01 table des matieres geometrie vectorielle 3 n-a · genève en troisième année, en géométrie...

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Picchione Serge 2017-2018 GÉOMÉTRIE VECTORIELLE 3 ème année 2.1 Vecteurs du plan et de l’espace 1 2.1.1 Introduction 1 2.1.2 Ensembles 2 \ et 3 \ 2 2.1.3 Composantes d’un vecteur 4 2.1.4 Opérations sur les vecteurs 7 2.1.5 Combinaison linéaire, colinéarité, coplanarité 11 2.1.6 Norme d’un vecteur 23 2.1.7 Composantes d’un vecteur du plan en fonction de sa norme et de son angle directeur * 27 2.1.8 Ce qu’il faut absolument savoir 30 2.2 Produit scalaire, déterminant et produit vectoriel 31 2.2.1 Le produit scalaire 31 2.2.2 Propriétés du produit scalaire 32 2.2.3 Angle entre deux vecteurs 34 2.2.4 Projection orthogonale 37 2.2.5 Le déterminant 40 2.2.6 Le produit vectoriel * 48 2.2.7 Ce qu’il faut absolument savoir 56

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Picchione Serge 2017-2018

GÉOMÉTRIE VECTORIELLE

3ème année

2.1 Vecteurs du plan et de l’espace 1

2.1.1 Introduction 1

2.1.2 Ensembles 2 et 3 2

2.1.3 Composantes d’un vecteur 4

2.1.4 Opérations sur les vecteurs 7

2.1.5 Combinaison linéaire, colinéarité, coplanarité 11

2.1.6 Norme d’un vecteur 23

2.1.7 Composantes d’un vecteur du plan en fonction de sa norme et de son angle directeur * 27

2.1.8 Ce qu’il faut absolument savoir 30 2.2 Produit scalaire, déterminant et produit vectoriel 31

2.2.1 Le produit scalaire 31

2.2.2 Propriétés du produit scalaire 32

2.2.3 Angle entre deux vecteurs 34

2.2.4 Projection orthogonale 37

2.2.5 Le déterminant 40

2.2.6 Le produit vectoriel * 48

2.2.7 Ce qu’il faut absolument savoir 56

Picchione Serge 2017-2018

2.3 Droites et plans 57

2.3.1 Équations paramétriques des droites dans 2 57

2.3.2 Équations cartésiennes des droites dans 2 58

2.3.3 Passage : Équations paramétriques / cartésiennes des droites dans 2 59

2.3.4 Position relative de deux droites dans 2 et intersections 60

2.3.5 Angles entre deux droites dans 2 61

2.3.6 Distance entre un point et une droite dans 2 62

2.3.7 Équations paramétriques des droites dans 3 66

2.3.8 Équations cartésiennes des droites dans 3 68

2.3.9 Position relative de deux droites dans 3 et intersections 69

2.3.10 Angles entre deux droites dans 3 70

2.3.11 Équations paramétriques des plans dans 3 73

2.3.12 Équations cartésiennes des plans dans 3 74

2.3.13 Passage : Équations paramétriques / cartésiennes des plans dans 3 76

2.3.14 Distance entre un point et un plan dans 3 77

2.3.15 Angles entre deux plans dans 3 78

2.3.16 Ce qu’il faut absolument savoir 84 2.4 Cercles et sphères * 85 2.5 Solutions des exercices 91

Picchione Serge 2017-2018

AVANT-PROPOS • Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de Genève en troisième année, en géométrie vectorielle. Cela dit, il peut servir de support de cours pour d’autres filières d’enseignement. • Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des exercices, des activités et des Q.C.M. à l’exception de ceux faisant intervenir des démonstrations. • Les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2). • Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré blanc et les théorèmes dans un encadré grisé. • Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer aux sections : « Ce qu’il faut absolument savoir » et « Questionnaire à choix multiples ». • Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :

http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione • Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.

BON TRAVAIL !

Picchione Serge 2017-2018

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 1 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.1 Vecteurs du plan et de l’espace

2.1.1 Introduction Dans ce cours de Mathématiques, nous allons reprendre le concept de vecteur étudié en Physique. Nous nous intéresserons à généraliser et à modéliser ce concept afin de l'utiliser dans l'étude de la Géométrie.

Pour rappel, certaines grandeurs physiques peuvent être modélisées à l'aide d'un seul nombre. Par exemple, la température, la masse, une distance, un angle d'inclinaison, etc. Ces grandeurs sont appelées grandeurs scalaires.

D'autres grandeurs comme une force, une position, une vitesse, un champ électrique ne peuvent pas être modélisées qu'à l'aide d'un seul nombre. On a besoin de connaître leur direction, leur sens et leur intensité (un nombre). Ces grandeurs sont alors appelées grandeurs vectorielles. tv vecteur position du"point" au temps t.= Définitions

Un vecteur est un objet entièrement déterminé par la donnée d'une direction, d'un sens et d'une intensité (un nombre).

On représente un vecteur par une flèche ce qui permet justement de décrire une direction (droite), un sens (pointe) et une intensité (longueur de la flèche). • Le point d’application du vecteur est le point A et l’extrémité est le point B. On note v AB= un vecteur et v AB= son intensité (on dit aussi norme de v ).

• On appelle vecteur nul, noté 0 , le vecteur dont le point d'application et l’extrémité coïncident : AA = 0 . Le vecteur nul 0 à une intensité nulle, sa direction est indéterminée.

• Le vecteur opposé de v AB= est le vecteur dont l’origine est B et l’extrémité A. Il est noté v BA AB− = = − Deux vecteurs sont équivalents si et seulement si ils ont même direction, même sens et même intensité (longueur).

Exemples

Les vecteurs AB et CD sont équivalents (même norme, direction et sens).

Les vecteurs AB et EF ne sont pas équivalents car ils n’ont pas la même norme.

Les vecteurs GH et JI ne sont pas équivalents car ils n’ont pas le même sens.

A B

v

v

v

v− A

B

O

1v 2v

3v

• •

A

B

C

D

E F

G

H

I

J

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 2 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.1.2 Ensembles 2 et 3 Définitions

• Dans le plan, un repère cartésien (orthonormé) est constitué d’un point O, nommé origine et de deux axes orientés Ox et Oy, perpendiculaires deux à deux, (muni d’une même échelle).

• Un point P du plan, peut alors être représenté par deux nombres réels : x et y. On notera : ( )P x; y .

• ( )x; y est un couple de nombres réel et x, y sont les coordonnées cartésiennes de P.

• Autrement dit, un point P du plan est identifié à un couple de nombres : ( )P x; y• ←⎯→ Illustration

L'ensemble de tous les couples de nombres ( ){ }x; y x et y∈ se note : 2× =

Le plan est donc identifié à 2 . • Dans l'espace, un repère cartésien (orthonormé) est constitué d’un point O, nommé origine et de trois axes orientés Ox, Oy et Oz, perpendiculaires deux à deux, (muni d’une même échelle).

• Un point P de l’espace, peut alors être représenté par trois nombres réels : x, y et z. On notera : ( )P x; y; z .

• ( )x; y;z est un triple de nombre réel et x, y, z sont les coordonnées cartésiennes de P.

• Autrement dit, un point P de l'espace est identifié à un triple de nombre: ( )P x; y;z• ←⎯→ Illustration

L'ensemble de tous les triples de nombres ( ){ }x ; y ;z x, y et z∈ se note : 3× × =

Notre espace usuel est donc identifié à 3 .

0 x

y • P(x;y)

P(x;y;z)

0

y

z

x

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 3 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 1 (réponse sur la feuille) a) Déterminer les coordonnées des points A, B, C et D dans le plan. b) Déterminer les coordonnées des points A, B, C, D, E, F et G dans l’espace.

x

y

0 1

1

A

B

C

D

x

y

z

0

• A

• B 1

1

1

• E

• C

• D

• F

• G

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 4 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.1.3 Composantes d’un vecteur • Considérons le plan identifié à 2 . ( )1 2A a ;a et ( )1 2B b ;b sont deux points du plan et v AB= est un vecteur du plan.

1 2a et a sont les coordonnées du point A , point d’application du vecteur v .

1 2b et b sont les coordonnées du point B , extrémité du vecteur v . Définition

Le nombre 1 1b a− est la 1ère composante du vecteur v AB= (différence des coordonnées en x).

Le nombre 2 2b a− est la 2ème composante du vecteur v AB= (différence des coordonnées en y).

Notation ( )1 1 2 2v AB b a ;b a= = − − Exemples

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

u 1 4; 2 3 3;1

v 7 4;4 3 3;1

w 8 5; 2 1 3; 1

x 1 2;5 6 3; 1

z 11 8;2 1 3;1

= − − − − = −

= − − =

= − − − − = −

= − − − = − −

= − − =

• Le vecteur opposé de ( )x 3; 1= − − est ( )v 3;1= et réciproquement.

• Les vecteurs ( )v 3;1= est ( )z 3;1= sont équivalents.

• Les composantes d’un vecteur peuvent être négatives.

• Tout vecteur du plan possède des composantes qui définissent sa direction, son sens et sa norme.

A •

0

v

1a

2a

• B

1b

2b

1 1−b a

2 2−b a

x

y

y

0 x

v z

u w

x

1

1

4 7

3 4

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 5 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Conséquences

a) Chaque vecteur du plan peut-être associé à un unique couple de nombre.

Ces nombres sont les composantes du vecteur.

b) Deux vecteurs sont équivalents si et seulement si ils ont les mêmes composantes.

Remarques

a) Il ne faut pas confondre le point ( )P 3;1 dont les coordonnées sont respectivement 3 et 1 avec le vecteur ( )v AB 3;1= = dont les composantes sont respectivement 3 et 1. Dans les deux cas nous utilisons le même couple de nombres ; cependant les coordonnées de P représentent la « position » du point P alors que les composantes de v représentent un « déplacement », une « translation ».

b) Pour chaque point ( )P x; y du plan on peut

construire un vecteur ( )v OP x; y= = . Dans ce cas, les coordonnées de P et les

composantes de v OP= ont mêmes valeurs.

c) Considérons l’espace identifié à 3 . i) La représentation des vecteurs dans l’espace est moins aisée que dans le plan.

ii) Les propriétés observées sur les vecteurs du plan sont applicables à ceux de l’espace.

iii) Chaque vecteur de l’espace peut-être associé à un unique triple de nombre.

Ces nombres sont les composantes du vecteur :

Autrement dit : si ( )1 2 3A a ;a ;a et ( )1 2 3B b ;b ;b sont deux points de l’espace alors

le vecteur ( )1 1 2 2 3 3v AB b a ;b a ;b a= = − − − est un vecteur de l’espace.

0 x

y

1 • P

3

v

3 1

• B • A

0

• P

• x

y v

x 0−

y 0− O

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 6 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 2

Considérons le plan identifié à 2 .

1) Dans chacun des dessins suivants, les deux flèches représentent-elles des vecteurs équivalents ?

Justifier vos réponses.

a) b) c)

d) e) f) 2) Donner les composantes de chaque vecteur.

3) Compléter la phrase suivante :

« Les vecteurs qui sont équivalents (qui ont même .….. , …….. et….…..) ont les mêmes ……. ». Exercice 3

a) Dessiner le vecteur AB et un vecteur équivalent au vecteur AB .

b) Faire de même pour les vecteurs CE et CD .

c) Déterminer les composantes des vecteurs AB , CE et CD .

Exercice 4 Indication : aider vous d’un dessin

Soit A(0;5) , B(1;0) , C(6;1) et D(5;6), quatre points du plan 2≈ .

a) Déterminer les composantes des vecteurs AB, AC, AD, BC, BD et CD .

b) Parmi ces vecteurs, lesquels sont équivalents ?

Exercice 5 Indication : aider vous d’un dessin

Soit les points O(0;0), A(5;7), B(7;10), C(7;5), D(9;8) et E(6;12) du plan 2≈ .

a) Déterminer les coordonnées du point F tel que OF AB= .

b) Déterminer les coordonnées du point G tel que OG BE= .

c) Déterminer les composantes du vecteur r tel que r DA= .

d) Déterminer les coordonnées du point M tel que AB MC= .

B

C D

E A

0

0

v

w 0

v

w 0 v

w

0

v w

0

v

w 0

v

w

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 7 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.1.4 Opérations sur les vecteurs Il y a deux opérations élémentaires qu’on peut définir sur les vecteurs.

On peut multiplier un vecteur par un scalaire (un nombre) et on peut additionner deux vecteurs. Ces deux opérations sont essentielles pour modéliser les phénomènes physiques ainsi que pour obtenir certains résultats en géométrie. Définition

Considérons ( ) ( )1 2 1 2a a ;a et b b ;b= = deux vecteurs du plan 2 et λ≈ ∈ un scalaire.

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2a b a ;a b ;b a b ;a b+ = + = + + (addition entre deux vecteurs)

( ) ( )1 2 1 2a a ;a a ; aλ λ λ λ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ (multiplication d’un vecteur par un scalaire)

Illustration Activité I (réponse sur la feuille) Considérons ( ) ( )1 2v 3;1 et v 0; 2= = − deux vecteurs du plan 2≈ .

i) Calculer 1 2a 2v 2v= − = 1 2b 3v v= + =

ii) Dessiner les vecteurs a et b .

1v

2v 0 x

y

y

a

b

a b+

2a

0 1a 1b

2b

1 1a b+

2 2a b+

x 1aλ

λ 2a aλ

A

B

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 8 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Définition

Considérons ( ) ( )1 2 3 1 2 3a a ;a ;a et b b ;b ;b= = deux vecteurs de l’espace 3 et λ≈ ∈ un scalaire.

( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3a b a ;a ;a b ;b ;b a b ;a b ;a b+ = + = + + + (addition entre deux vecteurs)

( ) ( )1 2 3 1 2 3a a ;a ;a a ; a ; aλ λ λ λ λ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ (multiplication d’un vecteur par un scalaire)

Illustration Activité II (réponse sur la feuille) Considérons ( ) ( )1 2v 3;1; 7 et v 10;0; 2= − = − deux vecteurs de l'espace 3≈ . Calculer 1 2a 2v 2v= − = 1 2b 3v v= + = Remarques a) Géométriquement, le vecteur a b+ est obtenu avec :

• "la règle du parallélogramme" (diagonale du parallélogramme). • en mettant les deux vecteurs a et b de sorte que l'extrémité de a coïncide avec le point d'application de b , comme dans l’exemple ci-dessous.

a b

a b+

O 2a 2b 2 2a b+

z

x

1aλ ⋅

aλ ⋅

y 1a 1b

1 1a b+

2aλ ⋅

3b

3a

3aλ ⋅3 3a b+

A

B

a

b

a b+

a b

a b+a

b

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 9 Géométrie vectorielle / 3 N-A

b) Géométriquement, le vecteur aλ ⋅ est obtenu en considérant qu’il a : • la même direction que a .

• une norme égale à aλ ⋅ .

• le même sens que a si λ > 0 et il est de sens opposé à a si λ < 0. c) Les vecteurs sont devenus des couples ou des triples de nombres.

Les opérations entre les vecteurs sont devenues des opérations entre des couples ou des triples de nombres.

On peut alors s'affranchir de la représentation géométriquement des vecteurs pour effectuer des opérations entre vecteurs. C'est plus facile et plus rapide ! d) Les opérations définies précédemment dans le plan 2≈ et dans l’espace 3≈ peuvent se généraliser dans n avec n 3 ( n entier positif )> :

Définition

Soient ( ) ( )1 2 n 1 2 na a ;a ;......;a et b b ;b ;.....;b= = deux vecteurs n et λ∈ ∈ un scalaire. On a :

( ) ( ) ( )1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n na b a ;a ;......;a b ;b ;......;b a b ;a b ;.........;a b+ = + = + + + (addition entre deux vecteurs)

( ) ( )1 2 n 1 2 na a ;a ;......;a a ; a ;.......; aλ λ λ λ λ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ (multiplication d’un vecteur par un scalaire)

e) On constate que l’addition de deux vecteurs est un vecteur et que la multiplication d’un vecteur par un scalaire est aussi un vecteur. Un peu d'histoire

L’Irlandais Sir William Hamilton (1805-1865) fut l’un des premiers à utiliser les vecteurs et il est probablement l’inventeur du mot (mot venant du latin vehere, qui signifie « porter »). L’Allemand Hermann Grassman (1809-1877) introduisit la notation vectorielle à l’occasion de problèmes de physique. L’Américain Gibbs (1839-1903) et l’Anglais Heaviside (1850-1925), disciples de Hamilton, donnent au calcul vectoriel sa forme quasi définitive, mais ce type de « calcul » met assez de temps à s’introduire en France. Michel Chasles (1793-1880), avait déjà pressenti l’importance du sens sur un axe sans aller jusqu’à la notion de vecteur.

2 a− ⋅ a

3 a⋅

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 10 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Propriétés de l'addition vectorielle et de la multiplication par un scalaire

Pour tout vecteur u,v et w et scalaires ,λ μ ∈ on a :

u v v u commutativité de l'addition+ = +P1)

( ) ( )u v w u v w associativité de l'addition+ + = + +P2)

0 v v 0 est l ' élément neutre pour l' addition+ =P3)

( )v -v 0 tout vecteur v possède unvecteur opposé v+ = −P4)

1 v v 1 est l'élément neutre pour la multiplication⋅ =P5)

( )u v u v distributivitéλ λ λ⋅ + = ⋅ + ⋅P6)

( ) v v vλ μ λ μ+ ⋅ = ⋅ + ⋅P7)

( ) ( )v v associativitéλ μ λ μ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅P8)

Démonstration En exercice Illustration de P6) Exemples

a) u v ( 3;1) ( 0; 2 ) ( 3 0;1 2 ) ( 0 3; 2 1) ( 0; 2 ) ( 3;1) v u+ = + − = + − = + − + = − + = +

b) ( ) ( )4 u v 4 ( 3;1) ( 0; 2 ) 4 ( 3; 1) ( 12; 4 )⋅ + = ⋅ + − = ⋅ − = −

4 u 4 v 4 ( 3;1) 4 ( 0; 2 ) ( 12;4 ) ( 0; 8 ) ( 12; 4 )⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ − = + − = −

c) Si ( )v 4;7= − alors ( )v 4; 7− = − car ( ) ( ) ( ) ( )v v 4;7 4; 7 0;0 0+ − = − + − = =

Définition

La soustraction de deux vecteurs est définie, grâce à l’addition, par : ( ) ( )u v u v u 1 v− = + − = + − ⋅

Exemples

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u v 3;1 6; 2 3;1 1 6; 2 3;1 6;2 3;3− = − − = + − ⋅ − = + − = −

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b 3;1; 2 6; 2; 4 3;1; 2 1 6; 2; 4 3;1; 2 6;2;4 3;3;2− = − − − − = − + − ⋅ − − = − + − = − Remarque

Les vecteurs u v+ et u v− donnent les directions des diagonales du parallélogramme construit sur u et v .

( )2u 2v 2 u v+ = +

u

v u v+

2u

2v

u

v

u v− u v−

v−

u v+

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 11 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.1.5 Combinaison linéaire, colinéarité, coplanarité Définition

Soit n scalaires 1 2 n, ,......,λ λ λ et n vecteurs 1 2 nv ,v ,......,v .

Le vecteur défini de la manière suivante : 1 1 2 2 n nv v ....... vλ λ λ+ + + est appelé

combinaison linéaire des vecteurs 1 2 nv ,v ,......,v .

Exemples

a) 13 v⋅ est combinaison linéaire du vecteur 1v .

b) 1 22v 3v+ est combinaison linéaire des vecteurs 1 2v et v .

c) ( ) ( )6;3 3 2;1= ⋅ est combinaison linéaire du vecteur ( )2;1 .

d) ( ) ( )9; 9;12 3 3;3; 4− − = − ⋅ − est combinaison linéaire du vecteur ( )3;3; 4− . Définitions

Deux vecteurs a et b du plan ou de l’espace sont colinéaires b aλ⇔ =

Trois vecteurs a,b et c de l’espace sont coplanaires c a bλ μ⇔ = +

Illustration Exemples

a) ( )a 6;3= et ( )b 2;1= sont colinéaires car a 3 b= ⋅ ou 1b a3

= ⋅

b) ( )a 9; 9;12= − − et ( )b 3;3; 4= − sont colinéaires car ( )a 3 b= − ⋅ ou 1b a3

⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

c) ( ) ( ) ( )a 3;3; 4 b 2;1;3 et c 5; 7;18= − = = − − sont coplanaires car ( )c 3 a 2 b= − ⋅ + ⋅ Remarques

a) Si deux vecteurs non nuls sont colinéaires alors un est combinaison linéaire de l'autre et réciproquement.

b) Si trois vecteurs non nuls sont coplanaires alors chaque vecteur est combinaison linéaire des deux autres.

c) Deux vecteurs colinéaires non nuls sont de même direction mais pas forcément de même sens ou intensité.

a

b aλ= ⋅

a

b

c a bλ μ= + bμ

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 12 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 6

Considérons ( ) ( )1 2v 2; 2 et v 2; 1= − − = − deux vecteurs du plan 2≈ .

a) Calculer les combinaisons linéaires suivantes :

1 2a 2v 2v= + 1 2b v v= − 1 23c v 3v2

= − + 1 21d v 2v2

= − −

b) Dessiner les vecteurs a,b, c et d . Exercice 7

Considérons ( ) ( )1 2v 3;1; 7 et v 10;0; 2= − = − deux vecteurs de l’espace 3≈ .

Calculer les combinaisons linéaires suivantes :

1 2a 3v 2v= + 1 2b v v= − 2 1c v v= − 1 21 2d v v2 3

= −

Exercice 8

Considérons 3 vecteurs ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2u u ;u ,v v ;v et w w ;w= = = du plan 2≈ et ,α β deux scalaires. Démontrer , en utilisant les composantes des vecteurs, les propriétés suivantes :

a) v w w v+ = + b) ( ) ( )u v w u v w+ + = + +

c) 0 v v+ = d) ( ) ( )v v v v 0+ − = − + =

e) 1 v v⋅ = f) ( )v w v wα α α⋅ + = ⋅ + ⋅

g) ( ) v v vα β α β+ ⋅ = ⋅ + ⋅ h) ( ) ( )v vα β α β⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Remarque : Ces propriétés sont aussi valables dans l'espace 3≈ ; les démonstrations sont similaires à celle de 2 .

1v 2v

0 x

y

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 13 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 9

Notation : Les vecteurs ( ) ( )i 1;0 et j 0;1= = sont appelés : la base canonique du plan 2≈ . a) Considérons un repère orthonormé et les vecteurs du plan suivant :

i) Écrire les vecteurs a ,b , c ,d , e et f comme combinaison linéaire des vecteurs i , j .

ii) Peut-on toujours écrire un vecteur ( )1 2v v ;v= du plan comme combinaison linéaire des

vecteurs ( ) ( )i 1;0 et j 0;1= = ? Justifier.

