⎜ ⎟∂ ∂ ⎪⎝ ⎠⎬

⎛ ⎞∂ ∂ ⎪= − −⎜ ⎟ ⎪∂ ∂⎝ ⎠ ⎪⎪⎛ ⎞∂ ∂

= − +⎜ ⎟ ⎪∂ ∂⎝ ⎠ ⎭

Dans le cœur d’indice n1 (r < a) :

1 1

1 1

( , ) ( )sin( )

( , ) ( ) cos( )

z n

z n

uE r E J r nauH r H J r na

φ φ

φ φ

=

=

( ) ( )0

1 1 12 cos( )n njj n u uE E J r H J r n

r a u a au aφ

ωµβ φ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )

20 1

1 1 1 2 sin( )n nj n u j n uH E J r H J r nu a a r au a

φωε β φ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Dans la gaine d’indice n2 (r > a) :

2 2

2 2

( , ) ( )sin( )

( , ) ( ) cos( )

z n

z n

wE r E K r nawH r H K r na

φ φ

φ φ

=

=

( ) ( )0

2 2 22 cos( )n njj n w wE E K r H K r n

r a w a aw aφ

ωµβ φ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )

20 2

2 2 2 2 sin( )n nj n w j n wH E K r H K r nw a a r aw a

φωε β φ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Composantes transversales en fonction des composantes axiales

Variables réduites (sans dimensions):

2 2 21 1 0

2 2 22 2 0

u a a n k

w a a n k

κ β

α β

= = −

= = −

( )( )

22 21

22 22

u a

w a

κ κ

κ α

= =

= − = −


Equation caractéristique

Les composantes tangentielles des champ vérifient les équations de continuité

1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( );Z Z Z ZE a E a H a H a E a E a H a H aφ φ φ φ= = = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2

10 0

2 2

22 20 2 0 1

2 2

1

0( ) ( ) 0 00 0 ( ) ( )

0( ) ( )

0( ) ( )

0

n n

n n

n n n n

n n n n

EK w J uK w J u

Ej jj n j nK w J u K w J ua a w a u aw a u a

Hj n j n j n j nK w J u K w J uw a u a a aw a u a H

ωµ ωµβ β

ωε ωε β β

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′− −⎜ ⎟× =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟′ ′ − − ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎟⎟⎟⎟

En écrivant que le déterminant est nul, on obtient l’équation caractéristique:

2 221 1

2 2 2 2 2 22 2

( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )

n n n n

n n n n

J u K w J u K wn nnuJ u wK w n uJ u wK w u w n u w

⎛ ⎞⎛ ⎞′ ′ ′ ′ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠


Paramètres de la fibre optique

Approximation du guidage faiblen1 est voisin de n2

Ecart relatif d’indices ∆:

∆ est de l’ordre de 0,2 %

Ouverture numérique (ON):

typiquement 0,1 à 0,3

Fréquence réduite V:

2 21 2 1 2

21 12

n n n nn n− −

∆ =

( )2 2 2 2 2 2 20 1 2V u w a k n n= + = −

2 21 2ON n n= −

( )0

2 aV ONπλ

=

gaine n2

iϕaz

cœur n1

Guidage : ϕi > ϕc

Pour ∆ = 2 10-3 et n1 = 1,45

vérifier que ϕc = 86,4 degrés

Dans l’approximation du guidage faible,la lumière se propage pratiquement

parallèlement à l’axe de la fibre


Modes TE et TM – rayons méridiens

Pour n = 0 : symétrie de révolutionChamps indépendants de φ:Rayons dans un plan méridienmodes transverses TE et TM

Modes TE :

Modes TM :

z

plan méridien

Eφ

( ),r zH H Hr

EφrH

Mode TE01

z

plan méridien

( ),r zE E Er

Mode TM01

Hφ

rE

sin( ); cos( )z zE n H nφ φ∝ ∝

cos( ); sin( )z zE n H nφ φ∝ ∝

0; 0z zE H φ= ∂ ∂ =0rE Hφ= =

0; 0z zH E φ= ∂ ∂ =

0rH Eφ= =


Modes TE et TM (équation caractéristique)

Approximation du guidage faible:

L’équation caractéristique se simplifie.

