高等数学公式

1

高等数学公式

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

22

2

2 1

2

21

1cos

1

2sin

u

dudx

xtgu

u

ux

u

ux

，　，　，　

axx

aaa

ctgxxx

tgxxx

xctgx

xtgx

a

xx

ln

1)(log

ln)(

csc)(csc

sec)(sec

csc)(

sec)(

2

2

2

2

2

2

1

1)(

1

1)(

1

1)(arccos

1

1)(arcsin

xarcctgx

xarctgx

xx

xx

Caxxax

dx

Cshxchxdx

Cchxshxdx

Ca

adxa

Cxctgxdxx

Cxdxtgxx

Cctgxxdxx

dx

Ctgxxdxx

dx

xx

)ln(

ln

csccsc

secsec

cscsin

seccos

22

22

2

2

2

2

Ca

x

xa

dx

Cxa

xa

axa

dx

Cax

ax

aax

dx

Ca

xarctg

axa

dx

Cctgxxxdx

Ctgxxxdx

Cxctgxdx

Cxtgxdx

arcsin

ln2

1

ln2

1

1

csclncsc

seclnsec

sinln

cosln

22

22

22

22

Ca

xaxa

xdxxa

Caxxa

axx

dxax

Caxxa

axx

dxax

In

nxdxxdxI n

nn

n

arcsin22

ln22

)ln(22

1cossin

22222

222

2222

222

2222

2

2

0

2

0

高等数学公式

2

一些初等函数： 两个重要极限：

三角函数公式：

三角函数：正弦函数sin x ；余弦函数cos x；

正切函数sin

tancos

xx

x ；余切函数

coscot

sin

xx

x ；

正割函数1

seccos

xx

；余割函数1

cscsin

xx

·诱导公式：

函数

角 A sin cos tg ctg

-α -sinα cosα -tgα -ctgα

90°-α cosα sinα ctgα tgα

90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα

180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα

180°+α -sinα -cosα tgα ctgα

270°-α -cosα -sinα ctgα tgα

270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα

360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα

360°+α sinα cosα tgα ctgα

常用三角函数公式：

2 2cos sin 1x x 2 2cos sin cos 2x x x 2 s i n c o s s i n 2x x x

21 cos 2 2sinx x 21 c o s 2 2 c o sx x

2 2

2

11 tan sec

cosx x

x

2 2

2

11 cot csc

sinx x

x

x

xarthx

xxarchx

xxarshx

ee

ee

chx

shxthx

eechx

eeshx

xx

xx

xx

xx

1

1ln

2

1

)1ln(

1ln(

:

2:

2:

2

2 ）

双曲正切

双曲余弦

双曲正弦

...590457182818284.2)1

1(lim

1sin

lim0

ex

x

x

x

x

x

高等数学公式

3

1sin sin [cos( ) cos( )]

2x y x y x y

1c o s c o s [ c o s ( ) c o s ( ) ]

2x y x y x y

1sin cos [sin( ) sin( )]

2x y x y x y

·和差角公式： ·和差化积公式：

反三角函数： a r c s i n a r c c o s2

x x

arctan arccot2

x x

arcsin x：定义域[ 1,1] ，值域[ , ]2 2

；arccos x ：定义域[ 1,1] ，值域[0, ] ；

arctan x：定义域 ( , ) ，值域 ( , )2 2

；arccot x：定义域 ( , ) ，值域 (0, )

·反三角函数性质： arcctgxarctgxxx 2

arccos2

arcsin

　　　

·倍角公式：

·半角公式：

cos1

sin

sin

cos1

cos1

cos1

2cos1

sin

sin

cos1

cos1

cos1

2

2

cos1

2cos

2

cos1

2sin

ctgtg 　　

　　　　　　　　　　　　

·正弦定理： RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin ·余弦定理： Cabbac cos2222

2sin

2sin2coscos

2cos

2cos2coscos

2sin

2cos2sinsin

2cos

2sin2sinsin

ctgctg

ctgctgctg

tgtg

tgtgtg

1)(

1)(

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin(

2

3

3

3

31

33

cos3cos43cos

sin4sin33sin

tg

tgtgtg

2

2

2222

1

22

2

12

sincossin211cos22cos

cossin22sin

tg

tgtg

ctg

ctgctg

高等数学公式

4

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b 3 3 2 2( ) ( )a b a b a a b b

1 2 3 2 2 1( )( )n n n n n n na b a b a a b a b ab b

1 2 2( 1) ( 1) ( 1)( )

2! !

n n n n n k k nn n n n n ka b a na b a b a b b

k

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

)()()()2()1()(

0

)()()(

!

