06-07 - tipe - la clothoide

MALDONADO Thierry([email protected])

DEMUR Mathieu([email protected])

La Clothoïde

Lycée LakanalAnnées 2006-2007

TIPE – La Clothoïde 1/44

SommaireIntroduction 3

I-Approche physique du problème 4-8

1) Les limites du virage circulaire 4-5

2) La notion de courbure 6-7

3) Construction de la clothoïde 8

II-Etude de la clothoïde 9-16

1) Paramétrisation de la clothoïde 9-12

2) Certaines propriétés 13-16

III-Exemples de raccordements 17-40

A) Raccordement d’un alignement droit et d’un cercle 17-25

1) Résolution mathématique 17-19

2) Programme Maple 20-21

3) Exemple de raccordement d’un cercle avec une droite 22-25

B) Raccordement de deux alignements droits 26-33

1) Résolution mathématique 26-29

2) Programme Maple 30-33

3) Exemples de raccordement de deux droites 34-40

Annexe : entretien avec un ingénieur 41-42

Bibliographie 43

Conclusion 44


Introduction

Dans la vie de tous les jours, il est fascinant de constater que nous circulons sur des courbes mathématiques. Quand l'opportunité se présenta de découvrir enfin pourquoi lorsque l'on parcourt un virage d'autoroute, on ne ressent presque pas d'accélération latérale, contrairement aux routes, ceci nous interpella. De plus, notre intérêt concernant le génie civil et la géométrie nous a convaincu que ce sujet était le nôtre.

Le long de ce dossier, nous étudierons cette passionante courbe mathématique qu'est la clothoïde et nous verrons tout d'abord pourquoi elle est utilisée dans le tracé des autoroutes puis comment effectuer des raccordements avec celle-ci.

Mais tout d'abord remontons le temps et découvrons l'histoire de cette courbe. La clothoïde fut découverte par le mathématicien Jacques Bernouilli dans le cadre de ses travaux en optique en 1705. Il venait de découvrir un ensemble de courbes planes dont la courbure est une fonction linéaire de sa longueur. De plus, ces figures géométriques possèdent la propriété remarquable d'être homothétiques à une clothoïde de référence. Le physicien Alfred Cornu s'y intéressa près d'un siècle plus tard, à l'occasion de travaux sur les phénomènes de diffraction. On attribua d'ailleurs à la clothoïde le nom de spirale de Cornu. Bien plus tard dans les années 70, elle fut utilisée par les ingénieurs civils pour le tracé des autoroutes puis des chemins de fer, et récemment dans les parcs d'attraction. En effet, cette courbe mathématique constitue une transition confortable entre les lignes droites et la portion circulaire d'un virage. A grande vitesse, le passage trop brusque d'une portion de droite à une portion courbe peut être dangereux, et c'est là où la clothoïde intervient. Par exemple, lorsqu'il est question de raccorder un alignement droit à une portion de cercle il est d'usage d'employer une section précisément délimitée d'une spirale de Cornu qui varie selon les cas. Cependant, il existe des limites à ce type de jonction de routes car il y a des situations pour lesquelles il n'existe pas de raccordement clothoïdé.

Dans une premier temps, nous nous intéresserons aux raisons de l'utilisation de la clothoïde dans le tracé des routes. Puis nous démontrerons certaines propriétés de celle ci qui seront nécessaires à notre résolution de deux différents problêmes de raccordements.En effet, nous verrons comment raccorder une route droite à un cercle par une clothoïde puis comment relier deux routes droites grâce celle ci.


I-Approche physique du problème1) Le virage circulaire

Question : Quels sont les inconvénients d’un virage circulaire ?

Pour cela étudions les forces exercées sur une voiture que l’on assimilera au point matériel M de masse m par rapport au référentiel absolu terrestre RA=O,i ,j . On choisira comme référentiel

relatif RM=M ,i ,j .

Voici les hypothèses : La voiture roule à une vitesse V constante et parcourt la droite D : y=R jusqu’au point M tA à partir duquel la voiture parcourt le cercle de centre O et de rayon R dans le sens horaire.

Grâce au théorème de la résultante cinétique, on peut écrire : ∑f extM=maabsolue

De plus à chaque instant : aabsolue=aeacarelative


{aabsolue est l'accélération de M dans R0

a relative est l'accélération de M dans RA

ac=2⋅̊k∧v r est l'accélération de Coriolis de M et vr est la vitesse relative de M ae est l'accélération d'entrainement de M

Or ici, M est fixe dans RM car c’est l’origine de ce repère on en déduit donc que a relative est nulle et que ac aussi. On peut donc écrire que :

∑f ext M=mae

de plus par définition que Fie=−mae d’où :

∑f ext MFie=0

Si ttA M est sur l’alignement droit donc V=Vi donc ae=d Vdt=0 . Ainsi quand M est sur la

droite D, Fie=0 .

Conclusion 1 : Si la voiture est sur l’alignement droit alors elle ne subit pas de force d’inertie Fie=0 .

Si t At M est sur le cercle donc on introduit les coordonnées polaires r , et la base locale u r ,u .

Ainsi OM=Ru r donc V=dOMdt

=R⋅̊u avec ̊=ddt .

Par conséquent, ae=d Vdt=−R⋅̊2ur=

−V2

Ru r car ̈=0 et V=R⋅̇ donc Fie=m V2

Ru r .

Conclusion 2 : Si la voiture est sur le cercle alors elle subit une force d’inertie Fie=m V2

Rur .

