ðµ8 1 - seoul national university...0 5 1

연습문제 및 정답

1

2

연습문제 1.1

1. 일반항이 다음처럼 주어진 수열이 수렴하면 극한값 limn→∞

an을 구하여라.

(a) an =22n

5n

(b) an = 1− (−0.9)n

(c) an =2n− 1

3n+ 1

(d) an =n+ (−1)n

n

(e) an =1− n2

1 + 2n2

(f) an = (−1)n(

1− 1

n

)(g) an =

(n+ 1

n2

)(n3 + 1

n2 + 1

)

(h) an =(

1− 1

2n

)(2 +

1

3n

)(i) an =

√4n

n+ 1

(j) an =n√

n3 + 1

(k) an =√n+ 1−

√n− 1

(l) an =√n2 + n− n

(m) an =n!

nn

Answer (a) 0(b) 1(c) 2/3 (d) 1(e) −1/2(f) 발산 (g) 1(h) 2(i) 2(j) 0(k) 0(l) 1/2(m) 0

2. 연이율 6%에대하여이자지급방법이다음과같을때실효연이율을각각구하여라.소수점

이하 두자리까지 구하여라.

(a) 반기별 복리 (b) 사분기별 복리 (c) 월별 복리

Answer (a) 6.09% (b) 6.14% (c) 6.17 %

3. 1년 만기의 1000만원짜리 국고채권의 현재가치를 문제 2의 이자지급방법에 대하여 백단

위까지 구하여라.

Answer (a) 9426000 (b) 9421800 (c) 9419100

4. 분양가가 P인 아파트를 분양받은 후 아파트대금을 2년 동안 6개월에 한번씩 같은 금액

P/5를 5번불입한다고한다.처음에일시불로불입하는경우와마지막에일시불로불입하

는 경우 총 금액은 분양가의 몇 %가 되는지 소수점 이하 두자리까지 구하여라. 연이율은

6%이고 이자는 반기별로 지급된다고 가정한다.

Answer 94.34%, 106.18%

5. 다음은 코흐의 곡선을 만드는 과정이다.

• 길이가 1인 변을 삼등분하여 가운데 구간을 제거하고 같은 길이의 선분을 두 개

그린다.

3

• 1단계가 끝나고 나면 길이가 1/3 인 네 개의 선분이 생긴다. 네 개의 선분에 대하여

같은 작업을 반복한다.

• 각 단계에서 생긴 선분에 대하여 같은 작업을 반복한다.

이 작업을 무한히 반복하여 생긴 곡선을 코흐 곡선(Koch curve)이라 한다. 즉, n단계가

지난 후의 곡선을 Kn이라 했을 때, K = limn→∞Kn을 코흐곡선이라 한다.

(a) Kn과 K의 길이를 구하여라.

(b) 정삼각형의 각 변에 위 과정을 반복한 결과를 코흐의 눈송이 (Koch’s snowflake)

라고 한다.

처음 정삼각형의 넓이를 A라고 하였을 때, 코흐 눈송이의 내부의 넓이를 구하여라.1

Answer (a) (43 )n ∞ (b) 8

5A

6. 지금 1억원을 은행에 예치하고 1년 후부터 1년에 한 번 1000만원씩을 출금하려고 한다.

이율은 연복리로 5%이다.

(a) xn을 n번 출금 후 은행 잔고(단위: 만원)라고 할 때 xn에 대한 점화식을 구하여라.

(b) xn을 구하여라.

(c) 몇 년 동안 출금이 가능한가?

Answer (a) xn+1 = 1.05xn − 1000, x0 = 10000 (b) xn = 10000(2− 1.05n) (c) 14년

7. 선형점화식 xn+1 = axn + b에 대하여

(a) x1 = x0이면 모든 n에 대하여 xn = x0임을 보여라.2

1코흐의 눈송이는 넓이는 유한하고 둘레의 길이는 무한대인 도형이다.2이러한 성질을 갖는 수열을 상수수열이라 한다.

4

(b) a > 0이고 x1 > x0 (x1 < x0)이면 모든 n에 대하여 xn+1 > xn (xn+1 < xn)이

성립함을 보여라.3

(c) a < 0이고 x0 6= b1−a이면 수열 {xn}은 xe = b

1−a의 위, 아래로 진동하면서 움직임을

보여라.4

Answer 생략

8. 자동차의 수요 qdn와 공급 qsn은 각각 다음 조건을 만족한다.

• 올해의 수요와 공급은 올해의 가격에 의하여 결정되며 선형관계이다.

• 내년의 자동차 가격은 올해의 재고 (qsn − qdn)에 비례하여 감소한다.

이 조건들을 식으로 나타내면 다음과 같다.

qdn = a− bpn, qsn = c+ dpn, pn+1 = pn − α(qsn − qdn)

(b, d, α은 모두 양의 실수)

(a) {pn}이 만족하는 점화식을 구하고 일반항 pn을 구하여라.

(b) α의 값이 다음과 같을 때 pn의 움직임을 설명하여라.

i. 0 < α <1

b+ dii.

1

b+ d< α <

2

b+ diii. α >

2

b+ d

Answer (a) pn+1 = [1− α(b+ d)]pn + α(a− c), pn = (1− α(b+ d))n(p0 − a−cb+d ) + a−c

b+d

(b) i. 진동없이 pe = a−cb+d로 수렴 ii. 진동하면서 pe로 수렴 iii. 진동하면서 발산

9. 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판정하고 수렴하는 경우 그 합을 구하여라.

(a)

∞∑n=1

sinn

(b)

∞∑n=1

22n

2n + 22n

(c)

∞∑n=1

22n + 3n

5n

(d)∞∑n=1

1

2 + 2−n

(e)

∞∑n=1

cosnπ

2n

(f)∞∑n=2

1

n2 − 1

Answer (a) 발산 (b) 발산 (c) 112 (d) 발산 (e) − 1

3 (f) 34

10. 동전을 던져서 앞면이 먼저 나오는 사람이 이기는 게임을 한다고 하자.

(a) 두 사람이 게임을 할 때 첫번째 던진 사람이 이길 확률을 구하여라.

(b) 세 사람이 게임을 할 때 첫번째 던진 사람이 이길 확률은 세번째 던진 사람이 이길

확률의 몇 배인가?

(c) n 사람이 게임을 할 때 첫번째 던진 사람이 이길 확률은 마지막 던진 사람이 이길

확률의 몇 배인가?

Answer3수열이 이러한 성질을 가지면 순증가한다(순감소한다(strictly monotone increasing (strictly mono-

tone decreasing)고 한다.4Hint. 모든 n에 대하여 (xn+1 − b

1−a)(xn − b

1−a) < 0임을 보이면 된다.

5

2/3 (a)(b) 4배 (c) 2n−1배

11. 조화급수(harmonic series)

∞∑n=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+

1

4+ · · ·는 발산함을 보여라.

Answer 생략

12. 다음 명제가 참이면 증명을, 거짓이면 반례를 들어라.

(a) 두 무한급수∑an 과

∑bn이 발산하면

∑(an + bn)은 발산한다.

(b) 무한급수∑an이 수렴하면 무한급수

∑1an은 발산한다.

(c) 무한급수∑an은 수렴,

∑bn은 발산하면 무한급수

∑(an + bn)는 발산한다.

Answer (a) 거짓 (b) 참 (c) 참

13. 다음 무한급수가 수렴하는 x의 범위를 구하고 수렴하는 x에 대하여 극한값을 구하여라.

(a)

∞∑n=1

(x− 2)n

2n(b)

∞∑n=0

(1− 2x)n

Answer (a) 0 < x < 4, x−24−x (b) 0 < x < 1, 12x

14. 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판정하여라.

(a)

∞∑n=1

1

n2 + 1

(b)

∞∑n=1

1

n3

(c)

∞∑n=1

1− n2

1 + n2

(d)

∞∑n=1

1

n2n

(e)

∞∑n=1

1

1 + n

(f)

∞∑n=1

n+ 1

n2 + 1

(g)

∞∑n=1

2n

22n + 1

(h)

∞∑n=1

(n

2n+ 1

)n

(i)

∞∑n=1

| sinn|n2

(j)

∞∑n=1

1

sin2 n

(k)

∞∑n=1

sin1

2n

(l)

∞∑n=1

1

n!

Answer (a) 수렴

(b) 수렴

(c) 발산

(d) 수렴

(e) 발산

(f) 발산

(g) 수렴

(h) 수렴

(i) 수렴

(j) 발산

(k) 수렴

(l) 수렴

연습문제 1.2

1. 다음 극한값을 구하여라.

6

(a) limx→2

x

x2 − x+ 2(b) lim

x→−2

√x3 + 9 (c) lim

x→−4(4− x)1/3

Answer (a) 12 (b) 1 (c) 2

2. 다음 극한값을 구하여라. 극한값이 존재하지 않는 경우는 ND 로 나타내어라.

(a) limx→−2

x2 − x− 6

x+ 2

(b) limx→−2

x2 + x− 6

x+ 2

(c) limx→−2

12 + 1

x

2 + x

(d) lims→4

4s− s2

2−√s

(e) limx→−2

x+ 2√x2 + 5− 3

(f) limz→0

(1

z− 1

z2 + z

)Answer (a) −5 (b) ND (c) − 1

4 (d) 16 (e) − 32 (f) 1

3. 다음 극한값이 존재하면 구하여라. 양의 무한대로 발산하면 ∞, 음의 무한대로 발산하면

−∞ 로 나타내어라.

(a) limx→∞

x2 − x− 6

x+ 2

(b) limx→−∞

x2 − x− 6

x+ 2

(c) limx→∞

x2 − x− 6

x2 + 2

(d) limx→−∞

x2 − x− 6

x2 + 2

(e) limx→∞

x2 − x− 6

x3 + 2

(f) limx→−∞

x2 − x− 6

x3 + 2

(g) limx→∞

√x2 + 1 + 2

2x− 1

(h) limx→−∞

√x2 + 1 + 2

2x− 1

Answer (a) ∞ (b) −∞ (c) 1 (d) 1 (e) 0 (f) 0 (g) 12 (h) − 1

2

4. 함수 f(x) =

√x2 + 1− 1

x의 수평점근선을 구하여라.(¶)

Answer y = 1, y = −1 (Solution 참조)

Solution 분자, 분모를 분모의 최대차수 x로 나누어 보자. x > 0이면 x =√x2이므로

략

limx→∞

√x2 + 1− 1

x= lim

x→∞

√(x2 + 1)/x2 − 1/x

1

= limx→∞

√1 +

1

x2− limx→∞

1

x

=√

1 + 0− 0 = 1

7

이다. 한편 x < 0이면 t = −x라고 하고 (a)의 결과를 이용하면

limx→−∞

√x2 + 1− 1

x= lim

t→∞

√(t2 + 1)− 1

−t

= − limt→∞

√(t2 + 1)− 1

t= −1

이다. 따라서 두 개의 수평점근선 y = 1, y = −1이 존재한다.

-4 4x

1

-1

y

y� -1

y� 1


(a) limx→0+

x− 1

x(x+ 1)

(b) limx→0−

x− 1

x(x+ 1)

(c) limx→−1+

1

x3 + 1

(d) limx→−1−

1

x3 + 1

Answer (a) −∞ (b) ∞ (c) ∞ (d) −∞


(a) limx→∞

[√x2 + x− x] (b) lim

x→−∞[√x2 + x+ x]

Answer (a) 12 (b) − 1

2

7. f(x) =ax+ b

cx+ d(c 6= 0)에 대하여 수평점근선과 수직점근선을 구하여라.

Answer ad− bc 6= 0일 때 수평점근선 y = ac , 수직점근선 x = −dc


(a) limx→∞

[√x2 + x−

√x2 − x] (b) lim

x→−∞[√x2 + x−

√x2 − x]

Answer (a) 1 (b) −1

8

9. 극한값 limt→0

4√

1 + ct− 1

t, c 6= 0을 구하여라.(¶)

Answer c/4 (Solution 참조)

Solution x = (1 + ct)1/4 라고 하자. 그러면 t → 0 일 때 x → 1 이고 x4 = 1 + ct

이므로 t =x4 − 1

c이다. 따라서

limt→0

4√

1 + ct− 1

t= limx→1

x− 1

(x4 − 1)/c= limx→1

c

x3 + x2 + x+ 1=c

4

을 얻는다.

10. 다음 등식을 만족하는 상수 a, b를 구하여라.

(a) limx→1

x2 + ax+ 4

x2 − (b+ 1)x+ b= 2

(b) limx→0

√ax+ b− 2

x= 2

(c) limx→1

a√x+ b

x− 1= 2

Answer (a) a = −5, b = 52 (b) a = 8, b = 4 (c) a = 4, b = −4

11.√

4− 2x2 ≤ f(x) ≤√

4− x2 (−1 ≤ x ≤ 1)일 때, limx→0

f(x)을 구하여라.

Answer 2

12. 다음 함수가 연속함수가 되도록 상수 a를 정하여라.

(a) f(x) =

{x2 + 1, x ≥ 2

ax, x < 2(b) f(x) =

{ax2 + 1, x ≥ −1

2ax, x < −1

Answer (a) 52 (b) − 1

3

13. 함수 f(x)는 임의의 실수 x, y에 대하여 다음 등식을 만족한다고 한다.

f(x+ y) = f(x) + f(y)

(a) f(0)을 구하여라.

(b) f(x)는 x = 0에서 연속이면 모든 점에서 연속이 됨을 보여라.5

Answer (a) 0

14. 중간값정리를 이용하여 다음 방정식의 해가 주어진 구간에 존재함을 보여라.

5Hint. limh→0 f(x+ h) = f(x)임을 보인다.

9

(a) x5 + 4x3 − 4 = 0, [0, 1] (b) 4x2+4 = x− 1, [1, 2]

Answer 생략

15. 닫힌 구간 [0, 1]에서 연속인 함수 y = f(x)에 대하여

0 < f(0) < 1, 0 < f(1) < 1

이면 f(c) = c인 c ∈ [0, 1]가 존재함을 보여라.6

Answer 생략

연습문제 1.3 – 1.4

1. f(x) = ex의 그래프는 다음과 같다.

1 2 3x

20

10

30

y

(a) y = mex의 그래프를 m = 0.5, 2일 때 그려라.

(b) y = ex+C의그래프를 C = −2, 2일때그려라. C가어떤역할을하는지설명하여라.

(c) y = e(x−h)의그래프를 h = −1, 1일때그려라. h가어떤역할을하는지설명하여라.

Answer (b) y = ex의 그래프를 y축 양의 방향으로 C만큼 평행이동한 것이다.

(c) y = ex의 그래프를 x축 양의 방향으로 h 만큼 평행이동한 것이다.

2. f(x) =100

1 + e−x의 그래프는 다음과 같다.

-2 2 4 6x

50

100

150

200

y

6Hint. g(x) = f(x)− x라고 하고 중간값정리를 적용한다.

10

(a) y = f(x)의 점근선을 모두 구하여라.

(b) g(x) =C

1 + e−x의 그래프를 C = 50, 200일 때 y 절편과 수평점근선을 포함하여

그려라.

(c) h(x) =100

1 + ae−x의 그래프를 a = 0.5, 2일 때 y 절편과 수평점근선을 포함하여

그려라.

Answer (a) 수평점근선 y = 0, y = 100

3. 다음 방정식을 풀어서 x를 log를 이용하여 나타내고 근삿값을 소수이하 4자리까지 구하

여라.

(a) 2x = ex−1 (b) e2x = 4e−x (c) 2 · 4x = ex2

Answer (a) −1log 2−1 ; 3.2589 (b) 2

3 log 2 ; 0.4621

(c) log(2)±√

(log 2)2 + log 2, −0.3902, 1.7765

4. 생명체가 사망하면 생명체에 있는 방사성탄소 C-14은 연속적으로 붕괴되어 안정적인

탄소 C-12로 바뀐다. 화석에 남아 있는 C-14의 양이 처음 A였다면 t 후의 C-14의 양은

다음과 같이 주어진다.

C(t) = A(0.99988)t

(a) 몇 년이 지나야 방사성 탄소 C-14의 양이 절반이 되는지 자연수로 구하여라.

(b) 최근 발견된 식물 화석이 함유한 C-14의 양은 0.5g이라 한다. 이 식물이 살아 있을

때 함유하고 있는 C-14의 양이 212g이라면 이 화석은 얼마 전의 것이겠는가? 천의

단위에서 반올림하여 계산하여라.

(c) 최근 발견된 조개 화석이 함유한 C-14의 양은 0.11g이라 한다. 이 식물이 4만년 전의

것이라면 살아 있는 조개가 함유하고 있는 C-14의 양을 소수점 이하 두 자리까지

구하여라.

Answer (a) − log 2/ log(0.99988) ; 5776 년 (b) − log 424/ log(0.99988) ;5 만년

(c) 0.11(0.99988)−40000 ; 13.37g

5. 세계 인구는 1800년 12억이었고 2000년에는 60억이었다. 그렇다면 인구가 1억인 해는

언제였겠는가? 인구가 지수적으로 증가한다고 가정하고 구하여라.

Answer 1491 년

6. 배양기에 100마리의 박테리아가 있다. 박테리아는 연속적으로 증가하여 3시간 후에 두

배가 된다. 박테리아의 수가 지수적으로 성장한다고 할 때, t 시간 후 박테리아의 수 P (t)

의 식을 구하여라. 이 함수를 이용하여 이틀 후 박테리아의 수를 구하여라.

Answer P (t) = 100 · 2t/3, 6553600

7. 2년전양어장에 100마리의물고기를방류하였다.올해물고기의수를측정하였더니 1000

마리였다면 내년 물고기의 수는 얼마로 추정할 수 있는지 다음 경우에 각각 구하여라. 단,

측정은 모두 같은 날에 한다고 한다.

11

(a) 지수적으로 증가할 때

(b) 수용용량이 5000인 로지스틱 모형을 따를 때

(c) 수용용량이 10000인 로지스틱 모형을 따를 때

Answer (a) 1000√

10 ; 3162 (b) 70003 ; 2333 (c) 10000

√11

9+√11

; 2693

8. 아스피린을 섭취한 후 두 시간이 지나면 체내의 아스피린 양은 반으로 준다고 한다. 그

양이 같은 방식으로 감소한다면

(a) 300mg의 아스피린을 섭취하고 5 시간 후 아스피린의 양은 얼마인가?

