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Le Nombre d'Or

Introduction au Nombre d'Or

Phidias, parrain du Nombre d'OrLe Nombre d'Or doit son nom au sculpteur Phidias, reprsentant du premierClassicisme de la Grce Antique. En 460 avant Jsus-Christ, son mcne et amiPricls lui confia les travaux de l'Acropole (notamment du Parthnon). Samatrise des proportions tait remarquable. Ainsi, il surprit les habitantsd'Athnes par une statue d'Athna qui leur parut bien maladroite mme le sol.Mais une fois juche sur son socle, Athna devint divine leurs yeux. la fin desa vie, le parrain du Nombre d'Or, Phidias, fut victime de mauvais procs et des

contemporains jaloux le forcrent l'exil, en la ville d'Olympie.Au XXme Sicle, dans les annes 10, le critique et escrimeur britanniqueTheodore Andrea Cook (1867-1928) se met d'accord avec son ami mathmaticienamricain Mark Barr pour introduire la notation de (la lettre grecque Phi),comme symbole mathmatique du Nombre d'Or en rfrence Phidias. Le doubleargument de la consonance de la lettre avec celle de , autant qu'avec le nomdu sculpteur rendu clbre pour sa matrise de la proportion dore, est rapportpar Cook dans son livre Les courbes de la vie **. Il fait le compte desformations en forme de spirale et de leur implication dans la croissance de la

Nature, dans la Science, et dans l'Art. Et il se rfre tout particulirement auxtravaux de Lonard de Vinci.**Cook, Theodore Andrea, The Curves of Life (1914) p. 420, Courier DoverPublications

Diffrentes appellation du Nombre d'Or1 - Nombre scandaleux car irrationnel (Platon)2 - Proportion d'extrme et moyenne raison (Euclide)3 - Proportion d'Euclide (Fibonacci)4 - Section dore (sectio aurea, Vinci)

5 - Divine proportion (selon Pacioli)6 - Section d'or (der goldene Schnitt, Zeising)7 - Nombre d'Or (fix par Ghyka)8 - Phi ( - expression mathmatique, Theodore Cook)9 - Proportion dore (selon l'usage courant)anglais : Golden ratio - allemand : Der goldene Schnitt

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Construction gomtrique du Nombre d'Or

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L'Histoire et le succs du Nombre d'Or

Le Nombre d'Or est l'objet d'tudes innombrables et d'enjeux philosophiques, et mmepolitiques, considrables. l'origine, il a connu deux dveloppements successifs, jusqu'son identification mathmatique. Le premier est purement gomtrique, et il esttroitement li l'Art : Peinture, Sculpture et Architecture. On le doit aux gyptiens. Cet

aspect sera amplement dvelopp par la suite, au chapitre de la Gomtrie Sacre duNombre d'Or. Le second dveloppement du Nombre d'Or est arithmtique. Les Grecsont assum le passage de cette proprit purement gomtrique jusqu' sa dfinitionalgbrique (et dcouvert cette occasion la difficult de "calculer l'irrationnel"). D'autresles ont suivi : les Mathmaticiens Arabes Al-Khawarizmi et Abu Kamil, puis Lonard dePise dit "Fibonacci", et enfin Lucca Pacioli, qui fait entrer le Nombre d'Or dans une autredimension : celle du mythe...

I - De la pratique de la Gomtrie au calculL'gypte AntiqueLe Soleil offre aux gyptiens un triangle au Nombre d'Or.Le Solstice de Louxor leur rvle le Triangle Sacr : sabissectrice dore porte le Nombre d'Or. La GomtrieSacre se construit sur ce Triangle aux propritsmagiques, et pendant plus de cinq millnaires le Nombred'Or et le Triangle Sacr vont lier leur sort pour produireles images et les objets du Sacr.

La confusion est grande tant que l'on ignore que laproportion dore est porte par le Triangle Sacr : en son intimit, sur le Cercle Intimeinscrit au triangle. Sans cette concidence qui tient du miracle, on ne comprend de laGomtrie que des proportions sans la logique qui les produit. L'harmonie est incomplte.