)1()1(

!2

)1(

)(

nkknnnn

n

k

kknk

n

n

uvvuk

knnnvu

nnvnuvu

vuCuv

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当

柯西中值定理：

拉格朗日中值定理：

xx

F

f

aFbF

afbf

abfafbf

)(F

)(

)(

)()(

)()(

))(()()(

曲率：

.1

;0

.)1(

limM

sMM:.

,1

320

2

aKa

K

y

y

ds

d

sK

MMs

K

tgydxyds

s

的圆：半径为

直线：

点的曲率：

弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：

其中弧微分公式：

定积分的近似计算：

b

a

nnn

b

a

nn

b

a

n

yyyyyyyyn

abxf

yyyyn

abxf

yyyn

abxf

)](4)(2)[(3

)(

])(2

1[)(

)()(

1312420

110

110

抛物线法：

梯形法：

矩形法：

高等数学公式

5

定积分应用相关公式：

b

a

b

a

dttfab

dxxfab

y

kr

mmkF

ApF

sFW

)(1

)(1

,

2

2

21

均方根：

函数的平均值：

为引力系数引力：

水压力：

功：

空间解析几何和向量代数：

。代表平行六面体的体积

为锐角时，向量的混合积：

例：线速度：

两向量之间的夹角：

是一个数量

轴的夹角。与是向量在轴上的投影：

点的距离：空间

,cos)(][

..sin,

cos

,,cos

PrPr)(Pr

,cosPr

)()()(2

222222

2121

2

12

2

12

2

1221

cba

ccc

bbb

aaa

cbacba

rwvbac

bbb

aaa

kji

bac

bbbaaa

bababa

bababababa

ajajaaj

uABABABj

zzyyxxMMd

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyxzyx

zzyyxx

zzyyxx

u

u

高等数学公式

6

（马鞍面）双叶双曲面：

单叶双曲面：

、双曲面：

同号）（、抛物面：

、椭球面：

二次曲面：

参数方程：其中空间直线的方程：

面的距离：平面外任意一点到该平

、截距世方程：

、一般方程：

，其中、点法式：

平面的方程：

1

1

3

,,22

2

11

};,,{,

13

02

),,(},,,{0)()()(1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

0

0

0

000

222

000

0000000

c

z

b

y

a

x

c

z

b

y

a

x

qpzq

y

p

x

c

z

b

y

a

x

ptzz

ntyy

mtxx

pnmstp

zz

n

yy

m

xx

CBA

DCzByAxd

c

z

b

y

a

x

DCzByAx

zyxMCBAnzzCyyBxxA

多元函数微分法及应用

z

y

z

x

y

x

y

x

y

x

yx

F

F

y

z

F

F

x

zzyxF

dx

dy

F

F

yF

F

xdx

yd

F

F

dx

dyyxF

dyy

vdx

x

vdvdy

y

udx

x

udu

yxvvyxuu

x

v

v

z

x

u

u

z

x

zyxvyxufz

t

v

v

z

t

u

u

z

dt

dztvtufz

yyxfxyxfdzz

dzz

udy

y

udx

x

ududy

y

zdx

x

zdz

，　　，　隐函数

＋，　　，　　隐函数

隐函数的求导公式：

　　　　

时，，当

　　　　

　　　　

：多元复合函数的求导法

全微分的近似计算：

　　　全微分：

0),,(

)()(0),(

),(),(

)],(),,([

)](),([

),(),(

2

2

高等数学公式

7

),(

),(1

),(

),(1

),(

),(1

),(

),(1

),(

),(

0),,,(

0),,,(

yu

GF

Jy

v

vy

GF

Jy

u

xu

GF

Jx

v

vx

GF

Jx

u

GG

FF

v

G

u

Gv

F

u

F

vu

GFJ

vuyxG

vuyxF

vu

vu

　　　　

　　　　