Notation : Les vecteurs ( ) ( ) ( )i 1;0;0 , j 0;1;0 et k 0;0;1= = = sont appelés :

la base canonique de l'espace 3≈ . b) Considérons un repère orthonormé et les vecteurs de l’espace suivant :

Exprimer les vecteurs ( ) ( ) ( )1 2 3a 7;10 ; 5 , b 3;0 ;0 et c c ;c ;c= − − = = dans la base

canonique i , j et k (c’est-à-dire comme combinaison linéaire des vecteurs i , j et k ).

a b

e f

d

c

j

i x

y

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 14 Géométrie vectorielle / 3 N-A

• C A •

• B

O •

AB

AC

BC OA OC

OB

• CA •

• B

O •

AB

AC

BC OA OC

OB

Relations de Chasles

Quels que soient les points A, B, C et O on a les trois relations suivantes :

AB BC AC

AB BA

AB OB OA

+ =

− =

= −

1)

2)

3)

Remarques

a) La première relation se généralise par exemple : AG GU UV VC AC+ + + = b) AB OA OB≠ + Démonstration 1) Par définition de l’addition vectorielle :

En mettant les deux vecteurs AB et BC de sorte que l'extrémité de AB coïncide avec le point d'application de BC on obtient : AB BC+ qui est égal au vecteur AC . 2) On pose C A = et on considère AC AB BC= +

On obtient : ( ) ( )AA AB BA 0 AB BA 0 AB AB BA AB AB BA= + ⇔ = + ⇔ + − = + + + − ⇔ − =

3) ( ) ( )OA AB OB OA AB OA OB OA AB OB OA+ = ⇔ + + − = + − ⇔ = −

Exemple

• Points : ( ) ( ) ( )O 0;0 ; A 1;2 ; B 5;4

• Vecteurs : ( ) ( )OA 1;2 ; OB 5;4= =

• Addition vectorielle : OA AB OB+ =

• Relations de Chasles : AB OB OA= −

( ) ( )5;4 1;2= −

( )5 1;4 2= − −

( )4;2= • 4 est la 1ère composante du vecteur AB .

• 2 est la 2ème composante du vecteur AB .

AB A •

B •

• O

OA OB

10 5

2

4

OA

ABOA OB+

OB

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 15 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 10 Répondre sur l’énoncé

On considère, dans un repère orthonormé d’origine O, les points ( )A 3; 1− , ( )B 4 ;4 et ( )C 0 ;3 .

a) Placer les points O, A, B et C, puis dessiner les vecteurs OA , OB et OC .

b) Dessiner les vecteurs AB, BC et AC . c) Exprimer AB, BC et AC comme combinaison linéaire de OA, OB et OC et calculer algébriquement les composantes de ces vecteurs :

AB

BC

AC

=

=

=

d) Complétez les phrases suivantes : i) Les composantes de ( ).A . ;. ..B .= indiquent que, pour aller du point A au point B, il faut se déplacer de ………unités dans la direction x, de ……….unités dans la direction y.

ii) Les composantes de ( ).B . ;. ..C .= indiquent que, pour aller du point B au point C, il faut se déplacer de ………unités dans la direction x, de ……….unités dans la direction y.

iii) Les composantes de ( ).A . ;. ..C .= indiquent que, pour aller du point A au point C, il faut se déplacer de ………unités dans la direction x, de ……….unités dans la direction y. e) Compléter la phrase suivante :

« Soit 1 2 1 2A( a ;a ) et B( b ;b ) deux points du plan 2≈ .

Les composantes du vecteur AB sont :

AB .......................................................................................................= »

x

y

0

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 16 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 11 Répondre sur l’énoncé

On considère, dans un repère orthonormé d’origine O, les points ( )A 3; 1;0− , ( )B 4 ;4 ; 1−

et ( )C 0 ;3;4 .

a) Placer les points O, A, B et C, puis dessiner les vecteurs OA , OB et OC .

b) Dessiner les vecteurs AB, BC et AC . c) Exprimer AB, BC et AC comme combinaison linéaire de OA, OB et OC et calculer algébriquement les composantes de ces vecteurs :

AB

BC

AC

=

=

=

d) Complétez les phrases suivantes : i) Les composantes de ( )...AB ; ... ..; .= indiquent que, pour aller du point A au point B, il faut se déplacer de ………unités dans la direction x, de ……….unités dans la direction y, et enfin de ………unités dans la direction z.

ii) Les composantes de ( )...BC ; ... ..; .= indiquent que, pour aller du point B au point C, il faut se déplacer de ………unités dans la direction x, de ……….unités dans la direction y, et enfin de ………unités dans la direction z.

iii) Les composantes de ( )...AC ; ... ..; .= indiquent que, pour aller du point A au point C, il faut se déplacer de ………unités dans la direction x, de ……….unités dans la direction y, et enfin de ………unités dans la direction z. e) Compléter la phrase suivante :

« Soit 1 2 3 1 2 3A( a ;a ;a ) et B( b ;b ;b ) deux points de l’espace 3≈ .

Les composantes du vecteur AB sont : AB ............................................................................= »

x

y

z

0

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 17 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 12

Soit le point ( )A 1;1 .

Déterminer en utilisant les relations de Chasles :

a) les coordonnées du point B tel que ( )AB 4; 3= −

b) les coordonnées du point C tel que ( )BC 4; 3= −

c) les coordonnées du point D tel que ( )CD 4; 3= −

d) les composantes du vecteur AD . e) les coordonnées des points E et F si ( )EF 2;3=

Exercice 13

a) Soit A, B et C trois points distincts.

Quelle(s) relation(s) vectorielle(s) doit être satisfaite, pour que les points A, B et C soient alignés ? Justifier votre réponse, entre autres, à l'aide d'un dessin contenant des points et des vecteurs. b) En utilisant le calcul vectoriel, déterminer dans chaque cas si les points A, B et C sont alignés.

i) ( ) ( ) ( )A 6;4 , B 14; 12 et C 2;12 − ii) ( ) ( ) ( )A 0;4 , B 6;1 et C 12;13−

iii) ( ) ( ) ( )A 0;20;1 , B 20;60;1 et C 30; 40;1−

Exercice 14

a) Soit A, B, P et Q, quatre points distincts.

Quelle(s) relation(s) vectorielle(s) doit être satisfaite, pour que la droite dAB, passant par A et B, soit parallèle à la droite dPQ, passant par P et Q ? Justifier votre réponse, entre autres, à l'aide d'un dessin contenant des points et des vecteurs. b) En utilisant le calcul vectoriel, déterminer dans chaque cas si la droite passant par le point P et Q est parallèle à la droite passant par A et B.

i) ( ) ( ) ( ) ( )P 1; 1 , Q 4;3 , A 1;5 et B 5;2− − ii) ( ) ( ) ( ) ( )P 1; 1 , Q 4;3 , A 3; 3 et B 12;9− −

iii) ( ) ( ) ( ) ( )P 2;2; 2 , Q 1;2; 3 , A 2;2;0 et B 0;2;2− − − −

Exercice 15 a) Soit les points ( ) ( ) ( ) ( )A 3;2 , B 2;0 ,C 3;2 et D 5;k− avec k ∈ .

i) Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de k, les points A, B et D sont alignés.

ii) Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de k, la droite dAB est parallèle à la droite dCD .

b) Soient les points ( ) ( )A 2; 2;5 , B 0;2;3 et C( ;6; )α β− avec ,α β ∈ .

Déterminer α et β de telle manière que les points A, B et C soient alignés.

A •

• B

• C

A •

• B O •

• P

• Q

dAB

dPQ

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 18 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Rappel Convention d’écriture

• On dessinera un triangle défini par les lettres ABC en plaçant les sommets en tournant dans le sens trigonométrique (anti-horaire). • On dessinera un quadrilatère défini par les lettres ABCD en plaçant les sommets en tournant dans le sens trigonométrique (anti-horaire). Exercice 16

a) Soit A, B, C et D, quatre points distincts.

Quelle(s) relation(s) vectorielle(s) doit être satisfaite, pour que les points A, B, C et D définissent un parallélogramme ? Justifier votre réponse, entre autres, à l'aide d'un dessin contenant des points et des vecteurs. b) Dans le plan on considère les points suivants : ( ) ( ) ( ) ( )A 10;4 , B 0;0 , C 8; 20 et D 18; 16− −

Montrer en utilisant le calcul vectoriel, que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Exercice 17

Un segment [ ]AB limité par les points ( )A 1;8;3− et ( )B 9; 7; 2− − est divisé par les points C,D,E et F en 5 parties égales. Déterminer les coordonnées de ces points. Exercice 18

Soit ( )A 2; 5− , ( )B 2;3− et ( )C 6;4 trois points du plan 2≈ .

a) Déterminer, à l’aide du calcul vectoriel, le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

b) Déterminer, à l’aide du calcul vectoriel, le point M intersection des 2 diagonales de ce parallélogramme. Exercice 19

Soit ( )A 2; 3; 5− − et ( )B 1;3;2− deux sommets du parallélogramme ABCD dans l’espace 3≈

Soit ( )M 4; 1;7− l'intersection des diagonales. Déterminer à l’aide du calcul vectoriel, les deux autres sommets.

B

A

C D

B

A

C

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 19 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 20 *

Pierre Varignon (1654-1722)

Démontrer le théorème de Varignon à l'aide du calcul vectoriel :

« En joignant les milieux d'un quadrilatère ABCD quelconque, on obtient un parallélogramme IJKL ».

Exercice 21 *

Soit ABCD un parallélogramme.

a) Démontrer en utilisant le théorème de Thalès que ses diagonales se coupent en leur milieu.

b) Démontrer en utilisant le calcul vectoriel que ses diagonales se coupent en leur milieu. Exercice 22

Soit ( ) ( )1 2 1 2A a ;a et B b ;b deux points du plan.

( );1 2M m m est le point milieu du segment [ ]AB qui satisfait vectoriellement : MA MB 0+ = . a) Exprimer OM comme combinaison linéaire de OA et OB.

b) Déterminer les composantes du vecteur OM .

c) Déterminer le point milieu du segment [ ]AB

avec ( ) ( )A 2; 3 et B 4;4− .

d) Faire les mêmes raisonnements qu'aux points a) et b) mais avec deux points de l'espace ( ) ( )1 2 3 1 2 3A a ;a ;a et B b ;b ;b

e) Soit M le milieu de [ ]AC et N le milieu de [ ]BC . Montrer que 1MN AB2

=

• •

• •

L

D B

C

A

I

J K

A

B

M •

y

MA

MB

O x

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 20 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 23 Soit les 4 points ( ) ( ) ( ) ( )A 5; 1;0 , B 1; 4;5 , C 2; 2;4 et D 6;1; 1 − − − − .

a) Déterminer les composantes des vecteurs AB et DC .

b) Que peut-on conclure à propos du quadrilatère ABCD ?

c) Déterminer les coordonnées du point M milieu du segment [ ]AC .

d) Déterminer les coordonnées du point N milieu du segment [ ]BD .

Exercice 24

Le centre de gravité G d'un objet est une notion physique qui est liée, entre autres choses, à la répartition de la masse à l'intérieur de cet objet. C'est en ce point qu'une force égale au poids de l'objet doit être appliquée pour que celui-ci soit en équilibre. Dans le cas d'une masse homogène et d'un champ de gravitation uniforme, le centre de gravité est en rapport direct avec la géométrie de l'objet et ses axes de symétrie : le centre de gravité d'un triangle se trouve à l'intersection de ses médianes et celui d'un rectangle à l'intersection de ses diagonales. Soit ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2A a ;a , B b ;b et C c ;c les sommets du triangle ABC dans le plan.

( )1 2G g ; g est le centre de gravité du triangle ABC qui satisfait vectoriellement :

GA GB GC 0+ + = . a) Exprimer OG comme combinaison linéaire de OA, OB et OC .

b) Déterminer les composantes du vecteur OG .

c) Déterminer le centre de gravité du triangle ABC avec A( 6;0 ),B( 4;4 ) et C( 4; 4 ).− − .

d) Faire les mêmes raisonnements qu'aux points a) et b) mais avec trois points de l'espace ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3A a ;a ;a , B b ;b ;b et C c ;c ;c . e) Construire vectoriellement le point G. (réponse sur la feuille)

A • B •

C •

• O

G

• G

x

y

B

A

C

O

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 21 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 25

a) On veut obtenir les vecteurs « sommets » du carré A'B'C'D' à partir des vecteurs « sommets » du carré ABCD.

Compléter les égalités vectorielles suivantes :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

OA' OA

OB' OB

OC' OC

.....;..... ................ .....;.....

.....;..... ................ .....;.....

.....;..... ................ .....;.....

.....;.....

=

=

=

( )OD' OD

................ .....;.....=

b) On veut obtenir les vecteurs « sommets » du carré A''B''C''D'' à partir des vecteurs « sommets » du carré A'B'C'D'.

Compléter les égalités vectorielles suivantes :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

OA'' OA'

OB'' OB'

OC'' OC'

.....;..... ................ .....;.....

.....;..... ................ .....;.....

.....;..... ................ .....;.....

=

=

=

( ) ( )OD'' OD'

.....;..... ................ .....;.....=

c) Comment appelle-t-on cette transformation du plan ? d) Quel objet et quelle opération mathématique avez-vous utilisés pour obtenir ces transformations ? e) Quelles sont les grandeurs conservées par cette transformation ?

(longueur des côtés, angles, aires, parallélisme, orientation) f) Est-ce que cette transformation s’applique uniquement aux carrés ? Justifier.

x 0

y

A’ B’

C’ D’

A’’ B’’

C’’ D’’

A B

CD

2

2

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 22 Géométrie vectorielle / 3 N-A

0 x

y

A’ B’

C’D’

A’’ B’’

C’’ D’’

A B

CD

2

2

Exercice 26

a) On veut obtenir les vecteurs « sommets » du carré A’B’C’D’ à partir des vecteurs « sommets » du carré ABCD. Compléter les égalités vectorielles suivantes :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

OA' OA

OB' OB

OC' OC

.....;..... ................ .....;.....

.....;..... ................ .....;.....

.....;..... ................ .....;.....

.....;.....

=

=

=

( )OD' OD

................ .....;.....=

b) On veut obtenir les vecteurs « sommets » du carré A’’B’’C’’D’’ à partir des vecteurs « sommets » du carré A’B’C’D’.

Compléter les égalités vectorielles suivantes :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

OA'' OA'

OB'' OB'

OC'' OC'

.....;..... ................ .....;.....

.....;..... ................ .....;.....

.....;..... ................ .....;.....

=

=

=

( ) ( )OD'' OD'

.....;..... ................ .....;.....=

c) Comment appelle-t-on cette transformation du plan ? d) Quel objet et quelle opération mathématique avez-vous utilisés pour obtenir ces transformations ? e) Quelles sont les grandeurs conservées par cette transformation ?

(longueur des côtés, angles, aires, parallélisme, orientation) f) Est-ce que cette transformation s’applique uniquement aux carrés ? Justifier.

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 23 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.1.6 Norme d’un vecteur On note a la norme (ou l'intensité) d’un vecteur a .

Proposition

Dans le plan 2≈ : ( ) 2 21 2 1 2Si a a ;a alors a a a= = +

Dans l’espace 3≈ : ( ) 2 2 21 2 3 1 2 3Si a a ;a ;a alors a a a a= = + +

Exemples

a) ( ) 2 2Si a 3;4 alors a 3 4 5= = + = b) ( ) 2 2 2Si a 3;4;5 alors a 3 4 5 50= = + + =

Démonstration

Dans le plan : Dans l’espace: Triangle rectangle et théorème de Pythagore : Triangle rectangle et théorème de Pythagore :

2 2 2 2 21 2 1 2a a a a a a= + ⇔ = +

22 2 2 2 21 2 3

2 2 2 2 23 1 2 3

r a a et a r a

Donc a r a a a a

= + = +

= + = + +

Propriétés de la norme a ,b et λ∀ ∈

a 0 et a 0 a 0

a a

a b a b ( inégalité du triangle )

λ λ

≥ = ⇔ =

⋅ = ⋅

+ ≤ +

1)

2)

3)

Exemple

( ) ( ) 2 2 2 2a 3;4 ; 5 a 15;20 ; 5 a 15 20 25 ; 5 a 5 3 4 5 5 25= ⋅ = ⋅ = + = ⋅ = ⋅ + = ⋅ =

Démonstration En exercice.

a b

a b+

a

0

2a

1a

a

0 r

a

1a

2a

3a

a

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 24 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Définition

Un vecteur u est unitaire ⇔ u 1=

Exemples

a) Dans le plan ( ) ( )i 1;0 et j 0;1= = sont unitaires.

2 2 2 2Vérification : i 1 0 1 j 0 1 1= + = = + =

b) Dans le plan tout vecteur de la forme ( )u cos( );sin( )θ θ θ= ∀ ∈

est unitaire car : 2 2u cos ( ) sin ( ) 1 1θ θ= + = =

( ) ( )( ) 2 2Si 45 alors u cos 45 ;sin 45 ; est unitaire.2 2

θ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Vérification : 2 2

2 2 2 2u 1 12 2 4 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Proposition

Si v 0≠ , alors le vecteur 1u vv

= ⋅ que l’on écrit aussi vv

est un vecteur unitaire de même

direction et de même sens que v .

Exemples

a) Dans le plan : ( )v 1;1 et v 2 ( pas unitaire )= =

( )2 21 1 1 1 1 1u v 1;1 ; et u 1 ( unitaire )

2 2 2 2 2v⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) Dans l'espace : ( )v 1;1;1 et v 3 ( pas unitaire )= =

( )2 2 21 1 1 1 1 1 1 1u v 1;1;1 ; ; et u 1 ( unitaire )

3 3 3 3 3 3 3v⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Remarque Cette opération, est appelée normalisation d’un vecteur. Démonstration Considérons le vecteur ( )v a;b= de norme : 2 2v a b= + .

Calculons : ( )2 2 2 2 2 2

1 1 a bu v a;b ;v a b a b a b

⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ = ⎜ ⎟

+ + +⎝ ⎠

Calculons sa norme : 2 2 2 2

2 22 2 2 2

a b a bu 1 1a ba b a b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ += + = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ++ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

θ

0 cos(θ)

sin(θ)

1 x

y

u

i j

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 25 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 27

Calculer la norme des vecteurs suivants : (réponse en valeur exacte)

a) ( ) ( )a 8;15 ; b 3;4 ; c cos ;sin ; a b3 3π π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

b) ( ) ( )a 12;3;4 ; b 1;2;3 ; 5a ; a b= − = − + Exercice 28

En s'appuyant sur la définition algébrique de la norme dans le plan 2≈ , démontrer les propriétés suivantes :

Pour tout ( )1 2a a ;a et λ= ∈ on a :

1) a 0≥ 2) a 0 a 0= ⇔ = 3) a aλ λ⋅ = ⋅

Remarque : Ces propriétés sont aussi valables dans l'espace 3≈ ; les démonstrations sont similaires à celle de 2 . Exercice 29

1) Soit ( )a 4; y= . Trouver le(s) nombre(s) y tel que a 5= .

2) Soit ( )b 4; 12;z= − . Trouver le(s) nombre(s) z tel que b 13= .

3) Soit 1 1c ; y;2 2

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Trouver le(s) nombre(s) y tel que c 1= .

4) Soient les points ( )A 3;2 et ( )D 5;k avec k ∈ .

Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de k, AD 4= .

Exercice 30

Déterminer par calcul, un vecteur u :

a) unitaire du plan ayant la même direction et même sens que ( )v 4; 3= − .

b) de l'espace de longueur 5 ayant la même direction et même sens que ( )w 7 ;3; 4= − .

c) unitaire de l'espace ayant la même direction que ( )x 3; 3; 3= − − − .

d) du plan dont la norme est égale à 4 et dont la composante dans la direction de i est deux fois plus grande que la composante dans la direction de j .

e) du plan ayant la même direction et même sens que v 5i 12 j= − et dont la norme est égale à 8. Rappels Dans le plan : ( ) ( )i 1;0 ; j 0;1= =

Dans l’espace : ( ) ( ) ( )i 1;0;0 ; j 0;1;0 ; k 0;0;1= = =

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 26 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 31 a) Dans le plan 2≈ :

i) Déterminer les composantes des vecteurs OA, OB , OC, AB, BC et AC .

ii) Calculer la norme des vecteurs du point i). (réponse en valeur exacte)

iii) Calculer le périmètre du triangle ABC.

b) Dans l’espace 3≈ :

i) Déterminer les composantes des vecteurs OA, OB , OC, AB, BC et AC .

ii) Calculer la norme des vecteurs du point i). (réponse en valeur exacte)

iii) Calculer le périmètre du triangle ABC. c) Compléter les phrases suivantes :

i) « Soit ( ) ( )1 2 1 2A a ;a et B b ;b deux points du plan 2≈ .

La norme de AB (distance entre A et B) est : AB ....................................= »

ii) « Soit ( ) ( )1 2 3 1 2 3A a ;a ;a et B b ;b ;b deux points de l’espace 3≈ .

La norme de AB (distance entre A et B) est : AB ............................................= »

0 x

y

A

B•

1

1

• C

x

O y

z

B

C

1

1

A

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 27 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 32

Soient ( ) ( ) ( )A 1;2;3 ; B 2;5;8 ; C 2;7;4− trois points de l’espace 3≈

a) Le triangle ABC est-il isocèle ou équilatéral ? Justifier.

b) Calculer le périmètre et l’aire du triangle.

Exercice 33 Démontrer que les quatre points ( )A 3;0;4− , ( )B 0; 4;3− , ( )C 0 ;0 ;5 et ( )D 2;2 3 ;3

appartiennent à une sphère centrée à l’origine. Calculez le rayon R de cette sphère. Exercice 34 *

Soit ( ) ( )A 2;2 et B 4; 2− deux points du plan 2≈ .

a) Déterminer C tel que le triangle ABC soit isocèle en C et que OC et OA soient colinéaires.

b) Calculer l’aire de ce triangle.

2.1.7 Composantes d'un vecteur du plan en fonction de sa norme et son angle directeur * Exprimons les composantes d'un vecteur du plan en fonction de sa norme et de son angle directeur *

Soit : ( )v a;b=

On a : v norme de v= (intensité de v )

angle directeur de v (directionet sens de v par rapport à

la partie positive de l'axehorizontal.)θ =

a) Comment obtenir v et θ à l'aide des composantes a et b de v ?

( )

2 2

1

Pythagore : v a b

b bTrigonométrie : tan tan ou 180a a

θ θ θ−

= +

⎛ ⎞= ⇔ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

b) On constate à que : a v cos( )θ= ⋅ et b v sin( )θ= ⋅

et donc ( ) ( ) ( )v a;b v cos( ); v sin( ) v cos( );sin( )θ θ θ θ= = ⋅ ⋅ = ⋅

Exemple *

( ) 2 2 1 2Si v 2;2 alors v 2 2 8 ( norme ) et tan 45 ( angle directeur )2

θ − ⎛ ⎞= = + = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

On peut écrire : ( ) ( )v 8 cos( 45 ); 8 sin( 45 ) 8 cos( 45 );sin( 45 )= ⋅ ⋅ = ⋅

y

θ

0

v

v

a

b

x

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 28 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 35 *

On considère un octogone régulier (8 côtés de même longueur) inscrit dans un cercle de rayon 14. Déterminer les composantes des vecteurs « sommets »

iOK de la "molécule" suivante : (réponse en valeur exacte). Exercice 36 *

Déterminer les composantes des vecteurs « sommets » i iOH et ON des "molécules" suivantes : (réponse en valeur exacte).

Exercice 37 *

a) Le point P est soumis à deux forces PQ et PR d’intensités respectives 5 [N] et 8 [N]. (Le newton est l’unité de force)

La direction de PQ est Nord 20° Est et la direction de PR est Nord 65° Est.

Calculer la norme et la direction de la force résultante PS . b) Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

i) « En additionnant les normes des vecteurs a et b on obtient la norme du vecteur a b+ . »

ii) « En additionnant les angles directeurs des vecteurs a et b on obtient l’angle directeur du vecteur a b+ . »

0 K1

K2

K3

x

y

K4

K5

K6

K7

K8

H1 H2

H3 H4

0

Carré de côté 10 et de centre C(2;3)

x

y

C

Hexagone de côté 7 et de centre C(-3;-6)

N1

N2 N3

N4

N5 N6

0 x

y

C

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 29 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 38 *

Déterminer une force additionnelle 4F pour que la condition d’équilibre statique soit satisfaite.

Condition d’équilibre : 1 2 3 4F F F F 0+ + + =

Calculer la norme et l’angle directeur de la force additionnelle 4F . Exercice 39 *

Les vecteurs sont très utiles pour décrire le mouvement d’un robot.