(b) 300mg의 아스피린을 섭취하고 몇 시간이 지나면 아스피린의 양이 50 mg 이하가

되겠는가?

Answer (a) 75√2

2 ; 53 mg, (b) 2 log 6log 2 ; 5.17 (시간)

9. 혈중알콜농도는 지수적으로 감소하는데 한 시간이 지나면 1/3이 감소한다고 한다. 음주

단속에서 현재 혈중알콜농도가 0.15mg/L인 사람에 대하여

(a) 20분 후 다시 측정한다면 혈중알콜농도는 얼마가 되겠는가?

(b) 혈중 알콜 농도가 0.05mg/L 이하가 되려면 얼마나 지나야 하는가?

Answer (a) 0.15 3

√23 ; 0.13 (b) log 3

log 3−log 2 ; 2.71 시간

10. 5 년만에 원금이 두 배가 되었다면 다음의 이자지급방법에 대하여 (명목)연이율을 각각

구하여라.

(a) 분기별 복리 (b) 월별 복리 (c) 연속 복리

Answer (a) 4 · (20.05 − 1) ; 14.11% (b) 12 · (21/60 − 1) ; 13.94% (c) log(2)/5 ; 13.86%

11. 연이율은 8%라고 할 때 문제 10의 이자지급방법에 대하여 원금이 두 배가 되는 기간을

각각 구하여라.

Answer (a) log(2)4 log 1.02 ; 8.75년 (b) log(2)

12 log 151150

; 8.69 년 (c) log 20.08 ; 8.66년

12. 데시벨(decibel)은 소리의 크기를 측정하는 단위(dB)로 다음과 같이 주어진다.

D = 10 log10

I

I0

여기서 I는소리의강도를나타내며평방미터당왓트(W/m2)로측정된다. I0 = 10−12W/m2

은 인간이 들을 수 있는 최소의 강도를 나타낸다.

(a) 다음 소리들의 데시벨을 정수로 구하여라.

TV (3m 거리) : 3 · 10−5W/m2

헤드폰의 큰 음악 : 1.1 · 10−1W/m2

비행기 (150m 거리) : 100 W/m2

12

(b) 90dB이 넘는 소리는 인간의 청각에 손상을 줄 수 있는 것으로 알려져 있다. (a)의

소리 중에서 어떤 것이 인간의 청각에 손상을 줄 수 있는가?

(c) D1dB의 소리와 D2dB의 소리가 갖는 강도 I1과 I2 사이에는 다음과 같은 관계식이

성립함을 보여라.I2I1

= 100.1(D2−D1)

(d) 데시벨이 1 커지면 소리의 강도는 몇 배가 되는가?

Answer (a) 75dB, 110dB, 140dB (b) 헤드폰과 비행기 (d) 100.1 ; 1.26배


(a) limx→2

10x2−x+2 (b) lim

x→2log2(x2 − x+ 2)

Answer (a) 10000 (b) 2

14. f(x) =1

1 + 21/x일 때 다음 극한값이 존재하면 구하고 존재하지 않으면 그 이유를 설명

하여라.

(a) limx→0+

f(x) (b) limx→0−

f(x) (c) limx→0

f(x)

Answer (a) 0 (b) 1 (c) 좌극한과 우극한이 다르므로 극한값은 존재하지 않는다.

15. 다음 함수에 대하여 x = 0에서 좌극한과 우극한을 각각 구하여라. 연속이 되도록 f(0) 의

값을 정할 수 있으면 정하여라.

(a) f(x) = e−1/x (b) f(x) = e−1/x2

Answer (a) limx→0+ f(x) = 0, limx→0− f(x) =∞, 연속이 되도록 f(0)의 값을 정할 수 없음.

(b) limx→0+ f(x) = 0, limx→0− f(x) = 0, f(0) = 0


(a) 2−x = x, [0, 1] (b) log10(x2 + 1) = x− 1, [1, 2]

Answer 생략

연습문제 1.5

1. 다음 식이 성립함을 보여라

13

(a) tan(x± y) =tanx|pm tan y

1∓ tanx tan y(b) tan 2x =

2 tanx

1− tan2 x

2. 0 < x, y <π

2이고 sinx =

5

13, cos y =

1

3일 때 다음을 구하여라.

(a) cosx (b) cos 2x (c) sin(x+ y) (d) tan(x+ y)

Answer (a) 1213 (b) 119

169 (c) 5+24√2

39 (d) 5+24√2

12−10√2

3. 다음 식의 값을 구하여라.

(a) (cos 75◦ + sin 75◦)(cos 75◦ − sin 75◦)

(b)√

3 sin 15◦ + cos 15◦

Answer (a) cos 150◦ = −√32 (b) 2 sin 45◦ =

√2

4. 코시컨트함수(cosecant),시컨트함수(secant),코탄젠트함수(cotangent)는각각다음

과 같이 정의된다.

cscx =1

sinx, secx =

1

cosx, cotx =

1

tanx

다음 관계식이 성립함을 보여라.

(a) 1 + tan2 x = sec2 x (b) 1 + cot2 x = csc2 x

Answer 생략

5. sinx cosx = 12 일 때 다음 값을 구하여라.

(a) tanx+ cotx (b) sec2 x+ csc2 x

Answer (a) 2 (b) 4

6. 0 < x < π2 이고 tanx+ cotx = 4 일 때 다음 값을 구하여라.

(a) sinx cosx (b) sinx+ cosx

Answer (a) 14 (b)

√62

7. 다음 함수의 최댓값과 최솟값, 주기를 구하여라.

(a) f(x) = 2 sinx−√

5 cosx (b) f(x) = sin 2x+ 2 cos 2x

Answer (a) 3, −3, 2π (b)√

5, −√

5, π

8. 길이가 2인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 AB 위의 점 P에 대하여 3AP +

4BP의 최댓값을 구하여라.7

7Hint. 각 APB는 직각이다.

14

A B

P

2

Answer 10

9. 삼각함수의 덧셈법칙을 이용하여 다음 식을 증명하여라.

(a) sinA+ sinB = 2 sinA+B

2cos

A−B2

(b) sinA− sinB = 2 cosA+B

2sin

A−B2

(c) cosA+ cosB = 2 cosA+B

2cos

A−B2

(d) cosA− cosB = −2 sinA+B

2sin

A−B2

Answer 생략


(a) limx→2

sin[(x2 − x+ 2)π] (b) limx→1

x− 1

sinπx

Answer (a) 0 (b) − 1π

11. 극한값 limx→0

sin 3x

sin 2x을 구하여라.

Answersin 3x

sin 2x=

sin 3x

3x

2x

sin 2x· 3

2이므로

limx→0

sin 3x

sin 2x= limx→0

sin 3x

3xlimx→0

2x

sin 2x· 3

2=

3

2

을 얻는다.


(a) limx→0

sin 2x

x

(b) limx→0

sin(x2)

x

(c) limx→0

(sinx)2

x

(d) limx→0

sin 2x

sinx

(e) limx→0+

sinx√x

(f) limx→0

sin(sinx)

x

(g) limx→0

1− cos kx

x

(h) limx→0

1− cos kx

x2

(i) limx→0

1− cos 2x

1− cos 3x

16

연습문제 2.1

1. 함수 f(x) = x3 − 6x에 대하여

(a) 곡선 위의 점 (1,−5)에서 미분계수를 구하여라.

(b) 곡선 위의 점 (1,−5)에서 접선의 방정식을 구하여라.

(c) (b)에서 구한 접선과 y = f(x)의 교점을 모두 구하여라.

Answer (a) −3 (b) y = −3x− 2 (c) (1,−5), (−2, 4)

2. 정의를 이용하여 다음 함수의 주어진 점에서 미분계수를 구하고 접선의 방정식을 구하여

라.

(a) y =√

2x, x = 2

(b) y =1

x− 1, x = 3

(c) y =x

x− 1, x = 2

(d) y =√x+ 4, x = 5

Answer (a) 12 , y = 1

2x+ 1

(b) − 14 , y = − 1

4x+ 54

(c) −1, y = −x+ 4

(d) 16 , y = x

6 + 136

3. f ′(2) = 5일 때 다음 극한값을 구하여라.

limx→0

f(2 + 2x)− f(2− 3x)

x

Answer 25

4. f(2) = 0, f ′(2) = 5 일 때 다음 극한값을 구하여라.

limx→0

f(2 + 2x) + f(2− 3x)

x

Answer −5

5. 다음 함수는 x = 0에서 미분가능한지 판단하여라. 미분가능한 경우 f ′(0)을 구하여라.

(a) f(x) =

x sin1

x, x 6= 0

0, x = 0

(b) f(x) =

x2 sin1

x, x 6= 0

0, x = 0

Answer (a) 미분불가능 (b) f ′(0) = 0

6. 정의를 이용하여 다음 미분계수를 구하여라.

17

(a) G(x) =1

x2 + 1, G′(0), G′(1)

(b) K(x) =√x2 + 1, K ′(0),K ′(

√3)

Answer (a) 0, − 12 (b) 0,

√32

7. 함수 f가 x = 0에서 미분가능하면 f ′(0)을 구하고 미분가능하지 않으면 그 이유를 설명

하여라.

(a) f(x) =√|x|

(b) f(x) = x√|x|

(c) f(x) =

{x2 cscx, x 6= 0

0, x = 0

Answer (a) 국소적으로 선형이 아님 (b) 0 (c) 1

8. 다음 함수가 x = a에서 미분가능하도록 상수 b, c를 정하여라.

(a) f(x) =

{ √x, x ≤ 4

bx+ c, x > 4a = 4

(b) f(x) =

1

x, x ≤ 2

bx+ c, x > 2a = 2

Answer (a) b = 14 , c = 1 (b) b = − 1

4 , c = 1

9. f ′(1) = 4, f(1) = 1인 함수 f(x)에 대하여 다음 값을 구하여라.

(a) limx→1

f(x)− 1

x2 − 1

(b) limx→1

f(x2)− x2

x2 − 1

(c) limh→0

f(1 + h2)− 1

h

(d) limh→0

f(1 + 2h)− f(1 + h)

h

Answer (a) 2 (b) 3 (c) 0 (d) 4

10. 선형근사식 (1 + x)k ≈ 1 + kx, (k는 실수)을 이용하여 다음 값들의 근삿값을 구하여라.

(a) (1.08)3 (b) 5√

0.999 (c)1

5.3(d)√

4.2

Answer (a) 1.24 (b) 0.9998 (c) 0.188 (d) 2.05

11. x = 0에서 f(x) = sinx의 선형근사식을 구하고 이를 이용하여 sin 0.1의 근삿값을 구하

여라.

18

Answer sinx ≈ x, sin 0.1 ; 0.1

12. 정육면체의 한 변의 길이가 반올림하여 12cm 이다. 이 정육면체의 부피의 범위를 선형근

사를 이용하여 구하여라.

Answer 1512 ≤ V < 1944

연습문제 2.2

1. 다음 함수의 도함수를 구하여라.

(a) g(x) = (x+ 1)(x2 + 1)

(b) h(y) =

(1

y− 1

y2

)(y + y2)

(c) f(x) =1

3x3

(d) f(u) =u2 + u+ 1

u

(e) f(x) =1− x1 + x

(f) g(x) =ax

1 + ax

(g) f(x) =1− x2

1 + x2

Answer (a) 3x2 + 2x+ 1

(b) 1y2 + 1

(c) − 1x4

(d) 1− 1u2

(e) −2(1+x)2

(f) a(1+ax)2

(g) −4x(1+x2)2

2. f(x) = xg(x)이라 한다.

(a) g(1) = 5, g′(1) = −7일 때 f ′(1)의 값을 구하여라.

(b) f(2) = 4, f ′(2) = −4일 때 g′(2)의 값을 구하여라.

Answer (a) −2 (b) −3

3. 주어진 함수의 접선을 주어진 점에서 구하여라.

(a) f(x) =1

1 + x2, (1, 0.5) (b) f(x) =

√x2 + 3, (1, 2)

Answer (a) y = − 12x+ 1 (b) y = 1

2x+ 32

4. f(x) = sinx cosx일 때 f ′(x) = cos 2x임을 보여라.

Answer (a) 생략

5. 다음 식이 성립함을 보여라.

(secx)′ = tanx secx, (cscx)′ = − cotx cscx, (cotx)′ = − csc2 x

Answer 생략

6. 다음 함수의 도함수와 이계도함수를 구하여라.

19

(a) y = x+1

x(b) r =

θ3 + θ + 1

θ2

Answer (a) y′ = 1− 1x2 , y

′′ = 2x3 (b) r′ = 1− θ−2 − 2θ−3, r′′ = 2θ−3 + 6θ−4

7. 이차다항식 f(x)가 다음 조건을 만족할 때 f(x)를 구하여라.

(a) f(0) = 2, f ′(0) = 3, f ′′(0) = 4

(b) f(3) = 2, f ′(3) = 3, f ′′(3) = 4

Answer (a) f(x) = 2x2 + 3x+ 2 (b) f(x) = 2x2 − 9x+ 11

8. 어느 도시의 일인당 일일 전기 소비량은 5000단위라고 한다. 에너지 절약운동으로 전기

소비는 한달(30일 기준)에 일인당 30 단위씩 감소하고 있다고 한다. 현재 이 도시의 인구

는 15만명이고 일년에 인구가 7300명씩 증가한다면 에너지 절약운동을 시작하고 100일

후의 일일 총전기 소비량의 변화율은 어떻게 되는가? 시간의 단위에 주의하여 구하여라.

Answer −54000단위/일

9. 임의의 실수 x, y에 대하여 함수 f(x)는 다음 등식을 만족한다고 한다.

f(x+ y) = f(x) + f(y)

f ′(0) = 2일 때 f(0)과 f ′(x)을 구하여라.

Answer f(0) = 0, f ′(x) = 2

10. 항상 양의 값을 갖는 함수 f(x)는 임의의 실수 x, y에 대하여 다음 등식을 만족한다고

한다.

f(x+ y) = f(x)f(y)

f ′(0) = 3일 때 f(0)을 구하고 f ′(x)을 f(x)를 이용하여 나타내어라.

Answer f(0) = 1, f ′(x) = 3f(x)

11. x = 0에서 미분가능한 함수가 모든 실수 x, y에 대하여

f(x+ y) = f(x) + f(y) + xy, limh→0

f(h)

h= 3

일 때 f(0), f ′(x)을 구하여라.

Answer f(0) = 0, f ′(x) = 3 + x

12. f(a) = 3, f ′(a) = 2, g(a) = −1, g′(a) = 5라고 하자. x = a에서 다음 함수의 미분계수

를 구하여라.

(a)√f(x)

(b) [f(x)]2

(c)√

[f(x)]2 + [g(x)]2

(d)1 + [g(x)]2

1 + [f(x)]2

20

Answer (a)√33 (b) 12 (c)

√1010 (d) − 31

25

13. 다음과 같이 주어진 y = f(u), u = g(x)에 대하여 y = f(g(x))를 구하고dy

dx를 구하여라.

(a) f(u) = 2u2 + 3, g(x) = 3x+ 1

(b) f(u) = u3, g(x) = tanx

(c) f(u) = u−2, g(x) =√x+ 1

(d) f(u) =√u, , g(x) = x3 + x2 − x

Answer (a) f(g(x)) = 2(3x+ 1)2 + 3, dydx = 12(3x+ 1)

(b) f(g(x)) = tan3 x, dydx = 3 sec2 x tan2 x

(c) f(g(x)) = 1(√x+1)2

, dydx = −1√x(√x+1)3

(d) f(g(x)) =√x3 + x2 − x, dydx = 3x2+2x−1

2√x3+x2−x


(a) y = (1− 2x)5

(b) y = (x2 + 4)−2

(c) f(x) =√

2x+ 3

(d) y =(x+

1

x

)3

(e) y = (x+√x2 + 1)3

(f) h(s) = s√

1− s2

(g) g(t) = sin 2t

(h) r(u) = sin(u2)

(i) f(x) = (sinx)2

(j) f(x) = sin√x

(k) g(x) =√

cosx

(l) y =

(x

1 + x2

)2

Answer (a) −10(1− 2x)4

(b) −4x(x2 + 4)−3

(c) 1√2x+3

(d) 3(x+ 1x )2(1− 1

x2 )

(e) 3(x+√x2+1)3√

x2+1

(f) 1−2s2√1−s2

(g) 2 cos 2t

(h) 2u cos(u2)

(i) 2 sinx cosx = sin 2x

(j) cos√x

2√x

(k) − sin x2√cos x

(l) x(1−x2)(1+x2)3

15. x = ±2에서 미분가능한 함수 f, g에 대하여

f(2) = 4, g(2) = −2, f ′(2) = 3, g′(2) = −2

f(−2) = 2, g(−2) = 4, f ′(−2) = 7, g′(−2) = 11

이다. x = a에서 다음 함수의 미분계수를 구하여라.

(a) f(x)g(x), a = 2

(b) 1/f(x), a = −2

(c) f(g(x)), a = 2

(d) g(f(x)), a = −2

(e)1

f(g(x)), a = 2

(f)√f(x) + g(x), a = 2

(g) f(x+ g(x)), a = −2

Answer (a) −14 (b) − 74 (c) −14 (d) −14 (e) 7

2 (f)√24 (h) 36

21

연습문제 2.3

1. 다음 함수의 임계점을 구하고 극값을 모두 구하여라.

(a) f(x) = 4x2 + 6x

(b) f(x) = x3 − 3x2 − 9x

(c) f(x) = x4 − 4x2 + 2

(d) f(x) = |x2 − 1|

Answer (a) 임계점 x = − 34 , x = − 3

4 일 때 극솟값 −94

(b) 임계점 x = 3,−1, x = 3 일 때 극솟값 −27, x = −1일 때 극댓값 5

(c) 임계점 x = 0,±√

2, x = 0 에서 극댓값 2, x = ±√

2 에서 극솟값 −2

(d) 임계점 x = 0,±1, x = 0 에서 극댓값 1, x = ±1에서 극솟값 0

2. 삼차함수 f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d가 다음 조건을 만족할 때 상수 a, b, c, d를 구하여라.

(a) x = −2에서 극솟값 −4를 갖고 x = 1에서 극댓값 2를 갖는다.

(b) x = −2에서 극댓값 4를 갖고 x = 2에서 극솟값 −2를 갖는다.

