04 (ac67 sections)

Cours CSB – ENTPE 3e année – VA BâtimentConception des structures bâties, BA & BP

MAJ: 2012/08/24 Frédéric FUSO – STAC

AC-1/67: Calcul des sections à l’ELU

Calcul simplifié d’une section fléchie

Les hypothèses de calcul sont les suivantes:

les sections droites restent planes et perpendiculaires à la fibre moyenne

il n’y a pas de glissement relatif entre le béton et les aciers d’armature,

la résistance à la traction du béton tendu est négligée

les sections totales des barres tendues et celles des barres compriméessont supposées concentrées en leur centre de gravité respectif




Calcul simplifié d’une section fléchie

Elles sont d’ailleurs, dans certains domaines, confirmées par l’expérience.




Calcul simplifié d’une section fléchieLe diagramme réglementaire de calcul est le diagramme parabole rectangle, qui

peut toutefois être remplacé par le diagramme rectangulaire si la section n’estpas entièrement comprimée




Calcul de référence d’une section rectangulaire

λ=0.8 et η=1 pour un béton courant 3.1.7




Un peu de mécanique












DRECT et DPR

La modélisation réelle du béton (en termes de contraintes) estfaite par le diagramme parabole rectangle… le calcul simplifié se mène par rapport au diagramme rectangulaire.

Diapos 32 à XX Diapos 9 à 14




Calcul de référence

cd

Sd

fdbM⋅⋅

=²

μ

hd 9,0=

( )( )μα 21125,1 −−=

αβ 4,01−=

yd

Sd

stst

Sds fd

Md

MA⋅−

=⋅⋅

=)4,01()( αεσβ




Acier

En calcul de base, on utilise d’abord le diagramme horizontal: calcul à la limite du béton sans vérification de la limite de l’acier;La déformation dans l’acier est donnée par:

21

cust εααε −

=

Cependant, dans le calcul de base, on supposera que la limite de travail de l’acier est atteinte. On considère alors que la contraintedans l’acier vaut la contrainte limite autorisée (branchehorizontale, soit:

yds

yk ff

=γ




Application numérique

Données RésultatsMoment ELU (kNm) 1200

Hauteur de poutre (m) 1Hauteur utile (m) 0,9

Largeur (m) 0,4Résistance caractéristique du béton (Mpa) 30

Résistance de calcul du béton (Mpa) 20Moment réduit μ 0,185185185

α 0,25813494β 0,896746024

Hauteur comprimée α d (m) 0,232321446Déformation maximale du béton ε cu2 0,0035

Déformation de l'armature ε st 0,0100588Fyk (Mpa) 500Fyd (Mpa) 435

Section d'armature (cm²) 34,20




Gain par utilisation du diagrammeoptionnel des armatures

sε

sσ




Gain (suite)‏

(1) Epsilon acier 0,0100588(2) Fyd/Es 0,00217391

(1) > (2) ??? 1

Epsilon uk 0,05Epsilon ud 0,045

k 1,08pente 727,272727

Sigma st (MPa) 442As (cm²) 33,63

As horizontale 34,20As inclinée 33,63

Gain 1,68%




Comparaison

σ=442 MPa σ=435 MPa

ε=10,06‰ ε=10,06‰

μ=0,185α=0,258β=0,897σst=442 MPa

As=33,63 cm²

μ=0,185α=0,258β=0,897σst=435 MPa

As=34,20 cm²Gain 1,68%

Branche inclinée Branche horizontale




Calcul d’une section en T

effb

wb

fh

d

1)

2(

≤− f

cdfeff

Sd

hdfhb

M

Axe neutre dans la table ssi:




Section en TDans le cas où axe neutre dans nervure:

)2

()(,f

cdfweffailesc

hdfhbbM −−=

ailescSd MM ,−Âme:

calcul de la seule âme : c’est une section rectangulaire qui va donc nous donner

âmeμ âmeαyd

cdwâmeâme f

fdbA

⋅=

α8,0

On trouvera finalement

cdfweffcdwâmeyds fhbbfdbfA )(8,0 −+⋅= α




Section la plus sollicitée d’une poutreisostatique

Le mieux est d’illustrer sur un exemple.

