« l’Analyse en Composantes Principales (ACP) » : Aperçu

théorique et pratique

Abdelaziz BAHOUSSA

• D éfin ition , ob jet et principe de l’ACPD éfin ition , ob jet et principe de l’ACP• P rincipales étapes de l’A C PP rincipales étapes de l’A C P• A pplications (sur logiciels)A pplications (sur logiciels)

Introduction

P rocessus de m ise en œuv re d ’une recherche comm ercia leP rocessus de m ise en œuv re d ’une recherche comm ercia le

Statistiques Statistiques à U ne, deux à U ne, deux O u plusieurs O u plusieurs D im ensionsD im ensions

A C PA C P

Recherche et collecte des données

Présentation et analyse des résultats

Synthèse et interprétation

Recommandation/Décision

Définition, objet de l’ACP

L’analyse en com posantes principales (A C P ) est une L ’analyse en com posantes principales (A C P ) est une

m éthode d ’analyse de données, qui a pour objet m éthode d ’analyse de données, qui a pour objet de de

décrire et de résum erdécrire et de résum er les inform ations les inform ations quantitativesquantitatives

relatives à l’observation de relatives à l’observation de PP caractères m esurés sur un caractères m esurés sur un

échantillon de échantillon de nn individus, afin de com prendre com m ent individus, afin de com prendre com m ent

les effets de phénom ènes a priori les effets de phénom ènes a priori isolésisolés se com binent. se com binent.

Principe de l’ACP

RéduireRéduire le nombre de variables initialesle nombre de variables initiales à une, deux à une, deux

ou trois au maximum, afin de pouvoir présenter les ou trois au maximum, afin de pouvoir présenter les

individus dans un espace à une , deux ou trois dimensions individus dans un espace à une , deux ou trois dimensions

pour nous en faciliter la perception et l’interprétation.pour nous en faciliter la perception et l’interprétation.

Le rôle de l’ACP est de déterminer ces Le rôle de l’ACP est de déterminer ces deux ou trois deux ou trois

axes qui expliquent le mieux la dispersionaxes qui expliquent le mieux la dispersion des points des points

disponibles.disponibles.

Principales étapes de l’ACP

• Définir les objectifs de l’analyse;Définir les objectifs de l’analyse;

• Préparer et vérifier les données:Préparer et vérifier les données:calculer la moyenne, l’écart- type, corrélationcalculer la moyenne, l’écart- type, corrélation

• Traitement:Traitement:

Logiciels Calcul

Présenter le nouveau tableau

Calculer la matrice de corrélation

Projection et mesure de la qualité d’ajustement:

Rechercher un espace de représentation

1- Transformation du tableau

Prenons le tableau suivant, correspondant à p caractères mesurés sur un échantillon de n individus

X11 X12….

……

X1p

..

Xi1 Xi2

..Xij

..

Xip

..

Xn1 Xn2

Xnj .

.

Xnp

M=

1- Transformation du tableau

On centre et on réduit les variablesOn centre et on réduit les variables si les si les variables ont des unités et des échelles de variables ont des unités et des échelles de mesures très disparates. Signalons aussi qu’il mesures très disparates. Signalons aussi qu’il est utile, notamment pour le calcul direct de est utile, notamment pour le calcul direct de la matrice des corrélations, de diviser chacun la matrice des corrélations, de diviser chacun des termes Xij par racine carrée de n .des termes Xij par racine carrée de n .

Avec ces transformations, on est donc passé Avec ces transformations, on est donc passé d’un tableau initial M, au tableau M’ d’un tableau initial M, au tableau M’ déterminé comme suit : déterminé comme suit :

M’= (Xij - Xj)/ nM’= (Xij - Xj)/ n

2- Calculer la matrice de corrélation

• Une fois la matrice M transformée en M’, il Une fois la matrice M transformée en M’, il suffit de la multiplier par sa transposée pour suffit de la multiplier par sa transposée pour obtenir la matrice de corrélation (puisqu’on a obtenir la matrice de corrélation (puisqu’on a réduit la matrice initiale) :réduit la matrice initiale) :

La matrice de corrélation V = M’. Mt La matrice de corrélation V = M’. Mt

• Cette matrice de corrélation est carrée, Cette matrice de corrélation est carrée, s y m é t r i q u e e t r é e l l e . s y m é t r i q u e e t r é e l l e . El le est donc El le est donc diagonalisablediagonalisable..