La figure représente le bras d’un robot. Ce bras peut pivoter aux articulations P et Q. Le bras supérieur, représenté par c PQ= , fait 37,5 cm de long et l’avant-bras, y compris la main, représenté par d QR= a une longueur de 42,5 cm.

a) Calculer les composantes du vecteur PR .

b) Calculer la norme et l’angle directeur du vecteur PR .

Exercice 40 *

La figure montre deux remorqueurs qui amènent un navire dans le port. Le remorqueur A (le plus puissant) génère une force de 20’000 [N] sur son câble, le plus petit B une force de 16’000 N. Si le navire suit une ligne droite l, calculer l’angle θ que forme le remorqueur A avec la droite l.

A

B

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 30 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.1.8 Ce qu’il faut absolument savoir 1♥ Connaître la définition d’un vecteur ok

2♥ Comprendre la notion d’équivalence entre deux vecteurs ok

3♥ Comprendre les identifications : 2plan ↔ et 3espace ↔ ok

4♥ Déterminer les composantes d’un vecteur dans 2 ok

5♥ Additionner deux vecteurs à l’aide des composantes dans 2 et 3 ok

6♥ Multiplier un vecteur par un scalaire à l’aide des composantes dans 2 et 3 ok

7♥ Connaître les propriétés de l’addition vectorielle et de la multiplication par un scalaire ok

8♥ Soustraire deux vecteurs à l’aide des composantes dans 2 et 3 ok

9♥ Connaître la définition de combinaison linéaire et de colinéarité ok

10♥ Connaître les relations de Chasles ok

11♥ Calculer la norme d’un vecteur à l’aide des composantes dans 2 et 3 ok

12♥ Connaître les propriétés de la norme d’un vecteur ok

13♥ Connaître la définition de vecteur unitaire et savoir normaliser un vecteur ok

14♥ * Calculer la norme et l’angle directeur d’un vecteur dans 2 ok

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 31 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.2 Produit scalaire, déterminant et produit vectoriel

2.2.1 Le produit scalaire

Considérons les deux vecteurs :

• d AB= Le déplacement d’un objet P entre le point A et le point B. • F La force constante appliquée à l’objet. En Physique, on définit le travail W d’une force F constante appliquée à un objet P se déplaçant d’un point A à un point B ( d AB= ) par : dW proj F d= ⋅

Donc :

( ) ( ) ( )d notationW proj F d F cos d d F cos F d produit scalairede F et dθ θ= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = i

Remarque Si F est perpendiculaire à d AB= alors la dproj F est nulle et le travail W est nul. Définition (Mathématique)

Étant donné deux vecteurs u et v , le produit scalaire de u et v , noté u v , est le nombre réel (scalaire) défini par :

u v u v cos( )θ= ⋅ ⋅i

où θ est l’angle que forment les vecteurs u et v lorsqu’on les rapporte à une même origine. ( 0 )θ π≤ ≤ Illustration

dproj F d θ

F

A

B P

v

u θ

v cos( )⋅ θ

u cos( )θ

v

u

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 32 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Théorème (Expression du produit scalaire de deux vecteurs 2u et v∈ à l’aide des composantes)

( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2Si u u ;u et v v ;v alors u v u v u v= = = ⋅ + ⋅i

Exemples

a) Dans 2 : ( ) ( )Si u 3; 2 et v 4; 4 alors u v 3 4 2 4 20= − = − = ⋅ − ⋅ − =i

b) Dans 3 : ( ) ( )Si u 3; 2; 2 et v 4;4; 2 alors u v 3 4 2 4 2 2 16= − − − = − = − ⋅ − ⋅ + − ⋅ − = −i Démonstration Théorème du cosinus :

( )2 2 2 2 2 2

u v

1u v u v 2 u v cos( ) u v cos( ) u v u v2

θ θ

=

− = + − ⋅ ⋅ ⇔ ⋅ ⋅ = ⋅ + − −

i

Avec les composantes :

( ) ( )( )( ) ( )( )

2 22 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2

1u v u u v v u v u v21 u u v v u 2 u v v u 2 u v v u v u v2

⇔ = ⋅ + + + − − − −

= ⋅ + + + − − ⋅ ⋅ + − − ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⋅

i

Théorème (Expression du produit scalaire de deux vecteurs 3u et v∈ à l’aide des composantes)

( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3Si u u ;u ;u et v v ;v ;v alors u v u v u v u v= = = ⋅ + ⋅ + ⋅i

Démonstration Similaire à celle dans 2 .

2.2.2 Propriétés du produit scalaire

Considérons u,v et w trois vecteurs et un scalaire .λ

2

u v v u Le produit scalaire est commutatif.

u ( v w ) u v u w Le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition.

( u ) v u ( v ) ( u v )

v v v Le produit scalaire d'un vecteur avec lu

λ λ λ

=

+ = +

= =

=

i ii i ii i i

i

P1)

P2)

P3)

P4) ˆi-meme donne lecarré de sa norme.

Démonstration En exercice.

v θ

u u v−

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 33 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 41

À partir de la définition du produit scalaire remplir le tableau suivant : (réponse en valeur exacte et il s'agit de vecteurs de 2 )

i i j i− j− i j+

i

j

i j+ Exercice 42

À partir de la définition du produit scalaire remplir le tableau suivant : (réponse en valeur exacte et il s'agit de vecteurs de 3 )

i i j k i j+ i j−

i

j

k

i j+ Exercice 43

a) Soit les vecteurs ( ) ( ) ( ) ( )a 3;3 ; b 1;2 ; i 1;0 et j 0;1= − = − = = de 2 .

Calculer ( ) ( ) ( )a b , i j , a b i , a i b , j b a− +i i i i i i .

b) Pourquoi ( )a i b n'a pas de sens ?

c) Soit les vecteurs ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a 2; 3;1 ; b 4; 1;0 ; i 1;0;0 ; j 0;1;0 et k 0;0;1= − − = − = = =

de 3 . Calculer ( ) ( ) ( )a b , i j , a b i , j b a , k i j− + +i i i i i .

Exercice 44

Considérons 3 vecteurs de 2 : ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2u u ;u , v v ;v et w w ;w= = = ainsi que λ un scalaire.

Démontrer les propriétés du produit scalaire énoncé ci-dessous :

2

u v v u Le produit scalaire est commutatif.

u ( v w ) u v u w Le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition.

( u ) v u ( v ) ( u v )

v v v Le produit scalaired'un vecteur avec lu

λ λ λ

=

+ = +

= =

=

i ii i ii i i

i

P1)

P2)

P3)

P4) ˆi-memedonne le carré de sa norme.

Remarque : Les démonstrations étant identiques, ces propriétés sont aussi valables dans 3 .

0

z

1

1 i

k

j

1

y

x

0

y

1

1 xi

j

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 34 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.2.3 Angle entre deux vecteurs

On a : u varcos avec 0 180u v

θ θ⎛ ⎞⎜ ⎟= ≤ ≤⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

i

Remarque : 1arccos cos−= Exemple Considérons 2 points ( ) ( ) 2A 2;1 et B 1;2 ∈ .

Calculons l’angle AOBθ = à l’aide du produit scalaire :

OA OB 2 1 1 2 4arccos arccos arccos 36,8755 5OA OB

θ⎛ ⎞ ⋅ + ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = = ≅ °⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅ ⎝ ⎠⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠

i

Démonstration

u v u vu v u v cos( ) cos( ) arcosu v u v

θ θ θ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⇔ = ⇔ =⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

i ii

Remarques

De la définition du produit scalaire u v u v cos( )θ= ⋅ ⋅i , il ressort que le signe du produit scalaire

dépend uniquement de l’angle θ entre les deux vecteurs : Soit u 0 et v 0 et 0 θ π≠ ≠ ≤ ≤ .

cos 0θ⇔ > ⇔ iθ aigu u v > 0 .

cos 0θ⇔ < ⇔ iθ obtus u v < 0 .

( )90 cos 0θ= ⇔ = ⇔ iπθ = u v = 02

.

Proposition

Deux vecteurs non nuls u et v sont orthogonaux ( )u v u v 0⊥ ⇔ =i

Exemple

Dans 2 : ( ) ( ) ( )u 3;1 et v 1;3 sont orthogonaux car u v 3 1 1 3 0= = − = ⋅ − + ⋅ =i

Dans 3 : ( ) ( ) ( )u 3;2; 2 et v 2;2;5 sont orthogonaux car u v 3 2 2 2 2 5 0= − = = ⋅ + ⋅ + − ⋅ =i

u

θ = 90°

v

v θ

u

u

θ

v

u

θ v

O

y

A

B •

• 1

1 x

θ

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 35 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exemples a) Si ( )u 2;1= alors ( )v 1;2= − est un vecteur orthogonal à u

( )car u v 2 1 1 2 0= ⋅ − + ⋅ =i

b) Plus généralement : Dans 2 , si ( )1 2u u ;u= alors ( )2 1u u ;u⊥ = −

est un vecteur orthogonal à u ( )1 2 1 2car u u u u u u 0⊥ = ⋅ − + ⋅ =i Propriétés

u u⊥=P5) (même norme)

Si u 0 , u s' obtient par rotation du vecteur u de 90 dans le sens anti horaire.⊥≠ −P6)

( ) ( )k u k u et u v u v⊥ ⊥ ⊥⊥ ⊥⋅ = ⋅ + = +P7)

Exercice 45

a) Dessiner dans un repère orthonormé les vecteurs ( )a 2;2= et ( )b 1;2,5=

b) Mesurer à l’aide d’un rapporteur l’angle formé par les vecteurs a et b . c) A l’aide du produit scalaire, calculer en degré l’angle entre a et b . d) Même question, mais pour les vecteurs a 2i 2 j= + et c 0i 2 j= − .

Exercice 46

Considérons les 3 points de 2 : ( ) ( ) ( )A 1; 3 ; B 2;1 et C 5,5;3,5− − .

a) A l’aide du produit scalaire, calculer les angles du triangle.

b) Le triangle ABC est-il isocèle ? Justifier par un calcul.

c) A l’aide des vecteurs, calculer l'aire du triangle ABC.

Exercice 47

Soit les points ( ) ( )A 4;3 et B 1;2− du plan 2≈ .

Calculer, à l’aide du produit scalaire, l'angle aigu que fait la droite (AB) avec l'horizontale.

Exercice 48

a) Soit ( ) ( )a 3;2; 1 et b 1;1;0= − = deux vecteurs de 3 .Calculer l'angle entre les vecteurs a et b .

b) Soit ( ) ( ) ( )A 1;2 ; 3 , B 2;1; 4 et C 1;0;5− − − − trois points de 3 . Calculer l’angle BAC .

u

v

0

y

•1

1 x

B

C

A

O •

u⊥

θ = 90°

u⊥

- u2 u1

u2 u1

α

α β

β

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 36 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 49

Les vecteurs a et b sont-ils orthogonaux ? Justifier. a) ( )a 10;100= et ( )b 50;5= − b) ( )a 28;24= − et ( )b 47; 55= − −

c) ( )a 2;3;3= − et ( )b 0;1;3= d) ( )a 2;3;1= − et ( )b 2;3; 5= −

e) Déterminer si la valeur de l’angle formé par les vecteurs a et b est : aigu, obtus ou droit et ceci sans calculer explicitement l’angle. Exercice 50

Soit ( ) ( ) ( )A 3; 6 , B 9;42 et C 27; 9− − trois points de 2 .

a) Le triangle ABC est-il rectangle en A ? Justifier votre réponse en utilisant le produit scalaire.

b) A l’aide des vecteurs, calculer l'aire du triangle ABC. Exercice 51

Soit ( ) ( ) ( )A 1; 2 , B 3; et C 9; 3λ− − trois points de 2 .

a) A l'aide du produit scalaire, calculer les valeurs de λ pour que ABC soit un triangle rectangle.

b) Dessiner dans un repère orthonormé tous les triangles rectangles ABC. Exercice 52

Soit ( ) ( )a 2;0;1 et b 1;2;3= = deux vecteurs de 3 .

a) Déterminer un vecteur ( )1 2 3n n ;n ;n= , orthogonal à a .

b) Déterminer deux vecteur ( ) ( )1 2 3 1 2 3v v ;v ;v et w w ;w ;w= = ayant des directions différentes

et qui soient orthogonaux au vecteur b .

c) Combien y a-t-il de vecteurs c , orthogonaux à a et à b dans 3 ? Justifier votre réponse.

d) Déterminer un vecteur ( )1 2 3c c ;c ;c= , orthogonal à a et à b .

e) Déterminer un vecteur ( )1 2 3u u ;u ;u= , orthogonal à a et à b et unitaire. Exercice 53

a) Dessiner dans un repère orthonormé les vecteurs ( )a 2;3= − et a ⊥ .

b) Donner les composantes du vecteur a ⊥ .

c) Calculer a a ⊥i . Que constate-t-on ?

d) A l’aide du produit scalaire, calculer en degré l’angle entre a et a⊥ . e) Même question, mais pour les vecteurs x 4i 3 j= − et x ⊥ .

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 37 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 54

On donne deux points ( ) ( )A 2;1 et B 3;–5 de 2 .

a) Déterminer de manière vectorielle les sommets C et D d'un carré ABCD dont [ ]AB est un côté. (Réponse en valeur exacte).

b) Dessiner dans un repère orthonormé le carré ABCD.

2.2.4 Projection orthogonale d’un vecteur sur un autre vecteur Il s’agit de trouver la projection orthogonale p du vecteur a sur le vecteur b : Proposition

2a bp bb

= ⋅i et

a bp

b=

i

Exemples

a) Soient ( ) ( ) 2a 1;2 et b 2;1= = ∈ .

La projection orthogonale p de a sur b est donnée par :

( ) ( )2 2 2a b 1 2 2 1 4 8 4p b 2;1 2;1 ;

2 1 5 5 5b

⎛ ⎞⋅ + ⋅ ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

i

b) Soient ( ) ( ) 3a 2;1;3 et b 2; 1;1= − = − ∈ .

La projection orthogonale p de a sur b est donnée par :

( ) ( )2 2 22 2 1 ( 1) 3 1 1 2 1 1p 2; 1;1 2; 1;1 ; ;

2 ( 1) 1 3 3 3 3− ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⎛ ⎞= ⋅ − = − ⋅ − = − −⎜ ⎟+ − + ⎝ ⎠

Démonstration

Comme p et b sont colinéaires on peut écrire p = λb .

L’inconnue est λ . Cherchons λ :

( ) ( )

( ) ( ) 2 2

p a b p a b 0 p b a b 0

a b a b a bb b a b 0 b b a b 0 donc p bb b b b

λ λ λ

− ⊥ ⇒ − = ⇒ − =

⇒ − = ⇒ − = ⇒ = = = ⋅

i i i

i i ii i i ii

2 2

a b a b a ba bLa norme de p est : p b b pb bb b

= ⋅ = ⋅ = ⇒ =i i ii

a

p

b

θ

b

a

p 0

y

• 1

1 x

A

B

C

O •

• D

a

p

b

θ

p a−

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 38 Géométrie vectorielle / 3 N-A

A

C

DB

O•

• •

Remarques

a) p et b sont colinéaires car p = λb λ ∈

b) p à la même direction que b mais pas forcément le même sens.

c) La projection orthogonale de a sur b notée a' n’est en général pas égale à la projection orthogonale de b sur a notée b' . Exercice 55

a) Dessiner dans un repère orthonormé les vecteurs ( )a 4;6= − , ( )b 2;6=

et p la projection orthogonale de a sur b .

b) Mesurer à l’aide d’une règle la norme de p . c) A l’aide du produit scalaire, calculer les composantes de p , ainsi que sa norme. d) Même question, mais pour les vecteurs x 4i 0 j= + et y 6i 8 j= +

Exercice 56

Soit ( ) ( )a 1;2; 3 et b 1;1;2= − = deux vecteurs de 3 .

a) Déterminer la projection orthogonale de a sur b notée a' .

b) Déterminer la projection orthogonale de b sur a notée b' .

c) Que constate-t-on ?

Exercice 57

Considérons ( ) ( ) ( )A 3;1; 3 , B 5;2; 7 et C 6;5; 8− − − trois points de l’espace.

a) Déterminer les coordonnées d’un point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

b) Déterminer la projection orthogonale p du vecteur AD sur le vecteur AB .

c) Déterminer les coordonnées d’un point P situé sur le segment [ ]AB tel que le triangle ADP soit rectangle en P.

d) Calculer l’aire du parallélogramme ABCD.

Exercice 58

Considérons ( ) ( ) ( )A 1;2;3 , B 4;8; 3 et C 6;3;2− , les trois sommets du triangle ABC dans l’espace.

a) Déterminer la projection orthogonale du vecteur AC sur le vecteur AB .

b) Chercher les coordonnées du point D, pied de la perpendiculaire abaissée du point C sur le segment [AB].

c) Calculer l’aire du triangle ABC.

b a

p

• •

b

b' a

a'

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 39 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 59 (mécanique du plan incliné)

On veut décomposer une force donnée F en une somme vectorielle 1 2F F+ de telle

manière que 1F aie la même direction que

u et que 2F soit orthogonal à u .

a) Exprimer 1F en fonction de F et u .

b) Exprimer 2F en fonction de F et u .

c) Calculer 1 2F et F si ( ) ( )F 0; 100 et u 4; 3= − = − − ainsi que 1 2F et F .

Exercice 60 *

On utilise intensivement le calcul vectoriel en infographie pour éclairer ou ombrer des surfaces.

Un rayon lumineux incident représenté par le vecteur I touche une surface plane. N est un vecteur orthogonal à la surface plane et de norme 1 . Le rayon lumineux réfléchi par la surface plane, représenté par le vecteur R , peut se calculer

en utilisant la formule : ( )R 2 I N N I= − ⋅ ⋅ +i .

Remarque : i rθ θ=

a) Démontrer cette formule. Indication : utiliser la projection orthogonale.

b) Calculer R pour les vecteur ( )I 4; 3= − et ( )N 0;1= .

c) Dessiner dans un repère orthonormé les vecteurs R, I et N Exercice 61 *

Dans le minerai de sphalérite, chaque atome de zinc est entouré de quatre atomes de soufre qui forment un tétraèdre régulier dont l'atome de zinc occupe le centre. L'angle de liaison θ est l'angle formé par la combinaison S-Zn-S.

Démontrer que la valeur en degré de l'angle de liaison vaut : 109,47θ ≅ ° . Remarque : un tétraèdre régulier (toutes ces faces sont des triangles équilatéraux) peut toujours s'inscrire dans un cube : les arêtes du tétraèdre coïncident alors avec les diagonales des faces du cube.

R

θ i

I N

θ r

F

2F 1F

u

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 40 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.2.5 Le déterminant Définition

Soient deux vecteurs ( ) ( ) 21 2 1 2u u ;u et v v ;v de .= =

Le déterminant d'ordre 2 de u et v (pris dans cet ordre), noté ( )Det u;v ,

est le nombre réel (scalaire) défini par :

( ) 1 21 2 2 1

1 2

u uDet u;v u v u v

v v= = ⋅ − ⋅

Exemple

Si ( ) ( )u 3;6 et v 2;5= = − alors ( ) 3 6Det u;v 3 5 6 ( 2 ) 27

2 5= = ⋅ − ⋅ − =−

( ) 2 5Det u;v ( 2 ) 6 5 3 27

3 6−

= = − ⋅ − ⋅ = −

Remarque ( ) ( )Det u;v Det v;u= −

L'ordre dans lequel sont pris les vecteurs u et v , influence le signe du déterminant. Définition

Soient trois vecteurs ( ) ( ) ( ) 31 2 3 1 2 3 1 2 3u u ;u ;u , v v ;v ;v et w w ;w ;w de .= = =

Le déterminant d'ordre 3 de u ,v et w (pris dans cet ordre), noté ( )Det u;v;w ,

est le nombre réel (scalaire) défini par :

( )

( ) ( ) ( )

1 2 32 3 1 3 1 2

1 2 3 1 2 32 3 1 3 1 2

1 2 3

1 2 3 3 2 2 1 3 3 1 3 1 2 2 1

u u uv v v v v v

Det u;v;w v v v u u uw w w w w w

w w w

u v w v w u v w v w u v w v w

= = ⋅ − ⋅ +

= − − − + −

Autrement dit, pour calculer un déterminant d’ordre 3, il faut multiplier chaque terme de la 1ère ligne par les déterminants d’ordre 2 obtenus en traçant la ligne et la colonne passant par ce terme. Exemple

( ) ( ) ( )Si u 2;0;1 , v 1;3; 2 et w 0;2; 3= = − − = −

( )2 0 1

3 2 1 2 1 3alors Det u;v;w 1 3 2 2 0 1 10 2 12

2 3 0 3 0 20 2 3

− − − −= − − = ⋅ − ⋅ + ⋅ = − − = −

− −−

Remarque

Det( u;v;w ) Det( v;u;w ) Det( u;w;v ) Det( w;v;u )= − = − = − L'ordre dans lequel sont pris les vecteurs u ,v et w , influence le signe du déterminant.

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 41 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Règle de Sarrus

Pour le calcul du ( )Det u;v;w , on utilise souvent la règle de Sarrus. Règle pratique permettant de

calculer un déterminant d’ordre 3. On réécrit à droite du déterminant les deux premières colonnes.

Le déterminant est égal à la somme des produits des triplets d’éléments situés sur une parallèle à la diagonale principale diminuée de la somme des produits des triplets d’éléments situés sur une parallèle à la diagonale non principale.

( ) ( ) ( )

1 2 3 1 2

1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 2 2 1 3

1 2 3 1 2

1 2 3 3 2 2 1 3 3 1 3 1 2 2 1

u u u u uv v v v v ( u v w u v w u v w ) ( u v w u v w u v w )w w w w w

u v w v w u v w v w u v w v w

= + + − + +

= − − − + −

Proposition

Soient deux vecteurs ( ) ( ) 21 2 1 2u u ;u et v v ;v de .= =

L’aire A du parallélogramme engendré par u et v est égale, au signe près,

à la valeur du déterminant d'ordre 2 de u et v . ( )A Det u;v=

Exemple

2Soient u ( 2;0 ) et v ( 0;2 )

2 0Det( u;v ) 2 2 0 0 4

0 2A Det( u;v ) 4

0 2Det( v;u ) 0 0 2 2 4

2 0

= = ∈

⎫= = ⋅ − ⋅ = ⎪

⎪ ⇒ = =⎬⎪= = ⋅ − ⋅ = − ⎪⎭

Démonstration

Aire du parallélogramme engendré par u et v

= Aire du rectangle de côtés 1 1u v+ et 2 2u v+ - Aire de 2 triangles rectangles égaux - Aire de 2 trapèzes égaux

= ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 21 21 1 2 2 1 2 2 1

v u v uv vu v u v 2 2 u v u v Det u;v2 2

+ + ⋅+ ⋅ + − ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =

u

2v

0 1v 1u

2u

y

x

u v+

1 1u v+

2 2u v+

v

v

0 u

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 42 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Proposition Soient trois vecteurs ( ) ( ) ( ) 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3u u ;u ;u , v v ;v ;v et w w ;w ;w de .= = =

Le volume V du parallélépipède engendré par u,v et w est égale au signe près,

à la valeur du déterminant d'ordre 3 de u,v et w . ( )V Det u;v;w=

Illustration

Exemple

( ) ( ) ( ) 3Soient u 2;0;0 , v 0;2;0 et w 0;0;2

2 0 02 0

Det( u;v;w ) 0 2 0 2 2 ( 2 2 ) 80 2

0 0 2V Det( u;v;w ) 8

0 2 02 0

Det( v;u;w ) 2 0 0 2 2 ( 2 2 ) 80 2

0 0 2

= = = ∈

⎫⎪= = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⎪⎪⎪ ⇒ = =⎬⎪⎪= = − ⋅ = − ⋅ ⋅ = −⎪⎪⎭

Démonstration * En exercice. Définitions

• Deux vecteurs u et v du plan ou de l’espace sont colinéaires v uλ⇔ =

• Trois vecteurs u,v et w de l’espace sont coplanaires w u vλ μ⇔ = +

Exemples

a) Dans le plan ( ) ( )u 1;2 et v 2;4= = sont colinéaires car v 2u= .

b) Dans l'espace ( ) ( ) ( )u 1;2;0 , v 2;1;0 et w 4;4;0= = =

sont coplanaires car 4 4w u v3 3

= + .

c) Dans le plan ( ) ( )i 1;0 et j 0;1= = ne sont pas colinéaires.

d) Dans l'espace ( ) ( ) ( )i 1;0;0 , j 0 ;1;0 et k 0;0;1= = =

ne sont pas coplanaires.

u

O

z

x

y

w

v

u

v uλ= ⋅

u

v

w u vλ μ= + vμ

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 43 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Proposition

• Deux vecteurs u et v de 2 sont colinéaires Det( u;v ) 0⇔ = • Deux vecteurs u et v de 2 ne sont pas colinéaires Det( u;v ) 0⇔ ≠

Démonstration

Deux vecteurs du plan u et v sont colinéaires (resp. non colinéaires) ⇔ l’aire du parallélogramme construit sur u et v est nulle (resp. non nulle)

Det( u;v ) 0 ( resp.Det( u;v ) 0 )⇔ = ≠

Exemples

( ) ( )Soient u 1;2 et v 2;4

1 2Det( u;v ) 1 4 2 2 0 u et v sont colinéaires.