Answer (a) a = − 49 , b = − 2

3 , c = 83 , d = 4

9 (b) a = 316 , b = 0, c = − 9

4 , d = 1

3. 미분가능한 함수 f, g가 모두 증가함수이다. 참이면 증명하고 거짓이면 반례를 들어라.

(a) f + g는 증가함수이다.

(b) fg는 증가함수이다.

Answer (a) 참 (b) 거짓

4. 미분가능한 두 함수 f, g가 모든 x에 대하여 f ′(x) 6= 0, g′(x) 6= 0이라 하자.

(a) f, g 모두 순증가함수이면 f ◦ g는 순증가함수임을 보여라.

(b) f는 순증가함수이고 g는 순감소함수이면 f ◦ g는 순감소함수임을 보여라.

(c) f, g 모두 순감소함수이면 f ◦ g는 순증가함수임을 보여라.

Answer 생략

5. 다음 부등식이 성립함을 보여라. (¶)

(a) 1− cosx ≤ x2

2, x ∈ R

(b) sinx ≥ x− x3

6, x ≥ 0

22


Solution (a) f(x) = x2

2 − 1 + cosx라고 하면 f 는 우함수이므로 x ≥ 0 에서 f(x) ≥ 0

임을 보이면 된다. x ≥ 0 이면 f ′(x) = x − sinx ≥ 0 이므로 f 는 증가함수이고 f(x) ≥f(0) = 0 이다.

(b) g(x) = sinx−x+ x3

6 라고 하면 g′(x) = f(x) ≥ 0 이므로 g 는 증가함수이다. 따라서

x ≥ 0 이면 g(x) ≥ g(0) = 0 이다.

6. 다음 방정식의 근은 모두 몇 개 존재하는지 구하여라.

(a) x5 − 5x3 + 5x2 − 7 = 0 (¶)

(b) x3 − 3x2 − 9x+ 2 = 0

(c) x4 − 6x2 + 8x = 0

(d) x5 − 5x3 + 3 = 0

Answer (a) 3 (b) 3 (c) 2 (d) 3

Solution (a) f(x) = x5 − 5x3 + 5x2 − 7 라고 하면

f ′(x) = 5x4 − 15x2 + 10x = 5x(x− 1)2(x+ 2)

x · · · −2 · · · 0 · · · 1 · · ·f ′(x) + 0 − 0 + 0 +

f(x) 증가 21 감소 −7 증가 −6 증가

따라서 y = f(x)는 x = −2 에서 극댓값 f(−2) = 21을 갖고 x = 0 에서 극솟값 f(0) =

−7 를 갖는다. 다른 극값은 존재하지 않는다. 구간 (−∞,−2] 와 구간 [1,∞)에서 각각

y = f(x)는 단순증가한다.

limx→−∞

f(x) = −∞, f(−2) > 0

이므로 중간값정리에 의하면 구간 (−∞,−2] 에 유일한 실근이 존재한다. 또한

limx→∞

f(x) =∞, f(1) < 0

이므로 구간 [1,∞)에서도 유일한 실근이 존재한다. 마지막으로 구간 [−2, 1] 에서 y =

f(x)는 단순감소하고

f(−2) > 0, f(1) < 0

이므로 구간 [−2, 1] 에서도 중간값정리에 의하여 유일한 실근이 존재함을 알 수 있다.

따라서 모두 세 개의 실근이 존재한다.

23

-3 -2-2 -1 1 2x

21

-7

y

7. 방정식 x3 − 3x2 − 72x+ k = 0의 근이 다음과 같을 때 k의 범위를 구하여라.

(a) 하나의 근 (b) 두 개의 근 (c) 세 개의 근

Answer (a) k > 324, k < −176 (b) k = 324,−176 (c) −176 < k < 324

8. 롤의 정리를 증명하여라.(¶)


Solution 함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b] 에서 연속이므로, 이 구간에서 최댓값 M 과

최솟값 m 을 갖는다.

(a) M = m 이면 f(x)는 닫힌 구간 [a, b] 에서 상수함수이다. 따라서 a < c < b 인 모든

c 에 대하여

f ′(c) = 0

이 성립한다.

x

y

M � m

a bx

y

m

M

a b

(b) M > m 이면 f(a) = f(b)이므로 열린구간 (a, b)의 한 점 c 에 대하여

f(c) = M 또는 f(c) = m

이 성립한다. 만약 f(c) = M 이면 c+ h ∈ [a, b] 인 모든 h 에 대하여

f(c+ h) ≤ f(c)

24

이다. 따라서 h > 0 이면 f(c+h)−f(c)h ≤ 0 이고 f(x)가 x = c 에서 미분가능하므로

f ′(c) = limh→0+

f(c+ h)− f(c)

h≤ 0

이다. 마찬가지로 h < 0 이면 f(c+h)−f(c)h ≥ 0이고 f(x)가 x = c 에서 미분가능하므

로

f ′(c) = limh→0−

f(c+ h)− f(c)

h≥ 0

이다. 따라서 f ′(c) = 0 이다. f(c) = m 인 경우의 증명도 같은 방법으로 할 수 있다.

9. 미분가능한 두 함수 f, g가 모든 x에 대하여 f ′(x) = g′(x)이면 다음 식이 성립함을

보여라.

f(x) = g(x) + C (단, C는 상수)

Answer 생략

10. 모든 x에 대하여 f ′(x) 6= 1이면 f(c) = c인 c는 많아야 하나 존재함을 보여라.(¶)8


Solution f(c1) = c1, f(c2) = c2 인 c1, c2 (c1 < c2)가 존재한다고 하자. 그러면 평균값

정리에의하여f(c2)−f(c1)

c2−c1 = f ′(c)인 c가구간 [c1, c2]에존재한다.따라서 f(c2)−f(c1) =

f ′(c)(c2 − c1) 6= c2 − c1 이다. 그러나 f(c2)− f(c1) = c2 − c1이므로 모순이다.

11. (코시의 평균값정리) 두 함수 f(x)와 g(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 열린 구간

(a, b)에서 미분가능하다고 하자. 그러면

f ′(c)(g(b)− g(a)) = g′(c)(f(b)− f(a))

을 만족하는 점 c가 열린 구간 (a, b)에 존재함을 보여라.(¶)9


Solution h(x) = (f(b)− f(a))g(x)− (g(b)− g(a))f(x)라고 정의하면 h(a) = h(b) =

f(b)g(a)− f(a)g(b)이고 h 는 닫힌 구간

12. 미분가능한 함수 f : [−1, 1] → R 에 대하여 부등식 |f ′(x)| ≤ 1이 성립한다고 한다.

f(−1) = −1, f(1) = 1이면 f(x) = x임을 보여라.10

Answer 생략

8Hint. 이 성질을 갖는 값이 두 개 있다면 모순이 생김을 평균값정리를 이용하여 보여라.9Hint. h(x) = (f(b)− f(a))g(x)− (g(b)− g(a))f(x)에 대하여 롤의 정리를 적용한다.

10Hint. f(x) > x이거나 f(x) < x인 점이 존재하면 모순이 생김을 평균값정리를 이용하여 보인다.

25

연습문제 2.4

1. 밀의 수확량 y는 토양에 있는 질소의 농도 N에 의하여 다음과 같이 결정된다고 한다.

y =kN

1 +N2

밀의 수확량이 최대가 되는 질소의 농도를 구하여라. 단, k > 0은 상수이다.

Answer N=1

2. (a) 합이 20 인 두 수 중에서 곱이 최대가 되는 두 수를 구하여라.

(b) 차가 20 인 두 수 중에서 곱이 최소가 되는 두 수를 구하여라.

(c) 곱이 20 인 두 수 중에서 합이 최소가 되는 두 양수를 구하여라.

Answer (a) 10, 10 (b) −10, 10 (c) 2√

5, 2√

5

3. (a) 같은 둘레를 갖는 직사각형 중에서 넓이가 최대가 되는 것은 정사각형임을 보여라.

(b) 같은 넓이를 갖는 직사각형 중에서 둘레의 길이가 최소가 되는 것은 정사각형임을

보여라.

Answer 생략

4. 주어진 점과 곡선 사이의 거리를 구하여라.11

(a) 2x+ 3y = 1, (3, 4) (b) x2 − y2 = 1, (0, 1) (c) y = x2, (3, 0)

Answer (a)17√

13

13≈ 4.71 (b)

√6

2≈ 1.22

(c)√

5 ≈ 2.24

5. 타원 모양의 체육관에 직사각형 모양의 운동장을 만들려고 한다. 운동장의 넓이가 최대가

되는 가로와 세로의 길이를 구하여라. 단 타원의 방정식은

x2

a2+y2

b2= 1, a > b > 0

이라 한다.

Answer 가로: a√

2, 세로: b√

2

6. 반지름이 1인 원의 일부를 잘라내어 원뿔형의 일회용 컵을 만들었다. 이 컵의 용량을

최대가 되게 하려면 얼마를 잘라내면 되는가? 이 때 최대부피를 구하여라.

Answer θ = 2π

(1−√

6

3

)≈ 1.153만큼 잘라내면 됨. 최대 부피는 Vmax =

2√

3

27π

11곡선과 점의 거리는 곡선 위의 점과 주어진 점 사이의 최소 거리를 의미한다.

26

C

B

A

Θ

7. 250cm3 들이 음료수용 깡통을 만들려고 한다. 재료비가 가장 적게 들도록 하려면 어떻게

해야하는가?다시말해서깡통의겉넓이가가장작아지게하려면어떻게해야하는가?(¶)

h

r

Solution 밑면의반지름을 r,높이를 h라고하자.그러면깡통의부피가 250 cm3이므로

V = πr2h = 250, r ≥ 0, h ≥ 0

을 만족한다. 따라서 h =250

πr2이고 깡통의 겉넓이는 다음과 같이 r의 함수로 나타낼 수

있다.

A = 2πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πr250

πr2

= 2πr2 +500

r

h

2 Π r

27

임계점을 구하면

A′ = 4πr − 500

r2= 0 ⇒ r =

(125

π

)1/3=

53√π≈ 3.41

에서 임계점은 유일하하고 A′의 부호가 −dptj +로 바뀌므로 r =53√π≈ 3.41에서 겉넓

이는 최소가 된다. 이 때, 높이는

h =250

πr2≈ 6.84

이다.

8. 총비용함수 C(x)가 다음과 같을 때 한계비용함수 C ′(x)와 평균비용함수 AC(x) 를 구하

여라.

(a) C(x) = 200 + 3x+ x2 − 1

3x3

(b) C(x) = 170 + 2√x+ 3x− x2

(c) C(x) = 100 + 2x+1

1 + x

Answer (a) C ′(x) = 3 + 2x− x2, AC(x) = 200x + 3 + x− 1

3x2

(b) C ′(x) = 1√x

+ 3− 2x, AC(x) = 170x + 2√

x+ 3− x

(c) C ′(x) = 2− 1(1+x)2 , AC(x) = 100

x + 2 + 1x(1+x)

9. 평균비용함수 AC(x)가 다음과 같을 때 총비용함수 C(x)와 한계비용함수를 구하여라.

(a) AC(x) = 1.5x+ 8 +2

x

(b) AC(x) =1

1 + x2+ x+ 2

(c) AC(x) = 3√x+ 3 +

1

x+ x2

Answer (a) C(x) = 1.5x2 + 8x+ 2, C ′(x) = 3x+ 8

(b) C(x) = x1+x2 + x2 + 2x, C ′(x) = 1−x2

(1+x2)2 + 2x+ 2

(c) C(x) = 3x√x+ 3x+ 1

1+x , C ′(x) = 92

√x+ 3− 1

(1+x)2

10. 가격이 p일 때 수요 x와의 관계를 나타내는 수요함수가 다음과 같다. 총수입이 최대가

되는 가격 p를 구하여라.

(a) x = 100− p

2 (b) x =10

p2 + 4

Answer (a) p = 100 (b) p = 2

28

11. 어떤 상품을 개당 3(단위 : 만원)에 판매하고 생산된 상품은 모두 판매된다고 가정하자.

x개 생산할 때 총비용은

C(x) = 20 + 0.8x+ 0.002x2

이라 한다.

(a) 총이윤함수 P (x)와 한계이윤함수 P ′(x)를 구하여라.

(b) 500개에서 하나를 더 팔았을 때 생기는 이윤을 미분계수를 이용하여 근사적으로

구하여라.

(c) 몇 개를 팔았을 때 이윤이 최대가 되는가?

Answer (a) P (x) = −20 + 2.2x− 0.002x2, P ′(x) = 2.2− 0.004x (b) P ′(500) = 0.2(만원) (c)

550개

12. PMP의 가격 p(단위 : 만원)와 일주일 동안의 판매량 q(단위 : 백대)의 관계는 다음과

같다.

p = 11 +3

q

일주일동안 q개의 PMP를 생산하는데 드는 총비용은

C(q) = 200 + 5q − 1

2q2 +

1

3q3

라고 한다. 총이윤이 최대가 되도록 가격을 정하여라. 이때 판매량은 얼마인가?

Answer 12 만원, 3 백대

13. 어떤 품목의 가격 p와 수요 q는 3p+ 5q = 180을 만족한다. 가격이 다음과 같을 때 수요의

탄력성을 구하여라.

(a) p = 20 (b) p = 30 (c) p = 40

Answer (a) 0.5 (b) 1 (c) 2

14. 수요함수가 pq = C (C는 상수)일 때

(a) 수요탄력성은 항상 1임을 보여라.

(b) 이때 가격을 올리면 총수입은 어떻게 변화하는가?

Answer (a) 양 변을 p에 대하여 미분하면 q + p dqdp = 0⇒ dqdp = − qp 이므로 E = −pq

dqdp = 1이다.

(b) 변화가 없다.

연습문제 2.5

29

1. 공 모양의 풍선에 공기를 50cm3/sec의 비율로 불어 넣고 있다.

(a) 풍선의 반지름이 5cm일 때 반지름의 시간에 대한 증가율을 구하여라.

(b) 풍선의 반지름이 5cm일 때 표면적의 시간에 대한 증가율을 구하여라.

Answer (a) 1/(2π) ; 0.159cm/sec (b) 20 cm2/sec

2. 반지름이 150cm인 원기둥 모양의 물탱크에서 분당 100L의 물이 바닥의 구멍을 통하여

빠져 나오고 있다. 높이가 250cm일 때 높이의 변화율은 얼마인가? (단위에 주의할 것 :

1m3=1000L)

Answer − 245π ; −0.1415m/min, 또는 −14.15 cm/min

3. 같은 지점에서 두 대의 차가 출발하였다. 한 대는 북쪽으로 1km/min의 속도로 움직이고

다른한대는서쪽으로 0.75km/min의속도로움직인다면 5분후두차가멀어지는속도는

얼마인가?

Answer 1.25 km/min

4. 배가 섬 근처를 직선항로를 따라 운항하고 있다. 이 섬 선착장에 배가 가장 가깝게 접근한

거리는 60m이고 이 배는 초당 4m의 속도로 동쪽으로 움직인다.

(a) 배가 선착장에서 멀어지기 시작한 지 1분 후 배가 선착장에서 멀어지는 속도를 구하

여라.

(b) 배에서 선착장까지의 거리가 100m가 되었을 때 배가 선착장에서 멀어지는 속도를

구하여라.

Answer (a) 16√17

17 m/sec (b) 3.2m/sec

5. 바람없는 날 열기구가 수직으로 상승하고 있다. 출발지점에서 100m 떨어진 지점에서 열

기구를 올려다 본 각도가π

4일 때 각도의 증가속도는 0.1rad/min이었다. 이때 열기구의

상승속도는 얼마인가?

Answer 20m/min

6. 수요함수가 다음과 같이 주어져 있다

p(q + 1)2 = 900

가격이 4(단위 만원)일 때 수요량의 가격에 대한 변화율 dqdp를 구하여라.

Answer − 158

7. 음함수 미분법을 이용하여 dydx를 구하여라.

(a) x3 + y3 = 1 (b) x2y + xy2 = 1 (c) x2 =x− yx+ y

Answer

30

−x2

y2(a)(b) − y (2 x+y)x (x+2 y) (c) − 3x2+2xy−1

x2+1

8. (a) 음함수의미분법을이용하여타원 x2

a2 + y2

b2 = 1위의점 (x0, y0)에서접선의방정식은

x0x

a2+y0y

b2= 1

임을 보여라.

(b) 음함수의 미분법을 이용하여 쌍곡선 x2

a2 −y2

b2 = 1위의 점 (x0, y0)에서 접선의 방정

식은x0x

a2− y0y

b2= 1

임을 보여라.

Answer 생략

9. 양의 실수 k에 대하여 다음과 같이 주어진 두 곡선이 직교함을 보여라. (¶)

2x2 + y2 = k2, x = y2


Solution k의 값에 상관없이 두 점에서 만난다. 만나는 점을 (x1, y1)이라 하면 이 점에

서 타원의 기울기와 포물선의 기울기는 음함수 미분법을 이용하면 각각

m1 = −2x1y1

, m2 =1

2y1

이다. 첫번째 식에서 x1 = y21 을 대입하면

m1 = −2y21y1

= −2y1, m2 =1

2y1

을 얻는다. 따라서 m1 ·m2 = −1이고 두 곡선은 직교한다.

10. 다음과 같이 정의되는 곡선을 아스트로이드(astroid)라고 부른다.

|x|2/3 + |y|2/3 = 1

(a) 곡선 위의 점 (a3, b3)에서 접선의 방정식을 구하여라.

(b) 1 사분면에 있는 곡선 위의 점 (a3, b3)에서 접선을 그렸을 때, 1 사분면에 있는 접선

부분의 길이는 항상 1 이 됨을 보여라.

-11

2 2

1

x

1

1

2 2

-1

y

31

Answer (a) y = − bax + b (b) x-절편 (a, 0), y-절편 (0, b)이므로 1 사분면에 있는 접선부분의

길이는√(a− 0)2 + (0− b)2 =

√a2 + b2 = 1이다.

11. 함수 y = f(x) 위의 점 (a, b)에서의 접선의 방정식이 y = 2x − 1이다. y = f−1(x)위의

점 (b, a) 에서 접선의 방정식을 구하여라.

Answer y = (x+ 1)/2

12. 함수 f(x) = x3−3x2 + 4x−5의 역함수 g = f−1가 존재함을 보이고 g′(−3)을 구하여라.