3- Rechercher un espace de représentation

choix des axes factoriels choix des axes factoriels ::

P our déterm iner l'espace de projection à inertie expliquée m axim ale il faut P our déterm iner l'espace de projection à inertie expliquée m axim ale il faut déterm iner ses k axes. déterm iner ses k axes. Le prem ier est l'axe à inertie expliquée m axim umLe prem ier est l'axe à inertie expliquée m axim um et et pour le déterm iner il suffit de pour le déterm iner il suffit de chercher l'axe associé au prem ier vecteur propre chercher l'axe associé au prem ier vecteur propre de la m atrice Vde la m atrice V..

O n désignera par O n désignera par U 1U 1 le vecteur associé à la plus grande valeur propre le vecteur associé à la plus grande valeur propre « « L im bdaL im bda11 ». L 'inertie expliquée par cet axe est égale à sa valeur propre. » . L 'inertie expliquée par cet axe est égale à sa valeur propre.

Si nous nous intéressons à ce stade aux résultats fournis par les logiciels d'analyse de données nous remarquerons que dans les sorties de l'ACP la liste des p valeurs propres est triée selon l'ordre décroissant

% d’inf restitué par U1=

Évaluer la variance expliqué et apprécier la qualité de représentation

Va r iance exp liquée to ta le

3 ,701 5 2 ,8 6 7 5 2 ,8 6 7 3 ,7 0 1 5 2 ,8 6 7 5 2 ,8 6 7

1 ,9 0 4 2 7 ,1 9 6 8 0 ,0 6 3 1 ,9 0 4 2 7 ,1 9 6 8 0 ,0 6 3

,6 3 0 9 ,0 0 4 8 9 ,0 6 7

,5 2 9 7 ,5 6 4 9 6 ,6 3 0

,1 9 7 2 ,8 1 4 9 9 ,4 4 4

3 ,1 8 1 E -0 2 ,4 5 4 9 9 ,8 9 9

7 ,0 7 7 E -0 3 ,1 0 1 1 0 0 ,0 0 0

C o m p o s a n te1

2

3

4

5

6

7

To ta l% d e la

va riance = = % cum u lés To ta l% de la

va rian ce = = % cum u lés

Va leu rs p rop res in itia les S om m es des ca rrés cha rgées

M é thode d 'ex trac tion : A na lyse des p rinc ipau x com posan ts .

4- Projection et mesure de la qualité d’ajustement

la qualité de la représentationla qualité de la représentation d’un point sur un axe: C'est d’un point sur un axe: C'est le carré du cosinusle carré du cosinus de l'angle de l'angle

formé par l'axe U1 et le point Xi. Nous avons d'ailleurs la relation:formé par l'axe U1 et le point Xi. Nous avons d'ailleurs la relation:

Un individu donné est d’autant mieux représenté sur un

axe, que son cosinus carré est proche de 1 ; il est

d’autant mal représenté que son cosinus carré est

proche de 0

1- Conditions à l ’exécution d ’une analyse

factorielle

KMO : Nous renseigne si la distribution des valeurs est adéquate pour exécuter une analyse factorielle:

– > 0,9 merveilleux !– > 0,8 méritoire (idéal)– > 0,7 moyen (acceptable)– > 0,6 médiocre– > 0,5 misérable – < 0,5 merdique !

L’analyse factorielle ne peut être conduite

Conditions … suite!

Test Bartlett de la sphéricité–Mesure de la normalité de la

distribution– Critère: significatif < 0,05

Conditions … suite!

Matrice des corrélations:

Nous permet de savoir si les variables

actives sont elles factorisables ou pas

2- Extraction des facteurs

1ère étape: SPSS sélectionne la combinaison d ’énoncés

intercorrélés et qui expliquent le plus grand % de variance.