Bilan : Il y a donc une discontinuité de la valeur de la force d’inertie d’entrainement (que l’on appelle la force centrifuge) au point M tA d’intersection de la droite et du cercle. Cela se traduit par de fortes contraintes sur la voiture et notamment concernant l’adhérence de la voiture sur la route. De plus, ce passage brutal d’une force centrifuge nulle à une force centrifuge particulièrement élevée à grande vitesse est désagréable et dangereux pour les passagers de l’automobile qui subissent instantanément cette force. Cette discontinuité traduit en fait la discontinuité de la courbure de la trajectoire au point M tA .


2) La notion de courbure

Pour approcher le tracé d’une courbe au voisinage d’un point, on a souvent recours à sa tangente. Si cette approximation rend bien compte de la direction suivie au moment du passage au point de contact elle ne permet pas en revanche d’estimer la courbure de la trajectoire autour de M.

En effet si l’on trace la normale à cette courbe en M, et que l’on prend un point O sur la normale, alors le cercle de centre O passant par M est tangent à la courbe. Mais tous les cercles tangents à la courbe ne sont pas tangents de la même façon... En effet, si O est proche de M, le cercle va se situer plutôt à l' "intérieur de la courbe". Si O est loin de M, le cercle sera plutôt "à l'extérieur de la courbe". Le rayon limite entre être "à l'intérieur de la courbe" et être "à l'extérieur de la courbe" s'appelle le rayon de courbure de la courbe au point A. Le cercle correspondant se nomme le cercle osculateur.


Donnons maintenant une définition mathématique précise. On suppose donc que l'on a une courbe paramétrée de classe C2. On note s l'abscisse curviligne* sur la courbe, M s le point d'abscisse s, T s le vecteur tangent au point d'abscisse s et N s le vecteur normal. Alors la courbure de la

courbe en un point est le réel c tel que d Tds=c N .

Le rayon de courbure est lui défini par

De plus si l’ont note l’angle que fait la tangente à la courbe et l’axe des abscisses on admettra que

c=dds

* l’abscisse curviligne s est une sorte de variante algébrique de la longueur d'un arc. On se donne une origine à partir de laquelle on calcule les longueurs, en les munissant d'un signe pour se situer de façon bien déterminée sur la courbe : à telle distance avant ou après le point initial.


R s=1c

En vert, le cercle « le mieux tangent » à la courbe, ou cercle osculateur.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Longueur_d'un_arc









3) Construction de la clothoïde

On cherche à déterminer une équation caractéristique de la courbe décrite par une voiture vérifiant les hypothèses suivantes :

(1) La voiture roule à une vitesse V constante

(2) Le conducteur tourne le volant à une vitesse angulaire constante

(3) La variation de l’angle de la tangente avec l’axe des abscisses (Ox) est une fonction linéaire de l’angle de braquage du volant α et l’angle est nul au point de départ de la voiture situé sur l’axe (Ox)

Par (2) les roues tournent aussi à une vitesse angulaire =dαdt constante.

Par (3) '=ddt=k⋅α donc ' '=d2

dt2 =k dαdt=k⋅ est constante.

Notons s la longueur de la trajectoire parcourue, autrement dit s est l’abscisse curviligne de la courbe en prenant pour origine le point de départ de la voiture.

Ainsi ∀ t0 s=f t où f est une fonction bijective.

Par conséquent f '=dsdt=V est constante non nulle donc f−1 est dérivable sur R.

Or f−1 '= 1f ' °f−1 avec f ’ constante donc f−1 ' est constante et f−1 ' '=0 .

Alors dt ds

=df−1sds

=f −1 '× '° f−1s donc

d2ds2 =[f

−1 ']2× ' ' °f−1 '° f−1×f−1 ' ' on en déduit que ' '=[f−1 ']2× ' '° f−1 .

Or f−1 ' et ' ' sont constantes donc d2ds2 est constante. Notons A=d2

ds2 alors en intégrant

dds=A⋅s car pour s=0 l’angle a été supposé nul par (3).

Ainsi la courbure c est telle que c=dds=A⋅s .

Bilan : La courbe d’une voiture roulant à vitesse constante et dont le conducteur tourne le volant à vitesse constante a une courbure c proportionnelle à la longueur de l’arc parcouru :

c=dds=A⋅s


II-Etude de la clothoïde1) Paramétrisation de la clothoïde

But: Trouver les courbes Γ de P de classe C² régulières (orientées dans le sens des t croissants) de courbure proportionnelle à l'abscisse curviligne d'origine M 0 de coordonnées

x0 , y0 à tangente horizontale en M 0 .

Notations et rappels :

*P plan affine euclidien de repère orthonormal R( O , i , j ) de direction E=Vect( i , j )

* F : I E régulière et x , y ∈C2 I ,ℝ2

t x t i y t j

*Γ = { M∈P decoordonnées x t , y t dansℝcàd OM=F t, t∈I }

*f: Iℝ

t∫t0

t

x ' 2 u y ' 2udu

est l'abscisse curviligne sur l'origine M t 0 quand Γ est orienté dans le sens des t croissants

*f est strictement croissante de dérivée strictement positive

* φ s est l'angle entre le vecteur tangent unitaire en M t à Γ et i .

* cos φ s = x ' t x ' 2 t y ' 2t

et sin φ s= y ' t x ' 2t y ' 2t

*La courbure en M(t) est le réel c s= dφds s

* ∀M t birégulier, R s = 1c s est le rayon de courbure en M t à Γ .

* Le centre de courbure Ω s est tel que M t Ω=R s n s avec n vecteur normal à la

trajectoire tel que n=−y ' t ix ' t jx '2t y '2t


Procédons tout d'abord à une Analyse :

Supposons l'existnce de Γ de P de classe C² régulière (orientée dans le sens des t croissants) de courbure proportionnelle à l'abscisse curviligne d'origine M0 de coordonnées x0, y0 à tangente horizontale en M0 .