2 4

= =

= = ⋅ − ⋅ = ⇒

( ) ( )Soient i 1;0 et j 0;1

1 0Det( i; j ) 1 1 0 0 1 0 i et j ne sont pas colinéaires .

0 1

= =

= = ⋅ − ⋅ = ≠ ⇒

Proposition

• Trois vecteurs u, v et w de 3 sont coplanaires Det( u;v;w ) 0⇔ = • Trois vecteurs u, v et w de 3 ne sont pas coplanaires Det( u;v;w ) 0⇔ ≠

Démonstration

Trois vecteurs de l'espace u, v et w sont coplanaires (resp. non coplanaires). ⇔ le volume du parallélépipède construit sur u, v et w est nul (resp. non nul).

Det( u;v;w ) 0 ( resp. Det( u;v;w ) 0 )⇔ = ≠ Exemples

Soient u ( 1;2;0 ) , v ( 2;1;0 ) et w ( 4;4;0 )1 2 0

1 0 2 0 2 1Det( u;v;w ) 2 1 0 1 2 0 0

4 0 4 0 4 44 4 0

u,v et w sont coplanaires.

= = =

= = ⋅ − + =

Soient i ( 1;0;0 ) , j ( 0 ;1;0 ) et k ( 0;0;1 )1 0 0

1 0 0 0 0 1Det( i; j;k ) 0 1 0 1 0 0 1 0

0 1 0 1 0 00 0 1

i, j et k ne sont pas coplanaires .

= = =

= = ⋅ − + = ≠

u v

u et v colinéaires( même direction )

u v

u et v pas colinéaires

( pas la même direction )

u , v et w pas coplanaires

( v n'est pas dans lemême plan)

u

v

w Plan

u , v et w coplanaires( dans lemême plan )

u v

w Plan

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 44 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 62

Calculer les déterminants d'ordre 2.

a) 1 23 4

= b) 1 22 4

= c) 3 68 12− −

=− −

d) cos( ) sin( )sin( ) cos( )

α αα α

−=

Exercice 63 Déterminer les valeurs de k pour lesquelles k k4 2k

= 0

Exercice 64

Calculer les déterminants d'ordre 3.

a) A l'aide des mineurs : 1) 1 2 34 5 67 8 9

= 2) a b cd e fg h i

=

b) Avec la règle de Sarrus : 1) 1 1 11 1 11 1 1

− − −− − =− − −

2) 1 0 03 2 11 2 3

=−

Exercice 65

a) Calculer l'aire du parallélogramme ABCD à l'aide du déterminant approprié lorsque les sommets sont donnés par ( ) ( ) ( ) ( )A 2; 4 , B 1; 6 ,C 1;5 et D 4;7− − − − − . b) Calculer l'aire du triangle ABC à l'aide du déterminant approprié lorsque les sommets sont donnés par ( ) ( ) ( )A 2;5 , B 2;4 et C 3;3− .

c) Déterminer une formule permettant de calculer l’aire d’un trapèze ABCD dans le plan à l’aide des déterminants. Exercice 66

a) À l'aide du déterminant, calculer le volume du parallélépipède engendré par les vecteurs u ( 2;1;1) v ( 1;1;3 ) et w ( 1; 2;2 )= = − = − . b) Calculer le volume du parallélépipède ci-dessous tel que :

( ) ( ) ( ) ( )A 4;2;3 , B 3;3;1 , C 5;6;4 et D 5;2;2

O •

C •

B •

A •

• D

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 45 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 67 (Volume d'un tétraèdre, d'un prisme ou d'une pyramide)

La figure ci-dessous nous montre une décomposition d'un parallélépipède (1) en deux prismes triangulaires (2) et (3) de volumes égaux; un de ces prismes (3) est ensuite décomposé en une pyramide dont la base est un parallélogramme (4) et un tétraèdre (5) ; la pyramide se décompose elle-même en deux tétraèdres de volumes égaux (6) et (7) (bases triangulaires égales et même hauteur). En fait, les tétraèdres (5), (6) et (7) ont tous les trois le même volume, car la juxtaposition des tétraèdres (5) et (7) montre (bas de la figure) que ces derniers sont chacun la demie d'une même pyramide dont la base est un parallélogramme (couchée sur une face triangulaire, avec un sommet au point A).

Compléter les phrases suivantes :

Le volume du prisme (3) est la ________ du volume du parallélépipède (1).

Le volume de la pyramide (4) dont la base est un parallélogramme mesure________du volume du prisme (3), c'est-à-dire ___________ du volume du parallélépipède (1). Le volume de chacun des tétraèdres (5) ou (6) ou (7) mesure__________ du volume du prisme triangulaire (3), c'est-à-dire___________ du volume du parallélépipède (1).

Exercice 68

A l'aide du déterminant, calculer le volume du prisme triangulaire dont les sommets sont donnés par ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A 3;1;2 , B 2;2;0 C 4;5;3 , D 5;0;3 , E 4;1;1 et F 6;4;4 .

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 46 Géométrie vectorielle / 3 N-A

z

y

x

0

A

B

C

D

Π

Exercice 69

a) Les vecteurs 2a et b∈ sont-ils colinéaires ? Utiliser le test du déterminant. i) a ( 3;2 ) b ( 21; 14 )= = − − ii) a ( 3;1) b ( 4; 1)= − = −

b) Les vecteurs 3a,b et c∈ sont-ils coplanaires ? Utiliser le test du déterminant. i) a ( 2; 1;1) b ( 2;5;7 ) c ( 1;2;1)= − = = − ii) a ( 0;0;2 ) b ( 1;1; 1) et c ( 3;0;1)= = − = Exercice 70

Trouver toutes les valeurs du paramètre k (s'il existe) pour lesquelles les vecteurs u ( 2;1;2 ) v ( 1;k;1) et w ( 3;1;k )= = = sont :

a) coplanaires. b) non coplanaires. Exercice 71

a) En utilisant le déterminant d'ordre 2, déterminer la condition pour que trois points A, B et C de 2 soient alignés. b) On donne trois points ( ) ( ) ( ) 2A 6;4 , B 14; 12 et C 2;12 − ∈ . Sont-ils alignés ?

i) Répondre en utilisant le test du déterminant.

ii) Répondre sans utiliser le test du déterminant (résoudre un système d’équation). c) En utilisant le déterminant d'ordre 3, déterminer la condition pour que quatre points A, B, C et D de 3 soient coplanaires. d) On donne quatre points ( ) 3A( 3; 5;2 ), B( 3;0;0 ), C( 0;5;4 ) et D 6;10;2− − ∈ . Les points A, B, C et D appartiennent-ils au même plan Π ? i) Répondre en utilisant le test du déterminant.

ii) Répondre sans utiliser le test du déterminant (résoudre un système d’équation).

A •

• B

• C

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 47 Géométrie vectorielle / 3 N-A

A B

C

D

Exercice 72 *

a) Soient deux vecteurs 21 2 1 2u ( u ;u ) et v ( v ;v ) de et k .= = ∈

Démontrer que : 2Det( k u;k v ) k Det( u;v )⋅ ⋅ = ⋅

b) Soient trois vecteurs 31 2 3 1 2 3 1 2 3u ( u ;u ;u ), v ( v ;v ;v ) et w ( w ;w ;w ) de et k .= = = ∈

Démontrer que : 3Det( k u;k v;k w ) k Det( u;v;w )⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

c) Donner une interprétation géométrique des égalités démontrées au point a) et b). Exercice 73 *

Comme le montre la figure, un tétraèdre régulier ABCD (toutes ces faces sont des triangles équilatéraux) peut toujours s'inscrire dans un cube ; les arêtes du tétraèdre coïncident alors avec les diagonales des faces du cube. Déterminer le volume V du tétraèdre régulier en fonction de la longueur c d'une arête du cube.

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 48 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.2.6 Le produit vectoriel * Nous allons définir une nouvelle opération appelée produit vectoriel qui n'aura de sens que dans 3 et qui permettra d'associer un vecteur, à 2 vecteurs de 3 . Orientation dans 3 *

Toute suite ordonnée u;v;w de trois vecteurs non nuls et linéairement indépendants correspond

à l’une des deux orientations possibles de l’espace 3 . Pour déterminer cette orientation, on

procède comme suit :

• On considère le plan déterminé par u et v .

• On choisit de regarder ce plan du côté par lequel le vecteur w « sort ».

• Si la séquence u;v prise dans cet ordre, indique le sens contraire de rotation des aiguilles

d'une montre (sens anti-horaire) sur cette face du plan, alors l'orientation de la suite ordonnée u;v;w est positive.

• Autrement, l'orientation de la suite u;v;w est négative (sens horaire).

Exemples * a)

La suite u;v;w est orientée positivement.

La suite r;s;w est orientée négativement.

b) Les suites i; j;k et j;k;i sont orientées positivement.

Les suites i; j; k− et i;k; j sont orientées négativement.

u

v

w

Plan

+ s

r

w

Plan _

0

z

1

1 i

k

j

1

y

x

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 49 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Introduction (notion de mécanique) *

Tout comme la définition du produit scalaire était motivée par le concept de travail emprunté à la mécanique, la définition de produit vectoriel, valide dans 3 seulement, est motivée par le concept de moment de force emprunté aussi à la mécanique. Supposons que le manche d'une clé représenté par le vecteur L et la force F appliquée à ce manche soient dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation du boulon. L'efficacité de la force F à faire tourner le boulon dépendra alors de la longueur L du manche,

de l'intensité F de la force et de l'angle θ entre L et F .

En Physique, on définit le moment de force déterminé par L et F sous la forme d'un vecteur M défini comme suit : 1) la norme (longueur) de M est le produit L F sin( )θ⋅ ⋅ (c'est l'intensité du moment).

2) La direction de M est perpendiculaire à celle de L et à celle de F simultanément et correspond à l'axe de rotation (si sin(θ) = 0, alors M 0= ). Autrement dit : M L⊥ et M F⊥ .

3) Le sens de M est tel que la suite ordonnée L;F;M est orientée positivement.

Ce vecteur M est noté L F× (l'ordre compte) et est appelé produit vectoriel de L et F . Remarque : Vous pouvez vous familiariser avec le concept de moment de force en utilisant une porte par exemple !!

L

F ( )F sin⋅ θ

θ

L

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 50 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Définition (Mathématique) *

Soient u et v deux vecteurs de 3 . 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

u ( u ;u ;u ) u i u j u k

v ( v ;v ;v ) v i v j v k

= = ⋅ + ⋅ + ⋅

= = ⋅ + ⋅ + ⋅

Le produit vectoriel de u et v , noté u v ( ou u v )× ∧ , est le vecteur défini par :

de u v est donnée par : u v u v sin( ) est l'angle entreu et v ( 0 )

de u v est orthogonale ( perpendiculaire )à u et à v .

de u v est celui pour laquelle la suiteordonnée u ;v ;u v

θ θ θ π× × = ⋅ ⋅ ≤ ≤

×

× ×

1)La norme

2)La direction

3)Le sens est ,orientée positivement .

Illustration *

Exemples * i j k× = i k j× = − ( )i j k i j+ × = −

Propriétés du produit vectoriel *

Considérons u,v et w trois vecteurs de l' espace et un scalaire .λ

( )u u 0

u v v u Le produit vectoriel n' est pas commutatif .

( u ) v u ( v ) ( u v )

u ( v w ) ( u v ) ( u w )

( u v ) w ( u w ) ( v w )

i j k i k j j k i

λ λ λ

× =

× = − ×

× = × = ×

× + = × + ×

+ × = × + ×

× = × = − × =

P1)

P2)

P3)

P4)

P5)

P6)

Démonstration *

La justification de ces propriétés découle directement de la définition mathématique du produit vectoriel ou de la référence à la physique.

Par exemple pour la propriété 4) :

Le moment résultant de la somme de deux forces appliquées à un même levier (clé) est la somme des moments attribuables à chacune de ces forces.

u v×

v

u

θ

0

z

1

1 i

k

j

1

y

x

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 51 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Théorème * (Expression du produit vectoriel de deux vecteurs u et v de l'espace à l’aide des composantes)

( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3

i j kSi u u ;u ;u et v v ;v ;v alors u v u u u

v v v= = × =

Exemple *

( )

Si u ( 1;2;3 ) et v ( 3;1;5 )

i j k2 3 1 3 1 2

alors u v 1 2 3 i j k 7 i 14 j 7 k 7; 14 ;71 5 3 5 3 1

3 1 5

= = −

× = = ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ = −− −

Démonstration *

a) On obtient le tableau suivant avec les vecteurs de base :

b) Maintenant calculons u v× : (en utilisant les propriétés P1 à P6)

1 2 3 1 2 3

1 1 1 2 1 30 jk

2 1 2 2 2 3

k 0 i

3 1 3 2 3 3j 0i

1 1 1 2 1 3 2 1 2

u v ( u i u j u k ) ( v i v j v k )

( u v )i i ( u v )i j ( u v )i k

( u v ) j i ( u v ) j j ( u v ) j k

( u v )k i ( u v )k j ( u v )k k

u v 0 u v k u v j u v k u

× = + + × + +

= × + × + ×

+ × + × + ×

+ × + × + × =

= + − − + 2 2 3 3 1 3 2 3 3

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

v 0 u v i u v j u v i u v 0

( u v u v )i ( u v u v ) j ( u v u v )k ( u v u v ;u v u v ;u v u v )

+ + − +

= − + − + − = − − −

c) Notation à l'aide des déterminants 2×2 et 3×3 :

2 3 1 3 1 22 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 1 2 3

2 3 1 3 1 21 2 3

i j ku u u u u u

( u v u v ;u v u v ;u v u v ) i j k u u uv v v v v v

v v v− − − = ⋅ − ⋅ + ⋅ =

× i j k

i 0 k - j

j k− 0 i

k j i− 0 i j

k

Sens positif

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 52 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Remarque *

Pour le calcul de u v× , on utilise souvent la règle de Sarrus. Règle pratique permettant de calculer un déterminant d’ordre 3. On réécrit à droite du déterminant les deux premières colonnes. Le déterminant est égal à la somme des produits des triplets d’éléments situés sur une parallèle à la diagonale principale diminuée de la somme des produits des triplets d’éléments situés sur une parallèle à la diagonale non principale.

( ) ( ) ( )

1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 1 2 2 3 3 1

1 2 3 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

i j k i ju u u u u ( u v i u v j u v k ) ( v u k v u i v u j )v v v v v

u v u v i u v u v j u v u v k

= + + − + +

= − + − + −

Proposition *

L'aire A du parallélogramme engendré par les vecteurs u et v dans 3 est donné par :

A u v= ×

Démonstration * Aire du parallélogramme =

base hauteur

u v sin( ) u v est l'angle entreu et v ( 0 )θ θ θ π⋅ ⋅ = × ≤ ≤

Exemple *

( )Si u ( 1;2;3 ) et v ( 3;1;5 ) alors u v 7; 14 ;7= = − × = − et l'aire A du parallélogramme

engendré par les vecteurs u et v est ( ) ( )22 2A 7; 14 ;7 7 14 7 294= − = + − + = Corollaire *

Soit u et v deux vecteurs non nuls de 3 . u v 0 u k v× = ⇔ = ⋅ ( u et v sont colinéaires)

Démonstration *

0

0u v 0 u v 0 u v sin( ) 0 sin( ) 0 u k v

θθ θ

θ π≠

=⎧× = ⇔ × = ⇔ ⋅ ⋅ = ⇔ = ⇔ ⇔ = ⋅⎨ =⎩

u v×

v

u θ

v sin( )⋅ θ

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 53 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 74 *

Parmi les expressions suivantes, déterminez celles qui sont bien définies et dites si elles représentent un nombre ou un vecteur.

a) ( )u v wi i d) ( )u v w+i g) ( )u v w× i

b) u v u w+i i e) ( )u v w×i h) ( )u 3 v⋅i

c) ( )u v w× × f) ( )u v wi i) ( )u v w× ⋅

Exercice 75 *

Considérons les vecteurs de l'espace : u ( 2;3;6 ), v ( 5;4;3 ) et w ( 1;0;2 )= = = .

a) Calculer les vecteurs ( ) ( )u× v×w et u×v ×w . b) Que peut-on déduire ? Exercice 76 *

À l'aide du produit vectoriel, déterminer deux vecteurs unitaires orthogonaux aux vecteurs a ( 13;16;15 ) et b ( 13;18;12 )= − = − . Exercice 77 *

À l'aide du produit vectoriel, calculer :

a) l'aire du parallélogramme ABCD de 3 dont les sommets consécutifs sont ( ) ( ) ( ) ( )A 1; 1;1 , B 3;0;2 ,C 2;3;4 et D 0;2;3− .

b) la hauteur h du parallélogramme ABCD mesurée du côté AB au côté CD. Exercice 78 *

À l'aide du produit vectoriel, calculer l'aire du triangle dont les sommets sont donnés par ( ) ( ) ( )A 1;1;0 , B 1;1;1 et C 0;1;1− .

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 54 Géométrie vectorielle / 3 N-A

A B

C

D

Exercice 79 * La figure ci-dessous représente un prisme triangulaire droit ( AE AB et AE AC )⊥ ⊥ . On donne ( ) ( ) ( )A 1;2;3 , B 2;4;5 et C 4; 6;12− − − .

a) Quelles sont les coordonnées du sommet E si AE 6= ?

b) À l’aide du produit vectoriel, déterminer la formule calculant le volume du prisme triangulaire ABCDEF.

c) À l’aide du déterminant, déterminer la formule calculant le volume du prisme triangulaire ABCDEF. Exercice 80 *

Comme le montre la figure, un tétraèdre régulier ABCD (toutes ces faces sont des triangles équilatéraux) peut toujours s'inscrire dans un cube ; les arêtes du tétraèdre coïncident alors avec les diagonales des faces du cube. Le volume du tétraèdre régulier ABCD en fonction

de la longueur c d'une arête du cube vaut 3cV

3=

(résultat d'un calcul avec les déterminants 3×3) Calculer en fonction de la longueur c d'une arête du cube : (réponses en valeur exacte) a) l'aire totale A du tétraèdre régulier ABCD.

b) la hauteur h du tétraèdre régulier ABCD issue de D.

c) n AB AC= ×

d) h la projection de AD sur n

e) h

Que remarquez-vous ? Explications.

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 55 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 81 *

a) En utilisant le produit vectoriel, déterminer la condition pour que trois points A, B et C de 3 soient alignés. b) On donne trois points ( )A( 2;1; 1), B( 1;0;5 ) et C 1; 2;16− − − de 3 . Les points A, B et C sont-ils alignés ? Justifier en utilisant le produit vectoriel. Exercice 82 *

a) Démontrer algébriquement que : ( ) ( )a b a a b b 0× = × =i i

Que peut-on dire du vecteur a b× par rapport aux vecteurs a et b ? b) Démontrer « géométriquement » que le volume V du parallélépipède construit sur les vecteurs a,b et c est donné par : ( )V a b c= × i

c) Démontrer algébriquement que : ( ) ( ) ( )a b c a b c Det a;b;c× = × =i i

Remarque : b) et c) est la démonstration de la proposition suivante :

Le volume V du parallélépipède engendré par a,bet c est égale au signe près,

à la valeur du déterminant d'ordre 3 de a,bet c . V Det( a;b;c )=

c

θ

a

b

a b×

h

A •

• B

• C

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 56 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.2.7 Ce qu’il faut absolument savoir 15♥ Connaître la définition du produit scalaire de deux vecteurs ok

16♥ Calculer le produit scalaire de deux vecteurs à l’aide des composantes dans 2 et 3 ok

17♥ Connaître les propriétés du produit scalaire ok

18♥ Calculer l’angle entre deux vecteurs à l’aide du produit scalaire dans 2 et 3 ok

19♥ Connaître la condition d’orthogonalité entre deux vecteurs ok

20♥ Calculer la projection orthogonale d’un vecteur sur un autre vecteur dans 2 et 3 ok

21♥ Calculer un déterminant d’ordre 2 et 3 ok

22♥ Calculer l’aire d’un parallélogramme et le volume d’un parallélépipède à l’aide du déterminant ok

23♥ Appliquer le test du déterminant pour déterminer la dépendance/indépendance linéaire de plusieurs vecteurs ok

24♥ * Connaître la définition du produit vectoriel de deux vecteurs ok

25♥ * Connaître les propriétés du produit vectoriel ok

26♥ * Calculer l’aire d’un parallélogramme à l’aide produit vectoriel ok

27♥ * Appliquer le test du produit vectoriel pour déterminer la colinéarité de deux vecteurs ok

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 57 Géométrie vectorielle / 3 N-A

P

OP

OA AB

ABλ ⋅

O

A

B

OB

• •

d •

2.3 Droites et plans

2.3.1 Équations paramétriques des droites dans 2 • Une droite d est un ensemble de points.

• Une droite d est entièrement déterminée par la donnée de deux points A et B. Illustration

Soit la droite d passant par les points A et B . Alors :

P d OP AB OAλ λ∈ ⇔ = ⋅ + ∈ Équation paramétrique de la droite d

Remarques

a) λ est le paramètre ; c’est un scalaire.

b) AB est le vecteur directeur et OA est le vecteur position de la droite d. Exemple

Déterminons l’équation paramétrique de la droite d passant par ( ) ( )A 1;2 et B 5;4 .

On prend ( ) ( ) ( )AB OB OA 5;4 1;2 4;2= − = − = comme vecteur directeur et comme

vecteur position ( )OA 1;2= .

• Soit ( )P x; y d OP AB OAλ λ∈ ⇔ = ⋅ + ∈

• En terme de couples : ( x; y ) ( 4;2 ) ( 1;2 )λ λ= ⋅ + ∈

( x; y ) ( 4 1 ;2 2 )λ λ λ= + + ∈

• En terme de coordonnées : x 4 1y 2 2

λλ

λ= +⎧

∈⎨ = +⎩

• Pour chaque valeur λ ∈ correspond un vecteur ( x; y ) ( 4 1 ;2 2 )λ λ= + + .

