04 quadripôles, fonctions de transfert, filtres

7/31/2019 04 Quadripôles, fonctions de transfert, filtres

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I Quadripôle électrocinétiqueA) Définition

Elément de circuit à quatre bornes :

Quadripôlei s

i s

ie

ie

v s

ve

Bornesd’entrée

Bornes desortie

Charge(récepteur)

générateur

Quadripôle passif : pas de source auxiliaire de puissance électrique.

Quadripôle actif : présence d’une source auxiliaire de puissance.

Le fonctionnement électrique du quadripôle est caractérisé par :

se vv , : tension d’entrée, de sortie du quadripôle

se ii , : courant d’entrée, de sortie du quadripôle

Un quadripôle est dit linéaire lorsqu’il est constitué uniquement de dipôles etéléments de circuit linéaires.

B) Exemples de quadripôles

Transformateur :

(passif)

R

ie

ve

v s

i s

e(t )C

R’

(passif)

Chapitre 4 : Quadripôles, fonctions de transfert, filtres

Electrocinétique sur 12

Chapitre 4 : Quadripôles, fonctions de

transfert, filtres



Montage à amplificateur opérationnel (A.O)

-

+ve v s

ie i s

R

(actif)

II Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire en )(RSF ω .

t j

s s

t j

s s

t j

ee

t j

ee

e I ieV v

e I ieV v

..

..

ω ω

ω ω

==

==

A) Fonction de transfert (Transmittance)

Définition :

ttance)(Transadmiou

dance)(Transimpéou

courant)ention(amplificaou

)en tensiontion(amplifica)transfertde(fonction)(

e

s

e

s

e

s

e

s

e

s

e

s

V

I

I

V

I

I

i

i

V

V

v

v j H

=

==ω

sortiedefonction

entréed'fonction

Attention : H dépend du quadripôle et du reste du circuit.)())(arg( )()()( ω ϕ ω

ω ω ω j j H j eGe j H j H ==

)(ω G : gain du quadripôle.)(ω ϕ : avance de phase de la sortie sur l’entrée.

On définit le gain en décibel : ))((log20)( 10dB ω ω GG =

III Diagramme de BodeA) Définition

Consiste à tracer les graphes dBG et ϕ en fonction de )/(log 010 ω ω , où 0ω est soit

une pulsation caractéristique du circuit, soit1

0 rad.s1−

=ω . On peut aussi tracer enfonction de ω sur un papier millimétré en échelle logarithmique. (unité : décade).





B) Exemple : circuit R,C et C , R

Circuit R,C :

R

ve

v s

C

Source : ).cos( ϕ ω += t V v ee

Charge : circuit ouvert ( 0= si )

RC

C

e

s

Z Z

Z

V

V j H

+==)( ω (diviseur de tension)

ω ω

jRC j H

+=

1

1)(

. On pose RC

1

0 =ω

Donc

0

1

1)(

ω

ω ω

j

j H

+=

Ainsi,

−=

+

=0

2

0

arctan)(;

1

1)(

ω

ω ω ϕ

ω

ω

ω G

Diagramme de Bode :En basse fréquence ( 0ω ω << ) :

0limdonc1)(lim dB

log0

0

==−∞

GG

ω

ω ω

ω . On a donc une asymptote horizontale en ∞− .

0)(limdonc0)(lim

0

log0

==−∞

ω ϕ ω ϕ

ω

ω ω

. On a aussi une asymptote horizontale.

En haute fréquence ( 0ω ω >> ) :

0

~)(

ω

ω ω

∞+

G

Donc 0log)log(lim 0 =

−

+∞ ω

ω ω

ω

G

Soit 0)log20()(lim 0dB =

−−

+∞

X Y

Gω

ω ω

ω

On a une asymptote d’équation X Y 20−= (soitω

ω ω

0dB log20)( −=G ) en ∞+ .

2)(lim

π ω ϕ

ω −=+∞. On a donc une asymptote horizontale en ∞+





GdB

- 2 0 d B / d é c a d e

ω

ω 010log

01 2 3-1-2-3

-20

-40

asymptotique

réel

0001,0 ω

001,0 ω

01,0 ω

0ω 0

10ω 0100ω 01000ω

dB3)(2

1)( 0dB0 −=⇒= ω ω GG

ω

ω 0

10log0

1 2 3-1-2-3

asymptotiqueréel

2

π −

)(ω ϕ

41arctan)( 0

π ω ϕ −=−=

Circuit C , R :

Rve

v s

C

Source : ).cos( ϕ ω += t V v ee

Charge : ∞ R .

0

0

111

)(

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

j

j

jRC

jRC

jC R

R

Z Z

Z j H

C R

R

+=

+=

+=

+= , avec

RC

10 =ω

−=

+

=0

2

0

0 arctan2

)(;

1

)(ω

ω π ω ϕ

ω

ω

ω

ω

ω G





En basse fréquence ( 0ω ω << ) :

00~)(ω

ω ω G

Donc 0log20)(lim 0dB

0

=

−ω

ω ω

ω

G

On a une asymptote d’équationω

ω ω

0dB log20)( =G en ∞− .

