09– black & scholes

09– Black & Scholes

Chapitre 14 et 16Hull, 8 éd.

Plan de la séance

• Black & Scholes

• Black & Scholes appliqué aux Options sur indice boursier et sur devises

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Black & Scholes

• Black & Scholes et Merton• Hypothèses du modèle

– Log normalité et distribution des prix– Estimation de la volatilité

• Limites du modèle de Black-Scholes• Concept de base du modèle• La Formule• Évaluation risque neutre• Volatilité implicite• Options américaines• Effet des dividendes

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Black & Scholes

• Fischer Black (1938-1995)• Un «p’tit génie» passionné de mathématiques et sciences mais

aussi de la littérature et des arts

• Au secondaire, il fonde un club secret d’«intellectuels»

• Baccalauréat et Doctorat de Harvard University, mais…– Il se fait mettre à la porte (temporairement) parce qu’il change son sujet de thèse de

doctorat sans cesse: physique, mathématiques, psychologie, science informatique et intelligence artificielle… enfin, son PhD en mathématiques appliquées

• Il travaille pour une firme privée, Arthur D. Little, avant de rejoindre le Departement de Finance de l’Université de Chicago après avoir travaillé sur le modèle d’option-pricing avec Myron Scholes (alors au MIT)

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Black & Scholes

• Myron Scholes (1941- )• Un Canadien de Timmins, ON• Entre 18 et 26 ans, une maladie oculaire l’empêche de lire

sauf pendant de courtes durées – jusqu’à une transplantation de cornées

• Bacc. à McMaster, puis doctorat (finance) à l’Université de Chicago

• Il commence comme professeur adjoint au MIT où il rencontre Black

• Plus tard, il enseignera à Chicago, et enfin Stanford GSB

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Black & Scholes

• Robert C. Merton (1944-)• Professeur au MIT• Il a été le premier à publier un article développant l'aspect

mathématique d'un modèle d'évaluation d'option en citant les travaux de Fischer Black et de Myron Scholes.

• Le concept fondamental de Black et Scholes fut de mettre en rapport le prix implicite de l'option et les variations de prix de l'actif sous-jacent.

• Robert Merton et Myron Scholes reçurent en 1997 le prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel (souvent appelé de manière erronée prix Nobel de l'économie) pour leurs travaux.

• Fischer Black, décédé en 1995 et donc inéligible, a été cité comme contributeur.

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Black & Scholes

• Le Modèle:• Black et Scholes présentent en 1970 une version

complétée d’une manière de dérivé le processus d’évolution du prix d’une action (pas le modèle en fait!)

• Leur recherche est rejetée par plusieurs revues scientifiques

• Deux professeurs de Chicago leur obtiennent une seconde chance et enfin, leur article est publié en 1973 dans le Journal of Political Economy – 19046 citations selon Google Scholar en 2012– Un des articles les plus cités en finance et économique

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Black & Scholes

• Long Term Capital Managment (1994-2000)– L’erreur de parcours!

• LTCM était un hedge fund spéculatif basé à Greenwich, au Connecticut qui a utilisé des stratégies de transaction de rendement absolu (arbitrage de titres à revenu fixe, et arbitrage statistique) combiné avec un effet de levier important. Il a été créé pour profiter de la fiscalité favorable des Hedges Funds. (pas toujours légalement)

• À la suite de la crise Asiatique en 1997, Russe en 1998, Le Fonds long terme le plus important de la firme, a fait faillite, conduisant à un plan de sauvetage par d'autres institutions financières, sous la supervision de la Réserve fédérale

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Black & Scholes

• Long Term Capital Managment (1994-2000)• Les pertes : 4.6 Milliards de Dollars– $1.6 bn in swaps– $1.3 bn in equity volatility– $430 mn in Russia and other emerging markets– $371 mn in directional trades in developed countries– $286 mn in equity pairs (such as VW, Shell)– $215 mn in yield curve arbitrage– $203 mn in S&P 500 stocks– $100 mn in junk bond arbitrage

• Myron Scholes et Robert Merton étaient membres du conseil d’administration

• La Blonde de Myron de l'époque est conseillère général en fiscalité chargée de la mise en place des opérations de crédit-bail liés à des pertes non autorisés

