1 sylvie borne 1, eric gourdin 2, olivier klopfenstein 2, a. ridha mahjoub 1 1 laboratoire...

11

Sylvie BorneSylvie Borne11, Eric Gourdin, Eric Gourdin22, Olivier Klopfenstein, Olivier Klopfenstein22, A. Ridha , A. Ridha MahjoubMahjoub11

11 Laboratoire LIMOS-CNRS, Université Blaise Pascal – Clermont-Ferrand, Laboratoire LIMOS-CNRS, Université Blaise Pascal – Clermont-Ferrand, FranceFrance22 Laboratoire CORE/CPN, France Telecom R&D – Issy-les-Moulineaux, Laboratoire CORE/CPN, France Telecom R&D – Issy-les-Moulineaux, FranceFrance

Journées Franciliennes de Recherche OpérationnelleParis, 23 Juin 2006

Le problème de sécurisation Le problème de sécurisation multicouche avec capacités du réseau multicouche avec capacités du réseau IPIP

22

PlanPlan

Réseaux de télécommunication multicouchesRéseaux de télécommunication multicouches

Le problème de sécurisation multicouche avec capacités Le problème de sécurisation multicouche avec capacités du réseau IPdu réseau IP

FormulationsFormulations

Génération de colonnesGénération de colonnes

Etude polyédrale et génération de coupesEtude polyédrale et génération de coupes

Résultats expérimentauxRésultats expérimentaux

33

PlanPlan

Réseaux de télécommunication Réseaux de télécommunication multicouchesmulticouches






44

Réseaux en 2 couchesRéseaux en 2 couches

Fibres optiques

Liaisons virtuelles

Interfaces UNI

Routeurs IP

Brasseurs

Couche cliente

Couche de transport

55

PlanPlan


Le problème de sécurisation multicouche Le problème de sécurisation multicouche avec capacités du réseau IPavec capacités du réseau IP





66

Problème de sécurisation multicouche avec Problème de sécurisation multicouche avec capacités du réseau IP (Problème MCSIPND)capacités du réseau IP (Problème MCSIPND)

Données :Données : Modèle OverlayModèle Overlay

Couche cliente IP/MPLSCouche cliente IP/MPLS– Routeurs IP (LSR)Routeurs IP (LSR)– 2 liaisons virtuelles entre chaque paire de sommets2 liaisons virtuelles entre chaque paire de sommets– Capacité des liens fixée (2,5 Gbit/s ou 10 Gbit/s)Capacité des liens fixée (2,5 Gbit/s ou 10 Gbit/s)– Coût d’installation des liaisonsCoût d’installation des liaisons

Couche de transport optiqueCouche de transport optique– Brasseurs et fibres optiques fixésBrasseurs et fibres optiques fixés– Topologie routage fixés et satisfaisant des conditions de fiabilitéTopologie routage fixés et satisfaisant des conditions de fiabilité

Routeur IP brasseurRouteur IP brasseur Liaison de la couche cliente chemin de la couche transportLiaison de la couche cliente chemin de la couche transport Liaison de la couche transport en panne Liaison de la couche transport en panne

liaisons de la couche cliente inutilisables liaisons de la couche cliente inutilisables connuesconnues

77

Problème de sécurisation multicouche avec Problème de sécurisation multicouche avec capacités du réseau IP (Problème MCSIPND)capacités du réseau IP (Problème MCSIPND)

Problème : Déterminer la topologie de la couche cliente telle que :

– le réseau puisse écouler le trafic même en cas de panne d’une liaison de la couche de transport,

– les capacités soient respectées,– le coût soit minimum.

Données (suite):Données (suite): Ensemble de demandes entre des paires origine-destination de Ensemble de demandes entre des paires origine-destination de

sommets de la couche clientesommets de la couche cliente Une même demande peut être scindée et routée sur plusieurs Une même demande peut être scindée et routée sur plusieurs

cheminschemins Flot passant sur une liaison de la couche clienteFlot passant sur une liaison de la couche cliente

routé sur le chemin correspondant de la couche transportrouté sur le chemin correspondant de la couche transport Flot doit respecter la capacité des arêtes de la couche cliente.Flot doit respecter la capacité des arêtes de la couche cliente.

