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03/18/'09Modélisation de solides -- Table de

matières 1

Modélisation de Solides

I – Vue d’ensemble Introduction: 1-9 «Trimmed NURBS» (Rep. Standard) 10-11 Autres representations 12-20 Opérations à effectuer sur des modèles 21-28 Fiabilité et formalisation 29-32

C’est quoi un solide?? Résumé très sommaire de la réponse 1-15 «Trimmed NURBS» 16

Surfaces de subdivision 1-10

03/18/'09 Modélisation de solides I 2

Modélisation de Solides

Pour commencer, une distinction: Systèmes de design industriel (par exemple, Autodesk

« Mechanical Desktop », CATIA, … ) Systèmes d’animation (XSI, Maya, …)

Je m’intéresse (dans mes recherches) surtout à certains problèmes mathématiques reliés aux systèmes de design industriel.


Un exemple de « Mechanical Desktop »


Et un autre exemple (du côté architecture) de « Mechanical Desktop »


Exemple: XSI


Et d’autres exemples de XSI:


“Geri’s Game” (filme animé de Pixar)

DeRose et al, SIGGRAPH `98


“Geri’s Game” (suite)

Les «Crease edge» et les coins


Surfaces de subdivision Les surfaces de subdivision ont été

beaucoup utilisées, par exemple, dans le filme ``Geri`s game``. Ils sont d’ailleurs de plus en plus utilisées dans l’animation, dans les jeux, …

… et peut-être dans l’avenir, dans les systèmes de conception industrielle?


Méthodes de représentation géométrique Résumé très informelle: Les systèmes de design industriel (“CAD/CAM” ou “CAO/FAO”) ont tendance à être basés Sur les surfaces paramétriques (surfaces courbes

à deux paramètres, avec domaine rectangulaire ou triangulaire, souvent taillées en sous-surface: “trimmed patches”);

Et sur les maillages polygonaux. Les représentations dites implicites (la frontière est

composée des points t. q. ) ont aussi été utilisées.


“Trimmed NURBS”La représentation standardProblèmes de robustesseSurfaces de subdivision?


ReprésentationsGéométriqueset Logiques:


Méthodes de représentationRésumé (suite)

Les premiers systèmes de CAD/CAM utilisaient souvent la représentation CSG (« Constructive Solid Geometry »), une représentation procédurale basée sur les arborescences.

Cette approche est toujours utilisée pour la « Modélisation basée sur les Feature »


Méthodes de représentationRésumé (suite)

Mais depuis 20 ans, c’est la méthode frontalière (« trimmed patch ») qui est devenue standard.

Les «noyaux» pour tous les systèmes commerciaux de modélisation de solides (ACIS, Parasolid), STEP 42 .

Programmethèque DT-NURBS (Boeing, DARPA): «Legacy code » (NURBS = Non-Uniform Rational B-Spline).


Méthodes de représentationRésumé (suite et fin)

Il y a d’autres types de représentation, surtout en infographie (systèmes d’animation), et en imagérie médicale: Surfaces de subdivision Ensembles de points Représentations volumétriques Les systèmes-L …


Les systèmes-L (Pruskinkiewicz et al) Courbes «dragon» et «Sierpinski»


Les systèmes-L (suite et fin)


Note (terminology): Quand nous avons appelé la méthode CSG

une méthode « procédurale », ça voulait dire que l’usager ne spécifie qu’une procédure qui définit l’objet.

En infographie, « modèle procédurale » implique le plus souvent que c’est la procédure même qui définit l’objet, p.e. [Duranleau05]: Systèmes-L Génération de terrains par simulation d’érosion Génération de murs de briques Méthodes cellulaires pour générer textures


Résumé du restant de l’Introduction: 2: Motivation et historique

Ce qu’on attend d’un système de modélisation. L’évolution des systèmes depuis 40 ans

3: Systèmes de modélisation de solides rigides Fondations mathématiques et informatiques

(topologie algébrique, structures de données, …) Choix de la classe d’objets à modéliser Taxonomie classique (méthodes de représentation) « Modélisation basée sur les feature »

(« Feature-based modeling »)


Motivation et historique Ce qu’on attend d’un système de modélisation

À noter: il y a toujours une boucle conception-analyse (« Design-analysis loop ») C’est-à-dire: L’entrée des objets L’analyse des objets La modification des objets

Dans le cas le plus simple, « analyse » pourrait ne vouloir dire que « évaluer subjectivement ce qu’on voit à l’écran ».

Mais il faut aussi penser que souvent en veut faire du « Downstream Analysis » CFD = Computational Fluid Dynamics Éléments finis (FEM = Finite Element Methods)


Beaucoup de méthodes possibles pour fournir les informations de retour (« feedback »): par exemple, pour la Réalité Artificielle: Écran dans un casque qu’on porte, par exemple

pour des applications en architecture. Un module physique qui simule un endroit physique,

par exemple, dans le cas de simulation du vol. Parfois en conjonction avec le vrai monde: la

télérobotique, la chirurgie, la réparation d’équipements ou voitures, assemblage de machines: Augmented Reality [Woodwark93].