Les données sont les suivantes:

• portée: 14 m• béton: C35/45• acier: haute adhérence de classe B, 500 MPa• environnement: XC3• charges permanentes, pp inclus: 70 kN/m• charge d’exploitation: 80 kN/m• le CDC impose

mmbw 550=mmhf 150=

mmh 1250=

mmb 2000=8,010 ==ψψ5,02 =ψ




Un calcul bien singulierLe calcul des éléments se fait de façon assez originale par rapport aux

anciennes pratiques du BAEL

On commence par s’intéresser à la durabilité, aux conditions de l’environnement, et on va fixer un enrobage minimal et/oucertaines dispositions constructives qui vont avoir leurimportance sur le dimensionnement des sections

Ceci n’arrive plus à la fin du calcul et n’est plus, dans EC2, l’affaire du seul technicien : les choix sont largement laissés aux décideurs, et notamment au MOA, qui va devoir, en fonction des classes d’exposition et de la durabilité notamment, prévoir un entretien de la structure compatible avec ses hypothèses de calcul…




Conditions d’environnementTableau 4.1




Classe structurale (S4 recommandée)

La classe structurale passe donc à S3Tableau 4.3N




Cmin,dur

Pour XC3 et S3, cmin,dur=20 mm

Tableau 4.4N




Enrobage

On trouve alors cnom=30 mmLa valeur précédente de 30 mm vaut pour l’ensemble des barres.

Pour chaque barre, ça ne dispense pas de vérifier de l’enrobageminimal vis-à-vis des conditions d’adhérence (lié au diamètre dela barre ou du paquet)

4.4.1.2




Combinaison de calcul ELU

Combinaison fondamentale ELU:

Portée (m) 14G (kN/m) 70Q (kN/m) 80GammaG 1,35GammaQ 1,5

M(G) 1715M(Q) 1960V(G) 490V(Q) 560

Combi FDTL (Moments, kNm) 5255Combi FDTL (Tranchants appui, kN) 1502

∑ ∑≥ >

⊕⊕⊕1 1

,,0,1,1,,,j i

ikiiQkQPjkjG QQPG ψγγγγ




Résultats du calcul de référenceVERIFICATION A ELU

Données Résultats Info (O/N)Estimation de la position de l'axe neutre

beff (mm) 2000 Nhf (mm) 150 Nht (mm) 1250 N

bw (mm) 550 Nfck (MPa) 35 Nfy (MPa) 500 N

fcu (MPa) 23,33333333 Ncoeff de passage à hauteur utile 0,88

d (mm) 1100 NMct/As (Nm) 7175000 NM_Sd (Nm) 5 255 250 N

RES (OUI/NON) OUI NL'axe neutre est dans la TABLE

OKAlpha_s nécessaire (mm²) 11554

Dimensionnement correctGain obtenu par utilisation du diagramme optionnel des armatures

Valeur max de epsilon_c (%) 0,35%d retenu (mm) 1100

alpha*d retenu (mm) 134,5521222Valeur consécutive de epsilon_s (%) 2,51%

sigma_s à retenir (MPa) 451,47Gain sur armatures (%) 3,84%

Acier tendu nécessaire après correction (mm²) 11110

Résumé après diagramme optionnel acierAcier tendu nécessaire (mm²) 11110

Acier comprimé nécessaire (mm²) 0

cs εααε −

=1

))/()()1(1(s

yduk

s

ydsyds E

fEf

kf −−×−+= εεσ




Ferraillage pratique de la section (1/6) 14 HA32 totalisent 112,56 cm² de surface d’acier




Ferraillage pratique de la section (2/6) On peut disposer 3 lits (5 aciers dans les 2 inférieurs, 4 dans le litsupérieur) isolés, ou encore 2 lits avec le 1er lit réalisé avec un

paquet de 2 barres.

On utilise des cadres HA10 (par exemple) pour tenir les barres le long de la poutre. L’encombrement de ces cadres est de

15 mm environ.

L’espace libre moyen entre barres est le suivant:(550-2x30-2x15-5x32)/4=75 mm




Cas des barres isolées:-condition d’espacement d’un diamètre entre barres: OK-Enrobage minimal vis-à-vis de l’adhérence: 32+10=42. Pour lesbarres, l’enrobage est 15+30 soit 45. 42<45 donc OK

Cas des barres groupées (lit inférieur):

-diamètre équivalent-Condition d’espacement d’un diamètre entre barres: OK-Enrobage minimal vis à vis de l’adhérence: 45,3+10=55,3>45…On augmentera donc de 10 mm l’enrobage des cadres

Ferraillage pratique de la section (3/6)

nΦ





Intervalle min entre lits: 8.2(2) Il convient d'adopter une distance libre (horizontalement et verticalement) entre barres parallèles ou entre lits horizontaux de barres parallèles supérieureou égale à la plus grande des valeurs suivantes :k1 fois le diamètre de la barre, (dg+k2) mm ou 20 mm (où dg est la dimension du plus gros granulat).

