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La Set-Theory d’Allen Forte Un cadre théorique pour l'analyse du Sacre du Printemps

Les principes élémentaires de la Set-Theory

L’analyse du Sacre du Printemps par Allen Forte

Set-Theory: Commentaires

• Equivalence et théorie de la musique• La nomenclature d’Allen Forte• Le contenu intervallique• Relations entre ensembles

• Cadre général• Quatre stratégies d’analyse

• Le rôle des mathématiques• La théorie et l’œuvre• Critères de validation

&

?

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œœ# œœ## œœ œœ#

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œœœ

[Title][Composer]

Do Majeur

Do Majeur Do Majeur 6 Do Majeur 64

Accord parfait Majeur

Les principes élémentaires de la Set Theory :

La notion mathématique de relation d’équivalence:

Soit une relation formelle (notée ~) entre éléments d’un ensemble.

Exemple:Ensemble (R) : Noms correspondants aux touches du clavier d’un pianoRelation: „correspond à la même touche du pianoune fois ramené à une octave particulière“On a par exemple Do#4 ~ Réb4ou encore Do#4 ~ Do#1

Do#4

Réb4

Mib4

Do3

Si#4

Fax4

Do#1

La relation ~ est appelée „relation d’équivalence“ si elle satisfait au trois axiomes suivants pour tout élément a, b et c de l’ensemble :

• a ~ a

• a ~ b => b ~ a

• a ~ b et b ~ c => a ~ c


La notion de classe d’équivalence

Do#4

Réb2

Mib4

Do3 Si#4

Fax4

Do#1

Lorsqu’un ensemble est muni d’une relation d’équivalence il est possible de „découper“ celui-ci en sous-ensembles réunissant les éléments liés par la relation considérée.

Exemple:Dans l’exemple ci-dessus Do#4, Réb4 et Do#1 feront partie du même sous-ensemble, puisqu’ils sont liés par la relation d’équivalence.

Les sous-ensembles ainsi formés seront disjoints deux à deux et forment une partition de l’ensemble R.Ces sous ensembles sont appelés les classes d’équivalence définis par ~.Il est dès lors possible de se référer à une classe d’équivalence soit en lui donnant un nom, soit en mentionnant un de ses éléments, sachant que celui-ci „représente“ la classe entière (le „délégué de classe“ pour ainsi dire).


Pitch Classes (Classes de hauteurs)

Pitch Class Sets (Ensembles de classes de hauteurs)

L’exemple considéré ci-dessus constitue précisément ce qu’Allen Forte nomme l’ensemble des classes de hauteurs.

Chaque classe de hauteur est représentée par un entier, selon la correspondance établie ci-dessous.

Un ensemble de classes de hauteurs (ECH) est tout simplement un ensemble (non ordonné) de classes de hauteurs.


La transposition

Opérations sur les ECH

Transposer un ECH d’un nombre n de demi-tons consiste à transposer chacun des éléments de l’ensemble de n demi-tons (ascendants).

Algèbre Modulo 120

3

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La représentation adoptée, permet de définir la transposition dans le cadre de l’arithmétique Modulo 12.

La transposition d’un ECH peut alors être définie de façon formelle:

Tn(a1, a2, …, ak) = (a1+ n Mod 12, a2 + n Mod 12, …, ak + n Mod 12)

Exemples: 1 + 3 Mod 12 = 4; 0 + 19 Mod 12 = 7; 1 - 2 Mod 12 = 11 etc.

Exemple: ?œœœ# œ#

œb œ œ# œ

[Title][Composer]

(5 11 3 8) (8 2 6 11)

Transposition de trois demi-tons (tierce mineure)


L’inversion


L’inversion (autour de la classe de hauteur 0) d’un ECH consiste à inverser (ascendants devient descendant et vice versa), pour chaque élément de l’ensemble, l’intervalle entre celui-ci et 0.