∃A∈ℝ* , ∀ s∈J=f I, c s=A⋅s

or dφs

ds=c s donc

dφs ds

=A⋅s soit dφ s=A⋅s⋅ds donc ∫s0

s1

dφ s=∫s0

s1

A⋅s⋅ds

soit φ s1−φ s0=[A⋅s2

2]s1

s0

pour φ s0=0 et s0=0 on a ∀ s∈J ,φ s=A⋅s2

2

or cos φ s=

dx t dt

dx t dt

2

dy t

dt 2

soit dx t dt

=cos A⋅s2

2⋅dx t

dt

2

dy t

dt

2 or ds

dt=dx t

dt

2

dy t

dt

2

donc dx t

dt=cos A⋅s2

2⋅ds

dt donc dx t =cos A⋅s2

2⋅ds

donc ∫t0

t1

dx t =∫t 0

t 1

cos A⋅s2

2⋅ds avec s=f t donc [x t ] t1

t 0

=∫t0

t1

cos A⋅s2

2⋅ds

Conclusion: ∀t∈I,xt =∫t 0

t1

cos A⋅s2

2⋅dsx0 et ∀t∈I,y t =∫

t0

t1

sinA⋅s2

2⋅dsy0

or dsdt=dx t

dt

2

dy t

dt

2

donc ds=dt pour s=f t=0=0 on a :

Conclusion: ∀ t∈I , x t=∫0

t

cos A⋅u2

2⋅dux0

y t =∫0

t

sin A⋅u2

2⋅duy0


Désormais procédons à la Synthèse de notre Analyse:

Soit A∈ℝ* et Γ: x t =∫0

t

cos A2⋅u2du x0 , t∈ℝ

y t=∫0

t

sin A2⋅u2du y0

Alors ∀ t∈I , dx t

dt=cos A⋅t 2

2

dy t dt =sin A⋅t 2

2

et dx t=0

dt=1

dy t=0dt

=0

donc en M 0x0 , y0 la tangente est horizontale.

Montrons que c s = dφ s ds

=A⋅s

cos φ s =

dx t dt

dx t dt

2

dy t

dt

2=

cos A⋅t 2

2

cos2A⋅t 2

2sin2

A⋅t 2

2

=cos A⋅t2

2

de même sin φ s=sin A⋅t 2

2

donc φ s ≡ A⋅t 2

2[2π ] donc

dφ sds

=A⋅s=c s

Bilan : Les seules courbes Γ de P de classe C² régulières (orientées dans le sens des t croissants) de courbure proportionnelle à l'abscisse curviligne d'origine M 0 de coordonnées x0 , y0 à tangente horizontale en M 0 sont les courbes Γ de P paramétrées par :

Γ : x t =∫0

t

cos A⋅u2

2⋅du x0

y t =∫0

t

sin A⋅u2

2⋅du y0

avec A∈R*

On a ainsi défini la clothoïde Γ de paramètre A et de centre le point S x0 , y0 .


2) Certaines propriétés

Soit x0 , y0∈ℝ2,A∈ℝ* et Γ est la clothoïde de paramètre A et de centre Sx0 , y0 paramétrée

par:

x t =∫0

t

cos A2⋅u2dux0, t∈ℝ

y t =∫0

t

sin A2⋅u2duy0

Montrons que S est un centre de symétrie de Γ.

∀ t∈ℝ, on a:

x −t =∫0

-t

cos A⋅u2

2⋅dux0=∫

0

t

cos A⋅−v 2

2⋅−dv x0=−∫

0

t

cos A⋅v2

2⋅dv−x02 x0

soit x −t =−x t 2 x0 de même : y −t =−y t 2 y0

Propriété 1 Sx0 , y0 est centre de symétrie de Γ

Montrons que Γ a deux points limites L- en −∞ et L+ en ∞.

On admet que limt∞∫0

t

cos z2dz= limt∞∫

0

t

sinz2dz=π8

(intégrales de FRESNEL)

Procédons à un changement de variable :

on pose z2=∣A∣2 u2 on a z=∣A∣2 ⋅u et dz=∣A∣2 ⋅du

donc limt∞∫0

t

cos ∣A∣2

u2∣A∣2du= π

8

donc limt∞∫0

t

cos ∣A∣2

u2du= π4∣A∣

de même limt∞∫0

t

sin ∣A∣2

u2du= π4∣A∣

or x t =∫0

t

cos sgn A∣A∣2

u2du=∫0

t

cos ∣A∣2

u2du

et y t =∫0

t

sin sgn A∣A∣2

u2du=sgn A∫0

t

sin∣A∣2

u2du


Propriété 2 limt∞

x t , y t = 12 π∣A∣x0, sgn A 1

2 π∣A∣y0 et par symétrie par rapport

à Sx0 , y0 limt−∞

x t , y t =−12 π∣A∣x0,−sgn A 1

2 π∣A∣y0

Montrons que, si A≠2, Γ est homothétique à la clothoïde de centre O et de paramètre 2.

Soit Γ0 la clothoïde de paramètre 2 et de centre O0,0 .Soit ΓS, A la clothoïde de paramètre A≠0 de centre Sx0 , y0 .

