« Small World » Modélisation

I - Modèle de Watts et Strogatz

II - Simulation Python

III - Approche de Newman

• Chaque personne connaît ses voisins => donne un monde ordonné.

• Or il existe des relations que l’on peut considérer comme aléatoires. -> on introduit un paramètre p (symbolisant le pourcentage de relations

aléatoires) compris entre 0 et 1

• Conclusion: on considère un monde de N personnes, connaissant de façon ordonnée Z voisins et avec un part d’aléatoire p.

• « Modèle simple => on montrera ses limites. »

I – Principe du modèle de Watts et Strogatz

Graphe d’un monde ordonné

• personne

relation

Aboutir au modèle de Watts-Strogatz

Observation1 = nous connaissons nos voisins

monde <- N personnesconnaissant chacune Z voisins

modèle assezréaliste

Observation2 = il existe une part d'aléatoire dans les relations

monde <- monde + p*N*Z relations aléatoires

finV

F

Courbe de Watts-Strogatz

Graphe du Chemin minimum moyen et de la Densité Locale en fonction de l'aléatoire

II - Simulation Python

• Avantages du python : - souplesse (multiples librairies + syntaxe) - puissance de calcul

• On stocke les gens dans des dictionnaires (peut être assimilé à un tableau sous Maple):

dico[clé] = liste des voisins de 'clé'

• Ex1 -> monde de 30 personnes, 4 voisins• Ex2 -> monde de 30 personnes, 4 voisins, 10% d'aléatoires

• On définit 2 fonctions : C (clustering coefficient) = densité localeL (average path length) = chemin minimum moyen

1) L = Average Path Length

• Représente le Chemin minimum moyen d'un graphe

• Calcul de L:

– On calcul les chemins minimums entre chaque personne

– L <- ( moyenne des ces chemins minimums )

• Exemples: syntaxe (nb de personnes, nb de voisins, aléatoire)

– Ex1: monde (20, 2, 0)

– Ex2: monde (20, 2, 0.2)

– Ex3: monde (200, 4, 0)

– Ex4: monde (200, 4, 0.1)

2) C = Clustering Coefficient

• C = probabilité que 2 voisins d’une personne du réseau (choisie au hasard) se connaissent -> C correspond à une densité locale du graphe.

• Calcul de C, pour chaque personne du graphe:

– On stocke ses V voisins dans une liste

– 2 voisins se connaissent => num_bonds = num_bonds + 1

– On divise par le nombre maximal de connexions entre les voisins (ce qui correspond à la somme des termes de 1 à V-1 (V = nombre de voisins)

3) Courbe de Watts-Strogatz

• Modèle de Watts-Strogatz:

– Monde de 1000 personnes

– Chaque personne est liée à 10 voisins

• On trace C(p)/C(0) et L(p)/L(0)

C(p)/C(0)

L(p)/L(0)

4) Idée Personnelle• TrouverDegre(L, Z, degre voulu, precision) -> retourne un intervalle J

= algorithme qui cherche par dichotomie un intervalle J de p certifiant que le graphe à (L personnes, Z connaissances, p dans l’intervalle J) possède le degré « degre voulu » de séparation.

• Exemple pour le modèle Watts-Strogatz L=1000 ; Z=10

– On choisit: degre=6 et precision=0.001

III - Approche de Newman

• Un des problèmes dans l’étude de réseaux : la présence d’informations biaisées dans les bases de données -> études fondées sur des interviews ou des questionnaires où l’on demande aux personnes du réseau d’en identifier d’autres pour répertorier les relations.

• Réseaux qui permettent d’éviter ce problème = réseaux d’affiliation -> réseaux où les personnes sont reliées entre elles selon leur appartenance à un groupe, une société, …

• Ce genre d’approche permet de construire plus simplement des réseaux plus gros et plus précis.

1) Modélisation de Newman

• Newman modélise cette approche grâce à des graphes bipartites :

une partie du graphe représente les différents groupes inclus dans le réseau

la deuxième partie du graphe représente les personnes du réseau reliées au(x) groupe(s) au(x)quel(s) elles appartiennent.

• Possibilité de revenir à un graphe simple où l’on ne représente que les personnes et les relations qu’elles ont entre elles.

2) Exemple de graphe bipartite

1 2 3

A B C D E F G H

A

C

G

F

D

B

H E

personne

1 groupe

A

relation