Answer f ′(x) = 3x2 − 6x + 4 = 3(x − 1)2 + 1 > 0이므로 순증가하고 따라서 역함수 존재,

g′(−3) = 1f ′(1) = 1

연습문제 2.6

1.dy

dx를 구하여라.

(a) y = 2e2x

(b) y = ex2

(c) y = eex

(d) y =1− ex

1 + ex

(e) y = (log x)2

(f) y = log(x− 1

x+ 1

)(g) y = (log(1 + ex))2

(h) y = log(x+√x2 − 1)

(i) y = log | secx|

(j) y = log | secx+ tanx|

Answer (a) y′ = 4e2x

(b) y′ = 2xex2

(c) y′ = exeex

(d) y′ = −2ex(1+ex)2

(e) y′ = 2 log xx

(f) y′ = 2x2−1

(g) y′ = 2ex

1+ex log(1 + ex)

(h) y′ = 1√x2−1

(i) y′ = tanx

(j) y′ = secx

2. 로그미분법을 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하여라.

(a) y = x1/x

(b) y = xlog x

(c) y = (log x)x

(d) y =√x(x+ 1)

(e) y =x√x− 1

(x2 + 1)3/2

Answer (a) y′ = 1−log xx2 y

(b) y′ = 2 log xx y

(c) y′ =(

log(log x) + 1log x

)y

(d) y′ = 2x+12x(x+1)y

(e) y′ =(

1x + 1

2(x−1) −3xx2+1

)y

32


(a) y = 3x2

(b) y = (log2 x)(log4 x) (c) y = log2(2 + 2ex)

Answer (a) y′ = 2x · 3x2

log 3 (b) y′ = log2 xx log 2 (c) y′ = ex

(1+ex) log 2

4. 음함수 미분법을 이용하여dy

dx를 구하여라.

(a) exy = x2 + y (b) y = log(x2 + y2)(c) y =

√x2 − 1

x2 + 1

Answer (a) y′ =2x− yexy

xexy − 1(b) y′ =

2x

x2 + y2 − 2y(c) y′ =

2x

x4 − 1y

5. 다음 함수의 극댓값 또는 극솟값을 모두 구하여라.

(a) y = xex

(b) y = x2e−x

(c) y = xe−x2

(d) y = 4e2x + e−x

(e) y = x− log x

(f) y =log x

x

(g) y = log(1 + x2)

Answer (a) x = −1에서 극솟값 − 1e

(b) x = 0에서 극솟값 0,

x = 2에서 극댓값 4e2

(c) x = − 1√2에서 극솟값 − 1√

2e

x = 1√2에서 극댓값 1√

2e

(d) x = − log 2에서 극솟값 3

(e) x = 1에서 극솟값 1

(f) x = e에서 극댓값 1e

(g) x = 0에서 극솟값 0

6. x ≥ 0에서 다음 부등식이 성립함을 보여라.

(a) 1 + x+x2

2≤ ex(¶) (b) x− x2

2≤ log(1 + x)


Solution (a) f(x) = ex − 1− x− x2

2라고 하자.

f ′(x) = ex − 1− x, f ′′(x) = ex − 1

이므로 x > 0일 때 f ′′(x) > 0 이다. 따라서 f ′은 순증가하고 f ′(x) > f ′(0) = 0이다. 이는

x > 0에서 f가 순증가함을 의미하므로 f(x) > f(0) = 0이다. 따라서 부등식이 성립한다.

7. 다음 부등식이 성립함을 보여라.

(a) x, y ≥ 0이면 |ex − ey| ≥ |x− y|

(b) x, y ≥ 1이면 | log x− log y| ≤ |x− y|

33

Answer 평균값정리를 이용하여 보인다.

8. 방정식 log x = x+ a은 몇 개의 실근을 갖는지 판단하여라.

Answer a < −1 :2개, a = −1 :1개, a > −1 :0개

9. 도함수가 자기자신의 상수배가 되는 함수는 지수함수 뿐임을 보여라. 즉, 함수 y = f(x)

가 y′ = ky을 만족하면 f(x) = Cekx임을 보여라.


Solution f ′(x) = kf(x)라고 하자. g(x) = f(x)/ekx = f(x)e−kx라고 하면

g′(x) = f ′(x)e−kx + f(x)(−ke−kx)

= (f ′(x)− kf(x))e−kx = 0

이다. 따라서 g(x) = C이다. 다시 말해서 f(x) = Cekx이다.

10. 온도가 y0인 물체를 온도가 A인 공간에 놓았을 때 시간 t에서의 물체의 온도 y = f(t)는

뉴턴의 냉각법칙에 의하면 다음과 같이 주어진다.

y = f(t) = A+ (y0 −A)e−kt, k > 0

y′을 y를 이용하여 나타내고 이 식이 의미하는 바를 설명하여라.(¶)


Solution 지수의 미분법칙을 이용하면

y′ = −k(y0 −A)e−kt = −k(y −A)

을 얻는다. 따라서 물체의 온도가 공간의 온도보다 낮으면 (y < A)

y′ = −k(y −A) > 0

이므로 물체의 온도는 올라가고, 물체의 온도가 공간의 온도보다 높으면(y > A)

y′ = −k(y −A) < 0

이므로 물체의 온도는 내려간다. 또한 물체의 온도의 변화율 y′은 물체와 공간의 온도

차이 (y −A)에 비례한다.

11. 포도주의 가치는 시간이 지남에 따라 다음 함수에 따라 증가한다. (단위 : 만원)

v(t) =100

1 + e−0.2t

연이율 5%의 연속복리인 경우 최적보유기간을 구하여라.

Answer 5 log 3 ; 5.49년

34

12. LTE 가입자가 현재 10(단위 : 만명)이라 한다. t개월 후 가입자의 수를 y(t)라고 할 때

y(t)는 다음 방정식을 만족한다.12

dy

dt= 0.001y(100− y)

(a) 가입자 수가 가장 빨리 증가할 때의 가입자 수는 얼마인가?

(b) 함수 y = f(t) =100

1 + 9e−0.1t는 주어진 식을 만족함을 보여라.

(c) 가입자 수가 50 만이 되는 것은 약 몇 개월 후인가?

(d) y′′을 y를 이용하여 나타내어라.

Answer (a) 50 (만명) (c) t = 10 log 9 ; 22 (d) y′′ = 2 · 10−6y(50− y)(100− y)

연습문제 2.7

1. 다음에 주어진 함수에 대하여

(i) 함수가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하여라.

(ii) 극댓값과 극솟값을 구하여라.

(iii) 위로 볼록인 구간과 아래로 볼록인 구간을 구하여라.

(a) f(x) = x4 + 4x3 + 11

(b) f(x) = 3x5 − 5x3 + 3

(c) f(x) =x3

x2 + 1

(d) f(x) =x√x− 2

(e) f(x) = x− 6√x

(f) f(x) = |x2 − 1|

Answer (a) (i) 증가구간 [−3,∞), 감소구간 (−∞,−3] (ii) x = −3에서 극솟값 −16

(iii) 위로 볼록 [−2, 0], 아래로 볼록 (−∞,−2], [0,∞)

(b) (i) 증가구간 (−∞,−1], [1,∞), 감소구간 [−1, 1]

(ii) x = −1 에서 극댓값 5, x = 1에서 극솟값 1

(iii) 위로 볼록 (−∞,−1/√

2], [0, 1/√

2], 아래로 볼록 [1/√

2,∞), [−1/√

2, 0]

(c) (i) 증가구간 (−∞,∞) (ii) 극값 없음

(iii) 위로 볼록 [−√

3, 0], [√

3,∞), 아래로 볼록 (−∞,−√

3], [0,√

3]

(d) (i) 증가구간 [4,∞) 감소구간 (2, 4] (ii) 극솟값 f(4) = 2√

2

(iii) 위로 볼록 [8,∞), 아래로 볼록 (2, 8]

(e) (i) 증가구간 [9,∞), 감소구간 [0, 9] (ii) x = 9에서 극솟값 −9

(iii) 아래로 볼록 [0,∞)

12로지스틱 방정식(logistic equation)이라 한다.

35

(f) (i) 증가구간 [−1, 0], [1,∞), 감소구간 (−∞,−1], [0, 1]

(ii) x = 0에서 극댓값 1, x = ±1에서 극솟값 0

(iii) 위로 볼록 [−1, 1], 아래로 볼록 [1,∞), (−∞,−1]

2. 다음 함수의 그래프를 그려라.

(a) y = e−x2

(b) y =1

1 + e−x

(c) y = log(x2 + 1)

(d) y =log x

x

Answer 생략

3. 삼차함수 f(x) = ax3 + bx2 + cx + d의 x절편이 x = α, β, γ일 때 이 함수의 유일한

변곡점은 x = α+β+γ3 임을 보여라.

Answer f(x) = a(x− α)(x− β)(x− γ)이므로

f ′′(x) = 6ax− 2a(α+ β + γ) = 0 ⇒ x =α+ β + γ

3

이다. x = α+β+γ3 을 기준으로 f ′′의 부호가 바뀌므로 x = α+β+γ

3 은 유일한 변곡점이다.

4. 함수 y = f(x)의 도함수가 f ′(x) = (x − 1)2(x − 3)이다. f가 극값을 갖는 x의 값을

구하여라. 변곡점이 있으면 변곡점의 x 좌표를 구하여라.

Answer x = 3에서 극솟값, 변곡점의 x좌표 x = 1, 73

5. 구간 I에서 정의된 두번 미분가능한 함수 f, g가 아래로 볼록이라 한다. 다음 명제가 성립

함을 보여라. 단, f, g의 도함수와 이계도함수는 0이 되는 점이 없다고 가정한다.

(a) f + g도 아래로 볼록이다.

(b) f, g가 양의 값을 갖고 f, g가 증가함수이면 fg도 아래로 볼록이다.

(c) f가 양의 값을 갖는다면 [f(x)]2도 아래로 볼록이다.

(d) f가 증가함수이면 f(g(x))도 아래로 볼록이다.

Answer 생략

6. 다음 극한이 존재하는 경우 극한값을 구하고 존재하지 않는 경우는 ND 로 나타내어라.

(a) limx→0

ex − 1− xx2

(b) limx→0

√x log x

(c) limx→1

log x

x− 1

(d) limx→∞

x−1/n log x (n은 자연수)

(e) limx→−∞

x2ex

(f) limx→∞

x(log(x+ 1)− log(x− 1))

Answer (a) 1/2 (b) 0 (c) 1 (d) 0 (e) 0 (f) 2

7. 아래의 그림과 같이 빗변의 길이가 1이고 밑변의 길이가 x, 높이가 y인 직각삼각형에서

다음 극한값을 구하여라.

36

1

xΘ

y

(a) limθ→0

1− xθ2

(b) limθ→0

1− x2

θ2(c) lim

θ→0

1− x3

θ2

Answer (a) 12 (b) 1 (c) 3

2

8. 두번 미분가능한 함수 y = f(x)에 대하여 다음 극한값이 존재한다고 한다.

limx→0

f(2 + 3x) + f(2− 2x)

x2(1)

(a) f(2), f ′(2)의 값을 구하여라.

(b) f ′′(2) = 3일 때 극한값 (1)을 구하여라.

Answer (a) f(2) = 0, f ′(2) = 0 (b) 39/2

9. 임의의 양수 c > 0에 대하여 limx→0+

xc log x = 0임을 보여라.

Answer 생략

10. 다음 식이 성립하는 상수 a, b를 구하여라.

limx→0

( sin 2x

x2+ a+

b

x

)= 1

Answer a = 1, b = −2

11. 경제상황을나타나는지표를함수 y = f(x)로나타낼수있다고하자.다음조건이성립할

때 x = 2에서 어떤 현상이 나타나는지 설명하여라.

(a) f ′(2) = 3, f ′′(2) = −2

(b) f ′(2) = 3, f ′′(2) = 2

(c) f ′(2) = −3, f ′′(2) = −2

(d) f ′(2) = −3, f ′′(2) = 2

(e) f ′(2) = 0, f ′′(2) = −2

(f) f ′(2) = 0, f ′′(2) = 2

Answer (a) 경제가 좋아지지만 그 속도는 줄어들고 있다. 호황기 후반

(c) 경제가 나빠지고 있고 나빠지는 속도도 빨라지고 있다.

(e) 경제가 호황기에서 불황기로 전환되는 시점

37

연습문제 3.1

1. 다음 함수의 역도함수를 하나 구하여라.

(a)√x+

1√x

(b)x3 + 3x+ 4

x2

(c) sin kx

(d) sec2 kx

(e) e2x

(f) e−2x + 2x

Answer (a) 23x

3/2 + 2√x

(b) x2

2 + 3 log |x| − 4x

(c) − 1k cos kx

(d) 1k tan kx

(e) 1k sec kx

(f) 12e

2x

(g) − 12e−2x + x2

2. 다음 부정적분을 구하여라.

(a)

∫ (√x+

1√x

)dx

(b)

∫x3 + 3x+ 4

x2dx

(c)

∫sin kx dx

(d)

∫sec2 kx dx

(e)

∫e2x dx

(f)

∫(e−2x + 2x) dx

Answer (a) 23x

3/2 + 2√x+ C

(b) x2

2 + 3 log |x| − 4x + C

(c) − 1k cos kx+ C

(d) 1k tan kx+ C

(e) 1k sec kx+ C

(f) 12e

2x + C

(g) − 12e−2x + x2 + C

3. 다음 식이 성립함을 미분을 이용하여 보여라.

(a)

∫x√

x2 + 1dx =

√x2 + 1 + C

(b)

∫(3x− 2)−2 dx = − 1

3(3x− 2)+ C

(c)

∫x cosx dx = x sinx+ cosx+ C

(d)

∫e√x

√xdx = 2e

√x + C

(e)

∫(1− x)e−x dx = xe−x + C

(f)

∫2xex

2

dx = ex2

+ C

(g)

∫2 log x

xdx = (log x)2 + C

(h)

∫(log x+ 1) dx = x log x+ C

Answer 오른쪽 함수를 미분하면 왼쪽 부정적분의 피적분함수가 됨을 보인다.


38

(a)

∫(√s+ 3√s) ds

(b)

∫ (4 cos

x

2

)dx

(c)

∫(e2x + e−x) dx

(d)

∫(√e)x dx

(e)

∫22x dx

(f)

∫(√

2)x dx

(g)

∫x4

x2 + 1dx−

∫1

x2 + 1dx

(h)

∫(cosx+ 1)2 dx+

∫(sinx− 1)2 dx

Answer (a) 23s

3/2 + 34s

4/3 + C

(b) 8 sin x2 + C

(c) 12e

2x − e−x + C

(d) 2e12x + C

(e) 22x

2 log 2 + C

(f) 2log 22x/2 + C

(g) 13x

3 − x+ C

(h) 3x+ 2 sinx+ 2 cosx+ C

5. 함수 f가 다음 조건을 만족할 때 f를 구하여라.

(a) f ′(x) =√x− 3x2, f(1) = 7

(b) f ′(x) = cosx+ sinx, f(0) = 2

(c) f ′(x) = 4e2x + 1, f(1) = 3

(d) f ′(x) = 3x2 +1

x, x > 0, f(1) = 3

(e) f ′′(x) = 6x+ 12x3, f(0) = 3, f ′(0) = 2

(f) f ′′(x) = 2x− 4

x2, f(1) = 2, f ′(1) = 3

(g) f ′′(x) = cosx+ sinx, f(0) = 2, f ′(0) = 4

(h) f ′′(x) = ex/2 + e−x, f(0) = 2, f ′(0) = 1

Answer (a) f(x) = 23x

3/2 − x3 + 223

(b) f(x) = sinx− cosx+ 3

(c) f(x) = 2e2x + x+ 2− 2e2

(d) f(x) = x3 + log x+ 2

(e) f(x) = x3 + 35x

5 + 2x+ 3

(f) f(x) = 13x

3 + 4 log |x| − 2x+ 113

(g) f(x) = − cosx− sinx+ 5x+ 3

(h) f(x) = 4ex/2 + e−x − 3

6. 연속함수 y = f(x)가 다음 식을 만족할 때 함수 f(x)를 구하여라.

(a)

∫xf(x) dx = x4 − 3x2 + C

(b)

∫f(x)

xdx = x2 + 2

√x+ C

(c)

∫f(2x) dx = e2x + e−2x + C

(d)

∫f(√x) dx = x2 − 2

√x+ C, x ≥ 0

Answer (a) f(x) = 4x2 − 6

(b) f(x) = 2x2 +√x

(c) f(x) = 2(ex − e−x)

(d) f(x) = 2x2 − 1x

7. y = f(x)는 도함수 f ′(x)가 연속인 함수이고 F (x)는 f(x)의 역도함수라고 한다. 모든 x

에 대하여 F (x) = xf(x)가 성립하면 f(x) 는 상수함수임을 보여라.

39

Answer 모든 x에 대하여 F ′(x) = (xf(x))′ ⇒ f(x) = f(x) + xf ′(x)이므로 x 6= 0이면 f ′(x) = 0

이다. y = f(x) 는 연속함수이므로 f(x)는 상수함수이다.

8. F (x)는 미분가능한 함수 f(x)의 역도함수이고 다음 관계식이 성립한다.

F (x) = xf(x) + x4 − 3x2 + 4

f(0) = 3일 때 f(x)를 구하여라.

Answer f(x) = 6x− 43x

3 + 3

연습문제 3.2

1. 주어진 치환을 이용하여 부정적분을 구하여라.

(a)

∫sin 2x dx, u = 2x

(b)

∫x cos(x2) dx, u = x2

(c)

∫12(3x− 2)−3 dx, u = 3x− 2

(d)

∫6x2(x3 + 1)2 dx, u = x3 + 1

(e)

∫1√

2− 7tdt, u = 2− 7t

(f)

∫3t2√

1− 9t3dt, u = 1− 9t3

(g)

∫ √t sin√t3 dt, u =

√t3

(h)

∫1√x

(1 +√x)2 dx, u = 1 +

√x

(i)

∫1

x2sec2

1

xdx, u =

1

x

(j)

∫1

x2e1x

dx, u =1

x

(k)

∫(log x)2

xdx, u = log x

Answer (a) − 12 cos 2x+ C

(b) 12 sin(x2) + C

(c) −2 (3x− 2)−2

+ C

(d) 23 (x3 + 1)3 + C

(e) − 27

√2− 7t+ C

(f) − 29

√1− 9t3 + C

(g) − 23 cos(

√t3) + C

(h) 23 (1 +

√x)3 + C

(i) − tan 1x + C

(j) e−1x + C

(k) 13 (log x)3 + C

40

2. (log |f(x)|)′ = f ′(x)f(x)임을 이용하여 다음 부정적분을 구하여라.