La Grce Antique - Pythagore (-580, -497) et Euclide (-325, -265)Deux grands mathmaticiens grecs ont des rapports avec l'gypte. Pythagore y fait sesclasses, au sixime Sicle avant notre re, et bien plus tard Euclide (-325,-265) yenseigne les mathmatiques, sous Ptolme Ier. La ville o ce fondateur des

Mathmatiques Modernes finit ses jours n'est autre qu'Alexandrie, lieu de fusion entre lesCivilisations.

Euclide est officiellement le premier voquer la proportion dore dans son clbreouvrage Les lments (-300). Il parle de partage entre extrme et moyenne raison(En gomtrie, raison veut dire proportion). Le Nombre d'Or n'est encore qu'une

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proprit gomtrique.

Dans cet esprit, les Pythagoriciens se seraient investis bien avant lui dans la constructiondu dodcadre de faon empirique, mais l'Historien des Sciences Thomas L. Heathattribue la paternit de la dcouverte Platon : L'ide que Platon commena l'tude(du Nombre d'Or) comme sujet intrinsque n'est pas sans consistance... . ce sujet,

Platon doit beaucoup l'influence de son prcepteur, le mathmaticien Thodore deCyrne, qui montre notamment l'irrationalit de 5, donc celle du Nombre d'Or.

En fait, les Grecs formalisent par l'arithmtique au fil des sicles, ce que les gyptienspratiquaient avant eux avec leur Gomtrie empirique. Dans cette conqute, ils seheurtent au problme de l'irrationnel - dont la premire approche est la notion denombres incommensurables, la pierre d'achoppement des Pythagoriciens. L'ambition dela Science est de mesurer les choses. Les Mathmatiques ont inaugur ce dfi.

Des erreurs de traduction et dinterprtation des textes venant des Grecs peuventexpliquer une certaine confusion autour du Nombre dOr. Ils employent deux termes pourdsigner les proportions : symmetria et proportio, leur signification varie selon ledomaine considr, Art ou Gomtrie. Cependant, le propos de cet article n'est paslinguistique au sens littraire. Il est une des tapes dans la comprhension du langage del'Image, qui peut-tre un jour aura sa propre linguistique...

Les Arabes - Al-Khawarizmi (783, 850) et Abu Kamil (850, 930)Pour ces deux Mathmaticiens, le Nombre d'Or n'est encore que la solution algbrique des problmes parmi d'autres. Une sorte de distance se manifeste entre le monde du

calcul et le monde de la pratique gomtrique o est n le Nombre d'Or.

Lonardo Pisano, dit Fibonacci** (1175-1250)Le mathmaticien et commerant Fibonacci propose une suite de nombres entiers. Ils'inspire des travaux d'Abu Kamil, dont il prcise la relation avec la "proportiond'Euclide". En revanche, il ne peroit pas encore que la limite de sa suite comme tant leNombre d'Or :

La Suite de Fibonacci0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89

Chaque nombre est la somme des deux prcdents.La division de ce nombre par le prcdent se rapproche de Phi au fur et mesure que laliste s'allonge (tend vers l'infini). Phi est dsign comme limite de la suite.

** C'est ce mme Fibonacci qui impose le Zro l'Europe en 1202, galement dans sonlivre Liber Abaci . Il s'adresse plus particulirement aux commerants, pour qui

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cette nouvelle numration est un formidable gain de temps. Les Babyloniens auraientpratiqu le zro au moins deux sicles avant Jsus Christ. Puis on trouve le chiffre enInde, Brahmagupta, au VIIme sicle, et plus tard dans un monde arabe en pleineexpansion (il nous transmettra ses chiffres). Le mathmaticien Gerbert d'Aurillac assumele passage de l'an mille comme Pape sous le nom de Sylvestre II, mais il choue introduire ce cinq moins cinq . Le zro reste objet de suspicions au del du XIIIme

Sicle, essentiellement du fait de ses voyages et "origines"...

Gros plan sur la Renaissance

Luca Pacioli (1445-1517) dit Luca di BorgoCe clbre Professeur et ami intime de Vinci publie Venise, en 1509, De DivinaProportione . Cet ouvrage est crit Milan, entre 1496 et 1498, et comporte desillustrations de Lonard de Vinci, et les gravures pourraient tre de la main d'AlbrechtDrer (Vinci n'tait pas graveur). De Divina Proportione comporte une tude sur leNombre dOr, son application dans larchitecture et la peinture et une tude despolygones semi-rguliers. C'est donc le premier a aborder le Nombre d'Or sous tous sesaspects.NB : Dans la mme ville, durant la mme anne, Luca Pacioli publie une dition en latindes lments dEuclide.