88

ModélisationModélisation

G1 = (V1,E1) couche cliente

– V1 : routeurs IP

– E1 : liaisons possibles entre les routeurs

– capacité sur les arêtes– coût fixe dépendant de la capacité

G2 = (V2,E2) couche transport

– V2 : brasseurs

– E2 : fibres optiques

e E2,

Fe E1 ensemble des liaisons de

la couche cliente coupées lors d’une panne de l’arête e

v1

v2

v3

v4

G 1

31,3ffFe

w1

w2

w3

w4

G 2

f1

e8

e5

e6

e3

f3 f2

k K, demande entre Ok et Dk et de volume uk

99

PlanPlan







1010

ParamètresParamètres

2 capacités possibles : 2,5 Gbit/s et 10 Gbit/s 2 capacités possibles : 2,5 Gbit/s et 10 Gbit/s

11

111111

),(),(

),(),(

AijjiEij

AVDEVG

et arcs 2 arête

ee FijjiFij ),(),( et

.0 1 lEijclij capacité de arêtel' de oninstallatid'coût :

,210

,15,2

l

ll

si

si

1111

VariablesVariables

sinon. 0

solution la à appartient capacité de si , ||lijl

ijE xx 1,

12

Variables de flot :Variables de flot :

panne. enest

arêtel' lorsqueversdearcl'sur produit duflot

ejijik

EeKkAjif ekij

),(

,,),(, 21,

Variables de topologie :Variables de topologie :

1212

Formulation Arcs-SommetsFormulation Arcs-Sommets

Le problème MCSIPND peut être formulé comme suit :

.,,0,

,2,1,1,0

,2,1,1

,,

,,

,,,

21,,

1

121

21

2,1

,

21

2,1

,

21

\),(:

,

\),(:

,

2,1

11

1

EeKkEijff

lEijx

lEijxx

EeEijxf

EeEijxf

EeKkVjbff

xc

ekji

ekij

lij

ijij

Kk

lij

l

l

ekji

Kk

lij

l

l

ekij

jk

FAiji

ekji

FAjii

ekij

l

Eij

lij

lij

ee

Minimiser

, si

,, si 0

, si

kk

kk

kkj

k

Dju

DOj

Oju

b

1313

Notations et variablesNotations et variables

Notations :Notations :

Variables :Variables :

panne. enest arêtel' lorsque

versdechemin lesur transitantproduit duflot de quantité

e

DOPk

PKkEePy

kk

ek

ek P ,,),( 2

panne). enest arêtel' (lorsque

graphe le dansvers deallant chemins des ensemble

e

FDDO ekke

k \1P

sinon. 0

solution la à appartient capacité de si , ||lijl

ijE xx 1,

12

1414

Formulation Arcs-CheminsFormulation Arcs-Chemins

Le problème MCSIPND peut être formulé comme suit :

.,,0)(

,2,1,1,0

,2,1,1

,,\)(

,,\)(

,,)(

2

1

121

),(

21

2,1

),(

21

2,1

2

2,1

1

ek

ek

ij

ijij

Kk PijPe

lij

l

l

ek

Kk PjiPe

lij

l

l

ek

Pk

ek

l

Eij

lij

lij

PKkEePy

lEijx

lEijxx

EeFEijxPy

EeFEijxPy

EeKkuPy

xc

ek

ek

ek

P

P

P

P

Minimiser

1515

PlanPlan







1616

Solution initialeSolution initiale

ε-Formulation

.0

,,,0)(

,,\)(

,,\)(

,,)(

2

),(

212

),(

212

2

ek

ek

Kk PijPe

ek

Kk PjiPe

ek

Pk

ek

PKkEePy

EeFEijPy

EeFEijPy

EeKkuPy

ek

ek

ek

P

P

P

P

Minimiser

1717

.,,0)(

,2,1,1,0

,2,1,1

,,\)(

,,\)(

,,)(

2

1

121

),(

21

2,1

),(

21

2,1

2

2,1

1

ek

ek

ij

ijij

Kk PijP

elij

l

l

ek

Kk PjiPe

lij

l

l

ek

Pk

ek

l

Eij

lij

lij

PKkEePy

lEijx

lEijxx

EeFEijxPy

EeFEijxPy

EeKkuPy

xc

ek

ek

ek

P

P

P

P

0

0

Minimiser

Variables dualesVariables duales

Formulation Arcs-Chemins

ek

eij

1818

Coûts réduits et problème de pricingCoûts réduits et problème de pricing

Coûts réduits pour les variables de flot

ek

ek

Pji

eij

eP PEeKkc P

,, , 2

),(

Problème de pricing :–

– Problème de plus court chemin dans un graphe où la valuation sur les arcs est donnée par