2ème étape: SPSS extrait une autre combinaison

d ’énoncés intercorrélés et qui expliquent le plus grand %

de variance qui reste.

Ainsi de suite pour les autres facteurs… (SPSS calcule

autant de combinaisons qu’il y a d’énoncés).

3- Sélection des facteurs

Problème: facteurs pas tous signifiants

Critères de sélection: – va leur propre > 1– % variance expliquée: minimum 60%– variance au niveau de la valeur propre doit être importante le

« scree plot » permet de bien visualiser les écarts entre les valeurs propres

« Scree plot »– courbe illustrant la variance entre les valeurs propres de chaque

combinaison d ’énoncés (facteurs)

Choix des composantes principales

Graphique des valeurs propres

Numéro de composant

7654321

Valeur

pro

pre

4

3

2

1

0

Rotation

Structure factorielle orig inale est adéquate mais difficile à interpréter.

Rotations orthogonales: VARIMAX

*

**

* *

**

**

*

***

*

** *

*

*

*

**

* ***

* *

**

**

*

*

**

**

F1

F2

F1 F2

Applications

P résentation, traitem ent et interprétation des résultats P résentation, traitem ent et interprétation des résultats d ’une A C P : utilisation des logicielsd’une A C P : utilisation des logiciels

4- Interprétation des composantes principales:

Matrice des composantes a

,975

,972

,960

,685 ,323

,571 ,416

-,145 ,932

,261 -,865

Nombre d'entreprises

Nombre de lignestéléphoniques

Poupulation en milliers

Superficie (en Km2)

Nombre de brevtsdéposés

Popo.Active/Pop.tot

Taux de chômage(%)

1 2

Composante

Méthode d'extraction : Analyse en composantes principales.

2 composantes extraites.a.

corrélations entre les variables et les composantes

Potentiel de développement

1,0,50,0-,5-1,0

Activité

Economique

Actuelle

1,0

,5

0,0

-,5

-1,0

nombre de lignes tél

taux de chômage(%)

nombre de brevts dép

nombre d'entreprises

superficie (en km2)

popo.active/pop.tot

poupulation en milli

L’Analyse en composantes principales (ACP)

Etape8 : Visualisation des individus sur les composantes principales:

potentiel de développement économique

3210-1-2

Activité

economique

actuelle

2

1

0

-1

-2

-3

Rhône Alpes

Provence - Côte d'Az

Poitou Charentes

Pircadie

Pays de Loire

Nord Pas de calais

Midi-Pyrénnées

Loraine

Limousin

Lauguedoc Rousillon

Haute Normandie

Franche Comté

Chapagne ArdenneCentre

Bretagne

Bourgogne

Basse-NormandieAuvergne

Aquitaine

Alsace

La qualité de représentation

Qualité de représentation

1,000 ,927

1,000 ,890

1,000 ,573

1,000 ,950

1,000 ,499

1,000 ,817

1,000 ,948

Poupulation en milliers

Popo.Active/Pop.tot

Superficie (en Km2)

Nombre d'entreprises

Nombre de brevtsdéposés

Taux de chômage(%)

Nombre de lignestéléphoniques

Initial Extraction

Méthode d'extraction : Analyse des principaux composants.

Démonstration

Application SPSS

R a c co u rc i ve rs sp s sw in . ln k

Démarrer SPSS: Ouvrir une source de données

R a c co u rc i v e rs s p s sw in . ln k

Saisir les variables: Affichage des variables

R a c co u rc i v e rs s p s sw in . ln k

Saisir les données: Affichage des données

R a c co u rc i v e rs s p s sw in . ln k

Application ACP: Procédure de traitement

1

2 3

R a c co u rc i v e rs s p s sw in . ln k

4

Introduction des variables actives

R a c co u rc i v e rs s p s sw in . ln k

5

R a c co u rc i v e rs s p s sw in . ln k

6

Raccourci vers spsswin.lnk

7

R a c co u rc i v e rs s p s sw in . ln k

8

Raccourci vers spsswin.lnk

9

R a c co u rc i v e rs s p s sw in . ln k

10

Validation de l’analyse

Implantation d’Acima sur Settat

Analyse en composantes principales (ACP):