En arithmétique modulo 12 l’inversion d’un ECH peut se définir de façon formelle:

I(a1, a2, …, ak) = (- a1 Mod 12, - a2 Mod 12, …, - ak Mod 12)

Exemple: ?œœœ# œ# œœb œœ

[Title][Composer]

(5 11 3 8) (8 2 6 11)

Inversion (autour de 0)

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0


Transformations et représentations sur l’“horloge des classes de hauteurs“


0

3

6

9 39

6

0

39

6

0

(11 3 6)

T3

(2 6 9) (3 6 10)

I


Classes d’ECH

L’ensemble des transformations (12 transpositions, l’inversion et toutes les combinaisons entre celles-ci) permettent de définir une relation d’équivalence sur l’ensemble des ECH.

Deux ensembles sont considérés comme liés par la relation d’équivalence (ils sont dit „équivalents“), si l’un est l’image de l’autre par une des transformations.

Comme pour les classes de hauteurs il est donc possible de définir des classes de classes de hauteurs.

Ainsi, il ne reste plus que 220 classes distinctes (220 „types d’harmonies“ dans le sens où aucun élément d’une classe donnée ne peut aboutir à un élément d’une autre classe via les transformations définies).

Comment les identifier?


Classes d’intervalles

Nous avons déjà indirectement abordé (avec la transposition) la notion d’intervalleComme pour les hauteurs, les intervalles sont également regroupés en classes d’équivalences.


Contenu intervallique

Le contenu intervallique répertorie toutes les classes d’intervalles contenues dans un ECH ainsi que leurs fréquences d’apparition.

Il est possible de répertorier ces données dans le vecteur intervallique.

Un point important : Tous les ECH réunis dans une même classe possèdent le même vecteur intervallique.

[1 1 1 1 1 1]

ic 1 ic 2 ic 3 ic 4 ic 5 ic 6


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œœœbœœb

œœœœb

œœœ#

œœbœœœœb#

œœœb#œœœ

[Title][Composer]

En

sem

ble

sC

lass

es

Con

ten

uin

terv

alli

qu

e

(2 3 5 9 10) (0 1 2 4 7 8 9) (3 4 6 7 10 11) (2 5 6 7 10 11)

[0 1 3 7 8] [0 1 2 4 7 8 9] [0 1 3 4 7 8] [0 1 2 5 6 9]

5-20 7-20 6-z19 6-z44

[2 1 1 2 3 1] [4 3 3 4 5 2] [3 1 3 4 3 1] [3 1 3 4 3 1]

Résumons


Un exemple

A D

B C

T2

I °T11


Ens

embl

esC

lass

esC

onte

nuin

terv

alli

que

• Complément „littéral“

• Inclusion „littérale“

• Complément

• Inclusion

• Relation K et Kh

• Similarité Rp

• Relation z

• Relation R0, R1 et R2

Les relations


Relations entre ensembles : complément et inclusion „littérale“

Le complément d’un ensemble de classes de hauteurs H est formé par toutes les notes qui ne sont pas dans H. En général, le complément d’un ech contenant n éléments contient 12 - n éléments.

Un ensemble H est inclus dans un ensemble J si tous les éléments de H sont également dans J.(Le nombre d’éléments de H est donc inférieur ou égal au nombre d’éléments de J).

L’inclusion est dite „stricte“ quand H n’est pas égal à J.(Le nombre d’éléments de H est donc strictement inférieur au nombre d’éléments de J).


Relations entre classes d’ensembles : complément et inclusion

Forme Primaire de H

Forme Primaire de J

Classe de l’ECH H Classe de l’ECH J

Une classe d’ECH J est le complémentaire de la classe d’ECH H si la relation d’inclusion est vrais au moins entre deux ech de la classe de J et de la classe H respectivement.

Une classe d’ECH J est en relation d’inclusion avec une classe d’ECH H si au moins un ech de la classe de J est inclus dans un ech de la classe H.



Relations entre classes d’ensembles : les complexes K et Kh

Si un ECH H est élément du complexe K d’un ECH A alors:H est en relation d’inclusion avec A ou avec son complémentaire ( A ),

Si un ECH H est élément du complexe Kh d’un ECH A alors:H est en relation d’inclusion avec A et avec son complémentaire ( A ),

H K(A) H A ou H A

H Kh(A) H A et H A

Relations entre classes d’ensembles : similarité Rp


Deux ECH contenant le même nombre d’éléments k sont similaires Rp s’il existe un ECH contenant k - 1 éléments en relation d’inclusion avec ces deux ensembles.