Lonard de Vinci (1452-1519)Vinci rflchit aux proportions idales du corps humain, bases sur le nombre d'or qu'il

dsigne par sectio aurea. En 1492, il ralise le fameux "Homme

de Vitruve" qui illustrerait la divine proportion, mais reste sur cepoint sujet controverse. Il mentionne la divine proportion dansson Trait de Peinture (La premire dition du Tratatto dellaPittura, parue en 1651, en italien puis en franais, est basesur une copie du Codex Urbinas latinus 1270 que possdaitCassiano Dal Pozzo)

Comme nombre des artistes de son temps, Vinci met en oeuvretoute une Gomtrie Sacre dans sa Peinture. Le Nombre d'Or yoccupe une place importante, mais il ne faut pas rduire la

dimension d'un Systme de valeurs une simple logique deproportions.

La redcouverte De Architectura de Vitruve (Ier Sicle av J-C) De Architectura (en franais au sujet de larchitecture ) est un traitd'architecture en latin de Vitruve, crit vers 25 av J-C, ddi lempereur Auguste. C'est

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la source majeure de connaissance sur les mthodes et techniques des Romains pourleurs aqueducs, palais, thermes, ports, etc., mais auss machines, outils et instruments demesure. On y trouve aussi la clbre histoire dArchimde et de sa baignoire. Uniquetexte qui nous soit parvenu de lAntiquit sur l'Art de construire, il sert de rfrence lArchitecture Occidentale depuis la Renaissance et jusqu la fin du XIXme Sicle. SelonPetri Liukkonen (2008), ce texte a profondment influenc Leon Battista Alberti (1404-

72), Leonard De Vinci (1452-1519), et Michel-Ange (1475-1564). Et aux dix volumes de De Architectura ne succderont que ceux d'Alberti, en 1452.

Il faut souligner que Vitruve ne fait nulle part rfrence Euclide et ses "Elments". Il prsente des fractionsarchitecturales comme 2/3 (=0.666...) et 3/5 (=0.600...)ainsi que le rapport 5/8, qui sont symboliquement lies auNombre dOr puisqu'ils reprennent un un les lments de lasuite de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., Fn = Fn1+Fn2) ets'accrochent ainsi au mythe. Autre fait important : ds leXVIme Sicle, il est prouv que le rapport entre les lmentssuccessifs de la suite tend, l'infini, vers le Nombre dOr.Cette considration n'est pas possible ni conforme

l'objectivit de Vitruve. Ses diteurs zls ont introduit cette notion la Renaissance. Enbon ingnieur romain, Vitruve nonce des principes ralistes et pratiques qui se passentde la dimension "Spirituelle" des gyptiens et des Grecs leur l'apporche du Nombred'Or.

En rsum, la Renaissance, l'avance de l'Arithmtique permet aux Architectes et aux

Peintres de VOIR ce Nombre d'Or, et donc de prolonger le discours de Vitruve. Saredcouverte est un catalyseur pour la ligne des Pacioli, Alberti et tous les artistes de laRenaissance. Ils se ressourcent dans une Gomtrie Sacre qu'en plus de pratiquer, ilspeuvent dsormais comprendre par l'Arithmtique. Quatre villes italiennes sont retenirpour cet lan : Milan, Venise, Florence et Ferrare (qui se cachait dans l'ombre de sa soeursi brillante).

Albrecht Drer (1471-1528)Il n'est pas une ligne de cet article qui ne se soit nourrie des

leons d'Albrecht Drer. Le matre absolu de la GomtrieSacre tait, de tous les artistes de la Renaissance, celui quien savait de plus sur le Nombre d'Or. L'Histoire ne retientsouvent de lui que image d'un pionnier du Systme Perspectifet d'un Professeur de Dessin publiant l'intention d'humblesmanuels... Cependant, ses oeuvres ont rsist toute analyse

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gomtrique jusqu' ce que la Gomtrie Compare s'en proccupe. Drer reprsenteun courant de pratique qui prend sa source sur le Nil bien avant les pyramides, et il ensigne l'achvement par la production d'une vritable Encyclopdie Symbolique : lesTarots de Marseille (modle de Nicolas Conver). Ses dmonstrations permettent decomprendre le rle rel du Nombre d'Or au coeur du Systme de Composition de laGomrie Sacre.