Exemple :

( ) ( )0 4 0 1;2 0 2 1 ;2λ = → ⋅ + ⋅ + = ( ) ( )( ) ( )1 4 1 1;2 1 2 3 ;0λ = − → ⋅ − + ⋅ − + = −

( ) ( )1 4 1 1 ;2 1 2 5 ;4λ = → ⋅ + ⋅ + = ( )1 1 14 1;2 2 3 ;32 2 2

λ ⎛ ⎞= → ⋅ + ⋅ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

• Dans le plan, la droite d est alors caractérisée par un ensemble de couples de nombres.

0

• 2

1 x

AB

OA

5

4

OP

• y

A

B P

d

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Remarques

a) Si on prend comme vecteur position ( )OB 5;4= , l’ équation paramétrique de d est :

x 4 5

OP AB 0By 2 4

λλ λ λ

λ= +⎧

= ⋅ + ∈ ⇔ ∈⎨ = +⎩

La représentation paramétrique d’une droite n’est donc pas unique.

b) Les coefficients qui multiplient le paramètre λ sont, à un multiple près, les composantes du vecteur directeur. Les autres nombres sont les composantes du vecteur position.

2.3.2 Équations cartésiennes des droites dans 2 • Une droite d est un ensemble de points.

• Une droite d est entièrement déterminée par la donnée d’un point A et un vecteur orthogonal à d noté n .

Soit la droite d passant par le point A et orthogonale au vecteur n . Alors :

P d AP n AP n 0∈ ⇔ ⊥ ⇔ =i Équation cartésienne de la droite d

Exemple

Cherchons l’équation cartésienne de la droite d passant par ( )A 4;6 et perpendiculaire

à la droite passant par ( ) ( )B 2;3 et C 5;7 .

( )n BC 3;4= = vecteur orthogonal à d

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

Soit P( x; y ) d AP n 0

OP OA n 0

x; y 4;6 3;4 0

x 4; y 6 3;4 0

3 x 4 4 y 6 0

3x 4 y 36 0 Équation cartésienne de la droite d

∈ ⇔ =

⇔ − =

⇔ − =

⇔ − − =

⇔ − + − =

⇔ + − =

i

i

i

i

Dans le plan, la droite d est alors caractérisée par un ensemble de couples de nombres.

( )4 ;6 3 4 4 6 36 0d car∈ ⋅ + ⋅ − = ( )1;1 3 1 4 1 36 0d car∉ ⋅ + ⋅ − ≠ Remarques

a) Dans une équation cartésienne il n’y a pas de paramètre mais une relation entre x et y.

b) La représentation cartésienne d’une droite dans 2 n’est pas unique. ( )3x 4 y 36 0 2 3x 4 y 36 2 0 6 x 8 y 72 0+ − = ⇔ ⋅ + − = ⋅ ⇔ + − = Donc, 6 x 8 y 72 0+ − = est aussi une équation cartésienne de d.

• A

C

B

P •

d

A •

n

d

P •

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 59 Géométrie vectorielle / 3 N-A

c) Les coefficients devant les variables x et y sont à un multiple près les composantes du vecteur

orthogonal à d.

Traitons la cas général :

( ) ( ) ( )1 2A a ;a et P x; y d n vecteur orthogonal à d∈ = α;β

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 2

1 2

1 2

1 2

P( x; y ) d AP n 0

x; y a ;a ; 0

x a ; y a ; 0x a y a 0x y a a 0

x y 0 Équation cartésienne de la droite dγ

α β

α βα α β βα β α β

α β γ=

∈ ⇔ =

⇔ − =

⇔ − − =

⇔ − + − =⇔ + − − =

⇔ + + =

ii

i

De plus, si ( )n ;α β= est un vecteur orthogonal à d alors ( )v ;β α= − est un vecteur directeur

de cette droite. v étant orthogonal à n ( )v n 0=i .

d) Voici une méthode permettant d’obtenir une équation cartésienne d’une droite d définie par 2 points A, B d∈ .

2.3.3 Passage : Équations paramétriques / cartésiennes des droites dans 2 • Paramétrique → Cartésienne

Méthode : Éliminer le paramètre λ

( ) ( )x 1

x 2 1 x 1 y 12 3 x 1 2 y 1 3x 2 y 1 0y 1y 3 1 2 3

3

λλλ

λ λ

−⎧ =⎪= +⎧ − −⎪∈ ⇔ ⇔ = ⇔ − = − ⇔ − − =⎨ ⎨ −= +⎩ ⎪ =⎪⎩

• Cartésienne → Paramétrique

Méthode : Déterminer un vecteur orthogonal puis, un vecteur directeur. Obtenir un point de la droite afin de créer un vecteur position.

3x 2 y 1 0− − = tel que n ( 3; 2 )= − donc v ( 2;3 )= car v n 0=i

A( 1;1) d car 3 1 2 1 1 0 donc OA ( 1;1)∈ ⋅ − ⋅ − = =

P( x; y ) d OP v OA

x 2 1( x; y ) ( 2;3 ) ( 1;1)

y 3 1

λ λλ

λ λ λλ

∈ ⇔ = ⋅ + ∈

= +⎧⇔ = ⋅ + ∈ ⇔ ∈⎨ = +⎩

( )P d AP , AB colinéaires Det AP; AB 0∈ ⇔ ⇔ =A •

d

P •

B •

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2.3.4 Position relative de deux droites dans 2 et intersections Dans 2 , deux droites distinctes peuvent être parallèles, ou sécantes.

Droites parallèles Droites sécantes Exemples

a) Déterminons la position relative de d1 et d2 données par leurs équations paramétriques.

d1 : x t 2

ty 2t 3

= − +⎧∈⎨ = −⎩

d2 : x 5s 2

sy 2s 2

= −⎧∈⎨ = +⎩

Les vecteurs directeurs sont : 1v ( 1;2 )= − et 2v ( 5;2 )=

1 2v k v≠ ⋅ donc d1 et d2 sont sécantes.

Calcul de d1 ∩ d2 : (intersection entre les deux droites)

On résout un système 2×2:

1st 2 5s 2 5s t 4 42t 3 2s 2 2s 2t 5 11t

4

⎧ =⎪− + = − + =⎧ ⎧ ⎪⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨− = + − = −⎩ ⎩ ⎪ =⎪⎩

Ensuite avec d1 :

11 3x 24 4 3 5I ;

4 211 5y 2 34 2

⎧ ⎛ ⎞= − + = −⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⇒ −⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎪ = ⋅ − =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

b) Si les droites sont définies par leurs équations cartésiennes, et que l’on cherche leurs positions relatives ainsi que l’intersection, il faut considérer alors les vecteurs orthogonaux.

1d : 2x y 1 0+ − = 2d : 2x 5 y 14 0− + =

Les vecteurs orthogonaux sont : 1n ( 2;1)= et 2n ( 2; 5 )= −

1 2n k n≠ ⋅ donc d1 et d2 sont sécantes.

Calcul de d1 ∩ d2 : (intersection entre les deux droites)

On résout un système 2×2 : 1

2

d 2x y 1 0 x 3 / 4 3 5donc I ;d 2x 5 y 14 0 y 5 / 2 4 2

+ − = = −⎧ ⎧ ⎛ ⎞⇒ −⎨ ⎨ ⎜ ⎟− + = = ⎝ ⎠⎩ ⎩

Remarques

a) 1 2v k v≠ ⋅ ou 1 2n k n≠ ⋅ ⇔ les droites d1 et d2 sont sécantes

b) 1 2v k v= ⋅ ou 1 2n k n= ⋅ ⇔ les droites d1 et d2 sont parallèles

1v 2v

1d 2d

• 2v

2d

1d

1v

1n

2n

• I

1d

2d

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2.3.5 Angles entre deux droites dans 2

Proposition Illustration

L’angle entre deux droites dans le plan est donné par :

1 2

1 2

n narccosn n

θ⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

i

Exemple

Soient deux droites du plan données par leurs équations cartésiennes :

1 1 2 2 1 2d : 3x 2x 5 0 et d : x 3x 5 0− + = + − = .

Les vecteurs orthogonaux sont : 1 2n ( 3; 2 ) et n ( 1;3 )= − = .

On a : ( ) ( )( ) ( )

3; 2 1;3 3arccos arccos 105,253; 2 1;3 13 10

θ⎛ ⎞− −⎛ ⎞= = ≅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⋅ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠

i.

L’angle aigu entre les deux droites est donc : 180 105,25 74,75θ ≅ − = Remarques

a) Comme le montre la figure ci-dessus, il y a en fait deux angles (supplémentaires) formés par les deux droites : 180λ θ+ = .

b) Par convention on donne la valeur de l’angle aigu (l’autre est obtus).

c) 1n et 2n sont respectivement les vecteurs orthogonaux de d1 et d2 . Démonstration

• L’angle aigu entre les deux vecteurs directeurs 1v et 2v est l’angle θ recherché et correspond aussi à l’angle entre les deux vecteurs orthogonaux 1n et 2n (rotation de 90°).

• On utilise la définition du produit scalaire et la fonction réciproque du cosinus :

1 2 1 2

1 2

1 2

n n n n cos( )

n ncos( )n n

θ

θ

= ⋅ ⋅

⇔ =⋅

i

i

1 2

1 2

n narccosn n

θ⎛ ⎞⎜ ⎟⇔ =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

i

Remarque

Si les droites sont données sous forme paramétrique on préférera : 1 2

1 2

v varccosv v

θ⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

i

2v d1

θ

1v

d2

1n

2n θ

1n

d1

θ

d2

2n

λ

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2.3.6 Distance entre un point et une droite dans 2

Proposition

Soit d : x y 0α β γ+ + = une droite dont le vecteur orthogonal est ( )n ;α β=

et ( )1 2A a ;a un point appartenant à la droite d. ( )0 0P x ; y est un point quelconque du plan.

La distance entre P et d, notée ( P;d )∂ , est : 0 0

2 2

AP n x y( P;d )

n

α β γ

α β

+ +∂ = =

+

i

Illustration Exemple

Soit ( )P 5; 7− un point quelconque du plan et d : 3x 4 y 15 0+ + = une droite.

On a : ( )

2 2

3 5 4 7 15 2( P;d )53 4

⋅ + ⋅ − +∂ = =

+.

Démonstration

• On calcule d’abord la projection orthogonale de AP sur n : ( ) 2n

AP nproj AP nn

= ⋅i

• La distance entre P et d, notée ( P;d )∂ , correspond à la norme de la projection orthogonale

de AP sur n . Autrement dit : ( ) 2 2 2n

AP n AP nAP n AP nproj AP n n nnn n n

= ⋅ = ⋅ = ⋅ =i ii i

( ) 0 1 0 2 0 1 0 2 0 0

2 2 2 2 2 2

OP OA n ( x a ; y a ) ( ; ) x a y a x yn

α β α α β β α β γ

α β α β α β

− − − − + − + += = = =

+ + +

i i

• P n

APd

• A

( ; )∂ P d

• P n

APd

• A

( ; )∂ P d

( )nproj AP

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 63 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 83

Dans 2 , la droite d passe par les points ( )A 1;4− et ( )B 3;1 .

Déterminer :

a) une équation paramétrique de d (l’équation n’est pas unique).

b) une équation cartésienne de d (l’équation n’est pas unique) :

i) en utilisant la relation P d AP n 0∈ ⇔ =i

ii) en transformant l’équation paramétrique.

iii) en utilisant la relation ( )P d Det AP; AB 0∈ ⇔ =

c) deux points P et Q de d différents des points A et B. Exercice 84

1) Dans 2 , on donne la droite d par l’équation cartésienne : 3x 2 y 1 0− − = .

a) Trouvez un vecteur n , orthogonal à d.

b) Trouvez un vecteur directeur v pour d.

c) Déterminer une équation paramétrique de d (l’équation n’est pas unique).

2) Dans 2 , on donne la droite d par l’équation paramétrique : x 3 4y 5 1

λλ

λ= −⎧

∈⎨ = +⎩.

a) Trouver un vecteur directeur v pour d.

b) Trouver un vecteur n , orthogonal à d.

c) Déterminer une équation cartésienne de d (l’équation n’est pas unique) :

i) en utilisant la relation P d AP n 0∈ ⇔ =i

ii) en transformant l’équation paramétrique.

iii) en utilisant la relation ( )P d Det AP; AB 0∈ ⇔ =

Exercice 85

Déterminer une équation paramétrique et cartésienne des droites suivantes :

a) 2d passant par ( )C 4; 2− et parallèle à 1

x 6 2d :

y 4 4λ

λλ

= − +⎧∈⎨ = − +⎩

.

b) 3d passant par ( )E 2; 4− − et ayant pour vecteur orthogonal ( )n 5;2= .

c) 4d passant par ( )F 3;5− et perpendiculaire à la droite d'équation d : 4x y 3+ = .

d) 5d passant par le point ( )1P 2; 4− et perpendiculaire au segment [ ]1 2P P si ( )2P 0;5 .

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 64 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 86

a) Les droites ci-dessous, sont-elles parallèles ou sécantes ?

i) 1d : 4x 2 y 1− = et 2d : 2x y 5− + =

ii) 1 d : x 3y 14 0+ − = et 2d : 5x 2 y 2 0− − =

Dans le cas ou les droites sont sécantes, calculer le point d’intersection I . b) Quelle valeur faut-il donner au scalaire k pour que les droites 1d : 5x 3y 9 0+ + =

et 2d : x ky 1 0− + − = soient :

i) parallèles ? ii) perpendiculaires ?

Exercice 87

Déterminer l'angle aigu formé par les deux droites 1d et 2d :

a) d1 : 5x y 4 0+ − = et d2 : x 3y 4 0+ + =

b) 1d : 3x 5 y 4 0− + = et 2d : x y 2 0+ − =

c) 1

x 3 4d :

y 5 1λ

λλ

= − −⎧∈⎨ = − +⎩

et 2

x 1d :

y 1λ

λλ

= +⎧∈⎨ = − −⎩

Exercice 88 Illustration

a) Soit ( )P 6;9 un point du plan et d : x 2 y 5 0− + = une droite.

Calculer les coordonnées du point Q , pied de la perpendiculaire abaissée du point P à la droite d. b) Soit ( )P 6;9 et d : x 2 y 5 0− + = .

Calculer les coordonnées du point P’ , symétrique du point P relativement à la droite d. Indication : utiliser la projection orthogonale. Exercice 89

1) Pour chacune des droites suivantes de 2 , calculez la distance du point ( )P 3; 1− à la droite : (réponse en valeur exacte)

a) d1 : x 3 1y 4 2

λλ

λ= −⎧

∈⎨ = +⎩ b) d2 : 2x y 5 0− − =

2) Quelle est la distance entre l’origine ( )O 0;0 du repère et la droite d : 12x 5 y 26 0+ − = 3) Calculer la distance entre les droites parallèles : 1 2d : 2x y 3 0 et d : 2x y 5 0− − = − + =

P n

d

• A

Q •

P’

O •

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 65 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 90

Soit les points ( )A 7;6− , ( )B 3; 4− − et ( )C 2;2 et la droite d donnée par l’équation cartésienne suivante : 2x 6 y 6 0− − = . a) Représenter le triangle ABC et la droite d dans un même repère orthonormé.

b) Déterminer une équation paramétrique et cartésienne de la droite d1 passant par A et B.

c) Déterminer une équation cartésienne de la droite d2 parallèle à d passant par C.

d) Calculer les coordonnées du point d’intersection I de la droite d1 avec la droite d2.

e) Calculer la distance du point B à la droite d.

f) Déterminer une équation paramétrique de la droite d3 perpendiculaire à d et passant par B.

g) Déterminer une équation cartésienne de la hauteur d4 issue sommet C du triangle ABC.

h) Calculer le périmètre du triangle ABC et son aire.

i) Calculer l’angle ABC du triangle ABC. Exercice 91 Soient les trois droites 1 2 3d ,d et d données par :

( ) ( ) ( )1d : EP n 0 E 0;4 P x; y n 1;2= =

2

x 3 4d :

y 4 3λ

λλ

= − +⎧∈⎨ = −⎩

( ) ( )3d : passant par F 3;18 et G 1;6−

a) Calculer les intersections suivantes : 1 2 2 3 1 3A d d B d d C d d= ∩ = ∩ = ∩

b) Trouver le point d'intersection J des médiatrices a b cM ,M et M , c'est-à-dire des droites perpendiculaires élevées au milieu de chacun des côtés. c) Représenter dans un même repère les droites 1 2 3 a b cd ,d , d , M ,M et M .

Mc

C

A B

• J

• •

Mb

Ma

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 66 Géométrie vectorielle / 3 N-A

P

OP

OA AB

ABλ ⋅

O

A

B

OB

• •

d •

2.3.7 Équations paramétriques des droites dans 3 Exemple

Cherchons l’équation paramétrique de la droite d passant par A( 1;0;0 ) et B( 0;1;1) . On prend AB OB OA ( 0;1;1) ( 1;0;0 ) ( 1;1;1)= − = − = − comme vecteur directeur et comme vecteur position OA ( 1;0;0 )= .

Soit ( )P x; y;z d∈ ⇔ OP AB 0 Aλ λ= ⋅ + ∈

En terme de triples : ( x; y;z ) ( 1;1;1) ( 1;0;0 )λ λ= ⋅ − + ∈

( x; y;z ) ( 1; ; )λ λ λ λ= − + ∈

En terme de coordonnées : x - 1yz

λλ λλ

= +⎧⎪ = ∈⎨⎪ =⎩

Dans l’espace, la droite d est alors caractérisée par un ensemble de triples de nombres :

( ){ } 31; ;d λ λ λ λ= − + ∈ ⊂ Illustration Remarques

a) Examinons quelques valeurs spéciales pour λ :

- Si 0λ = on obtient le triple ( )1;0;0 c'est à dire le point A.

- Si 1λ = on obtient le triple ( )0;1;1 c'est à dire le point B.

L’équation [ ]( x; y;z ) ( 1;1;1) ( 1;0;0 ) avec 0;1λ λ= ⋅ − + ∈ ⊂ décrit alors dans l'espace le segment de droite [AB]. b) Si on prend comme vecteur position OB ( 0;1;1)= les équations paramétriques de d sont :

xy 1z 1

λλ λλ

= −⎧⎪ = + ∈⎨⎪ = +⎩

La représentation paramétrique d’une droite n’est donc pas unique. c) Les coefficients qui multiplient le paramètre λ sont, à un multiple près, les composantes du vecteur directeur. Les autres nombres sont les composantes du vecteur position.

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 67 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Traces de d

Définition

On appelle traces d’une droite d, les points d’intersections de d avec les plans Oxy, Oyz, Oxz (plans de coordonnées). Ces points sont respectivement appelés première, deuxième et troisième traces de d.

Exemple

Considérons la droite d passant par A( 1;0;0 ) et B( 1;2;1)− . x 2 1

d : y 2z

λλ λ

λ

= − +⎧⎪ = ∈⎨⎪ =⎩

1ère trace de d : d ∩ Oxy ⇔ P tel que z = 0 ⇔ λ = 0 → Intersection en ( )P 1;0;0

2ème trace de d : d ∩ Oyz ⇔ Q tel que x = 0 ⇔ λ = 1/2 → Intersection en 1Q 0;1;2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3ème trace de d : d ∩ Oxz ⇔ R tel que y = 0 ⇔ λ = 0 → Intersection en ( )R 1 ;0 ;0

Illustration

x

y

z

0

Oxy

Oyz

Oxz

• 1

1

1

d

R = P = A

B

Q • 1/2

2

-1

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 68 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.3.8 Équations cartésiennes des droites dans 3 Dans 3 , on ne peut pas caractériser une droite d donnée en considérant un vecteur orthogonal n à cette droite car il existe une infinité de droites distinctes passant par le même point A d∈ et orthogonales à un même vecteur n . Ces droites sont cependant toutes dans un même plan (voir figure) et nous pourrons plus loin, donner l’équation cartésienne de ce plan. On peut cependant caractériser une droite dans l’espace par une équation cartésienne. En voici la construction Soit v un vecteur directeur et a un vecteur position de la droite d. L’équation paramétrique d’une droite d de 3 est donnée par :OP v aλ λ= ⋅ + ∈ . On obtient l’équation cartésienne de d en « éliminant » le paramètre λ :

1 11 2 3

1 2 3 1 2 3 2 21 2 3

3 3

x v ax a y a z a( x; y;z ) ( v ;v ;v ) ( a ;a ;a ) y v a

v v vz v a

λλ λ

λ

= +⎧− − −⎪= ⋅ + ⇔ = + ⇔ = =⎨

⎪ = +⎩

Exemples

a) Si a ( 2;3; 7 )= − et v ( 2;5;11)= − alors ( x; y;z ) ( 2;5;11) ( 2;3; 7 )λ λ= − + − ∈

et x 2 2

x 2 y 3 z 7y 5 32 5 11

z 11 7

λλλ

= − +⎧− − +⎪ = + ⇔ = =⎨ −⎪ = −⎩

b) Si a ( 2;4;3 )= − et v ( 3;1;0 )= alors ( x; y;z ) ( 3;1;0 ) ( 2;4;3 )λ λ= + − ∈

et x 3 2

x 2y 4 y 4 et z 33

z 3

λλ

= −⎧+⎪ = + ⇔ = − =⎨

⎪ =⎩

Remarques

a) Les coefficients au dénominateur des fractions sont, à un multiple près, les composantes du vecteur directeur. b) Passage : Paramétrique → Cartésienne

Méthode : Éliminer le paramètre λ

c) Passage : Cartésienne → Paramétrique

Méthode : Repérer les composantes du vecteur directeur et du vecteur position.

A

P

nd

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 69 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.3.9 Position relative de deux droites dans 3 et intersections Dans 3 deux droites distinctes peuvent être parallèles, sécantes, ou gauches.

Droites parallèles Droites sécantes Droites gauches Exemple

Déterminons la position relative de d1 et d2 données par leurs équations paramétriques.

1

x 3t 2d : y 8t 10 t

z 5t 2

= − −⎧⎪ = + ∈⎨⎪ = − −⎩

2

x 3s 5d : y 2s 1 s

z 2s 13

= +⎧⎪ = − + ∈⎨⎪ = +⎩

Les vecteurs directeurs sont : 1v ( 3;8; 5 )= − − et 2v ( 3; 2;2 )= − .

1 2v k v≠ ⋅ donc d1 et d2 sont soit sécantes soit gauches.

On résout le système 3×2 : 3t 2 3s 5

8t 10 2s 15t 2 2s 13

− − = +⎧⎪ + = − +⎨⎪− − = +⎩

( )( )( )

( ) ( )

7 6 13s3 3I 3t 3s 7 3 2 3s 7

9 16 25II 8t 2s 9 8 2 2s 9 s pas desolution au système 2 2

III 5t 2s 15 5 2 2s 15 15 10 25s2 2

II III : 3t 6 t 2

− − −⎧ = =⎪+ = − ⋅ + = −⎧ ⎧ ⎪

− − −⎪ ⎪ ⎪⇔ + = − ⇔ ⋅ + = − ⇔ = = ⇒⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪+ = − ⋅ + = −⎩ ⎩ − − −⎪ = =⎪⎩

− = ⇔ =

Conclusion : d1 et d2 sont gauches et il n’y a pas d’intersections.

Remarques

a) 1 2v k v≠ ⋅ ⇔ les droites d1 et d2 sont sécantes ou gauches

b) 1 2v k v= ⋅ ⇔ les droites d1 et d2 sont parallèles

1v 2v

1d 2d

• 2v

2d

1d

1v

2v

2d

1d

1v

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 70 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.3.10 Angles entre deux droites dans 3 Proposition Illustration

L’angle entre deux droites dans l’espace est donné par :

1 2

1 2

v varccosv v

θ⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

i

Exemple

Soient deux droites de 3 données par leurs équations paramétriques :

1d : ( x; y;z ) t ( 3;8; 5 ) ( 2;10; 2 ) t= ⋅ − − + − − ∈

2d : ( x; y;z ) s ( 3; 2;2 ) ( 5;1;13 ) s= ⋅ − + ∈

Les vecteurs directeurs sont : 1v ( 3;8; 5 )= − − et 2v ( 3; 2;2 )= − .