2)(lim

0

π ω ϕ

ω

=

En haute fréquence ( 0ω ω >> ) :

1~/

/~)(

0

0

∞+∞+ ω ω

ω ω ω G . Donc 0)(lim;1)(lim dB ==

+∞→+∞→ω ω

ω ω

GG

0)(lim =+∞ ω ϕ ω

GdB

ω

ω 010log

01 2 3-1-2-3

-20

-40

asymptotiqueréel

2 0 d B

/ d é c a d

e

Pour )(ω ϕ , c’est le même que le précédent décalé de 2/π vers le haut :

ω

ω 010log

01 2 3-1-2-3

asymptotique

réel

2

π

)(ω ϕ

C) Diagramme de Bode asymptotique

Définition du diagramme de Bode asymptotique : c’est la réunion des asymptotes

haute fréquence et basse fréquence. (Le diagramme de Bode asymptotique est très proche

du réel.) Remarque : on peut avoir plusieurs domaines de fréquences (haute fréquence, basse fréquence et intermédiaire).





IV Filtres du 1er ordreA) Décomposition en série de Fourier

Soit F de période T (pulsation

T

π ω

2= ). Alors, d’après le théorème de Fourier :

∑∑∞

=

∞

=∈∈ +=∈∀∃∃

00

* )..sin()..cos()(,,)(,)(n

n

n

nnnnn t nbt nat F t ba ω ω RNN

On a :

∫

∫

=

=

=

t

n

t

n

t

dt t nt F T

b

dt t nt F T

a

t F a

0

0

0

')'..sin()'(2

')'..cos()'(2

)(

ω

ω

Notation compacte :

∑∞

=

+=0

)..cos()(n

nn t nC t F ϕ ω ( 000 cosϕ C a = )

Terme 0 : valeur moyenne

Terme n : harmonique de rang n de la décomposition de Fourier.

Exemple : le son d’un instrument de musique

noteladetimbre""ledonnents,harmonique

1

noteladehauteur lfondamenta

11 )..cos().cos()( ∑

∞

=

=

+++= nnn t nC t C t F ϕ ω ϕ ω

Si F n’est pas périodique, on a toujours une décomposition, appelée « transformée

de Fourier » (mais éventuellement avec une intégrale au lieu de la somme)

Exemple : décomposition spectrale de la lumière :

)(detiquesmonochromascomposante

0

pointunenlumineuseonde

)..cos()(

t F

n

nn t nC t F ∑∞

=

+= ϕ ω

B) Théorème de superposition

Un circuit linéaire correspond à la donnée d’équations (différentielles) linéaires.

R

e(t )

i(t )

u L

u R





dt

di Lt Riuut e L R +=+= )()(

)()(

)()(

22

11

t it e

t it e

→→

)()()()()()( 2121 t it it idt di Lt Rit et e +=⇔+=+

Théorème de superposition : pour calculer la réponse à )()()( 21 t et et e += , il suffit

de sommer les réponses à chacune des excitations prises individuellement (valable non

seulement pour des sommes, mais aussi pour des combinaisons linéaires).

Conséquence : pour )(t e , excitation périodique ou non, la série/transformée de

Fourier donne ∑∞

=

+=0

)..cos()(n

nn t n E t e ϕ ω

On trouve alors la réponse )(t in , pour chaque n, à )..cos( nn t n E ϕ ω + . Dans ce cas,

L jn R

E I

n

nω +

= , soit ))arg(..cos()( nnn I t n I t i += ω

Donc ∑∞

=

+=0

))arg(..cos()(n

nnn I t n I t i ω

C) Définition et classification d’un filtre

Un filtre est un quadripôle linéaire.Bande passante du filtre :

{ }dB3)(,2

)(, max

dBdBmax −≥=

≥= GGG

G BP ω ω ω ω

Un filtre est dit :

Passe-bas si la bande passante est de la forme [ ]1;0 ω .

Passe-haut si la bande passante est de la forme [ [+∞;1ω .

Passe-bande si la bande passante est de la forme [ ]21;ω ω

Coupe-bande si la bande passante est de la forme [ ] [ [+∞∪ ;;0 21 ω ω

Pour un quadripôle linéaire,)(

)()(

ω

ω ω

jQ

j P j H = , où P et Q sont des polynômes de

degré n≤ ; n désigne alors l’ordre du filtre.

Exemple : passe-bas

∑∑∞

=

∞

=

+=+=00

)'..cos(')(;)..cos()(n

nn s

n

nne t nC t vt nC t v ϕ ω ϕ ω

n

n

C

C nG

')( =ω

Pour 1ω ω << , C ’n et C n sont comparables (les basses fréquences sont transmises)

Pour 1ω ω >> , nn C C <<' (les hautes fréquences sont atténuées)





D) Filtres passe-haut : R, L et C , R 1) Fonction de transfert

Rve v s

C

Charge : sortie ouverte.

0

0

/1

/

1)(

ω ω

ω ω

ω

ω ω

j

j

jRC

jRC j H

+=

+= , avec

RC

10 =ω .

vev s

R

Charge : sortie ouverte.