Tableau de contributions

CO N TR IBU T IO N SP O S IT IV E S

C O N T R IB U T IO N SN E G AT IV E S

A x e 1(+ 7 0 .8 % )

A x e 2(+ 2 2 .4 % )

d ive rs ité d e c h o ix + 2 7 ,0 %

p ro x im ité -2 ,0 %

d isp o n ib ilité d e s p ro d u its + 2 5 ,0 %

p r ix + 2 2 ,0 %

p ro x im ité + 7 5 ,0 %

p r ix -5 ,0 %

q u a lité d e s e rv ic e + 1 5 ,0 %

d isp o n ib ilité d e s p ro d u its + 3 ,0 %

Nomination des axes

• Pour la nomination des axes, il a été question de retenir Pour la nomination des axes, il a été question de retenir les variables dont la contribution à l’explication de les variables dont la contribution à l’explication de l’axe est supérieure à (1/5) %.l’axe est supérieure à (1/5) %.

• Ainsi pour les contributions positives, nous avons Ainsi pour les contributions positives, nous avons retenu la retenu la DIVERSITE DE CHOIXDIVERSITE DE CHOIX, la , la DISPONIBILITEDISPONIBILITE DES PRODUITSDES PRODUITS, et le , et le PRIX PRIX que nous avons regroupé que nous avons regroupé sous la dénomination sous la dénomination l’OFFREl’OFFRE et ceci concernant le et ceci concernant le premier axe.premier axe.

• Pour le deuxième axe, nous avons retenu, seulement, la Pour le deuxième axe, nous avons retenu, seulement, la PROXIMITEPROXIMITE concernant les contributions positives. concernant les contributions positives. Nous avons donc retenu le même nom pour la Nous avons donc retenu le même nom pour la dénomination de l’axe, soit dénomination de l’axe, soit PROXIMITE.PROXIMITE.

Diagramme de corrélations 

coef.>0,85

0,85>coef.>0,70

0,70>coef.>0,50

proximité

disponibilité des produits

qualité de service

prix

diversité de choix

0,96

0,95

0,890,80

0,750,60

Variables corrélées entre elles

• D’après ce diagramme, la qualité de service est expliquée D’après ce diagramme, la qualité de service est expliquée par la disponibilité des produits recherchés par les par la disponibilité des produits recherchés par les clients représentant une corrélation de 96% on peut dire clients représentant une corrélation de 96% on peut dire alors que la perception des clients du service offert par alors que la perception des clients du service offert par un magasin est liée par la disponibilité des produits.un magasin est liée par la disponibilité des produits.

• Une corrélation de (90%) entre la diversité de choix et le Une corrélation de (90%) entre la diversité de choix et le prix. Les interviewés considèrent donc qu’un magasin prix. Les interviewés considèrent donc qu’un magasin qui procure une large diversité de choix, offre qui procure une large diversité de choix, offre simultanément une meilleur politique prix simultanément une meilleur politique prix

• I l I l existe également une corrélation positive et linéaire existe également une corrélation positive et linéaire entre «  diversité de choix  » et «  disponibilité des entre «  diversité de choix  » et «  disponibilité des produits  », ainsi les répondants jugent que, produits  », ainsi les répondants jugent que, généralement, les enseignes qui offrent une grande variété généralement, les enseignes qui offrent une grande variété de choix, connaissent moins de rupture de stocks.de choix, connaissent moins de rupture de stocks.

Cercle de corrélations 

proximité

disponibilité des produits

qualité de service

prix

diversité de choix

marjane

metro

acima

aswak assalabel viesuper sol Offre

Proximité

        Pour l’enseigne Pour l’enseigne MarjaneMarjane : on remarque qu’elle est très bien placée  : on remarque qu’elle est très bien placée en terme en terme « D’offre » « D’offre » puisque, en effet, la majorité des répondants lui puisque, en effet, la majorité des répondants lui confère la diversité, la disponibilité des produits et les prix confère la diversité, la disponibilité des produits et les prix accessibles. Tandis que le critère accessibles. Tandis que le critère « Proximité »« Proximité » représente un point représente un point faible pour cette enseigne qui se caractérise par sa grande taille, faible pour cette enseigne qui se caractérise par sa grande taille, l’obligeant ainsi à se placer dans les périphéries de la ville. l’obligeant ainsi à se placer dans les périphéries de la ville.