Relations de récurrence des fonctions de Bessel:

On obtient compte tenu de la relation: u2 + w2 = V2

2 21 2 1 0n n n= =

2 2

( ) ( ) 1 1 0( ) ( )

n n

n n

J u K w nuJ u wK w u w

⎛ ⎞′ ′ ⎛ ⎞+ = ± + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

0 1

0 1

( ) ( )( ) ( )

J u J uK w K w

′ = −′ = −

2 21 1 1

2 2 2 20 0 0

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

J u u K w u K V uJ u w K w V u K V u

−= − = −

− −

Résolution graphique à l’aide d’un logiciel scientifique (MATLAB)


Résolution graphique – modes TE et TM

Utilisation d’un logiciel scientifiquePosons:

Pour une valeur de V donnée, on trace f1 et f2 en fonction de u

L’intersection des deux courbes donne:

Le nombre de modes excités (fonction croissante de V) La valeur de β en fonction de V.

Coupure des modes TE0m et TM0mpour V < t0m (racine miéme de J0)

u

11

0

( )( )( )

J uf uJ u

=2 2

1 12 2 2 2 2

0 0

( ) ( )( )( ) ( )

u K w u K V uf uw K u V u K V u

−= − = −

− −

2f pour u V→ − ∞ →

Détermination graphique des modes TE et TMa) Pour V = 8, on dénombre 4 modesb) Pour V < 2,405 aucun mode transverse

1 0 0( 0)mf pour u t J→ ± ∞ = =


Modes hybrides

Pour on perd la symétrie cylindrique:Les rayons ne sont plus contenus dans des plans méridiensModes hybrides :

Approximation du guidage faible

signe + : modes EHnm (caractère transverse électrique dominant) signe - : modes HEnm (caractère transverse magnétique dominant)Relations de récurrence des fonctions de Bessel:

0n ≠

0 0z zH et E≠ ≠

2 2

( ) ( ) 1 1( ) ( )

n n

n n

J u K w nuJ u wK w u w

⎛ ⎞′ ′ ⎛ ⎞+ = ± +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )( )

( )( )

( )( )

1 12 2

n n n

n n n

J u J u J un nu J u u J u u u J u u

+ −′= − + = −

( )( )

( )( )

( )( )

1 12 2

n n n

n n n

K w K w K wn nw K w w K w w w K w w

+ −′= − + = − −

z zE Hz zH E


Modes HE1m

Les modes HEnm (signe -) sont solution de l’équation caractéristique :

Cas n =1:

Résolution graphique:

Coupure des modesLe mode HE1m coupe pour V < t 1,m-1

Le mode HE11 à une fréquence de coupure nulle

( ) ( )1 1

( ) ( )n n

n n

J u K wu J u w K w

− −=

( ) ( )0 0

1 1( ) ( )J u K wu J u w K w

=

( )01

1( )J u

fJ u

=( )0

21( )

u K wf

w K w=

2 2w V u= − 2f quand u V→ ∞ →

Résolution graphique des modes HE1mTrois modes possibles pour V = 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

u

f1 f2

HE11 HE12

HE13

t01 t02 t03t11 t12

Mode fondamental : Le mode HE11 est toujours guidé


Diagramme de dispersion

A une valeur de V correspondUne valeur de u pour chaque mode On en déduit

Diagramme β = f(V)Cas général Association en groupes présentant:

fréquences de coupure voisinesconstantes de propagation voisines

Pseudo-modes LP:Linear PolarizationGuidage faible Le champ résultant de l’association de ces groupes est à polarisation linéaire

β/ko

n2

n1

LP01

LP11

LP21

( )22 21 On k u aβ = −

1 2n n≠

1 2n n

Fibre Monomode: pour V < 2,405seul le mode LP01 peut se propager

( ) ( )0

2 aV ON a ONc

π ωλ

= =


Atténuation d’une fibre monomode

Atténuation A en dB/km

Absorption intrinsèque de SiO2

Bande UV de résonances électroniques (λ < 0,4 µm)Bande IR de résonancesvibrationnelles ((λ > 7 µm)

Diffusion de Rayleigh:Variation monotone en 1/λ4

Absorption par les impuretésIons OH- essentiellementconcentration inférieure à 10-8

( )( )