(a)

∫x2

x3 + 1dx (b)

∫e−t

2e−t + 1dt (c)

∫cot t dt

Answer (a) 13 log |x3 + 1|+ C (b) − 1

2 log(2e−t + 1) + C (c) log | sin t|+ C

3. 부분적분법을 이용하여 다음 부정적분을 구하여라.

(a)

∫x sin 2x dx

(b)

∫x

exdx

(c)

∫e−x cosx dx

(d)

∫x sec2 x dx

(e)

∫log x

x2dx

(f)

∫log x√xdx

Answer (a) 14 sin 2x− 1

2x cos 2x+ C

(b) −xe−x − e−x + C

(c) − 12e−x cosx+ 1

2e−x sinx+ C

(d) x tanx+ log | cosx|+ C

(e) − log xx −

1x + C

(f) 2√x log x− 4

√x+ C


(a)

∫x√x− 2 dx

(b)

∫x2√x3 + 2 dx

(c)

∫sin√x√

xdx

(d)

∫1

x√

log xdx

(e)

∫3 + 2x√

1 + 3x+ x2dx

(f)

∫ex

ex + 1dx

Answer 생략


(a)

∫(log x)2 dx

(b)

∫ √t log t dt

(c)

∫cos(log t) dt

(d)

∫sin√x dx

(e)

∫e√x dx

(f)

∫x3ex

2

dx

Answer 생략

6. 자연수 n에 대하여 다음 식이 성립함을 보여라.∫xne−x dx = −xne−x + n

∫xn−1e−x dx

41

Answer 생략

7. 부분적분을 이용하여 다음 식이 성립함을 보여라.∫f(x) dx = xf(x)−

∫xf ′(x) dx

Answer 생략

연습문제 3.3

1. 다음의 미분방정식을 변수분리법을 이용해서 풀어라.

(a) y′ =t2

y

(b) ty′ = 4y

(c) y′ = y sin t

(d) (1− t2)y′ = 2y

(e)√ty′ = ey+

√t

(f) y′ =e2t−y

et+y

(g) y′ = 1 + t+ y + ty

Answer (a)1

2y2 =

1

3t3 + C

(b) y = Ct4

(c) y = Ce− cos t

(d) y = C1 + t

1− t

(e) e−y + 2e√t = C

(f) y =1

2log(

2et + C)

(g) log |1 + y| = t+1

2t2 + C

2. 다음 초깃값문제를 풀어라. 단, 양함수 꼴로 쓸 수 있는 경우는 양함수 꼴로 나타내어라.

(a) y′ = yet, y(0) = 2e

(b) 2yy′ =t√

t2 − 16, y(5) = 2

(c) y′ = 6e2t−y, y(0) = log 5

(d) y′ =1− 2t

y, y(1) = −2

(e) y′ =2t+ sec2t

2y, y(0) = −5

(f) ty′ + y = y2, y(1) = −1

Answer (a) y = 2eet

(b) y =√

1 +√t2 − 16

(c) y = log (3e2t + 2)

(d) y = −√−2t2 + 2t+ 4

(e) y = −√t2 + tan t+ 25

(f) y = 11−2t

3. 어떤 인구의 변화는 다음과 같은 미분 방정식으로 표현된다.

dP

dt= 0.8P (1− P

5600)

42

(a) 어떠한 P의 값에 대해서 인구가 증가하는가?

(b) 어떠한 P의 값에 대해서 인구가 감소하는가?

(c) 인구증가율이 가장 클 때의 인구는 얼마인가?

Answer (a) 0 < P < 5600 (b) P > 5600 (c) P = 2800

§ (4.–5) 반감기

세슘, 탄소-14, 우라늄과 같은 방사성 물질들은 불안정하여 안정적인 물질로 붕괴된다.

방사성 물질의 상대붕괴율1

m

dm

dt

는 상수임이 알려져 있다. 다시 말하면, 시각 t에서 방사성 물질의 양 m(t)는 다음 미분방

정식을 만족한다.dm

dt= −km (k : 양의 실수 )

방사성 물질의 양이 반이 되는데 걸리는 시간을 반감기(half life)라고 한다.

4. 세슘-137(cesium) 의 반감기는 30년이다. 지금 100mg의 세슘 샘플이 있다고 할 때,

(a) t년 후에 남아 있는 세슘의 질량을 구하여라.

(b) 100년 후에는 얼마나 많은 양의 세슘 샘플이 남아 있는가?

(c) 1mg 만이 남게 되는 것은 몇 년 후인가?

Answer (a) 100 · 2−t/30mg (b) 약 100e−10/3 ; 9.92mg (c) 30 log 100log 2 ; 199.3년

5. 토리노의수의는길이약 14피트,폭약 3.5피트의직포로만들어져있는데손과발에상처

입은 사람의 형상이 찍혀 있고 혈흔과 땀이 분석되었다.

가톨릭교회에서는이를예수의형상이라주장하고있다. 1988년행해진실험결과방사성

탄소-14의 92 ∼ 93 %만이 이 수의에 잔존하는 것으로 밝혀졌다. 이 실험 결과에 의하면

가톨릭 교회의 주장은 근거가 있다고 할 수 있는가? 탄소-14의 반감기는 5700년이다. (¶)

Answer 예수를 감쌌던 수의가 될 수 없다.

Solution y0을 원래 존재하던 방사성 탄소 C-14의 양, y(t)를 t년 후의 방사성 탄소

C-14의 양이라 하면

y(t) = y0e−kt

43

이다. 방사성 탄소 C-14의 반감기가 5700년이므로

y0e−5700k =

1

2y0 ⇒ e−5700k =

1

2

가 성립한다. 즉,

k =log 2

5700; 0.00012

이다. 따라서y(t)

y0= e−0.00012t

이므로 t에 대하여 풀면

t = − 1

0.00012log(y(t)

y0

)이다.방사성탄소 C-14의 92%또는 93%만이이수의에잔존한다면,다시말해서 y(t)/y0 =

0.92 또는 y(t)/y0 = 0.93이라면

e−0.00012t = 0.92 ⇒ t = − log 0.92

0.00012; 695

e−0.00012t = 0.93 ⇒ t = − log 0.93

0.00012; 605

이다. 이 조사는 1988년에 시행되었으므로 이 천의 연대는 1293년에서 1383 년 사이의

것으로 판정된다. 예수를 감쌌던 수의가 될 수 없다는 결론이다.

6. 바다의 수면 아래 깊이 x미터 지점의 빛의 강도 I는 미분방정식

dI

dx= −1.4I

를 만족한다.

(a) 수면에서의 빛의 강도를 I0라 할 때, 빛의 강도가 절반이 되는 깊이는 얼마인가?

(b) 10m 지점에서의 빛의 강도는 I0의 몇 배인가?

(c) 표면에서의 빛의 강도의 1%가 되는 깊이는 얼마인가?

Answer (a) log 21.4 ;0.495m (b) e−14 ; (8.32× 10−7) 배 (c) log 100

1.4 ;3.29m

7. 설탕이 물에 녹을 때, 아직 녹지 않은 설탕의 양을 A라 하면, A는 미분방정식

dA/dt = −kA (k > 0)

을만족시킨다고한다.설탕을물에넣은지 1분만에 25%의설탕이녹았다고할때,절반의

설탕이 녹는데 걸리는 시간은 얼마인가?

Answer log 2log 4−log 3 ; 2.4분

8. 냉장고에서 꺼낸지 10분 된 음료수의 온도가 8◦C 이다. 10분 후 다시 재 보았더니 음료수

의 온도는 12◦C이었다면, 냉장고 내부의 온도는 얼마이겠는가? 단, 방의 온도는 20◦C를

유지하고 있다고 한다.(¶)

44

Answer 2◦C

Solution t분 후 음료수의 온도를 y(t)라고 하자. 그러면

y′ = k(y − 20), y(10) = 8, y(20) = 12

이 성립한다. 미분방정식을 풀면 y = 20 + Cekt이므로 주어진 조건을 이용하면

y(10) = 20 + Ce10k = 8, y(20) = 20 + Ce20k = 12

이므로 e10k = 23 , C = −18을 얻는다. 따라서 냉장고의 내부 온도는 y(0) = 20− 18 =

2◦C 이다.

9. 온도가 20◦C인방안에놓여있던온도계를 4◦C인집밖으로가지고나갔다. 1분이지났을

때, 온도계는 12◦C를 가리키고 있었다.

(a) 1분이 더 지났을 때, 온도계는 몇 도를 가리키고 있을까?

(b) 6◦C를 가리킬 때는 집 밖으로 나간지 몇 분 후인가?

Answer (a) 8◦C, (b) 3 분 후

10. 함수 P (t)를 학습 시간에 따른 기술의 습득 정도라고 하자. 이 함수 P의 해곡선을 학습

곡선(learning curve)이라 한다. 함수 P가 다음의 미분방정식에 의해 주어진다고 하자.

dP

dt= k(M − P )

여기서 k,M은 양수인 상수이다.

(a) 미분방정식을 풀고, 그 해를 이용해서 학습 곡선을 그려보아라. 단, 0 < P (0) < M

이다.

(b) 어떤 공장의 생산 라인에 두 명의 새 노동자가 투입되었다. A는 첫 시간에 부품 25

개를 조립하였고, 두 번째 시간에는 45개를 조립하였다. B 는 첫 시간에 35개를 조

립하였고, 두 번째 시간에는 50개를 조립하였다. P (0) = 0이라 가정하고 이 모형과

(a)의 결과를 이용하여 둘 다 숙련공이 되었을 때 누가 더 많은 부품을 조립할 수

있는지 판단하여라.

Answer (a) P (t) = M + (P (0)−M)e−kt (b) A

11. (a) 연이율 100r%이고,이자는연속복리로계산되는계좌에 A0원을입금하였다.그리고

일년에 Q원을 입금하는데 모형을 간단하게 하기 위해서, 이 입금 역시 (일년에 몇

회 일어나는 대신) 연속적으로 이루어진다고 가정하자. A(t)를 t년 후에 이 계좌의

가치라고 할 때, 이 함수가 만족하는 초깃값문제를 구하여라.

(b) K씨는 결혼 20주년에 세계일주 여행을 계획하고 있다. 20년 후 세계여행 비용은

5000만원으로 예상된다. K씨의 계획은 결혼식 날부터 일년에 Q원씩을 연속적으로

입금하고 20주년 되는 날 계좌의 모든 금액을 인출하는 것이다. 연 이율이 8%일 때,

K의 계획이 성공적이려면 Q는 얼마이어야 하는가?

45

Answer (a)dA

dt= rA+Q, A(0) = A0 (b) 1,011,882 원

12. 몸무게가 64kg 삼순이는 하루 섭취열량을 1800kcal로 제한하는 다이어트를 시작하였다.

삼순이의 기초대사량(basal metabolic rate)13은 1200kcal 이고 하루에 1kg 당 15kcal

의 에너지가 소모된다. 1kg의 지방은 9000kcal의 에너지로 변환된다고 한다.

(a) 다이어트를 시작하고 t일 후 삼순이의 몸무게를 y(t)라고 할 때 y(t)가 만족하는

미분방정식을 세우고 해를 구하여라.

(b) 삼순이의 몸무게가 처음으로 58kg 이하가 되는 것은 며칠 후인가? 다이어트를 계속

한다면 삼순이의 몸무게는 어떻게 되겠는가?

Answer (a)dy

dt=

1

15− 1

600y, y = 24e−t/600 + 40

(b) 600 log(4/3) ; 180, limt→∞

y(t) = 40

연습문제 3.4

1. 다음 극한값을 정적분을 이용하여 나타내어라.(¶)

(a) limn→∞

1

n

{(n+ 1

n

)+(n+ 2

n

)+ · · ·+

(n+ n

n

)}(b) lim

n→∞

1

n

{(nn

)2+(n+ 2

n

)2+ · · ·+

(n+ 2n− 2

n

)2}Answer (a)

∫ 1

0(1 + x)dx (b) 1

2

∫ 2

0(1 + x)2 dx

Solution (a) f(x) = 1+x라고하면구간의크기 ∆x = 1/n이고 x∗k = k/n인경우이다.

x0 = 0, xn = 1이므로

limn→∞

1

n

{(n+ 1

n

)+(n+ 2

n

)+ · · ·+

(n+ n

n

)}= limn→∞

n∑k=1

1

n

(1 +

k

n

)=

∫ 1

0

(1 + x) dx

(b) f(x) = (1 + x)2이라 하자. 구간의 크기를 ∆x = 2/n라고 하면 x∗k = 2(k− 1)/n 이고

x0 = 0, xn = 2이므로

limn→∞

1

n

{(nn

)2+(n+ 2

n

)2+ · · ·+

(n+ 2n− 2

n

)2}=

1

2limn→∞

n∑k=1

2

n

(1 +

2(k − 1)

n

)2=

1

2limn→∞

n∑k=1

∆x(

1 + x∗k

)2=

1

2

∫ 2

0

(1 + x)2 dx

13잠에서 깨어난 상태에서 절대안정을 유지할 때의 대사를 기초대사라 하며, 이 때 개체가 소비하는 에너지량을

기초대사량이라 한다.

46

2. 다음 극한값을 정적분을 이용하여 나타내어라.

47

(a) limn→∞

n−1∑k=0

k3

n4

(b) limn→∞

n∑k=1

1

n

(1 +

k3

n3

)(c) lim

n→∞

n∑k=1

1

n

(n+ k)3

n3

(d) limn→∞

n∑k=1

1

n

(1 +

(2k)3

n3

)Answer (a)

∫ 1

0x3 dx (b)

∫ 1

0(1 + x3) dx (c)

∫ 1

0(1 + x)3 dx (d) 1

2

∫ 2

0(1 + x3) dx


limn→∞

(1

√n√n+ 1

+1

√n√n+ 2

+ · · ·+ 1√n√n+ n

)

Answer 2(√

2− 1)

4. 역함수가 존재하는 연속함수 y = f(x)에 대하여 다음 조건이 성립한다.

f(0) = 0, f(a) = b,

∫ a

0

f(x)dx = A, a > 0, b > 0

(a) A의 범위를 구하여라.

(b) g = f−1일 때

∫ b

0

g(x) dx를 구하여라.

Answer (a) 0 < A < ab (b) ab−A

5. 다음 정적분을 구하여라.(1절의 연습문제 3 참고)

(a)

∫ 1

0

(√s+ 3√s) ds

(b)

∫ 2

1

(y − 1

y2

)dy

(c)

∫ 3

1

6x2(

1− 1

x

)dx

(d)

∫ π

0

(4 cos

x

2

)dx

(e)

∫ 1

0

(e2x + e−x) dx

(f)

∫ 2

0

(√

2)x dx

(g)

∫ 2

1

(2x+

1

2x

)dx

Answer (a) 1712

(b) 1

(c) 28

(d) 8

(e) e2

2 −1e + 1

2

(f) 2log 2

(g) 3 + log 22

6. 다음 정적분을 구하여라.

(a)

∫ 2

0

(xet + 1) dx (b)

∫ 2

0

(xet + 1) dt

Answer

48

2et + 2 (a)(b) (e2 − 1)x+ 2

7. f가 구간 [a, b] (a < b)에서 연속인 함수이고

∫ b

a

f(x) dx = 0이면 f(c) = 0인 c ∈ [a, b]가

존재함을 보여라.

Answer F (x) =∫ xaf(t) dt라고 하면 F (a) = F (b) = 0이다. 롤의 정리에 의하여 F ′(c) = 0 인

c ∈ (a, b) 가 존재하고 미적분학의 기본정리에 의하여 f(c) = F ′(c) = 0인 c ∈ (a, b)가

존재한다.

8. 다음 정적분의 값을 구하여라.

(a)

∫ π

0

| cosx| dx

(b)

∫ 4

0

(√x+ 1)2 dx+

∫ 4

0

(√x− 1)2 dx

(c)

∫ 3

1

x−2(x+ x−1) dx

(d)

∫ 1

−1

1

2 + |x|dx

(e)

∫ 2

−1|x− x2| dx

(f)

∫ 2

0

x3

x2 + x+ 1dx+

∫ 0

2

1

x2 + x+ 1dx

Answer (a) 2

(b) 24

(c) log 3 + 4/9

(d) 2 log(3/2)

(e) 11/6

(f) 0

9. 구간 [−3, 3]에서 함수 y = f(x)의 그래프는 y축에 대하여 대칭이고 다음과 같다.

1 2 3-1-2-3x

y

(a)

∫ 1

0

f(t) dt = 0.5,

∫ 2

1

f(x) dx = −1.5,

∫ 3

2

f(x) dx = 2.5일 때 다음 값을 구하여라.

i.

∫ 1

−1f(x) dx ii.

∫ 2

−1f(x) dx iii.

∫ 3

0

f(x) dx iv.

∫ 1

−3f(x) dx

(b) F (x) =

∫ x

−3f(x) dx 에 대하여 F (x) 가 극댓값을 갖는 x의 값과, 극솟값을 갖는 x

의 값을 구하여라.

(c) F (x)가최댓값을갖는 x의값과,최솟값을갖는 x의값을구하고최댓값과최솟값을

구하여라.

49

Answer (a) (i) 1 (ii) −0.5 (iii) 1.5 (iv) 2

(b) x = −2, 1에서 극댓값, x = −1, 2에서 극솟값

(c) x = 3에서 최댓값 3, x = −3 에서 최솟값 0

10. 1절의 연습문제 3의 결과를 이용하여 다음 정적분을 구하여라.

(a)

∫ 1

0

x√x2 + 1

dx

(b)

∫ 0

−1(3x− 2)−2 dx

(c)

∫ π/2

0

x cosx dx

(d)

∫ 4

1

e√x

√xdx

(e)

∫ log 2

0

(1− x)e−x dx

(f)

∫ √2

0

2xex2

dx

(g)

∫ e

1

2 log x

xdx

(h)

∫ e

1

(log x+ 1) dx

Answer (a)√

2− 1

(b) 110

(c) π2 − 1

(d) 2e2 − 2e

(e) log 22

(f) e2 − 1

(g) 1

(h) e

11. 주어진 구간에서 다음 곡선과 x축 사이의 영역의 넓이를 구하여라.