. que tel

et que tel chemin un cherche on

panne chaqueet demande chaquePour

0

min

,

''

2

eP

ePP

eP

ek

c

ccP

EeKk

ekP

P

eFD \1

.,\),(, 21 EeFAjiq ee

ijij

1919

PlanPlan







2020

Soit un graphe Soit un graphe

Soit .Soit .

UneUne coupe coupe est l’ensemble des arêtes entre et est l’ensemble des arêtes entre et . .

On note (resp. ) l’ensemble des demandes On note (resp. ) l’ensemble des demandes ayant leur origine (resp. destination) dans et leur ayant leur origine (resp. destination) dans et leur destination (resp. origine) dans . destination (resp. origine) dans .

NotationsNotations

),( EVG

VW )(WG W WV \

W WV \

)(WG)(WG

W

W

)(WG

)()()( WWW GGG

),(,( 111 EVGEVG )

F 221 ,...,, EtFFF t où

2121

)(\ WiFG

Contraintes de coupe de capacité Contraintes de coupe de capacité (type1)(type1)

)(WG

W WV \

. VWVW , SoitSoit

)(2,1)(\ Wk

klij

l

lWij C

ux

CiFG

est valide pour le problème.est valide pour le problème.

iFti ,,...,1 est un ensemble d’arêtes pouvant tomber en panne simultanément.

F

5.2C

2222

Contraintes de coupe : séparationContraintes de coupe : séparation

Heuristique de séparation :Heuristique de séparation :

Sur le graphe support avec les arêtes Sur le graphe support avec les arêtes ijij telles que telles que

Considérer les coupes réduites à un sommet et vérifier Considérer les coupes réduites à un sommet et vérifier

si elles sont violées,si elles sont violées,

Contracter l’arête de poids Contracter l’arête de poids

maximum et vérifier la violation de la contrainte maximum et vérifier la violation de la contrainte

associée au nouveau sommet ainsi obtenu,associée au nouveau sommet ainsi obtenu,

Contracter les arêtes jusqu’à obtenir un graphe à 2 Contracter les arêtes jusqu’à obtenir un graphe à 2

sommets.sommets.

021 ijij xx

kjik

lij

l

l

ux

)}{()}{(2,1

2323

)(\ WiFG

Contraintes de coupe topologiqueContraintes de coupe topologique

W WV \

.)( , , WVWVW SoitSoit

Algorithme de séparation : Gomory, Hu (1961)Algorithme de séparation : Gomory, Hu (1961)


F

est une contrainte valide pour le problème.est une contrainte valide pour le problème.,1))(( \2,1

WxiFG

l

l

2424

Contraintes de coupe-cycleContraintes de coupe-cycle

W WV \

,)()( 212,1

qs

sTrxTx ll

l

Toute solution doit vérifier :

SoitSoit un sous-ensemble d’arêtes de . un sous-ensemble d’arêtes de . ,3 ,,...,11 seeT s )(WG

T1

tel quetel que ,,...,1 ,,...,1 tjsi i 11 ,..., qiij eeTFi

T2

. que tel )(, WVWVW SoitSoit

,))((\)(,...,112 si jG i

FTWT

,\)(,...,1 / ijGe FWesir

,)(2 eTe rqsr max

Soit le plus petit entier tel Soit le plus petit entier tel que que

r

Séparation heuristiqueSéparation heuristique

2525

Contraintes d’étoile-partitionContraintes d’étoile-partition

.et impair ,

que tellepartition, uneSoit

, , 1

piVpp

VVV

i

p

,..,1)(3

,0

est une contrainte valide pour est une contrainte valide pour

le problèmele problème,

2)\),...,(( 0

2,1

pFVVx pG

l

l

0V

2V1V

4V

3V5V F

.