Γ0 : xΓ0 t =∫

0

t

cos v2dv

yΓ0t =∫

0

t

sin v2dv

, t∈ℝ et ΓS, A : x Γ S , At =∫

0

t

cos A2

u2du x0

y Γ S , At =∫

0

t

sin A2

u2du y0

, t∈ℝ

∫0

t

cosA2 u2du

=∫0

t

cossgn A⋅∣A∣2u

2du

=∫0

t

cossgn A⋅∣A∣2 u 2⋅2

∣A∣d∣A∣2 u

=2∣A∣⋅∫

0

t

cossgn A ⋅∣A∣2u

2⋅d∣A∣2u

=2∣A∣⋅∫

0

∣A∣2 t

cos sgn A⋅v2⋅dv

=2∣A∣⋅xΓ0

sgn A ⋅∣A∣2⋅t

avec v=∣A∣2u on a

De même on trouve ∫0

t

sinA2 u2du =2A⋅yΓ0

sgn A⋅A2⋅t

Finalement : xΓS ,A

t =k⋅xΓ0α tt0x0

yΓS ,At =k⋅yΓ0

α tt0y0

avec α=sgn A ⋅∣A∣2, k=2

∣A∣et t 0=0 convient !

Propriété 3 Si A≠2 , Γ est homothétique à la clothoïde de centre O et de paramètre 2.


Montrons que ∀ t∈ℝ*, t=2⋅φ t⋅R t et A= 12⋅φt ⋅R 2t

.

t=2×A⋅t 2

2× 1

A⋅t=2⋅φt ⋅R t

et 1

2⋅φ t ⋅R 2t = 1

2⋅φ t⋅R t × 1

R t =1

t×A t =A

Propriété 4 A= 12⋅φ t ⋅R2 t

et ∀ t∈ℝ* , t=2⋅φ t ⋅R t


Traçons Γ avec Maple pour A=2 et S=O.


III-Exemples de raccordements A) Raccordement d’un alignement droit et d’un cercle

1) Résolution mathématique

Question : Comment raccorder une droite et un cercle de centre et de rayon définis avec une clothoïde ?

Afin de faciliter le problème posé, il conviendrait de définir la droite à raccorder comme étant l’axe des abscisses (Ox).Il faut tout d’abord paramétriser le problème :

Notons :

• C M 0 , R le cercle de centre M 0x0 , y0 et de rayon R.

• K x K , y K le point de raccordement de la clothoïde avec le cercle C .

• est l’angle que fait la tangente à la courbe avec l’axe des abscisses.

• est la valeur de en K .

• q , 0 sont les coordonnées dans le repère (O, x, y) du point de départ de la clothoïde

Γ sur (Ox).


• A= 12⋅⋅R2

• Γ :{x t =∫0t1

cos A2⋅u2duq

y t =∫0

t1

sin A2⋅u2du

But : Nous devons donc trouver un t 1=2⋅⋅R , un q et un paramètre A= 12⋅⋅R2 tels que l’on ait :

S :{xK=∫0

t 1

cos A2⋅u2duq

y K=∫0

t1

sin A2⋅u2du

Tout d’abord on peut exprimer les coordonnées de K en fonction des coordonnées de M 0 et de .En effet grâce aux formules trigonométriques appliquées au triangle rectangle M0 KN où N est le projeté de K sur la droite perpendiculaire à (Ox) passant par M 0 on trouve que :

{x K= x0R⋅sin yK= y0−R⋅cos

Ainsi nos équations deviennent :

S :{x0R⋅sin = ∫0

t 1=2⋅⋅R

cos 14⋅⋅R2

u2 duq

y0−R⋅cos= ∫0

t1=2⋅⋅R

sin 14⋅⋅R2 u2du

Car A= 12⋅⋅R2 et t 1=2⋅⋅R .

Nous n’avons donc plus qu’une inconnue . Désormais nous pourrions donc nous questionner sur l’existence d’un tel angle .

Notons f α=R⋅cos α − y0 ∫0

2⋅α⋅R

sin 14⋅α⋅R2 u2du


Le problème se résume donc à l’existence d’un angle α∈]0,π[ tel que f α=0

Pour simplifier l’équation procédons à un changement de variable. Pour cela posons :

v= u2⋅α⋅R donc u=v⋅2⋅α⋅R ainsi

u2

4⋅α⋅R2=α⋅v2

de plus du=2⋅α⋅R⋅dv et quand { u=0 on a v=0u=2⋅α⋅R on a v=1

• De plus f est dérivable sur [0, π] par produit et combinaison linéaire de fonctions dérivables sur [0, π], en admettant que l’intégrale est dérivable et telle que :

d ∫0

1

sin α⋅v2dv

dα=∫

0

1∂sinα⋅v2

∂αdv=∫

0

1

v2⋅cos α⋅v2dv

On trouve alors que pour α∈[0 ,π ] :

df αdα

=−R⋅sin α 2⋅R∫0

1

sin α⋅v2dvR∫0

1

v⋅2⋅v⋅α⋅cos α⋅v2dv

Grâce à une intégration par partie en posant:

u=v w '=2⋅v⋅α⋅cos α⋅v2u '=1 w=sinα⋅v2

On obtient: ∫0

1

v⋅2⋅v⋅α⋅cos α⋅v2dv = [v⋅sin α⋅v2]10−∫

0

1

sin α⋅v 2dv

D'où: df α

dα=R⋅∫

0

1

sin α⋅v2dv

De plus, R>0 et ∫0

1

sin α⋅v2dv0 car 0<1 et pour v∈[0,1] et α∈[0,π ] on a : 0≤α⋅v2≤π

donc sinα⋅v2≥0 et l'intégrale d'une fonction positive et non identiquement nulle est strictement positive.

