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04/09/2002 école d'été du GRGS 1

LES SECONDS MEMBRES:les forces gravitationnelles

• Jean-Charles MARTY

• CNES/GRGS


• Description des forces perturbatrices gravitationnelles telles qu’elles sont utilisées pour le calcul des seconds membres des équations différentielles du mouvement.

• Ces forces dérivent des potentiels suivants

• Potentiel gravitationnel terrestre

• Potentiel perturbateur des autres corps (3eme corps)

• Les marées terrestres

• Les marées océaniques

• La pression atmosphérique

• Ces calculs sont effectués dans le repère terrestre, et les forces obtenues sont tournées dans le repère d’intégration céleste choisi


sinmλScosmλC)(sinPr

a

rGM

Ulmlmlm

lL

0l

l

0m

e

avec: GM : issu du modèle de potentiel

ae : demi-grand-axe terrestre issu du modèle de potentiel

λ),(r, : coordonnées polaires du satellite

Attraction gravitationnelle de la Terre (1)

)S,C(lmlm : coefficients de Stokes normalisés issus du modèle

: les fonctions de Legendre)(sinP lm


•Le calcul de U est élémentaire.


U de calcul UF

Calcul de la force

U2 Calcul du tenseur gradient de gravité pour le second membre des

équations aux variations ( )rF

SC

U et

,lmlm

Calcul de la dérivée de la force pour le second membre des équations aux variations par rapport à (Clm,Slm)



Les repères:

z

y

x

Z

Y

X

M

{R}={X,Y,Z} repère d’intégration (céleste)

{r}={x,y,z} repère lié au corps

rR UM. U :a On

trR MUM. U .22



Les fonctions de Legendre présentent une

singularité aux pôles (cosφ = 0)

)(sinP lm

Utilisation des polynômes de Helmholtz Hlm(sinφ) tels que:

)(sinH cos)(sinP m lmlm

E t sin

H

sin

Plmlm

p o u r m = 0

sin

H cosH sin cos m

sin

Plmm

lm2mlm

p o u r m > 0


L e s f o r m u l e s d e r é c u r r e n c e s p a r o r d r e ( m ) u t i l i s é e s s o n t :

1 ) p o u r l = m

0H , 0 H

H2m

11H , 3H 1,H

''mm

'mm

1m1,mmm1100

2 ) p o u r l = m + 1

0 H , H 32mH

H sin32mH''

m1,mmm'

m1,m

mmm1,m

=+=

+=

++

+



3) pour l >m+1

m1lm2,lm1,l

mllm

αHH sinαH

m1lm2,lm1,lm1,l

mllm

αHHH sinαH

( )m1lm2,-lm1,-lm1,-l

mllm

αH-2HH sinαH-

+= '''''''

avec ml

α mlml

12l12l




En pratique, on calcule jusqu’à un degré maximum donné.

Pour le calcul des dérivées partielles on prend en compte les coefficients (Clm,Slm) suivant l’analyse de sensibilité via le logiciel SELECT

Les coefficients du champ (Clm,Slm) sont considérés comme statiques sauf:

•les Cl0 pour 0<l<10

•les (Clm,Slm) pour 0<l<5

on prend aussi en compte les dérives séculaires pour les premiers zonaux.

U et U 2

Par décades

lmlm

SCU , /



Quelques coefficients du champ particuliers:

• C00 pour ajustement de GM/r

•C10 , C11 , S11 pour ajustement du géocentre


Attraction gravitationnelle des autres corps (1)

3p

p3

p

p

p r

r

rr

rrGmF

constantes : Gmp: GM du corps

variables : : vecteur géocentrique satellite

: vecteur géocentrique du corps

r

pr



avec : GmL : GM de la Lune ae : demi grand axe terrestre C20 : aplatissement terrestre : vecteur Terre-Lune

et :

On prend en compte aussi le couplage avec l’aplatissement terrestre qui produit la force:

1

0

0

z

Lr

2-1-5-= zrrr

z.raC

r

Gm

23

FLL2

L

L2e205

L

L



On prend en compte les accélérations gravitationnelles de:

• Soleil, Lune, Mercure, Venus, Mars, Jupiter, Saturne

Les coordonnées des corps sont issues du DE403 du JPL

exprimées dans le repère inertiel J2000 et en TDB.