que telle existe il

que suppose On

0,

,...,1

,...,1

VVF

tj

pi

ij

i

i

plk

FFVVe

Ee

lk jjlk

,...,1,

,,

pour

que tel

Soit

p

iij VVFF

i

10,

Inspirées par les contraintes de Inspirées par les contraintes de F F -partition (Mahjoub 94) -partition (Mahjoub 94) Séparation heuristiqueSéparation heuristique

2626

ExempleExemple

Instance française avec Instance française avec

.5 ,8 ,51 KFV

Couche transportCouche transport DemandesDemandes

Paris

LyonClermont-Fd

Marseille

Bordeaux

Paris

LyonClermont-Fd

Marseille

Bordeaux

5 211 1

2727

ExempleExemple

#coupe #coupe #coupe- #étoile-

cap1 topo cycle partition

- - - - 53 5880 29,21 0:00:01.6519 - - - 31 5880 24,22 0:00:01.688 15 - - 55 5880 21,32 0:00:01.58

10 17 1 2 45 5880 21,28 0:00:01.58

Gap CPUNT Copt

Couche clienteCouche cliente

2828

)(

)(

12

1\

)(2

)(\

Wu

xi

iFG

FGWk

k

ijWij

)(\ WiFG

Contraintes de coupe de capacité Contraintes de coupe de capacité (type2)(type2)

W WV \

. VWVW , SoitSoit

est valide pour le problème.est valide pour le problème.


F

2929

ExempleExemple

#coupe #coupe #coupe #coupe- #étoile-

cap1 topo cap2 cycle partition

10 17 - 1 2 45 5880 21,28 0:00:01.587 15 2 1 0 19 5880 9,77 0:00:00:84

Gap CPUNT Copt

W

W’

3030

Contraintes de double coupeContraintes de double coupe

)(\ WiFG

W WV \

. VWVW , Sur une coupeSur une coupe

Procédure de Chvatal-Gomory combinant des contraintes de Procédure de Chvatal-Gomory combinant des contraintes de coupe de topologie et de capacités. coupe de topologie et de capacités.

Dxx ijijWij

iFG

)4( 21

)(\

)(Wk

k

C

uD

On noteOn note

)(,0 \1 Wijx

iFGij

2)2( 21

)(\

Dxx ijij

WijiFG

,2

,1

si 4

si 1

l

l

C

l

3131


)(\ WiFG

W WV \

. VWVW , Sur une coupeSur une coupe

Procédure de Chvatal-Gomory combinant des contraintes de Procédure de Chvatal-Gomory combinant des contraintes de coupe de topologie et de capacités. coupe de topologie et de capacités.

Dxx ijijWij

iFG

)4( 21

)(\

)(Wk

k

C

uD

On noteOn note

2)2( 21

)(\

Dxx ijij

WijiFG

,2

,1

si 4

si 1

l

l

C

l

4

3)3( 21

)(\

Dxx ijij

WijiFG

3232


2)2( 21

)(\

Dxx ijij

WijiFG

Dxx ijijWij

iFG

)4( 21

)(\

4

3)3( 21

)(\

Dxx ijij

WijiFG

4)( 21

)(\

Dxx ijij

WijiFG

244

3)2( 21

)(\

DDxx ijij

WijiFG

)(,0 \1 Wijx

iFGij

)(,0 \1 Wijx

iFGij

4)( 21

)(\

Dxx ijij

WijiFG

2)2( 21

)(\

Dxx ijij

WijiFG

3333

Contraintes de multicoupeContraintes de multicoupe

W1

W2

W3

Double coupe

Double coupe

Coupe topologique

3434

ExempleExemple

#coupe #coupe #coupe #double #multi #coupe- #étoile-

cap1 topo cap2 coupe coupe cycle partition

7 15 2 - - 1 0 19 5880 9,77 0:00:00:849 15 2 6 - 0 0 15 5880 2,69 0:00:00.629 15 2 6 12 1 0 1 5880 0,00 0:00:00.51

Gap CPUNT Copt

3535

Génération de coupesGénération de coupes

Contraintes valides pour les deux formulations.Contraintes valides pour les deux formulations.