NOTELes valeurs de k 1et k 2à utiliser dans un pays donné peuvent être fournies par son Annexe Nationale. Les valeurs recommandées sont k1= 1 et k2= 5 mm.

ou diamètre équivalent du paquet !!





Distance p/r fibre inférieure, casdes 2 lits avec un lit double:-N°1: 40+15+38=93 mm-N°2: 93+32+46+32/2=187 mmHauteur utile d résultante: 1250-(93x10+187x4)/14=11301130 mm > 1100 mm (d de calcul) donc OK

Cependant le gain sur d n’estpas important…





Distance p/r fibre inférieure, casdes 3 lits isolés:-N°1: 30+15+38/2=64 mm-N°2: 64+2x32=128 mm-N°3: 128+2x32=192 mmHauteur utile d résultante: 1250-(5x64+5x128+4x192)/14=11271127 mm > 1100 mm (d de calcul) donc OK




Représentation perspective




Diagramme parabole rectangle (DPR)Lorsque la section de béton armé est totalement comprimée, la modélisation du BA ne peut plus se faire par le diagramme rectangulaire. On doit utiliser le diagramme PARABOLE-RECTANGLE...

Les différentes catégories d'acier et de béton qui entrent dans le cadre de EC2 ne permettent pas l'établissement de formules simples pour l'utilisation du DPR... le calcul informatique avecmodélisation numérique est souvent nécessaire.

Cependant, lorsque le paramètre n du TAB 3.1 vaut 2 (i.e. Bétons de résistance caractéristique inférieure ou égale à 50 MPa) on peut s'y risquer... il y aura alors autant de formules que de catégories d'acier utilisées...




Diagramme parabole rectangle (DPR)Le diagramme PARABOLE-RECTANGLE est l’outilqui permet de déterminerla capacité de la section en flexion compression et en compression pure.

Il permet de générer cequ’on appelle l’abaqued’intéraction M – N.

Diagramme d'interaction

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Moment réduit (μ)

Effo

rt n

orm

al ré

duit

( ν)




Diagramme parabole rectangle (DPR)




Diagramme parabole rectangle (DPR)




L'exemple du calcul sera pris pour un béton classique (n=2).Toute la section est comprimée. Les sections d'acier As1 et As2 sont égales (cas d'un voile). La section As2 est plus comprimée que la section As1.d1/h=δt1; d2/h=δt2 et yu/h=αt

Les contraintes de compression sont positives dans les notations suivantes.

Section totalement comprimée (1/9)




Section totalement comprimée (2/9)Si Nc est la force interne de compression du béton, le coefficient de remplissage du diagramme des contraintes de compression du béton est

Le coefficient de centre de gravité est

cd

c

bhfN

='α

hyNc=''α





xu

2‰

εs1

αt=xu/h

3h/7

δt1=d1/h




Section totalement comprimée (4/9)La compatibilité des déformations donne:

Il faut maintenant faire un peu de géométrie.731000

2 11

−

−=

t

tts

α

δαε

731000

2 22

−

−=

t

tts

α

δαε

On va s’intéresser aux figures particulières que sont les paraboles et les rectangles, et aux surfaces qu’elles délimitent.

En fonction de ça, on va calculer les centres de gravité et les superficies des surfaces concernées.

Pour cela on va utiliser les moments statiques et les moments d’inertie.La géométrie va nous permettre ensuite d’utiliser ces notions pour les

réintégrer dans les formules et continuer la modélisation…





Soit un arc de parabole d'équation y=ax² et un point d'indice 1 connu. a=y1/x1²et y=(y1/x1²)x². L'aire grisée est égale à x1y1/3 et l’abscisse de son CDG vaut (¾)*x1. Ces résultats sont appliqués au DPR.