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Black & Scholes

• Long Term Capital Managment (1994-2000)• Myron déclarera après la faillite: « Je ne suis pas un expert en fiscalité »• Mais dans un mémorandum au comité de gestion à long terme en date

du Novembre 12, 1996, Myron Scholes a écrit:– « Nous devons décider dans un avenir proche (1) la façon de répartir ces pertes

en capital; (2) comment" Transiger"afin qu‘elles se tiennent dans des mains à forte valeur ajoutée, et (3) la façon de planifier pour pouvoir profiter des avantages de l'utilisation de ces pertes pour la plus longue période de temps. Si nous sommes prudents, Il est plus probable que nous n'aurons jamais à payer de gain à long terme sur le capital sur le «prêt» du gouvernement. Comment doit-on rémunérer ceux qui ont apporté les pertes fiscales à LTCM et par contre répartir les dépenses des transactions? »

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Black & Scholes

• Critiques et Pratique du modèle :• L'une des critiques qui revient souvent est le fait que ces théories sont

fondées sur la distribution normale (loi de Gauss ou "courbe en cloche"), qui sous-estiment très fortement les événements "improbables" comme les crises ou les krachs alors qu'ils sont finalement beaucoup moins rares que cette loi ne le prévoit

• Autre critiques : les hypothèses sur lesquelles sont fondées ces théories sont très peu réalistes : La rationalité des investisseurs notamment…

• Malgré tout, le modèle de Black and Scholes demeure la référence auprès des professionnels et universitaires du fait de son caractère (relativement) simple et pratique. Notamment pour extraire la volatilité implicite des marchés.

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Hypothèses du modèle

• Origine :• Avec la méthode binomiale d’évaluation des options, il y a

seulement deux prix possibles pour la période suivante.• Si on veut approximer l’évolution des prix en temps réel, on a

besoin d’un processus continu.• Pour définir un processus continu, on a besoin d’une

distribution des prix possibles• Donc, si on connaît la distribution des prix, alors on connaît:

– Prob [St > X]– Prob [max (St – X, 0)]– E [max {St – X, 0}]

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• L’hypothèse de log-normalité :• On suppose que les prix des actions suivent des marches aléatoires.

– Sur un court intervalle de temps dt, le changement du prix de l’action est dS. Le rendement sur dt est dS/S.

• On fait l’hypothèse que ce rendement est normalement distribué avec une moyenne mdt et un écart-type de s√dt

• Cette hypothèse implique que ln(ST) est distribué Normalement avec une moyenne

et un écart type

• Comme le logarithme de ST est normal, ST est donc log-normal.

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TS )2/(ln 20 sm

Ts


• L’hypothèse de log-normalité en formule

• Niveau des prix: (ST)

• Log des prix: ln(ST)

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2i0 0,N ~ où sm iT

T eSS

)1()(Var

)(E222

0

0

TT

T

TT

eeSS

eSSsm

m

TS

TSS

T

T

2

2

0

lnVar

2lnlnE

s

sm


• L’hypothèse de log-normalité en formule

• N[m,s] est une distribution normale avec une moyenne m et un écart-type s.

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TTN

SS

TTSNS

eeSeSLNS

T

T

TTTT

ssm

ssm

smm

,)2(~ln

,)2(ln~ln

)1(,~

2

0

20

2200

2


• Estimation de la volatilité• La volatilité est l’incertitude associée au titre sous-jacent.

C’est donc une fonction de σ2.• On estime la volatilité à partir des données historiques:– on calcule le rendement continu – On calcule ensuite l’écart-type de la série des ui.

– Attention : Si la fréquence des données n’est pas annuelle, il faut ajuster la volatilité estimée pour obtenir la volatilité annuelle utilisée dans la formule

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uSSii

i

ln1

Ts s


• Estimation de la volatilité• Utilisation:• Pour une volatilité annuelle de 0.4836 Quel est l’écart-

type en $ auquel on doit s’attendre pour un intervalle d’une semaine si le prix actuel de l’action est de 540$?