D'où: df α

dα=R⋅∫

0

1

sin α⋅v2dv0


Ainsi f α =R⋅cos α − y02⋅α⋅R∫01 sinα⋅v2dv

Donc f est strictement croissante sur [0,π ] . De plus:

• f 0=R− y0

• f π =−R2⋅π⋅R∫0

1

sin π⋅v2dv− y0 or ∫0

1

sin π⋅v2dv≈0,50485459400,51

donc f π 1,02⋅π−1 R− y0

Ainsi:

➢ f 00 ↔ f 0=R− y00 ↔ R y0

➢ f π 0 ↔ f π =−R2⋅π⋅R∫0

1

sin π⋅v2dv− y00 → 1,02⋅π−1R y0

On peut alors appliquer le théorème de Cauchy qui assure l'existence d'un α∈]0,π[ tel quef α=0 . De plus si un tel α existe, alors il est unique car f est strictement croissante sur [0, π ] .

Conclusion si R y02⋅R alors il existe une clothoïde, unique, permettant de relier la droite (Ox) avec le cercle C M O , R .


2) Programme Maple

Pour créer un programme qui prenne en données les coordonnées du centre M O x0, y0 d’un cercle C et de son rayon R, il faut créer dans Maple une procédure qui prenne en paramètre ces trois valeurs. Ensuite, il faut être sûr qu’il y a une solution au problême en vérifiant si R y02⋅R . Puis on lui demande de résoudre le système d'équations S trouvé à la page 18 et on demande au programme de tracer les courbes. Voici le programme :


Voici quelques exemples de résultats :


3) Exemple de raccordement d’un cercle avec une droite

Pour avoir une application directe du logiciel créé sous Maple, il fallait vérifier sa validité sur un exemple concret. Prenons un raccordement existant puis vérifions qu’une clothoïde a servi pour faire le tracé et déterminons-la. Grâce au site Géoportail de l’IGN (Institut Géographique National) on peut avoir une photo aérienne des routes françaises. Intéressons nous au raccordement de l’autoroute A10 au niveau de la sortie Ablis (78660). En voici une image :

Désormais il faut effectuer les manipulations nécessaires pour que l’autoroute soit confondue avec notre axe des abscisses (Ox) et que le point O x0, 0 soit le point origine de la bifurcation. Pour cela on procède à une rotation du plan de travail. Grâce au logiciel Photofiltre on mesure précisément l’angle que fait la route avec l’horizontale et on peut alors effectuer une rotation de l’image :


Une fois la rotation de 90+71,99=161,99° dans le sens antihoraire effectuée, on symétrise par rapport à la verticale on obtient alors l’image suivante :


L’angle fait ici 71,99°

On sélectionne ensuite la partie de la photo qui nous intéresse.

Grâce à la fonction Mesure et Graphique de Photofiltre, on peut déterminer plus ou moins précisemment les caractéristiques du cercle qui a servi à faire le raccordement par les ingénieurs :

C’est maintenant à notre programme Maple d’intervenir, on rentre dans le programme les coordonnées du centre du cercle et son rayon. La réponse du logiciel est la suivante :


On a ici un cercle de diamètre 5,2 cm pour notre échelle.

En prenant pour origine le point de bifurcation (visible en zoomant) le centre du cercle a pour coordonnées (9,35 ; 3)

Grâce au logiciel Photoshop, on peut superposer les deux images et l’on constate, émerveillés, que cela coïncide !


B) Raccordement de deux alignements droits

1) Résolution mathématique

Question : Comment raccorder deux droites sécantes par deux morceaux de clothoïdes ?

Position du problème

Soit D la droite passant par I x I ,0 et faisant un angle de α∈] 0, π[ avec l'axe (Ox).

On cherche àraccorder (Ox) et D à partir du point O par une courbe Λ composée d'au moins un arc de clothoïde. Ainsi la courbe de raccordement permet de tracer un virage sur une autoroute.

Or, aux deux points de raccordement avec (Ox) et D, la courbure de Λ doit être nulle. Et d'après le paragraphe II.2/ la courbure d'une clothoïde s'annule seulement en son centre. Par conséquent Γ est composée d'au moins 2 arcs de clothoïde dont une de centre O afin que la courbure soit nulle et que la tangente en O soit (Ox).

Soit Δ la bissectrice des droites (Ox) et D telle que Δ coupe l'angle π-α.

Alors le problème est symétrique orthogonalement par rapport à Δ.

Par conséquent la courbe obtenue en symétrisant orthogonalemnt par rapport à Δ une clothoïde de centre O raccorde D. Le problème se ramène donc à la recherche d'une clothoïde Γ de centre O qui se raccorde avec son symétrique orthogonal par rapport à Δ.

Équation de Δ

Soit β=π−α2 alors Δ est dirigée par v=cos β⋅i−sinβ⋅j

Or I xI,0∈Δ

Donc ∀M x ,y∈P ,M∈Δ⇔Det IM ,v=0

⇔∣x−xI

ycos β −sin β∣=0

⇔−x−xIsinβ−y cos β =0

⇔ y=−tan β x−xI car β≠π2


Analyse

Supposons que Γ soit solution du problème.

Alors ∃A∈ℝ* tel que Γ:{x t =∫0

t

cos A2 ⋅u2du

y t =∫0

t

sinA2 ⋅u2du

t∈[0, tK]

Soit K le point de Γ∩Δ de paramètre tK de coordonnées x K , yK et γ=φ tK

Mais la tangente T en K à Γ doit être invariante par la symétrie orthogonale par rapport à Δ.

Par conséquent T⊥Δ donc γ=π2 −β.


D

Δ

Ox

α

K

O

IxI,0

x

y

Γ

ΓΔ

β

K∈Γ∩Δ donc yK=−tan βx K−xI c'est-à-dire ∫0

tK

sin A2

u2 du=−tanβ∫0

tK

cosA2

u2 du−xI

Or tK=2γR et A=1

2γR 2 car Γ est une clothoïde.