Johannes Kepler (1571-1630)La proportion divine ou dore est symbolise par le dodcadre, synthsegomtrique de cette relation (le dodcadre rassemble 12 pentagones).Johannes Kepler trouve Dieu dans cette expression du Nombre d'Or, et ilfonde la Science Prague partir de cette rvlation.

II - Le dveloppement d'un mythe

Adolf Zeising (1810-1876)Ce Docteur en philosophie allemand inaugure le terme de "section d'or" (der goldeneSchnitt), autre expression du Nombre d'Or, pour en promouvoir l'importance esthtique,mythique et mystique, en Art et Architecture.

Matila Costiescu Ghyka (18811965)Ce prince, ingnieur et diplomate roumain, s'appuie sur les travaux d'Adolf Zeising et de

Gustav Theodor Fechner (physicien) pour tablir ce qui deviendra le mythe du Nombred'Or. Il en fixe d'ailleurs l'appellation. Cette proposition est vivement combattue du faitde ses drives ethno-centriques. Le Nombre d'Or se retrouve improprement rattach un processus colonialiste qui cherche ses alibis. Il n'en demeure pas moins que l'ouvrage Le Nombre d'Or ** reste une rfrence quant la dimension spirituelle qui lecaractrise.** Le Nombre d'Or , Matila C. Ghyka, Gallimard, 1931 (renouvell en 1959 et rdit)

Les artistes du XXme SicleL'Art du XXme Sicle reprend son compte essentiellement cette dimension mythique

des fins mdiatiques et commerciales. La grande Culture du Sacr est oublie, et il n'enreste que le principe de multiplication rpte du Nombre d'Or. Les artistes de la Sectiondor y voient la porte de l'harmonie : Lger, Kupka, Duchamp, Jacques Villon, etc.Ensuite Lecorbusier avec son modulor (1946) reprend le mme principe, et plus tard Dali,qui utilise le rectangle d'or dans un tableau : Demi - tasse gante volante, avec annexeinexplicable de cinq mtres de longueur ... Cette humour nous fera-t-il oublier l'oubli ?

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Roger PenroseNanmoins, dans les annes 70, Roger Penrose met au point une mthode de pavagetrs intressante. Ce procd a, il faut le souligner, des prcdents au Moyen-Age, lamosque de Darb-i Imam Isfahan, et aussi dans les dessins d'Albrecht Drer. Ceux-cipeuvent eux-mme tre mis en connexion avec le travail de Johannes Kepler** !Albrecht Drer va, rappelons-le, bien au-del de la pratique qu'on lui connat de ce

Nombre d'Or, et il le dmontre dans deux de ses grands travaux: son triptyque degravures autour de Melencolia I , 1514, et la version idale des Tarots deMarseille, celle que Nicolas Conver perptue jusqu'en 1760. Ces deux pans de lacration de Drer sont intimement lis, et le Nombre d'Or est une des cls de leurcomposition.** Drer-Kepler-Penrose the development of pentagonal tilings Luck R., Mat. Sci. Eng. 294-6, anne 2000, 263-7.

III - La place initiale du Nombre d'OrPour le peintre, le nombre d'Or n'est pas le rsultat d'uncalcul, mais une particularit gomtrique. Si lemathmaticien sait que l'angle de 36 sur le cercle lui donnela proportion dore, c'est pour lui un constat. Il ne btit pasde vaste thorie sur cette proprit. En revanche, cettefigure lmentaire de la Gomtrie peut servir le peintredans sa faon de construire une oeuvre.

Le Nombre d'Or dans la Grce AntiqueAinsi les Grecs dveloppent brillamment les Mathmatiques sans qu'aucune consquencene se manifeste dans leur Peinture. Ils sont Mathmaticiens avant d'tre Peintres, et leurproduction se consacre essentiellement la dcoration d'objets usuels - plats, vases etc.Ces surfaces capricieuses rendent improbable la mise en oeuvre d'un systme decomposition complet avec son exigeante prcision. En revanche, la Sculpture Grecque etsurtout l'Architecture dpassent sans doute les mises en proportions et les canons

disciplins qu'on leur attribue. Si les dveloppements sophistiqus de l'Art Sacr propresau Moyen-ge ne sont pas encore l, l'hritage des gyptiens l'est toujours. LaGomtrie Compare trouvera sur ce champ de nombreuses possibilits d'tude.