          Concernant « Concernant « Acima »Acima » etet Asswak Assalam Asswak Assalam : Etant moyenne, leur  : Etant moyenne, leur

surface ne leur permet pas d’afficher une aussi grande panoplie de surface ne leur permet pas d’afficher une aussi grande panoplie de produits que produits que Marjane, Marjane, ce qui explique leur position sur la carte pour ce qui explique leur position sur la carte pour l’axel’axe « Offre »« Offre ». Par contre, elle leur permet d’avoir un avantage . Par contre, elle leur permet d’avoir un avantage concurrentiel en terme deconcurrentiel en terme de « Proximité » « Proximité » car toutes les deux sont car toutes les deux sont jugées les plus proches du client.jugées les plus proches du client.

  

Positionnement des marques

• L’enseigne L’enseigne Métro :Métro : Etant positionnée dans le cadran délimité Etant positionnée dans le cadran délimité par la partie négative de l’axe par la partie négative de l’axe « Proximité »« Proximité » et la partie et la partie positive de l’axe positive de l’axe «Offre »«Offre » -prés de l’origine-, -prés de l’origine-, MétroMétro est perçue est perçue comme une surface difficilement accessible pour les clients et comme une surface difficilement accessible pour les clients et jouissant d’une offre très modeste. jouissant d’une offre très modeste.

          Enfin les deux enseignesEnfin les deux enseignes Label vie Label vie et et Super solSuper sol : elles sont  : elles sont

mal positionnées en terme d’ mal positionnées en terme d’ «Offre »«Offre ». La majorité des . La majorité des répondants leur reproche la rupture des stocks fréquente, et répondants leur reproche la rupture des stocks fréquente, et l’absence de la diversité de produits. Cependant, ils leur l’absence de la diversité de produits. Cependant, ils leur confère, comme même, un positionnement assez bien pour confère, comme même, un positionnement assez bien pour « la proximité »« la proximité » du fait qu’elles se caractérisent par une taille du fait qu’elles se caractérisent par une taille moyenne en terme de surface. moyenne en terme de surface.

Positionnement des marques

Classification Typologique : Subdivision de la population en classes

CLASSIFICATION11

Classe n° 1Classe n° 2Classe n° 3TOTAL

Proximité(Acima)

Disponibilité des produit

s(Acima)

Qualité de service(Acim

a)

Prix(Acima) Diversité de choix(Acim

a)

7,19 5,38 5,50 5,13 5,50 7,73 7,70 7,53 7,93 7,91 2,50 7,75 7,25 7,25 9,00 7,27 7,30 7,16 7,41 7,54

Classe n° 1

Classe n° 2

Classe n° 3

Proximité (Acima)

Disponibilité des produits(Acima)

Qualité de service(Acima)

Prix(Acima)

Diversité de choix(Acima)

Spécificités des classes

       La classe 1La classe 1  : elle est constituée des personnes   : elle est constituée des personnes insatisfaites de la qualité de l’offre de ACIMA, insatisfaites de la qualité de l’offre de ACIMA, notamment la diversité et la disponibilité des produits.notamment la diversité et la disponibilité des produits.

       La classe 2 La classe 2 : ce sont essentiellement les personnes : ce sont essentiellement les personnes satisfaites de tous les attributs que cela soit en terme satisfaites de tous les attributs que cela soit en terme de proximité ou en terme de qualité de l’offre.de proximité ou en terme de qualité de l’offre.

         La classe 3  : La classe 3  : c’est une classe insatisfaite beaucoup c’est une classe insatisfaite beaucoup

plus de l’emplacement d’ACIMA, alors qu’elle lui plus de l’emplacement d’ACIMA, alors qu’elle lui confère la qualité de service, diversité et disponibilité de confère la qualité de service, diversité et disponibilité de produits ainsi que les prix abordables. produits ainsi que les prix abordables.