Donc

∫0

2γR

sin 14γR 2 u2du=−tan β ∫

0

2γR

cos 14γR 2 u2du−x I

Donc ∫0

1

2γR sin γ v2du=− tanβ∫0

1

2γR cos γ v2du−xI en effectuant le changement de variable

v= u2γR et dv= du

2γR .

Par conséquent 2γR ∫0

1

sin γ v2 du tanβ∫0

1

cos γ v2du=tan β xI

Or α∈] 0, π[ et β=π−α

2 donc β∈]0, π2

[ donc tan(β)>0.

Et γ= π2−β donc γ∈]0, π

2[ donc ∀ x∈[0,1], sin γx20 et cos γx20.

Par conséquent ∫0

1

sin γ v2dutan β ∫0

1

cos γ v2 du0

Donc


Δ

Ox

K tK

O

I xI ,0

x

y

Γβγ

R=tan β xI

2γ ∫0

1


1

cos γ v 2du

Synthèse

Soit A= 12γR 2 avec R=

tan β xI

2γ ∫0

1


1

cos γ v 2du.

Alors de même que pour l'analyse ∫0

2γR

sin 14γR 2 u2du=−tan β ∫

0

2γR

cos 14γR 2 u2du−x I

Soit Γ:{x t =∫0t

cos A2 ⋅u2du

y t =∫0

t

sinA2 ⋅u2du

t∈[0, t K]

Soit tK=2γR

Alors le point K de Γ de paramètre tK a pour coordonnées x K , yK telles que y=−tan βx−xI

Donc K∈Γ∩Δ

Et φ tK =A2⋅tK

2=2γR 2

4γR 2 =γ

Donc la tangente T en K à Γ est perpendiculaire à Δ donc invariante par la symétrie orthogonale par rapport à Δ..

Paramétrisation du symétrique ΓΔ de Γ par rapport à Δ

Soit Mx , y∈P et sΔM=M 'x ' , y ' où sΔ est la symétrie orthogonale par rapport à Δ.

Alors M' est caractérisé par : { MM'⋅v=0 c'est-à-dire x '−xcos β −y '−y sinβ=0

mil [M ,M ' ]∈Δ c'est-à-dire yy '2=−tan β xx '

2−xI

Donc { x ' cos β−y 'sin β =xcos β – ysin β y 'tan β x '=− tanβx−y2tan β xI

Donc {x '=tan β y 'x− tanβyy '=−tan β x ' – tan β x – y2tan βxI


Donc {x '=−tan2 β x '−tan2βx−tan β y2 tan2βxIx− tan β yy '=−tan2βy '− tanβx tan2βy−tan β x−y2 tanβxI

Donc { x '= 11tan2 β

1− tan2 β x – 2 tanβy2 tan2 β xI

y '= 11tan2 β

−2 tan β x tan2 β−1y2tan β xI

Donc { x '=cos 2β x – sin 2β y2sin2β xI

y '=−sin 2β x – cos2β ysin 2βxI

Par conséquent ΓΔ :{x t =cos 2β∫0

t

cos A2

u2du –sin 2β∫0

t

sin A2

u2du2sin2 β xI

y t =−sin 2β∫0

t

cosA2

u2du –cos 2β∫0

t

sin A2

u2dusin 2β xI

t∈[0, tK ]

C'est-à-dire ΓΔ :{x t =∫0t

cos A2

u22β du2sin2β xI

y t =∫0

t

sin −A2

u2−2βdu2sin β xI

t∈[0, tK]

Conclusion :

Le problème a une unique solution Λ=Γ∪ΓΔ avec

Γ:{x t =∫0t

cos A2 ⋅u2du

y t =∫0

t

sinA2 ⋅u2du

t∈[0, tK]

et

ΓΔ :{x t =∫0

t

cos A2

u22β du2sin2β xI

y t =∫0

t

sin −A2

u2−2βdu2sin βxI

t∈[0, tK]

où A= 12γR 2 et tK=2γR avec R=

tan β xI

2γ ∫0

1


1

cos γ v 2du


2) Programme Maple

> with(plots);with(plottools);Digits:=10;raccordement2:=proc(alpha,xI)local beta, gam, R, A, tK, clotho, clothod, a2, delta2, a3,delta3, aT, ptI, yK, xK, tgtenK, signedeyOmmoinsyK, ptOmmoins,ptOmplus, xOm, yOm, cercle, ptK;##parametresbeta:=(Pi-alpha)/2;gam:=Pi/2-beta;R:=(tan(beta)*xI)/((int(2*gam*sin(gam*v^2),v=0..1))+tan(beta)*(int(2*gam*cos(gam*v^2),v=0..1)));A:=1/(2*gam*R^2);tK:=2*gam*R;##clothoidesclotho:=plot([int(cos(A/2*u^2),u=0..t),int(sin(A/2*u^2),u=0..t),t=0..tK]);clothod:=plot([int(cos(A/2*u^2+2*beta),u=0..t)+2*(sin(beta))^2*xI,int(sin(-A/2*u^2-2*beta),u=0..t)+sin(2*beta)*xI,t=0..tK]);##droitesa2:=cot(alpha);delta2:=plot([a2*t+xI,t,t=min(0,abs(xI)*sin(alpha))..max(0,abs(xI)*sin(alpha))],color=blue);a3:=cot((alpha+Pi)/2);delta3:=plot([a3*t+xI,t,t=min(0,abs(xI)*sin(alpha))..max(0,abs(xI)*sin(alpha))],color=magenta);aT:=cot(alpha/2);ptI:=[xI,0];##le point KyK:=evalf(int(sin(A/2*u^2),u=0..tK),Digits);xK:=a3*yK+xI;tgtenK:=plot([aT*t+xK,t+yK,t=-yK..yK],color=green):##cerclesignedeyOmmoinsyK:=csgn(evalf(cos(A/2*tK^2)-yK));ptOmmoins:=solve({(xK-x)^2+(yK-)^2=R^2,x=a3*y+xI,y<yK},{x,y}):ptOmplus:=solve({(xK-x)^2+(yK-y)^2=R^2,x=a3*y+xI,y>yK},{x,y}):if signedeyOmmoinsyK=-1 then xOm:=subs(ptOmmoins,x):

yOm:=subs(ptOmmoins,y):else xOm:=subs(ptOmplus,x): yOm:=subs(ptOmplus,y): fi:


cercle:=circle([xOm,yOm],R,color=cyan);ptK:=[xK,yK];display(clotho,clothod,delta2,delta3,cercle,tgtenK);end;

raccordement2(2*Pi/3,1);raccordement2(5*Pi/2,1);