Opérations typiques (contour, extrusion) L’exemple montre déjà un certain nombre

d’opérations que nous voulons avoir etc etc


Opérations typiques (projection)


Prototypage electronique Au niveau de la manufacture

On pourrait vouloir priviliger des méthodes de création d’objets qui correspondent aux processus de manufacture (percer des trous, faire des extrusions, …)

On pourrait vouloir des modèles plus générals, pour faire l’analyse des tolérances, par exemple.

Analyse éléments-finis (p. e. « stress and strain analysis », i.e. la contrainte et la déformation.

Analyse du fonctionnement d’un mécanisme Analyse du processus de manufacture (accès,

génération automatique des bandes pour machine-outil, i.e. les « cutter paths ».


Et encore: Modifications locales, p. e. Biseautage

(« chamfer »). Vérification des collisions (« Interference

checking ») ? ? Courants de Foucault (induits par un champs

magnétique qui entoure un object). Pour la simulation de capteurs.

Calcul du centre de masse, poids, volume, …


Et il y a d’autres buts, dans la manufacture, qui peuvent favoriser d’autres opérations sur les modèles mathématiques: Stéréolithographie (création de modèles

physiques) Spécification point-par-point du matériel de

composition (interne) d’objets.


On pourrait vouloir faire la modification paramétrique des objets (cela crée des problèmes très difficiles pour garder des objets bien formés).

On pourrait vouloir avoir la possibilité de défaire ce qu’on a fait (« Undo »).

Et je n’ai même pas mentionné les opérations que les infographistes trouveraient fondamentales: le rendu, ajout de textures, animation, …


Fiabilité et formalisation

Avec tout cela, on attend aussi la fiabilité.

Les objets peuvent devenir très compliqués. Pour s’assurer que nos algorithmes considèrent toutes les combinaisons de faces d’objets (par exemple, dans une opération d’intersection de deux objets), il faudra formaliser.


Fiabilité et formalisation En effet, si les analyses mentionnées vont être

semi-automatiques, ou automatiques, il va falloir formaliser, dans le but d’écrire des algorithmes fiables. Par exemple, un processus automatique de génération

de bande pour machine-outil doit pouvoir vérifier que l’outil ne va pas mettre des trous non-voulus dans l’objet, etc. Ceci serait encore plus vrai si le processus de design était lui-même semi-automatique.

Par exemple: objets stéréolithographes. Vite et peu cher si pas d’erreur. Mais si une personne doit entrer dans le processus …


Exemple frappant: GIDEP Alert (1988) Les systèmes de mesure tridimensionnelle (CMM =

Coordinate Measuring Machines) dépendent d’un modèle de l’objet pour décider si un objet physique donné est acceptable. Le U.S. DOD a constaté en 1988 que différentes machines donnaient des réponses différentes.

« For several weeks the flow of mainly military hardware worth hundreds of millions (possibly billions) of dollars simply stopped, because work could not proceed until the goods could be dimensionally qualified. Ad hoc agreements between DOD authorities and standards organizations got the flow restarted, but the underlying problem(s) remain. [Voelker90] »


Le problème de robustesse De façon semblable, le problème de « broken

models » coute à des compagnies comme Boeing des dizaines de milliers de dollars par année. Les problèmes viennent suite à des opérations sur les objets, et suite au transfert entre systèmes différents.

Les « gaps and overlaps », dûs à l’utilisation de courbes de bas dégré, et à l’utilisation de l’arithmétique de précision finie. Les algorithmes de maillage (pour éléments finis) sont très fiables, à condition que le modèle de base soit correct [Farouki99].

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Fondations mathématiques et informatiques [Requicha77] Qu’est-ce qu’un objet? Exemple. Un dessin fil-de-fer ne définit pas un

objet sans ambiguité:

Où est le trou?

Y’a-t-il un?

Modélisation de solides rigides


Exemple [Mäntylä88, p. 111]

Des faces, reliées topologiquement comme il faut, peuvent ne pas définir la frontière d’un objet en .

cf Modèles de surface incompletsp.e. la carrosserie, …


Jusqu’en 1975-1980, peu d’attention portée à la définition d’un objet.

[Requicha77]: Si nous voulons des systèmes autonomes, ou semi-autonomes, il va falloir s’occuper de ses questions.

Nous ne pourrons plus compter sur l’intervention des humaines pour rêgler les manques de cohérence interne.


Une première possibilité: les variétés ou « manifolds » (Euler, Poincaré) Une variété 3D avec frontière. Par exemple:

Une boule Un beigne (un tore) Une tasse avec poignées Un lapin avec un trou qui passe par sa tête,

comme on voit parfois au LIGUM Une théière (comme on voit aussi souvent en

infographie)


Une première possibilité: les variétés ou « manifolds » (Euler, Poincaré) Voici le cas le plus général:


Une première possibilité: les variétés ou « manifolds » (Euler, Poincaré) En infographie, quand on parle d’un objet

« de topologie générale », on fait référence souvent à cette classe-là.