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$21.3652

4836.0540ˆ 00 TsSS s


• Hypothèses principales:– Le log naturel du changement de valeur de l’action est distribué

normalement.– Le modèle n’est valide que pour les options européennes.– Le modèle de base ne considère pas les versements de dividende– Il n’y a pas de coût de transaction, ni d’impôt.– Tous les actifs sont parfaitement divisibles.– Les emprunts et les prêts se font au même taux.– Le taux d’intérêt à court terme r est constant– Les transactions se font en temps continu.– La volatilité à court terme est constante.– Il y a absence d’opportunité d’arbitrage

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Limites du modèle

• Le modèle fait l’hypothèse que le taux d’intérêt est constant.

• Le modèle fait l’hypothèse que la volatilité est constante.

• La formule n’est valide que pour les options européennes– En pratique, les options sont plus souvent américaines

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La Formule

• C : Call• P : Put• K : Prix d’exercice• T : échéance de

l’option• S : Action sous-jacente• s2 : Variance annuelle

du sous-jacent• r : Taux sans risque• N(x) = Probabilité

normale

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TdT

TrKS

d

T

TrKS

d

dNSdNKP

dNKdNSC

rTE

rTE

ss

s

s

s

1

2

2)/ln(

2

2

2)/ln(

1

)( )( e

)(e )(

12

21

La Formule

• La fonction N(x)• N(x) est la fonction de distribution cumulative de la loi

normale de moyenne 0 et de variance 1.• Donc, N(x) est la probabilité qu’une variable normalement

distribuée avec une moyenne de 0 et une variance de 1 soit inférieure à x.

• Comme la loi normal est symétriqueN(-x) = 1 – N(x)

• Exemple :N(1.02) = 0.8461 N(-1.02) = 1 - 0.8461 = 0.1539N(1.31) = 0.9049 N(-1.31) = 1 – 0.9049 = 0.0951

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La Formule

• Propriétés de la formule de Black & Scholes• Quand S devient très grand, – C tend vers (S - K e-rT ) et – P tend vers zéro

• Quand S devient très petit , – C tend vers zéro et – P tend vers (K e-rT - S )

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La Formule

• Exemple :– Le prix de l’action S est 100$– Le prix d’exercice K est 95$– La volatilité annuelle σ est de 20%– Le taux continu sans risque est 10%– L’échéance de l’option T est 3 mois

• Quel est le prix d’une option d’achat européenne?• Quel est le prix d’une option de vente européenne?

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La Formule

• Exemple :

• N(d1) = N(0.81) = 0.7910 N(d2) = N(0.71) = 0.7611

• N(-d1) = N(-0.81) = 0.2090 N(-d2) = N(-0.71) = 0.2389

• C = 100 x 0.7910 – 95 e-.10x.25 x 0.7611 = 8.581

• P = 95 e-.10x.25 x 0.2389 - 100 x 0.2090 = 1.235

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7129.025.020.08129.02

8129.025.020.0

25.02

220.010.0)95/100ln(

1

d

d

La Formule

• Exemple :• Vérifiez que la parité put-call tient lorsque le prix de l’option

de vente et de l’option d’achat est calculé à l’aide de la formule de Black-Scholes.

P + S0 = C + K e–rT

1.235 + 100 = 8.581 + 95 e-.10x.25

101.235 = 101.235

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Évaluation risque-neutre

• Remarque :

• La variable μ n’apparaît pas dans la formule de Black-Scholes.

• La formule est donc indépendante de toute variable affectée par les préférences face au risque.

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La volatilité implicite

• OPTION CALL ou PUT = f(S, K, r, T, σ)

• Le seul facteur qui n’est pas directement observable est la volatilité σ du sous-jacent. Il faut donc la calculer.

• Sinon : • La volatilité implicite est la volatilité qui fait que la valeur théorique

du prix de l’option est équivalente à la valeur sur le marché.σimplicite CBS = Cmarché

• En pratique, elle est déduite par tâtonnement, en procédant de façon itérative, ou avec les fonctions d’Excel

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La volatilité implicite

• Exemple :– Le prix de l’action est 15$– Le prix d’exercice de l’option est 13$– Le taux continu sans risque est 5%– L’échéance de l’option est 3 mois– Le prix d’une option d’achat européenne est 2.5$

• Quelle est la volatilité implicite de cette option?