On a : ( 3;8; 5 ) ( 3; 2;2 ) 35arccos arccos 149( 3;8; 5 ) ( 3; 2;2 ) 98 17

θ⎛ ⎞− − − −⎛ ⎞= = ≅⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⋅ − ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠

.

L’angle aigu entre les deux droites est donc : 180 149 31θ ≅ − = .

Remarques

a) Comme le montre la figure ci-dessus, il y a en fait deux angles (supplémentaires) formés par les deux droites : 180λ θ+ = .

b) Par convention on donne la valeur de l’angle aigu (l’autre est obtus).

c) L’angle entre deux droites est toujours défini, même pour des droites qui sont gauches dans 3 .

d) 1v et 2v sont respectivement les vecteurs directeurs de d1 et d2 .

Démonstration

• L’angle entre les deux vecteurs directeurs 1v et 2v est l’angle θ recherché. • On utilise la définition du produit scalaire et la fonction réciproque du cosinus :

1 2 1 21 2 1 2

1 2 1 2

v v v vv v v v cos( ) cos( ) arccosv v v v

θ θ θ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⇔ = ⇔ =⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

i ii

Exercice 92

Dans 3 , la droite d passe par les points ( )A 2;1; 1− et ( )B 1;0;5 . Déterminer :

a) une équation paramétrique de d (l’équation n’est pas unique).

b) deux points P et Q de d différents des points A et B.

1v

d1

θ

d2

2v

λ

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 71 Géométrie vectorielle / 3 N-A

3 x

y

z

21d A

• // //

Exercice 93

Déterminer une équation paramétrique, une équation cartésienne et par calcul, les traces de chaque droite représentées ci-dessous :

a) b)

c) d)

e) f)

Exercice 94

Soit d une droite de 3 définie par une équation paramétrique : x 1 2ky 1 k kz 2 k

= +⎧⎪ = + ∈⎨⎪ = +⎩

a) Déterminer un vecteur directeur v et un vecteur position p de la droite d.

b) Donner deux points sur d.

c) Donner deux points hors de d.

d) Quelle partie de d obtient-on si [ ]k 1,2∈ − .

e) La droite d rencontre-t-elle les plans de coordonnées (traces de d) ? Si oui, en quel(s) point(s) ?

f) La droite d rencontre-t-elle les axes de coordonnées ? Si oui, en quel(s) point(s) ?

3x

y

z

2

2d

5 A•

B•

A•

3x

y

z

2

3d

5

B•

3 x

y

z

24d

5

A•

B•

A•

3x

y

z

5

5d

= =

A•

3x

y

z

6d

5B•

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 72 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 95

a) Les droites d1 et d2 données par :

( ) ( ) ( )1 d : x; y;z 4;0;4 t 3;2; 1 t= + − ∈ et ( ) ( ) ( )2 d : x; y;z 5; 4; 3 s 2;1;4 s= − − + − ∈

sont sécantes en un point I de 3 . Calculer les coordonnées de I. b) Calculer l’angle aigu entre les droites d1 et d2. Exercice 96

Soit les deux droites 1x 1 z 2d : y 1

3 2− −

= + =−

et 2y 3 z 5d : x 2

2 3+ −

− = =−

a) Donner une équation paramétrique de chaque droite.

b) Déterminer par calcul, le point d'intersection des deux droites si il existe. Exercice 97

Déterminez la position relative des droites d1 et d2 de 3 données par :

a) 1

x 1 6td : y 3 t t

z 2 6t

= +⎧⎪ = − ∈⎨⎪ = − +⎩

et 2

x 2 31 2d : y3 3

z 2 3

λ

λ λ

λ

= +⎧⎪⎪ = − + ∈⎨⎪

= +⎪⎩

b) 1

x t 1d : y t 1 t

z t 1

= −⎧⎪ = − ∈⎨⎪ = −⎩

et 2

x s 1d : y 2s 2 s

z s 3

= +⎧⎪ = + ∈⎨⎪ = +⎩

Dans le cas ou les droites sont sécantes, calculer le point d’intersection I . Exercice 98

Déterminez les valeurs de m et n pour lesquelles les droites d1 et d2 données par :

d1 : x m 1y n 2z 3

λλ λλ

= −⎧⎪ = + ∈⎨⎪ =⎩

et d2 : x 1 2ty 4 t tz 5 t

= +⎧⎪ = − ∈⎨⎪ = − −⎩

sont : a) parallèles ;

b) perpendiculaires (il n’est pas nécessaire qu’elles soient sécantes).

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 73 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.3.11 Équations paramétriques des plans dans 3 • Un plan Π est un ensemble de points. Illustration • Un plan Π est entièrement déterminé par la donnée de trois points A, B et C.

Soit le plan Π passant par les points A, B et C. Alors :

P OP AB AC OA ,Π λ μ λ μ∈ ⇔ = ⋅ + ⋅ + ∈ Équation paramétrique du plan Π

Remarques

a) λ et μ sont les deux paramètres ; ce sont des scalaires.

b) AB et AC sont les deux vecteurs directeurs et OA est le vecteur position du plan Π .

c) La représentation paramétrique d'un plan Π n’est pas unique. Exemple

Dans 3 cherchons l’équation paramétrique du plan Π passant par A( 1;0;0 ),B( 0;2;0 ) et C( 0;0;3 ) . On prend AB ( 1;2;0 ) et AC ( 1;0;3 )= − = − comme vecteurs directeurs et comme vecteur position OA ( 1;0;0 )= . Soit ( )P x; y;z Π∈ ⇔ OP AB AC OA ,λ μ λ μ= ⋅ + ⋅ + ∈

En terme de triples : ( x; y;z ) ( 1;2;0 ) ( 1;0;3 ) ( 1;0;0 ) ,λ μ λ μ= ⋅ − + ⋅ − + ∈

( x; y;z ) ( 1 ;2 ;3 ) ,λ μ λ μ λ μ= − − + ∈

En terme de coordonnées : x 1y 2 ,z 3

λ μλ λ μμ

= − − +⎧⎪ = ∈⎨⎪ =⎩

• Pour chaque valeur λ ∈ et μ ∈ , correspond un vecteur ( ) ( )x; y;z 1 ;2 ;3λ μ λ μ= − − + .

Exemple : ( ) ( )1 et 1 1 1 1 ;2 1 ;3 1 1 ;2 ;3λ μ= = → − − + ⋅ ⋅ = −

• Dans 3 ≈ espace, un plan Π est alors caractérisé par un ensemble de triples de nombres. Remarque

Les coefficients qui multiplient le paramètre λ et le paramètre μ sont, à un multiple près, les composantes des vecteurs directeurs. Les autres nombres sont les composantes du vecteur position.

z

y

x

0

AB

C

P

Π

AB

AC

OP

OA

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 74 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.3.12 Équations cartésiennes des plans dans 3

• Un plan Π est un ensemble de points.

• Un plan Π est entièrement déterminé par la donnée d’un point A et un vecteur orthogonal au plan noté n . Illustration `

Soit le plan Π passant par le point A et orthogonal au vecteur n . Alors :

P AP n AP n 0Π∈ ⇔ ⊥ ⇔ =i Équation cartésienne du plan Π

Exemple

On cherche l’équation cartésienne du plan Π qui passe par le point ( )A 1;0;0 et qui est

perpendiculaire au vecteur ( )n 6;3;2= .

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

P x; y;z AP n 0

x; y;z 1;0;0 6;3;2 0

x 1; y;z 6;3;2 06( x 1) 3y 2z 06 x 3y 2z 6 0 Équation cartésienne du plan

Π

Π

∈ ⇔ =

⇔ − =

⇔ − =

⇔ − + + =

⇔ + + − =

i

i

i

Dans 3 ≈ espace, un plan Π est alors caractérisé par un ensemble de triples de nombres.

( )0 ;0;3 6 0 3 0 2 3 6 0carΠ∈ ⋅ + ⋅ + ⋅ − = ( )1;1;1 6 1 3 1 2 1 6 0carΠ∉ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ≠ Remarques

a) Dans une équation cartésienne il n’y a pas de paramètres mais une relation entre x, y et z. b) La représentation cartésienne d’un plan dans 3 n’est pas unique.

( )6 x 3y 2z 6 0 2 6 x 3y 2z 6 2 0 12x 6 y 4z 12 0+ + − = ⇔ ⋅ + + − = ⋅ ⇔ + + − =

Donc, 12x 6 y 4z 12 0+ + − = est aussi une équation cartésienne de Π .

z

y

x

0

AP

Π n

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 75 Géométrie vectorielle / 3 N-A

AC

B

P

Π

c) Les coefficients devant les variables x, y et z sont, à un multiple près, les composantes du vecteur orthogonal à Π. Traitons la cas général :

( ) ( )1 2 3A a ;a ;a et P x; y;z n ( ) vecteur orthogonal àΠ Π∈ = α;β;γ

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

P x; y;z AP n 0

x; y;z a ;a ;a ; ; 0

x a ; y a ;z a ; ; 0x a y a z a 0x y z a a a 0

x y z 0 Équation cartésienne du planδ

Π

α β γ

α β γα α β β γ γα β γ α β γ

α β γ δ Π=

∈ ⇔ =

⇔ − =

⇔ − − − =

⇔ − + − + − =⇔ + + − − − =

⇔ + + + =

iii

d) Voici deux méthodes permettant d’obtenir une équation cartésienne d’un plan ∏ défini par 3 points A,B et C Π∈ . Méthode 1

( )P AP , AB et AC coplanaires Det AP; AB; AC 0Π∈ ⇔ ⇔ =

Méthode 2 *

1 ) n AB AC

2 ) P AP n AP n 0Π

= ×

∈ ⇔ ⊥ ⇔ =i

A

C

B

P

Π n

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 76 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.3.13 Passage : Équations paramétriques /

cartésiennes des plans dans 3 • Paramétrique → Cartésienne

Méthode : Éliminer les paramètres λ et μ

x 1x 1y y zy 2 , x 1 6 x 3y 2z 6 02 2 3

z 3 z3

λ μλ μλ λ μ λμ

μ

⎧⎪ = − − +

= − − +⎧ ⎪⎪ ⎪= ∈ ⇔ = ⇔ = − − + ⇔ + + − =⎨ ⎨⎪ ⎪=⎩ ⎪ =⎪⎩

• Cartésienne → Paramétrique

Méthode : Obtenir trois points du plan afin de créer deux vecteurs directeurs et un vecteur position.

: 6 x 3y 2z 6 0Π + + − =

Si ( )x 1 ; y 0 z 0 donc A 1;0;0 Π= = → = ∈

Si ( )x 0 ; y 2 z 0 donc B 0;2;0 Π= = → = ∈

Si ( )x 0 ; y 0 z 3 donc C 0;0;3 Π= = → = ∈

Deux vecteurs directeurs sont donnés par : AB ( 1;2;0 ) et AC ( 1;0;3 )= − = − Le vecteur position par : OA ( 1;0;0 )=

x 1

P( x; y;z ) OP AB AC OA , y 2 ,z 3

λ μΠ λ μ λ μ λ λ μ

μ

= − − +⎧⎪∈ ⇔ = ⋅ + ⋅ + ∈ ⇔ = ∈⎨⎪ =⎩

Remarque On a 1 2v ( 1;2;0 ) , v ( 1;0;3 )= − = − et n ( 6;3;2 )= tel que 1 2v n 0 et v n 0= =i i

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 77 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.3.14 Distance entre un point et un plan dans 3 Proposition

Soit : x y z 0Π α β γ δ+ + + = un plan (équation cartésienne) dont le vecteur orthogonal est

( )n ; ;α β γ= et ( )1 2 3A a ;a ;a un point appartenant au plan Π . ( )0 0 0P x ; y ; z est un point quelconque de l’espace.

La distance entre P et Π , notée ( P; )Π∂ , est : 0 0 0

2 2 2

AP n x y z( P; )

n

α β γ δΠ

α β γ

+ + +∂ = =

+ +

i

Illustration Démonstration

• On calcule d’abord la projection orthogonale de AP sur n : ( ) 2n

AP nproj AP nn

= ⋅i

• La distance entre P et d, notée ( P;d )∂ , correspond à la norme de la projection orthogonale de

AP sur n . Autrement dit : ( ) 2 2 2n

AP n AP nAP n AP nproj AP n n nnn n n

= ⋅ = ⋅ = ⋅ =ii i

( ) ( ) ( )0 1 0 2 0 3 0 1 0 2 0 3

2 2 2 2 2 2

0 0 0

2 2 2

OP OA n x a ; y a ;z a ; ; x a y a z an

x y z

α β γ α α β β γ γ

α β γ α β γ

α β γ δ

α β γ

− − − − − + − + −= = =

+ + + +

+ + +=

+ +

i i

• P n

AP

• A

( ; )∂ ΠP

Π

• P n

AP

• A

( ; )∂ ΠP

( )nproj AP

Π

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 78 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exemple

Soit ( )P 1;0; 2− un point quelconque de l’espace et : 2x y 3z 18 0Π − + − − = un plan.

On a : ( ) ( )2 22

2 1 1 0 3 ( 2 ) 18 14( P; ) 14142 1 3

Π− ⋅ + ⋅ − ⋅ − −

∂ = = =− + + −

.

Remarque

La distance entre deux plans parallèles ∏1 et ∏2 est la distance d'un point quelconque du plan ∏1 au plan ∏2.

2.3.15 Angles entre deux plans dans 3 Proposition Illustration

L’angle entre deux plans est donné par :

1 2

1 2

n narccosn n

θ⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

i

Exemple

Soient 1 2: x y 3z 11 0 et : 2x y z 7 0Π Π+ + − = − + + = deux plans.

Les vecteurs orthogonaux sont : ( ) ( )1 2n 1;1;3 et n 2; 1;1= = −

On a : ( 1;1;3 ) ( 2; 1;1) 4arccos arccos 60,5( 1;1;3 ) ( 2; 1;1) 11 6

θ⎛ ⎞− ⎛ ⎞= = ≅ °⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ − ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠

i .

Remarques

a) Comme le montre la figure ci-dessus, il y a en fait deux angles (supplémentaires) formés par les deux droites : 180λ θ+ = .

b) Par convention on donne la valeur de l’angle aigu (l’autre est obtus).

c) 1n et 2n sont respectivement les vecteurs orthogonaux de Π1 et Π2 . Démonstration

• L’angle entre les deux vecteurs orthogonaux 1n et 2n est l’angle θ recherché (rotation de 90°). • On utilise la définition du produit scalaire et la fonction réciproque du cosinus :

1 2 1 21 2 1 2

1 2 1 2

n n n nn n n n cos( ) cos( ) arccosn n n n

θ θ θ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⇔ = ⇔ =⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

Π1

θ

Π2

1n

2n θ

1n

Π1

θ

2n

Π2

λ

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 79 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 99

Soit Π, le plan d’équation : 2x 3y 3z 5 0+ − − = .

a) Les points suivants appartiennent-ils au plan Π ? ( )A 0;2 ;2 3 5B 4 ; ;2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) Trouver trois points distincts C, D et E ∈ Π et différents de A et B.

c) Trouver deux vecteurs directeurs, un vecteur position et un vecteur orthogonal à Π.

d) Déterminer une équation paramétrique de Π . Exercice 100

Soit Π , le plan d'équation : ( ) ( ) ( ) ( )x; y;z 2;1;3 1; 4;3 3;1;5 k , nλ μ= ⋅ − + ⋅ − + ∈ .

a) Les points suivants appartiennent-ils au plan Π ? ( )A 3;4;3 ( )B 4; 3;8− b) Trouver deux points distincts C et D ∈ Π et différents de A et B.

c) Trouver deux vecteurs directeurs et un vecteur position à Π .

d) Déterminer une équation cartésienne de Π et un vecteur orthogonal à Π.

Exercice 101

Soit Π le plan d’équation paramétrique :

( ) ( ) ( ) ( )x; y;z 4; 2;3 k 7;7; 4 m 3;4; 4 k ,m= − + − − + − − ∈

Décrivez et illustrez (sans les axes de coordonnées) le sous-ensemble du plan correspondant à chacune des données suivantes.

a) k 0 et m 1= = c) m 0 et 1 k 1= − ≤ ≤

b) k 1 et m= ∈ d) 0 m 1 et 0 k 2≤ ≤ ≤ ≤ Exercice 102

Déterminer l’équation cartésienne du plan Π qui est perpendiculaire au segment de droite [AB] et qui passe par le milieu M de [AB]. A( 5;2; 1) et B( 1;8;1)− .

ΠA

B

M •

P •

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 80 Géométrie vectorielle / 3 N-A

x

y

z

C(0;1;0)

A(0;0;0)

B(1;0;0)

( )n 0;0;1=

• ( )P x; y; z

Exercice 103

La colonne de gauche sert à représenter graphiquement le plan, celle de droite définit celui-ci en donnant trois points non alignés lui appartenant. a) Dessiner (à gauche) le plan satisfaisant les conditions (de droite). b) Trouver, avec ou sans calculs, une équation paramétrique et cartésienne correspondante.

Exemple

a) ( ) ( ) ( )A 0 ;0 ;0 , B 1;0 ;0 , C 0 ;1;0 Π∈ • Équation paramétrique de ∏ :

AB AC OA

( x; y;z ) ( 1;0;0 ) ( 0;1;0 ) ( 0;0;0 )

,

λ μ

λ μ

= ⋅ + ⋅ +

• Équation cartésienne de ∏ :

( )AP n AP n 0( x; y;z ) ( 0;0;0 ) ( 0;0;1) 0

0 x 0 y 1 z 0 0 z 0

⊥ ⇔ =

− =

⇔ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⇔ =

i

x

y

z

b) ( ) ( ) ( )A 0 ;0 ;2 , B 1;0 ;2 , C 0 ;1;2 Π∈ • Équation paramétrique de ∏ :

• Équation cartésienne de ∏ :

x

y

z

c) ( ) ( ) ( )A 3;0 ;0 , B 3;1;0 , C 3;0 ;1 Π∈ • Équation paramétrique de ∏ :

• Équation cartésienne de ∏ :

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 81 Géométrie vectorielle / 3 N-A

x

y

z

d) ( ) ( ) ( )A 1;0 ;0 , B 1;1;0 , C 0 ;0 ;1 Π∈ • Équation paramétrique de ∏ :

• Équation cartésienne de ∏ :

x

y

z

e) ( ) ( ) ( )A 2;3;0 , B 0 ;3;0 , C 0 ;0 ;2 Π∈ • Équation paramétrique de ∏ :

• Équation cartésienne de ∏ :

x

y

z

f) ( ) ( ) ( )A 1;0 ;0 , B 0 ;1;0 , C 0 ;0 ;1 Π∈ • Équation paramétrique de ∏ :

• Équation cartésienne de ∏ :

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Exercice 104

Déterminer une équation cartésienne du plan :

a) Π passant par ( ) ( ) ( )A 3; 5;2 , B 3;0;0 et C 0;5;4− − .

b) Π passant par ( )D 1; 4;1− − et dont un vecteur orthogonal est ( )n 5; 2;5= − .

c) Π passant par le point ( )R 5;0;1 et parallèle au plan : 2x 3y z 13 0α + − + = .

d) α passant par le point ( )A 2;0; 3− et contenant les vecteurs suivants :

( )a 2; 1;6 = − et ( )b 0; 3;5= −

e) Π passant par ( )R 3; 2;4− et perpendiculaire au vecteur OR .

f) Π passant par ( )R 1;2;4− et perpendiculaire à une droite passant par les points :

( )S 2;2;0 et ( )T 4; 2;5− .

g) 1Π contenant les points ( )Q 2;0;2 et ( )R 1;0;4 − et qui est perpendiculaire au plan 2 : 3x 2 y z 5 0Π + + − = Exercice 105

On donne l'équation du plan : 2x 6 z 4 0Π + + =

a) Soit ( )D 1;3; 6− . Calculer la distance de D au plan Π. (réponse en valeur exacte)

b) Calculer les coordonnées du point Q, pied de la perpendiculaire abaissée du point D au plan Π.

c) Calculer les coordonnées du point D', symétrique de D relativement au plan Π. Exercice 106

Soit les points ( ) ( ) ( ) ( )A 1; 5;1 , B 2;2;2 ,C 0;0;3 et D 4;2;1− .

Les points A,B,C et D sont-ils dans un même plan Π ?

Si oui, déterminer l'équation du plan. Si la réponse est non, calculer la distance du point D au plan Π passant par A, B et C.

• D

n

• A

Π

Q•

• D’

O •

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Exercice 107

a) Calculer la distance entre les plans parallèles suivants : (réponse en valeur exacte)

1 : 3x y 7z 5 0Π + − − = et 2 : 3x y 7z 12 0Π + − + =

b) Déterminer l’équation cartésienne du plan 3Π parallèle au plan 1Π et passant par ( )A 1;1;1 .

c) Calculer la distance entre le plan 1Π et 3Π . Exercice 108

Calculer l'angle aigu entre les deux plans 1Π et 2Π dans les cas suivants :

a) 1 : x 2 y z 0Π + − = et 2 : 2x 3y 4z 8 0Π − + − = .

b) 1Π passe par les points ( ) ( ) ( )O 0;0;0 , A 1;2;3 et B 5;4;6 et 2Π passe par les points

( ) ( ) ( )O 0;0;0 , C 5;2;3 et D 1;5; 4− . Exercice 109

Soit les points : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A 1;0;6 , B 0;2;1 , C 1;3;0 , F 3;2;1 et G 5; 3;7−

a) Déterminer une équation paramétrique du plan Π passant par A, B et C.

b) Déterminer une équation paramétrique de la droite d passant par F et G.

c) Calculer l'intersection entre d et Π. Exercice 110

Soit les points ( ) ( ) ( )A 1;3;2 , B 1;0;2 et C 1; 1;3− − .

Soit la droite x 1 y 8d : z 43 2− −

= = − et le plan : 2x 2 y z 4 0Π + − + = .

a) Déterminer une équation paramétrique de la droite d .

b) Calculer l’intersection entre le plan Π et la droite d .

c) Déterminer une équation cartésienne de la droite d1 parallèle à d et passant par le point B.

d) Déterminer une équation cartésienne de la droite d2 perpendiculaire au plan Π et passant par le point A. Exercice 111 *

Dans la figure ci-contre, quelle est la valeur de la 3e coordonnée c du point A pour laquelle l’angle dièdre entre le plan ABC et le plan z 0= mesure 60° ?

Réponse en valeur exacte.

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 84 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.3.16 Ce qu’il faut absolument savoir 28♥ Déterminer l’équation paramétrique d’une droite ok

29♥ Déterminer l’équation cartésienne d’une droite ok

30♥ Calculer l’intersection entre deux droites ok

31♥ Calculer l’angle entre deux droites ok

32♥ Calculer la distance entre un point et une droite dans 2 ok

33♥ Calculer les traces d’une droite dans 3 ok

34♥ Déterminer l’équation paramétrique d’un plan ok

35♥ Déterminer l’équation cartésienne d’un plan ok

36♥ Calculer la distance entre un point et un plan dans 3 ok

37♥ Calculer l’angle entre deux plans ok

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 85 Géométrie vectorielle / 3 N-A

x

θ •

r

P

C

O

y

OP

OC

CP

2.4 Cercles et sphères * Définition *

Un cercle Γ est un ensemble de points P du plan situés à une même distance d'un point donné. Le point donné est le centre C du cercle et la distance donnée le rayon r du cercle.

2.4.1 Équations paramétriques des cercles dans 2 * Soit le cercle Γ de centre ( )1 2C c ;c et de rayon r.