22

11

737

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⇒=⊕⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

t

cdcdt

h

fafzhyα

α

(y1;z1)




Section totalement comprimée (6/9)L’aire grisée sur le DPR est égale à :

avec

elle vaut donc et son CDG a pour abscisse (3/7)h.

ξh74

31⋅

2

22 7

4

73

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= hh

f

t

cd

αξ

2

731029

64

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅

t

cdhf

α Diapo précédente: l’abscisse de son CDG vaut (¾)*x1





cdhfgriséeaire _1' −=α

2

731029

641'⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

tαα

)'1(10298

73

αα

−+=t

'α




Section totalement comprimée (8/9)La position du centre de gravité du DPR est caractérisée par le coefficient α’’. Le calcul de ce coefficient nécessite celui du moment statique du diagramme par rapport au point O.





⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=73

73

102964

732

)''(' 2hhhfhhfhhf

t

cdcdcd

ααα

2

732401

1282

)''('⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

t

hhhα

αα'145'12''

ααα −

=

Surface

CDG Moment statique rectangle

Moment statique DPRMoment statique aire grisée




Pivots A, B et CConsidérons les états de contraintes possibles d’une section de béton armé, rectangulaire par souci de simplification, armée symétriquement par des aciers.

A chaque position de l’axe neutre de cette section, variant de moins l’infini àplus l’infini, correspond un état de contrainte depuis la traction pure jusqu’à la compression pure, en passant par la flexion traction, la flexion pure, et la flexion compression.

En traction pure, la position de l’axe neutre est à moins l’infini. Le béton tendu étant totalement négligé, les aciers travaillent à leur déformation maximale, dépendant de la classe de béton retenue et de la classe d’acier.

Pour simplifier, dans la suite, nous considérerons un béton de classe C20/25 avec un acier 500 MPa de classe B. Cette hypothèse conditionne donc les valeurs numériques qui suivent. L’allongement maximal de l’acier est donc de 4,5%, le raccourcissement

relatif du béton en flexion composée est de 0,35%, en compression pure de 0,2%. Ceci entraine une position relative de la fin de la partie rectangulaire du diagramme parabole

rectangle à 3/7e de la hauteur de la sectionCours CSB – ENTPE 3e année – VA Bâtiment

Conception des structures bâties, BA & BP



Pivots A, B et CSoient trois points A B et C. Le point A correspond à l’allongement maximal de l’acier inférieur en traction, le point B à la déformation maximale du béton en flexion, et le point C à la déformation maximale du béton en compression pure.




Pivots A, B et CLes valeurs de α et la position du pivot C sont déduites des caractéristiques du béton et de l’acier choisi, par l’application du théorème des triangles semblables. Ces valeurs sont résumées ci-dessous pour le béton pris en exemple en vue d’illustration numérique : la position du point C est 3h/7, h étant la hauteur totale de la section. Les valeurs des limites sont : αB=0,072 - αC=1.

Il faut cependant s’intéresser aux valeurs prises par αlorsque l’acier supérieur atteint sa limite élastique en compression (αA=0,293), lorsque l’acier inférieur atteint sa limite élastique (αE=0,617) et lorsque le raccourcissement de l’acier supérieur atteint celui du béton (αD=4,67).

Ces valeurs permettent de déterminer les contraintes pour réaliser correctement tous les calculs et tracer une courbe traduisant le comportement réel de la section.




Pivots A, B et C: implication sur les calculsDans chaque domaine de position de l’axe neutre, on vérifiera quelles

formules de calcul ou hypothèses peuvent être prises pour dimensionner la section. Par exemple, il est interdit d’utiliser le diagramme rectangulaire quand la section est totalement comprimée, donc ce diagramme ne pourra plus être utilisé dès que α devient égal ou supérieur à 1.

Le diagramme parabole rectangle devra dans ce cas être utilisé, à savoir pour tout calcul en pivot C. Dans la pratique, on utilisera le diagramme parabole rectangle un peu avant cette valeur limite pour garantir une compatibilité des résultats et une continuité de la courbe sur l’abaque.




