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Propagation d’épidémie la Rougeole à l'Unil-EPFL
Superviseur : Micha HerschEtudiants : Bruno Pais & Didier Languetin
3 avril 2009
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Objectifs
Etudier le modèle simple SIR
Appliquer et Interprèter le modèle SIR sur un casd’épidémie actuel :
Epidémie de la Rougeole à l'Unil-EPFL
Adapter ce modèle à notre cas particulier afin d’évaluer:
- les risques encourus- efficacité de la campagne de vaccination
L’épidémie
L’épidémie, qu’est-ceexactement?
Une épidémie signifieaugmentation rapide de
l’incidence d’une pathologie en un lieu et sur un momentdonné.
Nombre de jours
I(t)
Intérêts du modèle SIR
Le modèle SIR permet de :
• Visualiser graphiquement la propagation d’une maladie au sein d’un espace clos et son évolution.
• D'évaluer et prévoir les risques d'épidémie, sa durée ainsi que son pic d'activité.
Le modèle simple SIR
Le système dynamique
• S(t): nombre de personnes saines susceptibles de contracter la maladie.
• I(t): nombres de personnes infectées.
• R(t): nombre de personnes immunisées ou décédées.
Le modèle simple SIR
Le système dynamique:
dS/dt = -r ·S(t) ·I(t)
dI/dt = r ·S(t) ·I(t) - a ·I(t)
dR/dt = a ·I(t)
Les paramètres:
r : indice de virulence (vitesse de transmission)
a : indice de guérison.
Perfectionnement du modèle
Nous avons optimiser le modèle de manière à prendre
en considération:
• le flux des personnes qui se déplacent entre les sites de UNIL-EPFL
• La campagne de vaccination (du lundi 23 mars au vendredi 11 avril soit 19 jours)
Données acquises
Méthodologie (choix)
Choix :
1. Espace clos, divisé en 2 sites avec flux2. Intervalle de temps3. Une semaine = 7 jours de cours4. Un dose suffit pour être vaccinné5. Pas de période d'incubation6. 5-6 jours pour être mis en quarantaine7. Uniquement les 10% initialement non
vaccinées son pris en compte dans notre modèle
Méthodologie (conditions)
Conditions initiales :
1. S(t=0) = 2500 dont : 1400 (Unil)1100 (EPFL)
2. I(t=0) = 2 et R(t=0) = 0
3. R(t=tf) = 1500
4. nombre totale d'infectés = 49
Modèle perfectionnéfunction y=f(x,t)
s= 0.0082;r=0.000232958;a=2/11;u=0.95;v=0.050905;
if(t>=14 & t<=32)
# Site de l'Unil avec x(1),x(2),x(3):
y(1)=-r*x(1)*x(2) + s*(-x(1)+x(4)) -u*v*x(1);y(2)=r*x(1)*x(2)-a*x(2) + s*(-x(2)+x(5));y(3)=a*x(2) + s*(-x(3)+x(6)) + u*v*x(1);
# Site EPFL :
y(4) = -r*x(4)*x(5) + s*(x(1)-x(4)) - u*v*x(4);y(5) = r*x(4)*x(5)-a*x(5) + s*(x(2)-x(5));y(6) = a*x(5) + s*(x(3)-x(6)) + u*v*x(4);
else
# Site de l'Unil avec x(1),x(2),x(3):
y(1)=-r*x(1)*x(2) + s*(-x(1)+x(4));y(2)=r*x(1)*x(2)-a*x(2) + s*(-x(2)+x(5));y(3)=a*x(2) + s*(-x(3)+x(6));
# Site EPFL :
y(4) = -r*x(4)*x(5) + s*(x(1)-x(4));y(5) = r*x(4)*x(5)-a*x(5) + s*(x(2)-x(5));y(6) = a*x(5) + s*(x(3)-x(6));
endendfunction
Optimisation des paramètres
Calcul de a:
Une personne sera isolée en moyenne 6 jours aprèsêtre susceptible de transmettre le virus. Le taux deguérison est donc de 1/6.
Recherche de r et s avec a fixé:
On recherche les valeurs les plus proches de la réalité à l’aide de la formule suivante:
(nEPFL – 37)² + (nUNIL -12)²
soit le plus petit possible
Optimisation des paramètres
41.2610.020000.000215
43.7720.020000.000214
39.690.020000.000216
39.1280.020000.000217
39.6470.020000.000218
63.2250.020000.000221
146.650.020000.000200
67.8210.020000.000210
58.0660.020000.000220
186.990.020000.000230
572.520.020000.000240
2997.10.020000.000260
1407.80.020000.000250
Coût(s)(r)
1.1040.008200.000232958
12.5670.012000.000217
11.9950.011000.000217
14.2620.009000.000217
12.490.010000.000217
19.0410.015000.000217
32.3340.018500.000217
35.4460.019200.000217
35.8990.019300.000217
36.3540.019400.000217
37.2710.019600.000217
36.8120.019500.000217
41.4870.020500.000217
48.780.022000.000217
43.8860.021000.000217
Coût(s)(r)
Modélisation des flux
Modélisation des flux des personnes:
Le calcul des flux se fait également à l’aide de la formule précédente.
Paramètres de la vaccination
Les paramètres u et v de la vaccination:
v dS/d(t) = - v S(t) avec t= 19 et
v = -log (S(t)/2500) / t S(19) = 1000
v = 0.050905
u = 0.95
Dynamique des populationsDynamique sans vaccin Dynamique avec vaccin
jours
Nom
bre
de p
ers
onnes
Nom
bre
de p
ers
onnes
jours
Effet de la vaccination
semaines semaines
Nom
bre
de p
ers
onnes
infe
ctées
Nom
bre
de p
ers
onnes
infe
ctées
Dynamique avec vaccin Dynamique sans vaccin
EPFL
UNIL+EPFL
UNIL
UNIL+EPFL
UNILEPFL
Perspectives
• Présence sur site que 5 jours sur 7
• Tenir compte des flux extérieurs