(a) y =√x+ x, 0 ≤ x ≤ 4

(b) y = cosx− sinx, 0 ≤ x ≤ π4

(c) y = ex − 1− x, −1 ≤ x ≤ 1

(d) y = e2x − ex, 0 ≤ x ≤ log 2

Answer (a) 403 (b)

√2− 1 (c) e− 2− 1

e (d) 12

12. 두 곡선 y = x2, y = 4x− x2으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.(¶)

-1 2x

2

4

y

y � x2

y � 4 x - x2

Answer 8/3

Solution 두 곡선이 만나는 x 좌표를 구하면

x2 = 4x− x2 ⇒ 2x2 − 4x = 0 ⇒ x = 0, 2

이다. 이 구간에서 x2 ≤ 4x− x2이므로 구하는 넓이는 다음과 같다.∫ 2

0

(4x− x2 − x2) dx =

∫ 2

0

(4x− 2x2) dx

=[2x2 − 2x3

3

]20

= 8− 16

3=

8

3

13. 다음 곡선 또는 직선에 의하여 만들어지는 영역의 넓이를 구하여라.

50

(a) y = 5x− x2, y = x

(b) y =√x+ 3, y = (x+ 3)/2

(c) y = x− 1, y2 = 2x+ 6

(d) x = 2y2, x = 0, y = 3

(e) x = 2y2, x = 4 + y2

(f) xy2 = 1, y = x, y = 8x

Answer (a) 323 (b) 4

3 (c) 18 (d) 18 (e) 323 (f) 3

4

14. 주어진 구간에서 두 곡선 사이의 넓이를 구하여라.

(a) y = x2, y = x+ 2, −2 ≤ x ≤ 2

(b) y = e2x, y = ex+1, 0 ≤ x ≤ log 5

(c) y = sec2 x, y = 8 cosx, −π3 ≤ x ≤π3

(d) y = sec2 x, y = tan2 x, −π4 ≤ x ≤π4

14

Answer (a) 193 (b) −6e+ e2 + 13 (c) 6

√3 (d) π

2

15. 다음 부등식에 의하여 만들어지는 영역의 넓이를 구하여라.

(a) y ≤ 1/x2, x ≤ 2, y ≤ x, y ≥ 0

(b) x2 + y2 ≤ 1, y ≥ (x− 1)2

(c) y ≥ x2/4, y ≤ x, y ≤ 1

(d) y ≤ x2, x+ y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0

Answer (a) 1 (b) π4 −

13 (c) 5

6 (d) 56

16. f(x) = x3−x2 +x의 역함수가 존재함을 보여라. g(x) = f−1(x)라고 할 때, 1사분면에서

두 곡선 y = f(x)와 y = g(x) 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

Answer 16

17. 함수 f(x) =∫ x0

20t(t− 1)(t− 2) dt의 극값을 구하여라.

Answer x = 0, 2에서 극솟값 0, x = 1에서 극댓값 5

18. 연속함수 f에 대하여 F (x) =∫ xaf(t) dt일 때 다음을 f를 이용하여 나타내어라.

(a)d

dx

[∫ x

−xf(t) dt

](b)

d

dx

[∫ √xa

f(t2) dt

]

Answer (a) f(x) + f(−x) (b) f(x)2√x

19. f(x) =∫ x2

1√1+t4

dt일 때

14Hint. 1 + tan2 x = sec2 x

51

(a) f ′(2)를 구하여라.

(b) f−1가 존재함을 보여라.

(c) (f−1)′(0)을 구하여라.

Answer (a) f ′(2) = 1√17

(b) f ′(x) = 1√1+x4

> 0이므로 f는 순증가, 따라서 f−1이 존재한다.

(c)√

17

연습문제 3.5

1. 다음 정적분을 구하여라. ∫ 3

−3(2 + x)

√9− x2 dx

Answer 9π

2. 다음 정적분을 구하여라.

(a)

∫ √π0

x cos(x2) dx

(b)

∫ 2

1

1

t2cos

π

tdt

(c)

∫ 2

0

√1 + 4x dx

(d)

∫ 1

0

x2(2 + x3)4 dx

(e)

∫ a

0

x√a2 − x2 dx, a > 0

(f)

∫ 1

0

x√

1− x4 dx

(g)

∫ a

−a

sinx cosx

1 + x4dx

Answer (a) 0

(b) −1/π

(c) 13/3

(d) 211/15

(e) a3/3

(f) π/8

(g) 0

3. 하루 동안의 온도가 다음과 같은 함수로 주어진다고 한다.

f(t) =

20− 6 sin πt

12 , 0 ≤ t ≤ 6

20− 6 cos π(t−6)9 , 6 ≤ t ≤ 15

20 + 6 cos π(t−15)18 , 15 ≤ t ≤ 24

이 날의 평균온도는 얼마인가? (¶)

Answer 20.5 ◦C

Solution 온도의 그래프를 그려 보면 다음과 같다.

52

3 6 9 12 15 18 21 24t

14

26

C

각 구간에서 정의된 함수를 적분하여 보자. 구간 [0, 6]에서는∫ 6

0

sinπt

12dt =

12

π

[− cos

πt

12

]60

=12

π(− cos

π

2+ cos 0) =

12

π

이고 구간 [6, 15]에서는∫ 15

6

cosπ( t− 6

9

)dt =

∫ 9

0

cosπ( t

9

)dt

=9

πsinπ

( t9

)∣∣∣90

= 0

이다. 마지막으로 구간 [15, 24]에서∫ 24

15

cosπ( t− 15

18

)dt =

∫ 9

0

cosπ( t

18

)dt =

18

πsinπ

( t

18

)∣∣∣90

=18

π(sin

π

2− sin 0) =

18

π

을 얻는다. 이 결과를 이용하면 평균기온은

1

24

∫ 24

0

f(t) dt = 20 +1

24(−6

12

π+ 6

18

π)

= 20 +3

2π; 20.5

이므로 이 날의 평균기온은 20.5◦C이다.

4. 연속함수 y = f(x)에 대하여

(a) 다음 식을 만족하는 c가 a와 b 사이에 존재함을 보여라.15

1

b− a

∫ b

a

f(x) dx = f(c)

(b) y = f(x)의 평균 f에 대하여

f = f(c)

인 c가 a와 b 사이에 존재함을 설명하여라.

(c) u(t) =

∫ b

a

(f(x)− t)2 dx라고 하자. u(t)는 t = f일 때 최솟값을 가짐을 보여라.16

15이 결과를 정적분의 평균값정리라고 한다16Hint. u(t)는 t에 관한 이차식이다.

53

Answer Solution 참고

Solution (a) F (x) =∫ xaf(t) dt라고 하면 y = F (x)는 미분가능한 함수이다. 따라서

평균값정리에 의하면F (b)− F (a)

b− a= F ′(c)

인 c가 a와 b사이에 존재한다. 그런데 F ′(c) = f(c)이므로 원하는 결과를 얻는다.

(b) (a)의 결과에서 좌변은 함수 y = f(x)의 구간 [a, b]에서의 평균이다.

5. 함수 f(x) =√

4− x2의 구간 [0, 2]에서의 평균 f을 구하여라.

Answer π/2

6. 어떤 연금상품은 은퇴와 동시에 매년 D의 연금을 20년간 지급한다고 한다. 연금이 연속

적으로 지급된다고 가정할 때 은퇴와 동시에 일시금으로 받고자 한다면 얼마를 받으면

되는가? 단, 이율은 연 5%의 연속복리로 지급된다고 한다.

Answer 연금은 20년 동안 지급되므로 현재가치는∫ 20

0

De−0.05t dt =D

−0.05e−0.05t

∣∣∣200

= 20(1− e−1)D ; 12.64D

이다. 다시 말해서 12.64년동안 지급될 연금을 한꺼번에 받으면 된다.

7. 아이스크림 전문점의 매출(단위 : 백만원)은

f(t) = 200− 100 cosπt, (0 ≤ t ≤ 1)

로 주어진다고 한다. (t의 단위 : 년) 매출이 연속적으로 일어난다고 가정할 때,

(a) 1년 동안 총매출은 얼마인가?

(b) 매출과 동시에 입금된다면 1년 후(t = 1) 잔고는 얼마인가? 단, 이자는 연 5%의

연속복리로 지급된다고 한다.

(c) 1년 동안 매출액의 1월 1일의(t = 0) 현재가치는 얼마인가? 단, 이자는 연 5%의

연속복리로 지급된다고 한다.

반올림하여 만단위까지 구하여라.

Answer (a)∫ 1

0f(t) dt = 200 (b)

∫ 1

0e0.05(1−t)f(t) dt ; 204.05

(c)∫ 1

0e−0.05tf(t) dt ; 194.09

8. 연속함수 f와 상수 c에 대하여 다음 식이 성립함을 보여라.

(a)

∫ b

a

f(x+ c) dx =

∫ b+c

a+c

f(x) dx (b)

∫ c

0

f(x) dx =

∫ c

0

f(c− x) dx

Answer 생략

9. 연속함수 f에 대하여 다음이 성립함을 보여라.

54

(a)

∫ π2

0

f(sinx) dx =

∫ π2

0

f(cosx) dx (b)

∫ π

0

f(sinx) dx = 2

∫ π2

0

f(sinx) dx

Answer 생략

연습문제 3.6

1. 다음 적분이 발산하면 D라고 적고, 수렴하면 그 값을 구하여라.

(a)

∫ ∞0

1

(2x+ 1)2dx

(b)

∫ ∞−∞

sinx dx

(c)

∫ ∞2

2

x2 − 1dx

(d)

∫ ∞0

xe−x dx

(e)

∫ 1

0

log x

xdx

(f)

∫ 1

0

x log x dx

(g)

∫ π2

0

tanx dx

(h)

∫ ∞−∞

x

x2 + 1dx

Answer (a) 12

(b) D

(c) log 3

(d) 1

(e) D

(f) − 14

(g) D

(h) D

2. 다음 특이적분이 수렴하는 p의 범위를 구하고 적분값을 구하여라.

(a)

∫ ∞e

1

x(log x)pdx (b)

∫ 1

0

xp log x dx

Answer (a) p > 1, 1/(p− 1) (b) p > −1, −1/(p+ 1)2

3. 다음 관계식이 성립함을 보이고 n이 자연수일 때 왼쪽 특이적분의 값을 구하여라.∫ ∞0

xne−x dx = n

∫ ∞0

xn−1e−x dx

Answer n!

4. 나누어심기를 한 나무의 수명은 확률밀도함수가 다음과 같다.

f(x) =

{cxe−2x, x ≥ 0

0 기타

(a) 상수 c를 구하여라.

(b) 이 나무의 평균수명을 구하여라.

55

Answer (a) 4 (b) 1

5. 어떤 전기제품의 수명(단위 : 년)의 확률밀도함수가 다음과 같다.

f(x) =

8

x3, x ≥ a

0, x < a

(a) 상수 a를 구하여라.

(b) 이 제품의 수명의 평균을 구하여라.

(c) 신상품을 구입하였을 경우 3년 이상 사용할 수 있을 확률을 구하여라.

Answer (a) 2 (b) 4 (c) 4/9

6. X가 모수가 1인 지수분포를 따를 때,

(a) Y = X2의 확률밀도함수를 구하여라.

(b) Y의 평균과 분산을 구하여라.

Answer (a) f(x) =

{1

2√xe−√x, x > 0

0, x ≤ 0

(b) E(Y ) = E(X2) = 2, V (Y ) = E(X4)− [E(X2)]2 = 4!− 22 = 20

7. X가 모수가 λ인 지수분포를 따르면

(a) s, t ≥ 0에 대하여 다음 관계식이 성립함을 보여라.

P(X > t+ s) = P(X > t)P(X > s)

(b) 평균과 분산은 각각 다음과 같음을 보여라.

E(X) =1

λ, Var(X) =

1

λ2

Answer 생략

8. 다음 등식을 이용하여 주어진 적분값을 구하여라.

1√2π

∫ ∞−∞

e−x2/2 dx = 1,

1√2π

∫ ∞−∞

x2e−x2/2 dx = 1

(a)

∫ ∞0

e−x2

dx (b)

∫ ∞0

x2e−x2

dx

Answer (a)√π/2 (b)

√π/4

9. 확률변수 X 의 누적분포함수가 다음과 같다.

F (x) =

{1− e−x2

, x ≥ 0

0, x < 0

56

(a) P(X > 1), P(1 < X < 2) 를 구하여라.

(b) X 의 평균과 분산을 구하여라.

Answer (a) e−1 ≈ 0.3679, e−1 − e−4 ≈ 0.3496 (b)√π/2, 1− π/4

연습문제 3.7

1. 다음 곡선에 의하여 만들어지는 영역을 x-축 둘레로 회전하여 생기는 회전체의 부피를

구하여라.

(a) y =√

4− x2, y = 0

(b) y =√

cosx, 0 ≤ x ≤ π

2, x = 0, y = 0

(c) y = secx, y = 0, x = −π4, x =

π

4(d) y = ex, x = 1, x = 2, y = 0

(e) y =1√x, x = 1, x = 4, y = 0

(f) y = x− x2, y = 0

Answer (a) 32π/3

(b) π

(c) 2π

(d) π(e4 − e2)/2

(e) π log 4

(f) π/30

2. (x − 1)2 + y2 = 1로 둘러싸인 영역을 y축 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를

구하여라.

Answer 2π2

3. 다음 도형을 x축 둘레로 회전시켜 생기는 입체의 부피를 구하여라.

y =ex − e−x

2, 0 ≤ x ≤ log 9

Answer ( 82081 − log 3)π

4. 다음 곡선으로 둘러싸인 영역을 x축과 y축 둘레로 회전시켜 생긴 회전체의 부피를 각각

구하여라.

(a) y = x2, x = 1, y = 0

(b) y = 1/x, x = 1, x = 2, y = 0

(c) y = x2, y = 4

(d) y = x2, x = y2

Answer

57

x-축 : π/5, y-축 : π/2

(a)(b) x-축 : π/2, y-축 : 2π

(c) x- 축 : 256π/5, y-축 : 8π

(d) x-축 : 3π/10, y-축 : 3π/10

5. 다음 곡선 또는 직선에 의하여 만들어지는 영역을 주어진 직선 둘레로 회전하여 생기는

회전체의 부피를 구하여라.

(a) y = x2, y = 4, y = 4 둘레

(b) y = x, y =√x, y = 1 둘레

(c) y = x2, x = y2, y = −1 둘레

(d) y =1√x, x = 1, x = 4, y = 0, y = 1 둘레

Answer (a) 512π/15 (b) π/6 (c) 29π/30 (d) (2 log 2− 1)π

6. 다음 곡선으로 둘러싸인 영역을 y축 둘레로 회전한 회전체의 부피를 구하여라. (¶)

y = sinx, x =π

2, y = 0

Π

2

x

1

y

y � sinHxL

Answer 2π

Solution 회전체의 부피를 구하는 두번째 공식을 이용하면 회전체의 부피는

2π

∫ π2

0

x sinx dx

이다. 부분적분법을 이용하면∫x sinx dx = −x cosx+ sinx+ C

이므로 구하는 부피는

2π

∫ π2

0

x sinx dx = 2π(−x cosx+ sinx)∣∣∣π20

= 2π

이다.

7. 원 (x− b)2 +y2 = a2, (0 < a < b)을 y축 둘레로 회전하면 도넛 모양의 회전체가 생긴다.

이 회전체를 원환체(torus)라 부른다. 원환체의 부피를 구하여라.

58

b

a

Answer 2π2a2b

8. 다음 그래프를 y축 둘레로 회전한 회전체의 부피를 구하여라.

f(x) =

sinx

x, 0 < x ≤ π

1, x = 0

Π

2Π

x

1

y

y �sinHxL

x

Answer 4π

9. 다음 곡선으로 둘러싸인 영역을 y축 둘레로 회전한 회전체의 부피를 구하여라.

(a) y = −x2 + 3x− 2, y = 0

(b) y = x(x− 1)2, y = 0

(c) y = sin(x2) (0 ≤ x ≤√π), y = 0

(d) y = e−x2

(0 ≤ x ≤ 1), y = 0

Answer (a) π/2 (b) π/15 (c) 2π (d) π(1− 1/e)

연습문제 4.1

59

1. 3× 3 행렬 A에 대하여 다음 식이 성립할 때, A를 구하여라.

Ae1 =

2

1

3

, Ae2 =

1

1

0

, Ae3 =

0

1

2

Answer

2 1 0

1 1 1

3 0 2

2. 두 종류의 상품 P1과 P2를 생산하는 두 공장 ‘가’, ‘나’ 가 있다. 각 제품을 한단위 생산

하는데 공해물질인 아황산가스(sulfur dioxide), 산화질소(nitric oxide), 분진(dust)

이 왼쪽 표와 같이 발생하고 한 달동안 두 공장에서 만들어내는 제품의 양은 오른쪽 표와

같다.

아황산가스 산화질소 분진

P1 200 150 100

P2 300 250 400

‘가’ ‘나’

P1 300 450

P2 200 300

각 오염물질을 한 단위 처리하는데 드는 비용(단위 : 천원)은 다음과 같다.


‘가’ 8 6 10

‘나’ 10 8 6

(a) 한 달동안 각 공장에서 배출하는 공해물질의 양을 표로 나타내어라.

(b) 각 공장에서 각 제품을 한 단위 만드는 데 배출되는 공해물질의 처리비용을 표로

나타내어라.

(c) 위의 표에 대응하는 행렬을 순서대로 A,B,C라고 할 때 (a), (b)의 표를 행렬의

곱으로 나타내어라.

Answer (a)


‘가’ 120000 95000 110000

‘나’ 180000 142500 165000

3. 성인과어린이를대상으로비만치료프로그램이진행되고있다.참가인원과대상별로하루

동안 필요한 3대 영양소는 다음과 같다.

성인 어린이

여성 30 20

남성 25 25

탄수화물 지방 단백질

성인 200 20 150

어린이 150 15 150

(a) 위 표에 대응하는 행렬을 각각 A, B라고 할 때, AB를 구하고 (2, 2) 항이 무엇을

의미하는지 설명하여라.

60

(b) 이 프로그램에서 하루 동안 여성에 의하여 소비되는 단백질의 양은 얼마인가?