Construction de l’abaque d’interactionConsidérons une section armée symétriquement par des aciers. Soit h la hauteur de la section, d la hauteur utile, d2 la distance de la fibre supérieure du béton au centre de gravité des aciers supérieurs, et z la distance à la fibre supérieure du point d’application de l’effort normal résultant.On appellera A l’aire des aciers inférieurs, A2 l’aire des aciers supérieurs (σ2 et ε2 leur contrainte et déformation). Ecrivons l’équilibre de la section en son centre de gravité (pour un rectangle, le bras de levier v=h/2) :




Construction de l’abaque d’interactionEn pivots A et B on peut écrire que l’effort normal vaut

Et que sa position en tant que force peut être estimée à:

En pivot C, les résultats précédents nous permettent d’écrire que:




Construction de l’abaque d’interactionPour chaque domaine de valeur de α dont les limites sont résumées par les schémas des diapos 46 et 47, il faut alors estimer les valeurs de σα et σα,2, en fonction des déformations εα et εα,2.

On peut donc faire un raisonnement permettant de tracer les abaques d’interaction : pour une section de béton donnée de largeur b, de hauteur h, avec une quantité d’acier A2 + A disposés symétriquement par rapport au centre de gravité de la section, nous allons faire varier α de − ∞ à + ∞ .

Pour chaque valeur de α, on va calculer le couple de valeurs M et N associées. Il faudra prendre garde à réaliser les calculs en utilisant les bonnes formules (puisque nous avons vu qu’en fonction des domaines de pivot, les formules ne sont pas les mêmes). Nous obtenons donc une courbe.




Construction de l’abaque d’interactionPour faciliter la lecture, on introduit alors les grandeurs dites « réduites » pour le moment et l’effort normal :




Diagrammes d'interaction M,N




Diagrammes d’interactionDans la pratique, on utilise un calcul informatique pour obtenir ces résultats, d’autant plus que les déformations sigma dépendent de la ductilité de l’acier, que les déformations du béton et le coefficient n du TAB 3.1 dépendent de la classe…

Cependant, il a été aussi la pratique de créer des abaques, qui permettent une lecture directe des résultats, avec l’imprécision que cela comporte.Pour toutes les valeurs de alpha on calcule les N et M d’une section àgéométrie fixée. Cette géométrie fixée correspond à une grandeur qu’onappelle “ratio mécanique d’armatures” noté ω, et qui vaut:

Puis on trace la courbe représentative…L’abaque diapo 55 est issue d’un document britannique, celle diapo 56 du BAEL.




Diagrammes d’interaction (exemple)




Diagramme (exemple)Par exemple, prenons un voile d’épaisseur 18 cm sur une largeur unitaire.b=1; h=0,18; At=3,6cm²/ml; N=1500 kNm/ml

b 1h 0,18fyk 435A+A' 0,00036fcd 16,7Nc (MNm) 1,5nu 0,499002p+p' 0,05209581

mu (lecture)* 0,13362165Mg (Mnm) 0,0723

Couple N,M (en kNm)1500 72,3




Mise en pratique (1/2)


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Moment réduit

Effo

rt no

rmal

e ré

duit




Pour aller plus loin

http://fewslinux.free.fr/CSB/CultureG/




Mise en pratique (2/2)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ++=

ydf2' 2σσωαν

( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+−+−=

ydf25,05,0''5,0' 22 δσδσωααμ


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Moment réduit (μ)

Effo

rt n

orm

al ré

duit

( ν)




Poteaux circulaires

Découpage en 2P bandesAvec P=7 sur cette image




Poteaux circulaires




Poteaux circulaires

( )3

2739 14

²9²1428²3

114 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−

−==

DDD

fDV cdn α

( ) ∑ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

−=

3

273 14

1²²14281

42² tfDV cd

tot α

L’abscisse de l’axe du rectangle bleuté est à n=9 du centre du cercle




Poteaux circulaires

4/²21'

DfV

cd

tot

πα −=

( ) 2/4/25,0'' 2 DDfcd

tot

πα Ξ

−=

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−

−=Ξ ∑ 7

3141²²14

281

43

141²²14

281

42² 3

273

ttfD cdtot α




Poteaux circulairesNous notons Asp l’aire d’une paire de barres, Asb l’aire d’une barre,et Astot l’aire totale d’acier.

sbsp AA 2= spstot AA 5=

)(4²' 54321 σσσσσπα +++++== spcdRdEd AfDNN

Equilibre de la section:

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−== ∑

=

4

155 ''

4²'

ititisptcdRdEd DADfDMM δδσαδπα

Ddi

ti =δ




Poteaux circulaires




Poteaux circulaires




Valeurs pour bétons spéciaux

04 (ac67 sections)

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