Le Nombre d'Or et l'gypte AntiqueLes premiers a utiliser explicitement la proportion dore sont les gyptiens, et leur

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civilisation ne commence pas par difier des pyramides : des millnaires prcdent cetteapothose Page consacre au Sphinx de Gizeh. Les artistes comme les architectesgyptiens ne disposent manifestement pas des mathmatiques que produisent les Grecspar la suite. Pythagore et Euclide en auraient parl. Ils apprennent l-bas les figuresmagiques qui fondent la Gomtrie Sacre, une pratique qu'ils ne dnigrent pas maisqu'ils prolongent au contraire de leur rflexion. Les gyptiens pratiquent avec leurs mains

un Nombre d'Or que les Grecs traduisent par la pense. Bien plus tard, les Byzantins**unissent ces deux approches dans leurs Icnes, jusqu' tablir des modles que lesOrthodoxes Russes reprendront pour leur apporter le mouvement. Notamment Rublev,avec un grand systme de triangles plantaires...

** Les moines byzantins sont les seuls en Europe lire le grec au Moyen-Age. Dans Lematin des mathmaticiens (Ed. Belin, Paris, France - 1985), M. Caveing et E. Noeltablissent ceci : les mathmatiques grecques ont survcu grce aux moines byzantinsqui, contrairement aux moines occidentaux, lisaient les auteurs grecs dans le texte. AuMoyen Age, les mathmatiques taient pratiquement abandonnes jusqu' l'arrive des

Arabes Bagdad

Les Mgalithes et le Nombre d'OrLa Gomtrie du Nombre d'Or se traduit par plusieurs figures de rfrence.- Ses rectangles associs permettent de dessiner une premire spirale.- Le Pentagramme.- Le Triangle d'Or, issu du Pentagramme dont on ne garde d'une pointe. Ce triangle estaussi associ une spirale et ses grands cots ont la mesure de la base multipli par Phi,le Nombre d'Or. Cette figure du Triangle d'Or est explicite sur le site Mgalithique

du Mont-Saint-Michel**. Les gyptiens ne sont donc pas les seuls pratiquer le Nombred'Or la priode du Nolithique. Si aucune trace du Triangle Sacr ni de son quadrillageassoci ne se sont rvls, d'autres notions de Gomtrie comme l'Hexagramme fontleur apparition sur cette toile de neuf cents kilomtres carrs !** Christophe de Cne lui consacre une tude complte.

Les figures classiques du Nombre d'Or

Le succs du Nombre d'Or est lgitime. Il n'est pas transcendant au sens mathmatique,et justement parce qu'il est la porte du compas et de la rgle, il participe construireun langage de l'image - au sens strict.

http://www.art-renaissance.net/sphinx.htmlhttp://www.andrei-rublev.com/http://www.jacquier.org/geometrie-sacree-composition.htmlhttp://www.art-renaissance.net/geometrie-sacree-neolithique.htmlhttp://www.art-renaissance.net/geometrie-sacree-neolithique.htmlhttp://www.web-astrologie.com/megalithique.htmlhttp://www.web-astrologie.com/megalithique.htmlhttp://www.andrei-rublev.com/http://www.jacquier.org/geometrie-sacree-composition.htmlhttp://www.art-renaissance.net/geometrie-sacree-neolithique.htmlhttp://www.art-renaissance.net/geometrie-sacree-neolithique.htmlhttp://www.web-astrologie.com/megalithique.htmlhttp://www.art-renaissance.net/sphinx.html

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La prsentation classique du Nombre d'Or

Rectangles dor Dvloppement dor Spirale dore

C'est ainsi que l'on a pris l'habitude de prsenter le Nombre d'Or. Tout rectangle dor enengendre un autre quand on lui retire un carr - et rciproquement. La courbe qui jointles centres de tous les carrs est appele Spirale dore. Deux sens sont possibles partirdu mme rectangle initial.

Le Triangle d'Or

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