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Options Américaines

• Rappel: il n’est jamais préférable d’exercer une option call américaine lorsqu’il n’y a pas de dividende

• Alors, le prix d’une telle option call américaine (sans div.) est le même que celui d’une option call européenne.

• Ce n’est pas le cas lorsque le titre sous-jacent verse des dividendes. On peut cependant ajuster la formule de Black-Scholes pour faire une approximation.

• Dans le cas d’une option put américaine, il n’est pas possible d’utiliser la formule de Black-Scholes, peu importe qu’il y ait des dividendes ou non

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Effet des Dividendes

• Dans le cas d’une option Call européenne, on peut calculer son prix en substituant la valeur du prix de l’action par le prix de l’action diminué de la valeur présente des dividendes.

• On peut procéder uniquement avec des montants absolus

• On remplace donc S0 par (S0 – VA (Div)) dans la formule de Black-Scholes.

• Dans le cas d’une option call américaine, il se peut qu’il soit préférable d’exercer l’option, et si c’est le cas, ce sera juste avant la date ex-dividende.

• Si l’action verse un dividende en continu au taux q, on utilisera la formule de Black-Scholes dans la partie d’acétates Option sur Indices boursiers et devises

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• Exemple:• S = 40, K = 40, σ = 0.30, r = 9%, T = 9 mois

D1 = 1$ dans 3 mois, D2 = 1$ dans 6 mois• Calculer le prix du Call européen :

• Va(DIV) = 1 e-.09x.25 + 1 e-.09x.5 = 1.9338• Calcul de S0 = 40 – 1.9338 = 38.0662• d1 = 0.1990• d2 = -0.0608• N(0.20) = 0.5793• N(-0.06) = 0.4761 • C = 4.25

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D1 = 1$ dans 6 mois, • Calculer le prix du Call Américain :

CE = Max{c6,c9} = 4.83

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• à 9 mois :• d1 = 0.2962• d2 = 0.036• N(0.30) = 0.6179• N(0.04) = 0.5160• C9 = 4.83

• à 6 mois :• d1 = 0.3182• d2 = 0.1061• N(0.32) = 0.6255• N(0.11) = 0.5438• C6 = 4.23



D1 = 1 dans 3 mois, D2 = 1 dans 6 mois, • Calculer le prix du Call Américain :

CE = Max{CE3,CE

6,CE9} = 4.25

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• à 9 mois :• C9 = 4.25• d1 = 0.1990• d2 = -0.0608• N(0.20) = 0.5793• N(-0.06) = 0.4761

• à 6 mois :• C6 = 3.67• d1 = 0.2000• d2 = -0.01• N(0.20) = 0.5793• N(-0.01) = 0.4960

• à 3 mois :• C3 = 2.84• d1 = 0.225• d2 = 0.075• N(0.23) = 0.5910• N(0.08) = 0.5319

Black & Scholes appliqué aux Options sur indice boursier et sur devises

• Titre sous-jacent procurant un rendement continu• Effet sur les bornes inférieures des options• Effet sur la parité put-call• Effet sur la méthode binomiale• Effet sur la formule de Black-Scholes• Options sur indice boursier• Options sur devises

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Titre sous-jacent procurant un rendement continu

• On peut obtenir la même distribution de probabilités pour le prix de l’action au temps T pour chacun des deux cas suivants:– Le prix initial est S0 et procure un taux continu de dividendes

égal à q.– Le prix initial est S0 e–qT et ne procure aucun revenu.

• On peut donc évaluer une option européenne en réduisant le prix initial à S0 e–qT et en supposant qu’il n’y a pas de dividende

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Effet sur les bornes inférieures

• Borne inférieure pour une option d’achat

• Borne inférieure pour une option de vente

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rTqT KeeSc 0

qTrT eSKep 0

Effet sur la parité put-call

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qTrT eSpKec 0

Effet sur la méthode binomiale

• Dans un monde neutre au risque, le prix de l’action croît au taux r-q au lieu du taux r lorsqu’il y a un taux de dividende q.