Relations entre classes d’ensembles : similarité entre contenus intervalliques

Relations Z

Relations R0, R1 et R2


Deux ECH distincts sont en relation z si leur contenu intervallique est identique.(les deux ensembles sont distincts dans le sens où ils n’appartiennent pas à la même classe d’ECH. Il auront cependant le même nombre d’éléments).

Deux ECH distincts contenant le même nombre d’éléments sont en relation R0 si leurs vecteurs intervalliques respectifs diffèrent à chacune de leur entrée.

Exemples: 5-32 [1 1 3 2 2 1]R0 5-35 [0 3 2 1 4 0]R1 5-16 [2 1 3 2 1 1]R2 5-z18 [2 1 2 2 2 1]

Ils sont en relation R1 si leurs vecteurs intervalliques respectifs diffèrent seulement à deux entrées et que les valeurs y figurant sont inversées.

Enfin, ils sont en relation R2 si leurs vecteurs intervalliques respectifs diffèrent seulement à deux entrées mais que les valeurs y figurant ne sont pas inversées.


L’analyse d’Allen Forte ne prétend pas expliciter tous les aspects du Sacre du Printemps:

Cadre Général

Quatre „stratégies“ d’analyse

• „Statistique“ des accords présents dans l’œuvre

• Spécificité des éléments harmoniques aux points de transitions

• Réduction d’un passage à une harmonie „première“ („Nexus“)

• Recherche d’éléments communs à l’ensemble de l’œuvre et commentaires généraux.

La présente étude considère en détails les aspects „harmoniques“ généraux du Sacre du Printemps, c’est à dire non seulement les accords ou configurations verticales, mais également les ensembles de classes de hauteurs formant des configurations mélodiques, combinaisons de lignes horizontales et segments de formes variées (Forte p. 23).


„Statistique“ des harmonies présentes dans l’œuvre


Spécificité des élements harmoniques aux points de transitions


Spécificité des élements harmoniques aux points de transitions

L’unité du Sacre du Printemps n’est pas tant due à des configurations répétées de façon littérales, quoi que de telles configurations sont présentes, ou par des relations thématiques de type traditionnel, qu’à une unité harmonique sous jacente, formée par des ECH considérés indépendamment des attributs de leurs apparitions particulières (Forte p. 23).


Réduction d’un passage à une harmonie „première“ („Nexus“)

6-z456-276-306-z42

K (5-31)

7-165-317-32

Kh (6-27)


Recherche d’éléments communs à l’ensemble de l’œuvre0

3

6

9

0

3

6

9

0

3

6

9

0

3

6

9

0

3

6

9

7-16 7-31 7-32

0

3

6

9

5-16 5-31 5-32


Recherche d’éléments communs à l’ensemble de l’œuvre

8-28

0

3

6

9

8-23

0

3

6

9

8-18

0

3

6

9

8-16

0

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6

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Du fait du nombre important d’ harmonies présentes dans le Sacre du Printemps il est important de sélectionner les harmonies principales avec beaucoup de soin et avec un certain degré de flexibilité. Un shéma de complexes d’ensemble contenant quasiment tous les ensembles est utile mais requiert une interprétation intelligente (Forte p. 132).

Set Theory : commentaires

Le rôle des mathématiques

• Basculement de la musique vers une représentation formelle• Ou arrêter le processus de condensation d’information ?

La théorie et l’œuvre

• Les figures remarquables sont-elles dues à la théorie ou à l’œuvre étudiée ?• A supposer qu’elles sont dues à l’œuvre étudiée, que nous disent-elles ?

Quels critères de validation?

• Perception inconsciente de structures ?• L’argument „statistique“• Reconstitution de la genèse de l’œuvre ?

Il est possible de conclure que l’harmonie finale, 4-18, était le but initial et préétabli de la progression (Forte p. 26).

5-165-315-32

6-27 7-167-317-32

5-31 6-z426-276-z28

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