　　　隐函数方程组：

微分法在几何上的应用：

),,(),,(),,(3

0))(,,())(,,())(,,(2

)},,(),,,(),,,({1

),,(0),,(

},,{,0),,(

0),,(

0))(())(())((

)()()(),,(

)(

)(

)(

000

0

000

0

000

0

000000000000

000000000

000

000000

0

0

0

0

0

0000

zyxF

zz

zyxF

yy

zyxF

xx

zzzyxFyyzyxFxxzyxF

zyxFzyxFzyxFn

zyxMzyxF

GG

FF

GG

FF

GG

FFT

zyxG

zyxF

zztyytxxtM

t

zz

t

yy

t

xxzyxM

tz

ty

tx

zyx

zyx

zyx

yx

yx

xz

xz

zy

zy

、过此点的法线方程：

：、过此点的切平面方程

、过此点的法向量：

，则：上一点曲面

则切向量若空间曲线方程为：

处的法平面方程：在点

处的切线方程：在点空间曲线

多元函数的极值及其求法：

　　　　　　　不确定时

值时，　　　　　　无极

为极小值

为极大值时，

则：

　　，令：设

,0

0

),(,0

),(,00

),(,),(,),(0),(),(

2

2

00

002

0000000000

BAC

BAC

yxA

yxABAC

CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx

重积分及其应用：

高等数学公式

8

D

z

D

y

D

x

zyx

D

y

D

x

D

Dy

D

x

D

DD

ayx

xdyxfaF

ayx

ydyxfF

ayx

xdyxfF

FFFFaaMzxoy

dyxxIydyxyIx

dyx

dyxy

M

My

dyx

dyxx

M

Mx

dxdyy

z

x

zAyxfz

rdrdrrfdxdyyxf

2

3

2222

3

2222

3

222

22

D

22

)(

),(

)(

),(

)(

),(

},,{)0(),,0,0(

),(,),(

),(

),(

,),(

),(

1),(

)sin,cos(),(

，　　，　　

，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于

轴　　对于轴对于平面薄片的转动惯量：

　　平面薄片的重心：

的面积曲面

柱面坐标和球面坐标：

dvyxIdvzxIdvzyI

dvxMdvzM

zdvyM

ydvxM

x

drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf

ddrdrdrdrrddv

rz

ry

rx

zrrfzrF

dzrdrdzrFdxdydzzyxf

zz

ry

rx

zyx

r

)()()(

1,

1,

1

sin),,(sin),,(),,(

sinsin

cos

sinsin

cossin

),sin,cos(),,(

,),,(),,(,sin

cos

222222

2

0 0

),(

0

22

2

，　　，　　转动惯量：

，　　其中　　　　重心：

，　　球面坐标：

其中：

　　　柱面坐标：

曲线积分：

)()()()()](),([),(

),(,)(

)(),(

22

ty

txdtttttfdsyxf

tty

txLLyxf

L

　　特殊情况：　　

则：　　的参数方程为：上连续，在设

长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧

高等数学公式

9

。，通常设

的全微分，其中：才是二元函数时，＝在

：二元函数的全微分求积

注意方向相反！减去对此奇点的积分，

，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、

是一个单连通区域；、

无关的条件：平面上曲线积分与路径

的面积：时，得到，即：当

格林公式：格林公式：

的方向角。上积分起止点处切向量

分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关

，则：的参数方程为设

标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐

0),(),(),(

),(

·

)0,0(),(),(2

1

·

2

12,

)()(

)coscos(

)}()](),([)()](),([{),(),(

)(

)(

00

),(

),( 00

yxdyyxQdxyxPyxu

yxuQdyPdxy

P

x

Q

y

P

x

QGyxQyxP

G

ydxxdydxdyADy

P

x

QxQyP

QdyPdxdxdyy

P

x

QQdyPdxdxdy

y

P

x

Q

L

dsQPQdyPdx

dttttQtttPdyyxQdxyxP

ty

txL

yx

yx

D L

D LD L

L L

L

曲面积分：

dsRQPRdxdyQdzdxPdydz

dzdxzxzyxQdzdxzyxQ

dydzzyzyxPdydzzyxP

dxdyyxzyxRdxdyzyxR

dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP

dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf

zx

yz

xy

xy

D

D

D

D

yx

)coscoscos(

]),,(,[),,(

],),,([),,(

)],(,,[),,(

),,(),,(),,(

),(),(1)],(,,[),,( 22

系：两类曲面积分之间的关

号。，取曲面的右侧时取正