Alors :

( )P x; y OP OC CPΓ∈ ⇔ = +

En terme de couples :

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2x; y c ;c r cos ;r sinθ θ θ= + ⋅ ⋅ ∈

En terme de coordonnées :

( )( )

1

2

x r cos c

y r sin c

θθ

θ

⎧ = ⋅ +⎪ ∈⎨= ⋅ +⎪⎩

Remarques *

a) θ est le paramètre ; c’est un scalaire.

b) La direction de CP est θ et sa norme est r. Exemple *

Cherchons les équations paramétriques du cercle Γ de centre ( )C 2; 3− et de rayon r=5 :

( )( )

x 5 cos 2

y 5 sin 3

θθ

θ

⎧ = ⋅ +⎪ ∈⎨= ⋅ −⎪⎩

Dans le plan, le cercle Γ est alors caractérisée par un ensemble de couples de nombres :

( ) ( )( ){ } 25 cos 2;5 sin 3θ θ θΓ = ⋅ + ⋅ − ∈ ⊂

• C

P

r

•Γ

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 86 Géométrie vectorielle / 3 N-A

x

r

P

C

O

y

OP

OC

CP

c1

c2

2.4.2 Équations cartésiennes des cercles dans 2 * Soit le cercle Γ de centre ( )1 2C c ;c et de rayon r.

Alors :

( )

( )

( ) ( )

1 2

2 21 2

P x; y CP r

OP OC r

x c ; y c r

x c y c r

Γ∈ ⇔ =

⇔ − =

⇔ − − =

⇔ − + − =

( ) ( )2 2 21 2x c y c r⇔ − + − =

Exemples *

a) ( )2 2: x 3 y 4Γ − + = est l’équation d’un cercle de centre ( )C 3;0 et de rayon =r 2 .

b) 2 2: x y 4x 4 y 1Γ + − − = est l’équation d’un cercle car on peut écrire

( ) ( )− + + − + = + + ⇔ − + − =2 22 2 2x 4x 4 y 4 y 4 1 4 4 x 2 y 2 3 qui est bien l’équation

d’un cercle de centre ( )C 2;2 et de rayon =r 3 .

c) + + = ⇔ + = −2 2 2 2x y 4 0 x y 4 n’est pas l’équation d’un cercle car = −2r 4 ce qui est impossible. Remarque *

Γ est un cercle de rayon r et de centre ( )C 0;0 ⇔ l'équation cartésienne de Γ est + =2 2 2x y r .

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 87 Géométrie vectorielle / 3 N-A

P

0

y

z

x

k

r

ϕ

θ O

• OP

P’ •

P

C

O

OP

OC

CP

Définition *

Une sphère Σ est un ensemble de points P de l’espace situés à une même distance d'un point donné. Le point donné est le centre C de la sphère et la distance donnée le rayon r de la sphère.

2.4.3 Équations paramétriques des sphères dans 3 * Soit la sphère Σ de centre ( )O 0;0;0 et de rayon r.

Avec la trigonométrie :

( ) ( )

( ) ( )

⎧ = ⇒ = ⋅⎪⎪⎨⎪ = ⇒ = ⋅⎪⎩

ysin y k sinkxcos x k cosk

ϕ ϕ

ϕ ϕ

( ) ( )

( ) ( )

⎧ = ⇒ = ⋅⎪⎪⎨⎪ = ⇒ = ⋅⎪⎩

zsin z r sinrkcos k r cosr

θ θ

θ θ

Les composantes du vecteur OP sont :

Remarques *

a) θ et ϕ sont deux paramètres ; c’est sont deux scalaires.

b) La norme de OP est r . La direction de OP est donnée par θ et ϕ .

c) Soit la sphère Σ de centre ( )1 2 3C c ;c ;c et de rayon r.

Alors : ( )∈ ⇔ = +P x; y;z OP OC CPΣ

( ) ( )( ) ( )

( ) [ ]

⎧ = ⋅ ⋅ + ⎡ ⎤∈ −⎪ ⎢ ⎥⇔ = ⋅ ⋅ + ⎣ ⎦⎨⎪ ∈= ⋅ +⎩

1

2

3

x r cos cos c;

2 2y r cos sin c0 ; 2z r sin c

θ ϕ π πθθ ϕ

ϕ πθ

( ) ( )( ) ( )( ) [ ]

x r cos cos;

2 2y r cos sin0 ; 2z r sin

θ ϕ π πθθ ϕ

ϕ πθ

⎧ = ⋅ ⋅ ⎡ ⎤∈ −⎪ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ ⎣ ⎦⎨⎪ ∈= ⋅⎩

r

• C

P •

Σ

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 88 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.4.4 Équations cartésiennes des sphères dans 3* Soit la sphère Σ de centre ( )1 2 3C c ;c ;c et de rayon r.

Alors :

( )

( )

( ) ( ) ( )

1 2 3

2 2 21 2 3

P x; y;z CP r

OP OC r

x c ; y c ;z c r

x c y c z c r

Σ∈ ⇔ =

⇔ − =

⇔ − − − =

⇔ − + − + − =

( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 3x c y c z c r⇔ − + − + − =

Exemples *

a) 2 2 2: x y z 9Σ + + = est l’équation d’une sphère de centre ( )C 0;0;0 et de rayon 3.

b) 2 2 2: x y z 6 x 10 y 4z 22 0Σ + + + − − + = est l’équation d’une sphère car on peut écrire

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2

x 6 x 9 y 10 y 25 z 4z 4 0 9 25 4 22

x 3 y 5 z 2 4

+ + + − + + − + = + + + −

⇔ + + − + − =

qui est bien l’équation d’une sphère de centre ( )C 3;5;2− et de rayon 4.

c) ( ) ( ) ( )2 2 2x 6 y 1 z 3 16− + − + + = − n’est pas l’équation d’une sphère car 2r 16 = − ce qui est impossible. Exercice 112 * Déterminer l'équation cartésienne et paramétrique du cercle Γ si :

a) Γ est de centre ( )C 2;0− et de rayon 5.

b) Γ passe par l'origine et son centre est ( )C 4;4 .

c) Γ est de diamètre [ ]AB avec ( ) ( )A 1;2 et B 5;2 .

Exercice 113 * a) Les équations suivantes définissent-elles des cercles ? Si oui, donner le centre et le rayon.

i) 2 2: x y 4x 6 y 4 0Γ + − + + = ii) 2 2: x y 10 y 9 0Γ + + + =

iii) 2 2: x y 8x 6 y 0Γ + − − = iv) 2 2: x y 4x 2 y 9 0Γ + + − + =

b) Pour chaque cercle défini au point a), donner ses équations paramétriques.

r

• C

P •

Σ

O

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 89 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Exercice 114 *

Soit Γ un cercle d'équation : ( ) ( )2 2x 3 y 2 36− + + = .

a) Est-ce que ( )A 2; 4− appartient à Γ ?

b) Trouver les coordonnées des points de Γ ayant pour abscisse x 2= − .

c) Trouver les coordonnées des points de Γ ayant pour ordonnée y 0= .

d) Situer chacun des points suivants par rapport au cercle (à l’intérieur, à l’extérieur ou sur le cercle) : ( ) ( ) ( )O 0;0 , B 2;3 et D 10;4 . Exercice 115 * Déterminer l’équation cartésienne de la droite d tangente au cercle 2 2: x y 4x 6 y 12Γ + + − = au pointT( 5;7 )− . Exercice 116 * Déterminer l'équation cartésienne et paramétrique de la sphère Σ si :

a) Σ est de centre ( )C 2;0;1− et de rayon 3.

b) Σ est de diamètre [ ]AB avec ( ) ( )A 1 ; 1;2 et B 0;2; 2− − .

c) Σ passe par l'origine du repère et son centre est ( )C 8;6;2− . Exercice 117 * Soit Σ la sphère de centre ( )C 1;0;2 et de rayon 4. Situer chacun des points suivants par rapport à la sphère (à l’intérieur, à l’extérieur ou sur la sphère) :

( ) ( ) ( )D 1;2;3 , E 1;4;2 et F 2;4; 3 .− Exercice 118 * Déterminer l'équation cartésienne du plan Π , tangent en ( )A 3;4; 2− à la sphère Σ

d'équation 2 2 2: x y z 6 x 8 y 14z 7 0Σ + + − − − − = . Exercice 119 * Déterminer l'équation cartésienne de la sphère Σ tangente au plan : x y z 6 0Π + + − = et qui a pour centre ( )C 3;4;5 .

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 90 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.4.5 Ce qu’il faut absolument savoir 38♥ Déterminer l’équation cartésienne d’un cercle connaissant son centre et son rayon ok

39♥ Déterminer l’équation cartésienne d’un cercle connaissant son diamètre ok

40♥ Retrouver le centre et le rayon d’un cercle d’après son équation cartésienne ok

41♥ Déterminer l’équation paramétrique d’un cercle connaissant son centre et son rayon ok

42♥ Trouver la droite tangente à un cercle connaissant le point de tangence ok

43♥ Déterminer l’équation cartésienne d’une sphère connaissant son centre et son rayon ok

44♥ Déterminer l’équation cartésienne d’une sphère connaissant son diamètre ok

45♥ Déterminer l’équation paramétrique d’une sphère connaissant son centre et son rayon ok

46♥ Retrouver le centre et le rayon d’une sphère d’après son équation cartésienne ok

47♥ Trouver le plan tangent à une sphère connaissant le point de tangence ok

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 91 Géométrie vectorielle / 3 N-A

2.5 Solutions des exercices Ex 1 a) ( ) ( ) ( ) ( )A 3;4 , B 2;1 , C 1; 2 et D 5; 1− − − − b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A 3;4 ;0 , B 1;2 ; 1 , C 2; 3 ;2 , D 1; 1 ; 4 , E 1;0 ; 4 , F 0; 3 ;2 , G 1;2 ;0− − − − − − − − − .

Ex 2 1)

a) et c) : Non, car la direction des vecteurs est différente.

b) Non, car le sens des vecteurs est différent.

e) : Non, car les normes des vecteurs sont différentes.

d) et f) : Oui, car les vecteurs ont même direction, sens et intensité. 2)

a) ( ) ( )v 4;2 w 4; 2= = − b) ( ) ( )v 7; 3 w 7;3= − − =

c) ( ) ( )v 1; 4 w 3; 1= − − = − d) ( ) ( )v 2; 1 w 2; 1= − = −

e) ( ) ( )v 6;2 w 3;1= = f) ( ) ( )v 7; 4 w 7; 4= − = − 3) « Les vecteurs qui sont équivalents (qui ont même direction, sens et intensité) ont les mêmes composantes ». Ex 3

( )1;2AB = −

( )4; 5CE = −

( )4; 1CD = − Ex 4

a) ( )AB 1; 5= − ( )AC 6; 4= − ( )AD 5;1=

( )BC 5;1= ( )BD 4;6= ( )CD 1;5= −

b) AD et BC sont équivalents car ils ont les mêmes composantes. Ex 5 a) F( 2;3 ) b) G(-1;2) c) r ( 4; 1)= − − d) M( 5;2 ) Ex 6 a) a ( 0; 6 )= − b ( 4; 1)= − − c ( 9;0 )= d ( 3;3 )= −

Ex 7 a ( 29;3; 25 )= − b ( 7;1; 5 )= − − c (7; 1;5 )= − 31 1 13d ; ;6 2 6

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

AB CE

CD B

C D

E A y

x

A

B

D

C

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 92 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Ex 8

a) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2v w ( v ;v ) ( w w ) ( v w ;v w ) ( w v ;w v ) w v+ = + + = + + = + + = +

b) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2u v w ( u v ;u v ) ( w w ) ( u v w ;u v w )+ + = + + + + = + + + +

( )1 2 1 1 2 2( u u ) ( w v ;w v ) u w v= + + + + = + +

c) 1 2 1 20 v ( 0;0 ) ( v ;v ) ( v ;v ) v+ = + = =

d) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2v ( v ) v ;v v ; v v v ;v v ( 0;0 ) 0+ − = + − − = − − = =

e) 1 2 1 21 v 1 ( v ;v ) ( v ;v ) v⋅ = ⋅ = =

f) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2( v w ) v w ;v w v w ; v w v ; v w ; wα α α α α α α α α α+ = + + = + + = +

( ) ( )1 2 1 2v ;v w ;w v wα α α α= + = +

g) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) v (( )v ;( )v ) ( v v ; v v ) ( v ; v ) ( v ; v ) v vα β α β α β α β α β α α β β α β+ ⋅ = + + = + + = + = +

h) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2v v ; v v ; v ( v ;v ) vα β α β β αβ αβ αβ α β⋅ ⋅ = = = = ⋅ ⋅

Ex 9

a) i) a ( 2;0 ) 2 i 0 j ; b ( 1;0 ) 1 i 0 j ; c ( 0;2 ) 0 i 2 j= = ⋅ + ⋅ = − = − ⋅ + ⋅ = = ⋅ + ⋅

d ( 0; 1) 0 i 1 j ; e ( 2;2 ) 2 i 2 j ; f ( 1;2.5 ) 1 i 2.5 j= − = ⋅ + − ⋅ = = ⋅ + ⋅ = = ⋅ + ⋅

ii) 1 2 1 2 1 2 1 2v ( v ;v ) ( v ;0 ) ( 0;v ) v ( 1;0 ) v ( 0;1) v i v j= = + = + = +

Donc, pour tout v du plan, il existe des scalaires λ1 et λ2 tels que : 1 2v i jλ λ= +

b) 1 2 3 1 2 3a ( 7;10; 5 ) 7i 10 j 5k b ( 3;0;0 ) 3i 0 j 0k 3i c ( c ;c ,c ) c i c j c k= − − = − + − = = + + = = = + +

Ex 10

c) ( )AB OB OA 1;5= − =

( )BC OC OB 4; 1= − = − −

( )AC OC OA 3;4= − = −

e) Soit 1 2 1 2A( a ;a ) et B( b ;b ) deux points du plan 2≈ .

Les composantes du vecteur AB sont : ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2AB OB OA b ;b a ;a b a ;b a= − = − = − − Ex 11

c) ( )AB OB OA 2;0;0= − = −

( )BC OC OB 1;5; 2= − = −

( )AC OC OA 1; 5;2= − = −

e) Soit 1 2 3 1 2 3A( a ;a ;a ) et B( b ;b ;b ) deux points de l’espace 3≈ .

Les composantes du vecteur AB sont : ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3AB OB OA b ;b ;b a ;a ;a b a ;b a ;b a= − = − = − − − Ex 12 a) B( 5; 2 )− b) C( 9; 5 )− c) D( 13; 8 )−

d) AD ( 12; 9 )= − e) Il y a une infinité de possibilités.

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 93 Géométrie vectorielle / 3 N-A

OA

0B

OM

A

B

M •

y

MA

MB

O x

Ex 13

a) A, B et C sont alignés (se trouvent sur la même droite) ( )

( )

AB AC AB et AC sont colinéaires

ou

AC AB AC et AB sont colinéaires

μ μ

λ λ

⎧ = ⋅ ∈⎪⎪⇔ ⎨⎪

= ⋅ ∈⎪⎩

b) i) A,B et C sont alignés. ii) A,B et C ne sont pas alignés. iii) A,B et C ne sont pas alignés. Ex 14

a) ( )

( )AB PQ

AB PQ AB et PQ sont colinéaires

d d ou

PQ AB PQ et AB sont colinéaires

λ λ

μ μ

⎧ = ⋅ ∈⎪⎪⇔ ⎨⎪

= ⋅ ∈⎪⎩

b) i) dAB et dPQ ne sont pas parallèles. ii) dAB et dPQ sont parallèles. iii) dAB et dPQ sont parallèles.

Ex 15 a.i) k 6= a.ii) k 18= b) 2 et 1α β= − =

Ex 16 a) ABCD est un parallélogramme AD BCou

DC AB

⎧ =⎪

⇔ ⎨⎪ =⎩

b) ( )AD 8 ; 20= − ( )BC 8 ; 20= −

Conclusion : On a bien AD BC= , donc ABCD est un parallélogramme. Ex 17 C( 1;5;2 ) D( 3;2;1) E( 5; 1;0 ) F(7; 4; 1)− − − Ex 18 a) ( )D 10; 4− b) ( )M 4; 0.5− Ex 19 ( )C 6;1;19 ( )D 9; 5;12−

Ex 22

a) ( )1OM OA OB2

= +

b) ( ) 1 1 2 2a b a b1OM OA OB ;2 2 2

+ +⎛ ⎞= + = ⎜ ⎟⎝ ⎠

c) ( )OM 3;0,5=

d) ( ) 3 31 1 2 2 a ba b a b1OM OA OB ; ;2 2 2 2

++ +⎛ ⎞= + = ⎜ ⎟⎝ ⎠

e) ( ) ( )1 1OM OA OC et ON OB OC2 2

= + = +

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1MN ON OM OB OC OA OC OB OA OB OA AB2 2 2 2 2 2

= − = + − + = − = − =

Ex 23 a) AB ( 4; 3;5 ) DC ( 4; 3;5 )= − − = − − b) M ( 3,5; 1,5;2 )−

c) N( 3,5; 1,5;2 )− d) ABCD est un parallélogramme

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 94 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Ex 24

a) ( )1OG OA OB OC3

= ⋅ + +

b) ( ) 1 1 1 2 2 2a b c a b c1OG OA OB OC ;3 3 3

+ + + +⎛ ⎞= ⋅ + + = ⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 2OG ;03

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

d) ( ) 3 3 31 1 1 2 2 2 a b ca b c a b c1OG OA OB OC ; ;3 3 3 3

+ ++ + + +⎛ ⎞= ⋅ + + = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex 25

a) b)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

OAOA'

OBOB'

OCOC'

ODOD'

1; 8 5;4

4; 8 8;4

4; 5 8;7

1; 5 5;7

− = +

− = +

− = +

− = +

-4;-12

-4;-12

-4;-12

-4;-12

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

OA'' OA'

OB'' OB'

OC'' OC'

OD'' OD'

6; 2 1; 8

3; 2 4; 8

3;1 4; 5

6;1 1; 5

− − = + −

− − = + −

− = + −

− = + −

-7;6

-7;6

-7;6

-7;6

c) Cette transformation du plan s’appelle une translation.

Ex 26

a) b)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

OA' OA

OB' OB

OC' OC

OD' OD

2;2 4;4

3;2 6;4

3;3 6;6

2;3 4;6

=

=

=

=

i

i

i

i

12

12

12

12

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

OA'' OA'

OB'OB''

OC'OC''

OD'OD''

8;8 2;2

12;8 3;2

12;12 3;3

8;12 2;3

=

=

=

=

i

i

i

i

4

4

4

4

c) Cette transformation du plan s’appelle une homothétie.

Ex 27 a) a 17 ; b 5 ; c 1 ; a b 146 12,1= = = − = ≅

b) a 13 ; b 14 3,74 ; 5a 5 a 5 13 65= = ≅ − = − ⋅ = ⋅ =

a b 195 13,96+ = ≅

Ex 29 1) ( ) ( )1 2y 3 Donc 2 possibilités : a 4;3 ou a 4; 3= ± = = −

2) ( ) ( )1 2z 3 Donc 2 possibilités : b 4; 12;3 ou b 4; 12; 3= ± = − = − −

3) 1 21 1 1 1 1 1 1y Donc 2 possibilités : c ; ; ou c ; ;

2 2 2 22 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ± = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4) k 12 2= ± +

•G

x

y

B

A

C

O

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 95 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Ex 30 a) 4 3u ;5 5

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 35 15 20u ; ;74 74 74

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 3 3 3u ; ;27 27 27

⎛ − − − ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 8 4u ;5 5

⎛ ⎞= ± ±⎜ ⎟⎝ ⎠

e) 40 96u ;13 13

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex 31

a) i) ( ) ( ) ( )OA 4;5 ; OB 9;3 ; OC 2; 3= = = −

( ) ( ) ( )AB OB OA 5; 2 BC OC OB 7; 6 AC OC OA 2; 8= − = − = − = − − = − = − −

ii) OA 41 ; OB 90 ; OC 13 ; AB 29 ; BC 85 ; AC 68= = = = = =

iii) Périmètre du triangle ABC = AB AC BC 22,9+ + ≈

b) i) ( ) ( ) ( )OA 3; 1;0 ; OB 4;4; 1 ; OC 0;3;4= − = − =

( ) ( ) ( )AB OB OA 1;5; 1 BC OC OB 4; 1;5 AC OC OA 3;4;4= − = − = − = − − = − = −

ii) OA 10 ; OB 33 ; OC 5 ; AB 27 ; BC 42 ; AC 41= = = = = =

iii) Périmètre du triangle ABC = AB AC BC 18,1+ + ≈

c)

i) ( ) ( )2 21 1 2 2AB b a b a= − + − ii) ( ) ( ) ( )22 2

1 1 2 2 3 3AB b a b a b a= − + − + −

Ex 32

a) Ce triangle n’est pas équilatéral car il n’a pas trois côtés de même longueur, mais il est isocèle car il a deux côtés de même longueur.

b) Périmètre du triangle ABC AB BC AC 17,83= + + 6. 26Aire ABC 15,32

Δ =

Ex 33 OA 5= OB 5= OC 5= OD 5=

Ex 34 * a) C( 3; 3 )− − b) 20 45 900Aire 152 2⋅

= = =

Ex 35 * ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4OK 14;0 OK 7 2;7 2 OK 0;14 OK 7 2;7 2= = = = −

( ) ( ) ( ) ( )5 6 7 8OK 14;0 OK 7 2; 7 2 OK 0; 14 OK 7 2; 7 2= − = − − = − = −

Ex 36 *

Carré ( )1OH 7;8= ( )2OH 3;8= − ( )3OH 3; 2= − − ( )4OH 7; 2= −

Hexagone ( )1ON 4; 6= − 27 7 3ON 3; 62 2

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

37 7 3ON 3; 62 2

⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )4ON 10; 6= − − 57 7 3ON 3; 62 2

⎛ ⎞= − − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

67 7 3ON 3; 62 2

⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex 37 * a) Norme : [ ]PS 12,06 N≅ Angle directeur : 42θ ≅

b) i) Non, contre-exemple : voir point a) ii) Non, contre-exemple : voir point a)

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 96 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Ex 38 * Norme : [ ]4F 10,58 N≅ Angle directeur : 292,55θ ≅

Ex 39 * a) ( )PR 61,5 ;45,2= −

b) Norme de PR : PR 76,3 Angle directeur de PR : 143,7θ

Ex 40 * 023,57θ ≅ Ex 41

i i j i− j− i j+

i 1 0 -1 0 1

j 0 1 0 -1 1

i j+ 1 1 -1 -1 2 Ex 42

i i j k i j+ i j−

i 1 0 0 1 1

j 0 1 0 1 -1

k 0 0 1 0 0

i j+ 1 1 0 2 0

Ex 43

a) ( )a b 9 ; i j 0 ; a ( b i ) 12 ; a i b pas défini ! ; j ( b a ) 5= = − = + =i i i i i i .

c) ( )a b 5 ; i j 0 ; a ( b i ) 3 ; j ( b a ) 4 ; k i j 0= − = − = − + = − + =i i i i i .