Mais, en fait, nous verrons que cette classe n’est pas assez grande pour assurer la fermeture par rapport aux opérations voulues. Donc, en modélisation de solides, une classe plus générale, et plus souvent utilisée, est celle des ensembles-r (« r-sets ») [Requicha77].


" Une fonction bijective est injective (1:1), et surjective (« onto »).

Un homéomorphisme est bijective et continu.

Une variété 2D sans frontière ne contient que des points qui ont un voisinage qui est homéomorphe à un disque 2D, comme les points sur la frontière de cet objet:

Une variété 2D avec frontière peut avoir des points avec voisinage homéomorphe à un demi-disque 2D (par exemple, une « patch »).


Les définitions pour une variété 3D sont analogues: Une variété 3D sans frontière ne contient que des

points qui ont un voisinage qui est homéomorphe à une boule 3D.

Une variété 3D avec frontière (par exemple, l’objet déjà montré) peut avoir des points homéomorphes à une demi-boule 3D.

Un objet manifold est donc une variété 3D avec frontière, et sa frontière est une variété 2D sans frontière.


Les ensembles-r (“r-sets”) La classe de variétés (ensembles manifold) n’est pas fermée par rapport à la réunion de deux objets, par exemple: (un objet)

On doit donc définir une class plus générale.


Mais quel niveau de généralité? Nous ne voulons pas permettre, par exemple, un objet dont la frontière est définie par :

Nous prenons donc les ensembles semi-analytiques, ou les ensembles semi-algébriques. Cela assure une triangularisation finie [Lojasiewicz64].


Même dans le cas de faces linéaires, ça peut devenir très compliqué: Mettez vous au point

inidiqué par la flèche, et imaginez que vous écriviez un algorithme pour, disons, réunir deux parties de l’objet. Si vous regardez autour de vous, les choses sont compliquées!


La frontière de l’objet à droite n’est pas une variété: il y a beaucoup de points non-manifolds. Les variétés sont moins générales.


Objet réguliers (fermés) Définition: Nous pouvons vouloir que nos objets aient

de l’épaisseur. Ainsi, les ensembles suivants seraient exclus:


Objet réguliers (ouverts) Définition: Les objets sont maintenant ouverts (ne

contiennent pas leur frontière). Un objet ouvert qui n’est pas régulier:


Notons qu’un objet non-régulier peut être créé par une opération booléenne: Intersection:

Complément:


Il faut vous servir des idées de

Variétés vs Non-variétés

(manifold vs non-manifold)

Ensembles semi-analytiques/semi-algébriques

Ensembles réguliers (fermés)

pour définir des classes d’objets utiles et appropriées dans le contexte de modélisation de solides.


“Trimmed NURBS”La représentation standardProblèmes de robustesseSurfaces de subdivision?

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J’ai mentionné quand je parlais de surfaces B-splines et NURBS, qu’il y a des difficultés associées à l’utilisation des « trimmed-NURBS patches ».

En particulier, si nous voulons créer des objets avec la forme d’un tore, «non-manifold » etc, il faut coudre des patch ensemble.

Cela mène à des difficultés sévères: modèles pas bien formés, etc. (« Robustesse »)

Surfaces de subdivision: Introduction informelle


L’idée générale des SdeS se voit dans l’exemple suivant (Ulrich Reif): On commence avec un maillage approximatif, on subdivise, et on fait un lissage pour avoir une surface lisse:


L’idée générale (suite) Si on avait la possibilité de contrôler la forme

de telles surfaces, de les coller ensemble, ça serait bien.

En fait, c’est possible. Il y a une théorie mathématique assez vaste

en dessous: « An Introduction to the Mathematics of

Subdivision Surfaces » L.-E. Andersson + N. F. Stewart Je noterai ce document par [A-S 08].


Exemple simple pour les courbes:la méthode de Chaikin


Méthode de Chaikin (suite)


D’où vient ces rêgles? Ce processus converge-t-il vraiment? Si oui, est-ce que ça converge vers une

surface continue? Une surface avec une continuité élévée, par exemple

Est-ce qu’il y a d’autres rêgles qui auraient fonctionné? Comment les trouver?

Y’a-t-il un sens aux « faces » du maillage de contrôle? (Ce ne sont pas des triangles! Faces courbes, auto-intersectantes, tordues …?) Possible de paramétriser les faces?


Voici un autre exemple, qui vient en partie des notes SIGGRAPH 2000:

Subdivision for Modeling and Animation,

D. Zorin et P. Schröder.


B-spline d’ordre m classique

… et la méthode de subdivision qui va avec

Vue d’ensemble des méthodes de subdivision de surface


Vue d’ensemble (suite)

Une classification des méthodes:

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