• La probabilité p, pour un mouvement à la hausse, doit donc satisfaire : pS0u + (1 – p) S0d = S0 e (r-q)T

• de sorte que

• Le prix de l’option se calcule toujours de la même façon:c = e–rT [ p x cu + (1-p) x cd ]

• L’évolution du prix de l’action n’est pas affectée. Seule la probabilité p est modifiée

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dudep

Tqr

)(


• Exemple :– Le prix initial de l’action est de 30$– Le prix d’exercice est de 28$– Le taux continu de dividendes est 3%– Le taux sans risque est 5%– u = 1.2 et d = .8– L’échéance de l’option est de 6 mois

• Quel est le prix d’une option de vente européenne?

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• Exemple :

• c = e-.05x0.5 [0.5251 x 0 + (1-0.5251) x 4]

• c = 1.85

40

36

0

30

p24

4

5251.08.02.1

8.0ep.5-.03)(.05

Effet sur la formule de Black-Scholes

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TTqrKS

d

TTqrKS

d

dNeSdNXep

dNXedNeSc

qTrT

rTqT

ss

ss

))2/2(()/ln(

))2/2(()/ln(où

)()(

)()(

02

01

102

210

Options sur indice boursier

• Ce sont des options dont le titre sous-jacent est un indice boursier qui paye un dividende

• les plus populaires sont:– S&P 100 index (OEX)– S&P 500 index (SPX)– Nasdaq 100 index (NDX)– Russell 200 index (RUT)– Dow Jones index times 0.01 (DJX)– S&P TSE 60 index

• Chaque contrat porte sur 100 × l’indice, sauf DJX• Toutes les options sont européennes, sauf sur le S&P100.• Les contrats sont réglés en cash

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• LEAPS :– Long Term Equity Anticipation Securities

• Ceux sont des options sur indice boursier qui peuvent avoir une échéance jusqu’à 3 ans :– Elles permettent des stratégies long terme sans reconduire plusieurs

fois des produits court-termes

• Elles expirent en décembre.• Elles valent 10 x l’indice• Elles existent aussi sur des titres standards• Elles se comportent financièrement comme des actions!

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• Exemple– Le niveau actuel de l’indice boursier est de 750– Le prix d’exercice de l’option est de 725– Le taux continu sans risque est 8%– Le taux de dividendes de l’indice est de 4%– La volatilité est de 25% annuellement– L’échéance de l’option est de 5 mois

• Quel est le prix d’une option d’achat européenne sur cet indice boursier et quel est le coût d’un contrat?

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• Exemple• Quel est le prix d’une option d’achat européenne sur cet

indice boursier et quel est le coût d’un contrat?– d1 = 0.394– d2 = 0.233– N(0.39) = 0.6517– N(0.23) = 0.5910– c = 66.27– Coût : 100 x 66.27 = 6627$

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Options sur devises

• Les transactions des options sur devises ont débutées à la bourse de Philadelphia (PHLX) en 1982.

• Elles sont utilisées par les entreprises pour couvrir leur risque de change.

• La taille d’un contrat dépend de la devise.• Il existe un marché au comptoir très actif

• Une devise étrangère est un actif payant un taux continu de dividendes égal à rf

• On peut donc utiliser la même formule que pour une option payant un taux continu de dividendes en remplaçant q par rf

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Options sur devises

• Exemple :– Le taux de change actuel est de 1.50 $US/£– Le prix d’exercice de l’option est 1.52 $US/£– L’échéance de l’option est de 9 mois– Le taux continu sans risque aux États-Unis est de 8%– Le taux continu sans risque en Grande-Bretagne est de 11%– La volatilité est de 20% annuellement.

• Quel est le prix d’une option d’achat européenne sur la livre sterling?

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Options sur devises

• Exemple :• Quel est le prix d’une option d’achat européenne sur la

livre sterling?– d1 = -0.1198– d2 = -0.293– N(-0.12) = 0.4522– N(-0.29) = 0.3859– c = 0.072

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Approche alternative

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TddT

TXFd

dNFdXNep

dXNdNFecrT

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12

20

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102

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09– black & scholes

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