La séparation des contraintes est effectuée dans l’ordre La séparation des contraintes est effectuée dans l’ordre suivant :suivant :– contraintes de coupe de capacité (type 1),contraintes de coupe de capacité (type 1),– contraintes de coupe topologiques,contraintes de coupe topologiques,– contraintes de coupe de capacité (type 2),contraintes de coupe de capacité (type 2),– contraintes de double coupe, contraintes de double coupe, – contraintes de coupe-cycle,contraintes de coupe-cycle,– contraintes d’étoile-partition.contraintes d’étoile-partition.

3636

PlanPlan







3737


Gestion de l’arbre de branchement : ABACUS 2.4 alpha Gestion de l’arbre de branchement : ABACUS 2.4 alpha (A Branch-And-Cut System).(A Branch-And-Cut System).

Solveur linéaire : CPLEX 9.0.Solveur linéaire : CPLEX 9.0. C++.C++. PC Pentium IV 2,4 GHz, 1024 Mo RAM.PC Pentium IV 2,4 GHz, 1024 Mo RAM.

Données réellesDonnées réelles– instances fournies par France Telecom,instances fournies par France Telecom,

– Routage Routage FFee ,,

– Différentes fonctions coût.Différentes fonctions coût.

3838

Fonctions coûtFonctions coût

Fonction coûtFonction coût,IPréseau du arête unepour )()( ffcfc

, arête unepour séquipementet on constructi fixe,coût :coptique.réseau du dépendant coût : )( f

2 fonctions coût :2 fonctions coût :

–

–

,fPcfc )(1

, à associé optiqueréseau du chemin leest fPf

,

fPe

elcfc )()(2

, )( de extrémités les entre réelle distance laest eel

3939

Fonction coût Fonction coût cc11(.)(.)

#var #var #c #c #c #dble #c- #et-

topo flot capa1 topo capa2 c cycle part6 11 15 15 4950 18 19 2 30 0 0 35 124 4,84 0:00:13.636 11 30 15 9900 19 8 4 35 1 0 69 132 7,58 0:01:59.238 17 5 28 4760 44 111 1 19 3 0 29 85 17,65 0:00:23.568 17 15 28 14280 61 96 2 90 2 0 285 117 14,53 0:19:32.538 17 20 28 19040 73 43 4 128 1 0 1153 152 19,74 2:06:26.458 17 25 28 23800 96 46 4 105 3 0 1435 157 22,29 2:57:43.699 22 2 36 3168 0 0 0 0 1 0 25 93 12,90 0:00:15.719 22 5 36 7920 38 49 1 43 4 1 163 105 22,86 0:05:17.029 22 15 36 23760 135 116 2 96 4 0 1398 140 14,73 5:00:00.00

10 25 2 45 4500 54 32 1 0 2 0 9 67 17,91 0:00:14.8310 25 5 45 11250 274 252 0 15 7 3 1821 80 26,25 2:30:33.6912 32 2 66 8448 90 21 1 40 2 0 161 114 23,68 0:14:17.1214 27 5 91 24570 0 20 0 8 0 0 19 75 12,33 0:09:05.92

6 11 15 15 1146 10 3 2 21 1 0 35 124 4,84 0:00:06.586 11 30 15 2428 11 2 4 23 1 0 55 132 7,58 0:00:23.998 17 5 28 2103 49 117 1 7 3 33 79 85 17,65 0:00:57.238 17 15 28 5275 33 61 1 39 2 0 247 117 13,68 0:08:58.678 17 20 28 9254 80 22 4 57 2 0 1257 152 19,74 1:19:46.298 17 25 28 10597 65 3 4 49 4 0 1137 157 22,29 1:15:31.499 22 2 36 1308 0 0 0 0 1 0 19 93 11,83 0:00:17.699 22 5 36 5876 42 49 1 35 6 0 145 105 20,00 0:12:57.159 22 15 36 11478 103 60 2 76 4 0 2607 138 11,59 4:10:38.96

10 25 2 45 428 72 37 1 0 2 0 9 67 17,91 0:00:04.7410 25 5 45 12969 293 244 0 27 7 0 1243 80 23,75 4:58:50.3012 32 2 66 14802 102 28 1 63 3 0 249 114 21,93 0:25:14.4614 27 2 91 4815 0 2 0 7 2 12 9 75 12,33 0:05:16.33

Form

ula

tion a

rcs-

som

met

s F

orm

ula

tion a

rcs-

chem

ins

| V1| | F| Gap CPU| K| NT Copt

4040

Fonction coût Fonction coût cc22(.)(.)