Ex 45 b) Rapporteur 23≅ c) 1 23,2θ ≅ d) Rapporteur 135≅ 2 135θ =

Ex 46

a) AB ACBAC arccos 71,57AB AC

⎛ ⎞⎜ ⎟= ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

i ; BA BCABC arccos 71,57BA BC

⎛ ⎞⎜ ⎟= ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

i ; CB CABCA arccos 36,87CB CA

⎛ ⎞⎜ ⎟= ≅⎜ ⎟⎝ ⎠

i

b) Oui le triangle ABC est isocèle en C car, 2 côtés égaux : BC = AC . On a aussi 2 angles égaux : ABC BAC=

c) AB MC 5 7,5Aire du triangle ABC 18,75

2 2

⋅ ⋅= = =

Ex 47 11,3θ ≅ ° Ex 48 a) 19,1θ ≅ ° b) BAC 102,7≅

0

y

1

1 xi

j

0

z

1

1 i

k

j

1

y

x

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 97 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Ex 49 a) a b 0 a b= ⇔ ⊥i L’angle formé par les vecteurs a et b est droit.

b) a b 4 0 a= − ≠ ⇔ ⊥i b L’angle formé par les vecteurs a et b est obtus.

c) a b 12 0 a= ≠ ⇔ ⊥i b L’angle formé par les vecteurs a et b est aigu.

d) a b 0 a b= ⇔ ⊥i L’angle formé par les vecteurs a et b est droit. Ex 50 a) Le triangle est rectangle en A car ( )AC AB (6; 48) 24; -3 0= =i i ok !

b) Le triangle ABC est rectangle en A, donc ( )AB AC 1170Aire ABC 585

2 2Δ

⋅= = =

Ex 51 Rectangle en A si AC AB 0 ( 8; 1) ( 2; 2 ) 0 14λ λ= ⇔ − + = ⇔ =i i

Rectangle en B si BC BA 0 ( 6; 3 ) ( 2; 2 ) 0 1 ou 6λ λ λ λ= ⇔ − − − − − = ⇔ = = −i i

Rectangle en C si CA CB ( 8;1) ( 6; 3 ) 0 51λ λ= − − + = ⇔ = −i i Ex 52 a) n ( 2;6; 4 )= − b) v ( 10;2;2 )= − w ( 3;0;1)= −

c) Il y a une infinité de vecteurs c orthogonaux à a et b dans l’espace. Ils ont tous la même direction.

d) c ( 2;5; 4 )= − e) 1 22 5 4 2 5 4u ; ; ou u ; ;45 45 45 45 45 45

⎛ − ⎞ ⎛ ⎞= = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ex 53 b) ( )a 2;3= − ( )a 3; 2⊥ = − −

c) ( ) ( )a a 2;3 3; 2 0⊥ = − ⋅ − − =i , le produit scalaire est nul. d) 90α = ° e) ( )x 4; 3= − ( )x 3;4⊥ = x x 0⊥ =i 90α = °

Ex 54 ( )C 9; 4− ( )D 8;2

Ex 55 b) p 4.4≅ c) 2

a b 7 21p b ;5 5b

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

i 98p 4.425

= ≅

d) ( )x 4;0= ( )y 6;8= p 2.4≅ 2x y 36 48p y ;

25 25y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

i p 5.76 2.4= ≅

Ex 56 a) 2a b 1 1a' b ; ; 1

2 2b

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

i b) 2b a 3 3 9b' a ; ;

14 7 14a

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ = − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

c) Que constate-t-on ? a' b'≠

Ex 57 a) ( )D 4;4; 4− b) 6 3 12p ; ;7 7 7

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

c) 27 10 33P ; ;7 7 7

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

d) Aire du parallélogramme ABCD 12,25≅

Ex 58 a) et b) ( )D 2;4;1 c) Aire du triangle ABC 19,09≅ Ex 59 c) ( )1F 48; 36= − − ( )2F 48; 64= − 1F 60= 2F 80=

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 98 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Ex 60 * b) ( )R 4;3= Ex 61 * 109,47 avec 0 180θ θ≅ ≤ ≤

Ex 62 1 2

23 4

= − 1 2

02 4

= 3 6

128 12− −

= −− −

cos( ) sin( )

1sin( ) cos( )

α αα α

−=

Ex 63 k 0 ou k 2= =

Ex 64

a) À l'aide des mineurs :

1 2 3

5 6 4 6 4 54 5 6 1 2 3 3 12 9 0

8 9 7 9 7 87 8 9

= − + = − + − =

a b c

e f d f d ed e f a b c aei afh bdi bfg cdh ceg

h i g i g hg h i

= − + = − − + + −

b) Avec la règle de Sarrus :

1 1 1 1 11 1 1 1 1 ( 1 1 1) ( 1 1 1) 01 1 1 1 1

− − − − −− − − − = − + − − − + − =− − − − −

1 0 0 1 03 2 1 3 2 1 2 3 1 1 2 41 2 3 1 2

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =− −

Ex 65 a) ( )A Det AB; AD 29= = b) ( )1 9Aire du triangle ABC = Det AB; AC2 2⋅ =

Ex 66 a) V Det( u;v;w ) 22= = b) ( )V = Det BA;BD ;BC 14=

Ex 67

Le volume du prisme (3) est la moitié du volume du parallélépipède (1). Le volume de la pyramide (4) dont la base est

un parallélogramme mesure 23

du volume du prisme (3), c'est-à-dire 13 du volume du parallélépipède (1). Le volume de

chacun des tétraèdres (5) ou (6) ou (7) mesure 13

du volume du prisme triangulaire (3), c'est-à-dire 16

du volume du

parallélépipède (1).

Ex 68 Le volume du prisme triangulaire ABCDEF = 1 Det( BA; BC ; BE ) 72⋅ =

Ex 69 a) i) Det( a;b ) 0= ⇔ a et b colinéaires.

ii) Det( a;b ) 1 0= − ≠ ⇔ a et b ne sont pas colinéaires.

b) i) Det( a;b ;c ) 0= ⇔ a,b et c sont coplanaires.

ii) Det( a;b ;c ) 6= − ⇔ a,b et c ne sont pas coplanaires.

Ex 70 i) 1 21k 3 et k2

= = ii) 1k / 3;2

⎧ ⎫∈ ⎨ ⎬⎩ ⎭

Ex 71 b) Les points A , B et C sont alignés.

d) Les points A, B, C et D appartiennent au même plan Π .

Ex 73 * 31V c3

=

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 99 Géométrie vectorielle / 3 N-A

A B

• •

• C

Ex 74 * a) Non définie d) Nombre g) Non définie b) Nombre e) Nombre h) Nombre

c) Vecteur f) Vecteur i) Non définie Ex 75 * a) ( ) ( )u× v ×w = 30;56;-38 ( ) ( )u×v ×w = 48;23;-24

b) ( ) ( )u× v ×w u ×v ×w≠ Le produit vectoriel n’est pas associatif.

Ex 76 * ( )11u 6;3;27

= − ⋅ On a aussi : ( )21u 6;3;27

= ⋅

Ex 77 * a) Aire 75 5 3= = ⋅ b) 5 2h2⋅

=

Ex 78 * Aire du triangle ABC = ½ ⋅ Aire du parallélogramme ABCD = AC×AB =1 12 2⋅

Ex 79 * a) ( )E 5;4;7 b) 1V AC AB AE2

⎛ ⎞= ⋅ × ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

c) ( )1V Det AB; AC; AE2

= ⋅

Ex 80 * a) Aire du tétraèdre régulier ABCD = Aire des 4 faces triangulaires égales 22 3 c= ⋅ ⋅

b) 2h c3

= ⋅ c) ( )2 2 2n AB AC c ; c ; c= × = − −

d) 2AD n 2 2 2h n c; c; c

3 3 3n

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

i e) 2h c3

= ⋅

Ex 81 *

a) Trois points A, B et C de l’espace sont alignés

AB AC

AB AC

AB AC

l'aire du parallélogramme engendré par les vecteurs et est nulle.

0

0

⇔ × =

⇔ × =

b) A, B et C ne sont pas alignés car : AB AC 0× ≠ Ex 83

a) x 4 -1y 3 4

λλ

λ=⎧

∈⎨ = − +⎩ (Équation paramétrique de d )

b) 3x 4 y -13 0 (Équation cartésienne de d) + = c) ( )Avec 2 on obtient le point P 7; 2 dλ = − ∈

( )Avec 3 on obtient le point Q 11; 5 dλ = − ∈ Ex 84

1) a) ( )n 3; 2= − b) ( )v n 2;3⊥= = c) Équation paramétrique de d : x 2y 3 1 / 2

λλ

λ=⎧

∈⎨ = −⎩

2) a) ( )v 3;5= b) ( )n v 5;3⊥= = − c) Équation cartésienne de d : 5x 3y 23 0 − + =

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 100 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Ex 85

a) Équation paramétrique de d2 : x 6 4y 4 2

λλ

λ= − +⎧

∈⎨ = − −⎩ Équation cartésienne de 2d : 2x 3y 14 0− + + =

b) Équation paramétrique de d3 : x 2 2y 5 4

λλ

λ= − −⎧

∈⎨ = −⎩ Équation cartésienne de 3d : 5x 2 y 18 0+ + =

c) Équation paramétrique de d4 : x 4 3y 5

λλ

λ= −⎧

∈⎨ = +⎩ Équation cartésienne de 4d : x 4 y 23 0− + =

d) Équation paramétrique de d5 : x 9 2y 2 4

λλ

λ= − +⎧

∈⎨ = − −⎩ Équation cartésienne de 5d : 2x 9 y 40 0− + + =

Ex 86 a.i) La droite d1 est parallèle à la droite d2 . a.ii) Elles sont sécantes. Le point d’intersection est ( )I 2;4 .

b.i) parallèles : 3k -5

= b.ii) perpendiculaires : 5k3

=

Ex 87 a) 60,26θ ≅ b) 76θ ≅ ° c) 75,96θ ≅ °

Ex 88 a) ( )Q 7,4;6,2 b) ( )P' 3,2;14,6

Ex 89 1a) 1(P, d ) 5δ = 1b) 22 5(P, d )

5⋅

∂ = 2) ( P,d ) 2∂ = 3) 28 5( P,d )

5⋅

∂ =

Ex 90

b) Équation paramétrique de d1 : x 4 7y 10 6

λλ

λ= −⎧

∈⎨ = − +⎩ Équation cartésienne de d1 : 5x 2 y 23 0 + + =

c) Équation cartésienne de d2 : x 3y 4 0− + =

d) 77 3I ;17 17

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

e) 6(B, d)10

δ =

f) Équation paramétrique de d3 : x 2 3y 6 4

λλ

λ= −⎧

∈⎨ = − −⎩

g) Équation cartésienne de d4 : 2x 5 y 6 0− + = h) Périmètre du triangle ABC 28,43 Aire du triangle ABC 53=

i) ABC 61.61≅ Ex 91 a) 1d : x 2y 8 0+ − = 2d : 4x 3y 7 0+ − = 3d : 3x y 9 0+ − =

1 2d d A∩ = ( )A 2;5− 2 3d d B∩ = ( )B 4; 3− 1 3d d C∩ = ( )C 2;3

b) Médiatrice Ma : x 3y 3 0− − = Médiatrice Mb : 2x y 4 0− + = ( ){ }a bJ M M 3; 2= ∩ = − − Ex 92

a) Équation paramétrique de d : x 2y 1z 6 1

λλ λλ

= − +⎧⎪ = − + ∈⎨⎪ = −⎩

b) ( )Avec λ=2 on obtient le point P 0; 1;11 d− ∈ ( )Avec λ=3 on obtient le point Q 1; 2;17 d− − ∈

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 101 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Ex 93

a) Équation paramétrique de d1 : ( ) ( ) ( )x; y; z 0;1;0 3;0;2λ λ= + ∈ Équation cartésienne de d1 : x 3 et y et z 2= ∈ = 1ère trace de d1 : ∅ 2ème trace de d1 : ∅ 3ème trace de d1 : R(3 ;0 ;2) b) Équation paramétrique de d2 : ( ) ( ) ( )x; y; z 0; 5;2 3;0;2λ λ= − + ∈

Équation cartésienne de d2 : y z 2x 3 et5 2

−= =

1ère trace de d2 : P(3 ;5 ;0) 2ème trace de d2 : ∅ 3ème trace de d2 : R(3 ;0 ;2) c) Équation paramétrique de d3 : ( ) ( ) ( )x; y; z 3;5; 2 3;0;2λ λ= − − + ∈

Équation cartésienne de d2 : x 3 y z 2

3 5 2− −

= =− −

1ère trace de d3 : P(0 ;5 ;0) 2ème trace de d3: Q(0 ;5 ;0) 3ème trace de d3 : R(3 ;0 ;2) d) Équation paramétrique de d4 : ( ) ( ) ( )x; y; z 3; 5;0 3;0;2λ λ= − + ∈

Équation cartésienne de d2 : x 3 y et z 2

3 5−

= =−

1ère trace de d4 : ∅ 2ème trace de d4 : P(0 ;5 ;2) 3ème trace de d4 : R(3 ;0 ;2) e) Équation paramétrique de d5 : ( ) ( ) ( )x; y; z 0;0;1 3;5;0λ λ= + ∈ Équation cartésienne de d2 : x 3 et y 5 et z= = ∈ 1ère trace de d5 : P(3 ;5 ;0) 2ème trace de d5 : ∅ 3ème trace de d5 : ∅ f) Équation paramétrique de d6 : ( ) ( ) ( )x; y; z 3;5;0 0;0;0λ λ= + ∈

Équation cartésienne de d2 : x y et z 23 5= =

1ère trace de d6 : ( ){ }3 ;5λ λ λ ∈ 2ème trace de d6 : Q(0 ;0 ;0) 3ème trace de d6 : R(0 ;0 ;0)

Ex 94 a) Un vecteur directeur est ( )v 2;1;1= et un vecteur position est ( )OA 1;1;2=

b) ( )Si k=0 on obtient le point P 1;1;2 d∈ ( )Si k=1 on obtient le point Q 3;2;3 d∈

c) ( )R 1;1;5 ∈d ( )S 3;2;2 ∈d

d) ( )Si k=-1 on obtient le point P 1;0;1 d− ∈ ( )Si k=2 on obtient le point Q 5;3;4 d∈

On obtient un segment de droite allant du point ( )P 1;0;1− au point ( )Q 5;3;4 .

e) 1ère trace de d : ( )P 3; 1;0 d Oxy− − ∈ ∩

2ème trace de d : 1 3Q 0; ; d Oyz2 2

⎛ ⎞∈ ∩⎜ ⎟⎝ ⎠

3ème trace de d : ( )R 1;0;1 d Oxz− ∈ ∩

f) d ∩ Ox = ∅ d ∩ Oy = ∅ d ∩ Oz = ∅

Ex 95 a) ( )I 1; 2;5 − b) 62,2θ ≅

Ex 96 a) ( ) ( )1 2d : x; y; z ( 1; 1;2 ) ( 3;1; 2 ) d : x; y; z ( 2; 3;5 ) ( 1; 2;3 )λ λ μ μ= − + − ∈ = − + − ∈

b) I( 1; 1;2 )− Ex 97 a) d1 et d2 sont parallèles. b) d1 et d2 sont gauches. Ex 98 a) m = -6 et n = 3 b) n 2m 3 m= − ∈

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 102 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Ex 99 a) A ∉ Π B ∈ Π b) Par exemple : C(1 ;0 ;-1), D(1 ;1 ;0) et E(-2 ;0 ;-3) ∈ Π

c) Par exemple : Vecteurs directeurs : ( )CD 0;1;1= et ( )CE 3;0; 2= − −

Vecteur position : ( )OC 1;0; 1= −

Vecteur orthogonal : ( )n 2;3; 3= −

d) Équations paramétriques de π : x 3 1y ,z 2 1

μλ λ μλ μ

= − +⎧⎪ = ∈⎨⎪ = − −⎩

Ex 100 a) A ∉ α B ∈ α

b) Par exemple : C(3;1;5) et D(1;2;8) ∈ α

c) Par exemple : Vecteurs directeurs : ( )1v 2;1;3= − et ( )2v 1; 4;3= −

Vecteur position : ( )p 3;1;5=

Vecteur orthogonal : ( )n 15;3;7=

Équations paramétriques de α : x 2 3y 4 1 ,z 3 3 5

λ μλ μ λ μλ μ

= − + +⎧⎪ = − + ∈⎨⎪ = + +⎩

d) Équation cartésienne de α : 15x 3y 7z 107 0+ + − = Ex 101 a) ( )A 1 ;2 ; 1 − est un point appartenant au plan Π.

b) C'est l'équation d'une droite appartenant au plan Π de vecteur directeur ( )v 3;4; 4= − −

et de vecteur position ( )OA 3;5; 1= − − .

c) C'est l'équation d'un segment de droite d'extrémité ( ) ( )A 11 ; 9 ;7 et B 3 ;5 ; 1− − − appartenant au plan Π .

d) C'est un plan limité par les points : ( ) ( ) ( ) ( )A 4; 2;3 , B 1;2; 1 ,C 10;12; 5 et D 13;16; 9− − − − − − . Ex 102 Équation cartésienne du plan Π : 4x 6 y 2z 18 0− + + − = ¨ Ex 103 a) • Équation paramétrique de ∏ : ( x; y; z ) ( 1;0;0 ) ( 0;1;0 ) ,λ μ λ μ= ⋅ + ⋅ ∈

• Équation cartésienne de ∏ : z = 0 • Remarque : planOxyΠ ⊂

b) • Équation paramétrique de ∏ : ( x; y; z ) ( 0;0;2 ) ( 1;0;0 ) ( 0;1;0 ) ,λ μ λ μ= + ⋅ + ⋅ ∈ • Équation cartésienne de ∏ : z = 2 • Remarque : / / planOxyΠ

c) • Équation paramétrique de ∏ : ( x; y; z ) ( 3;0;0 ) ( 0;1;0 ) ( 0;0;1) ,λ μ λ μ= + ⋅ + ⋅ ∈ • Équation cartésienne de ∏ : x = 3 • Remarque : / / planOyzΠ

d) • Équation paramétrique de ∏ : ( x; y; z ) ( 1;0;0 ) ( 0;1;0 ) ( 1;0;1) ,λ μ λ μ= + ⋅ + ⋅ − ∈ • Équation cartésienne de ∏ : x + z = 1

e) • Équation paramétrique de ∏ : ( x; y; z ) ( 0;3;0 ) ( 1;0;0 ) ( 0; 3;2 ) ,λ μ λ μ= + ⋅ + ⋅ − ∈ • Équation cartésienne de ∏ : 2y + 3z = 6

f) • Équation paramétrique de ∏ : ( x; y; z ) ( 1;0;0 ) ( 1; 1;0 ) ( 1;0; 1) ,λ μ λ μ= + ⋅ − + ⋅ − ∈ • Équation cartésienne de ∏ : x + y + z = 1

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 103 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Ex 104 a) :10x 6 y 15z 30 0Π − + − = b) : 5x 2 y 5z 8 0Π − + − = c) : 2x 3y z 9 0Π + − − = d) :13x 10 y 6z 44 0α − − − = e) : 3x 2 y 4z 29 0Π − + − = f) : 2x 4 y 5z 10 0Π − + − = g) 1 : 4x 9 y 6 z 20 0Π − + − =

Ex 105 a) 3 10(D, Π)2

δ ⋅= b) 5 3Q ;3;

2 2⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

c) ( )D' 4;3;3

Ex 106 D n’appartient pas au plan ∏ . ( ) 2D, Π26

∂ =

Ex 107 a) ( ) ( )1 2 217, B, 59

Π Π Π∂ = ∂ = b) 3 : 3x y 7z 3 0Π + − + =

c) ( ) ( )3 1 18, A, 59

Π Π Π∂ = ∂ =

Ex 108 a) 52,7θ ≅ b) 80,8θ ≅

Ex 109 a) Équation paramétrique de Π passant par A, B et C : x k 1y 2k 3 k ,z 5k 6 6

μ μμ

= − +⎧⎪ = + ∈⎨⎪ = − − +⎩

b) Équation paramétrique de la droite d passant par F et G : x 2 3y 5 2z 6 1

αα α

α

= +⎧⎪ = − + ∈⎨⎪ = +⎩

c) 1 13I d ; 1;2 6

Π ⎛ ⎞= ∩ = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Ex 110 a) Équation paramétrique de la droite d : x 3 1y 2 8z 4

αα α

α

= +⎧⎪ = + ∈⎨⎪ = +⎩

b) ( )I 5;4;2− c) 1x 1 yd : z 2

3 2+

= = − d) 2x 1 y 3 z 2d :

2 2 1− − −

= =−

Ex 111* 12c5

= +

Ex 112 * a) ( )2 2 2: x 2 y 5Γ + + = ( )( )

x 5 cos 2:

y 5 sin

θΓ θ

θ

⎧ = ⋅ −⎪ ∈⎨= ⋅⎪⎩

b) ( ) ( )2 2: x 4 y 4 32Γ − + − = ( )( )

x 32 cos 4:

y 32 sin 4

θΓ θ

θ

⎧ = ⋅ +⎪ ∈⎨= ⋅ +⎪⎩

c) ( ) ( )2 2 2: x 3 y 2 2Γ − + − = ( )( )

x 2 cos 3:

y 2 sin 2

θΓ θ

θ

⎧ = ⋅ +⎪ ∈⎨= ⋅ +⎪⎩

Ex 113 * a) i) ( )C 2 ; 3 et r 3− = ii) ( )C 0 ; 5 et r 4− =

iii) ( )C 4 ; 3 et r 5= iv) Ce n'est pas l'équation d'un cercle

b) i) ( )( )

x 3 cos 2:

y 3 sin 3

θΓ θ

θ

⎧ = ⋅ +⎪ ∈⎨= ⋅ −⎪⎩

ii) ( )( )

x 4 cos:

y 4 sin 5

θΓ θ

θ

⎧ = ⋅⎪ ∈⎨= ⋅ −⎪⎩

iii)( )( )

x 5 cos 4:

y 5 sin 3

θΓ θ

θ

⎧ = ⋅ +⎪ ∈⎨= ⋅ +⎪⎩

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 104 Géométrie vectorielle / 3 N-A

Ex 114 * a) A Γ∉

b) ( )P 2 ; 11 2 Γ− − ∈ et ( )P 2 ; 11 2 Γ′ − − − ∈

c) ( )Q 32 3 ;0 Γ+ ∈ et ( )Q 32 3 ;0 Γ′ − + ∈

d) O est dans le cercle. B est dans le cercle. D est en dehors du cercle.

Ex 115 * d : 3x 4 y 43 0− + − = Ex 116 * a) • Équation cartésienne de Σ : ( ) ( ) ( )2 2 2 2x 2 y 0 z 1 3+ + − + − =

• Équation paramétriques de Σ :

( ) ( )( ) ( )( ) [ ]

x 3 cos cos 2;

2 2y 3 cos sin 00 ; 2z 3 sin 1

θ ϕ π πθθ ϕ

ϕ πθ

⎧ = ⋅ ⋅ − ⎡ ⎤∈ −⎪⎪ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ + ⎣ ⎦⎨⎪ ∈= ⋅ +⎪⎩

b) • Équation cartésienne de Σ : ( )2 2

21 1 13x y z 02 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

• Équation paramétriques de Σ :

( ) ( )

( ) ( )

( )[ ]

26 1x cos cos2 2

;26 1 2 2y cos sin2 2

0 ; 226z sin 02

θ ϕπ πθ

θ ϕϕ π

θ

⎧= ⋅ ⋅ +⎪

⎪ ⎡ ⎤∈ −⎪ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ + ⎣ ⎦⎨⎪ ∈⎪

= ⋅ +⎪⎩

c) • Équation cartésienne de Σ : ( ) ( ) ( )2 2 2x 8 y 6 z 2 104+ + − + − =

• Équation paramétriques de Σ :

( ) ( )( ) ( )( ) [ ]

x 104 cos cos 8;

2 2y 104 cos sin 60 ; 2z 104 sin 2

θ ϕ π πθθ ϕ

ϕ πθ

⎧ = ⋅ ⋅ − ⎡ ⎤⎪ ∈ −⎪ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅ + ⎣ ⎦⎨⎪ ∈= ⋅ +⎪⎩

Ex 117 * D se trouve à l’intérieur de la sphère.

E se trouve sur la sphère.

F se trouve à l’extérieur la sphère. Ex 118 * : z 2 0Π + = Ex 119 * ( ) ( ) ( )2 2 2: x 3 y 4 z 5 12Σ − + − + − =

Notes personnelles _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

Notes personnelles _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________