3) Exemples de raccordement de deux alignements droits

Afin d'évaluer l'adéquation de notre programme avec la pratique, nous avons essayé de l'appliquer à deux cas de raccordements d'alignements droits.

Grâce au moteur de carte de l'IGN nous cherchons une jonction de deux alignements droits.

La première carte que nous avons trouvé correspondait à peu près à ce problème. Mais elle n'était pas approchée par notre programme de façon satisfaisante.


Nous pouvons expliquer cela par une légère discontinuité de la courbure de l'alignement Nord du fait de la proximité d'un autre alignement droit (n'apparaissant pas sur l'image) ou par l'utilisation d'une portion circulaire que notre programme ne gère pas. Notre modèle symétrique n'est pas satisfaisant dans ce cas présent. De plus la mesure de l'alignement est peu précis en raison de la présence d'un terre-plein central dans le premier alignement qui est absent dans le second.


Nous fûmes peu satisfaits de cette expérience autoroutière, car les routes n'usent que peu du modèle symétrique ou dans des envergures qui pour de faibles angles ne permettent pas une mesure fiable. Nous nous sommes alors tournés vers les voies ferrovières. Elles paraissent plus douces et d'une géométrie qui permet bien de deviner les alignements droits.

Usant de la même méthode que précedemment nous trouvons une carte sur le portail de l'IGN.

Longitude : 05°23' Latitude : 47°51'liaison ferrovière entre la gare de Rolampont et la gare de Chalindrey.

L'alignement Est est dans une région valonnée et de même la Marne coule à proximité de l'alignement Ouest, ce qui laisse peu de maneuvre pour les alignements droits. Ils sont donc facilement fixés de façon à ce que le tracé ne coupe pas de ligne de niveau. La zone de l'angle de jonction est relativement large, ce qui offre la possibilité d'un choix de méthode de raccordement. Voyons si notre programme se conforme au tracé.


Prenons l'aspect réel (photographie aérienne) avec surimpression de la voie de chemin de fer.

A l'aide du logiciel Photofiltre, on mesure l'angle du premier alignement avec l'horizontale.Angle 298,56°


Puis on effectue la rotation qui nous met le premier alignement horizontal.

Nous mesurons l'angle de façon précise, mais le départ de la courbe de raccordement est relativement incertain et c'est pourquoi nous tâtonnons pour la mise à l'échelle (le problème est homothétique).


Finalement à l'aide de notre programme Maple, nous obtenons la courbe suivante que nous adaptons et calquons sur la photographie.


Le modèle colle presque parfaitement à la réalité dans la précision que nous nous imposons du fait de de la retranscription surimprimée de la voie par l'IGN et de la pixelisation des images.


Annexe: entretien avec un ingénieurEntretien avec M. Gilles Rouchon, chef de projet dans la conception des infrastrucures au service d'études techniques des routes et autoroutes (Sétra).

Le 3 mai 2007 vers 17hau 46 avenue Aristide Briand à 92225 Bagneux

(Nous arrivons au siège de Sétra et à l'accueil l'hotesse nous remet les badges au nom de M. Gilles Rouchon en nous indiquant le chemin à suivre.Après un échange de poignées de main et remerciements, nous commençons à deviser avec M. Gilles Rouchon.)

Qu'est-ce que le Sétra ?

Le Sétra est affilié au ministère de l'équipement, des transports, de l'aménagement du territoire, du tourisme et de la mer. Il regroupe différents services en trois divisions : ouvrage d'art, exploitation-sécurité et tracé-conception.Sept centres d'étude d'équipement sont répartis dans toute la France et s'occupent principalement de recherche appliquée.M. Gilles Rouchon s'occupe à Bagneux de la rédaction de documents de conception et de contrôle. Par exemple dans les documents doctrine il donne les directives au réseau national et des conseils pour les départements.

Comment élabore-t-on le projet d'une autoroute ?

Tout d'abord il y a une étude préliminaire qui dure de cinq à huit ans : - débat public avec les élus locaux - décision ministérielle - définition d'un fuseau de mille mètres sachant que l'aspect environnemental l'emporte à cette étape - puis une affination à une bande de 300 mètres. Nous sommes alors au niveau de l'APS (l'Avant Projet Sommaire) dans lequel se constitue le Dossier d'Utilité Publique pour les mairies. Il s'agit d'un dossier d'engagement de l'Etat (loi eau, environnement, ...)Ensuite l'Etat fait un appel d'offre pour la construction de l'autoroute.

Avez vous un ouvrage de référence pour le tracé des routes ?

Quand le Sétra débutait, les services n'étant pas habitués à concevoir les autoroutes, ils reçurent l'aide du pays où les routes s'étendent et traversent les plaines. Cette aide se matérialisant pricipalement par un livre faisant office de Bible dans l'univers des concepteurs d'autoroutes, c'était le Highway Capacity Manual. Merci oncle Sam !Depuis, la France et les autres pays européens ont puisé tout ce qui leur était nécessaire et l'ont adapté à notre géographie et nos attentes pour constituer leurs ouvrages de référence.