010/

1

10 logdB kmkm

PAL P

=

Atté

nuat

ion

(dB

/km

)

longueur d’onde (µm)

absorptioninfra-rouge

absorptionultra-violet

diffusionRayleigh

Expérimental

OH-

A < 0,2 dB/km autour de λ = 1,55 µm


Dispersion intermodale

L’énergie de l’impulsion se répartit entre les différents modes excitésLes modes se propagent dans une direction ϕiqui dépend du mode:

temps de propagation dans la fibre :

Modes lents :

Modes rapides :

Elargissement de l’impulsion :2a

zcœur : n1

gaine : n2

ϕi1gv c n=

1

sinz icvn

ϕ=

Fibre multimodelongueur Lt

Impulsionen entrée

t

Impulsionen sortie

iτ∆ 2c iϕ ϕ π≤ ≤

1

1sinz

L L ntv c ϕ

= =2

2 11

1 2

sin cn L ntn c n

ϕ = ⇒ =

122i

L ntc

ϕ π= ⇒ =

11 2i

Lnt tc

τ∆ − = ∆

P(t) P(t)

lent

rapide


Limitation du débit dans une liaison numérique

Format optique RZInterférences inter-symboles:

Ordre de grandeur:L = 1km; n1 = 1,5; ∆ = 0,003

Débit numérique maximum:

Réduction de la dispersion intermodale par fibre à gradient d’indice

1 1 1

Popt(t)

0 0 0 0

t

tB = 1/B

t

1 1

Popt(t)

10 0 0 0

Après propagation sur une distance L

iτ∆

i Btτ∆ <

33 81

8

10 1,5 3 10 1,5 103 10i

Ln sc

τ − −×∆ = ∆ = × = ×

×1

i

Bτ

<∆810 66 /

1,5B soit Mbit s<

21

8GIi

Lnc

τ ∆∆


Dispersion dans une fibre monomode

Absence de dispersion intermodalePour V < 2,405 : un seul mode de propagation (LP01)

Dispersion chromatique:Etendue spectrale du signal ∆ω

porteuse optique largeur des impulsions

Temps de groupe :Fibre de longueur LPropagation du signal à la vitessevg :

β n’est pas proportionnelle à ωDispersion de guide d’ondeDispersion matériau: n1= f(λ)

Etalement des temps de groupes :Les différentes composantes spectrales n’arrivent pas au même instant à l’extrémité de la fibre:

Paramètre de dispersion D:

On montrera en exercice:

2

22g

g

d dL Ld dτ βτ ω ω β ωω ω

∆ = ∆ = ∆ = ∆

1 : /( . )gD unité ps km nmL

τλ

∆=

∆

22

2 cD π βλ

= −gg

L dLv d

βτω

= =


Liaisons haut débit – longue distance

On utilise le critère précédent :

Le débit maximum est inversement proportionnel à:

La longueur de fibre : LLa dispersion de la fibre : DLa largeur spectrale du signal : ∆λ

Exemple: Calcul du produit BL maxfibre standard à 1,55 µm∆λ = 1 nm (diode laser)

Hauts débits – longues distancesDispersion

Réduire la dispersion : limite des effets non linéaires (FWM)Réduire ∆λ : limité par la bande de modulation du signalCompensation de la dispersion

AtténuationAmplificateurs optiques en ligne

Multiplexage fréquentiel : WDMN canaux pour un débit total BT:BT = N.B (B: débit par canal)

11gB soit BL D

τλ

∆ < <∆

12

1 1 60 ( / ).17 10

BL Gbit s kmD λ −< =

∆ ×

1 Tν∆ ∆


Fibres pour transmissions à 1,55 µm

SMF: fibre standard.

DSF : fibre à dispersion décalée.

NZDF+; NZDSF- : fibre à dispersion non nulle.

RDF : fibre à pente négative.

DCF : fibre de compensation

1520 1530 1540 1550 1560 1570 1580

-80

-60

-40

-20

0

20

Longueur d'onde (nm)

Dis

pers

ion

(ps/

(km

nm

)

DCF

SMF

DSFNZDSF+

NZDSF-RDF


Canaux et amplificateurs WDM

AmpliRaman Thulium Erbium

XLXS S C L

1,2 1,3 1,4 1,5 1,60,0

0,15

0,30

Canaux WDM

Longueur d’onde (µm)

Atté

nuat

ion

(dB

/km

)

25 THz

1,7

10 fibre optique

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