号；，取曲面的前侧时取正

号；，取曲面的上侧时取正

，其中：对坐标的曲面积分：

对面积的曲面积分：

高等数学公式

10

微分方程的相关概念：

即得齐次方程通解。

，代替分离变量，积分后将，，，则设

的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方

称为隐式通解。　　得：

的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程

　或　一阶微分方程：

ux

y

uu

du

x

dxu

dx

duu

dx

duxu

dx

dy

x

yu

x

yyxyxf

dx

dy

CxFyGdxxfdyyg

dxxfdyyg

dyyxQdxyxPyxfy

)()(

),(),(

)()()()(

)()(

0),(),(),(

一阶线性微分方程：

)1,0()()(2

))((0)(

,0)(

)()(1

)()(

)(

nyxQyxPdx

dy

eCdxexQyxQ

CeyxQ

xQyxPdx

dy

n

dxxPdxxP

dxxP

，、贝努力方程：

时，为非齐次方程，当

为齐次方程，时当

、一阶线性微分方程：

全微分方程：

通解。应该是该全微分方程的

，，其中：

分方程，即：中左端是某函数的全微如果

Cyxu

yxQy

uyxP

x

udyyxQdxyxPyxdu

dyyxQdxyxP

),(

),(),(0),(),(),(

0),(),(

二阶微分方程：

时为非齐次

时为齐次，

0)(

0)()()()(

2

2

xf

xfxfyxQ

dx

dyxP

dx

yd

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

21

22

,)(2

,,(*)0)(1

,0(*)

rr

yyyrrqprr

qpqyypy

式的两个根、求出

的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：

求解步骤：

为常数；，其中

高等数学公式

11

式的通解：出的不同情况，按下表写、根据 (*),3 21 rr

的形式， 21 rr (*)式的通解

两个不相等实根 )04( 2 qp xrxr

ececy 21

21

两个相等实根 )04( 2 qp xr

exccy 1)( 21

一对共轭复根 )04( 2 qp

2

4

2

2

21

pqp

irir

，

，

)sincos( 21 xcxcey x

二阶常系数非齐次线性微分方程

型

为常数；型，

为常数，

]sin)(cos)([)(

)()(

,)(

xxPxxPexf

xPexf

qpxfqyypy

nl

x

m

x

高等数学公式

12

五类基本初等函数及图形

----------------------------------- (1) 幂函数----------------------------------

xy ， 是常数；

----------------------------------- (2) 指数函数 ----------------------------------

xay ( a是常数且 0 1a a ， )， ),( x ；

----------------------------------- (3) 对数函数 ----------------------------------

xy

alog

( a是常数且 0 1a a ， )， (0, )x ；

1. 当 u 为正整数时，函数的定义域为区间 ),( x ，他们的图形都

经过原点，并当 u>1 时在原点处与 X 轴相切。且 u 为奇数时，图形关

于原点对称；u 为偶数时图形关于 Y 轴对称；

2. 当 u 为负整数时。函数的定义域为除去 x=0 的所有实数。

3. 当 u 为正有理数 m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +），n

为奇数时函数的定义域为（-+）。函数的图形均经过原点和

（1 ,1）.如果 m>n 图形于 x 轴相切,如果 m<n,图形于 y 轴相切,且 m

为偶数时,还跟 y 轴对称;m,n 均为奇数时,跟原点对称.

4. 当 u为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n

为奇数时,定义域为去除 x=0 以外的一切实数.

1. 当 a>1时函数为单调增,当 a<1时函数为单调减.

2. 不论 x 为何值,y 总是正的,图形在 x 轴上方.

3. 当 x=0 时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点.

高等数学公式

13

----------------------------------- (4) 三角函数 ----------------------------------

正弦 xy sin , ),( x , ]1,1[y 余弦 xy cos , ),( x , ]1,1[y

正切 xy tan , 2

kx

, k Z , ),( y 余切 xy cot ， kx ，k Z ， ),( y

----------------------------------- (5) 反三角函数 ----------------------------------

反正弦

xy arcsin,

]1,1[x ,

]2

,2

[

y

1. 他的图形为于 y 轴的右方.并通过点(1,0)

2. 当 a>1 时在区间(0,1),y 的值为负.图形位

于 x 的下方,在区间(1, + ),y 值为正,图

形位于 x 轴上方.在定义域是单调增函

数.a<1 在实用中很少用到.

反余弦

xy arccos,

]1,1[x ,

],0[ y ,

高等数学公式

14

反正切 xy arctan , ),( x ,)

2,

2(

y

反余切 xy cotarc , ),( x , ),0( y