Les Marées solides (1)

L’accélération de marée terrestre dérive du potentiel de déformation de la Terre, de degrés 2 et 3, sous l’action gravitationnelle de la Lune et du Soleil

Le potentiel de déformation est composé de 4 termes :

U = Uk : potentiel de marée terrestre + Uk : correction fréquentielle des nombres de Love + Uell : correction d’ellipticité + Upôle : correction de marée polaire


Les Marées solides (2)Le potentiel de marées terrestre induit des variations des coefficients du géopotentiel (Clm,Slm) .

ki kk I2m

R2m2m

Effets de marées de degré 2 (k2)

ΔC2m, ΔS2m , ΔC4m, ΔS4m

Effets de marées de degré 3 (k3)

ΔC3m, ΔS3m

Ces variations ΔClm, ΔSlm sont fonctions des nombres de Love knm,

Le déphasage de marée est introduit au degré 2 par les nombres de Love imaginaires pour une Terre anélastique (Wilmer et al., 1991) :


pp

m )e(sinH cosra

GM

Gm

12l

kSiC imλ

lm

1lplm

lmlm-

+

+=- e


Helmholtz de polynôme:H

Soleil ou Lune - Terre centre distancer terrestre équatorial rayon a

corps) au lié (repère

Soleil du ou Lune la de uegéocentriq longitude et latitude:λ,

Soleil du ou Lune la de GM le:Gm :avec

lm

pp

p

::

p

e



La correction fréquentielle des nombres de Love est également introduite sous forme complexe et affecte 26 ondes longues période, 26 ondes diurnes et 2 ondes semi-diurnes. Elle s’exprime sous forme normalisée pour l=2 et m=0,1,2 :

( )sinθδksinθδk4πa

HCΔ I

sRs

s20

-=e

Longues périodes

Avec: Hs: amplitude de la marée d’équilibre

θ: argument de l ’onde de marée

: corrections du nombre de Love k2m

Is

Rs

δkδk ,


=

=

sinθ

cosθδk

8πa

H

SΔ

CΔ

cosθ

sinθδk

8πa

H

SΔ

CΔ

Rs

e

s

22

22

Rs

e

s

21

21

Diurnes

Semi-diurnes


Corrections fréquentielles pour ondes diurnes et semi-diurnes



L’effet d’ellipticité du potentiel terrestre se répercute au degré 4 (pour le potentiel de degré 2)

pp

m )e(sinH cosr

a

GM

Gm

5

k=SΔiCΔ -imλ

3

ep+2m

4m4m+

2m

pour m = 0, 1, 2

avec : = - .00089

= - .00080

= - .00057

+20

k+21

k+22

k



Correction de marée polaire:

Elle exprime la variation de potentiel centrifuge déduite de la déformation engendrée par les variations de rotation et le mouvement du pôle instantané de rotation.

Pour une terre anélastique et avec = .3111 et = - .0035, on a:

R2

k I2

k

moyen pôle du scoordonnéeyx

instantané pôle du scoordonnéeyx

)x -.0112(x-)y -(y

)y -.0112(y-)x -(x-10 .26446

SΔ

CΔ

:,

:,

=

pp

pp

pppp

pppp-3

21

21


Les Marées océaniques (1)

L’accélération de marée océanique dérive du potentiel de simple couche

t)λ,,(qra

GM

Gm

12l

k1aG4=U ±

ml,n,m

e'l

l±ne

1lp

+

+

+π

Il est généré par la charge de marée : q=ρwh ρw : densité moyenne de l’eau de mer

La hauteur de la marée océanique est décomposée en ondes progrades et rétrogrades en fonctions harmoniques sphériques:

: nombre de Love de charge n : nombre d’ondes de marées

'l

k

± : onde prograde et rétrograde


n : convention de phase de Doodson-Warburgn : argument de l’onde de marée

( )( )( )( ) )(sinH cosmλ± +tθS

mλ± +tθC=h m

ml±n nnml,n,

nnml,n, lmsin

+cos±

±

χχ

Valeurs de n

Amplitude marée équilibre >0 <0

marée longue période π 0

Marée diurne π /2 -π /2

Marée semi-diurne 0 π



Les Marées océaniques (3)Les modèles utilisés sont issus des grilles des modèles hydrodynamiques (FES95, FES98, FES2002) en amplitude et phase qui sont transformés en harmoniques sphériques pour chaque onde.

•Ondes semi-diurnes (N2, M2, S2, K2, 2N2)

•Ondes diurnes (Q1,O1,P1,K1)

•Ondes longues périodes (Mm, Mf, Mtm, Msqm)

Ces modèles sont tronqués pour chaque onde selon la sensibilité du satellite (cf. programme SELECT)



( ) ( )

( ) ( )159°+2λ+2θ)δ-2 g(

P 10.8 -P110.2

gΔP

=q :S onde

12°+λ+θ)δ-2 g(

P 17.2 -P57.7

gΔP

=q :S onde

m0m

42222

m0m

31111

sin=

sin=

Ces modèles ne contiennent pas les marées atmosphériques qui sont calculées à partir du modèle d’Haurwitz et Cowley (1973) qui donne:

moyen sidéral temps θ Pascal en pression :Pavec

m:


En plus du calcul des ondes principales du modèle de marée, on tient compte d’au plus 68 ondes secondaires (16 longues périodes, 30 diurnes, 22 semi-diurnes) interpolées par admittance : le rapport déformation/potentiel gravitationnel est quasi-linéaire entre les ondes principales.Les ondes longues périodes : Ssa, Mm, Mf, Mtm,Msqm ; diurnes : Q1, O1, K1, et semi-diurnes : 2N2, N2, M2, K2 servent d’appui à l’interpolation par polynôme de Lagrange de la hauteur de marée de chacune des ondes secondaires



g é n é r é p a r l a c h a r g e d e p r e s s i o n a t m o s p h é r i q u e : ( )

gtλ,,ΔP

=q

( ) ( ) ( )( ) )(sinH cosm λsintΔS+m λcostCΔΣΣ=tλ,,ΔP mlmlmml

lm

a v e c k ’ l : n o m b r e d e L o v e d e c h a r g e ( l i m i t é à l = 1 2 )

( ) ( )( )tΔS,tΔC lmlm : c o e f f i c i e n t s n o r m a l i s é s d e p r e s s i o n a t m o s p h é r i q u e

La Pression atmosphérique (1)

t)λ,,(qra

12l

k1aG4=U lm

m

e'l

le

1l+

+

+π

Les variations de pression atmosphérique sont principalement l’effet de redistribution des masses atmosphériques. L’accélération gravitationnelle induite dérive du potentiel de simple couche :


La Pression atmosphérique (2)

Dans le cas où l’on prend en compte la pression atmosphérique, on doit retirer l ’effet de marée atmosphérique S1 et S2 de Haurwitz et Cowley rajoutés à la marée océanique.

On peut considérer la pression atmosphérique:

• sur tout le globe

• ou bien uniquement sur les continents

Hypothèse baromètre inverse sur les océans.


La Pression atmosphérique (3)• Les données initiales sont des grilles:

• de pas de 0,5 degré.

• Toutes les 6 heures

• On leur retire une grille moyenne (sur plusieurs années) de façon à obtenir le ΔP

• On fait l’analyse harmonique en séparant les océans et les continents.

En chaque point on interpole linéairement les

pour calculer ΔP ( ) ( )( )tΔS,tΔC lmlm


ΔP à 6hΔP à 0h

ΔP à 12h ΔP à 18h

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