#var #var #c #c #c #dble #c- #et-

topo flot capa1 topo capa2 c cycle part6 11 15 15 4950 16 19 1 24 1 0 17 9089,00 3,63 0:00:07.916 11 30 15 9900 17 6 2 26 1 0 17 9089,00 2,04 0:00:19.998 17 5 28 4760 58 109 1 2 6 1 19 4717,00 9,68 0:00:17.008 17 15 28 14280 19 59 0 52 2 0 103 7002,00 9,54 0:06:48.708 17 20 28 19040 27 39 3 73 1 0 237 9000,00 14,64 0:25:26.148 17 25 28 23800 55 24 4 76 5 0 713 10058,00 21,58 1:30:29.549 22 2 36 3168 0 0 0 0 0 0 17 5646,00 3,42 0:00:11.139 22 5 36 7920 61 54 1 80 5 0 985 7126,00 25,29 0:33:23.029 22 15 36 23760 55 74 0 42 5 0 747 8932,00 13,93 1:44:12.30

10 25 2 45 4500 142 120 1 0 0 0 15 3304,00 6,06 0:00:24.9410 25 5 45 11250 173 204 0 93 7 6 2367 5557,00 20,69 3:12:00.5412 32 2 66 8448 30 37 0 63 2 1 107 6882,00 17,15 0:06:55.2614 27 5 91 24570 0 5 0 5 1 0 369 4848,00 11,03 0:09:23.40

6 11 15 15 1119 10 8 2 20 1 0 19 9089,00 3,63 0:00:05.136 11 30 15 1653 8 3 4 19 1 0 17 9089,00 2,04 0:00:04.238 17 5 28 1253 42 99 1 2 7 1 19 4717,00 9,68 0:00:16.988 17 15 28 3945 13 58 1 35 2 0 97 7002,00 9,54 0:02:15.258 17 20 28 6992 28 18 3 38 1 0 185 9000,00 14,64 0:10:19.148 17 25 28 10545 59 12 4 54 5 0 771 10058,00 21,58 0:55:36.529 22 2 36 732 0 0 0 0 0 0 17 5646,00 3,42 0:00:06.089 22 5 36 9566 41 113 1 61 6 2 1129 7126,00 24,02 2:18:30.879 22 15 36 9766 42 53 0 26 5 2 549 8932,00 13,56 1:16:44.94

10 25 2 45 810 16 168 1 0 1 0 9 3304,00 6,06 0:00:12.5210 25 5 45 13503 182 198 0 71 7 0 951 5557,00 19,88 4:59:16.4512 32 2 66 8312 56 44 0 61 3 0 95 6882,00 16,85 0:34:49.8114 27 5 91 11229 0 4 0 6 1 8 23 4848,00 9,82 0:16:23.29 F

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CPU| K| NT Copt

4141

PerspectivesPerspectives

Résoudre des instances plus grandes,Résoudre des instances plus grandes,

Améliorer la procédure de pricing,Améliorer la procédure de pricing,

Améliorer les procédures de séparation,Améliorer les procédures de séparation,

Généraliser les contraintes de coupe-cycle et d’étoile-Généraliser les contraintes de coupe-cycle et d’étoile-partition en considérant les coupes de tous types,partition en considérant les coupes de tous types,

Trouver de nouvelles classes d’inégalités valides,Trouver de nouvelles classes d’inégalités valides,

Considérer également une formulation basée sur les Considérer également une formulation basée sur les contraintes métriques,…contraintes métriques,…

1 sylvie borne 1, eric gourdin 2, olivier klopfenstein 2, a. ridha mahjoub 1 1 laboratoire...

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