Comment trace-t-on les clothoïdes ?

Les tracés de clothoïde se font désormais à l'aide de l'informatique. Ainsi, deux ou trois logiciels tels que Autocad ou Piste prennent en entrée les différents alignements et cercles et trace en sortie la courbe arrangée par profils clothoïdes.


Avant l'informatique, l'étude pour l'applications des clothoïdes se faisait à l'aide de tables numériques et de jeux de clothoïde que l'on déployait sur les cartes.

Du fait de l'importance grandissante du maillage routier il arrive que lors de la construction de routes certains des impératifs ne puissent être appliqués.C'est alors qu'intervient M. Rouchon qui, après étude des cas, délivre ou non les dérogations nécessaires. On joue par exemple sur le paramètre vitesse pour satisfaire aux exigences de sécurité.

La principale différence d'exigences que l'on peut souhaiter entre la route et l'autoroute est le confort. Ainsi, outre la sécurité qu'il permet de fournir, le dévers joue le rôle de rendre la conduite agréable et fluide sur autoroute. Les clothoïdes ne sont pas toujours présentes sur route tandis qu'elle le sont et sur de plus grandes envergures sur autoroute et offrent un confort supplémentaire.

Les cartes IGN font partie du matériel de base pour la conception de routes. Il existe des cartes contraintes (animaux, habitations...) qui rendent compte du facteur environnement. Certaines mesures compensatoires sont de dernier recours comme les murs anti-bruit. Le tracé essaie de tenir compte de l'équilibre des terres et dans ce domaine le travail de projecteur consiste à déterminer les déblais et les remblais nécessaires.

Et dans le monde ?

Pour l'élaboration de la doctrine, le Sétra collabore avec plusieurs pays européens qui ont des contraintes relativement de même nature comme l'Allemagne. Mais le Sétra travaille aussi avec les Etats Unis et le Canada en dépit des différences notables des exigences que le territoire et l'Etat demande.De plus, les entreprises construisant les autoroutes sont sensiblement les mêmes en Europe du fait de la formation de consortium. (ex en Pologne mêmes autoroutes)

Quelles nouvelles batailles l'avenir offre-t-il au Sétra ?

Sétra aborde une tendance multimodale qui prendrait en compte le problème du transport de marchandises. En effet, un transfert est à faire entre les voies routières et les voies ferrovières et fluviales afin de désengorger le traffic autoroutier (développement du transport sur rail).Une des principales raisons de la préférence du transport de marchandises par route est le coût au kilomètre qui demeure plus modique que par les autres moyens. C'est que l'autoroute, à ses débuts, comme la route était gratuite, se devait de ne pas coûter trop cher parce qu' elle s'imposait aux usagers. Mais du fait des problèmes rencontrés par l'autoroute, la taxation des poids lourds va augmenter pour atteindre l'ordre de grandeur de celle des lignes de chemins de fer.


BibliographieSites Internet

Titre de la page Adresse

Les raccordements à rayons progressifs http://topogr.club.fr/rayprogr.htm

Tracé en plan d'une route http://fr.wikipedia.org/wiki/Trac%C3%A9_en_plan_d%27une_route

La clothoïde ou spirale de Cornu http://perso.orange.fr/math.15873/Clothoide.html

Cours de route - IUT Bourges http://www.brunel-ejm.com/bazaar/courschap3.pdf

Comprendre les principaux paramètres de conception géométrique des routes

http://cataloguesetra.documentation.equipement.gouv.fr/documents/dtrf/ti/ti_facsimile/dt/4000/DT4044.pdf

Spirale de Cornu ou Clothoïde http://www.mathcurve.com/courbes2d/cornu/cornu.shtml

Path Generation for Robot Vehicles Using Composite Clothoid Segments – Pittsburg University 1990

http://www.ri.cmu.edu/pub_files/pub4/shin_dong_hun_1990_1/shin_dong_hun_1990_1.pdf

Geometry > Curves > Spirals http://mathworld.wolfram.com/CornuSpiral.html

Sétra http://www.setra.equipement.gouv.fr/

DicoMaths : Spirale de Cornu http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./c/cornu.html

Some properties of clothoids - INRIA ftp://ftp.inria.fr/INRIA/publication/publi-pdf/RR/RR-2752.pdf

Ouvrage

Dossier : L'intelligence des transports - Tangente n°82 - Septembre Octobre 2001


Conclusion

Pour ce TIPE nous avons adopté une démarche scientifique : nous sommes partis d'une idée que nous avons mise en équation, pour aboutir à une réalisation qui a une application dans la pratique.

Nous avons appris avec étonnement que beaucoup de personnes travaillent avec la clothoïde et qu'ils n'en ont pas forcément pleinement conscience. Nous pensons notament à l'ingénieur du Sétra que nous avons rencontré et qui nous a éclairé à ce sujet en nous précisant entre autres qu'aujourd'hui la résolution du problème lié à la clothoïde se réduit à cliquer sur un bouton.

Plus de temps nous aurait permis de créer un programme fidèle à la manière dont les géomètres raccordent deux alignements droits en reliant deux morceaux de clothoïde avec un arc de cercle préalablement défini. En effet, le passage sur un arc de cercle rend la conduite plus agréable par l'arrêt de la rotation du volant dans un sens avant sa reprise dans l'autre sens. D'autre part, nous savons que le dévers est directement lié à la courbure. A ce titre, il aurait mérité une étude approfondie mais qui aurait vraisemblablement dépassé les limites de notre sujet.


06-07 - tipe - la clothoide

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