0

0

/1

/

/1

/)(

ω ω

ω ω

ω

ω ω

j

j

R L j

R L j j H

+=

+= , avec

L

R=0ω

On a donc un filtre du premier ordre.

GdB

0

-3dB

Bande passante

2) Application

Touche AC de l’oscilloscope :

E

La touche AC est un filtre passe-haut

E t vt nC t v

v

t nC E t v

e

n

nn s

e

n

nne

−=++=

=

++=

∑

∑

∞

=

↑↓

∞

=

)()..cos(0)(

)..cos()(

1

1

ϕ ω

ϕ ω





3) Comportement pseudo dérivateur

Si 0ω ω << :

))RSF((en1

)(soitou

~

/1

/)(

00

00

0

ω ω ω

ω ω

ω

ω ω

ω ω ω

dt

dvt v

V jV

j

j

j j H

e s

e

s ==+

=

Pour une fonction périodique quelconque :

∑∞

=

+=0

)..cos()(n

nne t nC t v ϕ ω (T

π ω

2= )

Donc ∑∑ ++

+=

<< autres 0tq 0

))..cos((1))..cos((1)(

0

dt

t nC d

dt

t nC d t v nn

nn

nn s

ϕ ω

ω

ϕ ω

ω ω ω

Si la plupart des composantes de Fourier de ve sont dans le domaine atténué (

0ω ω <<n ), alorsdt

t dvt v e

s

)(1)(

0ω ≈

E) Filtres passe-bas1) Fonction de transfert

En sortie ouverte :

vev s

R

C

0/1

1

1

1)(

ω ω ω ω

j jRC j H

+=

+= , avec

RC

10 =ω .

ve v s R

0/1

1)(

ω ω ω ω

j L j R

R j H

+=

+= , avec

L

R=0ω .

Pulsation de coupure :

2

0

1

1)(

+

=

ω

ω

ω j H

. 1)(max

=ω j H . 02

1)( ω ω ω =⇔= j H

On a donc un filtre passe-bas, de bande passante [ ]0;0 ω





2) Application : redressement

ve(t )

t

ω

π 2=T

On utilise un filtre passe-bas ω ω <<0

0)(

)..cos()(

0

1

0

+=↓↓

++=

≈

∞

=∑

C t v

t nC C t v

s

n

nne ϕ ω

( 1)0( = H )

3) Comportement pseudo-intégrateur

En )(RSF ω , pour 0ω ω >> :

ω

ω

ω ω ω

j j j H 0

0

~/

1~)(

Doncω

ω

j

V V

e

s

0 = . Donc ∫ =

t

t

e s dt t vt v

0

')'()( 0ω

Pour un signal périodique ( ω

π 2

=T ) de moyenne nulle :

∑∞

=

+=1

)..cos()(n

nne t nC t v ϕ ω ( 00 =C )

avec 0ω ω >> , ∫ ∑ ∫ =+=∞

=

t

t

e

n

t

t

nn s dt t vdt t nC t v

00

')'(')'..cos()( 0

1

0 ω ϕ ω ω

F) Exemple de filtre du 2nd ordre

Filtre LC , R :

ve

v s

C

R

L

−+

=++

=

C L j R

R

C j L j R

R j H

ω ω

ω ω

ω 11

)(





Etude du diagramme de Bode :

En basse fréquence, LC C Z Z R Z >>>> et

C'est-à-dire LC

L RC

RC 1

C

1et

11 01 =<<⇔>>=<<⇔<< ω ω ω

ω ω ω ω

1

~1

~)(ω

ω

ω

ω j

jC

R j H

Donc1

dB log20~)(ω

ω ω G .

Donc )(dB ω G a une asymptote d’équation1

dB log20ω

ω =G

En haute fréquence, C L L Z Z R Z >>>> et

De même, avec LC L

R 1et 02 == ω ω ,

2/

1~~)(

ω ω ω ω

j L j

R j H

Donc )(dB ω G a une asymptote d’équation2

dB log20ω

ω −=G

Comparaison des pulsations :

2

021

1ω ω ω =×=

L

R

RC

Donc 2

logloglog 210110

010

ω ω

ω

+

=2

2

2

0

2

2

2

21

1/ Q

R

L

LC R

L

R

L

RC ===×=

ω ω ω

201

102

,1Si

,1Si

ω ω ω

ω ω ω

<<<<<>

Q

Q

Cas 1>>Q :

(échelle logarithmique

GdB

- 2 0 d B / d é c a d e 2 0

d B / d é c

a d e02 et ω ω ω ω <<< 01 et ω ω ω ω >>>

ω

1ω 2ω 0ω

Le gain est maximum quand 1)(, 00 == ω ω ω G . On a un filtre passe bande (très

sélectif : la bande est très petite)





Cas 1<Q :

(échelle logarithmique

GdB

- 2 0 d B / d é c a d

e 2 0 d B / d é c

a d e

-3dB

2ω 1ω 0ω

ω

pour les fréquences intermédiaires : 0dB ≈G

Bande passante ];[ 21 ω ω ≈



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