Answer (a)

(9000 900 7500

8750 875 7500

)하루 동안 남성에 의하여 소비되는 지방의 양

(b) (AB)13 = 7500

4. m× n 행렬 A에 대하여

(a) m-행벡터 B =(

1 1 · · · 1)에 대하여 BA를 구하여라. BA의 j번째 항이

의미하는 것은 무엇인가?

(b) n-열벡터 B =

1...

1

에 대하여 AB를 구하여라. AB의 i번째 항이 의미하는 것은

무엇인가?

Answer (a)BA =(a11 + a21 + · · ·+ am1 a12 + a22 + · · ·+ am2 · · · a1n + a2n + · · ·+ amn

),

BA의 j번째 항은 A의 j번째 열의 합

(b) AB =

a11 + a12 + · · ·+ a1n

...

am1 + am2 + · · ·+ amn

, AB 의 i번째 항은 A 의 i번째 행의 합

5. n× n 행렬 A = (aij)에 대하여

(a) 임의의 n벡터 x에 대하여 Ax = 0이면 A = O임을 보여라.

(b) 임의의 n벡터 x에 대하여 Ax = x이면 A = In임을 보여라.

Answer (b) Ax = x ⇒ (A− I)x = 0 ⇒ A− I = O((a) 에 의하여) ⇒ A = I

6. n× n 행렬 A에 대하여

(a) AAt와 AtA는 대칭임을 각각 보여라.

(b) A+At는 대칭임을 보여라.

(c) AtA = O이면 A = O임을 보여라. (¶)

Answer Solution 참고

Solution (c) A = (aij), At = (bij)라고 하면 bij = aji이다. 1 ≤ i ≤ n에 대하여

(AtA)ii =

n∑j=1

bijaji =

n∑j=1

ajiaji =

n∑j=1

a2ji = 0

이므로 모든 i, j에 대하여 aji = 0 이다. 따라서 A = O이다.

7. 대각행렬 D1 = D(d1, d2, . . . , dn), D2 = D(m1,m2, . . . ,mn)에 대하여 다음 등식이 성

립함을 보여라.

(a) D1D2 = D2D1 = D(d1m1, d2m2, . . . , dnmn)

61

(b) Dk1 = D(dk1 , d

k2 , . . . , d

kn)

Answer 생략

8. n×n 행렬 A = (aij)의 대각합(trace)은 대각원소의 합으로 정의하고 tr(A)로 나타낸다.

tr(A) = a11 + a22 + · · ·+ ann

A,B가 n× n 행렬일 때 다음을 보여라.

(a) tr(At) = tr(A)

(b) tr(A+B) = tr(A) + tr(B)

(c) tr(kA) = k tr(A)

(d) tr(AB) = tr(BA)

Answer 생략

9. 어떤 사람이 시속 5km로 걸으면 350cal/hr, 시속 20km로 자전거를 타면 500cal/hr, 시속

9km로 달리기를 하면 900cal/hr가 소모된다고 한다. 이 사람이 일주일간 다음과 같이

운동계획을 세웠다면 소모되는 칼로리는 모두 얼마인가? (단위 : 시간)

월요일 수요일 금요일 토요일

걷기 1 1 1.5 1

자전거 0 2 1 1

달리기 1 1 0.5 1

Answer 6725

10. 다음 표는 2013년도 제주도와 울릉도를 방문한 국가별 관광객 수이다. (단위 : 만명)

제주도 울릉도

대한민국 179 20

중국 244 9

일본 95 5

(a) 2013년 제주도를 방문한 사람 중에서 10%는 2014년에 제주도를 다시 방문하고 울

릉도를 방문한 사람 중에는 3%가 다시 울릉도를 방문한다고 예측한다.

A =

179 20

244 9

95 5

, B =

(0.1

0.03

), C =

(0.1 0

0 0.03

)

이라 할 때 AB,AC를 구하고 각 항이 의미하는 바를 설명하여라.

(b) 2014년 제주도와 울릉도를 방문하는 방문객의 수는 2013년 대비 모두 대한민국은

10%, 중국은 20%, 일본은 8% 증가할 것으로 예측한다.

B =(

1.1 1.2 1.08), C =

1.1 0 0

0 1.2 0

0 0 1.08

이라 할 때 BA,CA를 구하고 각 항이 의미하는 바를 설명하여라.

62

Answer (a) AB =

18.5

24.67

9.65

, 예를 들어, 24.67(만명)은 2013 년 제주도나 울릉도를 방문한

중국사람 중에서 2014년도에 제주도나 울릉도를 다시 방문하는 인원

AC =

17.9 0.6

24.4 0.27

9.5 0.15

, 예를 들어 0.6(만명)은 2013년 울릉도를 방문한 대한민국 사람

중에서 2014년도에 울릉도를 다시 방문하는 인원

11. 어떤 의류 회사는 일반형과 고급형 두 종류의 코트를 생산한다. 일반형에는 1.5kg의 합성

섬유와 300g의 양모, 200g의 앙고라가 필요하고 고급형에는 200g의 합성섬유와 800g의

양모, 200g의 앙고라가 필요하다.

(a) 합성섬유와 양모, 그리고 앙고라의 kg 당 구입가는 A 사가 각각 5000원, 이만원,

삼만원이고 B 사는 각각 . 6000원, 이만원, 이만오천원이다. 원단을 A 사에서 모두

구입하는 경우와 B 사에서 모두 구입할 경우 일반형과 고급형 한 벌의 원단가격을

행렬곱을 이용하여 나타내어라.

(b) 합성섬유와 양모, 그리고 앙고라의 kg 당 생산가는 A 사는 각각 4000원, 만오천원,

이만원이고, B 사는 각각 4500원, 만육천원, 이만원이다. 일반형과 고급형 한 벌의

원단을 판매하였을 때 각 원단회사가 얻는 이윤을 행렬의 곱을 이용하여 구하여라.

(c) 일반형 250벌과 고급형 150벌을 만들려면 각 원단이 얼마나 필요한지 행렬곱을 이

용하여 구하여라.

(d) 일반형 250벌과 고급형 150벌을 만들려면 원단회사별로 비용이 얼마나 드는지 구하

여라.

Answer A =

(1.5 0.3 0.2

0.2 0.8 0.2

), B =

0.5 0.6

2 2

3 2.5

, C =

0.1 0.15

0.5 0.4

1 0.5

, D =(

250 150)

이라 하자.

(a) AB:

구입비용 A 사 B 사

일반형 1.95 2

고급형 2.3 2.22

(b) AC :

이윤 A 사 B 사

일반형 0.5 0.445

고급형 0.62 0.45

(c) DA: 합성 405(kg), 양모 195(kg), 앙고라 80(kg)

(d) DAB: A 사 832.5만원, B 사 833만원

12. 다음 표는 성인병의 두 개 이상의 증상을 보이는 환자들을 조사한 결과이다.

63

당뇨병 고지혈증 고혈압 심장병 비만

환자 1 0 1 1 0 0

환자 2 1 0 1 0 0

환자 3 0 1 0 1 0

환자 4 0 1 1 1 0

환자 5 0 0 0 1 1

환자 6 0 1 1 1 0

환자 7 0 0 1 0 1

환자 8 1 0 1 0 0

환자 9 0 1 0 0 1

환자 10 0 1 0 1 1

(a) 동시에 가장 많이 관찰되는 성인병의 쌍을 구하여라.

(b) 고혈압 환자에게 가장 많이 나타나는 성인병은 무었인가?

Answer (a) 고지혈증과 심장병

AtA =

2 0 2 0 0

0 6 3 4 2

2 3 6 2 1

0 4 2 5 2

0 2 1 2 4

(b) 고지혈증

13. 다음 표는 식료품 매장에서 고객이 구매한 품목을 조사한 결과이다.

라면 맥주 땅콩 생수 분유 사과

고객 1 0 1 1 1 1 0

고객 2 1 0 0 0 0 1

고객 3 0 0 0 1 0 1

고객 4 1 1 1 1 0 1

고객 5 0 1 0 1 1 1

고객 6 1 0 1 1 0 1

고객 7 0 0 1 0 1 0

고객 8 1 0 1 0 0 0

고객 9 0 0 0 0 0 1

고객 10 1 0 0 1 0 0

(a) 주어진 표에 대응하는 행렬을 A라고 하고 C = AtA = (cij)라고 하자. c24를 구하고

무엇을 의미하는지 설명하여라.

(b) 동시에 가장 많이 구매한 품목의 쌍을 구하여라.

64

(c) 매장이 두 개의 층으로 되어 있고 일부는 2층에 진열하여야 한다면 품목을 어떻게

분류하는 것이 좋을지 설명하여라.

Answer (a) c24 = 3 : 맥주와 생수를 동시에 구입한 고객의 수 (b) 생수와 사과 (c) 영업전략에

따라 다양한 진열방법이 가능함

연습문제 4.2

1. 영행렬이 아닌 2× 2 행렬 중에서 기약행사다리꼴을 모두 구하여라.

Answer

(1 0

0 1

),

(1 a

0 0

), 단, a는 실수

2. 영행렬이 아닌 3× 2 행렬 중에서 기약행사다리꼴을 모두 구하여라. (Hint. 모두 3종류가

존재한다.)

Answer

1 0

0 1

0 0

,

1 a

0 0

0 0

,

0 1

0 0

0 0

, 단, a는 실수

3. 행렬 A =

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

와 다음 기본행렬에 대하여 EiA를 구하여라.

E1 =

0 1 0

1 0 0

0 0 1

, E2 =

1 0 0

0 1 0

−2 0 1

, E3 =

1 0 0

0 3 0

0 0 1

Answer (a)

a2 b2 c2

a1 b1 c1

a3 b3 c3

(b)

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 − 2a1 b3 − 2b1 c3 − 2c1

(c)

a1 b1 c1

3a2 3b2 3c2

a3 b3 c3

4. 변수 x, y, z, w의 선형계의 첨가행렬이 다음과 같을 때 자유변수를 말하고 일반해를 자유

변수를 이용하여 나타내어라.

(a)

1 0 2 0 3

0 1 −2 0 1

0 0 0 1 3

0 0 0 0 0

(b)

1 −2 2 0 3

0 0 0 1 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

Answer

65

자유변수 z,

일반해

−2

2

1

0

z +

3

1

0

3

(a)(b) 자유변수 y, z,

일반해

2

1

0

0

y+

−2

0

1

0

z+

3

0

0

1

5. 다음과 같은 첨가행렬을 갖는 선형계를 풀어라.

(a)

1 1 1 0

1 1 0 3

0 1 1 1

(b)

1 2 −3 9

2 −1 1 0

4 −1 1 4

(c)

1 −3 −2 0

−1 2 1 0

1 2 3 0

(d)

1 1 2 1 1

1 −1 −1 1 0

0 1 1 0 −1

1 1 0 1 2

Answer (a)

−1

4

−3

(b)

2

5

1

(c) t

1

1

−1

, t ∈ R (d) 불능(해가 없음)

6. 가우스소거법으로 다음 선형계를 풀어라.

(a)

{x − 2y = −6

−2x + 3y = 7

(b)

x + y = 1

2x − y = 5

3x − 4y = 2

(c)

{2x − 2y + 4z = −6

−4x + 4y − 8z = 7

(d)

{x − 2y − z = −3

2x − 4y + 2z = 2

(e)

x − y + z = 0

−2x + y = −4

4x − 2y + z = 5

(f)

3x + 2y + z = 2

4x + 2y +2z = 8

x − y + z = 4

Answer (a) x = 4, y = 5 (b) 불능 (c) 불능 (d)

x

y

z

=

2

1

0

y +

−1

0

2

(e) x = 1, y = −2, z = −3 (f) x = −4, y = 2, z = 10

66

7. 다음 동차선형계가 유일한 해를 갖는지 판단하여라.

(a)

{2x − 2y + 4z = 0

−4x + 4y − 8z = 0

(b)

x − y + z = 0

−2x + y = 0

4x − 2y + z = 0

(c)

x2 + 3x3 − 2x4 = 0

4x1 − x2 + 2x3 − 5x4 = 0

x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 0

(d)

x + 2y + z − w = 0

x + 2y + 3z − w = 0

2x + y + 5z + 2w = 0

−x + 2y − 3z − 3w = 0

Answer (b), (d): 유일한 해 (a), (c): 무수히 많은 해

8. v1,v2가 Ax = 0의 해이면 av1 + bv2는 Ax = 0의 해가 됨을 보여라.

Answer 생략

9. v1,v2가 Ax = b (b 6= 0)의 해이면 v1 + v2는 Ax = b의 해가 아님을 보여라.

Answer A(v1 + v2) = Av1 +Av2 = b + b = 2b 6= b이므로 v1 + v2는 Ax = b의 해가 아니다.

10. 비만조절 프로그램에서 세 종류의 음식만 섭취하는 다이어트를 실시한다고 하자. 각 음식

100g에는 3대 영양소가 다음과 같이 들어 있다.

음식 1 음식 2 음식 3

탄수화물 8 16 32

단백질 8 4 4

지방 0 4 1

한 끼에 필요한 영양소의 양은 탄수화물 48, 단백질 32, 지방 3(단위 : g)이라 할 때 세

종류의 음식을 어떻게 제공해야 하는지 구하여라.

Answer 음식 1: 352, 음식 2: 68, 음식 3: 28

11. 실험실에서 배양하고 있는 세 종류의 박테리아는 한 시간에 다음 표와 같이 영양분을

소모한다.

박테리아 1 박테리아 2 박테리아 3

영양분 A 1 2 1

영양분 B 2 1 1

영양분 C 1 1 2

67

한 시간 동안 소모된 영양분을 측정하였더니 영양분 A는 400, 영양분 B는 500, 영양분

C는 600이 소모되었다. 한 시간 동안 박테리아의 수는 변화가 없다고 할 때 박테리아의

수를 구하여라.

Answer 박테리아 1: 125, 박테리아 2: 25, 박테리아 3: 225

12. 다음은 신도시 지하의 수도관의 흐름을 그린 것이다.

100

200

300

250

150

100

500

x

x1

x2

x3

x4

(a) 이 수도망의 흐름을 선형계를 이용하여 나타내어라.

(b) 이 수도망이 원활하게 흐를 때 x를 구하여라.

(c) 이 수도망이 원활하게 흐를 때 x2의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

Answer (a) x1 + x2 = 400, x1 + x4 = 250, x2 + x3 = x − 200, x3 + x4 = 250 (b) x = 600

(c) 최댓값 400, 최솟값 150

13. 다음 세 점을 지나는 이차함수를 구하여라.

(a) (1, 3), (2, 4), (3, 7)

(b) (1, 2), (3, 3), (5, 8)

Answer (a) y = x2 − 2x+ 4 (b) y = 12x

2 − 32x+ 3

14. 다음 네 점을 지나는 삼차함수를 구하여라.

(a) (−1,−1), (1, 3), (2, 5), (3, 15)

(b) (0, 5), (1, 4), (2, 9), (3, 32)

Answer (a) y = x3 − 2x2 + x+ 3 (b) y = 2x3 − 3x2 + 5

15. x1, x2, x3가 서로 다른 실수일 때 세 점 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) 을 지나는 이차함수

y = a+ bx+ cx2는 유일함을 보여라.17

17Hint. 이차함수 f(x) = a + bx + cx2이 세 점 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)을 지난다고 하자. 1 x1 x21

1 x2 x22

1 x3 x23

a

b

c

=

y1

y2

y3

는 유일한 해를 가짐을 보인다.

68

Answer 생략

16. 다음 그림은 기계 내부의 연결망을 그린 것이다.

0 0

T1 T2

T3T4

00

30 30

6060

90 90 90 90

외부에 있는 연결점의 온도는 변화가 없고 내부의 점의 온도는 이웃하고 있는 점들의

온도의 평균이다. 예를 들어

T1 =0 + 30 + T2 + T4

4

이다. 내부의 연결점 T1, T2, T3, T4의 값을 구하여라.

Answer T1 = T2 = 30, T3 = T4 = 60

연습문제 4.3

1. 다음 행렬의 역행렬이 존재하면 역행렬을 구하여라.

(a)

1 0 0

a 1 0

0 a 1

(b)

a 0 0

1 a 0

0 1 a

, a 6= 0 (c)

1 1 1 1

1 3 1 2

1 2 −1 1

5 9 1 6

Answer (a)

1 0 0

−a 1 0

a2 −a 1

(b)

1/a 0 0

−1/a2 1/a 0

1/a3 −1/a2 1/a

(c) 가역이 아님

2. n× n 행렬 A에 대하여 A2 = A이면 A는 멱등(idempotent)이라 한다.

(a) A가 멱등이면 I −A도 멱등임을 보여라.

(b) A가 멱등이면 (2I −A)(I +A) = 2I임을 보여라. (2I −A)−1을 구하여라.

69

(c) A가 멱등일 때, 3I −A는 가역임을 보이고 (3I −A)−1을 구하여라.18

(d) 멱등인 n× n가역행렬은 In 뿐임을 보여라.

Answer (b) 12 (I +A) (c) (3I −A)−1 = 1

3I + 16A

3. 3× 3 행렬 A가 다음 식을 만족할 때 A를 구하여라.

A

−1

2

0

=

1

2

4

, A

0

−2

1

=

−1

1

0

, A

2

1

0

=

0

−2

1

Answer1

5

−1 2 −1

−6 2 9

−2 9 18

4. 가역행렬 A가 대칭이면 A−1도 대칭임을 보여라.

Answer At = A이므로 (A−1)t = (At)−1 = A−1이다. 따라서 A−1 은 대칭이다.

5. A4 = O인 정사각행렬 A에 대하여 I −A는 가역이고

(I −A)−1 = A3 +A2 +A+ I

임을 보여라.

Answer (I −A)(A3 +A2 +A+ I) = (A3 +A2 +A+ I)(I −A) = I

6. n차 다항식

pn(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn

에 대하여 a0 6= 0이고 pn(A) = O이라 하자. 그러면 A는 가역임을 보여라. 단,

pn(A) = a0I + a1A+ · · ·+ anAn

이다.

Answer B = − 1a0

(a1I + a2A + · · · + anAn−1)이라 하면 AB = BA = I이므로 A는 가역이고

B = A−1이다.

7. 대각행렬 D = D(d1, d2, . . . , dn)에 대하여 d1d2 · · · dn 6= 0이면 D는 가역임을 보이고

D−1을 구하여라.

Answer D−1 = D(1/d1, 1/d2, . . . , 1/dn)

8. 시리얼 한 컵에는 20g의 탄수화물과 8g의 단백질이 들어 있고 한 컵의 무지방 우유에는

5g의 탄수화물과 10g의 단백질이 들어 있다. 시리얼과 우유로 아침을 먹을 때 탄수화물

40g과 단백질 32g을 섭취하려면 어떻게 해야 하는가?

18Hint. (3I −A)(aI + bA) = I가 되는 a, b 를 구하여라.

70

Answer 시리얼 1.5컵, 우유 2컵

9. 제과점에서 카스테라, 파운드케익, 와플을 만드는데 계란, 설탕, 버터가 다음 표와 같이

필요하다.

계란 설탕 버터

카스테라 1 1 0

파운드케익 1 1 1

와플 1 0.2 0.4

하루에 계란 200개, 설탕 160컵, 버터 100컵을 모두 사용하려면 카스테라, 파운드케익,

와플을 각각 어떻게 만들어야 하는가?

Answer 카스테라 70개, 파운드케익 80개, 와플 50개

10. 왼쪽에 주어진 벡터를 오른쪽에 주어진 행렬의 열벡터들의 일차결합으로 나타내어라.19

(a)

(1

4

),

(1 3

2 4

)

(b)

1

2

3

,

1 1 2

1 2 3

0 1 2

(c)

1

2

3

4

,

1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

Answer (a)

(1

4

)= 4

(1

2

)−

(3

4

)(b)

1

2

3

= −

1

1

0

− 5

1

2

1

+ 4

2

3

2

(c)

1

2

3

4

= −

1

0

0

0

−

1

1

0

0

−

1

1

1

0

+ 4

1

1

1

1

11. 왼쪽에 주어진 벡터를 오른쪽에 주어진 벡터들의 일차결합으로 나타내어라.

(a)

(3

−1

),

{(5

5

),

(2

1

)}

(b)

5

−3

5

,

−1

1

1

,

2

−1

1

,

0

0

1

19기초다지기의 결과 참조

71

Answer (a)

(3

−1

)= −

(5

5

)+ 4

(2

1

)

(b)

5

−3

5

= −

−1

1

1

+ 2

2

−1

1

+ 4

0

0

1

12. 삼식이는 총 180만원을 세 종류의 주식에 나누어 투자하였다. 세 주식의 주당 가격과

수익률은 다음 표와 같다.

주식 가격(천원) 수익률(%)

A 20 4

B 15 2

C 12 3

주식은모두 120주이고수익금이 5만 4천원이었을때갖고있는각주식의수를구하여라.

Answer A : 30, B : 40, C : 50

13. 소비행렬 A에 대하여

(I −A)−1 =

1.2 0.4 0.2

0.4 1.3 0.2

0.3 0.2 1.5

이다. 섹터 1의 외부수요가 하나 늘면 생산량에는 어떤 변화가 있는가?

Answer 섹터 1의 생산량은 1.2단위, 섹터 2의 생산량은 0.4단위, 섹터 3의 생산량은 0.3단위 늘어

나야 한다.

14. 소비행렬

A =

(0.2 0.4

0.4 0.3

)에 대하여

(a) 외부수요벡터가 d =

(100

150

)일 때 생산벡터 x를 구하여라.

(b) 첫번째 섹터의 외부수요가 하나 많아지면 생산벡터에는 어떤 변화가 생기는가?

(c) 두번째 섹터의 외부수요가 하나 많아지면 생산벡터에는 어떤 변화가 생기는가?

Answer (a) x =

(325

400

)(b) 첫번째 생산량은 1.75단위, 두번째 생산량은 1단위를 늘려야 한다.

(c) 첫번째 생산량은 1단위, 두번째 생산량은 2단위를 늘려야 한다.

72

15. 소비행렬

A =

0.2 0.4 0.4

0.4 0.2 0.2

0.4 0.2 0.2

에 대하여

(a) 외부수요벡터가 d =

80

120

100

일 때 생산벡터 x를 구하여라.

(b) 첫번째 섹터의 외부수요가 하나 많아지면 생산벡터에는 어떤 변화가 생기는가?

(c) 세번째 섹터의 외부수요가 하나 많아지면 생산벡터에는 어떤 변화가 생기는가?

Answer (a) x =(

850 760 740)t

(b) 1,2,3섹터의 생산량이 각각 15/4,5/2,5/2단위가 늘어난다. (c) 1,2,3섹터의 생산량이

각각 5/2, 2, 3단위가 늘어난다.

연습문제 4.4

1. 2× 2 가역행렬 A의 모든 항이 정수라고 하자.

(a) A−1의 모든 항이 정수이면 det(A) = 1, 또는, det(A) = −1임을 보여라.

(b) 역으로 det(A) = 1, 또는, det(A) = −1이면 A−1의 모든 항은 정수임을 보여라.

Answer 생략

2. A가 멱등행렬일 때, 즉, A2 = A 일 때 det(A)의 값은 얼마인가?

Answer 1 또는 0

3. 영행렬이 아닌 정사각행렬 A가 자연수 m > 1에 대하여 Am = O이라 하자. det(A)의

값은 얼마인가?

Answer 0

4. U tU = In인 정사각행렬 U에 대하여 det(U) = 1, 또는 det(U) = −1임을 보여라.

Answer det(U t) = det(U)이므로 det(U tU) = [det(U)]2 = 1 따라서 det(U) = 1 또는 det(U) =

−1이다.

5. 정사각행렬 A,B에대하여 P−1AP = B인가역행렬 P가존재하면 det(A) = det(B)임을

보여라.

Answer 생략

6. 다음 행렬의 행렬식을 여인수전개로 구하여라.

73

(a)

a b 0

0 a b

a 0 b

(b)

1 −1 0 3

2 5 2 6

0 1 0 0

1 4 2 1

(c)

6 0 0 5

1 7 2 −5

2 0 0 0

8 3 1 8

(d)

0 0 0 2

0 0 −3 3

0 −1 2 −5

7 11 17 19

Answer (a) a2b+ ab2 (b) 4 (c) 10 (d) 42

7. 다음 행렬의 행사다리꼴을 구하고 행렬식을 구하여라.

A =

1 1 1 1 1

1 2 2 2 2

1 1 3 3 3

1 1 1 4 4

1 1 1 1 5

Answer 행사다리꼴

1 1 1 1 1

0 1 1 1 1

0 0 2 2 2

0 0 0 3 3

0 0 0 0 4

, 24

8. 행렬 A,B,C가 다음과 같을 때

A =

a+ α b+ β c+ γ

d e f

g h i

, B =

a b c

d e f

g h i

, C =

α β γ

d e f

g h i

det(A) = det(B) + det(C)

임을 보여라.

Answer 생략

9. 다음과 같이 주어졌을 때

det

a b 1

c d 1

e f 1

= 5, det

a 1 b

c 2 d

e 3 f

= 11

다음 행렬식을 구하여라.

74

(a) det

a+ b 1 b

c+ b 1 d

e+ b 1 f

(b) det

a c e

3 6 9

b d f

(c) det

a b 2

c d 3

e f 4

(d) det

a 3 b

c 5 d

e 7 f

Answer (a) −5 (b) 33 (c) −6 (d) 17

연습문제 4.5

1. 행렬 A =

(1 k

1 1

)가 서로 다른 두 개의 실수 특성치를 가질 때 k의 값의 범위를

구하여라.

Answer k < 1

2. 행렬 A가 다음과 같을 때 특성치를 모두 구하여라.

(a) A =

(a b

b −a

)(b) A =

(a b

b a

)

Answer (a) r = ±√a2 + b2 (b) a± b

3. 2× 2 행렬 A의 특성치를 r1, r2라고 하면

(a) tr(A)는 행렬 A의 대각합이라 할 때

tr(A) = r1 + r2, det(A) = r1r2

임을 보여라.

(b) tr(A) = 5, det(A) = 6일 때, A의 특성치를 구하여라.

(c) 2 det(A) = tr(A)2 − tr(A2)임을 보여라.

Answer (b) 2,3

4. 행렬 A =

(−1 2

3 0

)에 대하여

(a) A의 특성치와 특성벡터를 구하여라.

(b) A2의 특성치와 특성벡터를 구하여라.

(c) A−1의 특성치와 특성벡터를 구하여라.

75

Answer (a)−3,

(−1

1

), 2,

(2

3

)(b) 9,

(−1

1

), 4,

(2

3

)(c)−1/3,

(−1

1

), 1/2,

(2

3

)

5. 다음 행렬의 특성치를 구하고 그에 대응하는 특성벡터를 구하여라.

(a) A1 =

(1 2

0 3

)

(b) A2 =

(0.5 0.25

0.5 0.75

) (c) A3 =

(0 2

3 1

)

(d) A4 =

(6 3

2 7

)

Answer (a) r1 = 1,v1 =

(1

0

), r2 = 3,v2 =

(1

1

)

(b) r1 = 1,v1 =

(1

2

), r2 = 1/4,v2 =

(1

−1

)

(c) r1 = −2,v1 =

(1

−1

), r2 = 3,v2 =

(2

3

)

(d) r1 = 4,v1 =

(3

−2

), r2 = 9,v2 =

(1

1

)

6. 문제 5의 행렬에 대하여 A9i

(3

1

), i = 1, 3을 구하여라.

Answer

(19685

19683

),

(30776

47956

)

7. A가 대칭인 2× 2 행렬이라 하자.

A =

(a b

b c

)

(a) A의 특성치는 항상 실수임을 보여라.

(b) A가 중복도가 2인 특성치를 가질 때 어떤 모양인지 구하여라.

Answer (a) D = (a− c)2 + b2 ≥ 0 (b) A = aI2

8. 2× 2 행렬 A와 At는 같은 특성치를 가짐을 보여라.

Answer 생략

9. v가 n×n 행렬 A의 특성벡터이고, 이 때 특성치가 r이라 하자. 그러면 v가 A2− 3A− 5I

의 특성벡터가 됨을 보여라. 이때 특성치는 무엇인가?

Answer r2 − 3r − 5

76

10. 다음과 같이 점화식으로 정의된 수열을 생각해 보자.

xn+2 = a1xn+1 + a0xn

yn = xn+1,x =

(xn

yn

)라고 하자.

(a) 다음 식을 만족하는 2× 2 행렬 A를 구하여라.

xn+1 = Axn

(b) A의 특성방정식을 구하여라.

Answer (a) A =

(0 1

a0 a1

)(b) r2 − a1r − a0 = 0

11. 위의 문제를 이용하여 다음 점화식의 일반해를 다음과 같이 구하여라.

xn+2 = −2xn+1 + 3xn, x0 = 1, x1 = 2

(a) 다음 식을 만족하는 2× 2 행렬 A를 구하여라.

xn+1 = Axn

(b) A의 특성치와 이에 대응하는 특성벡터를 구하여라.

(c) x0 =

(1

2

)를 특성벡터의 일차결합으로 나타내어라.

(d) xn을 구하여라.

(e) xn을 구하여라.

Answer (a) A =

(0 1

3 −2

)(b) r1 = 1,v1 =

(1

1

), r2 = −3,v2 =

(1

−3

)

(c)

(1

2

)=

5

4

(1

1

)− 1

4

(1

−3

)(d) xn =

5

4

(1

1

)− 1

4(−3)n

(1

−3

)(e) xn = 5

4 −14 (−3)n

연습문제 4.6

1. 다음 추이도표로 나타내어지는 추이행렬을 구하여라.

77

(a)

1 214_ 1

3_

23_

34_

(c)

1 2

3

0.5

0.5

0.25

0.75

1

(b)

1 212_

12_

1

(d)

1 2

3

1

11

Answer (a)

(1/4 3/4

2/3 1/3

)(b)

(0 1

0.5 0.5

)(c)

0.5 0.5 0

0.25 0 0.75

0 0 1

(d)

0 1 0

0 0 1

1 0 0

2. 다음 행렬이 추이행렬이 되는지 판단하고 추이행렬인 경우 추이도표를 그려라.

(a) M =

(0.4 0.8

0.6 0.2

)

(b) M =

0.5 0.5 0

0.2 0.3 0.5

0.4 0.2 0.4

(c) M =

(0.2 0.8

0.9 0.1

)

(d) M =

0.1 0.3 0.6

0.6 0.5 −0.1

0.3 0.2 0.5

Answer (a), (d) 추이행렬이 아니다.

(b)

1 2

3

0.5

0.50.2

0.5

0.3

0.4

0.4

0.2

(c)

1 20.2

0.8

0.9

0.1

3. 마코프연쇄의 추이행렬 M과 초기분포 p0가 다음과 같다. 2단계 추이행렬을 구하고 2

단계의 확률분포를 구하여라.

(a) M =

(0.5 0.5

0 1

), p0 =

(1 0

)

78

(b) M =

(0.3 0.7

0.7 0.3

), p0 =

(0.4 0.6

)

(c) M =

0.5 0.5 0

0 0.5 0.5

0.5 0.5 0

, p0 =(

0.25 0.5 0.25)

(d) M =

0.1 0.1 0.8

0 1 0

0.8 0.1 0.1

, p0 =(

1 0 0)

Answer (a)

(0.25 0.75

0 1

),(

0.25 0.75)

(b)

(0.58 0.42

0.42 0.58

),(

0.484 0.516)

(c)

0.25 0.5 0.25

0.25 0.5 0.25

0.25 0.5 0.25

,(

0.25 0.5 0.25)

(d)

0.65 0.19 0.16

0 1 0

0.16 0.19 0.65

,(

0.65 0.19 0.16)

4. 마코프연쇄의 추이행렬 M이 다음과 같을 때 극한안정분포를 구하여라.

(a) M =

(0.7 0.3

0.3 0.7

)(b) M =

(0.4 0.6

0.8 0.2

)

Answer (a) (0.5, 0.5) (b) (4/7,3/7)

5. 추이행렬 M이 다음과 같을 때 mini,j

p(2)ij > 0임을 보이고 lim

n→∞Mn을 구하여라.

(a) M =

(0 1

0.25 0.75

)(b) M =

0.5 0.5 0

0 0.5 0.5

0.5 0.5 0

Answer (a) limn→∞

Mn =

(0.2 0.8

0.2 0.8

)(b) lim

n→∞Mn =

0.25 0.5 0.25

0.25 0.5 0.25

0.25 0.5 0.25

6. K 은행 전산실은 매일 아침 현금인출기를 점검하여 정상이면 상태 1, 고장이면 상태 2로

분류한다. 고장난 현금인출기 가운데 80%는 그 날 중으로 수리가 가능하고 아침 점검시

정상이었던 현금인출기가 다음 날 점검시까지 고장날 확률은 5%라고 한다.

(a) 추이행렬을 구하여라.

79

(b) 오늘아침정상인현금인출기가사흘후점검할때까지계속정상일확률을구하여라.

(c) 오늘 아침 정상인 현금인출기가 사흘 후 점검할 때 고장일 확률을 구하여라.

(d) 오늘 모든 현금인출기가 정상일 때, 1년 후 정상인 현금인출기의 비율을 근사적으로

구하여라.

Answer (a) M =

(0.95 0.05

0.8 0.2

)(b) 0.953 = 0.857375 (c) (M3)12 = 0.058625 (d) 16/17

7. 전국을서울,수도권,비수도권으로구분한다고하자.매해서울인구의 3%는수도권으로,

1%는 비수도권으로 이주한다. 수도권 인구는 매해 2%가 서울로, 1%는 비수도권으로 이

주한다. 비수도권의 인구는 2%가 서울로, 3%는 수도권으로 이주한다고 한다. 현재 전체

인구의 25%가 서울에, 15%가 수도권에 거주한다고 한다.

(a) 올해서울에살고있는사람이앞으로 3년동안계속서울에거주할확률을구하여라.

(b) 내년 지역별 인구 비율을 구하여라.

(c) 50년 후 지역별 인구비율을 극한안정분포를 이용하여 근사적으로 구하여라.

Answer (a) 0.963 = 0.884736 (b) 서울 25.5%, 수도권 17.1%, 비수도권 57.4%

(c) 서울 : 수도권 : 비수도권 = 2:3:1

8. 추이행렬 M = (pij)N×N이 j = 1, 2, . . . , N에 대하여 다음 성질을 만족한다.

N∑i=1

pij = 1

mini,j

pij > 0일 때, (1/N, 1/N, . . . , 1/N)은 극한안정분포임을 보여라.20

Answer 생략

9. 추이행렬이

M =

(p 1− p

1− p p

)일 때 수학적 귀납법으로 n 단계 추이행렬은 다음과 같음을 보여라.

M (n) =

(12 + 1

2 (2p− 1)n 12 −

12 (2p− 1)n

12 −

12 (2p− 1)n 1

2 + 12 (2p− 1)n

)

Answer 생략

20Hint. (1/N, 1/N, . . . , 1/N)M = (1/N, 1/N, . . . , 1/N)임을 보인다.

80

10. 어느 국회의원이 다음 선거에 출마할 것인가에 대하여 A1이라는 사람에게 말하였다고

한다. A1 은 이것을 A2에게, A2는 A3에게, · · · , 이렇게 그 말을 들은 사람은 반드시 다른한사람에게전한다고한다.이때,각사람이그다음사람에게들은내용을반대로전하는

확률이 0.1이라한다.그국회의원이출마한다고말했을때 n번째사람이출마한다고말할

확률은 얼마인가? 단, n은 아주 큰 자연수라고 하고 근사적으로 확률을 구하여라.

Answer 12 + 1

2 ( 45 )n ≈ 1

2

11. 정사각형의 네 꼭지점을 시계반대방향으로 각각 1, 2, 3, 4라고 하자. 세 개의 동전을

던졌을 때 나온 앞면의 수만큼 시계반대방향으로 움직인다. n 단계 후의 위치에 대하여,

(a) 추이행렬 M을 구하여라.

(b) 1에서 출발하여 3단계 후 2에 있을 확률을 구하여라.

(c) 극한안정분포를 구하여라.

Answer (a) M =

1/8 3/8 3/8 1/8

1/8 1/8 3/8 3/8

3/8 1/8 1/8 3/8

3/8 3/8 1/8 1/8

(b) (M3)12 = 17/64 (c) (0.25, 0.25, 0.25, 0.25)

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